DEC a~1

SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO QUẢNG BÌNH

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 11
Năm học 2010 - 2011

ĐỀ CHÍNH THỨC

Môn: TOÁN THPT
Thời gian 180 phút (không kể thời gian giao đề)

Câu I (3,0 điểm)
√
a) Giải phương trình: sin 3x + cos 3x − 2 2 cos x + π4 + 1 = 0.
1
1
2x + x+y
+ x−y
= 16
3
b) Giải hệ phương trình:
.
1
1
2 x2 + y 2 + (x+y)
= 100
2 +
9
(x−y)2

Câu II (2,0 điểm)
Cho dãy số (xn ) thỏa mãn

xn+1
.
n→+∞ xn

√
x1 = 30
.
xn+1 = 30x2n + 3xn + 2011; n ∈ N∗

Tìm lim

Câu III (3,0 điểm)
Cho tứ diện ABCD đều cạnh a có I là trọng tâm tam giác ABC, J là trọng tâm tam giác
BCD, vẽ mặt phẳng đi qua IJ cắt AB, AC, DC, DB lần lượt tại các điểm M, N, P, Q với AM =
x, AN = y (0 < x, y < a).
a) Chứng minh M N, P Q, BC đồng quy hoặc song song và M N P Q là hình thang cân.
3a
b) Chứng minh a(x + y) = 3xy. Từ đó suy ra 4a
3 ≤x+y ≤ 2 .
c) Tính diện tích tứ giác M N P Q theo a và s = x + y.

Câu IV (1,0 điểm)
Cho phương trình: ax2 + (2b + c)x + 2d + e = 0 có một nghiệm không nhỏ hơn 4. Chứng minh
phương trình ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0 có nghiệm.

Câu V (1,0 điểm)
Cho x, y, z > 0. Chứng minh rằng:
P =

2xy

2yz
3zx
5
+
+
≥
(z + x)(z + y) (x + y)(x + z) (y + z)(y + x)
3

——— Hết ———

—————


1