Hình học giải tích trong không gian

Chuyên đề 15:

HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG
KHÔNG GIAN

A. KIẾN THỨC CƠ BẢN:


PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
TỌA ĐỘ ĐIỂM - TỌA ĐỘ VÉC TƠ



117
I. Hệ trục toạ độ ĐỀ-CÁC trong không gian

• x
'
Ox : trục hoành
O

z
'x
y
x
'y
3
e
K
1
e

K
2
e
K
'
z
• y
'
Oy : trục tung
• z
'
Oz : trục cao
• O : gốc toạ độ
• : véc tơ đơn vò
123
,,eee
JG JJGJJG

Quy ước : Không gian mà trong đó có chọn hệ trục toạ độ Đề-Các vuông góc Oxyz được gọi là
không gian Oxyz và ký hiệu là : kg(Oxyz)
II. Toạ độ của một điểm và của một véc tơ:
1. Đònh nghóa 1: Cho
()M kg Oxyz∈
. Khi đó véc tơ
OM
JJJJG
được biểu diển một cách duy nhất theo
bởi hệ thức có dạng :
123
,,eee

JG JJGJJG
123
+ y với x,y,zOM xe ye e= +∈
JJJJGJGJJGJJG
\
.
Bộ số (x;y;z) trong hệ thức trên được gọi là toạ độ của điểm M.
Ký hiệu: M(x;y;z)
( x: hoành độ của điểm M; y: tung độ của điểm M, z: cao độ của điểm M )

z

/
123
( ; ; )
đn
M xyz OM xe ye ze⇔=++
JJJJGJGJJGJJG

• Ý nghóa hình học:

; y= OQ ; z = ORxOP=
O
M
y
x
z
y
x
z
y
x
p
1
M
M
Q
3
M
2
M
R
O
2.
Đònh nghóa 2: Cho
(a kg Oxyz∈ )
G
. Khi đó véc tơ

a
G
được biểu diển một cách duy nhất theo
bởi hệ thức có dạng :
123
,,eee
JG JJGJJG
11 2 2 33 1 2
+ a với a ,aaae ae e= +∈
G JG JJGJJG
\
.
Bộ số (a
1
;a
2
;a
3
) trong hệ thức trên được gọi là toạ độ của véc tơ .
a
G
Ký hiệu:
12
(; )aaa=
G


/
123 11 22 33
=(a ;a ;a )

đn
aaaeae⇔=++
GGJGJGJJG
ae
J


118

II. Các công thức và đònh lý về toạ độ điểm và toạ độ véc tơ :

Đònh lý 1: Nếu
B
(;;) và B(x;;)
A AA BB
A xyz yz thì

(;;)
B AB AB A
ABxxyyzz=− − −
JJJG



Đònh lý 2: Nếu
aa
thì
123 123
(; ; ) và (; ; )aa bbbb==
GG

*
ab
11
22
33
a

b
a b
ab
=
⎧
⎪
=⇔ =
⎨
⎪
=
⎩
GG

*
ab

112 233
(; ; )a ba ba b+= + + +
GG
)a ba ba b−= − − −
GG
)a ka ka ka=

G
*
ab

112 233
(; ;
*
k

()
123
.(;;
k ∈ \


III. Sự cùng phương của hai véc tơ:
Nhắc lại
• Hai véc tơ cùng phương là hai véc tơ nằm trên cùng một đường thẳng hoặc nằm trên hai đường
thẳng song song .
• Đònh lý về sự cùng phương của hai véc tơ:


Đònh lý 3 : Cho hai véc tơ
và với 0abb≠
G GGG
akb
GG

ab

cùng phương !k sao cho .⇔∃ ∈ =
GG
\

Nếu thì số k trong trường hợp này được xác đònh như sau:
0a ≠
GG
k > 0 khi
a
G
cùng hướng
b
G

k < 0 khi
a
G
ngược hướng
b
G


a
k
b
=
G
G

, , thẳng hàng cùng phương A B C AB AC⇔
JJJG JJJG

Đònh lý 4 :







Đònh lý 5: Cho hai véc tơ
123 123
(; ; ) và (; ; )aaaa bbbb==
G G
ta có :


ab

11
22 12312
3
33
a
cùng phương a : : : :
kb
akbaabbb

akb
=
⎧
⎪
⇔=⇔ =
⎨
⎪
=
⎩
GG

119

IV. Tích vô hướng của hai véc tơ:

Nhắc lại:

...cos(,)ab a b a b=
GG G G G G


2
2
aa=
GG


.0ab ab⊥⇔ =
GG GG



Đònh lý 6:
Cho hai véc tơ
122 123
(; ; ) và (; ; )aaaa bbbb==
G G
ta có :

11 22 33
.ab ab a b a b=+ +
G G





Đònh lý 7:
Cho hai véc tơ ta có :
123
(; ; ) aaaa=
G

222
123
aaaa=++
G


Đònh lý 8:
Nếu
B
(;) và B(x;)
A AB
A xy y thì


22
()()()
BA BA BA
2
ABxx yy zz=−+−+−



Đònh lý 9:
Cho hai véc tơ
123 123
(; ; ) và (; ; )aaaa bbbb==
G G
ta có :


11 22 33
a 0ab bab ab⊥⇔ + + =

GG




Đònh lý 10:
Cho hai véc tơ
123 123
(; ; ) và (; ; )aaaa bbbb==
G G
ta có :

++
==
++ ++
G G
GG
GG
11 2 2 33
222222
123123
.
cos( , )
.
.
ab ab ab
ab
ab
ab
aaa bbb

V.

Điểm chia đoạn thẳng theo tỷ số k
:
Đònh nghóa :
Điểm M được gọi là chia đoạn AB theo tỷ số k ( k 1 ) nếu như :
≠

.MAkMB=
JJJG GJJJ



•

•

•



A M B


Đònh lý 11 :
Nếu

B
(;;) , B(x;;)
A AA BB
A xyz yz và
.MAkMB=
JJJG JJJG
( k
≠
1 ) thì


.
1
.
1
.
1
A B
M
A B
M
A B
M
x kx
x
k
yky
y
k
z kz

z
k
−
⎧
=
⎪
−
⎪
−
⎪
=
⎨
−
⎪
−
⎪
=
⎪
−
⎩


120

Đặc biệt :
M là trung điểm của AB ⇔
2
2
2
A B

M
A B
M
A B
M
x x
x
yy
y
z z
z
+
⎧
=
⎪
⎪
+
⎪
=
⎨
⎪
+
⎪
=
⎪
⎩

BÀI TẬP ỨNG DỤNG:
Bài 1:
Trong Kg(Oxyz) cho ba điểm A(3;1;0), B(-1;2;-1), C(2;-1;3)

Tìm điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành
Bài 2
: Trong Kg(Oxyz) cho ba điểm A(2;-1;6), B(-3;-1;-4), C(5;-1;0)
a.Chứng minh rằng tam giác ABC vuông .
b. Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC
c. Tính độ dài đường trung tuyến kẻ từ A

VI. Tích có hướng của hai véc tơ:
1. Đònh nghóa:
Tích có hướng của hai véc tơ
123 123
(; ; ) và (; ; )aaaa bbbb==
G G
là một véc tơ được
ký hiệu : có tọa độ là : ;ab
⎡
⎣
GG
⎤
⎦


2331
12
2331
12
;;;
aaaa
aa
ab

bbbb
bb
⎛⎞
⎡⎤
=
⎜⎟
⎣⎦
⎝⎠
GG
Cách nhớ:
123
123
(; ; )
(; ; )
aaaa
bbbb
=
=
G
G
1 2 3

2.
Tính chất:

•

; và ;ab a ab b
⎡⎤ ⎡⎤
⊥⊥

⎣⎦ ⎣⎦
GG G GG G
A

•

1
.;
2
ABC
SAB
Δ
⎡⎤
=
⎣⎦
JJJG HJJG
AC

B
C

•

;
ABCD
SAB
⎡⎤
=
⎣⎦
.

JJJG JJJG
A
B
C
D
'
A
'
B
'C
'D
AD


•

''' '
'
.
;.
ABCD A B C D
VABAD
⎡⎤
=
⎣⎦
JJJG
JJJGJJJG
AA
A
B

C
D


121
•

1
.;.
6
ABCD
VABAC
⎡⎤
=
⎣⎦
JJJG JJJG JJJG
AD
b
GG

A
B
C
D

•

cùng phương ; 0aba
⎡⎤
⇔=

⎣⎦
GGG

•

, , đồng phẳng , . 0abc ab c
⎡⎤
⇔=
⎣⎦
GGG GG G

BÀI TẬP ỨNG DỤNG:
Bài 1:
Cho bốn điểm A(-1;-2;4), B(-4;-2;0), C(3;-2;1), D(1;1;1)
a. Chứng minh rằng bốn điểm A,B,C,D không đồng phẳng
b. Tính diện tích tam giác ABC
c. Tính thể tích tứ diện ABCD
Bài 2
: Tính thể tích tứ diện ABCD biết A(-1;-2;0), B(2;-6;3), C(3;-3;-1), D(-1;-5;3)

ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN
I. Các đònh nghóa:
1. Véc tơ chỉ phương của đường thẳng:
1. VTCP của đường thẳng :

là VTCP của đường thẳng (
Δ
)
đn
⇔

0
a có giá song song hoặc trùng với ( )
a
⎧
≠
⎪
⎨
Δ
⎪
⎩
G G
G

a
G


a
K
a
K

)(
Δ
Chú ý:
•

Một đường thẳng có vô số VTCP, các véc tơ này cùng phương với nhau.
•

Một đường thẳng (
Δ
) hoàn toàn được xác đònh khi biết một điểm thuộc nó và một VTCP của
nó.
2. Cặp VTCP của mặt phẳng:
a
K





Cho mặt phẳng
α
xác đònh bởi hai đường thẳng cắt nhau a và b . Gọi là VTCP của đường
G
a
G
thẳng a và là VTVP của đường thẳng b. Khi đó :
JG J
b
Cặp được gọi là cặp VTCP của mặt phẳng
(,)ab
JG
α

Chú ý :
•

Một mặt phẳng

α
hoàn toàn được xác đònh khi biết một điểm thuộc nó và một cặp VTCP của
nó.


α
b
K
a
b

122
3. Véc tơ pháp tuyến ( VTPT) của mặt phẳng :
n
K



α


n
là VTPT của mặt phẳng
G
α
đn
⇔
0
n có giá vuông góc với mp
n

α
⎧
≠
⎪
⎨
⎪
⎩
G G
G


Chú ý:
•

Một mặt phẳng có vô số VTPT, các véc tơ này cùng phương với nhau.
•

Một mặt phẳng hoàn toàn được xác đònh khi biết một điểm thuộc nó và một cặp VTPT của nó.

4. Cách tìm tọa độ một VTPT của mặt phẳng khi biết cặp VTCP của nó:

Đònh lý:
Giả sử mặt phẳng
α
có cặp VTCP là :
123
123
(; ; )
(; ; )
aaaa

bbbb
⎧
=
⎪
⎨
=
⎪
⎩
G
G
thì mp
α
có một VTPT là :


2331
12
2331
12
;;;
aaaa
aa
nab
bbbb
bb
⎛⎞
⎡⎤
==
⎜⎟
⎣⎦

⎝⎠
GGG







BÀI TẬP ỨNG DỤNG:
Tìm một VTPT của mặt phẳng
α
biết
α
đi qua ba điểm A(-2;0;1), B(0;10;3), C(2;0;-1)
II. Phương trình của mặt phẳng :
Đònh lý 1:
Trong Kg(Oxyz) . Phương trình mặt phẳng
α
đi qua điểm
0000
(;;)M xyz và có một
VTPT là:
(;; )nABC
=
G



000

()()()0A xx Byy Czz− +−+−=


Đònh lý 2:
Trong Kg(Oxyz) . Phương trình dạng :


0AxByCzD
+++=
với
222
0ABC+ +≠

α
],[ ban
K
KK
=
a
K
b
K
);;( CBAn =
K
);;(
0000
zyxM
α
);;( CBAn =
K

0
M
z
α
y

là phương trình tổng quát của một mặt phẳng .
x


Chú ý :
•

Nếu
(): 0AxByCzD
α
+++=
thì
()
α
có một VTPT là
(;; )nABC
=
G


123
•

0000 0 0 0

(;;)(): 0 Ax 0M xyz AxByCzD By Cz D
α
∈+++=⇔+++=
Các trường hợp đặc biệt:

1. Phương trình các mặt phẳng tọa độ:
•

(Oxy):z = 0
•

(Oyz):x = 0
•

(Oxz):y = 0
2. Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn:
•

Phương trình mặt phẳng cắt các trục Ox, Oy, Oz tại
(;0;0)
(0; ;0) (a,b,c 0)
(0;0; )
Aa
Bb
Cc
⎧
⎪
≠
⎨
⎪

⎩
)(Oxz
)(Oxy
)(Oyz
z
y
O
x
là:
1
x yz
abc
++=

A

B
C

a
b
c
O



BÀI TẬP ÁP DỤNG:
Bài 1
: Trong Kg(Oxyz) cho ba điểm A(3;1;0), B(-1;2;-1), C(2;-1;3)
Viết phương trình mặt phẳng (ABC)

Bài 2
: Cho điểm A(1;3;2), B(1;2;1), C(1;1;3)
Viết phương trình tham số của đường thẳng (d) đi qua trọng tâm tam giác ABC và vuông góc với
mặt phẳng chứa tam giác.
III. Vò trí tương đối của hai mặt phẳng - Chùm mặt phẳng :
1. Một số quy ước và ký hiệu:
Hai bộ n số : được gọi là tỷ lệ với nhau nếu có số
12
12
(, ,..., )
( , ,..., )
n
n
aa a
bb b
⎧
⎨
⎩
0t
≠
sao cho

11
22
.
.
nn
atb
atb
atb

=
⎧
⎪
=
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
=
⎪
⎩
Ký hiệu:
hoặc
12 12
: : ...: : : ...:
n
aa a bb b=
n
12
12
...
n
n
a
aa
bb b
===

2. Vò trí tương đối của hai mặt phẳng:

Đònh lý:
Trong Kg(Oxyz) cho hai mặt phẳng
,
α β
xác đònh bởi phương trình :

1111 1111
2222 222
( ): 0 có VTPT ( ; ; )
():
2
; )0 có VTPT ( ;
A xByCzD n ABC
A xBy C
α
β
+++= =
++
CzD n AB+= =
JJG
JJG

β
α
1
n
K

β

α

2
n
K

β
α

1
n
K
2
n
K





1
n
K
2
n
K