Chuyên đề Phép chia các đa thức.doc

/>CHUYấN 4 : phép chia các đa thức
A. Lý THUYếT:
Cho đa thức f(x) và g(x)

0, ta luôn tìm đợc một đa thức q(x) (đa
thức thơng) và một đa thức r(x) ( đa thức d) sao cho:
f(x) = g(x) . q(x) + r(x) trong đó:
Bậc của đa thức r(x) nhỏ hơn bậc của đa thức g(x)
Nếu f(x) 0 thì bậc của f(x) = bậc của g(x) + bậc của q(x)
Nếu r(x) =0 thì ta nói đa thức f(x) chia hết cho đa thức g(x) và f(x) = g(x) .
q(x)
x = a gọi là nghiệm của đa thức f(x)

f(a) = 0
Định lý Bezout: D trong phép chia đa thức f(x) cho nhị thức x-a là
một hằng số bằng f(a).
Hệ quả: Nếu x=a là một nghiệm của đa thức f(x) thì đa thức f(x) chia hết cho nhị
thức x-a
Ta có thể vận dụng các tính chất và định lý trên để phân tích một đa thức
thành nhân tử bằng hai phơng pháp sau:
Phơng pháp hệ số bất định
Ví dụ: Phân tích đa thức x
3
- 15x -18 thành tích một nhị thức bậc nhất và một tam
thức bậc hai.
Giả sử đa thức trên đợc phân tích thì:
x
3
- 15x -18= (x+a)(x
2
+ bx+ c)

x
3
- 15x -18= x
3
+ (a+b)x
2
+ (ab +c)x + ac
Đồng nhất hai đa thức ở 2 vế ta đợc:
0
15(*)
18
a b
ab c
ac
+ =


+ =


=

Từ ac=-18 ta có chọn a=3

c=-6 ; b = -3 thoả mãn (*)
Vậy: x
3
- 15x -18= (x+3)(x
2

- 3x -6)
/>CHUYấN 4 : phép chia các đa thức
B.MộT Số Ví Dụ:
Phơng pháp xét giá trị riêng
VD1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử.
f(x) = x
3
- x
2
14x + 24
Ta thấy với x=2 ta có f(2)= 8 - 4 - 28 + 24 = 0

f(x) chia hết cho x-2 và tìm đợc
f(x) = (x-2)(x
2
+ x -12)
Tơng tự với x=3; x=- 4

f(3)= 0; f(- 4)= 0
Và tìm đợc f(x)=(x-2)(x -3)(x + 4)
VD2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
2 2 2 2 2 2
( ) ( ) ( )A x y z y z x z x y
= + +
Nếu x=y A=0
A chia hết cho x-y
Vì x,y,z vai trò nnh nhau nên A cũng chia hết cho y-z, z-x A chia hết cho (x-y)
(y -z)(z -x)
Mặt khác bậc của các đa thức trong đa thức A cao nhất là 3, còn bậc của đa
thức trong đa thức (x-y)(y -z)(z -x) cao nhất cũng là 3

đa thức thơng có bậc là 9.
A=k(x-y)(y -z)(z -x)
xét các biến nhận giá trị riêng x=0; y=1; z=2
ta có:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2 2
0 1 2 1 2 0 2 0 1 0 1 1 2 2 0
1
k
k
+ + =
=
Vậy A=(x-y)(y -z)(z -x)
Ta có thể giải bài toán trên bằng cách tạo ra các nhân tử chung lần lợt là:
x-y; y z; z x
VD:
( )
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )( ) ( )( )
( )( )( )
( )( )( )
A x y z y z x z x y
x y x x z y z x z x y
x y z x z x y x
x y z x x y z x

x y z x y z
= + +

= + + +

= +
= +
=
/>CHUYấN 4 : phép chia các đa thức
C.MộT Số BàI TậP áP DụNG:
Bài toán 1: Rút gọn biểu thức
A=
80298
160100
4.5
2.125
; B =
438
88
5.27.3
5.9
; C= (15.3
11
+4.27
4
):9
7
; D =
yx
yx

42
)2(8
5
+
+

Bài toán 2: Xác định các số a sao cho :
a) 27x
2
+a chia hết cho 3x+2 ; b) x
4
+a.x
2
+1 chia hết cho x
2
+2x+1;
c) 3x
2
+a.x+27 chia cho x+5 có số d bằng 2
Bài toán 3: Xác định các số a và b sao cho :
a)x
4
+a.x
2
+b chia hết cho x
2
+x+1; b) a.x
3
+b.x-24 chia hết cho (x+1)(x+3);
c) x

4
-x
3
-3x
2
+ã+b chia hết cho x
2
-x-2 có d là 2x-3.
d) 2x
3
+a.x+b chia cho x+1 d -6, chia cho x-2 d 21.
Bài toán 4: Không làm phép chia đa thức,hãy xác định xem đa thức : 4x
3
-7x
2
-x-2 có hay
không chia hết cho: a) x-1 ; b) x+2 .
Bài toán 5: Làm tính chia
a) (6x
3
-7x
2
-x+2):(2x+1) ; b) (x
4
-x
3
+x
2
+3x) : (x
2

-2x+3)
c) x
2
-y
2
+6x+9): (x+y+3) ; d) (2x
4
+x
3
-3x
2
+5x-2) : (x
2
-x+1).
Bài toán 6: Làm tính chia
a) ( 125 x
3
y
4
z
5
+10x
3
y
2
z
3
) :( -5 x
3
y

2
z
2
).
b) ( 8x
2
-26x+21):( 2x-3)
Bài toán 7: Tìm m để đa thức
a)2x
3
+5x
2
-2x+m chia hết cho đa thức 2x
2
-x+1.
b) 5x
3
-3x
2
+x+m chia hết cho đa thức x+2.
Bài toán 8: Xác định d của phép chia đa thức : x+x
3
+x
9
+x
27
+x
81
cho:
a) x-2 ; b) x+2

Bài toán 9: Tìm các giá trị nguyên của x để :
a) 2x
2
+x-7 chia hết cho x+2 ; b) 10x
2
+x+7 chia hết cho 2x-3.
Bài toán 10: Tìm các giá trị nguyên dơng của x ,y sao cho : x
2
=y
2
+2y+13.
Bài toán 11: Tìm số tự nhiên x sao cho 25x
2
-97x+11 chia hết cho x-4.
Bài toán 12: Chứng minh rằng 2n
3
+3n
2
+n chia hết cho 6 với mọi số nguyên n.