Chuyên đề 2_Diện tích đa giác.doc

Chuyên đề : Các bài toán về diện tích đa giác
A.Lý thuyết:
I. Đa giác.
1. Đa giác A
1
A
2
A
3
..A
n
là hình gồm các đoạn thẳng A
1
A
2
, A
2
A
3
, A
3
A
4
, .., A
n
A
1
sao cho bất kỳ hai đoạn thẳng nào mà có một điểm chung thì đều không cùng
nằm trên một
đờng thẳng.
1. Tổng số đo các góc của đa giác n cạnh bằng

(n 2). 2v
VD: Tổng số đo của hình ngũ giác là:
n = 5 Tổng số đo các góc =
0 0
(5 2).2.90 540 =
3. Đa giác đều là đa giác có tất cả các cạnh bằng nhau và các góc bằng nhau.
II. Khái niệm diện tích miền đa giác diện tích đa giác.
1 Hai tam giác bằng nhau thì có diện tích bằng nhau.
2 Nếu một đa giác đợc chọn thành những đa giác không có điểm trong chung
thì diện tích của nó bằng tổng diện tích của nó bằng tổng diện tích của
những đa giác đó.
3 hình vuông có độ dài bằng 1 thì có diện tích bằng 1.
4 Diện tích của đa giác.
a.Diện tích hình chữ nhật.

.S a b=
Trong đó a, b là 2 kích thớc của nó.
Từ đó suy ra:
*Diện tích hình vuông:
2
S a
=
với a là độ dài cạnh hình vuông.
*Diện tích tam giác vuông:
1
. .
2
S b c
=
với b, c là độ dài các cạnh góc vuông.

b.Diện tích tam giác.
1
.
2
S ah=

với a là độ dài 1 cạnh và h là độ dài đờng cao tơng ứng của cạnh ấy.
c. Diện tích hình thang:
1
.( ).
2
S a b h
= +

Với a, b là độ dài hai cạnh đáy, h là đội dài đờng cao tơng ứng.
Suy ra: Diện tích hình bình hành
.S a h
=
với a là độ dài một cạnh và h là độ
dài đờng cao tơng ứng với cạnh ấy.
d.Diện tích có hai đờng chéo vuông góc:

1 2
1
. .
2
S d d
=
với d
1

, d
2
là độ dài hai đờng chéo.
Chuyên đề bồi dỡng học sinh giỏi lớp :Đào Anh Dũng ()
1
Chuyên đề : Các bài toán về diện tích đa giác (tiếp
theo)
B. Bài tập áp dụng:
Bài toán 1 :Cho hình bình hành ABCD. M là điểm trên cạnh AB, N là điểm trong hình bình
hành ABCD.
CMR : a)
ABCDMCD
SS
2
1
=
b)
ABCDNCDNAB
SSS
2
1
=+
Bài toán 2: Chứng minh rằng: Diện tích tam giác nội tiếp trong hình bình hành (Tam giác có
ba đỉnh nằm trên các cạnh của hình bình hành) không lớn hơn nửa diện tích hình bình hành.
Bài toán 3:Cho tứ giác ABCD. CMR có ít nhất một hình bình hành có diện tích bằng diện
tích tứ giác ABCD.
Bài toán 4:Cho tứ giác ABCD có
BCABCB
===
,90

0
và nếu vẽ
)( ADHADBH

Thì BH=1. Tính diện tích tứ giác ABCD.
Bài toán 5:Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N, P lần lợt là trung điểm của các cạnh AB, BC,CD.
CMR: a)
ABCDBMN
SS
4
1
=
b)
ABCDPMN
SS
4
1
=
Bài toán 6:Cho tam giác nhọn ABC. Gọi
111
,, CBA
lần lợt là trung điểm của các cạnh BC,
AC, AB.
Gọi D, E, F lần lợt là trực tâm của các tam giác
.,,
111111
CBABCACAB
CMR:
ABCFDBECA
SS

2
1
111
=
Bài toán 7:CMR có ít nhất một tam giác mà diện tích mà diện tích bằng diện tích của một tứ
giác cho trớc.
Bài toán 8: Cho ngũ giác lồi ABCDE. CMR có ít nhất một tam giác có diện tích bằng diện
tích ngũ giác ABCDE.
Bài toán 9:Cho hình thang ABCD (AD // BC). Gọi E là trung điểm của CD, vẽ
ABEK


tại K: CMR
EKABS
ABCD
.
=
Bài toán 10:Cho tam giác đều ABC.CMR các điểm nằm trong tam giác ABC sao cho
MACMABMBC
SSS
+=
thuộc một đờng thẳng cố định.
Bài toán 11:Cho tứ giác ABCD. Các đờng thẳng AB và CD cắt nhau tại E. Gọi F và G theo
thứ tự là trung điểm của các đờng chéo AC và BD. CMR
ABCD
EèG
SS
4
1
=

Bài toán 12:Cho tứ giác lồi ABCD, M, N theo thứ tự là trung điểm của AB và CD. Gọi P là
giao điểm của AN và MD. Q là giao điểm BN và MC.
CMR:
MNPQBQCAPD
SSS
=+
Chuyên đề bồi dỡng học sinh giỏi lớp :Đào Anh Dũng ()
2
Bài tập (Báo toán học và tuổi trẻ + Toán tuổi thơ 2)
*Báo toán học và tuổi trẻ
Bài T3/330. Tìm tất cả nghiệm nguyên dơng của phơng trình

)(2 zyxzyx
xzy
++=++
Bài T4/330. Giải phơng trình

xxx
+=
33
Bài T5/330. Chứng minh bất đẳng thức

2
9
2
2
22
2
22
2

22333

+
+
+
+
+
+
+
+
+
++
acb
ac
bca
cb
abc
ba
abc
cba
BàiT6/330. Cho tam giác ABC có AB=AC. Từ điểm M trên BC Kẻ
ABMP

và
ACMQ

sao
cho P,Q lần lợt nằm trên các đờng thẳng AB, AC. CMR đờng trung trực của PQ luôn đi qua
một điểm cố định khi M di động trên cạnh BC.
Bài T7/330. Cho tam giác ABC với đờng cao AH (H khác B, C).Kẻ HE//AC

và
ABHM

sao cho E, M nằm trên đờng thẳng AB. Kẻ HF//AB và
ACHN

sao cho F, N
nằm trên đờng thẳng AC. CMR ba đờng thẳng EF, MN và BC đồng quy.
* Bài tập báo toán tuổi thơ 2:
Bài 1(22). Giả sử
);....;;();;.....;;();;....;;(
372137213721
cccbbbaaa
là ba bộ số nguyên bất kỳ.
CMR tồn tại các số k, l, n thuộc tập hợp số
{ }
37;......;2;1
để các số
)(
3
1
);(
3
1
);(
3
1
nlknlknlk
ccccbbbbaaaa
++=++=++=

đồng thời là các số nguyên.
Bài 2(22). Tìm a để phơng trình (ẩn x)sau có nghiệm:

.1).(
2
=
xxax
Bài 3(22): Tìm m để phơng trình sau có ít nhất bốn nghiệm nguyên:

11
232
=++++
xmmmxm
Bài 4(22): Cho tam giác ABC. H là điểm bất kỳ trên cạnh BC. AD là đờng phân giác trong
của góc BAC, dựng AL đối xứng với AH qua AD (L thuộc BC).
CMR:
2
2
.
.
LD
HD
CLBL
CHBH
=
Chuyên đề bồi dỡng học sinh giỏi lớp :Đào Anh Dũng ()
3