Giải mạch điện bằng số phức

Phương Pháp Giải Mạch Điện
1. BIỂU DIỄN DÒNG ÁP HÌNH SIN BẰNG SỐ PHỨC
1.1. Khái niệm số phức.
Cho số phức
•
V
= a + jb gồm có:
a: phần thực ; jb: Phần ảo
Chúng được biểu diễn bằng một véctơ trong mặt phẳng phức.
Môđun của số phức: c=
22
ba
+
Arcgument của số phức:
ϕ
= acrtg
a
b
V
a
b
+j Trục thực
-j Trục ảo
c
Hình 2.4
•
các dạng biểu diễn của số phức.
+ Dạng đại số:
•
V
= a + jb

+ Dạng lượng giác:
•
V
= c(cos
ϕ
+ jsin
ϕ
)
+ Dạng số mũ:
•
V
= c
ϕ
j
e
(công thức ơle: cos
ϕ
+
jsin
ϕ
=
ïj
e
ϕ
)
+ Dạng cực:
•
V
= c
ϕ

∠
Trong kỹ thuật điện số phức biểu diễn ho các đại lượng dòng áp
hình sin, có mun đungd bằng trò hiệu dụng còn acrgument bằng pha ban
đầu của đại lượng điện hình sin đó.
Số phức biểu diễn các đại lượng sin ký hiệu bằng các chữ in hoa có
dấu chấm ở trên.
•
I
,
•
U
,
•
E
.
Ví dụ: i
1
=
2
10I
1
sin (
t
ω
+
2
π
)
→

•
I
= 10
2
π
j
e
* Chu ýù :
1
Phương Pháp Giải Mạch Điện
- Số phức liên hiệp.
Cho số phức
•
V
= a + jb thì số phức
∧
V
= a – jb là số phức liên hiệp.
Hai số phức được gọi là liên hiệp với nhau khi chúng có cùng phần thực và
phần ảo trái dấu.
- Số đo j. (j
2
= -1)
Từ số phức dưới dạng lượng giác:
c(cos
ϕ
+ jsin
ϕ
) = c
ϕ

j
e
Khi c =1,
ϕ
=
2
π
→
cos
2
π
+ jsin
2
π
=
2
π
j
e

⇒
j =
2
π
j
e
; - j =
2
π
j

e
−
1.2. Các phép tính của số phức.
a) Cộng trừ số phức.
Cho số phức:
1
•
V
= a
1
+ jb
1
2
•
V
= a
2
+ jb
2
⇒

1
•
V
+
2
•
V
= (a
1 +

a
2
) + j(b
1
+ b
2
)
Cho số phức:
•
V
= a + jb
⇒
•
V
+
∧
V
= 2a = 2Re
•
V

•
V
-
∧
V
= 2jb = 2 Imf
•
V
b) Phép nhân chia số phức.

Cho số phức:
1
•
V
= c
1
1
ϕ
j
e
;
2
•
V
= c
2
2
ϕ
j
e
1
•
V
.
2
•
V
= c
1
c

2
)(
21
ϕϕ
+
j
e
•
•
2
1
V
V
=
2
1
c
c
)(
21
ϕϕ
−
j
e
c) Nhân số phức với
±
j.
cho số phức
•
V

= c
ϕ
j
e


⇒
j .
•
V
= jc
ϕ
j
e
=
2
π
j
e
. c
ϕ
j
e
= c
)
2
(
π
ϕ
+

j
e

⇒
-j .
•
V
= -jc
ϕ
j
e
=
2
π
j
e
−
. c
ϕ
j
e
= c
)
2
(
π
ϕ
−
j
e

2
Phương Pháp Giải Mạch Điện
V
a
b
+j Trục thực
-j Trục ảo
c
-JV
+JV
Hình 2.5
⇒
Như vậy khi nhân một số phức với j, ta quay véctơ biểu diễn số
phức một
góc
2
π
ngược chiều kim đồng hồ. Khi nhân với (-j ) ta quay véctơ biểu diễn
số phức một góc
2
π
cùng chiều kim đồng hồ ( hình 2.5).
d) Đạo hàm của một hàm hình sin theo thời gian biểu diễn dưới
dạng phức.
Đạo hàm của một hàm hình sin theo thời gian biểu diễn dưới dạng
phức thì bằng số phức biểu diễn hàm hình sin đó nhân với j
ω
.
Cho dòng điện i = I
m

sin (
t
ω
+
ϕ
)
⇒
dt
di
= = j
ω
•
I

e) Tích phân của một hàm hình sin theo thời gian biểu diễn dưới
dạng phức.
Tích phân của một hàm hình sin theo thời gian biểu diễn dưới dạng
phức thì bằng số phức biểu diễn hàm hình sin đó chia cho j
ω
.
Cho dòng điện i =
2
I sin (
t
ω
+
ϕ
)
⇒
idt

∫
=
I
j
ω
•

Ví dụ.
Cho dòng điện i =
2
50 sin (
t
ω
+
3
π
)
3
Phương Pháp Giải Mạch Điện
dt
di
= j
ω
•
I
= j
ω
50 e
j
3

π
∫
idt
=
ω
j
I
•
=
ω
π
j
e
j
3
50
1.3. Đònh luật kiếchốp 1.
Tổng đại số các dòng điện tại một nút thì bằng không.
∑
=
n
k
k
i
1
= 0 (1.17)
•
Quy ước:
Dòng điện nào có chiều đi tới nút thì lấy dấu dương ngược lai thì
lấy dấu âm.

1.4. Đònh luật Kiếchốp 2.
Đi theo một vòngkhép kín, theo một chiều tuỳ ý đã chọn, tổng đại số
các điện áp rơi trên các phần tử R,L,C bằng tổng đại số các sức điện động
trong vòng.
•
Quy ước:
Những sức điện động và dòng điện có chiều trùng với chiều đi
vòng sẽ lấy
dấu dương, ngược lại mang dấu âm.
∑
=
n
k
k
u
1
=
∑
=
m
l
l
e
1
(1.18)
* Biểu diễn số phức các phương trình trong đònh luật kiếchốp.
∑
=
n
k

k
i
1
= 0
→

∑
=
•
n
k
k
I
1
= 0
∑
=
n
k
k
u
1
=
∑
=
m
l
l
e
1

→

∑
=
•
n
k
k
U
1
=
∑
=
•
m
l
l
E
1
•
Ví dụ 1: Cho mạch điện như hình 1.7. Hãy viết đònh luật
Kiếchốp I và II cho mạch điện.
4
Phương Pháp Giải Mạch Điện
1
1
R
1
e

1
e
2
e
3
R
3
C
3
C
2
L
2
i
2
3
+
+
M
Hình 1.7
Phương trình định luật kiếchốp 1 tại nút M:

1 2 3
0I I I
− − =
g g g
Phương trình định luật kiếchốp 2:
1 1 2 2 1 2
1 1 2 2
3 3 2 2 2 3

3 3 2 2
(1)
(2)
L C L
C L C
R I jX I jX I jX I E E
jX I R I jX I jX I E E
+ − + = −
− + − + = −
g g g g g g
g g g g g g
2. PHƯƠNG PHÁP BIỂU DIỄN SỐ PHỨC
* Các bước thực hiện.
- Biểu diễn điện áp và tổng trở các nhánh dưới dạng phức
U
→

•
U

R,x
→

−
Z
= R + jx
- Dùng đònh luật Omh, đòng luật kizhhoff để tính các dòng, áp khác
dưới dạng phức. Từ đó suy ra trò hiệu dụng.
* VÍ DỤ.
Cho mạch điện như hình 3.1. với các thông số mạch như sau.

R
1
= 5
Ω
; R
2
= 5
3

Ω
; X
1
= X
2
= 5
Ω
; U = 100 V
Tính I
1,
I
2
, I, U
CD
?
5