chuyên đề chuyển động lăn không trượt của vật rắn

Chuyên đề: Chuyển động lăn không trượt của vật rắn

Bùi Chung Hiếu

CHUYÊN ĐỀ: CHUYỂN ĐỘNG LĂN KHÔNG TRƯỢT CỦA
VẬT RẮN
I/. Cơ sở lý luận và thực tiễn:
Nghiên cứu chuyển động của vật rắn là một trong những vấn đề quan trọng trong
việc giảng dạy vật lý nói chung cũng như trong công tác đào tạo học sinh giỏi nói
riêng.
Thực tế trong quá trình học tập và giảng dạy bản thân đã gặp không ít khó khăn khi
tiếp cận,phân tích các bài toán về chuyển động của vật rắn. Một trong những vấn đề
gặp phải ở đây là việc xác định vận tốc của các điểm trên vật rắn trong quá trình
chuyển động, phân biệt rõ loại chuyển động lăn không trượt và lăn có trượt.
Vai trò của lực ma sát như thế nào trong chuyển động của vật rắn trong chuyển động
lăn không trượt?
Đó là nội dung chính tôi muốn tìm hiểu và cố gắng làm rõ trong chuyên đề hẹp này.
II/ Mục đích thực hiện đề tài :
*/ Cung cấp các kiến thức cơ bản cần và đủ nhằm chỉ ra đặc điểm của loại
chuyển động đặc biệt của vật rắn: Chuyển động lăn không trượt
*/ Chỉ ra vai trò của lực ma sát trong loại chuyển động này, sử dụng kiến thức
này để lý giải về bản chất của lực ma sát lăn nhằm làm rõ kết quả một số hiện
tượng xảy ra trong thực tế.
*/ Nội dung kiến thức này có thể áp dụng trong việc giảng dạy các lớp chuyên
hoặc bồi dưỡng học sinh trong đội tuyển học sinh giỏi.
III/ Nội dung chính:
1.
Cơ sở lí thuyết
2.

Một số bài tập minh họa (cơ bản đến nâng cao)

3.

Giới thiệu các tài liệu tham khảo.

1


Chuyên đề: Chuyển động lăn không trượt của vật rắn

I.

Bùi Chung Hiếu

KIẾN THỨC VÀ PHƯƠNG PHÁP CƠ BẢN ĐỂ NGHIÊN CỨU
CHUYỂN ĐỘNG LĂN KHÔNG TRƯỢT.

 TỔNG QUÁT
Chuyển động lăn không trượt là một dạng chuyển động của vật rắn thường
gặp . Có thể coi đó là tổng hợp của hai chuyển động thành phần:
Chuyển động tịnh tiến với vận tốc bằng vận tốc khối tâm
Chuyển động quay quanh khối tâm với vận tốc góc 
Ngoài ra có một cách khác để nghiên cứu chuyển động của vật rắn. Ta có
thể coi
chuyển động tức thời của vật rắn là chuyển động quay quanh
tâm quay tức thời. Vậy tâm quay tức thời có đặc điểm gì?
1. Tâm quay tức thời
Ở mỗi thời điểm, có một điểm I có vị trí xác định đối với vật rắn và có
vận tốc bằng không. I gọi là tâmquay tức thời.. Chứng minh được rằng:


v I 0

Ta đi tìm vị trí của tâm quay tức thời. Xét A, B là hai điểm bất kỳ trên vật
rắn, kẻ hai đường thẳng đi qua A,B và nằm trong mặt phẳng quỹ đạo ,
lần lượt vuông góc với véc tơ vân tốc tại A,B. Gọi I là giao điểm cuả hai
A
đường vừa vẽ (hình) .
A

B


vB

I

I

Ta chứng minh I chính là tâm quay tức thời.
Thực vậy, do là vật rắn nên khoảng cách IA,IB không đổi, do đó:
- Vận tốc chuyển động của điểm I theo phương IA phải bẳng vận tốc cuả
điểm A theo phương IA. Vận tốc này bằng 0 ( V A  IA ) nên VI  IA .
- Tương tự, VI  IB .
Rõ ràng VI không thể đồng thời vuông góc với IA và IB. Nên VI 0 , I
chính là tâm quay tức thời.
Kết luận: Chuyển động tức thời của vật rắn rút về chuyển động quay
quanh tâm quay tức thời I,vận tốc của một điểm trên vật rắn cũng là vận

2

B


vB


Chuyên đề: Chuyển động lăn không trượt của vật rắn

Bùi Chung Hiếu

tốc quay quanh I, vận tốc này tỉ lệ với khoảng cách từ điểm đến tâm
quay:

v A vB

IA IB

2. Đặc điểm của chuyển động lăn không trượt
a. Ví dụ: nghiên cứu chuyển động lăn không trượt của một hình trụ bán
kính r, khối lượng m trên một mặt phẳng ngang.
B

G’

G
A

B’

 Lăn không trượt có nghĩa là độ dài cung AB tiếp xúc với mặt phẳng

khi hình trụ lăn trong một đơn vị thời gian đúng bằng đoạn thẳng AB’
của mặt phẳng tiếp xúc với hình trụ trong thời gian ấy.
 Vậy : AB’=GG’= độ dài cung AB
b. Đặc điểm:
- Lăn không trượt được hiểu là chuyển động quay quanh trục quay tức
thời để đi qua tâm quay tức thời là điểm tiếp xúc giữa vật và mặt đỡ.
- Mối liên hệ giữa vận tốc tịnh tiến và vận tốc góc : v  r
- Mối liên hệ giữa vận tốc tịnh tiến và vận tốc góc : a  r
- Nếu v   r thì xảy ra sự trượt ở chỗ tiếp xúc gây ra bởi chuyển động
quay
- Nếu v   r thì xảy ra sự trượt ở chỗ tiếp xúc gây ra bởi chuyển động
tịnh tiến
3. Ma sát lăn
a. Ý nghĩa: Ma sát lăn là ma sát cản trở chuyển động lăn không trượt,
tức là cản trở cả chuyển động tịnh tiến và chuyển động quay quanh
khối tâm
b. Phương pháp nghiên cứu ma sát lăn:
-

Vận dụng kiến thức về động lực học vật rắn

- Phương trình động lực học vật rắn áp dụng cho chuyển động tịnh

tiến:  F ma
- Phương trình động lực học của chuyển động quay:

3

M


F

 I


Chuyên đề: Chuyển động lăn không trượt của vật rắn

- Định lý động năng:

Bùi Chung Hiếu

 A E

c. Nghiên cứu về chuyển động quay hay tìm hiểu về lực ma sát lăn
tức là phải từ bỏ khái niệm về vật rắn tuyệt đối trong các bài toán
và quan tâm đến sự biến dạng của bề mặt tiếp xúc.
4. Bài toán khảo sát cơ bản:
Xét một quả cầu lăn không trượt trên mặt sàn nằm ngang. Nếu không có
ngoại lực tác dụng theo phương ngang thì ta thấy quả cầu chuyển động lăn
không trượt chậm dần rồi dừng lại: v0 0;  0
a. Về mặt lý thuyết:
Nếu coi quả cầu và mặt sàn là vật rắn tuyệt đối tức là chúng chỉ tiếp xúc
nhau ở một điểm.
  
Các lực tác dụng lên quả cầu: P, N , Fms . (H1) Trọng lực cân bằng với phản
lực nên lực ma sát gây ra mômen quay làm quay quả cầu, làm tăng vận tốc
góc (điều này trái với thực tế).
b. Thực tế
Vật không phải là vật rắn tuyệt đối và quả cầu với mặt sàn không chỉ tiếp

xúc tại một điểm mà là mặt tiếp xúc
Mặt khác: Vì khi lăn, phần trước của quả cầu ép mạnh vào sàn hơn phần
sau nên phản lực của mặt sàn lên các yếu tố diện tích tiếp xúc của quả cầu
không giống nhau, phần trước
lớn hơn phần sau. Tổng hợp các phản lực

thành phần ta có phản lực N có điểm đặt dịch về phía trước tạo ra mômen
cản trở chuyển động quay của quả cầu.(H2)



R


N


RN


v0


Fms


Fms I

I

’
H2

H1

*/ Giải thích chuyển động của quả cầu:

4



v0


Chuyên đề: Chuyển động lăn không trượt của vật rắn

Bùi Chung Hiếu

- phương trình động lực học áp dụng cho chuyển động tịnh tiến: ma=-Fms (1)
- phương trình động lực học áp dụng cho chuyển động quay: Fms.r- MN/o =I
I
  a (2)
r

- Rút a từ (1) thế vào (2) ta được: M N / o  Fms r (1 

I0
)  M Fms / o
mr 2

Ta thấy momen cản lớn hơn momen dương của lực ma sát nên vận tốc
góc quay giảm dần.
5. Năng lượng trong chuyển động lăn không trượt
*Xét quả cầu lăn không trượt trên mặt sàn ngang.
- Năng lượng của quả cầu gồm hai dạng chính: động năng tịnh tiến và động
năng quay, có thể tính áp dụng cho tâm quay là tâm O của quả cầu hoặc với
tâm quay tức thời I.
1
1
1
E đ  I 0 2  mv 2  I 1 2
2
2
2

( I 1  I 0  mr 2 )

- Năng lượng lúc sau cùng: Eđ=0

*/ Giải thích:
- Lực ma sát không thực hiện công vì tại mọi thời điểm đối với chuyển động lăn
không trượt ta coi điểm tiếp xúc không chuyển động.
- Phản lực thực hiện công âm cản trở chuyển động quay của quả cầu. Vậy độ lớn
công của phản lực chính là độ giảm động năng của quả cầu. Phần động năng
giảm đi biến thành nội năng giữa hai vật tiếp xúc.

5


Chuyên đề: Chuyển động lăn không trượt của vật rắn

II.

Bùi Chung Hiếu

MỘT SỐ BÀI TẬP MINH HỌA

Bài 1: Một hình trụ có khối lượng m, bán kính R, momen quán tính đối với
trục là I, lăn không trượt trên mặt phẳng nghiêng góc  với vận tốc ban đầu
bằng 0.
a. Tính gia tốc của hình trụ?
b. Tính giới hạn của  để hình trụ có thể lăn không trượt biết k là hệ số ma
sát?


N


Fms


P2


P1 

P

*/Phân tích đề:
a. Thông tin rút ra từ đề bài: Hình trụ lăn không trượt  v R;  

a
R

- Tính chất chuyển động của hình trụ: nhanh dần đều xuống chân dốc
với lực gây ra gia tốc cho hình trụ theo phương song song với mặt
phẳng nghiêng là một thành phần của trọng lực và lực ma sát. Lực ma
sát nghỉ xuất hiện tại mặt tiếp xúc có tác dụng:
+ chống lại sự trượt tịnh tiến của trụ
+ gây ra momen dương làm quay trụ nhưng không sinh công. (khi lăn
không trượt tại mọi thời điểm tâm quay tức thời đứng yên)
b. Phương pháp giải:
C1: Sử dụng phương pháp động lực học áp dụng cho hình trụ với tâm quay
tại khối tâm của trụ hoặc tại tâm quay tức thời
C2: Sử dụng định lý động năng
Bài giải
a. Phương pháp động lực học
  
- Các lực tác dụng lên khối trụ gồm có: P, N , Fms
- Phương trình động lực học của chuyển động tịnh tiến (pt hình chiếu):
P sin   Fms ma (1)

- Phương trình động lực học của chuyển động quay với tâm quay tại G:
Fms R  I  I

6

a
(2)
R

Chuyên đề: Chuyển động lăn không trượt của vật rắn

-

Bùi Chung Hiếu

g sin 
a
I
Rút Fms từ (1) thế vào (2) ta có:
1
mR 2

*/ Sử dụng định lý động năng:
Ta có :áp dụng định lý động năng ta có:

E đ 



mv 2 I 2

mg sin  .s (1)
2
2

v
R

- Mặt khác : v 2 2as (2)
- Từ đó rút ra:

g sin 
a
I
1
mR 2

b. Điều kiện để hình trụ lăn không trượt là : Fms kP2 kP cos  (3)
Ig sin 
I (4)
Mặt khác: thay a vào (1) ta có:
R2 
m
2
k ( mR  I )
-Thay (4) vào (3) ta được: tg 
I
Fms 

- Nếu hình trụ đặc đồng chất: I=mR2/2 tg  <3k
*/ Chú ý:
Vai trò của lực ma sát nghỉ trong chuyển động lăn không trượt, giai đoạn
quá độ.
Ban đầu khi khối trụ bắt đầu chuyển động xuống dưới chân mặt phẳng
nghiêng , xét một khoảng thời gian t1 đủ nhỏ, tại chỗ tiếp xúc xuất hiện lực
ma sát trượt làm giảm gia tốc của chuyển động tịnh tiến từ :
a  g sin   a ( g sin   k cos  ) . Lực ma sát trượt này gây ra momen dương

làm cho khối trụ bắt đầu quay nhanh dần quanh tâm với gia tốc góc  . Vận tốc
của chuyển động tịnh tiến v0 và vận tốc dài r của chuyển động quay đều tăng
nếu góc nghiêng đủ nhỏ(tg  <3k ). Sau đó một khoảng thời gian rất ngắn t 2
thì vận tốc dài tăng đến bằng v0 . Từ đây quả cầu chuyển động lăn không trượt,
lực ma sát trượt được thay thế bằng lực ma sát nghỉ
Vậy giai đoạn quá độ là: ( t1 + t 2 ), giai đoạn này vật chuyển từ chuyển
động tịnh tiến sang chuyển động vừa lăn, vừa trượt  chuyển động ổn định
chuyển động lăn không trượt.
Bài 2: Một hình trụ có khối lượng m1 và bán kính r1 với momen quán tính
I1 

m1 r12
quay do quán tính quanh trục của nó với vận tốc góc  0 . Người ta
2

7


Chuyên đề: Chuyển động lăn không trượt của vật rắn

Bùi Chung Hiếu

áp một hình trụ có khối lượng m2 và bán kính r2 với momen quán tính
m2 r22
I2 
sát vào hình trụ sao cho có chung một đường sinh.Mới đầu mặt trụ
2

1 trượt lên mặt trụ 2, sau đó hai trụ lăn không trượt lên nhau.
a. Tính các vận tốc góc 1 ,  2 của hai trụ lúc đã hết trượt?

b. Tính nhiệt tỏa ra do sự trượt?
*/ Phân tích đề:
1. Mô tả diễn biến hiện tượng
- ban đầu khi áp trụ 2 vào trụ 1 đang quay: trụ 1 tác dụng vào trụ 2 một lực
có phương tiếp tuyến với trụ 2 làm trụ 2 bắt đầu tăng vận tốc góc từ 0 đến  2 .
Theo định luật III Niutơn, trụ 2 tác dụng lại trụ 1 một lực trực đối , lực này có
tác dụng làm giảm vận tốc góc của trụ 1 từ  0  1 .
- Sau khi đạt vận tốc góc ổn định, hai trụ lăn không trượt tức là vận tốc dài
của chúng như nhau: 1r1  2 r2
2. Sự biến đổi năng lượng trong quá trình hai trụ trượt lên nhau: động năng
quay của trụ 1 giảm so với trước khi áp vào trụ 2, lượng giảm động năng quay
của trụ 1 biến thành nội năng của hai trụ khi tiếp xúc hay tỏa ra dưới dạng
nhiệt.
Bài giải:
a. Ta có: định lý về momen động lượng: M 

dL
dt

- Đối với trụ 2: Fr2 t L2  I 2 2 (1)
- Đối với trụ 1: Fr1t L1  I 1 ( 0  1 ) (2)
- Mặt khác khi hết khoảng thời gian trượt, thì hai trụ lăn không trượt trên nhau
tức là ta có:
1 r1  2 r2 (3)

r 0
1  0 ;  2  1
m
m
r2

- Từ (1), (2), (3) suy ra:
1 2
1 2
m1
m1
m2
1
2
2
2
I 1 02
b. Nhiệt lượng tỏa ra: Q  [ I 1 0  ( I 11  I 2 2 )] 
2
m1  m2

Bài 3. Trên một mặt phẳng ngang có một cuộn chỉ có khối lượng m. Momen
quán tính của nó đối với trục quay qua tâm là mR 2 , (   Z ). Bắt đầu kéo

8


Chuyên đề: Chuyển động lăn không trượt của vật rắn

Bùi Chung Hiếu

cuộn chỉ bằng lực F không đổi cho nó lăn không trượt, bỏ qua ma sát lăn.
Hãy tìm độ lớn và hướng gia tốc của cuộn chỉ?
Giải.
Giả sử con lăn sang phải,các lực tác dụng lên vật như hình vẽ,lực ma sát
nghỉ vì lăn không trượt, a là gia tốc khối tâm cuộn chỉ

Ta có hệ phương trình

 F cos  Fms ma


a
2 a
 Fms R  Fr I R mR R mRa

r
suy ra Fms F   ma � F cos   F r   ma  ma
R
R

a, Nếu cos  

r
thì a>0 cuộn chỉ lăn sang phải
R

Nếu cos  

r
thì a<0 cuộn chỉ lăn ngược lại
R

Nếu cos  

�a

F cos   F
m(1   )

r
R

r
thì a=0 cuộn chỉ chuyển động đều hoặc đứng yên
R

Bài 4: Hình trụ đồng chất khối lượng m, bán kính r lăn không trượt theo mặt
trong của hính trụ rỗng cố định có bán kính R>r. Trục các hình trụ luôn
vuông góc với mặt phẳng thẳng đứng. Bỏ qua ma sát lăn. Xác định vận tốc
góc  của tâm C trụ nhỏ và áp lực N của nó lên mặt trụ lớn như hàm của 
là góc giữa đường nối tâm các trụ với đường thẳng đứng. Khi t=0,
 (0)  0 ,  (0)  0 .

Phân tích đề:
-

Hình trụ nhỏ lăn không trượt theo mặt trong của hình trụ rỗng: gọi M là

tâm quay tức thời thì ta có:
vC=  M r  ( R  r ) ; vM=0;
- Bỏ qua ma sát lăn: Xét với hình trụ nhỏ quay xung quanh tâm quay tức
thời, một thành phần của trọng lực thực hiện công gây ra sự biến thiên động

9

Chuyên đề: Chuyển động lăn không trượt của vật rắn

Bùi Chung Hiếu

năng của trụ nhỏ. Ở đây theo đề bài bỏ qua ma sát lăn tức là ta có thể bỏ qua
sự biến dạng tại mặt tiếp xúc giữa hai trụ. Xét về phương diện năng lượng ta
có thể bỏ qua sự hao phí năng lượng gây ra bởi ma sát lăn.

Giải
1, Vận tốc góc tâm C trụ nhỏ
 

 maC  P  N

(1)
 T  T0  AP
1
2

1
2

Định lý động năng: T0 0; T  mv M2  I M  M2




CN

Với vM = 0 vì lăn không trượt;

M

 M vận tốc góc quay quanh M;
IM

O

3
 mr 2
2

Ta có: vC=  M r  ( R  r )
3
4

Vậy T= m( R  r ) 2  2
AP = mg(R-r)(cos  -cos  0 )
Suy ra vận tốc góc khối tâm C trụ nhỏ:
2 

4 g (cos   cos  0 )
3( R  r )

2, Phản lực N
Chiếu (1) lên phương bán kính
m( R  r ) 2  mg cos   N
mg
 N
(7 cos   4 cos  0 )

3

Bài 6. Hình trụ đồng chất khối lượng m, bán kính r lăn không trượt trên mặt
bán trụ cố định bán kính R từ đỉnh với vận tốc đầu v0=0.
1, Xác định vận tốc khối tâm hình trụ theo góc  là góc hợp bởi đường thẳng
đứng và đường thẳng nối tâm hai trụ.

10


Chuyên đề: Chuyển động lăn không trượt của vật rắn

Bùi Chung Hiếu

2, Định vị trí hình trụ r rời mặt trụ R. Bỏ qua ma sát lăn.
Giải.
1,vận tốc khối tâm trụ nhỏ r:

N CC

 

maC  P  N

rr

chiếu lên trục hướng tâm:

R

2
C




mv
mg cos   N
Rr
mvC2
 N mg cos  
Rr

Định lý động năng: T - T0 = AP ;
1
1
T  mvC2  I , 2
2
2

P

R

T0= 0

với vc=  ( R  r )

 là vận tốc góc của khối tâm C trụ nhỏ đối với tâm O của trụ lớn.
1

2

I= mr 2
 ' là vận tốc góc của trụ nhỏ quanh khối tâm C.

Lăn không trượt nên:  ' .r  ( R  r )
1
2

1
4

Vậy T= m( R  r ) 2  2  mr 2

(R  r) 2 2

r2

3
3
T  m( R  r ) 2  2  mvC2
4
4
AP mg ( R  r )(1  cos  )
 vC2 

4g
( R  r )(1  cos  )
3

2, Vị trí trụ nhỏ bắt đầu rời khỏi trụ lớn
Khi đó N = 0 suy ra cos  

4
7

Bài 7. Một hình trụ đặc đồng chất có khối lượng m và bán kính R được làm
quay với vận tốc góc 0 rồi đặt trên mặt phẳng ngang và thả ra. Hệ số ma sát
trượt là R

11


Chuyên đề: Chuyển động lăn không trượt của vật rắn

Bùi Chung Hiếu

a, Tìm thời gian chuyển động lăn có trượt
b, Công của lực ma sát trượt

Giải.
Ta có : f ms  mac  kmg � ac  kg
f ms R   I   kmgR  

2kg
mR 2
 �  
R
2

Tại thời điểm t thì:
  0   t  0 

2kg
t
R

vc  v0  at  kgt

khi t nhỏ thì v   R
Khi bắt đầu lăn không trượt thì vc   R
� kgt  0 R  2kgt � t 

Vận tốc khối tâm khi đó vC kgt 
Tốc độ góc   0 

0 R
3kg

0 R
mm
3

2kg  0 R  0

R 3kg
3

b, Công của lực ma sát trượt
Gọi s là quãng đường trượt được s  .R 

at 2
2

t 2
at 2
s ( 0 t 
)R 
thay những kết quả thu được ở câu a vào ta được kết
2
2

quả
s

1  02 R 2
6 kg

m 02 R 2
A=-kmgs= 
6

12


Chuyên đề: Chuyển động lăn không trượt của vật rắn

Bùi Chung Hiếu

Bài 8 : Một khối cầu đồng chất khối lượng M, bán kính R đang chuyển động

với vận tốc vo theo phương ngang thì gặp một mặt phẳng T nằm ngang. Biết
hệ số ma sát trượt giữa quả cầu và mặt phẳng là k. Tính công suất toả nhiệt
trung bình khi khối cầu trượt trên mặt phẳng ngang. Bỏ qua ma sát lăn.
Ngay khi tiếp xỳc với mặt phẳng, quả cầu sẽ vừa lăn vừa trượt trên mặt
phẳng.




Theo định luật II Newton, ta có : Fhl m a
Chọn hệ trục Oxy như hình vẽ. Chiều biểu thức trên lên Ox, Oy ta được
 N  P 0

 Fms ma
 a

Fms kN

kg
m
m

Lực ma sát gây ra chuyển động quay cho vật nên ta có


Fms .R
kNR
5kg



5
I
2R
mR 2
2

Vận tốc chuyển động tịnh tiến của khối tâm, vận tốc góc của chuyển động
quay quanh khối tâm sau thời gian t kể từ lúc gặp mặt phẳng T :
v v0  at v0  kgt;  .t 

5kg
.t
2R

Quả cầu lăn không trượt  v R  t 

2v 0
5v
5v
;  0 ; v  0
7 kg
7R
7

Theo định luật bảo toàn năng lượng
1 2  1 2 1 2  mv02
Wd 1 Wd 2  Q  Q  mv0   mv  I  
2
2
7

2

Q mkgv0
Công suất tỏa nhiệt trung bình : P  
t
2

13


Chuyên đề: Chuyển động lăn không trượt của vật rắn

Bùi Chung Hiếu

MỘT SỐ TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Tài liệu giáo khoa chuyên Vật lí 11 (Tập hai) – Chủ biên Dượng Trọng
Bái, Vũ Thanh Khiết – Nhà xuất bản Giáo dục ;
2. Chuyên đề bối dưỡng học sinh giỏi vật lí Trung học phổ thông (Tập 1) –
Chủ biên : Giáo sư Dương Trọng Bái – Nhà xuất bản Giáo dục ;
3. Bài tập cơ học – Chủ biên Dương Trọng Bái, Tô Giang – Nhà xuất bản
Giáo dục;
4. Cơ sở vật lí (Tập hai) – David Haliday
5. Tuyển tập đề thi Olympic 30-4 môn Vật lí – Nhà xuất bản Giáo dục ;
6. Tài liệu bàn về ma sát lăn (Vật lý phổ thông số 77 tháng 1 năm 2000)- Tô
Giang

14