Bài giảng Đại số 10 - Bài 1: Bất đẳng thức

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG THPT QUANG TRUNG

Môn: Đại số 10
Chương trình chuẩn
Tiết 27: Bất đẳng 

thức


I. ÔN TẬP BẤT ĐẲNG THỨC
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng:

 

a)

3.25 < 4

b)

1
−5 > −4
4

(Sai)

c)

− 2 3

(Đúng)

(Đúng)

 


I. ÔN TẬP BẤT ĐẲNG THỨC
Chọn dấu thích hợp (=, <, >) để khi điền vào ô
vuông ta được một mệnh đề đúng

 

a)

< 3
2 2              

b)

4
2
              
>
3
3

c)

3+ 2 2              

= ( 1+

d)

a 2 +1              0
>

2

)

2

Với a là một số đã cho

 


I. ÔN TẬP BẤT ĐẲNG THỨC

1. Khái niệm bất đẳng thức:

Các mệnh đề dạng "a < b" hoặc "a > b"
được gọi là bất đẳng thức

 

 

I. ÔN TẬP BẤT ĐẲNG THỨC
2. Bất đẳng thức hệ quả và bất đẳng thức tương đương
- Nếu mệnh đề "a < b � c < d" đúng thì ta nói
bất đẳng thức cbất đẳng thức aKH:

a < b�c
- Ngược lại athì 2 bất đẳng thức tương đương với nhau.
KH:

"a < b � c < d"


I. ÔN TẬP BẤT ĐẲNG THỨC
2. Bất đẳng thức hệ quả và bất đẳng thức tương đương
Các bất đẳng thức đã học:

a < b  và  b < c
a < b,  c tùy ý

a
a+c< b+c

Hãy chứng minh

a < b � a−b< 0

I. ÔN TẬP BẤT ĐẲNG THỨC
2. Bất đẳng thức hệ quả và bất đẳng thức tương đương
Chứng minh

a
cộng -b vào hai vế bđt aa-b<0
Đảo lại:
cộng b vào 2 vế của bđt a-b<0 ta được bất đẳng 
thức hệ quả aa < b � a− b < 0
Vì vậy
Như vậy Để chứng minh một bất đẳng thức ta chỉ cần xét

dấu của hiệu hai vế bất đẳng thức đó.


I. ÔN TẬP BẤT ĐẲNG THỨC
3. Tính chất của bất đẳng thức:
Tính chất
Điều kiện

c>0
c<0

a>0, c>0
n nguyên

dương
a>0

Nội dung

Tên gọi

a
Cộng hai vế của bđt với
một số

a < b � ac < bc
a < b � ac > bc

Nhân hai vế của bđt với
một số

a < b và c < d � a + c < b + d

Cộng hai bđt cùng chiều

a < b và c < d � ac < bd
a < b � a 2n +1 < b 2n +1
0 < a < b � a 2n < b 2n
aa
Nhân hai bđt cùng chiều
Nâng hai vế của bđt lên

một luỹ thừa
khai căn hai vế của một
bđt


!

Chú ý:
Các mệnh đề a
bất đẳng thức
a

b hoặc a

b hoặc a

b cũng được gọi là

b : gọi là bất đẳng thức không ngặt

a < b hoặc a > b : gọi là bất đẳng thức ngặt


II. Bất đẳng thức giữa trung bình cộng và
trung bình nhân (bất đẳng thức cô-si)
1. Bất đẳng thức Cô-si
Trung bình nhân của hai số không âm nhỏ hơn
hoặc bằng trung bình cộng của chúng

ab

Đẳng thức

a+b
,    ∀a, b
2

0

a+b
xảy ra khi và chỉ khi a = b
ab =
2


II. Bất đẳng thức giữa trung bình cộng và
trung bình nhân (bất đẳng thức cô-si)
1. Bất đẳng thức Cô-si

Hãy chứng minh bất đẳng thức cô­
siNhắc lại:
Để chứng minh một bất đẳng thức ta chỉ cần xét dấu của
hiệu hai vế bất đẳng thức đó.
Như vậy để chứng minh bất đẳng thức  ab
Ta cần chứng minh

a+b
ab −
2

0

a+b
2


II. Bất đẳng thức giữa trung bình cộng và
trung bình nhân (bất đẳng thức cô-si)
1. Bất đẳng thức Cô-si

Thật vậy
Ta có:
a+b
1
1
ab −
= − (a + b − 2 ab) = − ( a − b) 2
2
2
2
Vậy 
a+b
ab
2
2
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a − b = 0

(

Tức là khi a = b

)

0


II. Bất đẳng thức giữa trung bình cộng và
trung bình nhân (bất đẳng thức cô-si)
1
Cho một số dương a và số nghịch đảo của nó 
a
là 
1c cô­ si cho 2 s
1
Hãy áp dTa có
ụng bất đẳng th
ứ
ố
 d
ươ
ng 
a+
2 a =2
này
a
a
vậy

Tổng của một số dương với 
nghịch đảo của nó lớn hơn hoặc 

bằng 2 


II. Bất đẳng thức giữa trung bình cộng và
trung bình nhân (bất đẳng thức cô-si)
Hệ quả 1

Tổng của một số dương với nghịch đảo của 
nó lớn hơn hoặc bằng 2 
1
a+
2,   ∀a > 0
a


II. Bất đẳng thức giữa trung bình cộng và
trung bình nhân (bất đẳng thức cô-si)
Hệ quả 2

Nếu x, y cùng dương và có tổng không đổi 
thì tích xy lớn nhất khi và chỉ khi x=y 
Chứng minh:
xy

Đặt S = x + y. Áp dụng bđt cô­si ta có:

x+y S
=
2
2

Do đó

S2
xy
4

S
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi  x = y =
2 S
S2
Vậy tích xy đạt giá trị Max bằng  Khi và chỉ khi x = y =
4
2


II. Bất đẳng thức giữa trung bình cộng và
trung bình nhân (bất đẳng thức cô-si)
Hệ quả 2
Ý NGHĨA HÌNH HỌC

Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng chu vi, hình 
vuông có diện tích lớn nhất.
1cm 2


II. Bất đẳng thức giữa trung bình cộng và
trung bình nhân (bất đẳng thức cô-si)
Hệ quả 3

Nếu x, y cùng dương và có tổng không đổi 
thì tích xy lớn nhất khi và chỉ khi x=y 
Ý NGHĨA HÌNH HỌC

Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng chu vi, hình 
vuông có diện tích lớn nhất.

Hãy chứng minh tương tự


Củng cố bài học
Tính chất của bất đẳng thức. 
Định lý cô­si và các hệ quả của định lý cô­si 
Ý nghĩa hình học của chúng 
Làm các bài tập trong sách giáo khoa