Đa tạp quán tính đối với một lớp phương trình tiến hoá cấp 2

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
CUNG THỊ HƯỜNG
ĐA TẠP QUÁN TÍNH ĐỐI VỚI
MỘT LỚP PHƯƠNG TRÌNH
TIẾN HÓA CẤP HAI
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH
Người hướng dẫn khoa học: TS. Cung Thế Anh
Hà Nội -2011
1
LỜI CẢM ƠN
Luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2
dưới sự hướng dẫn của TS. Cung Thế Anh.
Tác giả xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới TS. Cung Thế Anh.
Sự tận tình song rất nghiêm túc của thầy trong suốt quá trình học tập
và làm luận văn đã giúp tác giả trưởng thành hơn rất nhiều về cách tiếp
cận một vấn đề mới. Cảm ơn các thầy cô giáo giảng dạy chuyên ngành
Toán Giải tích đã nhiệt tình cung cấp các tri thức khoa học giúp tác
giả nâng cao trình độ tư duy, hoàn thành tốt quá trình học tập và làm
luận văn. Tác giả cũng xin được cảm ơn tới Ban Giám hiệu và các đồng
nghiệp ở trường THPT Quang Minh đã quan tâm giúp đỡ và tạo mọi
điều kiện thuận lợi để tác giả yên tâm học tập trong suốt hai năm vừa
qua.
Cuối cùng, tác giả xin được cảm ơn tới gia đình, bạn bè đã giúp
đỡ, động viên kịp thời để tác giả hoàn thành bản luận văn này.
Hà Nội, tháng 10 năm 2011
Tác giả
2
LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan Luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi.

Trong khi nghiên cứu luận văn, tôi đã kế thừa thành quả khoa học
của các nhà khoa học và đồng nghiệp với sự trân trọng và biết ơn.
Hà Nội, tháng 10 năm 2011
Tác giả
3
Mục lục
Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
Chương 1. Sự tồn tại và duy nhất nghiệm của phương trình tiến
hóa cấp hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.Giới thiệu toán tử A và nửa nhóm e
tA
. . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.Phương trình tiến hóa cấp hai và định nghĩa nghiệm tích
phân của nó . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3.Sự tồn tại nghiệm của phương trình tiến hóa cấp hai
16
1.3.1. Sự tồn tại địa phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.3.2. Sự tồn tại toàn cục và tính duy nhất nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
Chương 2. Sự tồn tại và các tính chất của đa tạp quán tính 20
2.1.Định nghĩa đa tạp quán tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.2.Sự tồn tại và các tính chất của đa tạp quán tính . . . 28
2.3.Ví dụ áp dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.3.1. Ví dụ 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.3.2. Ví dụ 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
KẾT LUẬN. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4
MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Việc nghiên cứu dáng điệu tiệm cận của các hệ động lực vô hạn chiều

là một trong những bài toán cơ bản của vật lý toán hiện đại. Một trong
những cách tiếp cận bài toán này đối với các hệ động lực tán xạ vô
hạn chiều, sinh bởi các phương trình đạo hàm riêng phi tuyến hoặc các
phương trình vi phân hàm, là nghiên cứu sự tồn tại và các tính chất của
tập hút toàn cục. Đó là một tập compact, bất biến, hút mọi tập bị chặn
và chứa nhiều thông tin về dáng điệu tiệm cận của nghiệm của hệ động
lực đang xét.
Nếu một hệ động lực vô hạn chiều có một tập hút toàn cục với số
chiều hữu hạn thì có thể đưa việc nghiên cứu dáng điệu tiệm cận của hệ
động lực đang xét về việc khảo sát các tính chất của một hệ động lực
hữu hạn chiều. Tuy nhiên vì cấu trúc của tập hút toàn cục rất phức tạp,
nó không thể mô tả chi tiết được trong những trường hợp quan trọng
nhất, nên việc kiến thiết các hệ động lực hữu hạn chiều này không thể
tiến hành được. Ngoài ra, tập hút toàn cục thường không ổn định đối
với các nhiễu và tốc độ hút các nghiệm vào tập hút toàn cục thường rất
chậm.
Bởi các lí do trên, các nhà toán học đã đưa ra một khái niệm mới
là khái niệm đa tạp quán tính của các hệ động lực vô hạn chiều, ( xem
[4]). Đa tạp quán tính là một đa tạp bất biến hữu hạn chiều, nó chứa
tập hút toàn cục và hút các quỹ đạo nghiệm theo tốc độ mũ. Hơn nữa,
có thể chuyển việc nghiên cứu các hệ động lực vô hạn chiều ban đầu về
5
việc nghiên cứu một hệ phương trình vi phân thường trên đa tạp quán
tính. Hiện nay việc nghiên cứu sự tồn tại và các tính chất của đa tạp
quán tính của các hệ động lực vô hạn chiều là một chủ đề thời sự thu
hút được sự quan tâm của nhiều nhà toán học trong và ngoài nước, (
xem [1] - [10]).
Chính vì vậy, chúng tôi chọn đề tài của luận văn là: "Đa tạp quán
tính đối với một lớp phương trình tiến hóa cấp 2".
2. Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu sự tồn tại và dáng điệu tiệm cận của nghiệm của một lớp
phương trình tiến hóa cấp 2 (theo biến thời gian) có dạng:







d
2
u
dt
2
+ 2ε
du
dt
+ Au = B(u, t) , t > s, ε > 0
u|
t=s
= u
0
,
du
dt




t=s

= u
1
trong đó A là toán tử tự liên hợp dương với phổ rời rạc và B(·, ·) là một
ánh xạ từ D(A
θ
) ×R vào H, 0 ≤ θ ≤ 1/2, thỏa mãn các tính chất:
B(0, t) ≤ M
0
B(u
1
, t) − B(u
2
, t) ≤ M
1
A
θ
(u
1
− u
2
)
với mọi u
1
, u
2
thuộc miền xác định F
θ
= D(A
θ
) của toán tử A

θ
, ·  là
chuẩn của không gian H.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
• Nghiên cứu sự tồn tại và duy nhất nghiệm tích phân toàn cục.
• Nghiên cứu sự tồn tại và các tính chất của đa tạp quán tính.
• Xây dựng một số ví dụ minh họa kết quả của luận văn.
6
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
• Đối tượng nghiên cứu: Phương trình tiến hóa cấp 2, sinh bởi các
phương trình hyperbolic phi tuyến.
• Phạm vi nghiên cứu: Sự tồn tại và các tính chất của đa tạp quán
tính.
5. Phương pháp nghiên cứu
• Sử dụng phương pháp nửa nhóm để chứng minh sự tồn tại duy nhất
nghiệm tích phân.
• Sử dụng phương pháp Lyapunov - Perron để chứng minh sự tồn tại
của đa tạp quán tính.
6. Những đóng góp của đề tài
• Chứng minh được sự tồn tại và duy nhất nghiệm tích phân toàn
cục.
• Nghiên cứu được sự tồn tại và các tính chất của đa tạp quán tính.
• Xây dựng được một số ví dụ minh họa kết quả của luận văn.
7
Chương 1
Sự tồn tại và duy nhất nghiệm của
phương trình tiến hóa cấp hai
Trong chương này chúng tôi sẽ phát biểu bài toán và chứng minh các
định lý về sự tồn tại và duy nhất nghiệm của phương trình tiến hóa cấp
hai trong một không gian Hilbert tách được H.

Trước tiên ta xem xét một số kiến thức bổ trợ đóng vai trò quan trọng
trong các phần tiếp sau đó.
1.1. Giới thiệu toán tử A và nửa nhóm e
tA
Định nghĩa 1.1.1. Giả sử H là không gian Hilbert khả ly với tích vô
hướng (·, ·) và chuẩn  · . Cho A là toán tử tuyến tính dương tự liên
hợp với miền xác định D(A). Khi đó toán tử A được gọi là có phổ rời
rạc nếu trong không gian H tồn tại một cơ sở trực chuẩn gồm các vectơ
riêng {e
k
}
(e
k
, e
j
) = δ
kj
, Ae
k
= λ
k
e
k
, k, j = 1, 2, , (1.1.1)
8
sao cho
0 < λ
1
≤ λ
2

≤ . . . , lim
k→∞
λ
k
= ∞. (1.1.2)
Cấu trúc được nói đến ở trên của toán tử A giúp ta định nghĩa toán
tử f(A) cho một lớp rộng các hàm f(λ) xác định trên nửa trục dương
như sau:
D(f(A)) =

h =
∞

k=1
c
k
e
k
∈ H :
∞

k=1
c
2
k
[f(λ
k
)]
2
< ∞


,
f(A)h =
∞

k=1
c
k
f(λ
k
)e
k
, h ∈ D(f(A)). (1.1.3)
Đặc biệt, ta có thể định nghĩa toán tử A
α
với α ∈ R như sau
D(A
α
) =

h =
∞

k=1
c
k
e
k
∈ H :
∞


k=1
c
2
k
[λ
α
k
]
2
< ∞

,
A
α
h =
∞

k=1
c
k
λ
α
k
e
k
, h ∈ D(A
α
).
Với α = −β < 0 thì các toán tử này bị chặn. Tuy nhiên, trong trường

hợp này, việc giới thiệu các ”miền tuyến tính” D(A
α
) cũng thuận tiện
nếu ta xem D(A
−β
) như một sự bổ sung của không gian H với việc thừa
nhận chuẩn A
−β
.
Ta có một số tính chất sau của toán tử A
α
:
i. Với bất kỳ β ∈ R toán tử A
β
là một toán tử bị chặn từ D(A
α
)
vào D(A
α−β
) sao cho
A
β
D(A
α
) = D(A
α−β
), A
β
1
+β

2
= A
β
1
.A
β
2
. (1.1.4)
ii. Không gian F
α
≡ D(A
α
) là một không gian Hilbert khả ly với
tích vô hướng (u, v)
α
= (A
α
u, A
α
v) và chuẩn |u
α
= A
α
u.
9
Định nghĩa 1.1.2. Tập hợp các không gian Hilbert thỏa mãn các tính
chất:
1. F
α
trù mật trong F

β
với mọi α > β;
2. Với σ > 0 và f ∈ F
σ
thì hàm tuyến tính F (g) ≡ (f, g) có thể
thác triển liên tục được từ không gian H lên F
−σ
, và |(f, g)| ≤
f
σ
.g
−σ
, với bất kỳ f ∈ F
σ
và g ∈ F
−σ
;
3. Bất kỳ hàm tuyến tính liên tục F trên F
σ
đều có dạng: F (f) =
(f, g), với g ∈ F
−σ
. Như vậy, F
−σ
là không gian các hàm tuyến tính
liên tục trên F
σ
,
thường được gọi là thang của các không gian Hilbert, ký hiệu là {F
σ

}
Trong thang {F
σ
} ta xác định toán tử e
−tA
, t ≥ 0 dựa vào các biểu
thức (1.1.3) như sau:
e
−tA
h =
∞

k=1
c
k
e
−tλ
k
e
k
, h =
∞

k=1
c
k
e
k
∈ {F
σ

}.
Các tính chất sau đây của toán tử e
−tA
đóng vai trò quan trọng trong
các vấn đề xét đến về sau:
◦ Với bất kỳ α ∈ R và t > 0, toán tử tuyến tính e
−tA
ánh xạ
F
α
vào

σ≥0
F
σ
có tính chất: e
−tA
u
α
≤ e
−tλ
1
u
α
.
◦ (Tính chất nửa nhóm) e
−t
1
A
.e

−t
2
A
= e
−(t
1
+t
2
)A
, t
1
, t
2
≥ 0.
◦ Với mọi u ∈ F
σ
và σ ∈ R thì
lim
t→τ
e
−tA
u −e
−τA
u = 0. (1.1.5)
10
Bổ đề 1.1.1. Cho Q
N
là phép chiếu trực giao lên bao đóng của bao tuyến
tính của các phần tử {e
k

, k ≥ N + 1} trong H và cho P
N
= I−Q
N
, N =
0, 1, 2, . . Khi đó:
1) với mọi h ∈ H, β ≥ 0 và t ∈ R bất đẳng thức sau thỏa
mãn:
A
β
P
N
e
−tA
h ≤ λ
β
N
e
λ
N
|t|
h; (1.1.6)
2) với mọi h ∈ D(A
β
), t > 0 và α ≥ β ước lượng sau thỏa
mãn:
A
α
Q
N

e
−tA
h ≤

α − β
t

α−β
+ λ
α−β
N+1

e
−tλ
N+1
A
β
h,
(1.1.7)
trong trường hợp α − β = 0 ta giả sử rằng 0
0
= 0 trong
(1.1.7).
Đặc biệt, ta chú ý rằng, từ (1.1.7) ta có
A
α
e
−tA
h ≤


α − β
t

α−β
+ λ
α−β
1

.e
−tλ
1
A
β
h, α ≥ β. (1.1.8)
Từ đó, ta suy ra được
e
−tA
u −e
−sA
u
θ
≤ C
θ,σ
|t −s|
σ−θ
u
σ
; t, s > 0, (1.1.9)
với θ < σ ≤ 1 + θ và C
θ,σ

là hằng số không phụ thuộc t và s. Hơn nữa,
A
α
e
−tA
 ≤

α
t

α
e
−α
, t > 0, α > 0. (1.1.10)
11
1.2. Phương trình tiến hóa cấp hai và định nghĩa
nghiệm tích phân của nó
Trong không gian Hilbert tách được H ta xét bài toán dạng:







d
2
u
dt
2

+ 2ε
du
dt
+ Au = B(u, t) , t > s, ε > 0
u|
t=s
= u
0
,
du
dt




t=s
= u
1
(1.2.11)
trong đó A là toán tử tự liên hợp dương với phổ rời rạc và B(·, ·) là một
ánh xạ từ D(A
θ
) ×R vào H, 0 ≤ θ ≤ 1/2, có tính chất:
B(0, t) ≤ M
0
B(u
1
, t) − B(u
2
, t) ≤ M

1
A
θ
(u
1
− u
2
)
(1.2.12)
với mọi u
1
và u
2
từ miền xác định F
θ
= D(A
θ
) của toán tử A
θ
,  ·  là
chuẩn của không gian H.
Đặt H = D(A
1/2
) × H thì H là không gian Hilbert tách với tích vô
hướng
(U, V ) = (Au
0
, v
0
) + (u

1
, v
1
) (1.2.13)
ở đó U = (u
0
; u
1
) và V = (v
0
; v
1
) là các phần tử của H. Trong không
gian H bài toán (1.2.11) có thể viết lại như một phương trình cấp một:
d
dt
U(t) + AU(t) = B(U(t), t), t > s; U


t=s
= U
0
. (1.2.14)
Ở đây
U(t) =

u(t);
∂u(t)
∂t


, U
0
= (u
0
; u
1
) ∈ H.
12
Toán tử tuyến tính A và ánh xạ B(U, t) được định nghĩa bởi các đẳng
thức:
AU = (−u
1
; Au
0
+ 2εu
1
), D(A) = D(A) ×D(A
1/2
), (1.2.15)
B(U, t) = (0; B(u
0
, t)), U
0
= (u
0
; u
1
). (1.2.16)
Dễ dàng kiểm tra được các giá trị riêng và vectơ riêng của toán tử A có
công thức

λ
±
n
= ε ±

ε
2
− µ
n
(1.2.17)
f
±
n
= (e
n
; −λ
±
n
e
n
), (1.2.18)
trong đó µ
n
và e
n
là các giá trị riêng và vectơ riêng của toán tử A.
Ta chứng minh tính giải được của bài toán (1.2.11).
Xét bài toán tuyến tính








d
2
u
dt
2
+ 2ε
du
dt
+ Au = h(t) , t > s
u|
t=s
= u
0
,
du
dt




t=s
= u
1
(1.2.19)
Phương trình này có thể viết lại dưới dạng

d
dt
U(t) + AU(t) = H(t), U


t=s
= U
0
, (1.2.20)
ở đó U(t) =

u(t); ˙u(t)

và H(t) =

0; h(t)

.
Định nghĩa 1.2.1. Một hàm u(t) được gọi là một nghiệm tích phân
(trong F
θ
) của bài toán (1.2.19) (hay (1.2.20)) trên đoạn khoảng [s, s+T ]
nếu nó thuộc lớp
L
s,T
≡ C(s, s + T; F
1/2
) ∩C
1
(s, s + T ; H) ∩ C

2
(s, s + T ; F
−1/2
)
và thỏa mãn phương trình (1.2.19).
13
Có thể chứng minh sự tồn tại và duy nhất nghiệm tích phân của bài
toán (1.2.19) bằng phương pháp Galerkin. Trước tiên ta có nghiệm xấp
xỉ Galerkin cấp m là hàm
u
m
(t) =
m

k=1
g
k
(t)e
k
thỏa mãn phương trình





(¨u(t), e
j
) + 2ε( ˙u
m
(t), e

j
) + (Au
m
(t), e
j
) = (h(t), e
j
), t > s,
(u
m
(s), e
j
) = (u
0
, e
j
) , ( ˙u
m
(s), e
j
) = (u
1
, e
j
)
(1.2.21)
với j = 1, 2, , m.; g
j
(t) ∈ C
1

(s, s + T ) và ˙g
j
(t) là liên tục tuyệt đối;
˙v(t) = dv/dt. Khi đó (1.2.21)viết lại dưới dạng





¨u
m
(t) + 2ε ˙u
m
(t) + Au
m
(t) = p
m
h(t),
u
m


t=s
= p
m
u
0
, ˙u
m



t=s
= p
m
u
1
,
(1.2.22)
ở đó p
m
là phép chiếu vuông góc lên Lin{e
1
, e
m
} trên H.
Dưới đây ta giả sử rằng
h(t) ∈ L
∞
(R, H), u
0
∈ D(A
1/2
), u
1
∈ H. (1.2.23)
Khi đó (1.2.21) có thể viết thành:






¨g
j
(t) + 2ε ˙g
j
(t) + g
j
(t)λ
j
= (h(t), e
j
), t > s
g
j
(s) = (u
0
, e
j
); ˙g
j
(s) = (u
1
, e
j
); j = 1, 2 m.
Đây là hệ phương trình vi phân thường với các hàm g
j
(t) do đó (1.2.21)
có duy nhất nghiệm u
m

(t) trên mỗi đoạn [s, s + T ] và u
m
(t) ∈ L
s,T
.
14
Bây giờ, giả sử {u
m
(t)} là dãy nghiệm xấp xỉ của (1.2.22). Nhân vô
hướng (1.2.22) với ˙u
m
(t) ta có

d
dt
˙u
m
(t), ˙u
m
(t)

+2ε( ˙u
m
(t), ˙u
m
(t)) + (Au
m
(t), ˙u
m
(t)) = (P

m
h(t), ˙u
m
(t)),
suy ra
1
2
d
dt
˙u
m
(t)
2
+ 2ε˙u
m
(t)
2
+
1
2
d
dt
A
1/2
u
m
(t)
2
= (P
m

h(t), ˙u
m
(t)).
Lấy tích phân từ s đến t cả hai vế ta có:
1
2

˙u
m
(t)
2
+ A
1/2
u
m
(t)
2

+ 2ε
t

s
˙u
m
(τ)dτ
=
1
2

P

m
u
1

2
+ A
1/2
P
m
u
0

2

+
t

s
(h(τ), ˙u
m
(τ)dτ
≤
1
2

u
1

2
+ A

1/2
u
0

2

+
1
8ε
t

s
|h(τ)|
2
dτ + 2ε
t

s
˙u
m
(τ)
2
dτ.
Do đó
˙u
m
(t)
2
+ A
1/2

u
m
(t)
2
≤ u
1

2
+ A
1/2
u
0

2
+
1
4ε
h(t). (1.2.24)
Mặt khác, từ phương trình ta có
¨u
m
(t) = −2ε ˙u
m
(t) −Au
m
(t) + P
m
h(t),
từ đó suy ra
A

−1/2
¨u
m
(t) = −2εA
−1/2
˙u
m
(t) + A
1/2
u
m
(t) + P
m
A
1/2
h(t).
Do D(A
1/2
⊂ H ⊂ D(A
−1/2
)) và h(t) ∈ L
∞
(R, H) nên
A
−1/2
¨u
m
(t) ≤ 2εC˙u
m
(t) + A

1/2
u
m
(t) + h(t).
15
Do đó và do (1.2.24) ta có
A
−1/2
¨u
m
(t)
2
+ ˙u
m
(t)
2
+ A
1/2
u
m
(t) ≤ C(T, u
0
, u
1
). (1.2.25)
Qua giới hạn m → ∞ trong phương trình (1.2.22) ta được ¨u(t)+2ε ˙u(t)+
Au(t) = h(t) trong D(A
−1/2
) với hầu khắp t ∈ (s, s + T ).
Bây giờ ta chứng minh nghiệm u(t) là duy nhất. Thật vậy, giả sử (1.2.19)

còn có nghiệm v(t). Đặt w = u −v thì w
m
= u
m
−v
m

. Lặp lại các bước
biến đổi tương tự như trên ta có ước lượng:
A
−1/2
(¨u
m
(t) − ¨v
m

(t))
2
+
+ ˙u
m
(t) − ˙v
m

(t) + A
1/2
(u
m
− v
m


)
2
≤
≤ C
T
(p
m
− p
m

)u
1

2
+
+ A
1/2
(p
m
− p
m

)u
0

2
+ ess sup
τ∈[s,s+T]
(p

m
− p
m

)h(τ)
2
với mọi t ∈ [s, s + T ] và T > 0 là số tùy ý. Qua giới hạn m, m

→ ∞
được w = 0.
Vậy dưới điều kiện (1.2.23) bài toán (1.2.19) có duy nhất nghiệm tích
phân trên mọi đoạn [s, s + T ]. Đặc biệt khi h(t) ≡ 0 bài toán (1.2.19)
sinh ra một nửa nhóm tiến hóa e
−tA
trong không gian H bởi công thức
e
−tA
(u
0
; u
1
) =

u(t); ˙u(t)

, (1.2.26)
ở đó u(t) là một nghiệm tích phân của bài toán (1.2.19) với h(t) ≡ 0.
Lấy tích phân từ s đến t của (1.2.19) ta chứng minh được rằng nghiệm
tích phân của (1.2.19) có thể biểu diễn dưới dạng
( ˙u(t); u(t)) = e

−(t−s)A
(u
0
; u
1
) +
t

s
e
−(t−s)A
(0; h(τ))dτ. (1.2.27)
16
Bây giờ ta xét bài toán phi tuyến (1.2.11)và định nghĩa nghiệm tích
phân của nó.
Định nghĩa 1.2.2. Nghiệm tích phân của bài toán (1.2.11) là hàm
U(t) ≡ (u(t); ˙u(t)) ∈ C([s, s + T ]; H) thỏa mãn phương trình tích phân
U(t) = e
−(t−s)A
U
0
+
t

s
e
−(t−s)A
B(U(τ), τ)dτ (1.2.28)
(1.2.29)
trên [s, s + T]. Ở đó B(U(t), t) =


0; B(u(t), t)

và U
0
= (u
0
; u
1
); H =
D(A
1/2
) ×H.
1.3. Sự tồn tại nghiệm của phương trình tiến hóa
cấp hai
Theo (1.2.14) phương trình tiến hóa cấp hai có thể viết lại dưới dạng
phương trình cấp một; trong đó ánh xạ B thỏa mãn các tính chất:
B(U, t)
H
≤ M(1 + U
H
) (1.3.30)
B(U
1
, t) − B(U
2
, t)
H
≤ MU
1

− U
2

H
. (1.3.31)
Do đó ta chứng minh sự tồn tại và duy nhất nghiệm tích phân của bài
toán (1.2.14).
1.3.1. Sự tồn tại địa phương
Phương pháp điểm bất động giúp ta chứng minh khẳng định sau về
sự tồn tại địa phương của nghiệm tích phân của bài toán(1.2.14).
17
Định lý 1.3.1. Cho U
0
∈ H. Khi đó tồn tại T
∗
phụ thuộc vào U
0

sao cho bài toán (1.2.14) có duy nhất nghiệm tích phân trên nửa khoảng
[s, s + T
∗
). Hơn nữa, hoặc T
∗
= ∞ hoặc nghiệm không thể liên tục trên
H cho đến thời điểm t = s + T
∗
.
Chứng minh. Trên không gian C
s
≡ C(s, s + T; H) ta xác định ánh xạ:

G[U](t) = e
−(t−s)A
× U
0
+
t

s
e
−(t−τ)A
B(U(τ), τ)dτ.
Ta sẽ chứng minh rằng G[U](t) ∈ C(s, s + T, H) với mỗi T > 0. Giả sử
rằng t
1
, t
2
∈ [s, s + T ] và t
1
< t
2
. Khi đó ta có:
G[U](t
2
) = e
−(t
2
−t
1
)A
G[U](t

1
) +
t
2

t
1
e
−(t
2
−τ)A
B(U(τ), τ)dτ. (1.3.32)
Do (1.1.5) ta có: nếu t
2
→ t
1
thì G[U](t
1
) −e
−(t
2
−t
1
)A
G[U](t
1
) → 0.
Điều này đủ để ta ước lượng số hạng thứ hai trong (1.3.32). Bất đẳng
thức (1.1.7) chỉ ra rằng :




t
2

t
1
e
−(t
2
−τ)A
B(U(τ), τ)dτ



≤
t
2

t
1
dτ max
τ∈[s,s+T]
B(U(τ), τ)
≤ |t
2
− t
1
| max
τ∈[s,s+T]

B(U(τ), τ). (1.3.33)
Do đó G ánh xạ C
s
= C(s, s+T, H) vào chính nó. Cho V
0
(t) = e
−(t−s)A
U
0
.
Trong C
s
ta xem xét hình cầu dạng:
U = {U(t) ∈ C
s
: |U − V
0
| ≡ max
τ∈[s,s+T]
U(t) − V
0
(t) ≤ 1}.
Ta chỉ ra rằng với T đủ nhỏ, toán tử G ánh xạ U vào chính nó và là ánh
xạ co. Từ U ≤ U − U
0
 + U
0
 suy ra |U|
C
s

≤ 1 + U
0
, với U ∈ U.
18
Từ (1.3.31) cho ta:
max B(U(τ), τ) ≤ max
τ∈[s,s+T]
B(U
0
, τ)+M+M(1+U
0
) ≡ C(T
0
, U
0
)
với mọi T ≤ T
0
, ở đây T
0
là số cố định. Do đó, theo (1.3.33) ta thấy
rằng:


G[U] − V
0


C
s

≤ T C(T
0
, U
0
).
Tương tự ta có:


G[U]−G[V ]


C
s
≤ T C
1
(T
0
, U
0
)|U −V |
C
s
, với U, V ∈ U.
Cho nên nếu ta chọn T
1
sao cho :
T
1
C(T
0

, U
0
) ≤ 1 và T
1
C
1
(T
0
, U
0
) < 1,
ta có được G là ánh xạ co từ U vào chính nó. Do đó, G có duy nhất
một điểm bất động trong U ⊂ C
s
. Vì vậy ta xây dựng được một nghiệm
trên đoạn [s, s + T
1
]. Lấy s + T
1
như thời điểm ban đầu, ta có thể xây
dựng một nghiệm trên đoạn [s + T
1
, s + T
1
+ T
2
] với điều kiện ban đầu
U
0
= U(s+T

1
). Nếu ta tiếp tục lập luận này, thì ta có thể xây dựng một
nghiệm trên nửa khoảng cực đại [s, s + T
∗
]. Hơn nữa, có thể có T
∗
= ∞.
Định lý được chứng minh.
1.3.2. Sự tồn tại toàn cục và tính duy nhất nghiệm
Định lý 1.3.2. Theo (1.3.31), ánh xạ B(u, t) thỏa mãn điều kiện Lip-
schitz toàn cục. Khi đó bài toán (1.2.14) có duy nhất nghiệm tích phân
trên mọi đoạn [s, s + T ] với U
0
∈ H.
Chứng minh. Cho U(t) là một nghiệm của bài toán (1.2.14) trên nửa
khoảng cực đại [s, s + T ). Giả sử T < ∞, điều kiện (1.3.30) cho ta:
B(u, t) ≤ M(1 + u)
19
với mọi U ∈ H và t ∈ [0, T]. Do đó, từ (1.2.28) và (1.1.8) ta thấy:
U(t) ≤ U
0
 +
t

s
M(1 + U(τ))dτ
= U
0
 + M(t − s) + M
t


s
U(τ )dτ.
Vì thế, với t ∈ [s, s + T ] ta có:
U(t) ≤ C

U
0
, T,

+ M
t

s
U(τ )dτ.
Từ đó, chứng tỏ rằng giá trị U(t) bị chặn trên [s, s + T]. Do vậy,
nghiệm tồn tại trên bất kỳ khoảng [s, s + T ].
Để chứng minh nghiệm U(t) là duy nhất ta xét hàm W(t) = U
1
(t)−U
2
(t),
với U
1
(t), U
2
(t) là các nghiệm của bài toán (1.2.14). Lặp lại các bước
chứng minh như ở trên với hàm W (t) ta được:
W (t) ≤ W (s) +
t


s
MW (τ)dτ.
Áp dụng bổ đề Gronwall, ta thấy: W (t) ≤ e
M(t−s)
W (s) ≤ C(M, T )W (s),
với mọi t. Do đó, phương trình có duy nhất nghiệm trên mọi đoạn
[s, s + T ]
20
Chương 2
Sự tồn tại và các tính chất của đa
tạp quán tính
2.1. Định nghĩa đa tạp quán tính
Theo các chứng minh ở chương 2, trong không gian H tồn tại một họ
các toán tử tiến hóa liên tục S(t, s) có tính chất
S(t, t) = I, S(t, τ) ◦ S(τ, s) = S(t, s),
và
S(t, s)U
0
=

u(t); ˙u(t)

,
ở đó u(t) là nghiệm tích phân của bài toán (1.2.11) với điều kiện ban
đầu U
0
= (u
0
; u

1
).
Xét điều kiện ε
2
> µ
N+1
với mọi số nguyên N. Ta xét sự phân tích
H thành tổng trực giao
H = H
1
⊕ H
2
,
21
ở đó
H
1
= Lin{(e
k
; 0), (0; e
k
) : k = 1, 2, N}
và H
2
là bao đóng của tập
Lin{(e
k
; 0), (0; e
k
) : k ≤ N + 1}.

Xét các tích vô hướng trong không gian H
1
và H
2
U, V 
1
= ε
2
(u
0
, v
0
) −(Au
0
, v
0
) + (εu
0
+ u
1
, εv
0
+ v
1
) ,
U, V 
2
= (Au
0
, v

0
) + (ε
2
− 2µ
N+1
)(u
0
, v
0
) + (εu
0
+ u
1
, εv
0
+ v
1
),
(2.1.1)
ở đó U = (u
0
; u
1
) và V = (v
0
; v
1
) là các phần tử tương ứng trong không
gian H
i

. Sử dụng (2.3.46) ta định nghĩa một tích vô hướng mới và một
chuẩn trong H bằng đẳng thức:
U, V  = U
1
, V
1

1
+ U
2
, V
2

2
, |U| = U, U
1/2
, (2.1.2)
ở đó U = U
1
+U
2
và V = V
1
+V
2
là sự phân tích các phần tử U, V thành
các số hạng trực giao U
i
, V
i

∈ H
i
, i = 1, 2.
Bổ đề 2.1.1. Ước lượng
|U|
1
≥
1
µ
θ
N

ε
2
− µ
N
A
θ
u
0
, U = (u
0
; u
1
) ∈ H
1
(2.1.3)
|U|
2
≥

1
µ
θ
N+1
δ
N,ε
A
θ
u
0
, U = (u
0
; u
1
) ∈ H
2
, (2.1.4)
với 0 ≤ θ ≤ 1/2. Trong đó
δ
N,ε
=
√
µ
N+1
min

1,

ε
2

− µ
N+1
µ
N+1

. (2.1.5)
22
Chứng minh. Lấy U = (u
0
; u
1
) ∈ H
1
. Hiển nhiên trong trường hợp này
A
θ
u
0
 ≤ µ
β
N
u
0
 với mọi β > 0. Do đó,
|U|
2
1
≥ ε
2
u

0

2
− A
1/2
u
0

2
≥ µ
−2θ
N
(ε
2
− µ
N
)A
θ
u
0

2
,
nghĩa là bất đẳng thức (2.3.48) được thỏa mãn. Lấy U ∈ H
2
. Sử dụng
bất đẳng thức
A
β
u

0
 ≤ µ
β
N+1
u
0
, β > 0, u
0
∈ Lin{e
k
: k ≤ N + 1}. (2.1.6)
Với 0 < δ ≤ 1 ta chỉ ra rằng
|U|
2
2
≤ δ
2
A
1/2
u
0

2
+ (ε
2
− (1 + δ
2
)µ
N+1
)u

0

2
. (2.1.7)
Nếu lấy δ = δ
N,ε
µ
−1/2
N+1
và sử dụng (2.1.6), ta được (2.1.4). Bổ đề được
chứng minh.
Đặc biệt bổ đề này cho ta ước lượng
A
θ
u
0
 ≤ µ
θ
N+1
δ
−1
N,ε
|U|, (2.1.8)
với mọi U = (u
0
; u
1
) ∈ H, 0 ≤ θ ≤ 1/2 và δ
N,ε
như công thức (2.1.5).

Lấy P
H
i
là phép chiếu vuông góc lên không gian con H
i
của H, i = 1, 2.
Ta có các bổ đề sau:
Bổ đề 2.1.2. Đẳng thức


e
−At
P H
2


= e
−λ
−
N+1
t
, t ≥ 0 (2.1.9)
là có nghĩa. Ở đây |·| là toán tử chuẩn cảm sinh bởi chuẩn véc tơ tương
ứng.
23
Chứng minh. Lấy U ∈ H
2
. Ta xét hàm ψ(t) = |e
−At
U|

2
. Vì H
2
là bất
biến với e
−At
nên phương trình
ψ(t) = (Au(t), u(t)) + (ε
2
− 2µ
N+1
)(u(t), u(t)) + ˙u + εu
2
(2.1.10)
được thỏa mãn, ở đó u(t) là nghiệm của bài toán (1.2.19) với h(t) ≡ 0.
Sau các biến đổi đơn giản ta có
dψ
dt
+ 2εψ = 4(ε
2
− µ
N+1
)( ˙u + εu, u)
Hiển nhiên rằng
2

ε
2
− µ
N+1

( ˙u + εu, u) ≤ (ε
2
− µ
N+1
)u
2
+ ˙u + εu ≤ ψ(t).
Do đó
dψ
dt
+ 2εψ ≤ 2

ε
2
− µ
N+1
ψ.
Do vậy
ψ(t) ≤ e
−λ
−
N+1
t
ψ(0), t > 0. (2.1.11)
Nếu chú ý rằng exp{−At}f
−
N+1
= e
−λ
−

N+1
t
f
−
N+1
thì (2.1.11) thỏa mãn
(2.1.9). Bổ đề được chứng minh.
Chúng ta xét các không gian con
H
±
1
= Lin{f
±
k
: k ≤ N}.
Dễ thấy các không gian con này trực giao với nhau và do đó H
1
=
H
+
1
⊕ H
−
1
. Dễ dàng chứng minh được rằng


e
At
P

H
−
1


≤ e
λ
−
N
|t|
, t ∈ R


e
−At
P
H
+
1


≤ e
−λ
+
N
|t|
, t > 0. (2.1.12)
24
Chúng ta sử dụng cặp phép chiếu vuông góc lên không gian H (với tích
vô hướng ·, ·)

P = P
H
−
1
, Q = I −P = P
H
+
1
+ P
H
2
để xây dựng đa tạp quán tính của bài toán (1.2.11). Bổ đề (2.1.2) và
cácbất đẳng thức (2.1.12) kéo theo các bất phương trình phân đôi


e
At
P


≤ e
λ
−
N
|t|
, t ∈ R (2.1.13)


e
−At

Q


≤ e
−λ
−
N+1
|t|
, t > 0. (2.1.14)
Chúng ta nhắc lại rằng λ
−
N
= ε −

ε
2
− µ
k
và ε
2
> µ
N+1
.
Những khẳng định dưới đây đóng vai trò quan trọng trong những ước
lượng sau đó.
Bổ đề 2.1.3. Lấy B(U, t) = (0; B(u
0
, t)), ở đó U = (u
0
; u

1
) ∈ H và
B(u
0
) có tính chất (1.2.12). Khi đó
|B(U, t)| ≤ M
0
+ K
N
|U| (2.1.15)
|B(U
1
, t) − B(U
2
, t)| ≤ K
N
|U
1
− U
2
|, U
1
, U
2
∈ H, (2.1.16)
ở đó
K
N
= M
1

µ
θ−1/2
N+1
max

1,

µ
N+1
ε
2
− µ
N+1

. (2.1.17)