Đa tạp quán tính đối với một số lớp phương trình tiến hóa

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI
------  ------

BÙI XUÂN QUANG

ĐA TẠP QUÁN TÍNH ĐỐI VỚI MỘT SỐ LỚP
PHƯƠNG TRÌNH TIẾN HÓA

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội – 2020


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI
------  ------

BÙI XUÂN QUANG

ĐA TẠP QUÁN TÍNH ĐỐI VỚI MỘT SỐ LỚP
PHƯƠNG TRÌNH TIẾN HÓA

Chuyên ngành : Phương trình vi phân và tích phân
Mã số :

9.46.01.03

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

TẬP THỂ HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

PGS.TSKH. Nguyễn Thiệu Huy
TS. Trần Thị Loan

Hà Nội – 2020


LỜI CAM ĐOAN
Tác giả cam đoan những kết quả trong luận án “Đa tạp quán tính đối với
một số lớp phương trình tiến hóa” là các công trình nghiên cứu của riêng tác
giả, được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của PGS.TSKH. Nguyễn Thiệu Huy
và TS. Trần Thị Loan. Các kết quả trong luận án chưa từng được công bố trong
bất kỳ một công trình nghiên cứu nào khác mà tác giả biết.
Hà Nội, ngày 16 tháng 7 năm 2019
Nghiên cứu sinh

Bùi Xuân Quang

3


LỜI CẢM ƠN
Luận án này được thực hiện tại Trường Đại học Sư phạm Hà Nội và hoàn
thành dưới sự hướng dẫn của PGS.TSKH. Nguyễn Thiệu Huy (Trường Đại học
Bách Khoa Hà Nội) và TS. Trần Thị Loan (Trường Đại học Sư phạm Hà Nội).
Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến tập thể hướng dẫn của mình, những
người đã tận tình và chu đáo trong công tác hướng dẫn để tác giả hoàn thành
luận án. Tác giả vô cùng biết ơn TS. Trần Thị Loan vì nhiều giúp đỡ để tác giả
trở thành một nghiên cứu sinh của Trường Đại học Sư phạm Hà Nội. Đặc biệt,
tác giả vô cùng biết ơn người hướng dẫn thứ nhất của mình – Thầy Thiệu Huy
– người đã mang lại cho tác giả một đời sống tinh thần và đời sống toán học

đầy tuệ giác. Cảm ơn Thầy vì đã tiếp nhận từ khi tác giả vừa tốt nghiệp đại
học, hướng dẫn luận văn cao học, đặt bài toán cho luận án tiến sĩ, đồng thời
truyền cảm hứng và dẫn dắt tác giả vượt qua rất nhiều khó khăn trong nghiên
cứu khoa học.
Tác giả xin gửi những lời cảm ơn đặc biệt đến seminar “Asymptotic Behavior
of Solutions to Differential Equations and Applications” được điều hành bởi
PGS.TSKH. Nguyễn Thiệu Huy vì đã tạo ra cho tác giả một môi trường học
thuật nghiêm túc và sôi động. Tác giả cũng rất cảm ơn các thành viên của
seminar, đặc biệt là TS. Trịnh Viết Dược và ThS. Lê Anh Minh, vì rất nhiều
thảo luận hữu ích để tác giả hoàn thiện luận án.
Tác giả đặc biệt cảm ơn TS. Vũ Thị Ngọc Hà vì những động viên và PGS.TS.
Đỗ Đức Thuận vì những bước đầu trong hợp tác nghiên cứu.
Nhân dịp này, tác giả trân trọng gửi lời cảm ơn đến Ban Giám hiệu, Phòng
Sau Đại học, Ban Chủ nhiệm Khoa Toán – Tin, Trường Đại học Sư phạm Hà
Nội đã luôn giúp đỡ, động viên tác giả trong suốt quá trình học tập. Tác giả rất
biết ơn GS.TS. Cung Thế Anh, PGS.TS. Trần Đình Kế, PGS.TS. Lê Văn Hiện
và các giảng viên cùng các anh chị em nghiên cứu sinh của Bộ môn Giải tích,
4


5
Khoa Toán – Tin vì đã có nhiều động viên và góp ý quan trọng cho luận án.
Tác giả muốn nói lời cảm ơn đến các nhà khoa học trong hội đồng đánh giá
luận án các cấp, đặc biệt là các phản biện và phản biện độc lập, vì đã đọc bản
thảo và có những ý kiến vô cùng quý báu để tác giả hoàn thiện luận án. Cảm
ơn các nhà khoa học, các đồng nghiệp và các cơ quan đã viết nhận xét tóm tắt
luận án cho tác giả.
Tác giả trân trọng gửi lời cảm ơn đến Ban Giám hiệu – Trường Đại học Hải
Phòng, Ban Chủ nhiệm Khoa Toán và Khoa học tự nhiên, Bộ môn Giải tích và
Toán ứng dụng, nơi tác giả luận án đang công tác, vì đã tạo nhiều điều kiện

thuận lợi để tác giả học tập và nghiên cứu. Đặc biệt, tác giả xin bày tỏ sự biết
ơn ThS. Đỗ Thị Hoài, người đã giới thiệu tác giả đến làm việc với nhóm nghiên
cứu của PGS.TSKH. Nguyễn Thiệu Huy.
Trong quá trình làm nghiên cứu sinh, tác giả đã có rất nhiều trao đổi hữu
ích với GS.TS. Nguyễn Văn Minh và GS.TS. Ricardo Rosa (tác giả của bài báo
Rosa R. & Temam R. [61]). Tác giả xin bày tỏ sự cảm ơn đối với họ.
Cảm ơn GS.TS. Bùi Xuân Hải, TS. Bùi Anh Tuấn vì những thảo luận
và động viên trong quá trình làm nghiên cứu sinh của tác giả. Tác giả cũng
rất biết ơn các hỗ trợ và giúp đỡ của những người bạn Nguyễn Dương Toàn,
Nguyễn Trung Thành, Nguyễn Văn Đoài, Nhung Hoàng.
Tác giả xin dành một phần luận án này để tưởng nhớ đến ông Phạm Minh Đức,
một người thân đặc biệt, đồng thời là một người bạn lớn, người đã đồng hành
đầy cảm thông với tác giả trong thời gian đầu làm nghiên cứu sinh.
Tác giả dành tặng luận án này cho mẹ, người thầy môn toán đầu tiên của
tác giả. Đồng thời, tác giả muốn bày tỏ lòng biết ơn vô hạn đến bố mẹ và gia
đình, những người đã luôn bên cạnh và chia sẻ những khó khăn trong cuộc sống.


MỤC LỤC

Lời cam đoan

3

Lời cảm ơn

4

Danh sách kí hiệu

8

Mở đầu
1 Lý do chọn đề tài . . . . . . . . .
2 Tổng quan vấn đề nghiên cứu . .
3 Mục đích – Đối tượng và Phạm vi
4 Phương pháp nghiên cứu . . . . .
5 Kết quả của luận án . . . . . . .
6 Cấu trúc của luận án . . . . . . .

. . . .
. . . .
nghiên
. . . .
. . . .
. . . .

. . .
. . .
cứu
. . .
. . .
. . .

.
.
.
.
.
.

1 Kiến thức chuẩn bị
1.1 Nửa nhóm toán tử . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Toán tử tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Toán tử xác định dương có phổ rời rạc
1.2.2 Toán tử quạt và Nửa nhóm giải tích . .
1.2.3 Kết quả bổ trợ . . . . . . . . . . . . .
1.3 Không gian hàm chấp nhận được . . . . . . .

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.

.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.

.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

9
9
11
19
21
21
22

.
.
.
.
.
.

24
24
28
28
29
35
36

2 Đa tạp quán tính đối với một lớp phương trình parabolic và ứng dụng
2.1 Mô hình cạnh tranh với khuếch tán chéo: Toán tử quạt và đặt bài
toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Đa tạp quán tính đối với một lớp phương trình parabolic với toán
tử quạt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Phương trình Lyapunov-Perron . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2 Sự tồn tại và tính duy nhất nghiệm . . . . . . . . . . . .
6

42
43
49
49
50

7
2.2.3 Sự tồn tại của đa tạp quán tính . . . . . . . . . . . . . .
Ứng dụng vào mô hình cạnh tranh với khuếch tán chéo . . . . .
Tính chính quy của đa tạp quán tính . . . . . . . . . . . . . . .
Điều khiển phản hồi hữu hạn chiều của một lớp phương trình
phản ứng-khuếch tán thông qua lý thuyết đa tạp quán tính . . .
2.5.1 Hệ vòng hở . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.2 Động lực mong muốn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.3 Các toán tử điều khiển đầu vào và đầu ra . . . . . . . .
2.5.4 Luật điều khiển phản hồi hữu hạn chiều . . . . . . . . .
2.5.5 Đa tạp quán tính đối với hệ vòng kín . . . . . . . . . . .

75
76
78
79
79
80

3 Đa tạp quán tính đối với một lớp phương trình đạo hàm riêng hàm
có trễ hữu hạn
3.1 Đặt bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Phương trình Lyapunov-Perron . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Sự tồn tại và tính duy nhất nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4 Sự tồn tại của đa tạp quán tính . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5 Ứng dụng vào phương trình Hutchinson sửa đổi với khuếch tán .

86
86

90
95
97
107

4 Đa tạp quán tính đối với một lớp phương trình
trung tính
4.1 Đặt bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Phương trình Lyapunov-Perron . . . . . .
4.3 Sự tồn tại và tính duy nhất nghiệm . . . .
4.4 Sự tồn tại của đa tạp quán tính . . . . . .
4.5 Một ví dụ minh họa . . . . . . . . . . . .

.
.
.
.
.

110
110
114
118
122
133

Kết luận và Kiến nghị
1 Các kết quả đã đạt được . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2 Đề xuất một số hướng nghiên cứu tiếp theo . . . . . . . . . . . .

136
136
137

Danh mục các công trình khoa học liên quan đến luận án

138

Tài liệu tham khảo

139

Chỉ mục

147

2.3
2.4
2.5

53
60
67

đạo hàm riêng hàm
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

DANH SÁCH KÍ HIỆU

X, (X, · )

E

không gian Banach/Hilbert với chuẩn

·

không gian hàm chấp nhận được
không gian các hàm số liên tục trên Ω

C(Ω)
C (Ω)

không gian các hàm số khả vi liên tục cấp k trên Ω

Cβ
|u| Cβ
A
D(A)
Aβ
Xβ := D(Aβ )
P , Pn
Q, Qn
λk , e k
e−tA t 0

C [−h, 0], D(Aβ )

k

ω0

miền xác định của toán tử A
lũy thừa phân thứ (với β ∈ [0, 1))

miền xác định của lũy thừa phân thứ Aβ
phép chiếu
Q := I − P , Qn := I − Pn ,

giá trị riêng, vector riêng thứ k
nửa nhóm sinh bởi toán tử tuyến tính −A
cận tăng trưởng của nửa nhóm e−tA

t 0

phổ của toán tử A

σ(A)
Tr−1

G(t, τ )

distXβ
Λ1 ϕ

toán tử tuyến tính

cận phổ của toán tử A

s(A)
Tℓ−1 ,

chuẩn trong Cβ , được xác định bởi supθ∈[−h,0] u(t + θ)

∞

nghịch đảo trái, phải của toán tử T
hàm Green
nửa khoảng cách Hausdorff sinh bởi chuẩn của Xβ
supt∈R

t
t−1 ϕ(τ )dτ

L1,loc (R)

không gian các hàm số khả tích địa phương trên R

Df (t, u)

đạo hàm theo u của f : R × Xβ → X, (t, u) → f (t, u)

Lip(f )
SMea(J, X)

hệ số Lipschitz của ánh xạ f : R × Xβ → X
tập hợp các hàm h : J → X đo được mạnh

8

Xβ


MỞ ĐẦU
1 Lý do chọn đề tài
Rất nhiều các hiện tượng trong tự nhiên và kỹ thuật như quá trình truyền
nhiệt, quá trình phản ứng-khuếch tán, các mô hình cạnh tranh, thú-mồi với
khuếch tán chéo, . . . đều có thể được mô tả bằng các phương trình đạo hàm
riêng với các điều kiện ban đầu và điều kiện biên phù hợp. Bằng cách chọn
không gian hàm và toán tử tuyến tính thích hợp, các phương trình đạo hàm
riêng đó có thể được viết lại dưới dạng một phương trình tiến hóa trong một
không gian Banach (xem, chẳng hạn, [27, 70, 76, 78]). Việc xem xét các phương
trình tiến hóa trong các không gian trừu tượng cho phép sử dụng những công
cụ hiện đại để tìm hiểu những vấn đề mang tính bản chất của nghiệm.
Một trong những vấn đề trung tâm của lý thuyết hệ động lực vô hạn chiều
là khảo sát dáng điệu tiệm cận của nghiệm khi thời gian vô cùng lớn. Đây là
một việc làm rất quan trọng vì nó cho phép người ta hiểu sâu sắc hơn của các
quá trình biến đổi vật chất theo thời gian. Từ đó, chúng ta có thể đưa ra những
ước lượng và đánh giá quy mô của các hệ thống trong tương lai.
Bài toán nghiên cứu dáng điệu tiệm cận có một bước đột phá lớn khi Foias
C., Sell G.R. & Temam R. [28, 29] giới thiệu khái niệm đa tạp quán tính 1 năm
1985 khi nghiên cứu phương trình Navier-Stokes. Về khía cạnh toán học, đa tạp
quán tính là một đa tạp trơn (tối thiểu là đa tạp Lipschitz) hữu hạn chiều, bất
biến dương, và hút cấp mũ tất cả các nghiệm của phương trình tiến hóa dưới
những điều kiện đang xét. Tính chất này cho phép sử dụng nguyên lí rút gọn để

nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm của phương trình tiến hóa trong không
gian vô hạn chiều bằng cách so sánh chúng với phương trình vi phân cảm sinh
trên không gian hữu hạn chiều. Do đó, nó là một đối tượng rất hữu ích trong
1

Tiếng Anh: inertial manifolds

9


10
việc nghiên cứu dáng điệu tiệm cận của các hệ động lực vô hạn chiều. Về khía
cạnh vật lý, Temam R. [71] đã viết: “From the physical point of view an inertial
manifold is an interaction law relating small and large eddies in a turbulent flow.
In this sense the specification of an inertial manifold is equivalent to a modeling
of turbulence.” 2 . Kể từ đó, đa tạp quán tính đối với phương trình tiến hóa dạng

 du + Au = F, t > 0,
dt
(1)

u(0) = u0 ∈ X,

trong đó A là một toán tử tuyến tính trong một không gian Banach vô hạn
chiều, số hạng phi tuyến F (có thể phụ thuộc vào trạng thái/lịch sử/thời gian)

và liên tục Lipschitz đều có hệ số Lipschitz là một hằng số đã được nghiên cứu
một cách hệ thống (xin xem chi tiết ở Tổng quan vấn đề nghiên cứu).
Năm 2012, Nguyen T.H. [49] đã xét phương trình tiến hóa nửa tuyến tính


 du + Au = f (t, u),
t > s,
dt
(2)

u(s) = us ,
s ∈ R,

trong đó toán tử đạo hàm riêng tuyến tính A là xác định dương, tự liên hợp
trong một không gian Hilbert tách được vô hạn chiều thỏa mãn điều kiện −A là

toán tử sinh của một nửa nhóm, và số hạng phi tuyến f (t, u) có hệ số Lipschitz

là ϕ(t) (Nguyen T.H. [49] gọi là ϕ-Lipschitz ) với ϕ thuộc vào một không gian
hàm chấp nhận được, mà đó có thể là các không gian Lebesgue Lp , không gian
Lorentz Lp,q và nhiều không gian hàm khác thường gặp trong lý thuyết nội suy.
Điều kiện ϕ-Lipschitz của số hạng phi tuyến là tổng quát hơn so với những
công trình trước đây, mà trong đó người ta thường giả thiết phần phi tuyến là
liên tục Lipschitz đều. Để lí giải tính tự nhiên của việc xét số hạng phi tuyến là
hàm số ϕ-Lipschitz, ta sẽ xét mô hình Fisher-Kolmogorov mô tả sự lan truyền
Tạm dịch: “Từ quan điểm vật lý, một đa tạp quán tính là một luật tương tác liên quan đến các
dòng xoáy nhỏ và lớn trong một dòng chảy cuộn xoáy. Theo nghĩa này, đặc điểm kỹ thuật của một đa
tạp quán tính tương đương với một mô hình của các cuộn xoáy.”.
2


11
của lớp gene trội trong sinh thái học quần thể (xem Murray J.D. [45, 46])

v

∂v


− ∆v = rv 1 −
,
t > s, x ∈ Ω,


 ∂t
K(t)






x ∈ ∂Ω,

v(t, x) = 0,

t > s,

v(s, x) = φ(x),

s ∈ R, x ∈ Ω,

(3)

trong đó Ω là một tập hợp bị chặn có biên trơn trong R3 . Ở đây v := v(t, x)
biểu diễn mật độ quần thể tại vị trí x và tại thời điểm t, hằng số r > 0 là tỉ

lệ tái sinh tuyến tính và K(t) là một hàm số thực nhận giá trị dương, được gọi
là sức nuôi của môi trường sống (giả thiết sức nuôi của môi trường là một hàm
số theo thời gian là hợp lý vì thực tế phụ thuộc rất nhiều vào mùa vụ, thời
tiết (chẳng hạn, mùa xuân thức ăn sẽ dồi dào hơn mùa đông, hay sinh trưởng
mạnh vào mùa xuân và hạn chế hơn ở mùa đông)). Mô hình Fisher-Kolmogorov
(3) được viết lại thành phương trình tiến hóa (2) nếu đặt u(·) := v(t, ·), chọn

không gian Hilbert X := L2 (Ω) và xét toán tử tuyến tính A : X ⊃ D(A) → X,

Aϕ := −ϕ′′ − rϕ trên miền xác định D(A) := H 2 (Ω) ∩ H01 (Ω).

Năm 2012, Nguyen T.H. [49] đã xây dựng một điều kiện đủ cho sự tồn tại

của đa tạp quán tính đối với phương trình tiến hóa (2) trong trường hợp hệ số
Lipschitz của số hạng phi tuyến phụ thuộc thời gian và thuộc vào một không gian
hàm chấp nhận được (xem Định lí 2.2). Theo hiểu biết của chúng tôi, trước năm
2015 mới chỉ có các công trình [3, 4] tiếp nối kết quả này. Vì thế, nhánh nghiên
cứu này đang còn nhiều vấn đề cần giải quyết, ở cả khía cạnh lý thuyết và khía
cạnh ứng dụng.
Những phân tích sơ bộ trên đây là lý do để tác giả tiến hành nghiên cứu đề
tài “Đa tạp quán tính đối với một số lớp phương trình tiến hóa”. Luận án này sẽ
phát triển một số kết quả về đa tạp quán tính dựa trên những kết quả nền tảng
Nguyen T.H. [4, 49] và Rosa R. & Temam R. [60, 61].

2 Tổng quan vấn đề nghiên cứu
2.1 Lịch sử nghiên cứu
Như đã đề cập, các lớp phương trình tiến hóa có dạng (1) và (2) nảy sinh
khi toán học cố gắng tham gia và mô tả các quá trình tiến hóa trong khoa học

12
tự nhiên và công nghệ dưới những điều kiện tổng quát. Vì thế, các lớp phương
trình tiến hóa đó đã thu hút được sự quan tâm nghiên cứu về tính chất định
tính và dáng điệu tiệm cận nghiệm khi thời gian vô cùng lớn. Dưới đây, chúng
tôi xin điểm qua (không đầy đủ) một số kết quả quan trọng về các nghiên cứu
dáng điệu tiệm cận nghiệm của các phương trình tiến hóa thông qua một đa tạp
quán tính. Sự phân chia này sẽ phục vụ những chủ đề nghiên cứu của luận án:
1 – Sự tồn tại của đa tạp quán tính. Như đã nói, khái niệm đa tạp quán tính
đối với phương trình tiến hóa

du
dt

+ Au = f (u) được giới thiệu lần đầu tiên năm

1985 bởi Foias C., Sell G.R. & Temam R. [28] (xem thêm [29]) trong trường hợp
toán tử tuyến tính A xác định dương, tự liên hợp, có giải thức compact trong
một không gian Hilbert tách được vô hạn chiều. Nói ngắn gọn, đa tạp quán tính
tồn tại nếu kẽ hở phổ, tức là hiệu số λn+1 − λn (với λn là giá trị riêng thứ n của

toán tử tuyến tính A), là đủ lớn và số hạng phi tuyến liên tục Lipschitz, tức là
f (t, x) − f (t, y)

q Aβ (x − y) có hệ số Lipschitz q đủ nhỏ.

Kể từ đó, sự tồn tại của đa tạp quán tính đối với phương trình tiến hóa đã

được nghiên cứu một cách hệ thống bởi nhiều tác giả. Sau kết quả Foias C.,
Sell G.R. & Temam R. [28], Chow S.N. & Lu K. [11] đã xét các phương trình
tiến hóa tổng quát trong không gian Banach với số hạng phi tuyến bị chặn và

thuộc lớp C 1 , nhưng tính chất hút cấp mũ của đa tạp không được chứng minh
là đều trên các tập con bị chặn của không gian trạng thái. Mallet-Paret J. &
Sell G.R. [40] đã giới thiệu nguyên lý trung bình không gian để chứng minh sự
tồn tại của một đa tạp quán tính đối với phương trình phản ứng-khuếch tán
trong không gian nhiều chiều, mà lúc này điều kiện kẽ hở phổ không được thỏa
mãn. Cũng vậy, Constantin P. et al. [18,19] thực hiện một chứng minh hình học
cho sự tồn tại của một đa tạp quán tính bằng việc sử dụng khái niệm chặn phổ
(spectral barrier), mà khái niệm mới này là một nỗ lực để vượt qua điều kiện kẽ
hở phổ. Demengel E. & Ghidaglia J.M [25] thiết lập một chứng minh đầu tiên
cho trường hợp toán tử tuyến tính là tự liên hợp và số hạng phi tuyến không
bị chặn. Debussche A. & Temam R. [22] thiết lập một chứng minh khác khi số
hạng phi tuyến không nhất thiết bị chặn, nhưng trong một không gian Banach
tổng quát, và được giả sử là thuộc lớp C 1 . Các chứng minh về sự tồn tại của
đa tạp quán tính đối với trường hợp không tự liên hợp có thể được trích dẫn
trong Debussche A. & Temam R. [21] hay Sell G.R. & You Y. [66]. Một nghiên


13
cứu đẹp đẽ về sự tồn tại của đa tạp quán tính thông qua tính chất nón là thuộc
về Robinson J.C. [58]. Mora X. [44] đã nghiên cứu đa tạp quán tính đối với các
phương trình truyền sóng nửa tuyến tính tắt dần. Khái niệm đa tạp quán tính
cũng được mở rộng và chứng minh tồn tại cho nhiều lớp phương trình tiến hóa
trong ứng dụng, chẳng hạn đa tạp quán tính ngẫu nhiên trong Bensoussan A.
& Landoli F. [6], sự tồn tại của đa tạp quán tính đối với phương trình tiến hóa
không ôtônôm bởi Koksch N. & Siegmund S. [32], hay các phương trình đạo
hàm riêng có trễ [9,16] (xem thêm [13,30,42,65,66,70] và các tài liệu tham khảo
trong đó). Sau bài toán tồn tại, các tính chất hình học của đa tạp quán tính,
chẳng hạn như tính chính quy, tính hyperbolic chuẩn tắc, cũng được nghiên cứu
một cách sâu sắc (xem Rosa R. & Temam R. [60] hoặc [12, 69]).
Trong tất cả các công trình kể trên, sự tồn tại của đa tạp quán tính được

chứng minh cho phương trình tiến hóa

du
dt

+ Au = f (u) với số hạng phi tuyến

chỉ phụ thuộc vào trạng thái và thỏa mãn điều kiện liên tục Lipschitz đều.
Tuy nhiên, như đã nói, rất nhiều quá trình tiến hóa nảy sinh từ các hệ thống
phức tạp, điều này có thể không đúng. Năm 2012, Nguyen T.H. [49] đưa nhánh
nghiên cứu về đa tạp quán tính lên một bước tiến mới với một chứng minh về
sự tồn tại của đa tạp quán tính khi số hạng phi tuyến là hàm liên tục Lipschitz
không đều, hay còn gọi là ϕ-Lipschitz, tức là f (t, u)
f (t, u) − f (t, v)

ϕ(t) 1 + Aβ u

và

ϕ(t) A (u − v) , với ϕ là một hàm thực dương và thuộc
β

vào một không gian hàm chấp nhận được. Đó có thể là các không gian Lebesgue
Lp , không gian Lorentz Lp,q và nhiều không gian hàm khác thường gặp trong lý
thuyết nội suy. Kết quả này về sự tồn tại của một đa tạp quán tính đối với các
phương trình tiến hóa không ôtônôm có hệ số Lipschitz thuộc vào không gian
hàm chấp nhận được là một phát triển nhằm mở rộng các điều kiện đặt lên số
hạng phi tuyến. Một cách ngắn gọn, đa tạp quán tính đối với một phương trình
tiến hóa tồn tại nếu toán tử đạo hàm riêng tuyến tính có kẽ hở phổ đủ lớn và
số hạng phi tuyến có hệ số Lipschitz đủ nhỏ theo một nghĩa thích hợp (hệ số

Lipschitz đều đủ nhỏ, hoặc, chuẩn supt∈R

t
t−1 ϕ(τ )dτ

đủ nhỏ trong trường hợp

ϕ-Lipschitz).
Việc nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm của phương trình Navier-Stokes
của dòng chất lỏng nhớt không nén được là lí do khai sinh ra khái niệm đa tạp
quán tính. Năm 1992, Kwak M. [36] đã công bố một kết quả rất quan trọng về


14
sự tồn tại của một dạng quán tính hữu hạn chiều đối với phương trình NavierStokes hai chiều, nhưng thực sự đáng tiếc là phép chứng minh lại chứa đựng
một số nhầm lẫn! Tính đến thời điểm hiện tại, người ta chưa biết đa tạp quán
tính có tồn tại hay không đối với một phương trình đạo hàm riêng quan trọng
như vậy. Nói cách khác, sự tồn tại của một đa tạp quán tính đối với phương
trình Navier-Stokes vẫn là một bài toán mở.
Vài năm trở lại đây, người ta đã chứng minh sự tồn tại của đa tạp quán tính
đối với một số lớp phương trình cụ thể trong ứng dụng. Chi tiết về các thông
tin này sẽ được liệt kê ở phần 3 – Ứng dụng của đa tạp quán tính dưới đây.
Một cách tổng quan, đa tạp quán tính có thể được xây dựng theo ba cách
tiếp cận khác nhau. Đó là, Phương pháp Lyapunov-Perron dựa trên công thức
biến thiên hằng số, Phương pháp Hadamard (Phương pháp Biến đổi đồ thị),
Phương pháp Sacker (là một phương pháp chính quy hóa elliptic). Chi tiết về
vấn đề này có thể được tham khảo trong Sell G.R. & You Y. [65, 8.8] và các
trích dẫn trong đó.
2 – Mở rộng khái niệm đa tạp quán tính. Những đặc tính ưu việt của đa tạp
quán tính (nếu tồn tại) đưa nó trở thành một công cụ lý tưởng để nghiên cứu

dáng điệu tiệm cận nghiệm của phương trình tiến hóa. Tuy rằng, đa tạp quán
tính tồn tại dưới những điều kiện (đủ) rất khắt khe liên quan đến kẽ hở phổ.
Điều đáng tiếc là nhiều lớp phương trình đạo hàm riêng thường gặp trong ứng
dụng, đặc biệt là các phương trình vật lý toán trong không gian nhiều chiều
(chẳng hạn, phương trình Navier-Stokes hai chiều) lại không thỏa mãn điều kiện
kẽ hở phổ khắt khe này. Vì thế người ta đã mở rộng khái niệm đa tạp quán tính
của Foias C., Sell G.R. & Temam R. [28] thành một số loại đa tạp quán tính
khác, chẳng hạn, đó là đa tạp quán tính xấp xỉ (xem Debussche A. & Temam
R. [23], xem thêm Chueshov I.D. [14]) hay đa tạp quán tính có trễ và đa tạp bất
biến đa trị (xem Debussche A. & Temam R. [24]). Những khái niệm đa tạp quán
tính mới này được xây dựng nhằm khắc phục hạn chế có tính chất kỹ thuật là
điều kiện kẽ hở phổ. Chúng cũng là những đa tạp trơn hữu hạn chiều và bất
biến dương đối với hệ động lực đang xét. Từ đó bài toán dáng điệu tiệm cận có
thể được mô tả một cách hữu hạn chiều. Hai loại đầu tiên trong ba loại đa tạp
quán tính kể trên có một đặc tính quan trọng nhất của các đa tạp quán tính,
đó là tính chất hút cấp mũ tất cả các nghiệm của phương trình tiến hóa dưới


15
những điều kiện đang xét. Tuy nhiên, trong công trình [24], các tác giả không
chứng minh được đa tạp bất biến đa trị có tính chất hút (và có đặt một giả
thuyết là tính chất đó đúng!). Như vậy bài toán dáng điệu tiệm cận đối với đa
tạp bất biến đa trị chưa được giải quyết trọn vẹn.
Theo dòng thời gian, có một khái niệm đa tạp quán tính kiểu mới trong
Nguyen T.H. [50] mà chúng tôi muốn nhấn mạnh, đó là đa tạp quán tính chấp
nhận được E-lớp. Đa tạp quán tính chấp nhận được E-lớp được cấu thành bởi
các quỹ đạo nghiệm thuộc vào một không gian hàm chấp nhận được. Khái niệm
đa tạp mới này là tổng quát hơn khái niệm đa tạp quán tính truyền thống đã
được khai sinh bởi Foias C., Sell G.R. & Temam R.. Sau công trình Nguyen
T.H. [50], theo hiểu biết của chúng tôi, mới chỉ có duy nhất bài báo Nguyen

T.H. & Le A.M. [54] phát triển nối tiếp hướng nghiên cứu này. Trong công trình
đó, các tác giả đã thiết lập sự tồn tại của một đa tạp quán tính chấp nhận được

E-lớp đối với các phương trình tiến hóa có trễ hữu hạn với toán tử tuyến tính
là xác định dương, tự liên hợp và có giải thức compact trong một không gian
Hilbert tách được vô hạn chiều.
3 – Ứng dụng của đa tạp quán tính. Như đã thảo luận, đa tạp quán tính đối
với phương trình tiến hóa là một công cụ để nghiên cứu dáng điệu tiệm cận
nghiệm khi thời gian vô cùng lớn. Sau những nghiên cứu lý thuyết về sự tồn
tại đối với các phương trình tiến hóa tổng quát, người ta đặc biệt quan tâm
đến sự tồn tại đối với các phương trình đạo hàm riêng cụ thể. Đồng thời, đặc
biệt nhấn mạnh đến một đánh giá số chiều thấp nhất có thể của các đa tạp
quán tính. Các ví dụ có thể liệt kê là sự tồn tại của đa tạp quán tính đối với
phương trình Kuramoto-Sivashinsky, phương trình Burgers không địa phương,
phương trình Cahn-Hillard, phương trình parabolic trong không gian hai chiều,
phương trình Chafee-Infante (xem Constantin P. et al. [18]), phương trình phản
ứng-khuếch tán đối lưu trong Kwak M. [37], mô hình động học khí gas nén được
trong Nicolaenko B. [55], mô hình Swift-Hohenberg của đối lưu bởi Taboada
M. [68], hay sự tồn tại của một đa tạp chậm trong khí tượng học Debussche A.
& Temam R. [21] (trong bài báo này, các tác giả đã thiết lập một kết quả tồn
tại của một đa tạp quán tính đối với một phương trình kiểu Navier-Stokes có số
hạng nhớt bậc cao). Một số công bố trong vài năm trở lại đây có thể được nhắc
đến là Gal C.G. & Guo Y. [31] đã chứng minh sự tồn tại của đa tạp quán tính


16
đối với phương trình Navier-Stokes siêu nhớt không nén được trên một xuyến
nhiều chiều. Công trình Kostianko A. & Zelik S. [34, 35] thảo luận về sự tồn tại
của đa tạp quán tính đối với các hệ phản ứng-khuếch tán-đối lưu một chiều với
các kiểu điều kiện biên khác nhau. Zelik S. [80] tổng kết về đa tạp quán tính và

nguyên lý rút gọn hữu hạn chiều đối với các phương trình đạo hàm riêng tiêu
hao. Bài báo Bisconti L. & Catania D. [8] chứng minh sự tồn tại của một đa
tạp quán tính đối với một mô hình giải chập của phương trình Boussinesq trung
bình hai chiều.
Bên cạnh sự tồn tại của đa tạp quán tính đối với các phương trình đạo hàm
riêng cụ thể, đa tạp quán tính đã tìm thấy các vai trò hữu ích của mình cho
các ứng dụng trong các phân ngành khác của toán học. Có thể kể đến những
kết nối của đa tạp quán tính với phương pháp đa lưới của Giải tích số trong
Temam R. [72], hay một cố gắng của đa tạp quán tính để mô tả hiện tượng
cuộn xoáy của cơ học chất lỏng trong Temam R. [71]. Luận án này muốn nhấn
mạnh đến các ứng dụng của đa tạp quán tính trong lý thuyết điều khiển toán
học. Chúng ta có thể trích dẫn các công trình Rosa R. & Temam R. [61], Rosa
R. [59], Sakawa Y. [62], Sano H. & Kunimatsu N. [63, 64], Brunovský P. [10],
Christofides P.D. & Daoutidis P. [17] (và các tài liệu trích dẫn trong đó) về các
ứng dụng của đa tạp quán tính trong các bài toán điều khiển phản hồi, bài toán
ổn định hóa biên cho các phương trình đạo hàm riêng một chiều. Năm 1993,
You Y. [79] đã nghiên cứu một ứng dụng của đa tạp quán tính bài toán ổn định
hóa của các hệ đàn hồi phi tuyến với sự tắt dần cấu trúc. Chúng tôi chú ý đến
ứng dụng của đa tạp quán tính trong bài toán điều khiển phản hồi của các hệ
phản ứng-khuếch tán một chiều (xem Rosa R. & Temam R. [61]). Sự tồn tại
của đa tạp quán tính đối với hệ vòng kín cho phép người ta nghiên cứu các hệ
điều khiển vô hạn chiều thông qua một hệ hữu hạn chiều mà tính chất động lực
của nó đủ để người ta kết luận cho hệ điều khiển ban đầu. Sau đó, Rosa R. [59]
đã phát triển được một kết quả tốt hơn Rosa R. & Temam R. [61] mà một luật
điều khiển phản hồi được xây dựng là chính xác thay vì điều khiển xấp xỉ thông
qua một đa tạp quán tính.


17

2.2 Các lớp phương trình tiến hóa trong luận án
Trong luận án này, chúng tôi sẽ nghiên cứu các lớp phương trình tiến hóa
dạng nửa tuyến tính, trong đó phần tuyến tính là một toán tử sinh của một nửa
nhóm các toán tử tuyến tính, và hệ số Lipschitz của số hạng phi tuyến là một
hàm số của thời gian và thuộc vào một không gian hàm chấp nhận được. Ba lớp
phương trình tiến hóa sẽ được nghiên cứu trong luận án này là
A – Phương trình parabolic. Trong luận án này, chúng tôi gọi phương trình
parabolic (nửa tuyến tính) 3 là các phương trình tiến hóa có dạng
du(t)
+ Au(t) = f (t, u(t)),
dt

(4)

trong đó A là toán tử sinh của một nửa nhóm giải tích (xem Pazy A. [56, Chapter
5]) trong một không gian vô hạn chiều, và f (t, u) là một hàm ϕ-Lipschitz theo
biến trạng thái.
Hai trường hợp được nghiên cứu là −A là một toán tử quạt trên một không

gian Banach (xem Định nghĩa 1.15), và A là một toán tử tuyến tính xác định

dương, tự liên hợp, có giải thức compact trên một không gian Hilbert tách được
vô hạn chiều. Phương trình parabolic (4) là mô hình của rất nhiều bài toán
trong vật lý hay sinh học. Chẳng hạn nó là mô hình của quá trình truyền nhiệt,
quá trình phản ứng-khuếch tán, hay mô hình Fisher-Kolmogorov mô tả sự lan
truyền lớp gene trội trong sinh thái học quần thể, mô hình cạnh tranh, mô hình
thú-mồi (xem Murray J.D. [45, 46]), . . .
Như đã dẫn, sự tồn tại của đa tạp quán tính đối với (4) trong trường hợp
không gian Hilbert được nghiên cứu lần đầu tiên bởi Nguyen T.H. [49].
B – Phương trình đạo hàm riêng hàm có trễ hữu hạn. Nhiều quá trình vật lý,

hóa học, sinh học có thể được mô tả bằng các phương trình đạo hàm riêng có
trễ (xem Wu J. [76]). Một ví dụ điển hình mà chúng tôi quan tâm đó là phương
trình Hutchinson sửa đổi với khuếch tán (xem Ví dụ 3.40) trong Minh N.V &
Wu J. [43]. Được gợi ý từ mô hình đó, trong luận án này chúng tôi sẽ xét các
phương trình tiến hóa có dạng
du(t)
+ Au(t) = L(t)ut + g(t, ut ),
dt
3

Tiếng Anh: (semi-linear) parabolic equations

(5)


18
và gọi nó là phương trình đạo hàm riêng hàm (có trễ hữu hạn)4 .
Các phương trình đạo hàm riêng hàm có trễ (và trung tính) là những lớp
phương trình tiến hóa phản ánh trung thực nhiều quá trình tiến hóa trong thực
tế nhưng lại rất khó khăn khi nghiên cứu về mặt toán học. Các khó khăn đó
xuất hiện do hệ động lực sinh bởi chúng là vô hạn chiều, gây ra đồng thời bởi
toán tử đạo hàm riêng tuyến tính và độ trễ thời gian.
Đối với các phương trình tiến hóa dạng (5) (hoặc dạng

du(t)
dt +Au(t)

= g(t, ut ),

tức là, khi L(t) ≡ 0), các bài toán về đặt chỉnh, tính chất định tính nghiệm,. . . đã

có một lịch sử lâu dài. Về sự tồn tại các đa tạp bất biến đối với (5) trong trường
hợp số hạng phi tuyến thỏa mãn điều kiện ϕ-Lipschitz, các kết quả đạt được đã
là một hệ thống. Có thể tham khảo điều này, như một tóm tắt, trong Nguyen
T.H. [51, Chapter 3] và các tài liệu trích dẫn trong đó. Sự tồn tại của đa tạp quán
tính đối với các phương trình đạo hàm riêng hàm có trễ hữu hạn trong trường
hợp Lipschitz đều thuộc về Boutet de Monvel L., Chueshov I.D. & Rezounenko
A.V. [9]. Tiếp đó, đa tạp quán tính đối với các phương trình parabolic có trễ hữu
hạn với hệ số Lipschitz của số hạng phi tuyến thuộc vào một không gian hàm
chấp nhận được là kết quả thuộc về Anh C.T., Hieu L.V & Nguyen T.H. [4].
Bài báo Anh C.T., Hieu L.V. [3] đã chứng minh sự tồn tại của đa tạp quán tính
đối với lớp các phương trình tiến hóa cấp hai theo thời gian trong không gian
hàm chấp nhận được.
C – Phương trình đạo hàm riêng hàm trung tính. Trong luận án này, chúng tôi
gọi phương trình đạo hàm riêng hàm trung tính5 là các phương trình tiến hóa
có dạng

∂
F ut + AF ut = Φ(t, ut ),
(6)
∂t
trong đó A là một toán tử tuyến tính xác định dương, tự liên hợp, có giải thức
compact trong một không gian Hilbert tách được vô hạn chiều, F là một toán
tử tuyến tính bị chặn và Φ là ánh xạ ϕ-Lipschitz. Phương trình đạo hàm riêng
hàm trung tính (6) xuất hiện trong một sự truyền tải điện phức tạp (xem Wu
J. & Xia H. [77]).
Đối với lớp phương trình đạo hàm riêng hàm trung tính (6), dáng điệu tiệm
4
5

Tiếng Anh: partial functional differential equations (with finite delay)

Tiếng Anh: partial neutral functional differential equations


19
cận nghiệm không những phụ thuộc vào trạng thái hiện tại mà còn phụ thuộc
cả vào trạng thái trong quá khứ của hệ thống. Vì thế, các nghiên cứu sẽ cần
dùng những phương pháp và kỹ thuật đặc biệt để tấn công các bài toán liên
quan đến nó. Các kết quả về tính chất định tính, (tính chất của) nửa nhóm
nghiệm, đa tạp bất biến và dáng điệu tiệm cận có thể được tham khảo trong
Nguyen T.H. [51, Chapter 2 & 3], [52, 53] và các trích dẫn trong đó. Các công
trình Nguyen T.H. & Pham V.B. [52, 53] là những kết quả gần đây nhất nghiên
cứu dáng điệu tiệm cận của phương trình đạo hàm riêng hàm trung tính nửa
tuyến tính không ôtônôm có dạng (6) thông qua các đa tạp bất biến.
Theo hiểu biết của chúng tôi, tính đến năm 2015, chưa có một công trình
nào nghiên cứu về sự tồn tại của một đa tạp quán tính đối với phương trình đạo
hàm riêng hàm trung tính nửa tuyến tính không ôtônôm (6), thậm chí là ngay
cả trong trường hợp ôtônôm

∂
∂t F ut

+ AF ut = Φ(ut ) với hệ số Lipschitz của số

hạng phi tuyến là một hằng số.

3 Mục đích – Đối tượng và Phạm vi nghiên cứu
• Mục đích của luận án: Nghiên cứu sự tồn tại của đa tạp quán tính và bài
toán điều khiển phản hồi hữu hạn chiều của một số lớp phương trình tiến

hóa nửa tuyến tính mà phần tuyến tính là toán tử sinh của một nửa nhóm

và số hạng phi tuyến thỏa mãn điều kiện ϕ-Lipschitz, với ϕ thuộc vào một
không gian hàm chấp nhận được, mà nó có thể là các không gian Lebesgue
Lp , không gian Lorentz Lp,q và nhiều không gian hàm khác thường gặp
trong lý thuyết nội suy.
• Đối tượng: Đa tạp quán tính và điều khiển phản hồi hữu hạn chiều đối với
các lớp phương trình tiến hóa (4), (5) và (6) trong không gian hàm chấp
nhận được.
• Phạm vi nghiên cứu: Trong luận án, chúng tôi nghiên cứu các bài toán sau
◦ Nội dung 1. Nghiên cứu sự tồn tại của đa tạp quán tính đối với phương
trình tiến hóa nửa tuyến tính có dạng

du(t)
+ Au(t) = f (t, u(t))
dt


20
với −A là toán tử quạt có kẽ hở phổ sinh ra nửa nhóm giải tích bị
chặn, và số hạng phi tuyến f (t, u) là hàm ϕ-Lipschitz với ϕ thuộc
một không gian hàm chấp nhận được.
◦ Nội dung 2. Nghiên cứu tính chính quy của đa tạp quán tính đối với
phương trình tiến hóa nửa tuyến tính có dạng

du(t)
+ Au(t) = f (t, u(t))
dt
và áp dụng lý thuyết đa tạp quán tính vào bài toán điều khiển phản
hồi hữu hạn chiều của một lớp phương trình phản ứng-khuếch tán

I−1


∂u



gi (t)ψi (x),
x ∈ (0, π), t > s,
− ∆u = f (t, u) +


∂t

i=1


J−1
t s,
y(t) = (yi (t))J−1
j=1 = (u(t, xj ))j=1 ,




u(t, 0) = u(t, π) = 0,
t > s,




 u(s, x) = u (x),

x ∈ [0, π], s ∈ R.
s

◦ Nội dung 3. Nghiên cứu sự tồn tại của đa tạp quán tính đối với phương
trình đạo hàm riêng hàm có trễ hữu hạn có dạng

du(t)
+ Au(t) = L(t)ut + g(t, ut ),
dt
với −A là toán tử quạt có kẽ hở phổ sinh ra nửa nhóm giải tích bị
chặn, L(t) là một toán tử tuyến tính bị chặn, và số hạng phi tuyến

g(t, ut ) là một hàm ϕ-Lipschitz với ϕ thuộc một không gian hàm chấp
nhận được. Sau đó kết quả này được áp dụng nghiên cứu dáng điệu
của mô hình Hutchinson với khuếch tán.
◦ Nội dung 4. Nghiên cứu sự tồn tại của đa tạp quán tính đối với phương
trình đạo hàm riêng hàm trung tính có dạng

∂
F ut + AF ut = Φ(t, ut ),
∂t
trong đó phần tuyến tính là một toán tử xác định dương, tự liên hợp,
có giải thức compact, toán tử sai phân F là một toán tử tuyến tính
bị chặn và số hạng phi tuyến Φ thỏa mãn điều kiện ϕ-Lipschitz.


21

4 Phương pháp nghiên cứu
• Các đánh giá về toán tử tuyến tính: Sử dụng lý thuyết nửa nhóm, lý thuyết

số mũ phân thứ của toán tử tuyến tính đóng (xác định) dương, lý thuyết
nhiễu của hệ động lực vô hạn chiều.
• Các đánh giá về số hạng phi tuyến: Sử dụng lý thuyết các không gian hàm
chấp nhận được.

• Nghiên cứu sự tồn tại của đa tạp quán tính: Sử dụng phương pháp LyapunovPerron.

• Nghiên cứu bài toán điều khiển phản hồi: Sử dụng giải tích hàm, phương
pháp điểm bất động, lý thuyết đa tạp quán tính và lý thuyết điều khiển
toán học.

5 Kết quả của luận án
Luận án đã đạt được kết quả chính sau đây:
• Chứng minh được sự tồn tại của đa tạp quán tính đối với phương trình
parabolic nửa tuyến tính có phần tuyến tính là toán tử quạt.

• Chứng minh được tính C 1 -chính quy của đa tạp quán tính đối với phương
trình parabolic nửa tuyến tính khi số hạng phi tuyến là thuộc lớp C 1 . Sau

đó, chúng tôi đã sử dụng lý thuyết đa tạp quán tính để xây dựng một luật
điều khiển phản hồi đối với một lớp các phương trình phản ứng-khuếch
tán một chiều với điều kiện biên Dirichlet, quan sát phân bố và điều khiển
phân bố.
• Chứng minh được sự tồn tại của đa tạp quán tính đối với phương trình
đạo hàm riêng hàm có trễ hữu hạn có phần tuyến tính là toán tử quạt.

• Chứng minh được sự tồn tại của đa tạp quán tính đối với phương trình đạo

hàm riêng hàm trung tính có phần tuyến tính là toán tử xác định dương,
tự liên hợp, có giải thức compact trong một không gian Hilbert tách được

vô hạn chiều.


22
Các kết quả của luận án là những đóng góp mới vào lý thuyết định tính, dáng
điệu tiệm cận và bài toán điều khiển của các hệ động lực vô hạn chiều thông
qua lý thuyết các đa tạp quán tính. Các kết quả nghiên cứu trong luận án được
viết thành 04 bài báo nghiên cứu, trong đó có 02 bài đã được xuất bản trên các
tạp chí quốc tế thuộc danh sách SCIE, 01 bài trong danh sách ESCI/Scopus và
01 bản thảo đã nộp (xem Danh mục các công trình khoa học liên quan đến luận
án). Một phần hoặc tất cả các kết quả này đã được báo cáo tại
• Seminar Phương trình vi phân và tích phân, Bộ môn Giải tích, Khoa Toán
– Tin, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội.

• Seminar Asymptotic Behavior of Solutions to Differential Equations and
Applications, Viện Toán ứng dụng và Tin học, Trường Đại học Bách Khoa
Hà Nội.
• Workshop on Evolution Equations and Applications, Vietnam Institute for
Advance Study in Mathematics, October 19-21, 2015.

• Hội thảo khoa học Toán học giải tích và ứng dụng, Trường Đại học Hồng
Đức, Thanh Hóa, 26-28/5/2016.

• Hội thảo khoa học Dáng điệu tiệm cận nghiệm của phương trình vi phân
và ứng dụng, Trường Đại học Hải Phòng, Hải Phòng, 04-06/11/2016.

• Hội nghị NCKH của nghiên cứu sinh, Khoa Toán – Tin, Trường Đại học
Sư phạm Hà Nội, Hà Nội, 01/2017.

• Hội thảo Tối ưu và Tính toán khoa học lần thứ 15, Ba Vì, 20-22/4/2017.

• CIMPA Research School on Functional Analysis and Partial Differential
Equations, Khovd University, Khovd city, Mongolia, July 17-28, 2017.

• Đại hội Toán học Việt Nam lần thứ 9, Nha Trang, 14-18/8/2018.

6 Cấu trúc của luận án
Ngoài các phần Mở đầu, Danh sách kí hiệu, Tài liệu tham khảo, Danh mục
các công trình khoa học liên quan đến luận án, Kết luận và Kiến nghị, Chỉ mục,


23
luận án được chia thành bốn chương như sau:
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị. Chương này trình bày các khái niệm và kết
quả cơ sở cho luận án. Nội dung của nó bao gồm các kiến thức về toán tử
tuyến tính, nửa nhóm và không gian hàm.
Chương 2. Đa tạp quán tính đối với một lớp phương trình parabolic và ứng
dụng. Chương này dành để chứng minh sự tồn tại và tính chính quy của
đa tạp quán tính đối với phương trình parabolic

du
dt

+ Au = f (t, u) với −A

là một toán tử quạt có kẽ hở phổ đủ lớn và số hạng phi tuyến thỏa mãn

điều kiện ϕ-Lipschitz. Sau đó lý thuyết đa tạp quán tính được ứng dụng
để nghiên cứu một bài toán điều khiển phản hồi hữu hạn chiều của một
lớp phương trình phản ứng-khuếch tán.
Chương 3. Đa tạp quán tính đối với một lớp phương trình đạo hàm riêng hàm

có trễ hữu hạn. Trong chương này, bài toán được giải quyết là chứng minh
sự tồn tại của đa tạp quán tính đối với phương trình đạo hàm riêng hàm
du
dt

+ Au = L(t)ut + g(t, ut ) trong đó −A là một toán tử quạt có kẽ hở phổ,

L(t) là toán tử tuyến tính bị chặn với mỗi thời điểm, và số hạng phi tuyến
thỏa mãn điều kiện ϕ-Lipschitz.

Chương 4. Đa tạp quán tính đối với một lớp phương trình đạo hàm riêng hàm
trung tính. Chương này sẽ chứng minh sự tồn tại của đa tạp quán tính
đối với phương trình

∂
∂t F ut

+ AF ut = Φ(t, ut ) trong đó toán tử đạo hàm

riêng tuyến tính A xác định dương, tự liên hợp trong không gian Hilbert
tách được vô hạn chiều, có giải thức compact và có khoảng cách giữa hai
điểm phổ kế tiếp nhau đủ lớn, toán tử sai phân F là tuyến tính bị chặn,
và toán tử trễ Φ thỏa mãn điều kiện ϕ-Lipschitz.


Chương 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trong chương này, chúng tôi sẽ trình bày một số kiến thức chuẩn bị cho luận
án. Đầu tiên là một số kết quả cơ bản về nửa nhóm toán tử cùng toán tử sinh

của chúng. Tiếp đến chúng tôi trình bày về các toán tử tuyến tính xác định
dương có phổ rời rạc và toán tử quạt, đặc biệt các kết quả về đánh giá nhị phân
đối với các nửa nhóm đó sinh bởi chúng sẽ được nhấn mạnh. Các kết quả về tính
hyperbolic của nửa nhóm, Định lí Ánh xạ phổ, Định lí Nhiễu bị chặn và dáng
điệu của phổ và giải thức dưới tác động của nhiễu nhỏ cũng được liệt kê. Phần
cuối chương là những kiến thức cơ bản về không gian hàm chấp nhận được.

1.1 Nửa nhóm toán tử
Trong mục này chúng tôi sẽ trình bày những khái niệm cơ sở nhất về nửa
nhóm các toán tử tuyến tính và toán tử sinh của chúng. Tài liệu tham khảo
chính của chúng tôi là Engel K.J. & Nagel R. [27] (xem thêm C.T. Anh & T.Đ.
Kế [1]).
Trên hết, ta sẽ trình bày định nghĩa của một nửa nhóm toán tử.
Định nghĩa 1.1. Giả sử X là một không gian Banach. Họ các toán tử tuyến tính
bị chặn T (t)

t 0

trên không gian X được gọi là một nửa nhóm liên tục mạnh

(hoặc C0 -nửa nhóm) nếu
(1) T (0) = I (với I là toán tử đồng nhất);
(2) T (t + s) = T (t)T (s) với mọi t, s

0;

(3) lim+ T (t)x = T (0)x với mọi x ∈ X.
t→0

Định nghĩa 1.2. Giả sử T (t)

t 0

là một nửa nhóm liên tục mạnh trên không
24


25
gian Banach X. Toán tử tuyến tính A : D(A) ⊆ X → X được xác định bởi
D(A) :=

x ∈ X : lim+
t→0

Ax := lim+
t→0

T (t)x − x
tồn tại trong X ,
t

T (t)x − x
,
t

x ∈ D(A)

được gọi là toán tử sinh của nửa nhóm T (t)

t 0

Nếu A là toán tử sinh của nửa nhóm T (t)

.

t 0

thì ta còn nói T (t)

t 0

nửa nhóm sinh bởi A. Một nửa nhóm như vậy, thay vì được ký hiệu là T (t)
người ta còn viết là etA

t 0

.

Định lí 1.3. Giả sử A là toán tử sinh của nửa nhóm etA

t 0

là

t 0

,

trên không gian

Banach X. Khi đó,
(1) A : D(A) ⊆ X → X là một toán tử tuyến tính;
(2) nếu x ∈ D(A) thì etA x ∈ D(A) và

d tA
e x = etA Ax = AetA x
dt

(3) với mọi t

0, x ∈ X ta có

(4) với mọi t

0 ta có
etA x − x =

Định lí 1.4. Giả sử etA

t 0

t sA
0 e xds


A


0;

∈ D(A);

t sA
0 e xds

nếu x ∈ X,

t sA
0 e Axds

nếu x ∈ D(A).

là một nửa nhóm liên tục mạnh trên một không

gian Banach X. Khi đó tồn tại các hằng số M
etA

với mọi t

M eωt

1 và ω ∈ R sao cho

với mọi t

0.

Định nghĩa 1.5. Giả sử A là một toán tử tuyến tính đóng trong một không gian
Banach X. Tập các giá trị chính quy của A, ký hiệu là ρ(A), là tất cả những số
phức λ sao cho λI − A là một song ánh. Khi đó

R(λ, A) := (λI − A)−1

với λ ∈ ρ(A)

được gọi là giải thức của A. Phần bù của tập hợp các giá trị chính quy trên mặt
phẳng phức, σ(A) := C \ ρ(A), được gọi là phổ của A.