K2 PINE

HNG DấẻN GIAI ẽè THI CHON HSG TOAN
TểNH QUANG BềNH
LP 11 NM HOC 2016-2017
Cõu 1(2.0 im)
a) Gii phng trỡnh (2 cos
2x 1)(sin 2x + cos 2x) = 1.
(2x y + 2)(2x + y) + 6x 3y + 6 = 0
b) Gii h phng trỡnh
2x + 1 + y 1 = 4

Hng dn gii:
a) Phng trỡnh ó cho tng ng vi
sin 4x + cos 4x = sin 2x + cos 2x




2 sin 4x +
4

=






2 sin 2x +
4

x = k

k (k Z)

+
x=
12
3

1
b) iu kin ban u x , y 1. Khi ú, phng trỡnh th nht ca h tng ng vi
2
(2x y + 2)(2x + y + 3) = 0

y = 2x + 2
y = 2x 3

+ Vi y = 2x + 2 thay vo phng trỡnh cũn li ca h ta c


2x + 1 +



2x + 1 = 4



2x + 1 = 2 x =

3

y = 5.
2

+ Vi y = 2x 3 thỡ suy ra 2x + 1 = y 2 0 y 2 mõu thun vi iu kin bi toỏn. Cho nờn
trng hp ny h vụ nghim.
3
Túm li h ó cho cú cp nghim duy nht (x; y) =
;5 .
2
Nhõn xột. Hai cõu m u ca thi khỏ d v hu ht hc sinh u cú th lm c.

Cõu 2(2.5 im)






1.2x + 1. 3 2.3x + 1. 4 3.4x + 1 ã ã ã 2017 2016.2017x + 1 1
a) Tớnh gii hn I = lim
.
x0
x

u1 = 1
b) Tỡm gii hn ca dóy s (un ) c xỏc nh nh sau:
2n + 1

un+1 = u2n +
, n 1

2n

Hng dn gii:
a) t An = n+1 n(n + 1)x + 1, n 1. Ta cú
1


√
A1 − 1
1.2x + 1 − 1
1.2
lim
= lim
= lim √
= 1;
x→0
x→0
x→0
x
x
1.2x + 1 + 1
√
3
2.3x + 1 − 1
A2 − 1
2.3
lim
= lim
= lim 3
= 2;

√
2
x→0
x→0
x→0
x
x
(2.3x + 1) + 3 2.3x + 1 + 1
√
4
3.4x + 1 − 1
3.4
A3 − 1
√
= lim
= lim √
lim
= 3;
x→0
x→0 ( 4 3.4x + 1 + 1)( 3.4x + 1 + 1)
x→0
x
x
...
√
2017
A2016 − 1
2016.2017x + 1 − 1
= lim
lim

x→0
x→0
x
x
2016.2017
= lim 2017
= 2016.
√
2016
x→0
(2016.2017x + 1)
+ · · · + 2017 2016.2017x + 1 + 1
Suy ra được
√
3
L = lim

√
2.3x + 1. 4 3.4x + 1 · · ·

x→0

=1 + 2 + · · · + 2016 =

√

2017

√
√

2016.2017x + 1( 1.2x + 1 − 1) + · · · + ( 2017 2016.2017x + 1 − 1)
x

2016.2017
= 2033136.
2

b) Dễ thấy dãy số (un ) luôn dương và từ giả thiết ta có
u2n+1 +

Đặt vn = u2n +
Suy ra un =

2n + 3
2(n + 1) + 3
= u2n + n−1
n
2
2

2n + 3
, ∀n ≥ 1 thì vn+1 = vn = ... = v1 = 6.
2n−1
√
2n + 3
2n + 3
vn − n−1 = 6 − n−1 , ∀n ≥ 1. Từ đây ta tính được lim un = 6.
2
2

Nhân xét. Câu a) được lấy lại từ một câu trích từ đề Hà Tĩnh 2012-2013. Còn câu b) với ý tưởng quen
thuộc đó là tìm giới hạn thông qua việc tìm công thức số hạng tổng quát của dãy số. Chỉ cần để ý rằng:
2n + 1
2(2n + 3) − [2(n + 1) + 3]
=
2n
2n
Để có thể tách được như trên chỉ cần tìm đa thức f (n) thỏa mãn 2n + 1 = 2f (n) − f (n + 1).

Câu 3(3.0 điểm)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh AB = a và SA = SB = SC =
AM
SD = a. M là một điểm trên đoạn AO sao cho
= k(0 < k < 1). Mặt phẳng (P ) đi qua M và
AO
song song với AD, SO.
a) Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng (P ). Thiết diện là hình gì?
b) Tính diện tích của thiết diện trên theo a, k.
c) Tìm k để thiết diện trên ngoại tiếp được một đường tròn.

Hướng dẫn giải:

2


S

H

G

B

C
O

A

F

M

E

D

a) Trong mặt phẳng (ABCD) dựng đường thẳng qua M song song với AD và cắt AB, CD lần lượt tại
E, F . Trong mặt phẳng (SAC) dựng đường thẳng qua M song song với SO và cắt SA tại H. Tiếp tục
dựng HG song song với AD đồng thời cắt SD tại G. Khi đó (P ) ≡ (EF GH).
HG
HG
Với điều kiện của giả thiết thì S.ABCD là một hình chóp đều. Theo cách dựng trên ta có
=
=
EF
AD
HS
MO
=
= 1 − k ∈ (0; 1). Do đó HG < EF . Mặt khác hai tam giác AEH và DF G bằng nhau theo
AS

AO
trường hợp c-g-c nên suy ra EH = F G. Như vậy thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng (P ) là
hình thang cân EF GH.
b) Do HM SO nên HM ⊥ EF hay HM
√ thang EF GH. Ta tính được EF =
√ là đường cao của hình
ak 2
a 2
⇒ HM = k.SO =
.
a, HG = AD.(1 − k) = a(1 − k), SO =
2
2
√
2
2
(EF + GH).HM
(2k − k )a 2
Từ đó suy ra SEF GH =
=
.
2
4
DF
AM
ak DG
AH
AM
c) Từ
=

⇒ DF =
,
=
=
= k ⇒ DG = ak. Xét tam giác DF G có
CD
AC
2 SD
SA
AO
√
a2 k 2
ak
ak 3
F G = a2 k 2 +
− 2.ak. . cos 600 =
.
4
2
2
Khi đó, để hình thang cân EF GH ngoại tiếp được một đường tròn thì điều kiện cần và đủ là
√
2
2F G = HG + EF ⇔ ak 3 = a + a(1 − k) ⇔ k = √
.
3+1

Nhân xét. Hai ý a) và b) khá cơ bản. Riêng ý c) cần phải chứng minh được đẳng thức 2F G = HG + EF
là điều kiện cần và đủ để một hình thang cân ngoại tiếp một đường tròn. Ý c) tương đối khó.

Câu 4(1.5 điểm)
Cho x, y, z > 0. Chứng minh:
1 + x2
1+4

1 + y 3 + 3z 2

+

1 + y2
1 + z2
3
√
√
+
≥
5
1 + 4 1 + z 3 + 3x2 1 + 4 1 + x3 + 3y 2

Hướng dẫn giải:
1 + y3 =

Sử dụng bất đẳng thức AM − GM ta có đánh giá
1 + x2
1+4

1 + y 3 + 3z 2

≥
3

(1 + y)(1 − y + y 2 ) ≤

1 + x2
2(1 + y 2 ) + 3(1 + z 2 )

2 + y2
. Suy ra
2


Cũng các đánh giá tương tự và ta thu được kết quả sau:
1 + x2
cyc

1+4

1 + y 3 + 3z 2

≥

1 + y2
1 + z2
1 + x2
+
+
2(1 + y 2 ) + 3(1 + z 2 ) 2(1 + z 2 ) + 3(1 + x2 ) 2(1 + x2 ) + 3(1 + y 2 )

Tiếp tục sử dụng bất đẳng thức Cauchy − Schwarz và bổ đề quen thuộc (a + b + c)2 ≥ 3(ab + bc + ca)
ta chứng minh được

1 + x2
1 + y2
1 + z2
(1 + x2 + 1 + y 2 + 1 + z 2 )2
3
+
+
≥
≥
2
2
2
2
2
2
2
2
2(1 + y ) + 3(1 + z ) 2(1 + z ) + 3(1 + x ) 2(1 + x ) + 3(1 + y )
5 (1 + x )(1 + y )
5
cyc

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = 2. Bài toán chứng minh xong!
Nhân xét. So với câu bất năm 2014 − 2015 thì hai câu bất 2015 − 2016, 2016 − 2017 dễ nhai hơn nhiều.
Bởi lẽ đây là một dạng toán ít học sinh có thể tiếp cận được nên nhiều em bỏ qua câu này.

Câu 5(1.0 điểm)
Trong một hội nghị khách hàng, mỗi người tham gia được chọn một số tự nhiên có hai chữ số ghi
lên phiếu của mình và cứ 10 người thì được xếp ngẫu nhiên vào một bàn. Một bàn được gọi là bàn
"thân thiện" nếu trong 10 người của bàn đó có thể chọn ra hai nhóm người (số lượng người của mỗi

nhóm là tùy ý và khác 0) sao cho tổng các số ghi trên phiếu của mỗi nhóm là bằng nhau. Chứng
minh rằng tất cả các bàn trong hội nghị đều là bàn "thân thiện".

Hướng dẫn giải:
Chọn một bàn bất kì trong hội nghị. Giả sử các thành viên trong bàn đó mang các số từ a1 , ..., a10 .
Nếu trong bàn có hai người có số giống nhau thì bài toán được giải quyết. Ta chỉ xét trường hợp
ai = aj , ∀i = j.
Đặt B1 = {ai }; B2 = {ai + aj |i = j}; ...; B9 = {a1 + ... + a10 − ai |1 ≤ i ≤ 10}.
Tổng các số trên bàn chỉ nhận giá trị từ 145 đến 945. Mà
1
2
9
|B1 | + |B2 | + ... + |B9 | = C10
+ C10
+ ... + C10
= 210 − 2 = 1022

Do đó chắc chắn sẽ có ít nhất hai tổng trong 1022 tổng tạo thành từ các số trên bàn bằng nhau. Bài
toán đã được chứng minh hoàn toàn!
Nhân xét. Đây là câu hỏi khó nhất đề thi và nó thuộc dạng toán "Chuồng bồ câu".

Lúâi giaãi thûåc hiïån búãi thêìy Lï Àònh Mêîn - gv trûúâng THPT Nguyïîn Chñ Thanh.
Facebook: />
4