CHỨNG MINH 3 ĐIỂM THẲNG HÀNG BẰNG PHƯƠNG PHÁP VECTƠ

SKKN: Chứng minh 3 điểm thẳng hàng bằng phương pháp vectơ

BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN
1. Lời giới thiệu
Toán học là môn học rèn luyện khả năng tư duy, logic trong giải quyết vấn đề. Đặc biệt là
môn hình học đòi hỏi học sinh phải tư duy, liên kết các giải thiết và phát hiện các tính chất
đặc biệt mà đề bài còn ẩn từ đó đưa ra hướng giải quyết bài toán.
Vectơ là chương đầu tiên của hình học lớp 10, vectơ có nhiều ứng dụng thực tế như là
tính công trong vật lý. Ngoài ra vectơ còn là công cụ hữu hiệu để giải các bài toán khó
như giải phương trình, giải bất phương trình chứng minh bất đẳng thức. Một trong những
ứng dụng của vectơ trong hình học là chứng minh 3 điểm thẳng hàng. Nói đến hình học
đa số học sinh đều sợ vì hình học đòi hỏi học sinh phải tuy duy nhiều và mỗi bài lại có
những điểm khác nhau mà học sinh gặp khó khăn trong việc quy lạ về quen. Có những bài
hình học đòi hỏi học sinh phải vẽ hình phụ khiến học sinh gặp khá nhiều khó khăn.
Chứng minh 3 điểm thẳng hàng là dạng toán hay gặp trong các đề thi học sinh giỏi và có
thể phát triển thành các bài trắc nghiệm sử dụng trong các đề thi khảo sát chất lượng lớp
10 .
Sáng kiến kinh nghiệm: “ Chứng minh 3 điểm thẳng hàng bằng phương pháp vectơ” tôi
chia bài tập theo các mức độ nhận thức của học sinh giúp học sinh làm những bài toán
chứng minh 3 điểm thẳng hàng một cách dễ dàng. Học sinh sẽ không con thấy lo sợ khi
gặp các bài toán hình học.
Sáng kiến kinh nghiệm tôi viết do nhiều yếu tố khách quan nên vẫn còn nhiều tồn tại. Rất
mong nhận được sự đóng góp của đồng nghiệp và học sinh để sáng kiến của tôi hoàn
thiện hơn.
2. Tên sáng kiến: Chứng minh 3 điểm thẳng hàng bằng phương pháp vectơ.
3. Tác giả sáng kiến
- Họ và tên:
4. Chủ đầu tư ra sáng kiến
1

SKKN: Chứng minh 3 điểm thẳng hàng bằng phương pháp vectơ

5. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến
- Sáng kiến kinh nghiệm áp dụng trong lĩnh vực hình học phẳng.
- Sáng kiến kinh nghiệm giúp giải quyết được các bài tập chứng minh 3 điểm thẳng hàng
trong hình học phẳng,
- Các bài toán trong vật lý
6. Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu hoặc áp dụng thử
- Ngày 15 tháng 11 năm 2018
7. Mô tả bản chất của sáng kiến
- Nội dung của sáng kiến được chia làm 3 phần
Phần 1: Những bài tập về phân tích một vectơ qua 2 vectơ không cùng phương.
Phần 2: Những bài tập về chứng minh 3 điểm thẳng hàng được chia theo 4 mức độ nhận
thức và phát triển một số bài tự luận sang trắc nghiệm.
Phần 3: Một số bài toán chứng minh 3 điểm thẳng hàng bằng phương pháp vectơ trong
một số đề thi học sinh giỏi.
- Về khả năng áp dụng của sáng kiến
Sáng kiến kinh nghiệm: “ Chứng minh 3 điểm thẳng hàng bằng phương pháp vectơ” có
khẳ năng áp dụng cho học sinh khá, giỏi.

2


SKKN: Chứng minh 3 điểm thẳng hàng bằng phương pháp vectơ

NỘI DUNG CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM: “ CHỨNG MINH 3 ĐIỂM
THẲNG HÀNG BẰNG PHƯƠNG PHÁP VECTƠ”
Để chứng minh 3 điểm thẳng hàng bằng phương pháp vectơ thì điều qua trọng các em
học sinh phải biết phân tích 1 vectơ qua 2 vectơ không cùng phương. Vì vậy phần đầu
tiên tôi đưa ra bài tập về phân tích một vectơ qua hai vectơ không cùng phương.

Phần 1: Phân tích 1 vectơ qua 2 vectơ không cùng phương
Cơ sở lí luận: Cho 2 vectơ không cùng phương
phân tích duy nhất qua hai vectơ
r
r r
x = ma + nb

r
a

và

r
b

r
a

và

r
b

. Khi đó mọi vectơ

r
x

đều có thể

, nghĩa là có duy nhất cặp số m và n sao cho

.

Bài 1. Cho ∆ABC có trọng tâm G. Cho các điểm D, E, F lần lượt là trung điểm của các

cạnh BC, CA, AB và I là giao điểm của AD và EF. Đặt
uur uuur uuur uuur
AI , AG,DE,DC

vectơ

theo hai vectơ

rr
u,v

.

Hướng dẫn giải

Ta có

uur 1 uuur 1 uuu
r uuur
1r 1r
AI = AD = ( AE + AF ) = u + v )
2
2

2
2
uuur 2 uuur 2 r 2 r
AG = AD = u + v
3
3
3
uuur uur
uuur
r
r
DE = FA = − AF = 0.u + ( −1 )v

uuur uuu
r uuur uuur r r
DC = FE = AE − AF = u − v

3

r uuu
r r uuur
u = AE; v = AF

. Hãy phân tích các


SKKN: Chứng minh 3 điểm thẳng hàng bằng phương pháp vectơ

Bài 2. Cho tam giác ABC. Điểm M nằm trên cạnh BC sao cho MB= 2MC. Hãy phân tích

vectơ

uuuu
r
AM

theo hai vectơ

r uuur r uuur
u = AB, v = AC

.

Hướng dẫn giải

Ta có

mà

⇒

uuuu
r uuu
r uuuu
r uuu
r 2 uuu
r
AM = AB + BM = AB + BC
3

uuur uuur uuu
r
BC = AC − AB

uuuu
r uuu
r 2 uuur uuu
r
1r 2r
AM = AB + ( AC − AB ) = u + v
3
3
3

Bài 3. Cho tam giác

ABC

uuuu
r 1 uuu
r uuur
uuu
r
AM = AB, CN = 2BC
3

. Đặt

r uuu
r r uuur

a= AB, b= AC

. Hãy phân tích

. Lấy các điểm M, N thỏa mãn

uuur uuur uuuu
r
CM , AN , MN

qua các véc tơ

Hướng dẫn giải

Vì

uuuu
r 1 uuu
r
AM = AB
3

uuur
uuu
r
CN = 2BC

Ta có:

suy ra M thuộc cạnh AB và

, suy ra N thuộc tia BC và

1
AM = AB
3

CN = 2BC

;

.

uuur uuu
r uuuu
r
uuur 1 uuu
r 1r r
CM = CA + AM =- AC + AB = a- b
3
3

uuur uuu
r uuur uuu
r
uuu
r uuu
r
uuur uuu
r

r
r
AN = AB + BN = AB + 3BC = AB + 3( AC - AB) =- 2a+ 3b

4

r
a

và

r
b

.


SKKN: Chứng minh 3 điểm thẳng hàng bằng phương pháp vectơ

uuuu
r uuur uuur
r
r
r
1r
7r
MN = MA + AN =- a- 2a+ 3b=- a+ 3b
3
3

Bài 4. Cho tam giác
N sao cho

ABC

2AN = 5MN

a) Phân tích các vectơ

.

, trên cạnh BC lấy M sao cho

. G là trọng tâm tam giác

uuuu
r uuur
AM , BN

qua các véc tơ

uuur uuuur
GC , MN

b) Phân tích các vectơ

qua các véc tơ

ABC

uuur
AB
uuu
r
GA

và

và

BM = 3CM

, trên đoạn AM lấy

.
uuur
AC
uur
GB

Hướng dẫn giải

a) Theo giả thiết ta có:

suy ra

uuur 3 uuu
r
BM = BC
4

và

uuur 5 uuuu
r
AN = AM
7

uuuu
r uuu
r uuur uuu
r 3 uuu
r
AM = AB + BM = AB + BC
4

uuu
r 3 uuur uuu
r
r 3 uuur
1 uuu
= AB + AC - AB = AB + AC
4
4
4

(

)

uuur uuu
r uuur
uuu
r 5 uuuu
r
BN = BA + AN =- AB + AM
7
uuu
r 5æ1 uuu
r 3 uuurö
r 15 uuur
23 uuu
=- AB + ç
AB + AC÷
=AB
+ AC
÷
ç
÷
ç4
7è
4
28
28
ø

b) Vì G là trọng tâm tam giác

ABC

nên

uuu
r uur uuu
r r
GA + GB + GC = 0

5

suy ra

uuu
r
uuu
r uur
GC =- GA - GB


SKKN: Chứng minh 3 điểm thẳng hàng bằng phương pháp vectơ

uuuu
r
r
r 3 uuurö
2 uuuu
2æ1 uuu
MN =- AM =- ç
AB + AC÷
÷
ç

÷
7
7ç
4
è4
ø

Ta có
=-

r
r uuu
r
1 uur uuu
3 uuu
GB- GA GC - GA
14
14

(

)

(

)

r
r uur uuu
r

1 uur uuu
3 uuu
GB- GA - GA - GB- GA
14
14
u
u
u
r
u
u
r
1
1
= GA + GB
2
7
=-

(

)

(

)

Bài 5. Cho hình bình hành

ABCD

. Gọi M, N lần lượt là hai điểm nằm trên hai cạnh AB

AB = 3AM , CD = 2CN

và CD sao cho

và G là trọng tâm tam giác

uuur uuuu
r uuur
AN , MN , AG

vectơ

qua các véc tơ

uuur
AB

và

uuur
AC

Hướng dẫn giải

Ta có:

uuur uuur uuur uuur 1 uuu

r
AN = AC + CN = AC - AB
2

uuuu
r uuur uuur
r uuur 1 uuu
r
1 uuu
MN = MA + AN =- AB + AC - AB
3
2
r uuur
5 uuu
=- AB + AC
6

Vì G là trọng tâm tam giác

MNB

nên

uuur uuuu
r uuur uuu
r 1 uuu
r æ
uuur 1 uuu
r ö uuu
r 5 uuu

r uuur
3AG = AM + AN + AB = AB +ç
AC - AB÷
÷+ AB = AB + AC
ç
ç
3
2 ÷
6
è
ø
6

MNB

. Phân tích các


SKKN: Chứng minh 3 điểm thẳng hàng bằng phương pháp vectơ

Suy ra

uuur
r 1 uuur
5 uuu
AG = AB + AC
18
3

Phần 2: Chứng minh ba điểm thẳng hàng

Cơ sở lí luận: Để chứng minh 3 điểm A, B, C thẳng hàng chúng ta chứng minh
uuu
r
uuur uuu
r
uuur uuu
r
uuu
r
AB = k AC , AB = k BC , BA = kCA,...

chúng ta chứng minh 2 trong 6 vectơ lập được từ 3

điểm A, B, C cùng phương từ đó suy ra 3 điểm A, B, C thẳng hàng. Đôi khi chúng ta
không chứng minh trực tiếp được mà chúng ta phải chứng minh qua các vectơ trung gian.
Bài tập chứng minh 3 điểm thẳng hàng chia làm 4 mức độ
I. Mức độ nhận biết
Bài tập ở phần này được chia thành nhiều phần nhỏ để dẫn dắt học sinh đến bước chứng
minh 3 điểm thẳng hàng một cách dễ dàng

Bài 1. Cho tam giác

ABC

. Đặt

r uuu
r r uuur
a= AB, b= AC

a) Hãy dựng các điểm M, N thỏa mãn:

b) Hãy phân tích

uuur uuur uuuu
r
CM , AN , MN

c) Gọi I là điểm thỏa:

uuu
r uuur
MI = CM

.

uuuu
r 1 uuu
r uuur
uuu
r
AM = AB, CN = 2BC
3

qua các véc tơ

. Chứng minh

Hướng dẫn giải

7

r
a

và

I , A,N

r
b

.

thẳng hàng.


SKKN: Chứng minh 3 điểm thẳng hàng bằng phương pháp vectơ

a) Vì

uuuu
r 1 uuu
r
AM = AB
3

suy ra M thuộc cạnh AB và

1

uuu
r
AM = AB uuur
CN = 2BC
3

;

và

CN = 2BC

b) Ta có:

, suy ra N thuộc tia BC

.

uuur uuu
r uuuu
r
uuur 1 uuu
r 1r r
CM = CA + AM =- AC + AB = a- b
3
3

uuur uuu
r uuur uuu
r

uuu
r uuu
r
uuur uuu
r
r
r
AN = AB + BN = AB + 3BC = AB + 3( AC - AB) =- 2a+ 3b

uuuu
r uuur uuur
r
r
r
1r
7r
MN = MA + AN =- a- 2a+ 3b=- a+ 3b
3
3

c) Ta có:

.

uur uuuur uuu
r 1 uuur uuur 1 r 1 r r
r
r
1
AI = AM + MI = AB + CM = a+ a- b=- (- 2a+ 3b)

3
3
3
3

uur
1 uuur
Þ AI =- AN Þ
3

A, I, N thẳng hàng.

Bài 2. Cho 4 điểm O, A, B, C thỏa mãn

uuu
r uuur uuur r
OA + 2OB − 3OC = 0

thẳng hàng.
Hướng dẫn giải
Ta có
uuu
r uuu
r uuur r
OA + 2OB − 3OC = 0
uuu
r uuur uuur uuur r
⇔ OA − OC + 2OB − 2OC = 0
uuu
r uuu

r r
⇔ CA + 2CB = 0
uuu
r
uuu
r
⇔ CA = −2CB

Suy ra 3 điểm A, B, C thẳng hàng

8

. Chứng minh 3 điểm A, B, C


SKKN: Chứng minh 3 điểm thẳng hàng bằng phương pháp vectơ

Bài 3. Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Gọi D là điểm đối xứng của A qua B, và E là
AE =

điểm trên đoạn AC sao cho

2
AC
5

.

uuur uuur
DE , DG

a) Hãy phân tích các vectơ

uuu
r uuur
AB, AC

theo

b) Chứng minh 3 điểm D, E, G thẳng hàng
Hướng dẫn giải
a) ta có

uuur uuur uuur 2 uuur uuur
DE = AE − AD = AC − 2 AB
5
uuur uuur uuur 1 uuu
r uuur
uuu
r
DG = AG − AD = AB + AC − 2 AB
3
r 1 uuur
5 uuu
= − AB + AC
3
3

(

)

b) Theo phần a ta có
uuur 2 uuur uuu
r 2 uuur uuu
r
DE = AC − 2 AB = AC − 5 AB
5
5
uuur
u
u
u
r
u
u
u
r
r
uuur 6 uuur
5
1
1 uuur uuu
DG = − AB + AC = AC − 5 AB ⇒ DE = DG
3
3
3
5

(

)

(

uuuu
r uuur
⇒ DE , DG

cùng phương

)

⇒

3 điểm D, E, G thẳng hàng.

Bài 4. Cho tam giác ABC, gọi I là trung điểm của BC. Gọi D, E là hai điểm sao cho
uuur uuur uuur
BD = DE = EC

a) Chứng minh rằng

uuu
r uuur uuur uuur
AB + AC = AD + AE

9

SKKN: Chứng minh 3 điểm thẳng hàng bằng phương pháp vectơ

b) tính vectơ

uuu
r uuu
r uuur uuur uuur
AS = AB + AC + AD + AE

theo

uur
AI

, chứng minh 3 điểm A, I, S thẳng hàng

Hướng dẫn giải
a) ta có

uuur uuur
uur
AB + AC = 2 AI
uuur uuur
uur
AD + AE = 2 AI
uuu
r uuur uuur uuur
⇒ AB + AC = AD + AE

b)

Vì

uuu
r uuu
r uuur uuur uuur
uur
AS = AB + AC + AD + AE = 4 AI
uuu
r
uur
AS = 4 AI

uuu
r uur
AS , AI

nên hai vectơ

cùng phương nên 3 điểm A, I, S thẳng hàng

Bài 5. Cho tam giác ABC, lấy các điểm M, N, P sao cho:
uuu
r uuu
r r
PA + PB = 0
uuuu
r uuur
PM , PN

a) Hãy phân tích

uuu
r uuur
AB, AC

theo hai vectơ

b) Chứng minh 3 điểm M, N, P thẳng hàng
Hướng dẫn giải

10

uuur
uuuu
r uuu
r
uuur
MB = 2 MC NA = 2CN

,

,


SKKN: Chứng minh 3 điểm thẳng hàng bằng phương pháp vectơ

a)
Ta
có r uuuur

uuuu
r uuu

PM = PB + BM
r 2 uuur
1 uuu
= AB + AC
2
3
u
u
u
r
r 2 uuur
1
2 uuu
= AB − AB + AC
2
3
3
u
u
u
r
u
u
u
r
1
2

= − AB + AC ( 1)
6
3
uuur uuu
r uuur
PN = PA + AN
r uuur
1 uuu
= − AB + 2 AC ( 2 )
2

b) Từ (1) và (2) ta có

uuuu
r 1 uuur uuuu
r uuur
PM = PN ⇒ PM , PN
3

cùng phương

⇒

M, N, P thẳng hàng

II. Mức độ thông hiểu
Ở mức độ thông hiểu những bài chứng minh ba điểm thẳng hàng sẽ phức tạp hơn, sẽ
không có những phần gợi ý học sinh sẽ phải phân tích đề bài rồi đưa ra hướng giải quyết
bài toán.
Bài 1. Cho tam giác ABC có trung tuyến AM. Gọi I là trung điểm AM và K là điểm

AK =

thuộc AC sao

1
AC
3

. Chứng minh ba điểm B, I, K thẳng hàng.
Hướng dẫn giải
uur uuur
BI , BK

Để chứng minh 3 điểm B, K, I thẳng hàng ta chứng minh hai vectơ
uur uuur
BI , BK

phương. Chúng ta sẽ phân tích hai vectơ

11

theo hai vectơ

cùng
uuu
r
BA

và

uuur
BC


SKKN: Chứng minh 3 điểm thẳng hàng bằng phương pháp vectơ

Ta có

uur uur uuuu
r uur 1 uuu
r
2BI = BA + BM = BA + BC
2
uur
uur uuu
r
4BI = 2BA + BC ( 1 )
uuur uur uuur uur 1 uuur
BK = BA + AK = BA + AC
3
uur 1 uuur uur
2 uur 1 uuur
= BA + ( BC − BA ) = BA + BC
3
3
3
uuur
uur uuu
r
3BK = 2BA + BC

(2)

Từ (1)&(2)⇒

uuur
uur uuur 4 uur
3BK = 4BI ⇒ BK = BI
3

⇒ B, I, K thẳng hàng.

Bài 2. Cho tam giác ABC có E là trung điểm của AB, M là trung điểm của BC. Điểm F
thuộc cạnh AC sao cho AF=2FC, điểm I thuộc EF sao cho 4EI=3FI. Chứng minh 3 điểm
A, M, I thẳng hàng.

Hướng dẫn giải
Vì M là trung điểm của BC ta có
uuuu
r 1 uuu
r
AM = AB + AC
2

(

) ( 1)

Theo bài ra 4EI=3FI

12

SKKN: Chứng minh 3 điểm thẳng hàng bằng phương pháp vectơ

uur
3 uur
⇒ IE = − IF
4
uu
r uuur
r uuur
3 uu
⇔ IA + AE = − IA + AF
4
u
u
r
u
u
u
r
7
3 uuur
⇔ IA = − AE − AF
4
4
uur 4 uuur 3 uuur
⇔ AI = AE + AF
7
7

uur 4 1 uuu
r 3 2 uuur
⇔ AI = . AB + . AC
7 2
7 3
uur 2 uuu
r 2 uuur
⇔ AI = AB + AC ( 2 )
7
7

(

Từ (1) và (2) ta có

)

uur 4 uuuu
r
AI = AM
7

vậy 3 diểm A, I, M thẳng hàng.

Bài 3. Cho hình bình hành ABCD. Gọi I là trung điểm của CD. Lấy điểm M trên đoạn BI
sao cho BM=2MI. Chứng minh rằng 3 điểm A, M, C thẳng hàng.
Hướng dẫn giải
Theo bài ra ta có

uuuu

r
uuu
r
BM = 2 MI
uuuu
r uuu
r
uur uuuu
r
⇔ AM − AB = 2 AI − AM
uuuu
r
uur uuu
r
⇔ 3 AM = 2 AI + AB ( 1)

(

)

Vì I là trung điểm của CD nên

uur uuur uuur
2AI = AC + AD

thế vào (1) ta được

uuuur uuur uuur uuur
uuur
3 AM = AC + AD + AB = 2 AC

Vậy 3 điểm A, M, C thẳng hàng
Bài 4. Cho hình bình hành

ABCD

. Gọi E là điểm đối xứng của D qua điểm A, F là điểm

đối xứng của tâm O của hình bình hành qua điểm C và K là trung điểm của đoạn OB.
Chứng minh ba điểm E, K, F thẳng hàng và K là trung điểm của EF.
13


SKKN: Chứng minh 3 điểm thẳng hàng bằng phương pháp vectơ

Hướng dẫn giải
Ta có:

uuu
r
uuu
r uuur
EF = EA + AF
uuu
r
uuu
r 3 uuur
Û EF = EA + AC
2
uuu

r
uuur 3 uuur uuur
Û EF = AD + AD + AB
2
uuu
r
5 uuur 3 uuur
Û EF = AD + AB ( 1)
2
2

(

)
,

uuur
uuu
r uuur
EK = EA + AK
uuur
uuur uuur uuur
Û EK = AD + AB + BK
uuur
uuur uuur 1 uuu
r uuur
Û EK = AB + AD + BA + BC
4
uuur
5 uuur 3 uuur

Û EK = AD + AB ( 2)
4
4

(

)

Từ (1) và (2) ta có
uuu
r
uuur
EF = 2EK

. Vậy 3 điểm K, E, F thẳng hàng. Và K là trung điểm EF.

Bài 5. Cho 3 điểm A, B, C và O là 1 điểm tùy ý. Chứng minh rằng A, B, C thẳng hàng khi

và chỉ khi

uuu
r
uuu
r
uuur OA + kOB
OC =
( k ≠ 1)
1+ k

Hướng dẫn giải

Để 3 điểm A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi
uuur
uuu
r
AC = kCB
uuur uuu
r
uuur uuur
⇔ OC − OA = k OB − OC

(

)

14


SKKN: Chứng minh 3 điểm thẳng hàng bằng phương pháp vectơ

uuur uuu
r uuu
r
⇔ ( 1 + k ) OC = OA + kOB
uuu
r uuu
r
uuur OA + kOB
⇔ OC =
( k ≠ 1)
1+ k

III. Mức độ vận dụng thấp
Bài tập phần này độ khó tăng nên rõ ràng, bài tập phần này thường chưa tham số, và yêu
cầu bài toán thường là tìm điều kiện của tham số để 3 điểm nào đó thẳng hàng

Bài 1: Cho tam giác ABC. Gọi D, E lần lượt là các điểm thỏa mãn
uuur 1 uuur
AE = AC
4

uuur 2 uuur
BD = BC
3

. Tìm vị trí điểm K trên AD sao cho 3 điểm B, K, E thẳng hàng.
Hướng dẫn giải

Giả sử
Ta có

uuur
uuur
AK = m AD
uuu
r uuu
r uuur
uuu
r 1 uuur
BE = BA + AE = − AB + AC
4

( 1)

uuur uuu
r uuur
uuu
r
uuur
BK = BA + AK = − AB + m AD
uuu
r
uuu
r uuur
uuu
r 2m uuur
= − AB + m AB + BD = ( m − 1) AB +
BC
3

(

)

uuu
r 2m uuu
r uuur
= ( m − 1) AB +
− AB + AC
3

(

)

r 2m uuur
 m  uuu
=  − 1÷ AB +
AC ( 2 )
3
3


Để 3 điểm B, E, K thẳng hàng thì từ (1) và (2) ta có
15

1
 m  2m 1
: ⇔m=
 − 1÷ =
3
3
 3 4

.

,


SKKN: Chứng minh 3 điểm thẳng hàng bằng phương pháp vectơ

Bài 2. Cho tam giác
thuộc đoạn

AM

ABC

sao cho

. Điểm

AI = 3IM

M

thuộc cạnh

BC

. Xác định điểm

B, I , K
thẳng hàng.
Hướng dẫn giải

uuu
r r uuur r
AB = a ; AC = b
Đặt:
Khi đó:

Ta có:

uuur
r
r
BK = −a + t.b

và

uuur
uuur
AK = t. AC

uur 3 uuuu
r 3 uuu
r uuuu
r uuuu
r 1 uuur
AI = AM = AB + BM ; BM = BC
4
4
4
r
uur 9 r 3 r
1 uuur uuu
= AC − AB ⇒ AI = a + b
4
16
16

(

(

Mà

)

)

uur uur uuu
r 9 r 3r r
7 r 3r
BI = AI − AB = a + b − a = − a + b
16
16
16
16

B, I , K
Để ba điểm

thẳng hàng thì

uuur
uur
r
r
 7 r 3 r
∃ m : BK = mBI ⇔ −a + t.b = m  − a + b ÷

16 
 16

7m
16


−
1
=
−
m
=


16
7
⇔
⇔
t = 3m
t = 3
 16
 7

16

K

sao cho

MC = 3MB

thuộc cạnh

AC

, I là điểm

sao cho ba điểm


SKKN: Chứng minh 3 điểm thẳng hàng bằng phương pháp vectơ

Suy ra

uuur 3 uuur
3
AK = . AC ⇒ AK = . AC
7
7

Vậy điểm

K

thuộc cạnh

AC

sao cho

3
AK = . AC
7

D ABC ,

Bài 3. Cho

gọi M là điểm thuộc cạnh BC sao cho

đoạn AM, N là điểm thỏa mãn

uur
uuur
NA = k NB.

Tìm

k

Ta có
uur uuu
r uur
uuur 1 uuuu
r
CI = CA + AI = − AC + AM
2
uuur 1 uuu
r uuuu

r
uuur 1 uuur 3 uuur
= − AC + AB + BM = − AC + AB + BC
2
2
8
uuur 1 uuur 3 uuu
r uuur
= − AC + AB + − AB + AC
2
8
u
u
u
r
u
u
u
r
1
5
= AB − AC (1)
8
8

)

(

)

uuu
r
uuur
uuu
r
uuu
r uuur
uuu
r
k uuur
NA = k NB ⇔ NA = k NA + AB ⇔ NA =
AB
1− k

(

Mà

)

uuur uuu
r uuur
uuur uuur
k uuur uuur
CN = CA + AN = − AC − AN = −
AB − AC
1− k

Vậy để 3 điểm C, I, N thẳng hàng thì theo (1) và (2) ta có

17

, I là trung điểm

để 3 điểm C, I, N thẳng hàng.

Hướng dẫn giải

(

3
BM = BC
4


SKKN: Chứng minh 3 điểm thẳng hàng bằng phương pháp vectơ

k 1 8
1
: = ⇔k =−
1− k 8 5
4

k =−

Vậy với

1
4

thì 3 điểm C, N, I thẳng hàng

Bài 4. Cho tam giác ABC, M là điểm thuộc cạnh AC sao cho
uuur
uuuur
NB = −3NM

thuộc BM sao cho

, P là điểm thuộc BC sao co

A, N, P thẳng hàng

Hướng dẫn giải
Ta có

uuu
r
uuur
PB = k PC
uuu
r
uuu
r uuur
⇔ PB = k PB + BC
uuu
r
uuur
⇔ ( 1 − k ) PB = k BC

uuu
r
k uuur
⇔ BP =
BC ( k ≠ 1)
k −1

(

)

Mà
uuur uuur uuu
r
AP = AB + BP
uuu
r uuu
r
k uuur
⇔ AP = AB +
BC
k −1
uuu
r uuu
r
r
k uuur uuu
⇔ AP = AB +
AC − AB
k −1

uuu
r −1 uuur
k uuur
⇔ AP =
AB +
AC ( 1)
k −1
k −1

(

)

Mặt khác ta có

18

uuur
uuuu
r
MA = −2MC

uuu
r
uuur
PB = k PC

. Tìm

k

, N là điểm
để 3 điểm


SKKN: Chứng minh 3 điểm thẳng hàng bằng phương pháp vectơ

uuur uuu
r uuur
AN = AB + BN
uuur uuu
r 3 uuuu
r
⇔ AN = AB + BM
4
uuur uuu
r 3 uuuu
r uuu
r
⇔ AN = AB + AM − AB
4
uuur 1 uuu
r 3 2 uuur
⇔ AN = AB + . AC
4
4 3
uuur 1 uuu
r 1 uuur
⇔ AN = AB + AC ( 2 )
4

2

(

)

Để 3 điểm A, N, P thẳng hàng từ (1) và (2) ta có
1 −1 1 k
k −1 k −1
:
= :
⇔
=
⇔ k = −2 do ( k ≠ 1)
4 k −1 2 k −1
−4
2k

Vậy với k=-2 thì 3 điểm A, N, P thẳng hàng.

IV. Mức độ vận dụng cao
Bài tập phần này đỏi hỏi học sinh phải tổng hợp được nhiều kiến thức thì mới giải quyết
được bài toán. Những biến đổi hay phân tích một vectơ qua hai vectơ không cùng phương
cũng gặp nhiều khó khăn vì chúng ta chưa biết tỉ lệ các đoạn thẳng vì vậy việc tính tỉ lệ
đoạn thẳng cũng là ứng dụng quan trọng của vectơ

Bài 1. Cho hai tam giác
BCA1, CAB1, ABC 1

A2B2C 2

ABC

. Gọi

. Chứng minh rằng

và

A1B1C 1 A2.B2,C 2

G,G1,G2

;

lần lượt là trọng tâm các tam giác

lần lượt là trọng tâm các tam giác

G,G1,G2

thẳng hàng và tính
Hướng dẫn giải
19

GG1
GG2

.

ABC , A1B1C 1

,


SKKN: Chứng minh 3 điểm thẳng hàng bằng phương pháp vectơ

Vì

G , G1

ABC , A1B1C 1

là trọng tâm tam giác

suy ra

uuuu
r uuur uuur uuuu
r
3GG1 = GA1 +GB1 +GC 1

uuuu
r uuu
r uuu
r uuur uuur uuur uuur
Û 3GG1 = GA +GB +GC + AA1 + BB1 +CC 1
uuuu
r uuur uuur uuur
Û 3GG1 = AA1 + BB1 +CC 1

Tương tự

G , G2

ABC , A2B2C 2

là trọng tâm tam giác

suy ra

uuuu
r uuur uuur uuuu
r
3GG1 = GA1 +GB1 +GC 1

uuuu
r uuur uuuu
r uuuu
r
Û 3GG2 = AA2 + BB2 +CC 2

Mặt khác

Mà

uuur uuuu
r uuuu
r uuur uuur uuur uuuu
r uuuur uuuur

AA2 + BB2 +CC 2 = AA1 + BB1 +CC 1 + A1A2 + B1B2 +C 1C 2

A2.B2,C 2

lần lượt là trọng tâm các tam giác

BCA1, CAB1, ABC 1

uuuu
r uuuur uuuur
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
3( A1A2 + B1B2 +C 1C 2 ) = 3( A1B + AC
+ B1C + B1A +C 1A +C 1B )
1

Suy ra
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuu
r uuur uur uuur uuu
r
= 3( A1A + AB + A1A + AC + B1B + BC + B1B + BA +C 1C +CA +C 1C +CB )
uuur uuur uuur
= 6( AA1 + BB1 +CC 1 )
uuur uuuu
r uuuu
r
uuur uuur uuur
AA2 + BB2 +CC 2 = 3( AA1 + BB1 +CC 1 )

Do đó
uuuu

r uuur uuur uuur
Þ GG2 = AA1 + BB1 +CC 1

Vậy

uuuu
r
uuuu
r
GG2 = 3GG1

Bài 2. Cho tam giác

ABC

.Các điểm M, N, P lần lượt nằm trên đường thẳng BC, CA, AB

uuur
uuur uuur
uuu
r uuu
r
uuu
r
MB = a MC , NC = bNA, PA = gPB

sao cho

.
20

SKKN: Chứng minh 3 điểm thẳng hàng bằng phương pháp vectơ

Tìm điều kiện của α, β, γ để M, N, P thẳng hàng.
Hướng dẫn giải
uuur
MB =

r
a uuur uuu
1 uuur
BC ; BP =
AB
1- a
g- 1

Ta có:
uuur
uuur uuur
BC = (1 - a)MC ;CN =

uuuu
r
MN = -

b uuur
AC ;
1- b

1 uuur
1
b uuur
AB + (
+
)AC
1- a
1- a 1- b

Ta có:

Và

uuur
MP = (-

a
1 uuur
a uuur
)AB +
AC
1- a 1- g
1- a

Để M, N, P thẳng hàng thì ta phải có
-

a
1
a

1- a 1- g
1- a
=
Û abg = 1
1
1
b
+
1- a
1- a 1- b

.
Bài 3. Cho tam giác

cho

. Gọi M là điểm thuộc cạnh AB, N là điểm thuộc cạnh AC sao

1
3
AM = AB, AN = AC
3
4

BC lấy E . Đặt
Tìm

ABC

x

uuu
r
uuur
BE = xBC

. Gọi O là giao điểm của CM và BN. Trên đường thẳng

.

để A, O, E thẳng hàng.
Hướng dẫn giải
21


SKKN: Chứng minh 3 điểm thẳng hàng bằng phương pháp vectơ

Để tìm được

x

sao cho 3 điểm A, O, E thẳng hàng thì chúng ta cần tính tính tỉ số

OM
OC

Giả sử

Ta có

uuur
uuur uuur
uuur
ON = nBN OM = mCM

;

uuur
uuuu
r uuur
uuuu
r
uuur
AO = AM + MO = AM - mCM

uuur
uuur
uuuu
r
uuuu
r uuur = 1(1 - m)AB + mAC
= AM - m(AM - AC ) 3

Và

;

uuur
uuur uuur
uuur

uuur
AO = AN + NO = AN - nBN

uuur
uuur uuur
uuur
uuur
3
= AN - n(AN - AB ) = (1 - n)AC + nAB
4

Vì
ïìï
ïï
í
ïï
ïï
î

uuur
AO

chỉ có một cách biểu diễn duy nhất qua

1
(1 - m) = n
3
Û
3
(1 - n) = m

4

2
ïìï
ïï m =
3
í
ïï
1
ïï n =
î
9

ON
1
=
OB
9

OM
2
=
OC
3

Vậy

và

.

.

Sau khi tính được tỉ số ta phân tích

22

uuur
AB

và

uuur
AC

suy ra

ON
OB

và


SKKN: Chứng minh 3 điểm thẳng hàng bằng phương pháp vectơ

Ta có:

uuur
1 uuur 1 uuur
AO = AB + AC

9
4

uuur
uuur
uuur
AE = (1 - x)AB + xAC

A, E, O thẳng hàng

uuur
uuur
Û AE = kAO

uuur
uuur k uuur k uuur
36
9
Û (1 - x)AB + xAC = AB + AC Û k = ; x =
9
4
13
13

x=

Vậy

9
13

thì 3 điểm A, O, E thẳng hàng.

Bài 4. Cho tam giác ABC, trên các cạnh AB, BC ta lấy các điểm M, N sao cho
AM
2 BN
1
= ;
=
MB
5 NC
3

uuur
uuur
AE = k AC

. Tìm

k

. Gọi I là giao điểm của AN và CM, E là điểm thuộc AC sao cho

để 3 điểm B, I, E thẳng hàng.

Hướng dẫn giải
uur
uuur uur
uuur
AI = xAN ; CI = yCM

Đặt
Ta có:

uur
uuur uuur
uuur x uuur
AI = x(AB + BN ) = xAB + BC
4
uuur x uuur uuur
r x uuur
3x uuur x uuur 21x uuuu
= xAB + (AC - AB ) =
AB + AC =
AM + AC
4
4
4
8
4

Vì M, I, C thẳng hàng nên ta có:

21
x
8
AI
8
x + = 1Þ x =
Þ

=
8
4
23 AN
23
23

.


SKKN: Chứng minh 3 điểm thẳng hàng bằng phương pháp vectơ

Tương tự:

IC
21
IC
21
=
Þ
=
IM
2
CM
23

Ta có
uuur
uuur
AE = k AC

uuur uuu
r
uuur uuur
⇔ AB + BE = k AB + BC
uuu
r
uuu
r uuur
⇔ BE = ( 1 − k ) BA + k BC ( 1)

(

)

Mà
uur uuur uur
BI = BC + CI
uur uuur 21 uuuu
r
⇔ BI = BC + CM
23
uur uuur 21 uuuu
r uuur
⇔ BI = BC +
BM − BC
23
uur 2 uuur 21 5 uuu
r
⇔ BI =
BC + . BA

23
23 7
uur 15 uuu
r 2 uuur
⇔ BI =
BA + BC ( 2 )
23
23

(

)

Từ (1) và (2) để 3 điểm B, I, E, thẳng hàng thì
k=

Vậy với

2
17

15
2
2
=
⇔k=
23 ( 1 − k ) 23k
17

thì 3 điểm B, I, E thẳng hàng.

V. Phát triển một số bài tập tự luận sang bài tập trắc nghiệm
ở phần ngày tôi sẽ chuyển một số bài tập trong phần III và phần IV sang dạng bài trắc
nghiệm
Bài 1. ( bài 1 trong phần III )

24


SKKN: Chứng minh 3 điểm thẳng hàng bằng phương pháp vectơ

Cho tam giác ABC. Gọi D, E lần lượt là các điểm thỏa mãn
K trên AD sao cho
m=

A.

1
2

uuur
uuur
AK = m AD

m=

.

B.

1
3

. Tìm

m

uuur 2 uuur
BD = BC
3

,

uuur 1 uuur
AE = AC
4

. Lấy

để 3 điểm B, K, E thẳng hàng.
m=−

.

C.

1
3

m=

.

D.

2
3

.

Bài 2. ( bài 3 trong mục III )
D ABC ,

Cho

gọi M là điểm thuộc cạnh BC sao cho

AM, N là điểm thỏa mãn
k =−

A.

1
4

uur
uuur
NA = k NB.

k=

.

B.

1
4

Tìm

k

, I là trung điểm đoạn

để 3 điểm C, I, N thẳng hàng.
k =−

.

3
BM = BC
4

C.

3
4

k=

.

D.

3
4

.

Bài 3. ( bài 4 trong mục III)

Cho tam giác ABC, M là điểm thuộc cạnh AC sao cho
sao cho

uuur
uuuur
NB = −3NM

, P là điểm thuộc BC sao co

uuur
uuuu
r
MA = −2MC

uuu
r
uuur
PB = k PC

. Tìm

, N là điểm thuộc BM
k

để 3 điểm A, N, P

thẳng hàng

A.

 3

k ∈  − ; −1 ÷
 2


.

B.

 3
k ∈  0; ÷
 2

.

C.

3


k ∈  −3; − ÷
2


Bài 4. ( bài 2 trong mục IV )

25

.

D.

3 
k ∈  ;3 ÷
2 

.