Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 có hệ số hằng

Trao đổi trực tuyến tại: />
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP 2 CÓ HỆ SỐ LÀ HẰNG SỐ
Là pt có dạng :

y " ay ' by  f ( x) (1)

với : a, b : hằng số
Pt thuần nhất liên kết là :

y " ay ' by  0 (2)
Cách tìm 2 nghiệm đltt của pt thuần nhất : y " ay ' by  0
Gọi pt :

k 2  ak  b  0 (*)
là pt đặc trưng của (2) , pt (*) có :

  a 2  4b
có các trường hợp sau :
a. Nếu   0 : pt (*) có 2 nghiệm phân biệt :

k1,2 

a  
2

thì pt (2) có 2 nghiệm đltt là :

y1  e k1x và y2  e k2 x
VD : Giải : y " 5 y ' 6 y  0
Bài giải :
- Pt đặc trưng :

k 2  5k  6  0



k1  2, k2  3

- 2 nghiệm đltt của pt là :

y1  e 2 x và y2  e3 x
- Nghiệm tổng quát của pt đã cho là :

y  C1e 2 x  C2 e3 x , (C1 , C2  )
b. Nếu   0 : pt (*) có nghiệm kép :

k1  k2 

a
2

thì pt (2) có 2 nghiệm đltt là :

CuuDuongThanCong.com

/>

Trao đổi trực tuyến tại: />a
x
2

y1  e
và y2  xe
VD : Giải : y " 4 y ' 4 y  0

a
x
2

Bài giải :
- Pt đặc trưng :

k 2  4k  4  0



k1  k2  2

- 2 nghiệm đltt của pt là :

y1  e 2 x và y2  xe 2 x
- Nghiệm tổng quát của pt đã cho là :



y  C1e 2 x  C2 xe 2 x , (C1 , C2  )
y  e 2 x (C1  C2 x ) , (C1 , C2  )

c. Nếu   0 : pt (*) không có nghiệm thực, (*) có 2 nghiệm phức :

k1,2 

a 
2

i


a
 
i
2
2

thì pt (2) có 2 nghiệm đltt là :

y1  e

a
x
2

sin


2

x và y1  e

a
x

2

cos


2

x

VD 1 : Giải : y " 2 y ' 10 y  0
Bài giải :
- Pt đặc trưng :

 '  1  10  9

k 2  2k  10  0

pt có 2 nghiệm phức : k1,2  1  3i
- 2 nghiệm đltt của pt là :



y1  e  x sin 3 x và y2  e  x cos 3 x
- Nghiệm tổng quát của pt đã cho là :

y  C1e  x sin 3 x  C2 e  x cos 3 x , (C1 , C2  )
CuuDuongThanCong.com

/>

Trao đổi trực tuyến tại: />


y  e  x (C1 sin 3 x  C2 cos 3 x) , (C1 , C2  )

VD 2 : Giải : y " 3 y ' 12 y  0
Bài giải :
- Pt đặc trưng :

  9  48  39



k 2  3k  12  0

pt có 2 nghiệm phức : k1,2 

3  39i
3
39
 
i
2
2
2

- 2 nghiệm đltt của pt là :

y1  e

3
 x
2

3
 x
39
39
sin
x và y2  e 2 sin
x
2
2

- Nghiệm tổng quát của pt đã cho là :
3
 x
2



3
 x
39
39
y  C1e sin
x  C2 e 2 cos
x , (C1 , C2  )
2
2

3
 x
39
39
y  e 2 (C1 sin
x  C2 cos
x) , (C1 , C2  )
2
2

Vậy : ptvptt cấp 2 có hệ số là hằng số LUÔN có nghiệm .

CuuDuongThanCong.com

/>

Trao đổi trực tuyến tại: />
MỘT SỐ DẠNG ĐẶC BIỆT

y " ay ' by  f ( x) (1)
x

1. f ( x )  e P ( x ) , ( P ( x ) là đa thức )
a. Nếu

 không là nghiệm của pt đặc trưng thì (1) có nghiệm riêng dạng :
y  e x Q ( x) , ( Q ( x) là đa thức và bậc Q ( x) = bậc P ( x ) )

VD : Giải : y " 2 y ' 5 y  e ( x  1)
2x

2

Bài giải :
- Pt thuần nhất liên kết :

y " 2 y ' 5 y  0

- Pt đặc trưng :



k 2  2k  5  0

 '  1  5  4
k1,2  1  2i

- 2 nghiệm đltt của pt là :

y1  e  x sin 2 x và y2  e  x cos 2 x
- 1 nghiệm riêng của pt đã cho có dạng :

y  e 2 x ( Ax 2  Bx  C )
- Có :



y '  2e 2 x ( Ax 2  Bx  C )  e 2 x (2 Ax  B )
y '  e 2 x (2 Ax 2  2 Ax  2 Bx  B  2C )



y "  2e 2 x (2 Ax 2  2 Ax  2 Bx  B  2C )  e 2 x (4 Ax  2 A  2 B )
y "  e 2 x (4 Ax 2  8 Ax  4 Bx  2 A  4 B  4C )

- Thế vào pt : y " 2 y ' 5 y  e ( x  1)
2x





2

e 2 x (13 Ax 2  12 Ax  13Bx  2 A  6 B  13C )  e 2 x ( x 2  1)
13 A  1  12 A  13B  0  2 A  6 B  13C  1
1
12
215
A B
C 
13
169
2197

 1 nghiệm riêng của pt đã cho là :

CuuDuongThanCong.com

/>

Trao đổi trực tuyến tại: />
1
12
215
y  e2 x ( x 2 
x
)
13
169
2197
- Nghiệm tổng quát của pt đã cho là :

y  C1e  x sin 2 x  C2 e  x cos 2 x  e 2 x (

(C1 , C2  )
b. Nếu

1 2 12
215
x 
x
)
13
169
2197

 là nghiệm đơn của pt đặc trưng thì (1) có nghiệm riêng dạng :
y  e x xQ ( x) , ( Q ( x) là đa thức và bậc Q ( x) = bậc P ( x ) )

VD : Giải : y " 5 y ' 6 y  e (2 x  1)
2x

Bài giải :
- Pt thuần nhất liên kết :

y " 5 y ' 6 y  0

- Pt đặc trưng :



  25  24  1
k1  2, k2  3

k 2  5k  6  0

- 2 nghiệm đltt của pt là :

y1  e 2 x và y2  e3 x
- 1 nghiệm riêng của pt đã cho có dạng :

y  e 2 x x( Ax  B )


y  e 2 x ( Ax 2  Bx)



y '  2e 2 x ( Ax 2  Bx)  e 2 x (2 Ax  B )

y '  e 2 x (2 Ax 2  2 Ax  2 Bx  B )

- Có :

y "  2e 2 x (2 Ax 2  2 Ax  2 Bx  B)  e 2 x (4 Ax  2 A  2 B)
 y "  e 2 x (4 Ax 2  8 Ax  4 Bx  2 A  4 B )
2x
- Thế vào pt : y " 5 y ' 6 y  e (2 x  1)
 e 2 x (2 Ax  2 A  B )  e 2 x (2 x  1)
 2 A  2  2 A  B  1
 A  1  B   3
CuuDuongThanCong.com

/>

Trao đổi trực tuyến tại: />
 1 nghiệm riêng của pt đã cho là :
y  e 2 x (1x 2  3 x)

- Nghiệm tổng quát của pt đã cho là :

y  C1e 2 x  C2 e3 x  e 2 x ( x 2  3 x ) , (C1 , C2  )
c. Nếu

 là nghiệm kép của pt đặc trưng thì (1) có nghiệm riêng dạng :
y  e x x 2Q ( x ) , ( Q ( x) là đa thức và bậc Q ( x) = bậc P ( x ) )

VD : Giải : y " 4 y ' 4 y  e

2x

Bài giải :
- Pt thuần nhất liên kết :

y " 4 y ' 4 y  0

- Pt đặc trưng :



'  0
k1  k2  2

k 2  4k  4  0

- 2 nghiệm đltt của pt là :

y1  e 2 x và y2  xe 2 x
- 1 nghiệm riêng của pt đã cho có dạng :

y  e2 x x 2 A
- Có :

y '  2 Ae 2 x x 2  2 Ae 2 x x
y '  e 2 x (2 Ax 2  2 Ax)
y "  2e 2 x (2 Ax 2  2 Ax)  e 2 x (4 Ax  2 A)
 y "  e 2 x (4 Ax 2  8 Ax  2 A)
2x
- Thế vào pt : y " 4 y ' 4 y  e
 e2 x 2 A  e2 x

 2A  1
1
 A
2
 1 nghiệm riêng của pt đã cho là :


CuuDuongThanCong.com

/>

Trao đổi trực tuyến tại: />
y

1 2x 2
e x
2

- Nghiệm tổng quát của pt đã cho là :

1
y  C1e 2 x  C2 xe 2 x  e 2 x x 2 , (C1 , C2  )
2
1
y  e 2 x ( x 2  C2 x  C1 ) , (C1 , C2  )
2


x

2. f ( x )  e
a. Nếu

 P1 ( x) sin  x  P2 ( x) cos  x  , ( P1 ( x), P2 ( x) là đa thức )

   i không là nghiệm của pt đặc trưng thì (1) có nghiệm riêng dạng :
y  e x Q1 ( x) sin  x  Q2 ( x) cos  x 

( Q1 ( x ), Q2 ( x ) là đa thức có bậc bằng nhau và bằng bậc cao nhất của P1 ( x ), P2 ( x ) )
VD : Giải : y " y  sin 3 x
Bài giải :
- Pt thuần nhất liên kết :

y " y  0

- Pt đặc trưng :



 '  1
k1,2  i

k 2 1  0

- 2 nghiệm đltt của pt là :

- Có :




y1  sin x và y2  cos x
y " y  sin 3 x  e0 x 1sin 3 x  0 cos 3 x 
  0 3
   i  0  3i  3i  k1,2

- 1 nghiệm riêng của pt đã cho có dạng :


- Có :

y  e0 x  A sin 3 x  B cos 3 x 
y  A sin 3 x  B cos 3 x

y '  3 A cos 3 x  3B sin 3 x
y "  9 A sin 3 x  9 B cos 3 x
CuuDuongThanCong.com

/>

Trao đổi trực tuyến tại: />
- Thế vào pt : y " y  sin 3 x





8 A sin 3 x  8 B cos 3 x  sin 3 x
8 A  1   8 B  0
1

A B0
8

 1 nghiệm riêng của pt đã cho là :
1
y   sin 3 x  0 cos 3 x
8
1
 y   sin 3 x
8
- Nghiệm tổng quát của pt đã cho là :

1
y  C1 sin x  C2 cos x  sin 3 x , (C1 , C2  )
8
b. Nếu

   i là nghiệm của pt đặc trưng thì (1) có nghiệm riêng dạng :
y  e x x Q1 ( x ) sin  x  Q2 ( x ) cos  x 

( Q1 ( x ), Q2 ( x ) là đa thức có bậc bằng nhau và bằng bậc cao nhất của P1 ( x ), P2 ( x ) )
VD : Giải : y " 2 y ' 10 y  e cos 3 x
x

Bài giải :
- Pt thuần nhất liên kết :

y " 2 y ' 10 y  0

- Pt đặc trưng :



 '  9
k1,2  1  3i

k 2  2k  10  0

- 2 nghiệm đltt của pt là :

y1  e x sin 3 x và y2  e x cos 3 x
y " 2 y ' 10 y  e x cos 3 x  e1x  0sin 3 x  1cos 3 x 

- Có :




  1   3
   i  1  3i  k1

- 1 nghiệm riêng của pt đã cho có dạng :

CuuDuongThanCong.com

/>

Trao đổi trực tuyến tại: />
y  e x x  A sin 3 x  B cos 3 x 



y  e x  Ax sin 3 x  Bx cos 3 x 

- Có :



y '  e x ( Ax sin 3 x  Bx cos 3 x)  e x ( A sin 3 x  3 Ax cos 3 x
 B cos 3 x  3Bx sin 3 x)
y '  e x ( Ax sin 3 x  Bx cos 3 x  A sin 3 x  3 Ax cos 3 x
 B cos 3 x  3Bx sin 3 x)

y "  e x ( Ax sin 3 x  Bx cos 3 x  A sin 3 x  3 Ax cos 3 x
 B cos 3 x  3Bx sin 3 x)  e x ( A sin 3 x  3 Ax cos 3 x
 B cos 3 x  3Bx sin 3 x  3 A cos 3 x  3 A cos 3 x
9 Ax sin 3 x  3B sin 3 x  3B sin 3 x  9 Bx cos 3 x)



y "  e x (8 Ax sin 3 x  8 Bx cos 3 x  2 A sin 3 x  6 Ax cos 3 x
2 B cos 3 x  6 Bx sin 3 x  6 A cos 3 x  6 B sin 3 x)

- Thế vào pt : y " 2 y ' 10 y  e cos 3 x
x





e x 6 A cos 3 x  e x 6 B sin 3 x  e x cos 3 x
6 A  1  6B  0
1
A B0
6

 1 nghiệm riêng của pt đã cho là :
1
y  e x x sin 3 x
6

- Nghiệm tổng quát của pt đã cho là :

y  C1e x sin 3 x  C2 e x cos 3 x  e x

CuuDuongThanCong.com

1
x sin 3 x , (C1 , C2  )
6

/>

Trao đổi trực tuyến tại: />
VỀ BÀI THI
- Cấu trúc :
+ Trắc nghiệm : 70%
+ Tự luận : 30%
 Toán kinh tế (cực trị toàn cục)
 Giải ptvp tuyến tính cấp 1 – Becnouly, ptvp tuyến tính cấp 2 (các dạng đặc biệt)

Trao đổi trực tuyến tại:
/>
CuuDuongThanCong.com

/>