D05 giữa hai đối tượng song song muc do 3

Câu 38. [1H3-5.5-3] (THPT Chuyên Vĩnh Phúc- Lần 3-2018) Cho hình chóp S. ABCD có đáy là
hình thang vuông tại A và D ; SD vuông góc với mặt đáy ( ABCD) ; AD  2a ; SD  a 2. Tính
khoảng cách giữa đường thẳng CD và mặt phẳng  SAB  .
A.

2a
.
3

B.

a
.
2

C. a 2 .

D.

a 3
.
3

Lời giải
Chọn A
S

H

C

D
A

B

Gọi H là hình chiếu vuông góc của D trên SA . Khi đó ta có:
 DH  AB
 AB  AD
 DH   SAB  .
 AB   SDA  AB  DH ; 

 DH  SA
 AB  SD
Ta có CD //  SAB   d  CD,  SAB    d  D,  SAB    DH 
Câu 2408.

SD. AD
SD  AD
2

2



2a 2 2a
.

3
6

[1H3-5.5-3] [sai 5.2 chuyển thành 5.5] Cho hình thang vuông ABCD vuông ở
A và D , AD  2a . Trên đường thẳng vuông góc tại D với  ABCD  lấy điểm S với

SD  a 2 . Tính khỏang cách giữa đường thẳng DC và  SAB  .
A.

2a
3

.

B.

a
2

C. a 2 .

.
Lời giải

Chọn A.

Vì DC // AB nên DC //  SAB   d  DC;  SAB    d  D;  SAB   .

D.

a 3
.
3

Kẻ DH  SA , do AB  AD , AB  SA nên AB   SAD   DH  AB suy ra d  D; SC   DH .
Trong tam giác vuông SAD ta có:

1
1
1
SA. AD
2a
.
 DH 

 2
2
2
2
2
DH
SA
AD
3
SA  AD

[1H3-5.5-3] Cho lăng trụ đứng ABC. A ' B ' C ' có đáy là tam giác cân, AB  AC  a ,

Câu 2552:

BAC  120 . Mặt phẳng  AB ' C ' tạo với mặt đáy góc 60 . Tính khoảng cách từ đường

thẳng BC đến mặt phẳng  AB ' C ' theo a .
A.

a 3
.
4

B.

a 5
.
14

C.

a 7
.
4

D.

a 35
.
21

D.

a 3
.
2

Lời giải
Chọn A.

Xác định góc giữa  AB ' C ' và mặt đáy là
AKA '

AKA '

60 .

1
a
a 3
A ' C '   AA '  A ' K .tan 60 
2
2
2
d  B;  AB ' C '   d  A ';  AB ' C ' 

Tính A ' K 

Chứng minh:  AA ' K    AB ' C ' .
Trong mặt phẳng  AA ' K  dựng A ' H vuông góc với

AK  A ' H   AB ' C '  d  A ';  AB ' C '   A ' H
a 3
a 3
. Vậy d  B;  AB ' C '  
.

4
4
1. [1H3-5.5-3] Tính khoảng cách từ AA đến mặt bên BCC B .

Tính A ' H 

A.

a 3
.
4

Chọn A

B.

a 3
.
3

3a 2
.
4
Hướng dẫn giải

C.


Ta có: AA / / BB

BCC B

AA / / BCC B
Gọi J

hchAA I

IJ

AA / / BB

IJ

BB

Mặt khác, theo giả thiết suy ra:

BC

AI

A AI

BC

AI

A AI

BC

A AI

Suy ra IJ  BC , tức là IJ   BCCB .
Mà J  AA nên d  AA,  BCCB    IJ .
Xét AAI , ta có: IJ . AA  AI . AI  IJ 
Dễ thấy AI 

AI . AI
.
AA

a 3
3a 2 a
, AI  AA2  AI 2  a 2 
 .
2
4
2

a a 3
.
2
2 a 3.
Suy ra IJ 
a
4
Vậy d  AA,  BCC B   

a 3

. Vậy chọn đáp án A.
4
2. [1H3-5.5-3] Tính khoảng cách giữa hai mặt đáy của lăng trụ.

A.

a
4

B.

a
2

a 2
4
Hướng dẫn giải

C.

D.

a 5
.
2

Chọn B
Hai đáy của lăng trụ song song nên d   ABC  ,  ABC    d  A,  ABC   .
Mà A   ABC  và AI   ABC  nên d   ABC  ,  ABC     AI 

a
.
2

Vậy chọn đáp án B.
Câu 2563:
Cho hình hộp chữ nhật ABCD. ABCD có AB  a, BC  b, CC  c .
1. [1H3-5.5-3] Tính khoảng cách từ AA đến mặt phẳng  BDDB  .
A.

abc
a 2  b2  c2

.

B.

abc
a 2  b2

.

C.

Hướng dẫn giải
Chọn C

ab
a 2  b2

D.

ac
a2  c2

.


Ta có: AA//BB   BDDB   AA//  BDDB  .
Do đó: d  AA,  BDDB   d  A,  BDDB   .
Gọi H  hchBD A  AH  BD . Mà

 BDDB   ABCD  , suy ra AH   ABCD  .
Tức là d  A,  BDDB    AH .
1
1
1
1 1 a 2  b2



  2 2
AH 2 AB 2 AD 2 a 2 b2
ab
ab

Xét ABD 
 AH 

a 2  b2

Vậy d  AA,  BDDB   

ab
a  b2
2

. Vậy chọn đáp án C.

2. [1H3-5.5-3] Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AA, BB . Tính khoảng cách từ MN
đến mặt phẳng  ABCD  .
A.

2abc
a 2  b2  c2

.

B.

abc

.

C.

bc

2 a 2  b2
2 a 2  b2

Hướng dẫn giải

D.

2ac
a2  c2

.

Chọn C
Tính khoảng cách từ MN đến mặt phẳng  ABCD  .
Ta có: MN //AB   ABCD  MN //  ABCD  .
Suy ra d  MN ,  ABCD   d  M ,  ABCD   .
Nhưng do AM cắt mặt phẳng

 ABCD

tại A và M là trung điểm của AA nên

1
d  M ,  ABC D    d  A,  ABC D   .
2
Gọi K  hchAD A  AK  AD . Mà  ABCD    AADD  , suy ra AK   ABCD  .

Tức là d  A,  ABCD    AK .

1
1
1
1 1 b2  c 2




  2 2 .
AK 2 AA2 AD2 c 2 b 2
bc
bc
Nên d  M ,  ABC D   
.
2
b  c2
Xét AAD 


Vậy d  A,  ABC D   

bc

.Vậy chọn đáp án C.
b2  c 2
Câu 2564:
[1H3-5.5-3] Cho hình chóp S .ABC có đáy là tam giác đều cạnh a , mặt bên SBC
vuông góc với đáy ABC . Gọi M , N , P lần lượt là trung điểm của AB , SA , AC . Tính
khoảng cách giữa hai mặt phẳng mp  MNP  và mp  SBC 
A.

a 3
.
3

B.

a 3
.
2

C.

a 3
.
4

D.

3a 3
.
2

Lời giải
Chọn C

S

N
B

C

H
M

K

P

A
Theo giả thiết, suy ra:

MN / / SA   SAC   MN / /  SAC 
NP / / SC   SAC   NP / /  SAC 
Mà MN , NP   MNP  , MN  NP  N
Nên mp  MNP  / / mp  SBC 
Gọi H là trung điểm của BC  AH  BC (do ABC đều)
Mà  ABC    SBC  và AH   ABC 

BC   ABC    SBC   AH   SBC 
Gọi K  AH  MP  KH   SBC   d  K ,  SBC    KH
Vì mp  MNP  / / mp  SBC  và K   MNP 
Do đó: d   MNP  , SBC    d  K , SBC    KH 

1
a 3
AH 
2
4

Vậy chọn đáp án C.
Câu 2566:

[1H3-5.5-3] Cho hình lăng trụ ABCD.A' B' C ' D' có các cạnh đều bằng a và

BAD  BAA '  DAA '  600 . Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng đáy

 ABCD 

 A' B' C ' D'  .
A.

a 5
.
5

B.

a 10
.
5

C.
Lời giải

a 6
.
3

D.

a 3
.
3

và


Chọn C
A'

D'
B'

C'
C

A
H

D

B

Hạ A' H  AC , ta có nhận xét:
 BD  AC
 BD   OAA' 

 BD  A' O

 BD  A' H  A' H   ABCD 
Và vì  ABCD  / /  A' B' C ' D'  nên A' H chính là khoảng cách giữa hai mặt phẳng đáy.
Nhận xét rằng hình chóp A' .ABD là hình chóp đều, nên ta lần lượt có:
AH 

2
2 a 3 a 3
AO  .

3
3 2
3

A' H 2  A' A2  AH 2  a 2 

Câu 2567:

a 2 2a 2
a 6
. Vậy chọn đáp án C.

 A' H 
3
3
3

Cho tứ diện SABC có SB   ABC  , SB  5a , AB  3a , AC  4a . Gọi M , N lần

lượt là trung điểm của SA và SC .
1. [1H3-5.5-3] Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và mặt phẳng  ABC  .
A.

2a
.

3

B.

a
.
2

C.

a
.
4

D.

Lời giải
Chọn D
S

N

K
M

C

B

A



  MN / /  BCA
CA   ABC  

MN / /CA

Từ M kẻ MH / / S B ; SB   BCA

 MH   BCA .

5a
.
2


Vậy: MH  d  MN ,  BCA  ;
ABC cho: MH 

SB 5a

2
2

2. [1H3-5.5-3] Gọi  P  là mặt phẳng chứa MN và đi qua trung điểm K của SB . Tính
khoảng cách giữa hai mặt phẳng  P  và  BCA .
A.

a

.
3

B.

3a
.
2

C.

5a
.
4

D.

5a
2

Lời giải
Chọn D
Tính d P , BCA :

MN || CA
MK || BA
M

P

MH

BCA

P || BCA

MH

d P , BCA

5a
. Vậy chọn đáp án D.Câu 2568. [1H3-5.5-3]
2

Cho

hình chóp cụt tứ giác đều ABCD. A B C D . Đáy lớp ABCD có cạnh đáy bằng a , đáy nhỏ
A B C D có cạnh đáy bằng b . Góc giữa mặt bên và đáy lớn bằng 600 . Tính khoảng cách
giữa hai đáy của hình chóp cụt đều này

b a 3
a b 3
a b 3
ab 3
.
B.
.
C.
.
D.

2
2
2
2
Lưu ý: trong hình chóp cụt đều thì các mặt bên là những hình thang cân bằng nhau, các
góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng nhau.
Hướng dẫn giải:
Chọn C
A.

Gọi O và O lần lượt là hai tâm hình vuông ABCD và A B C D ; K và J lần lượt là
trung điểm của A D và AD . Gọi H là hình chiếu của K trên mặt phẳng ABCD thì

KH

OJ tại H và KH là khoảng cách cần tìm.

Gọi

là góc giữa mặt bên và đáy lớn của hình chóp cụt thì
b
a
; OJ
. KHOO là hình chữ nhật nên JH
Ta có: O K
2
2
Tam giác HJK : tan

KH

HJ

2 KH
a b

KH

a b
2

3

KJH

OJ

OK

600

a b
2

. Vậy chọn đáp án C.


Câu 2569. [1H3-5.5-3] Cho hình lập phương ABCD. A B C D cạnh a . Tính khoảng cách giữa
hai mặt phẳng BA C và ACD
A.

a 3
.
2

B.

a 3
.
3

C.

a 3
.
4

D.

a 3
5

Phân tích
Chọn B

Chứng minh: B D

BC

CB

BC

DC DC

Chứng minh: A C

AC

BD

AC

BB BB

BC :

BC

BB C C

CDA B

BC

BD 1

B D:

AC

ABCD

BDD B

AC

BD 2

Xác định giao điểm K và H :

BDD B
BC A

BB DD

BO O

BD

AC

BD

B D BO
BDD B
ACD

BB DD

DO O

AC

AC A

K

BD

ACD

H

K
BD

BD

BD DO
Hướng dẫn giải:
Từ 1 và 2 suy ra B D

BD

BC A

H

3

Mặt khác:

BC || AD
BA || CD

BC A || ACD

Từ 3 và 4 suy ra: B D
Ta có: B D

D AC

4

ACD

K, B D

Do đó KH là khoảng cách cần tìm

5
BC A và B D

D AC

H, B D

D AC

Tam giác BDB : B D2

BD2

B B2

2

a2

a 2

3a 2

1
BD
3

Dễ thấy trong hình chữ nhật BB D D ta có: KH

BD

a 3.

a 3
. Vậy chọn đáp án B.
3

DẠNG 4. KHOẢNG CÁCH HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU.
Câu 908. [1H3-5.5-3] Cho hình chóp S. ABC có đáy ABC là tam giác cân tại A , M là trung điểm

AB, N là trung điểm AC, SB  AB , (SMC )  ( ABC ) , (SBN )  ( ABC ) , G là trọng tâm
tam giác ABC , I , K lần lượt là trung điểm BC, SA . Kí hiệu d (a, b) là khoảng cách giữa 2
đường thẳng a và b . Khẳng định nào sau đây đúng?
A. d (SA, BC )  IA .
B. d (SA, MI )  IK . C. d (SA, BC )  IK . D.
d (SA, BC )  IS .

Lời giải

Chọn
A
( SMC )  ( ABC )

 SG   ABC 
( SBN )  ( ABC )
( SMC )  ( SBN )  SG

ABC là tam giác cân tại A nên AI  BC (1)
 BC  AI
 AI   SAG   AI  SA (2)
Có: 
 BC  SG
Vậy d (SA, BC )  IA .
Câu 910. [1H3-5.5-3]

Cho

hình

hộp

ABCD. ABCD

có

AB  AD  AA  a ,

A ' AB  A ' AD  BAD  600 . Khi đó, khoảng cách giữa các đường thẳng chứa các cạnh
đối diện của tứ diện A ' ABD là:

A.

a 2
.
2

B.

a 3
.
2

C. a 2 .

D.

3a
.
2

Lời giải

Chọn A
Có AB  AD  AA  a , A ' AB  A ' AD  BAD  600
 AA  AB  AD
Nên: 
 AG   ABCD 
 AB  AD  BD
Giả sử ta tính khoảng cách giữa AA và BD
Gọi O  AC  BD . Dựng OH  AA
 BD  AG
Ta có: 
 BD   AOA   BD  OH
 BD  AO
Suy ra: d  AA, BD   OH

AG  AA2  AG 2 

a 6
3

a 6 a 3
.
AG.OA
3
2 a 2.


Có: OH . AA  A G.OA  OH 


AA
a
2

Câu 912. [1H3-5.5-3] Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật tâm I , cạnh bên
SA vuông góc với đáy. H , K lần lượt là hình chiếu của A lên SC, SD . Kí hiệu d (a, b)
là khoảng cách giữa 2 đường thẳng a và b. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. d ( AB, SC )  BS .
B. d ( AB, SC )  AK . C. d ( AB, SC )  AH . D.

d ( AB, SC )  BC .
Lời giải
Chọn B

S
H
K
B

A
D

C

Ta có AB / / SCD   d  AB,SC  d  A; SCD   .
Mặt khác AK  SD, AK  CD, CD  SAD   . Suy ra AK  SCD  .


Vậy d  AB,SC  d  A; SCD    AK. .

Câu 913. [1H3-5.5-3] Cho hình lăng trụ đứng ABC.A' B' C' có đáy ABC là tam giác đều, I là
trung điểm AB . Kí hiệu d ( AA ', BC ) là khoảng cách giữa 2 đường thẳng AA' và BC .
Khẳng định nào sau đây đúng?
A. d ( AA ', BC )  AB . B. d ( AA ', BC )  IC .

C. d ( AA ', BC )  A ' B . D.

d ( AA ', BC )  AC .
Lời giải
Chọn B

C

A
I

G

B

C'
A'
B'
Gọi G là hình chiếu vuông góc của A lên BC .

Ta có AA'/ / BB'  AA'//  BCC' B'  . Do đó d  AA'; BC  d  A;  BCC' B'    AG  IC. .
Câu 916. [1H3-5.5-3] Cho hình chóp S. ABC có đáy ABC là tam giác cân tại B , cạnh bên SA
vuông góc với đáy, I là trung điểm AC , H là hình chiếu của I lên SC . Kí hiệu d (a, b)
là khoảng cách giữa 2 đường thẳng a và b . Khẳng định nào sau đây đúng?
A. d (SA, BC )  AB .

B. d (SB, AC )  IH . C. d ( BI , SC )  IH . D.
d (SB, AC )  BI .

Lời giải
Chọn C
Ta có: d  SA, BC   d  A; BC   AB nên A sai

d (SB, AC )  d  AC;  SBN    d  A; SN   IH  BI nên B, D sai.
d ( BI , SC )  IH đúng do BI   SAC   BI  IH .

.


Câu 917. [1H3-5.5-3] Cho hình chóp S. ABC có đáy ABC là tam giác cân tại A, M là trung điểm
AB, N là trung điểm AC, SB  AB, (SMC )  ( ABC ) , (SBN )  ( ABC ) , G là trọng tâm

tam giác ABC, I , K lần lượt là trung điểm BC, SA . Kí hiệu d (a, b) là khoảng cách giữa
2 đường thẳng a và b . Khẳng định nào sau đây đúng?
A. d (SA, BC )  IA .
B. d (SA, MI )  IK .
C. d (SA, BC )  IK .

D.

d (SA, BC )  IS .

Lời giải
Chọn C
Do (SMC )  ( ABC) và (SBN )  ( ABC ) , suy ra SG   ABC 
Mặt khác AI  BC  BC   SAI   BC  SA

Mà BK  SA suy ra: SA   KBC 
Suy ra: KI là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng SA, BC
Vậy d (SA, BC )  IK

.
Câu 43: [1H3-5.5-3] Cho hình chóp S. ABCD có SA   ABCD  , đáy ABCD là hình thang vuông
có chiều cao AB  a . Gọi I và J lần lượt là trung điểm của AB và CD . Tính khoảng
cách giữa đường thẳng IJ và  SAD  .
A.

a 2
2

B.

a 3
3

C.

a
2

D.

Lời giải
Chọn C

IJ / / AD  IJ / /  SAD   d  IJ ,  SAD    d  I ,  SAD    IA 

a
2

a
3


Câu 44: [1H3-5.5-3] Cho hình thang vuông ABCD vuông ở A và D , AD  2a . Trên đường thẳng
vuông góc tại D với ( ABCD) lấy điểm S với SD  a 2 . Tính khoảng cách giữa đường
thẳng DC và (SAB) .
A.

2a
3

.

a

B.

2

.

C. a 2 .

D.

a 3

.
3

Lời giải
Chọn A
S

H
D

C

A

B

CD / / AB
 d (CD,(SAB))  d ( D,(SAB)) .
 AB  ( SAB)

Ta có: 

Trong (SAD) kẻ DH  SA (2) .
 AB  AD
 AB  ( SAD)  AB  DH (3) .
 AB  SD

Mà: 

Từ (2) và (3) suy ra: DH  (SAB)  d ( D,(SAB))  DH (4) .

Từ (1) và (4) suy ra: d (CD,(SAB))  DH .
Mặt khác:

1
DH

2



1
2

DA

Suy ra: d (CD,(SAB)) 



1
DS

2

 DH 

DA.DS
DA  DS
2

2



2a.a 2
4 a  2a
2

2



2 3a
.
3

2 3a
.
3

Câu 43: [1H3-5.5-3] Cho hình chóp S. ABCD có SA   ABCD  , đáy ABCD là hình thang vuông
có chiều cao AB  a . Gọi I và J lần lượt là trung điểm của AB và CD . Tính khoảng
cách giữa đường thẳng IJ và  SAD  .
A.

a 2
2

B.

a 3
3

C.
Lời giải

Chọn C

a
2

D.

a
3


IJ / / AD  IJ / /  SAD   d  IJ ,  SAD    d  I ,  SAD    IA 

a
2

Câu 44: [1H3-5.5-3] Cho hình thang vuông ABCD vuông ở A và D , AD  2a . Trên đường thẳng
vuông góc tại D với ( ABCD) lấy điểm S với SD  a 2 . Tính khoảng cách giữa đường
thẳng DC và (SAB) .
A.

2a
3

.

a

B.

2

.

C. a 2 .

D.

a 3
.
3

Lời giải
Chọn A
S

H
D

C

A

B

CD / / AB
 d (CD,(SAB))  d ( D,(SAB)) .
 AB  ( SAB)

Ta có: 

Trong (SAD) kẻ DH  SA (2) .
 AB  AD
 AB  ( SAD)  AB  DH (3) .
 AB  SD

Mà: 

Từ (2) và (3) suy ra: DH  (SAB)  d ( D,(SAB))  DH (4) .
Từ (1) và (4) suy ra: d (CD,(SAB))  DH .
Mặt khác:

1
DH

2



1
2

DA

Suy ra: d (CD,(SAB)) 



1
DS

2

 DH 

DA.DS
DA2  DS 2



2a.a 2
4 a 2  2a 2



2 3a
.
3

2 3a
.
3

Câu 920. [1H3-5.5-3]Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm I , cạnh bên SA

vuông góc với đáy, H , K lần lượt là hình chiếu của A lên SI , SC . M , N lần lượt là trung
điểm của SB , AD . Kí hiệu d (MN , SI ) là khoảng cách giữa 2 đường thẳng MN và SI .
Khẳng định nào sau đây đúng ?
1
1
A. d ( MN , SI )  AK .
B. d ( MN , SI )  AI .
2
2
1
1
C. d ( MN , SI )  AB .
D. d ( MN , SI )  AH .
2
2
Lời giải
Không có đáp án đúng.


S

E
M
N

A

G

D

I
B

C

Kẻ BN  CD  E , ta có MN / /  SEI  nên d  MN , SI   d  N ,  SEI  
1
Ta có G là trọng tâm tam giác ACE nên d  N ,  SEI    d  A,  SEI  
4
Mà d  A,  SEI    AH .