Chuyên đề vectơ

Cần Thơ, ngày 26 tháng 08 năm 2009

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ
KHOA SƯ PHẠM
BỘ MÔN TOÁN
----------------




BÀI BÁO CÁO
MÔN GIẢI TOÁN PHỔ THÔNG
NHÓM 03
CHỦ ĐỀ 1: VECTƠ
GVHD: Lại Thị Cẩm



Các thành viên: 1. Trần Thị Kim Luyến MSSV: 1050042
2. Nguyễn Hoàng Anh MSSV: 1070109
3. Chế Ngọc Hà MSSV: 1070126
4. Lê Thúy Hằng MSSV: 1070127
5. Nguyễn Hòang Long MSSV: 1070142
6. Lý Sel MSSV: 1070157
7. Thạch Thanh Tâm MSSV: 1070163



TÓM TẮT LÍ THUYẾT VECTƠ

I. Các định nghĩa:
• Vectơ là đoạn thẳng có đònh hướng Ký hiệu :
AB
uuur
; hoặc
CD
uuur
a
r
;
b
r

• Vectơ – không là vectơ có điểm đầu trùng điểm cuối. Ký hiệu
0
r
.
• Giá của vectơ là đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của
vectơ.
• Hai vectơ cùng phương là hai vectơ có giá song song hoặc trùng
nhau.
• Hai vectơ cùng phương thì hoặc cùng hướng hoặc ngược hướng.
• Hai vectơ bằng nhau nếu chúng cùng hướng và cùng độ dài.
II. Tổng và hiệu của hai vectơ:
• Đònh nghóa: Cho
ABa=
uuurr
;
BC b=

uuur r
. Khi đó
ACab= +
uuur r r

• Tính chất : * Giao hoán :
ab+
r r
=
ba+
r r

* Kết hợp (
ab+
r r
) +
c
r
=
(ab+
r r
+
c
r
)
* Tính chất vectơ –không
a
r
+
0

r
=
a
r

• Quy tắc 3 điểm :
Cho A, B ,C tùy ý. Ta có :
AB
uuur
+
BC
uuur
=
AC
uuur

• Quy tắc hình bình hành . Nếu ABCD là hình bình hành thì
AB
uuur
+
AD
uuur
=
AC
uuur
• Quy tắc về hiệu vectơ : Cho
BC
, với điểm O tùy ý ta có :
CBOCOB =−
.

• Nếu M là trung điểm của đoạn thẳng AB thì
0=+ MBMA
.
• Nếu G là trọng tâm của tam giác ABC thì
0=++ GCGBGA
.
• Nếu AM là một trung tuyến của tam giác ABC thì
AMACAB 2=+
.
III. Tích của vectơ với một số:
• Cho k∈R , k
a
là 1 vectơ được xác đònh:
* Nếu k ≥ 0 thì k
a
cùng hướng với
a
; k < 0 thì k
a
ngược hướng
với
a

* Độ dài vectơ k
a
bằng
k
.⎢
a
⎢

• Tính chất :
a) k(m
a
) = (km)
a

b) (k + m)
a
= k
a
+ m
a

c) k(
a
+
b
) = k
a
+ k
b

d) k
a
=
0
⇔ k = 0 hoặc
r
a
=

0
r

•
b
cùng phương (
r
a
r
a
r
≠
0
r
) khi và chỉ khi có số k thỏa
b
=k .
r
a
r
• Điều kiện cần và đủ để A , B , C thẳng hàng là có số k sao cho
AB
uuur
=k .
AC
uuur
• Cho
b
không cùngphương
r

a
r
, ∀
x
r
luôn được biểu diễn
x
r
= m
a
r
+
n
b
( m, n duy nhất ).
r
IV. Trục tọa độ và hệ trục tọa độ:
• Trục là đường thẳng trên đó xác đònh điểm O và 1 vectơ có độ
dài bằng 1.
i
r
Ký hiệu trục (O;
i
r
) hoắc x’Ox
• A,B nằm trên trục (O;
i
r
) thì
AB

=
AB
i
r
. Khi đó
AB
gọi là độ dài
đại số của
AB
.
• Hệ trục tọa độ vuông góc gồm 2 trục Ox ⊥ Oy. Ký hiệu Oxy hoặc
(O; ;
i
r
j
r
).
• Đối với hệ trục (O;
i
r
;
j
r
), nếu
a
r
=x
i
r
+y

j
r
thì (x;y) là toạ độ của
. Ký hiệu = (x;y).
a
r
a
r
• Cho = (x;y) ; = (x’;y’) ta có :
a
r
b
r
± = (x ± x’;y ± y’)
r
a
r
b
r
k
a
=(kx ; ky) ; ∀ k ∈ R
cùng phương
b
r
a
r
(
a
r

≠
0
r
) khi và chỉ khi có số k thỏa
x’=kx và y’= ky.
• Cho M(x
M
; y
M
) và N(x
N
; y
N
) ta có:
P là trung điểm MN thì x
p
=
2
M N
x x+
và y
P
=
2
M N
yy+


MN
uuuur

= (x
M
– x
N
; y
M
– y
N
).
• Nếu G là trọng tâm tam giác ABC thì
x
G
=
3
A BC
x xx++
và y
G
=
2
ABC
yyy+ +
.

☺

MỘT SỐ DẠNG TỐN VECTƠ

1. Chứng minh đẳng thức vectơ:
•

Phương pháp chung
:
- Quy tắc 3 điểm:
BCCABA
r
r
r
+=


BCCABA
r
r
r
=−

- Quy tắc hình bình hành: với hình bình hành ABCD ta luôn
có:
CABADA
r
rr
=+

- Quy tắc trung điểm: với điểm M tuỳ ý và I là trung điểm AB luôn có:
BMAMIM
r
r
r
+=2
.

- Các tính chất của phép cộng,trừ vecctơ và phép nhân một số với một vectơ
để thực hiện biến đổi tương đương cho đẳng thức cần chứng minh khi đó ta
lựa chọn một trong các biến đổi sau:
+ Biến đổi một vế thành vế còn lại


Xuất phát từ vế phức tạp ta cần thực hiệnviệc đơn giản biểu thức.


Xuất phát từ vế đơn giản ta cần thực hiện việc phân tích vectơ.
+ Biến đổi đẳng thức cần chứng minh về đẳng thức đã biết là đúng.
+ Biến đổi một đẳng thức đã biết là đúng thành đẳng thức cần chứng minh.
+ Tạo dựng các hình phụ.
Õ Ví dụ 1:
Cho 4 điểm A, B, C, D. Chứng minh rằng:
BCDADCBA
rrrr
+=+

Giải:
Ta có thể trình bày theo các cách sau:



Cách 1
: Thực hiện phép biến đổI VT, ta có:

BCDADBBDBCDADBBCBDDADCBA
rrrrrrrrrrrr
+=+++=+++=+ )(

Nhận xét
: Thực hiện việc biến đổI VT thành VP, ta cần tạo ra sự xuất hiện
của các vectơ
DA
r
và
BC
r
. Do đó:
trong lời giải ta xen điểm D vào
BA
r
còn điểm B vào vectơ
DC
r

Ta cũng sử dụng khi lựa chọn phép biến đổi VP thành VT. Cụ thể trong cách 2



Cách 2
: Thực hiện phép biến đổi VP. ta có:

DCBABDDBDCBABDDCDBBABCDA
rrrrrrrrrrrr
+=+++=+++=+ )(




Cách 3
: Biến đổi đẳng thức cần chứng minh về đẳng thức đã biết là
luôn đúng

BDBDDCBCDABABCDADCBA
rrrrrrrrrr
=⇔−=−⇔+=+


Õ Ví dụ 2:

Gọi M, N lần lượt là trung điểm các đoạn AB, CD . Chứng minh rằng:

CBDADBCANM
r
rr
r
r
+=+=2


Giải:

Cách 1:
Ta có M là trung điểm của AB , với N bất kì thì

NMMNBNAN
rrr
r

22 −==+
(1)
N là trung điểm của CD, với M bất kì thì

NMDMCM
rr
r
2=+
(2)
Lấy (2)-(1) ta được:

)(2
)(24
0)(20
)(
)()(
)(4
DBCANM
DBCANM
DBCA
DBCADNCNDBCABMAM
BDDNACCNDBBMCAAM
BNANDMCMNM
r
r
r
r
r
r
r

r
rr
r
r
r
r
r
r
r
r
rr
rr
rr
rr
r
r
r
r
r
+=⇒
+=⇒
+++=
+++−+++=
+−+−+++=
+−+=

Chứng minh tương tự: VT =
CBDA
r
r

+


Cách 2:
Gọi O la 1điểm tuỳ ý trên vectơ MN. Khi đó theo quy tắc trung điểm, ta có:

)2(2
)1(2
DOCONO
BOAOMO
r
r
r
r
r
r
+=
+=
Lấy (2)-(1) ta được:
)()()(2 BOAODOCOMONO
r
r
r
r
rr
+−+=−

2
NM
r

=
)()( BODOAOCO
rr
rr
−+−

2
NM
r
=
DBCA
r
r
+
(1)
Ta cần chứng minh:
CBDADBCA
r
rr
r
+=+

VT=
DCCBCDDA
r
rr
r
+++

=

CBDA
r
r
+

= VP (2)
Từ (1) và (2) ta suy ra:
CBDADBCANM
r
rr
r
r
+=+=2


Õ Ví dụ 3:

Cho tam giác đều ABC.Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác.CMR:

0...
rr
r
r
=++ CIcBIbAIa
( a,b,c
+
∈ R
)
Giải:
Dựng hình bình hành có // , // . Ta được:

22
ICAB
2
AB
1
CC
2
AC
1
BB
(1)
22
CIBIAI
r
r
r
+=
Đặt: IB
2
= b, IC
2
= c
và IC = IB = IA = a.


BI
a
b
BI
rr

−=⇒
2

( 2)





CICI
a
c
CB
AB
IC
IC
rr
↑↓
==
2
1
12

CI
a
c
CI
rr
−=⇒
2

(3)
A
C2
B
C1
C
B2
B1
I
BIBI
a
b
BC
AC
IB
IB
rr
↑↓
==
2
1
12

Thay (2),(3) vào (1)

0...
rr
r
r
r

r
r
=++⇒
−−=⇒
CIcBIbAIa
CI
a
c
BI
a
b
AI



Dạng 2: Xác định điểm thoả mãn một đẳng thức vectơ
Phương pháp chung

-Ta
biến đổi đẳng thức vectơ cho
vMO
r
r
=
, trong đó điểm O và đã biết
v
r
-Nếu muốn dựng điểm M, ta lấy O làm gốc dựng một vectơ bằng vectơ v.
Khi đó điểm ngọn của vectơ này chính là điểm M

Õ Ví dụ :

Cho tam giácABC.
a)

Tìm điểm I sao cho:
02
r
r
r
=+ BIAI
(1)
b)

Tìm điểm K sao cho:
BCBKAK
rr
r
=+ 2
(2)

Giải:
a) Theo quy tắc 3 điểm, ta có:
ABBIAI
r
r
r
+=

(1)

⇒
⇒=+ 03
rr
r
ABBIBAABBI
r
r
r
=−=3
BABI
rr
3
1
=⇒


⇒
3 điểm I, A, B thẳng hàng hay điểm thuộc đoạn AB và thoả
điều kiện:

BABI
rr
3
1
=

b)Từ kết quả câu a ta suy ra:AI=2IB

BIIA
rr

2=⇒


BIAI
r
r
2−=⇒

VT(2)=
)(2)(2
BIIKAIIKBKAK
rr
r
rr
r
+++=+


)2(3 BIAIIK
r
r
r
++=


BIAI
r
r
2−=
02

r
r
r
=+⇒ BIAI

Vậy:

IKBKAK
rr
r
32 =+

Theo giả thiết ta được:
CBKIBCIKBCIK
r
rrrrr
3
1
3
1
3
=⇒=⇒=

Kết quả này cho ta 2 vectơ
KI
r
và
CB
r
là 2 vectơ cùng phương và vì I

∉
BC
nên IK//BC.
Vậy K là điểm thuộc miền trong tam giác, nằm trên đường thẳng qua I song
song với BC sao cho :
CBKI
r
r
3
1
=


Dạng 3 : Chứng minh ba điểm thẳng hàng
Phương pháp chung:
Muốn chứng minh 3 điểm A,B,C thẳng hàng, ta đi chứng minh:
ACkAB .=
;(k∈R) (1)
Để nhận được (1) ta lựa chọn một trong hai hướng
-

Hướng 1: Sử dụng các qui tắc biến đổi đã biết
-

Hướng 2: Xác định
ACAB,
thông qua một tổ hợp trung gian.
Ví dụ
:
Cho Δ ABC. Gọi O, G, H theo thứ tự là tâm đường tròn ngoại tiếp, trọng

tâm, trực tâm của ΔABC. Chứng minh rằng: O, G, H thẳng hàng.









C
A1


O
H G

B
A
E




Giải
Chọn tổ hợp 3 vectơ
OCOBOA ,,
Khi đó:

()

OCOBOAOG ++=
3
1
(1)
Chọn E là trung điểm của BC và A
1
là điểm đối xứng với A qua O, ta được:
BH // CA
1
cùng vuông góc với AC.
CH // BA
1
cùng vuông góc với AB.
⇒
Tứ giác A
1
BHC là hình bình hành.
⇒
A
1
, E, H thẳng hàng .
1
HAHCHB =+⇒

( ) ( )
AHHAHAHAAHAA
HCHBAHOAHCAHOAHBAHOAOCOBOE
=+=++=
=+++=+++++=+=
22

222
11

OEAH 2=⇒

Ta có:
OCOBOAOEOAAHOAOH ++=+=+= 2
(2)
Từ (1) và (2) suy ra:

⇔= OHOG
3
1
O, G , H thẳng hàng.


Dạng 4: Biểu diễn vectơ :
Định lý
: Cho trước hai vectơ
a
và
b
khác
0
và không cùng phương
.Với mọi vectơ
c
bao giờ cũng tìm được một cặp số thực
βα
,

duy nhất
,sao cho:
c
=
α
a
+
β
b

Bây giờ chúng ta sẽ quan tâm tới phương pháp thực hiện được miêu tả
trong bài toán sau:
Bài toán: Biểu diễn một vectơ thành tổ hợp vectơ.


PHƯƠNG PHÁP CHUNG :
Ta lựa chọn một trong hai hướng :
Hướng1
: Từ giả thiết xác định được tính chất hình học, rồi từ đó khai
triển vectơ cần biễu diễn bằng phương pháp xen điểm hoặc hiệu của hai
vectơ cùng gốc.
Hướng 2
: Từ giả thiết thiết lập được mối liên hệ vectơ giữa các đối
tượng ,rồi từ đó khai triển biểu thức này bằng phương pháp xen điểm hoặc
hiệu của hai vectơ cùng gốc.
Chú ý:
Trong một vài trường hợp cần sử dụng cơ sở trung gian.
Ví dụ
: Cho
Δ

ABC , gọi G là trọng tâm tam giác và B
1
là điểm đối xứng của
B qua G. Hãy biểu diễn vectơ
1
CB
theo
AB
và
AC

Giải
: