File393 - SO NGUYEN TO

Trường Trung Học Phồ Thông Chuyên Tiền Giang - Lớp 10 Toán
Chuyên Đề : “ Số Nguyên Tố”

Số nguyên tố
Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1, chỉ chia hết cho 1 và chia hết cho chính nó.
Ví dụ: 2, 3, 5, 7, 11..

Mục lục














1 Tính chất
2 Bảng số nguyên tố-sàng Eratosthene
o 2.1 Sàng Eratosthene
o 2.2 Lịch sử các bảng số nguyên tố
3 Định lý cơ bản của số học
4 Bài toán xác định số nguyên tố thứ n
o 4.1 Số nguyên tố thứ n
o 4.2 Định lý số nguyên tố
o 4.3 Sự phân bố số nguyên tố

5 Số nguyên tố Fermat và Mersenne
Số nguyên tố Ramanujan
6 Giả thiết Goldbach - Euler
7 Xem thêm
Kiểm tra tính nguyên tố
 1 Các phương pháp thô sơ
 2 Kiểm tra theo xác suất
 3 Các phép kiểm tra tất định
 4 Độ phức tạp
 5 Các phương pháp lý thuyết số
Pierre de Fermat








1 Định lý nhỏ Fermat
2 Định lý cuối cùng của Fermat
3 Xem thêm
4 Đọc thêm
5 Liên kết ngoài

Những công trình của fermat










*** Tổng quát
A) Lý thuyết số
B) Xác suất
C) Hình học giải tích
D) Toán vi phân
E) Định lý nhỏ của Fermat
F) Định lý cuối cùng của Fermat:
G) Trở thành định lý Fermat- Wiles
-1-


Trường Trung Học Phồ Thông Chuyên Tiền Giang - Lớp 10 Toán
Chuyên Đề : “ Số Nguyên Tố”

H) Số Fermat
I) Đẳng thức Pell-Fermat:
J) Tổng số các lũy thừa 4
K) Phương pháp phản chứng
Kiểm tra Fermat











1 Khái niệm
2 Thuật toán và thời gian thi hành
3 Khả năng vận dụng










Bảng số nguyên tố
Định lý Brouwer
Định lý de Branges
Giải thuật Euclid
Giải thuật Euclid mở rộng
NumberSpiral
Prime numbers
Solving Fermat



The first 15 million primes

Tính chất

Ký hiệu "b

a" nghĩa là b là ước của a, ký hiệu a b nghĩa là a chia hết cho b.

1. Ước số nhỏ nhất khác 1 của một số tự nhiên a > 1 là một số nguyên tố.
Chứng minh: Giả sử d a; d nhỏ nhất; d 1.
Nếu d không nguyên tố d = d1.d2; d1, d2 > 1
d1|a với d1 < d: mâu thuẫn với d nhỏ nhất. Vậy d là nguyên tố.
2. Cho p là số nguyên tố; a
N; a 0. Khi đó
(a,p) = p
(a p)
(a,p) = 1
(a p)
3. Nếu tích chia hết cho một số nguyên tố p thì có ít nhất một thừa số chia hết cho p.
p
ai
p
4. Ước số dương bé nhất khác 1 của một hợp số a > 1 là một số nguyên tố không vượt
quá

.
Chứng minh: Giả sử p là ước dương bé nhất khác 1 của a. Theo tính chất 2 Þ p là
nguyên tố. Ta lại có: a = p.a1, do a1 là một ước dương của a Þ a1 ³ p.
Þ a = p.a1 ³ p2 Þ p £.
5. Tập hợp các số nguyên tố là vô hạn.
Chứng minh: Giả sử có hữu hạn số nguyên tố: p1 < p2 <. .. < pn
Xét a = p1.p2.. .. Pn + 1

-2-


Trường Trung Học Phồ Thông Chuyên Tiền Giang - Lớp 10 Toán
Chuyên Đề : “ Số Nguyên Tố”

Ta có: a > 1 và a ¹ pi; "i = Þ a là hợp số Þ a có ước nguyên tố pi,
Hay ampi và ( pi) M pi Þ 1M pi: mâu thuẫn.
Vậy tập hợp các số nguyên tố là vô hạn.
Tuy nhiên, vì tập hợp số nguyên tố là tập con của số tự nhiên, mà tập hợp số tự
nhiên là đếm được nên tập hợp các số nguyên tố là đếm được.

Bảng số nguyên tố-sàng Eratosthene
Sàng Eratosthene

Hình minh họa cho thấy thuật toán đơn giản để tìm số nguyên tố và các bội số
Các số tô màu giống nhau là cùng một họ mà dẫn đầu (đậm hơn) sẽ là số nguyên tố
Sàng Eratosthene là một giải thuật cổ xưa để lập bảng tất cả các số nguyên tố nhỏ hơn
một số n cho trước. Giải thuật dựa trên tính chất: mọi hợp số m đều có ước nguyên tố không
vượt quá m . Giải thuật đầu tiên xóa số 1 ra khỏi tập các số nguyên tố. Số tiếp theo số 1 là
số 2, là số nguyên tố. Bắt đầu từ số 2 xoá tất cả các bội của 2 ra khỏi bảng Số đầu tiên không
bị xoá sau số 2 (số 3) là số nguyên tố. Tiếp theo lại xoá các bội của 3... Giải thuật tiếp tục cho
đến khi găp số nguyên tố � n thì dừng lại. Tất cả các số chưa bị xoá là số nguyên tố. Theo
ngôn ngữ thuật toán ta có thể diễn đạt giải thuật sàng Eratosthene như sau:
Eratosthene(n)
Var List Prime[1..n]
Int i,j,k
For i:=1 to n Prime[i]:=True
Prime[1]:=false
K=0

While k < sqrt(n) {
I=k+1

-3-


Trường Trung Học Phồ Thông Chuyên Tiền Giang - Lớp 10 Toán
Chuyên Đề : “ Số Nguyên Tố”

While Prime[i]=False i:=i+1
K=i
J=2
Prime[k]:= True
While k*j<=n {
Prime[k*j]:= False
J:=j+1
}
}
}

Lịch sử các bảng số nguyên tố

Định lý cơ bản của số học
Mọi số tự nhiên lớn hơn 1 đều phân tích được thành tích những thừa số nguyên tố, và
sự phân tích này là duy nhất nếu không kể đến thứ tự của các thừa số. Từ đó có dạng phân
tích tiêu chuẩn của một số tự nhiên bất kỳ là:
Trong đó p1,p2,...,pm, là các số nguyên tố đôi một khác nhau. Ví dụ:
300 = 22.52.3

Bài toán xác định số nguyên tố thứ n

Số nguyên tố thứ n
Định lý số nguyên tố
Sự phân bố số nguyên tố

Số nguyên tố Fermat và Mersenne
Giả thiết Goldbach - Euler
Xem thêm


Hợp số

-4-


Trường Trung Học Phồ Thông Chuyên Tiền Giang - Lớp 10 Toán
Chuyên Đề : “ Số Nguyên Tố”

Số nguyên tố và cách xác định số
nguyên tố
Số nguyên tố được nhà toán học nổi tiếng Euclide ( 330 – 275 trước công nguyên )
sinh ở Aten (nhưng sống và làm việc chủ yếu ở Ai Cập ), phát hiện từ thế kỉ thứ 3 trước công
nguyên.
Như ta đã biết ở lớp 6, số nguyên tố là một số tự nhiên lớn hơn 1, không có ước khác 1
và chính nó ( không có ước thực sự ). Số nguyên tố nhỏ nhất là 2. Số nguyên tố 2 là số
nguyên tố chẵn duy nhất.
Vậy làm thế nào để xác định một số đẵ cho có là số nguyên tố hay không ?
Nhà toán học Erathosthenes ( 276 – 194 trước công nguyên ) người hy lạp cổ đại đã
đưa ra phương pháp tìm số nguyên tố bằng cách lập bảng, giống như sang đá sỏi trong cát
gọi là phương pháp sàng. Đây là phương pháp đầu tiên để tìm số nguyên tố và erathosthenes
đã tìm được các số nguyên tố nhỏ hơn 1000 bằng phương pháp này. Phương pháp sàng đơn

giản và bảng số nguyên tố ( “sàng Erathosthenes” ) trong phạm vi số tự nhiên không vượt
quá một tỉ mà loài người có được là do dùng phương pháp này.
Đáng kinh ngạc là năm 1934 một học sinh tên là Sundaram người Ấn độ đã đưa ra
phương pháp sàng để tìm số nguyên tố khác với phương pháp của Erathosthenes.
Tuy vậy người ta không thoả mãn về cách tìm số nguyên tố bằng phương pháp sàng, vì
nó mang tính chất “mù quáng” nhất định và không thế biết trước là phải “sàng” ra số nguyên
tố nào. Những người yêu toán, nhất là các bạn trẻ muốn tìm được quy luật của số nguyên tố,
có nguời đã kiểm tra như sau :

12  1  41  43
22  2  41  47

32  3  41  53
.............
392  39  41  1601
.............
n 2  n  41  ....

Trong đó n là số nguyên dương.
Tuy 39 số n liên tục đầu tiên tính theo công thức (2-1) đều cho số nguyên tố,nhưng n =
40 :
402  40  41  1681  41  41
Lại là hợp số.
Muốn kiểm tra một số có phải là số nguyên tố hay không, cách làm thông thường là
chia thử số đó cho từng số trong tất cả các ước nguyên tố. Cách làm này mặc dầu đã được
cải tiến đáng kể nhưng vẫn mất rất nhiều thời gian.
Tháng 6 – 1640, nhà toán học nghiệp dư ( nghề chính là luật sư ) Pierre de Fermat ( 17/
8/1601 – 12/1/1665 ) người pháp được coi là nhà toán học vĩ đại nhất thế kỉ xvii đã gửi thư
cho M.Mersenne, trong đó dưa ra ba địng ký quan trọng :
-5-

Trường Trung Học Phồ Thông Chuyên Tiền Giang - Lớp 10 Toán
Chuyên Đề : “ Số Nguyên Tố”

“Nếu p không phải là số nguyên tố thì 2p  1 cũng không phải là số nguyên tố (p là số
tự nhiên )”.
(1-2)
p
p
“Nếu p là số nguyên tố lẻ thì 2  2 chia hết cho 2 ”.
(1-3)
“Nếu p là số thì các ước nguyên tố của 2p  1 có dạng 2tp  1 ”.
(1-4)
Ngày 18 – 10 – 1640, P. De Fermat đã gửi thư cho B.F.de Bessy ( 1602 – 1672 ) và đưa
ra định lý sau :
“Nếu p là số nguyên tố thì với mọi số nguyên dương n, n p  n chia hết cho p”.
(1-5)





p
p 1
P.de Fermat đã chứng minh như sau : biến đổi nhị thức n  n  n n  1 . Nếu n là

bội số của p thì khẳng định là hiển nhiên. Đều quan trọng và lý thú chỉ là trường hợp n không
chia hết cho p. Nhưng trong trường hợp này, n va p nguyên tố cùng nhau, vì p là số nguyên tố
nên chỉ có bội số của p mới có thừa số chung với nó mà thôi. Khi n và p nguyên tố cùng nhau

n p 1  1 phải chia hết cho p.
Và p.de Fermat đã phát biể định lý (1-5) dưới dạng thứ hai như sau :
“Nếu p là số nguyên tố thì với mọi số nguyên dương n, n p 1  1 chia hết cho p.”
(1-6)
Trong giáo trình lý thuyết số hiện đại, địng lý nhỏ Fermat được phát biểu dứơi dạng (16)
Năm 1736, léonard euler người pháp gốc thuỵ sỹ ( nhưng sống và làm việc tại nga 31
năm, ở đức 25 năm ), đã khẳng địng lý nhỏ Fermat là trường hợp riêng của định lý euler khi
modul n = p là số nguyên tố. L.euler đã dùng địng ký dư trung hoa để chứng minh định lý
này : n p1  1 chia hết cho p có nghĩa là n p1 và 1 đồng dư theo modul p, tức là :

n p1 �1 mod p 

 1  7

Và định lý nhỏ Fermat có thể phát biều như sau :
“Nếu p là số nguyên tố thì
n p �n  mod p  ”
(1-8)
Câu hỏi đặt ra là :
“Nếu n p 1  1 chia hết cho p thì p có phải là số nguyên tố không ?”.

(1-9)
Điều này tưởng là hiển nhiên, không ngờ vảo năm 1830 một người đức đã tìm ra
2340  1 chia hết cho 341 nhưng 341  11�31 không phải là số nguyên tố và người ta gọi
các số này là số nguyên tố giả. Người ta đã tìm được khi n < 2000 thì chỉ có 5 số nguyên tố
giả, đó là 341,561,1387,1729 và 1905 ( chiếm 0,25%).
Rồi người ta tìm được khi n <10 tỉ thì có 455 052 512 số nguyên tố và có 14 884 số
nguyên tố giả (bằng 0,003% ).
Năm 1876, nhà toán học F.E.Analole Lucas (1842 – 1891 )người pháp đã đưa ra chính
xác mệnh đề đảo của định lý Fermat, sau đó cải tiến thành :

p 1
Nếu tồn tại n sao cho n �1 mod p 
 1 7
Nhưng

-6-


Trường Trung Học Phồ Thông Chuyên Tiền Giang - Lớp 10 Toán
Chuyên Đề : “ Số Nguyên Tố”

n

p 1
r

khong �1 mod p 

 1  10 

Trong đó r là một ước số bất kì của p – 1, r < p – 1 thì p phải là số nguyên tố.
Chẳng hạn xét p = 4093 có phải là số nguyên tố hay không ?
Ta lấy n = 2 thì p – 1 = 4092 = 22 �3 �11�31
4092
�1 mod 4093 , nhưng
Có thể kiểm tra 2

2
2
2

2

4092
2
4092
3
4092
11
4092
31

�1 mod 4093  ,
�360  mod 4093  ,
�3024  mod 4093  ,
�1121 mod 4093 ,

Hay2

4092
r

khong �1 mod 4093

Đối với mọi số nguyên tố của 4092 vì vậy p = 4093 là số nguyên tố.
Lại như, p = 1009, lấy n = 11, p – 1 = 1008 = 24 �32 �7
1008

Kiểm tra : 11
1008
2

11

�1 mod 1009  , nhưng
1008
3

�1 mod 1009  ,11

1008
7

�374  mod 1009  ,11

�935  mod 1009 

Vì vậy p = 1009 là số nguyên tố.
Nhờ phương pháp này mà người ta kiểm tra được các số nguyên tố lớn.
Mệnh đề đảo của định lý nhỏ Fermat còn được tiếp tục cải tiến, nhưng khối lượng tính
toán khi dùng nó để kiểm tra số nguyên tố còn rất lớn và cho đến nay vẫn chưa có được một
phương pháp nào đỡ mất thời gian hơn.
Năm 1643, P.de Fermat lại kiểm tra :
0

22  1  2  1  3
1

22  1  4  1  5
2

22  1  16  1  17
3

22  1  256  1  257
4

22  1  65 536  1  65 537

Thấy 5 số này đều là số nguyên tố nên ông viết thư cho M.Mersenne nêu phỏng đóan
sau:

“khi p là số tự nhiên thì các số có dạng f  p   22  1 chắc chắn là số nguyên tố”.
p

(1-11)
Sau này người ta gọi số như vậy là số Fermat.
Đến năm 1732, L.Euler ( lúc ông 25 tuổi ) đã chứng minh số Fermat thứ 6 ( p = 5 )
không còn là số nguyên tố nữa ( là hợp số ) :

f  5   22  1  232  1  4 294 967 297  641 �6700417
5

-7-


Trường Trung Học Phồ Thông Chuyên Tiền Giang - Lớp 10 Toán
Chuyên Đề : “ Số Nguyên Tố”

Điều kì là mặt dù người ta đã tìm được đến số Fermat thứ 1964 ( p = 1945 ) nhưng vẫn
chưa có được số nguyên tố nào nữa sau số Fermat thứ 5.

Nhà toán học godfrey. Harold.hardy (7/2/1877 – 1/12/1947 ) người anh co rằng, các số
nguyên tố Fermat chỉ có số lượng hữu hạn, còn nhà toán học J.L.Selfridge thì cho rằng số
nguyên tố Fermat chỉ có 5 số như trên chứ không còn số nào khác. Hầu hết những người
quan tâm đều cho rằng số lượng số Fermat là hữu hạn. Tuy vậy để khẳng định đều này vẫn
chưa được chứng minh chặt chẽ.
Số Fermat còn được dùng để dựng đa giác đều n cạnh ( hoặc chia đều vòng tròn n
đoạn ) bằng thướt thẳng và compa.
Những năm gần đây người ta còn nghiên cứu số Fermat nghĩa rộng :

fp  a   a 2  1
p

 1  12 

Trong đó a là số nguyên dương lớn hơn 1.
Hiển nhiên f p  2  chính là số Fermat vừa nói ở ( 1- 11 )
Từ thập niên 1980 các nhà toán học mỹ và nhật bản đã dùng máy tính hiện đại và có
được một số kết quả, chẳng hạn khi 2 �a �1000 đã xác định được :
f 0  a   a  1 có 167 số nguyên tố

f1  a   a 2  1 có 111 số nguyên tố

f 2  a   a 4  1 có 110 số nguyên tố
f3  a   a 8  1 có 40 số nguyên tố

f 4  a   a16  1 có 48 số nguyên tố
f5  a   a 32  1 có 22 số nguyên tố
f 6  a   a 64  1 có 8 số nguyên tố

f 7  a   a128  1 có 7 số nguyên tố

f9  a   a 256  1 có 4 số nguyên tố
Và các số nguyên tố Fermat nghĩa rộng còn nhiều hơn 300 chữ số sau đây :
 Khi p = 7 ( còn ba số nguyên tố nữa ít hơn 300 chữ số )
A = 243, ta được số nguyên tố có 304 chữ số
A = 506, ta được số nguyên tố có 347 chữ số
A = 532, ta được số nguyên tố có 349 chữ số
A = 548, ta được số nguyên tố có 351 chữ số
A = 960, ta được số nguyên tố có 382 chữ số
 Khi p = 8
A = 278, ta được số nguyên tố có 626 chữ số
A = 614, ta được số nguyên tố có 714 chữ số
A = 892, ta được số nguyên tố có 756 chữ số
A = 898, ta được số nguyên tố có 757 chữ số
Các câu hỏi về số Fermat nghĩa rộng còn rất nhiều, chẳng hạn có bao nhiêu số các số
nguyên tố dạng a 2  1 , tức là f1  a  ? Kết quả sơ bộ của câu hỏi này là :
Phạm vi của a

Số chữ số của số nguyên tố dạng a 2  1

-8-


Trường Trung Học Phồ Thông Chuyên Tiền Giang - Lớp 10 Toán
Chuyên Đề : “ Số Nguyên Tố”

842
6 656
11 223

a �104

a �105
a �1,8 �105

Người ta phỏng đoán các số nguyên tố dạng f1  a  là vô hạn. Nhà toán học G.H.Harry


và những người khác phỏng đoán chính xác hơn : số các số ngyuên tố có dạng f  a   a  1
không vượt quá m là :

1,3727 m
b�
In m
b �In m
Nói chính xác hơn là khi m tiến tới vô cùng thì
tíên đến c �1,3727
m
Một nhà toán học có nhiều cống hiến to lớn trong việc tìm số nguyên tố là Marin
Mersenne ( 8/9/1588 – 1/9/1648 ) người pháp.
Năm 1644 ộng viết trong lời tựa cuốn sách “Nghiên cứu vật lý – toán học” như sau :
trong số 55 số nguyên tố không vượt quá 257 chỉ có 11 số (p) là 2, 3, 5, 7, 13, 19, 31, 67,
127 và 257 làm cho 2p  1 trở thàng số nguyên tố. Ông đã kiểm tra 7 số (p) đầu tiên này và
2p  1 đều cho số nguyên tố. Bốn số p sau do khối lượng tính toán quá lớn nên ông chưa
kiểm tra được. Cho đến nay người ta vẫn chưa biết tại sao ông phỏng đoán 4 số p sau cũng
làm cho 2p  1 trở thành số nguyên tố. Về sau 2p  1 được gọi là số nguyên tố Mersenne và
 1

kí hiệu là M p .
Cũng có thể định nghĩa số Mersenne như là tổng của p số hạng đầu tiên của một cấp số
nhân với số hạng đầu là 1, công bội bằng 2.
Sau khi M.Mersenne đưa ra phỏng đoán trên không lâu, người ta đã chứng minh được

rằng : nếu M p là số nguyên tố thì p là số nguyên tố  2 .tuy vậy, điều ngược lại : nếu p là số
nguyên tố thì chưa chắn M p là số nguyên tố, chẳng hạn, khi p = 11 :

M p  211  1  2047  23 �89
Lại là hợp số :
Vậy muốn biết M p có phải là số nguyên tố hay không thì làm thế nào ?
Người ta đã dùng định lý (1 – 4 ) nêu ở trên của p.de Fermat để kiểm tra. Chỉ cần xem

M p co ước nguyên tố dạng 2tp  1 với 2yp  1  M p

là được.

Chẳng hạn

M p  211  1  2047 có ườc nguyên tố dạng 22t + 1 với 22t  1  2047 �45,3 là được.
Ta thấy chỉ có 23 là thoả mãn. Nhưng 2047 chia hết cho 23 nên 2047 không phải là số
nguyên tố mà là hợp số.
17
Nếu tính cho M p  2  1  131 071 . Các số nguyên tố không vượt quá

131071 �362,04 có dạng 34t + 1 chỉ có 103, 137, 239, và 307 nhưng số 131 071 lại chia
hết cho các số này, M17 là số nguyên tố.
Phượng pháp này khá tiện lợi khi p nhỏ, nhưng khi p tương đối lớn thì sẽ rất phiền
phức.

-9-


Trường Trung Học Phồ Thông Chuyên Tiền Giang - Lớp 10 Toán
Chuyên Đề : “ Số Nguyên Tố”

Một phươn gpháp kiểm tra hữu hiệu hơn đối với p tương đối lớn là phương pháp phân
p
biệt của F.E.A. Lucas. Để xét tính nguyên tố của M p  2  1 ( p là số nguyê tố lẻ ) phải đưa
2
ra dãy số sau đây : L 0  4, L1 số dư của L 2  2 chia cho M p ,… cứ tiếp tục như vậy đến khi

L P  2  0 thí đó là điều kiên cần và đủ để M p là số nguyên tố. Tuy vậy, do sự tăng lên của
p thì một mặt M p tăng lên nhanh chóng, mặt khác khối lượng tính toán để cấu tạo được dãy
số L 0 , L1 , L 2 ,...L p  2 cũng lớn khủng khiếp. Do đó phương pháp kiểm tra này không được
dùng nhiều.
Mãi đến năm 1772, L.Euler ( khi đã 65 tuổi và bị mù cả hai mắt ) mới xác định được
M p khi p = 31 là số nguyên tố :

231  1  2 147 483 647

Năm 1877,F.E.A.Lucas  3 đã xác định được M p khi p = 67 không phải là số nguyên tố
và p = 125 thì M p là số nguyên tố.
Điều thú vị là, năm 1886 có người đã chứng minh được M 61 ,năm 1911  M 89 và năm

1914  M107 đều là số nguyên tố mà M.Mersenne đã bỏ sót ( khi phỏng đoán ). Năm 1922 có
người đã chứng minh được M 257 là hợp số ( không phải là số nguyên tố như M.Mersenne đã
phỏng đoán ). Như vậy trong 11 số p mà M.Mersenne phỏng đoán thì có p = 67 và p = 257
làm cho M p không phải là số nguyên tố.
Đến đây nhân loại đã có 12 số nguyên tố M p , trong đó số lớn nhất là M127 .

Với sự xuất hiện và phát triển của máy tính, việc tìm số nguyên tố M p đã sôi động trở
lại. Riêng năm 1952 đã có thêm 5 số nguyên tố M p , đó là các số ứng với p bằng 512, 607,
1279, 2203, 2281.và từ năm 1953 đến năm 1979 có thêm 10 số nữa ( nâng tổng số số nguyên
tố M p lên đến 27 ), đó là các số ứng với p bằng 3217, 4253, 4423, 9689, 9941, 11 213, 19

932, 21 701, 23 209, 44 497.
Điều đặc biệt là hai số nguyên tố M p thứ 25 và 26 lại do hai học sinh trung học 18 tuổi
là Laura Nickel và L.Curt Noll tìm được ngày 30/10/1978 và tháng 2/1979.
Số nguyên tố M p thứ 27 do D.Sowinski người Mỹ tìm ra  4 ngày 8/4/1979. Đây là lần
thứ 4 ông tìm được số nguyên tố M p cho nên đã giành được bốn giải thưởng đặc biệt.
Năm 1983 tìm được M86 243 gồm 25 962 chữ số.
1985 tìm được M 216 091 gồm 65 050 chữ số
1992 tìm được M 216 093
1994 tìm được M 859 433 gồm 256 716 chữ số
4/9/1996 tìm được M1 257 787 gồm 387 632 chữ số
Cuối năm 2001, Michael Cameron 20 tuổi, học sinh làm việc cho dự án quốc tế GIMPS
( chuyên tìm kiếm các số nguyên tố có hơn 1 triệu chữ số ) đã được trao tặng giải thưởng
EFF nhờ việc tìm được số nguyên tố gồm hơn 4 triệu chữ số. Đây cũng là bước tiến vượt bậc
về phần mềm tiềm kiếm.
Tuy vậy, phỏng đoán của Christian Goldbach ( 18/3/1690 – 20/11/1764 ) người Đức
( nhưng sống và làm việc tại Nga ) về sự tồn tại của vô số số nguyên tố M p vẫn chưa ai
chứng minh hay bác bỏ được.

- 10 -


Trường Trung Học Phồ Thông Chuyên Tiền Giang - Lớp 10 Toán
Chuyên Đề : “ Số Nguyên Tố”

Năm 1647, M.Mersenne lại đưa ra các phỏng đoán là số nguyên tố có thể kểin tra bằng
nhị thức sau đây, nếu p là số nguyên tố :

2p �‫�ڱ‬
1
4p

3

2p  1
3

Sau đó nhiều người đã kiểm tra theo phỏng đoán này, trong đó có J.L. Selfridge ở
trường đại học bắc Illinois ( Mỹ ) với 11 số p mà M.Mersenne đã đưa ra ở trên. Kết quả hoàn
toàn phù hợp với phỏng đoán số M p , tức là p = 67 và p = 257 thì các nhị thức này không
cho số nguyên tố, còn 9 số p kia đều được số nguyên tố. Đều lạ là các số p bằng 1021, 4093,
4099, 8191, 16 381, 65 537, 65 539, 131 071, 262 147 và 524 287 thì không nhị thức nào cho
kết quả là số nguyên tố. Như vậy tính chất của các nhị thức này có phải là giống nhau hay
không ? Câu hỏi này vẫn chưa ai trả lời được.
Còn khi p > 524 287 có phỏng đoán ( nhị thức ) nào ở trên nhận được số nguyên tố hay
không vẫn chưa có câu trả lời.
Người ta còn đưa ra khẳng định : không phỉa bất cứ một số nào có dạng 4n �1 cũng
đều là số nguyên tố nhưng bất cứ số nguyên tố nào cũng nằm một trong hai dạng đó. Người
ta cũng chứng minh được rằng các số nguyên tố trong hai dạng đó là vô hạn. Việc chứng
minh cho dạng 4n  1 rất lôi thôi. Nhà toán học Peter Gustav Lejune Dirichlet ( 13/2/1805 –
5/5/1859 ) người đức đã chứng minh trọn vẹn cho dạng 4n  1 .
Tháng 8 – 2002 một nhà toán học và hai sinh viên Ấn Độ đã đưa ra thuật toán đơn giản
( chỉ gồm 13 dòng ), hữu hiệu ( một máy tính chỉ mấy vài giờ đến vài ngày ) và đảm bảo để
xác định tính nguyên tố của một số gồm hàng trăm chữ số. Thuật toán này có thể tìm trên
website />
(1)Trong hệ đếm cơ số 2 ( hệ nhị phân ), số M p được viết chỉ bằng các chữ số
1(không có số 0 ).
(2)Điều này tương đương với định lý ( 1 – 2 ) của P.de Fermat đã nêu trên.
(3) có tài liệu Trung Quốc nói rằng, việc xác định M p khi p = 67 là do giáo sư
toán học Coler đưa ra 1903. Theo chúng tôi, đây là sự nhầm lẫn.
(4) có tài liệu nói rằng, số này do Silovasik và Halinelin tìm ra.

- 11 -


Trường Trung Học Phồ Thông Chuyên Tiền Giang - Lớp 10 Toán
Chuyên Đề : “ Số Nguyên Tố”

Số nguyên tố phân bố như thế nào ?
Số nguyên tố có vị trí rất quan trọng trong tập số tự nhiên, do vậy người tar a sức
nghiên cứu quy luật phân bố của dãy số nguyên tố, nhựng đây là một vấn đề khó. Việc
không có dấu hiệu rõ ràng để nhận biết số nguyên tố làm cho lý thuyết số trở thành một lĩnh
vực khá đa dạng và phong phú.
Nếu đưa các số nguyên tố đã tìm được xếp yheo thứ tự từ nhỏ đến lớn thì thấy chúng
phân bố không theo quy luật nào cả. Số nguyên tố going như đáư trẻ tinh nhịch : trốn phía
đông, nấp phía tây. Chẳng hạn các số 101, 401, 601, 701, là các số nguyên tố nhưng 201,
301, 501, 901, … lại là hợp số. Hoặc các số có 2 chữ số 1, 19 chữ số 1, 23 chữ số 1, 317 chữ
số 1, …là những số nguyên tố nhưng những số có 8 chữ số 1, 11 chữ số 1, 13 chữ số 1, 17
chữ số 1 … lại là hợp số.
Nhà toán học D.Bertrand ( 1882 – 1900 ) người pháp đã dựa vào quan sát và thực
nghiệm đưa ra hai phỏng đoán giữa a và 2a ( a là số nguyên dương lớn hơn 1 ) có ít nhất 1 số
nguyên tố. Và năm 1852, Pafnouti Livovitch Tchebychev ( 16/5/1821 – 8/12/1894 ) người
Nga đã chứng minh phỏng đoán này là đúng.

Câu hỏi : có phải lúc nào cũng có 1 số nguyên tố giữa a 2 � a  1 không thì vẫn chưa
2

có câu trả lời.

Bạn đọc tự chứng minh kết luận sau đây : khi a > 1 thì giữa a 2 � a  1 ít nhất có 1
2

số nguyên tố.
Năm 1830 nhà toán học Adrien Marie Legredre ( 18/9/1752 – 10/1/1833 ) người pháp
đã đưa ra phỏng đoán sau đây :
Gọi Sn là số lượng các số nguyên tố nhỏ hơn 1 thì:

Sn
1
n �� n
In n

 2  1

lim

Tức là

Sn In
n

n

S
sẽ tiến tới 1 khi n tiến tới vô cùng  1 . Nói cách khác, n ( gọi là
n

mật độ các số nguyên tố trong n số nguyên dương đầu tiên ) xấp xỉ bằng

1
và giá trị xấp

In n

xỉ sẽ tốt hơn khi n tăng.
Điều này cũng được “vua toán học” Card Friedrich Gauss ( 30/4/1777 – 23/2/1855 )
người Đức, độc lập phỏng đoán gần như cùng thời gian với A.M.Legendre.
Năm 1848 nhà toán học Sobisev người Nga đã có được kết quả về chứng minh phỏng
đoán này. Sau đó P.L.Tchebychev đã chứng minh được :

n
Sn �
In n

 2  2

Năm 1896, viện sĩ toán học Jacques Salomon Hadamard ( 8/12/1865 – 17/10/1963 )
người pháp đã chứng minh được ( 2 – 1 ). Kết quả này cũng được nhà toán học charles.
Jean.de la vallés – Poussin ( 14/8/1866 – 2/3/1962 ) người Bỉ độc lập chứng minh năm 1896.
Đến năm 1949, P.Erdos và nhà toán học Atle Selberg ( 19/6/1917 - ?) Người Nauy cũng
độc lập chứng minh được ( 2 - 1) bằng cách dựa vào đẳng thức Selberg. Công việc của họ
- 12 -


Trường Trung Học Phồ Thông Chuyên Tiền Giang - Lớp 10 Toán
Chuyên Đề : “ Số Nguyên Tố”

được coi là quan trọng có ý nghĩa hàng đầu đối với lý thuyết số nguyên tố. Nhờ công lao này
mà A. Selberg dành được giải thưởng Fields  2 năm 1950, còn P.Erdos thì nhận được giải
thưởng đại số và lý thuyết số của Mỹ năm 1951.
Như vậy, phỏng đoán (2 – 1 ) được coi là định lý về sự phân bố số nguyên tố ( của
A.M.Legendre và C.F.Gauss ) là định lý nổi tiến và quan trọng nhất trong lý thuyết số.

A.M.legendre còn khẳng địng rằng, trong 1 triệu số nguyên dương đầu tiên, số lượng

Sn số nguyên tố nhỏ hơn n xấp xỉ bằng

n
và ông cho rằng điều này vẫn đáung
In n  1,08366

khi n  106 , nhưng P.L.Tchebychev đã bằng cách lập luận chặt chẽ, chứng minh rằng điều
này là không có cơ sở khoa học và không đúng nếu n  106 .
Từ các kết quả nghiên cứu ta có mật độ các số nguyên tố như sau :
Đến n
10
2

10
103
104
105
106
107
108
109
1010

Sn
n
0,4
0,25
0,168

0,1229
0,09592
0,078496
0,0664579
0,05761555
0,0508475345
0,0455052511

Về số lượng số nguyên tố, nếu không trực tiếp đếm thì không thể nào biết được từ 1
đến 10 triệu số tự nhiên có bao nhiêu số nguyên tố ? Đây là 1 trong hai câu hỏi khó nhất mà
đến nay vẫn chưa có câu trả lời. Người ta chỉ biết rằng số nguyên tố càng lớn thì số lượng
càng giảm trong mỗi đơn vị số nguyên dương. Chẳng hạn giữa các số tự nhiên.
1 – 1000 có 168 số nguyên tố
1000 – 2000 có 135 số nguyên tố
2000 – 3000 có 124 số nguyên tố
3000 – 4000 có 120 số nguyên tố
4000 – 5000 có 119 số nguyên tố
……….
Số lượng các số nguyên tố là vô hạn đã được Euclice chứng minh khoảng năm 275
trước công nguyên. Đây là một trong hai kết quả chính đạt được trong thời kì Cổ Đại khi
nghiên cứu số nguyên tố và được gọi là định lý Euclice, là một định lý quan trọng trong lý
thuyết số, đó chính là mệnh đề 20 trong quyển IX của bộ sách “Nguyên lý” được ông viết
vào cuối thế kỉ IV trước công nguyên :
“cho trước bao nhiêu số nguyên tố thì sẽ có nhiều số nguyên tố hơn so với chúng.”
Nhưng các số nguyên tố có dạng
E h  p1p2 p3 ...p h  1 �eh  p1p 2 ...p h  1 trong đó p1 , p 2 ,..., p h và h là số nguyên tố
cho trước, có nhiều vô hạn hay hữu hạn số nguyên tố thì vẫn chưa có câu trả lời thích đáng.
- 13 -

Trường Trung Học Phồ Thông Chuyên Tiền Giang - Lớp 10 Toán
Chuyên Đề : “ Số Nguyên Tố”

Tuy vậy, tháng 4 – 1995 người ta đã xác định được trong phạm vi h < 35 000 có 18p h :
2, 3, 5, 7, 11, 31, 379, 1 019, 1 021, 2 657, 3 229, 4 547, 4 787, 11 549, 13 649, 18 523, 23
801 và 24 029 cho E h là số nguyên tố ( số nguyên tố E 24 029 gồm 10 378 chữ số ) và 17 số
p k : 3, 5, 11, 41, 89, 317, 337, 991, 1 873, 2 053, 2 377, 4 093, 4 297, 4 538, 6 569, 13 033
và 15 877 sao cho e h là số nguyên tố ( số nguyên tố e15 877 gồm 6 845 chữ số ).
Khi chứng minh tính vô hạn của số nguyên tố, R.F.Fortane đã đặt p là số nguyên tố nhỏ
nhất lớn hơn E h và phỏng đoán rằng :
“ Fh  p  E h  1 đối với số tự nhiên tuỳ ý đều có số nguyên tố ”.
Chẳng hạn :

E1  2  1  3, p  5, F1  5  3  1  3

E 2  2 �3  1  7, p  11, F2  11  7  1  5
E 3  2 �3 �5  1  31, p  37, F3  37  31  1  7
E 4  2 �3 �5 �7  1  211, p  223, F4  223  211  1  13
E 5  2 �3 �5 �7 �11  1  2311, p  2333, F5  2333  2311  1  23
E 6  2 �3 �5 �7 �11�13  1  30031, p  30047, F6  30047  30031  1  17
Nếu tiếp tục cho h bằng 7,8,9,…,21 thì Fh tương ứng là 19, 23, 37, 61, 67, 61, 71, 47,
107, 59, 61, 109, 89, 103, 79.
Phần lớn các nhà nghiên cứu về số nguyên tố cho rằng phỏng đoán của R.F.Fortane là
đúng nhưng vẫn chưa chứng minh chặt chẽ.
Người ta cò đặt p1 , p 2 , p3 ,..., pi là số nguyên tố tuỳ ý, lấy số nguyên dương n lớn hơn
một số nguyên tố bất kỳ trong dãy và gọi N n  n!  1 thì p1 , p 2 , p3 ,..., pi đều không chia
hết cho N n có ước số nguyên tố khác với p1 , p2 , p3 ,..., pi .
'
Đương nhiên cũng có thể đổi N n thành N n  n!  1

Phỏng đoán này dẫn chúng ta đến việc nghiên cứu N n và N n là số nguyên tố. Trong
phạm vi n < 4580, người ta đã phát hiện được 17 giá trị của n : 1, 2, 3, 11, 27, 37, 41, 73, 77,
116, 154, 320, 340, 399, 427, 872, 1477 cho N n  n!  1 là một số nguyên tố và 20 giá trị
của n : 3, 4, 6, 7, 12, 14, 30, 32, 33, 38, 94, 166, 324, 378, 469, 546, 974, 1963, 3507, 3610
'
cho N n  n!  1 là số nguyên tố.
'

'

Vậy số nguyên tố dạng N n �N n có vô hạn hay hữu hạn vẫn chưa được làm sáng tỏ.
Cống hiến về việc chứng minh dãy số nguyên tố là vô hạn phải kể đến công lao của L.
Euler thật tuyệt vời, tuy có phức tạp hơn cách chứng minh của Euclice, nhưng các nhà toán
học lại rất bai phục, vì kết quả có được lớn hơn rất nhiều so với việc chứng minh định lý này.
( xem chi tiết ở tập 4 – các câu chuyên toán học )
 1

In là Logarit tự nhiên của n, lấy e = 2,71828… làm cơ số :

1 1 1
1
In n �    ... 
1 2 3
n

- 14 -


Trường Trung Học Phồ Thông Chuyên Tiền Giang - Lớp 10 Toán
Chuyên Đề : “ Số Nguyên Tố”

 2

giải thưởng Fields 4 năm xét 1 lần, là 1 kiểu giải thưởng Nobel cho tóan học ( bởi vì
giải thưởng Nobel không xét cho toán học ), do Hội Nghị Toán học thế giới đặt ra năm 1932,
với ngân quỹ do nhà toán học John Charles Fields ( 14/5/1963 – 9/8/1932 ) người Canada để
lại.

- 15 -


Trường Trung Học Phồ Thông Chuyên Tiền Giang - Lớp 10 Toán
Chuyên Đề : “ Số Nguyên Tố”

Kiểm tra tính nguyên tố
Kiểm tra tính nguyên tố (tiếng Anh: primality test) là bài toán kiểm tra xem một số tự
nhiên n có phải là số nguyên tố hay không. Bài toán này đặc biệt trở nên quan trọng khi các
hệ mật mã khoá công khai ra đời.

Mục lục





1 Các phương pháp thô sơ
2 Kiểm tra theo xác suất
3 Các phép kiểm tra tất định
4 Độ phức tạp



5 Các phương pháp lý thuyết số

Các phương pháp thô sơ
Phương pháp đơn giản nhất để kiểm tra một số n có là số nguyên tố không là kiểm tra
xem nó có chia hết cho các số m từ 2 đến n − 1 hay không. Nếu n chia hết cho một số m nào
đó thì n là hợp số (composite), ngược lại n là số nguyên tố.
Thực ra việc kiểm tra với m từ 2 đến n − 1 là không cần thiết, mà chỉ cần kiểm tra đến
n . Đó là vì nếu n là hợp số thì nó chắc chắn có ước số không vượt quá n .
Chúng ta cũng có thể bỏ qua việc kiểm tra trường hợp m = 2 bằng cách chỉ xét các số
lẻ. Đi xa hơn một chút, ta chỉ cần xét các số dạng 6k �1 và bỏ qua việc kiểm tra 2 trường
hợp m = 2 và m = 3. Đó là vì tất cả các số nguyên đều có dạng 6k + i với k nào đó và
i  0, �1, 2,3, 4 ; mà trong đó 6k + 0, 6k + 2, 6k + 4 chia hết cho 2, còn 6k + 3 thì chia hết cho
3. Tiếp tục với các nhận xét đó, ta có thể tổng quát hóa thành thuật toán sàng Eratosthenes.

Kiểm tra theo xác suất
Các phép kiểm tra tính nguyên tố hay dùng nhất là các thuật toán ngẫu nhiên. Giả sử có
một mệnh đề Q(p,a) nào đó đúng với mọi số nguyên tố p và một số tự nhiên a <= p. Nếu n là
một số tự nhiên lẻ và mệnh đề Q(n,a) đúng với một a<= n được lấy ngẫu nhiên, khi đó a có
khả năng là một số nguyên tố. Ta đưa ra một thuật toán, kết luận rằng n là số nguyên tố. Nó
là một thuật toán ngẫu nhiên hay thuật toán xác suất. Trong các thuật toán loại này, dùng một
kiểm tra ngẫu nhiên không bao giờ kết luận một số nguyên tố là hợp số nhưng có thể kết luận
một hợp số là số nguyên tố. Xác suất sai của phép kiểm tra có thể giảm xuống nhờ việc chọn
một dãy độc lập các số a; nếu với mỗi số a xác suất để thuật toán kết luận một hợp số là số
nguyên tố là nhỏ hơn một nửa thì sau k lần thử độc lập, xác suất sai là nhỏ hơn 2−k, độ tin cậy
của thuật toán sẽ tăng lên theo k.
Cấu trúc cơ bản của một phép kiểm tra ngẫu nhiên là:
1.
Chọn một số ngẫu nhiên a.

2.
Kiểm tra một hệ thức nào đó giữa số a và số n đã cho. Nếu hệ thức sai
thì chắc chắn n là một hợp số (số a là "bằng chứng" chứng tỏ n là hợp số) và dừng
thuật toán.
- 16 -


Trường Trung Học Phồ Thông Chuyên Tiền Giang - Lớp 10 Toán
Chuyên Đề : “ Số Nguyên Tố”

3.

Lặp lại bước 1 cho đến khi đạt được số lần đã định hoặc gặp bước 2.

Sau một loạt lần kiểm tra, nếu không tìm được bằng chứng chứng tỏ n là hợp số thì ta
kết luận n là số nguyên tố.
Các phép kiểm tra tính nguyên tố ngẫu nhiên là
Phép kiểm tra tính nguyên tố của Fermat(kiểm tra Fermat. Đây là phép thử
heuristic; tuy nhiên ít người sử dung phép thử này
Được sử dụng nhiều hơn là Kiểm tra Miller-Rabin và Kiểm tra SolovayStrassen. Với mói hợp số n, ít nhất 3/4 (với kiểm tra Miller-Rabin) hoặc 1/2 (Với
kiểm tra Solovay-Strassen) các số a là bằng chứng chứng tỏ n là hợp số).

Các phép kiểm tra tất định
Vào năm 2002, Manindra Agrawal, Nitin Saxena và Neeraj Kayal đề xuất một giải
thuật tất định kiểm tra tính nguyên tố, là kiểm tra AKS, có khả năng chạy trong O((log n)12).
Trên thực tế thuật toán này chạy chậm hơn các phương pháp xác suất.

Độ phức tạp
Trong lý thuyết độ phức tạp, bài toán về tính nguyên tố được gọi đơn giản là bài toán
nguyên tố. Dễ thấy rằng nó là conp: bài toán ngược của nó, bài toán hợp số là NP.

Năm 1975, Vaughan Pratt nhận thấy rằng tồn tại các thuật toán kiểm tra tính nguyên tố
trong thời gian đa thức, và như vậy PRIMES là NP, và do đó thuộc về NP ∩ conp.
Vào năm 2002, Manindra Agrawal, Nitin Saxena và Neeraj Kayal đề xuất một giải
thuật tất định kiểm tra tính nguyên tố, là kiểm tra AKS, có khả năng chạy trong O((log n)12).
Thế cho nên PRIMES là P.

Các phương pháp lý thuyết số
Có một vài phương pháp khác trong lý thuyết số để kiểm tra tính nguyên tố như kiểm
tra Lucas-Lehmer và kiểm tra Proth. Chúng thường dựa vào việc phân tích n + 1, n − 1, hoặc
những số khác. Tuy nhiên các phương pháp này không dừng cho các số tự nhiên n bất kỳ mã
chỉ cho các số có một dạng đặc biệt nào đó Kiểm tra Lucas-Lehmer dựa trên tính chất: bậc
(multiplicative order) cúa một số a modulo n là n − 1 với n là số nguyên tố và a là căn
nguyên thuỷ (primitive root) modulo n. Nếu ta có thể biểu diễn a chỉ theo n, ta có thể thấy n
là nguyên tố.

Hợp số
Bách khoa toàn thư mở Wikipedia

Bước tới: menu, tìm kiếm
Cho hai số tự nhiên a, b. Nếu có số tự nhiên q sao cho a=b*q thì ta nói a chia hết cho b
hay b chia hết a. Khi đó ta cũng nói a là bội của b, b là ước của a. Mọi số tự nhiên n lớn hơn
- 17 -


Trường Trung Học Phồ Thông Chuyên Tiền Giang - Lớp 10 Toán
Chuyên Đề : “ Số Nguyên Tố”

1 đều có ít nhất hai ước tự nhiên là 1 và chính nó. Các ước này được gọi là ước tầm thường
của n. Một số tự nhiên lớn hơn 1, không chia hết cho số nào khác ngoài các ước tầm thường,
được gọi là số nguyên tố. Các số tự nhiên lớn hơn 1, không nguyên tố được gọi là hợp số.

Thuộc tính




Mọi số chẵn lớn hơn 2 đều là hợp số.
Mọi hợp số không phải là số nguyên tố.
Hợp số nhỏ nhất là 4.

Ta luôn luôn có
hơn 4 (định lý Wilson).
 Ngoài ra
lý Wilson).

đối với mọi hợp số n lớn



đối với mọi hợp số n lớn hơn 4 (định

Xem thêm

Pierre de Fermat
- 18 -


Trường Trung Học Phồ Thông Chuyên Tiền Giang - Lớp 10 Toán
Chuyên Đề : “ Số Nguyên Tố”

Pierre de Fermat (20 tháng 8, 1601 tại Pháp – 1665) là một học giả nghiệp dư vĩ đại,
một nhà toán học nổi tiếng và cha đẻ của lý thuyết số hiện đại. Xuất thân từ một gia đình khá
giả, ông học ở Toulouse và lấy bằng cử nhân luật dân sự rồi làm chánh án. Chỉ trừ gia đình
và bạn bè tâm giao, chẳng ai biết ông vô cùng say mê toán. Mãi sau khi Pierre de Fermat
mất, người con trai mới in dần các công trình của cha kể từ năm 1670. Năm 1896, hầu hết
các tác phẩm của Fermat được ấn hành thành 4 tập dày. Qua đó, người đời vô cùng ngạc
nhiên và khâm phục trước sức đóng góp dồi dào của ông. Chính ông là người sáng lập lý
thuyết số hiện đại, trong đó có 2 định lý nổi bật: định lý nhỏ Fermat và định lý lớn Fermat
(định lý cuối cùng của Fermat).
Trong hình học, ông phát triển phương pháp tọa độ, lập phương trình đường thẳng và
các đường cong bậc hai rồi chứng minh rằng các đường cong nọ chính là các thiết diện cônic.
Trong giải tích, ông nêu các quy tắc lấy đạo hàm của hàm mũ với số mũ tỷ bất kỳ, tìm cực
trị, tính tích phân những hàm mũ với số mũ phân số và số mũ âm. Nguyên lý Fermat về
truyền sáng lại là một định luật quan trọng của quang học.
Dù hoạt động khoa học kiên trì và giàu nhiệt huyết, đem lại nhiều thành quả to lớn như
vậy, nhưng éo le thay, Pierre de Fermat bình sinh chẳng thể lấy việc nghiên cứu toán làm
nghề chính thức.

Mục lục





1 Định lý nhỏ Fermat
2 Định lý cuối cùng của Fermat
3 Xem thêm
4 Đọc thêm



5 Liên kết ngoài

Định lý nhỏ Fermat
Với p là một số nguyên tố khác 2 thì chia một số a lũy thừa p cho p sẽ có số dư chính
bằng a

Định lý cuối cùng của Fermat
Xem chi tiết: Định lý cuối cùng của Fermat
- 19 -


Trường Trung Học Phồ Thông Chuyên Tiền Giang - Lớp 10 Toán
Chuyên Đề : “ Số Nguyên Tố”

Nguyên văn bản viết tay của Pierre de Fermat ngày 4 tháng 3 năm 1660, hiện lưu giữ
tại Departmental Archives of Haute-Garonne, Toulouse
Câu chuyện về định lý cuối cùng của Fermat là câu chuyện độc nhất vô nhị trong lịch
sử toán học thế giới, khởi nguồn từ cổ đại với nhà toán học Pythagore. Bài toán cuối cùng
(sau này giới toán học gọi là Định lý cuối cùng của Fermat, hay Định lý lớn Fermat) có gốc
từ định lý Pythagore: "Trong một tam giác vuông, bình phương cạnh huyền bằng tổng bình
phương hai cạnh góc vuông". Fermat thay đổi phương trình Pythagore và tạo ra một bài toán
khó bất hủ.
Phương trình Pythagore cho ta:
X² + y² = z²
Người ta có thể hỏi những nghiệm số nguyên của phương trình này là gì, và có thể thấy
rằng:
3² + 4² = 5²
Và
5² + 12² = 13²

Và nếu tiếp tục tìm kiếm thì sẽ tìm thấy rất nhiều nghiệm như vậy. Fermat khi đó xét
dạng bậc ba của phương trình này:
X³ + y³ = z³
Ông đặt câu hỏi: có thể tìm được nghiệm (nguyên) cho phương trình bậc ba này hay
không? Ông khẳng định là không. Thực ra, ông khẳng định điều đó cho họ phương trình tổng
quát:
Xn + yn = zn,
Trong đó n lớn hơn 2 không thể tìm được nghiệm (nguyên) nào. Đó là Định lý Fermat
cuối cùng.

- 20 -


Trường Trung Học Phồ Thông Chuyên Tiền Giang - Lớp 10 Toán
Chuyên Đề : “ Số Nguyên Tố”

Bên phải lề giấy là dòng chữ nổi tiếng của Fermat
Điều lý thú ở đây là phỏng đoán này được Fermat ghi bên lề một cuốn sách mà không
chứng minh, nhưng có kèm theo dòng chữ: "Tôi có một phương pháp rất hay để chứng minh
cho trường hợp tổng quát, nhưng không thể viết ra đây vì lề sách quá hẹp."!!
Các nhà toán học đã cố gắng giải bài toán này trong suốt 300 năm. Trong lịch sử đi tìm
lời giải cho định lý cuối cùng của Fermat có người phải tự tử và có cả sự lường gạt... Và cuối
cùng nhà toán học Andrew Wiles (một người Anh, định cư ở Mỹ, sinh 1953) sau 7 năm làm
việc trong cô độc và 1 năm giày vò trong cô đơn đã công bố lời giải độc nhất vô nhị vào mùa
hè năm 1993 và sửa lại năm 1995, với lời giải dài 200 trang.

Xem thêm


Đẳng thức Pell-Fermat

X2 - n y2 = 1
Bất cứ số nguyên tố nào có dạng 4n+1 đều là tổng của hai số bình phương
(Được chứng minh bởi Euler)
Bất cứ số nào cũng tự phân tích ra thành 3 theo hình tam giác, 4 theo hình
vuông, 5 theo hình ngũ giác...

Đọc thêm
Simon Singh, Định Lý Cuối Cùng Của Fermat, Phạm Văn Thiều và Phạm
Việt Hưng dịch, Nxb Trẻ,


Pierre de Ferma (1601-1665) nhà toán học Pháp đã thách đố những bộ óc nhân loại trong 358 năm
bằng định lý cuối cùng của ông
1/ Tiểu sử
2/ Fermat không phải là nhà toán học chuyên nghiệp
3/ Những công trình của Fermat

- 21 -


Trường Trung Học Phồ Thông Chuyên Tiền Giang - Lớp 10 Toán
Chuyên Đề : “ Số Nguyên Tố”















*** Tổng quát
A) Lý thuyết số
B) Xác suất
C) Hình học giải tích
D) Toán vi phân
E) Định lý nhỏ của Fermat
F) Định lý cuối cùng của Fermat:
G) Trở thành định lý Fermat- Wiles
H) Số Fermat
I) Đẳng thức Pell-Fermat:
J) Tổng số các lũy thừa 4
K) Phương pháp phản chứng

4/ Tác phẩm không in
5/ Link tới những trang nói về Fermat
6/ Sách dịch tiếng Việt về Định lý cuối cùng của Fermat được Andrew Wiles giải
1/ Tiểu sử:

Pierre Fermat sinh ngày 17 tháng 8, 1601 tại
Beaumont-de-Lomagne thuộc Tarn-et-Garonne. Xuất thân từ một
gia đình thương gia khá giả, ông theo học ở Toulouse và có cử
nhân luật dân sự.
Nguyên văn tờ khai sinh của Pierre:

« Pierre, fils de Dominique Fermat, Bourgoys et segont
consul de la ville de Beamont, a esté baptisé le 20 août 1601,
parrin Pierre Fermat, marchant et frère dudit Dominique,
marrine Jeanne Cazeneuve, par moy Dumas vicaire »
Năm 1630 ông làm cố vấn cho vua tại Phòng
thỉnh cầu (Chambre des requêtes) tại Pháp viện
(Parlement) Toulouse và kể từ năm 1648 ông được
giữ những chức vụ quan trọng hơn tại Phòng hình sự
(Chambre criminelle) và Grand' Chambre. Từ năm
1648 ông trở thành hội viên Phòng Khiếu nại tại
Castres (Chambre de l'Edit de Castres) mà vai trò là
giải quyết những tranh chấp giữa những người Hồi
giáo và Thiên chúa giáo.
Chức vụ chánh án (magistrat) bảo đảm cho ông lương bổng dồi dào cùng với miếng
đất 140 mẫu tây để trồng trọt. Và cũng nhờ chức vụ cao ở Pháp viện mà họ ông được thêm
chữ "de" quí tộc và tên ông từ đó là Pierre de Fermat.

- 22 -


Trường Trung Học Phồ Thông Chuyên Tiền Giang - Lớp 10 Toán
Chuyên Đề : “ Số Nguyên Tố”

2/ Fermat không phải là nhà toán học chuyên

nghiệp
Người ta đã biết nhiều đến Fermat qua việc làm cùng các công trình
nghiên cứu của ông và sự giao dịch giữa ông với những nhà trí thức đồng thời
với ông. Vào thế kỷ thứ 17, đã có một sự phát triển nhanh chóng về khoa học và
văn hóa, đưa đến nhiều phát minh trong đó có những khám phá của Fermat.

Tuy nhiên thế giới khoa học lúc đó chưa được tổ chức, và chưa có nghề chuyên
về toán học. Fermat cũng như những nhà thông thái đồng thời với ông khi đó,
không phải là một nhà toán học chuyên nghiệp. Phần lớn những người say mê
toán học là những người ở trong ngành luật : Viète là một luật sư, Despagnet là
nghị viên trong Nghị viện thành phố Bordeaux. Còn Carcavi, con một chủ ngân
hàng, đang mới vào làm nghị viên trong Nghị viện thành phố Toulouse. Tại đây, Carvani đã làm quen với
Fermat, và hai người đã trở thành bạn tâm giao suốt cuộc đời của họ. Chỉ riêng có Roberval là ngoại lệ mà thôi.
Năm 1632, lần đầu tiên Fermat gặp Pierre de Carcavi, một cố vấn khác của Pháp viện Toulouse mà ông
đã chia sẻ niềm say mê tóan học. Fermat đã cùng với Carvani và Mersenne giải những bài toán về sự rơi các
vật mà Galilée đã đưa ra.
Không phải lúc nào Fermat cũng luôn luôn đồng ý với René Descartes: Descartes giải bằng hình học
còn Fermat đi trực tiếp bằng phương trình đại số để vẽ đường cong.
Fermat đã có những công trình về toán giải tích dựa trên căn bản toán vi phân mà Isaac Newton (1643 ;
1727) và Gottfried Wilhelm von Leibniz (1646-1716) đã tiếp nối sau đó.
Fermat đi sát tới khái niệm về đạo hàm để tìm điểm cực tiểu và cực đại cho những hàm số đa thức và phát
triển phương pháp tích phân gần giống như cái mà chúng ta đang dùng hiện tại.
Những hoạt động khoa học không chuyên nghiệp của ông làm ông được xem như một thiên tài lúc bấy
giờ. Ông yêu toán, thích chứng minh và đề nghị nhiều phương pháp mới mẻ. Tuy nhiên ông chỉ trao đổi thư từ
với các nhà khoa học khác như Galilée (1564 ; 1642), René Descartes (1596 ; 1650), Blaise Pascal (1623 ;
1662) ou Marin Mersenne (1588 ; 1648).
Nhưng cái làm cho Fermat đam mê là những bài toán thời cổ đại. Ông trình bày và phát triển các công
trình số học của Pythagore thành Samos (-569 ; -475), Euclide thành Alexandrie (-320 ; -260), Archimède
thành Syracuse (-287 ; -212), Eudoxe thành Cnide (-408 ; -355) và Diophante của Alexandrie (thế kỷ thứ 3 niên
đại chúng ta). Chính trong tác phẩm của ông này mà Số học của Fermat chất chứa mọi nghiên cứu trên lý
tghuyết các số. Ông để lại nhiều đề toán chưa chưa chứng minh mà nhà toán học Leonhard Euler (1707 ; 1783)
sẽ giải sau này. Đặc biệt là giả định Fermat: Phương trình xn + yn = zn không có nghiệm số với x, y, z >0 và n>2
Tác phẩm này Fermat viết và con trai ông đã in ra ngay sau khi ông mất.
Tóm lại, Fermat là nhà đại toán học không chuyên nghiệp nhưng đã để lại cho nhân loại rất nhiều:

3/ Những công trình của Fermat

*** Tổng quát
Ông phát minh ra rất nhiều thuyết.
Chúng ta chỉ biết về các công trình và những ý tưởng của ông nhờ những lời dẫn giải trong các tác phẩm
của ông và rất nhiều thư từ ông đã viết cho các nhà bác học đồng thời với ông. May thay, Samuel-Clément
Fermat đã ráng tìm giữ lại được những tài liệu đó. Nên một phần tác phẩm của Fermat đã được in ra vào cuối thế
kỷ thứ 17, rồi tái bản vào thế kỷ thứ 19. Và đang dần dần tái bản trở lại.
Không có tác phẩm nào được in ra trong lúc Fermat còn sống. Người ta tìm lại được bài viết về hình học
được ra mắt năm 1660, phụ bản của quyển viết về cycloïde và ký những chữ cái đứng đầu của tên ông, do cha
đạo Antoine de Laloubère in tại Toulouse.
Năm 1670, năm năm sau khi cha mất, Samuel Fermat cho ra mắt quyển Diophante của Bachet de Méziriac
chính tay Pierre Fermat chú giải cùng với một số thư từ của ông.
Năm 1675 các kết quả của nghiên cứu của học được Christiaan Huygens (1629 ; 1695) in ra trong tác
phẩm "De ratiociniis in ludo aleae".
Năm 1679, Samuel in ra dưới tựa đề Varia Opera Mathématica, những tác phẩm của cha mà ông đã gom

- 23 -


Trường Trung Học Phồ Thông Chuyên Tiền Giang - Lớp 10 Toán
Chuyên Đề : “ Số Nguyên Tố”

góp lại.
Đầu thế kỷ thứ 19, người ta chép lại những bài viết của Fermat đã giữ lại được từ thời Marin Mersenne
(1588 ; 1648) đem cất tại tu viện Minimes Paris. Phải đợi cuối thế kỷ 19, hơn 230 năm sau khi ông mất người ta
mới tìm thất tất cả những tác phẩm của Fermat. Mặc dù từ khi được tin ông mất, những người cùng thời đã có ý
quan tâm đến sự lưu trữ những công trình nghiên cứu của ông. Như thư của Christiaan Huygens (1629 ; 1695)
viết cho Pierre de Carcavi (1600-1684): "j'espère cependant qu'on ne laissera pas perdre ce qu'il reste de ses
écrits, et puis que vous avez toujours esté de ses intimes amis, je ne doute pas que vostre intervention auprès de
ses héritiers ne soit de grande efficace pour tirer de l'obscurité de si excellentes reliques".
Năm 1843, bộ trưởng bộ văn hóa cho ra một dự án in toàn bộ tác phẩm của Fermat bằng ngân quỹ nhà

nước.
Năm 1844, Guillaume Libri loan tin có đọc thấy một bài báo trong tờ Journal des Savants ra năm 1839
viết rằng đã tìm thấy được một số thư từ của Fermat chưa từng xuất bản được bán tại Metz. Guillaume Libri giao
cho Théodore Despeyrous, một nhà toán học trẻ tuổi đầy hứa hẹn, gốc tại Beaumont de Lomagne lo dự án in ấn
các tác phẩm của Fermat. Guillaume Libri đã kéo dài dự án cho tới năm 1848 người ta mới khám phá ra là ông ta
đã biển thủ, bán các tác phẩm và bản thảo viết tay của Fermat
1879, Charles Henry in ra một tác phẩm tựa đề "Nghiên cứu các bản thảo của Pierre de Fermat"
(Recherches sur les manuscrits de Pierre de Fermat). Liền sau đó ông nhận thư của ông Hoàng Baldassare
Boncompagni báo tin là ông ta có giữ hai bản thảo chứa những bài viết chưa hề được in của Fermat mà ông sẵn
sàng in ra.
16 tháng 2, 1882, một đề nghị cho ra luật mới: các tác phẩm chuẩn bị in sẽ được giao phó cho Paul
Tannery và Charles Henry, in ấn sẽ do nhà xuất bản Gauthier Villars.
Năm 1896, cuối cùng các tác phẩm của Fermat đã được in ra thành 4 cuốn, nhờ đó mà các thế hệ sau tìm
hiểu phần nào các công trình của ông.

Http://www.cdg82.fr/beaumont/histoire/fermat/genie.htm
Như đã nói trên, Fermat đã viết rất nhiều. Sau đây là một vài lý thuyết tượng trưng của ông:

A) Lý thuyết số - Ông có sự đóng góp thiết yếu cho Lý thuyết số.

Fermat để lại nhiều định lý không chứng minh; Euler đã chứng minh một số lớn.
Ông nghiên cứu số học thâm cứu (arithmétiques approfondies)

B) Xác suất - Ông là người tiên phong, trao đổi nhau qua thư từ với Blaise Pascal về Phép tính xác
suất
"Trong trò chơi súc sắc, phải thảy bao nhiêu lần với 2 con súc sắc mới hy vọng có hai mặt sáu?"

C) Hình học giải tích - Ông xây dựng cùng lúc với Descartes ngành Hình học giải tích

* Sáng chế phương pháp toạ độ để định vị trí một điểm trong một mặt phẳng.

* Quan niệm các đường cong như những quỹ tích các điểm (nghĩa là tổng hợp các điểm để xác
định một đẳng thức.)
* Người đầu tiên khởi xướng phương pháp tổng quát để xác định các tiếp tuyến tới một đường
cong phẳng.
* Hợp nhất hai lãnh vực đại số và hình học.
La nguoi mo dau cho phep tinh vi phan, ong co su dong
gop thiet yeu cho Ly thuyet so. Sau cung, voi
Pascal, ong la nguoi xuat su cua Phep tinh xac suat.

- 24 -


Trường Trung Học Phồ Thông Chuyên Tiền Giang - Lớp 10 Toán
Chuyên Đề : “ Số Nguyên Tố”

D) Toán vi phân - Là người mở đầu cho phép tính vi phân
E) Định lý nhỏ của Fermat
A p - (a chia chẵn cho p)
P là số nguyên tố (nombre premier)

Còn

A

A7

A 7 chia cho 7

1

1

0

1

2

128

18

2

312

3

2 340

4

11 160

5

39 990

6

3
4
5
6

2
187
16
384
78
125
279
936

lại

Lạ lùng thay, số dư bằng số đấu tiên
Ông chỉ nhận xét thấy vậy nhưng từ đó rút ra một định lý:
Chia một số lũy thừa p cho p sẽ có cùng số dư

F) Định lý cuối cùng của Fermat:
Năm 1840, tất cả các giả định đều được chứng minh hay không đúng
Trừ một : giả định gọi là định lý lớn của Fermat đã được Andrew Wiles giải tháng 9 năm 1994

Một hệ thức chỉ diễn tả một cách giản dị là
Xn + Yn = Zn
Không có một lời giải nào khi n là số nguyên và n > 2
Công thức chính xác:
Nếu n là một số nguyên lớn hơn 2; đẳng thức Xn + Yn = Zn vô nghiệm, với X, Y, X khác không

G) Trở thành định lý Fermat- Wiles

- 25 -