D03 toán max min (1 biến) với hàm mũ, lôgarit muc do 4

Câu 28.

[2D2-4.3-4] (THPT Lê Hồng Phong - Nam Định - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Xét các số
1
thực a , b thỏa mãn điều kiện
 b  a  1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
3
 3b  1 
2
P  log a 
  12log b a  3 .
 4 
a
A. min P  13 .

B. min P 

1
.
2

C. min P  9 .

3

D. min P  3 2 .

Lời giải
Chọn C
2



 1 


 3b  1 
 3b  1 
P  log a 
 3
  12  log b a   3  log a 
  12 
 4 
 4 
 a 
 log a a 
b

2

2



12
1
 3b  1 
 3b  1 
 3.
 log a 
  3  log a 


  12 
2
 4   log a b  1
 4 
 1  log a b 

3b  1 3
 b  3b  1  4b3  4b3  3b  1  0   b  1  4b2  4b  1  0
4
1
2
  b  1 2b  1  0 ( luôn đúng với  b  1 ).
3
 3b  1 
 3b  1 
3
 log a 
  3log a b .
  log a b ( vì a  1 )  log a 
 4 
 4 
12
12
* .
Do đó P  3log a b 
 3  P  3  log a b  1 
2
2  
 log a b  1

 log a b  1

Ta có:

Vì

1
 b  a  1 nên log a b  1.
3

Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 3 số dương:

3
3
12
 log a b  1 ,  log a b  1 ,
2
2
2
 log a b  1

3
3
12
3
3
12
 3. 3  log a b  1 .  log a b  1 .
 log a b  1   log a b  1 
2

2
2
2
2
2
 log a b  1
 log a b  1

 3  log a b  1 

12

 log a b  1

2

 9 ** .

Từ * và ** ta có P  9 .
1

1

b  2
b  2


Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 
3
12

 log b  13  8
  log a b  1 
2
a

 2
 log a b  1

1

b
1
1
1




2

b 
b 
b 
.



2 
2
2

1
3
3




a b3
log a b  3
log a b  1  2
b  a

2
Vậy min P  9 .


Câu 4:

[2D2-4.3-4] (THPT Chuyên Quốc Học Huế - lần 1 - 2017 - 2018) Gọi S là tập các cặp số
x
y
thực  x, y  sao cho x   1;1 và ln  x  y   2017 x  ln  x  y   2017 y  e2018 . Biết rằng giá
trị lớn nhất của biểu thức P  e2018 x  y  1  2018x 2 với  x, y   S đạt được tại  x0 ; y0  . Mệnh
đề nào sau đây đúng ?
A. x0   1;0  .
B. x0  1 .
C. x0  1 .
D. x0   0;1 .
Lời giải
Chọn A

Điều kiện x  y  0
Ta có ln  x  y   2017 x  ln  x  y   2017 y  e2018
x

y

  x  y  ln  x  y   2017  x  y   e2018  ln  x  y   2017 

e2018
 0 (*)
x y

e2018
1 e2018
, có f   t    2  0 với t  0
t
t
t
Do đó f  t  đồng biến trên khoảng  0;   ,
Xét hàm f  t   ln t  2017 

suy ra (*)  f  x  y   0  f  e2018   x  y  e2018  y  x  e2018
Khi đó P  e2018 x 1  x  e2018   2018x 2  g  x 

g   x   e2018 x (2019  2018x  2018e2018 )  4036 x
g   x   e2018 x (2018.2020  20182 x  20182 e2018 )  4036
 e2018 x (2018.2020  20182  20182 e2018 )  4036  0 với x   1;1

Nên g   x  nghịch biến trên đoạn  1;1 ,
mà g   1  e2018  2018  0 , g   0   2019  2018e2018  0 nên tồn tại x0   1;0  sao cho

g  x0   0 và khi đó max g  x   g  x0 
1;1

Vậy P lớn nhất tại x0   1;0  .
Câu 19. [2D2-4.3-4] [TOÁN HỌC TUỔI TRẺ LẦN 8] Giá trị nhỏ nhất của

P   log a b



2 2


 6  log b

a


A. 30 .

2

b
 với a , b là các số thực thay đổi thỏa mãn
a 
C. 50 .
Lời giải

B. 40 .

b  a  1 là

D. 60 .

Chọn D
2


b
Ta có P   2log a b   6  log b  .


 a2 a 
2

Đặt x 

b a2

 1 . Vậy b  a 2 x và
a2 a2
2

2
2
2

a2 x 
2

2


P   2 log a  a x    6  log x
  4  log a a  log a x   6 log x  xa  
a 


 4  2  log a x   6  log x x  log x a 
2

2


1
 4  2  log a x   6 1 
 log a
2

2

 1
Đặt t  log a x  log a 1  0  P  4  t  2   6 1   .
 t
2

2


 .

x


2

 1
Xét hàm số f  t   4  t  2   6 1   , với t   0;   có
 t
12  t  1
 1  1
f   t   8  t  2   12 1   . 2  8  t  2  
.
t3
 t t
2

t   0;  

t   0;  
t   0;  


 3
 4

3



2t  4t  3t  3  0

 f  t   0
2t  t  2   3  t  1

t   0;  

t   0;  

 3

 t  1.

3
2
2
t

1
2
t

6
t

6
t

3

0
2

t
t

1

6
t
t

1

6
t
t

1

3
t

1

0

















Từ đó suy ra f  t   f 1  60 , nên P  60 .
Dấu "  " xảy ra  log a x  1 nên x  a hay

b
 a  b  a3 . .
a2

Câu 44: [2D2-4.3-4] (THPT-Chuyên Ngữ Hà Nội_Lần 1-2018-BTN) Có bao nhiêu giá trị của m để
giá trị nhỏ nhất của hàm số f  x   e2 x  4e x  m trên đoạn  0;ln 4 bằng 6 ?
A. 3 .

B. 4 .

C. 1 .
Lời giải

D. 2 .

Chọn D
Xét x  0;ln 4 . Đặt t  e x  t  1; 4 . Đặt g  t   t 2  4t  m với t  1; 4 .
Đạo hàm: g   t   2t  4 . Xét g   t   0  2t  4  0  t  2 .

Ta có: g 1  m  3 ; g  2   m  4 ; g  4   m .
Suy

ra

giá

trị

nhỏ

nhất

của

f  x   e2 x  4e x  m

A  m3 ; m 4 ; m.
 m  10  A  7;6;10
 Xét m  4  6  
.
 m  2  A  5;6; 2
Ta thấy m  10 thỏa mãn yêu cầu bài toán là min f  x   6 .

 m  9  A  5;6;9
 Xét m  3  6  
.
 m  3  A  7;6;3
 m  6  A  2;3;6
 Xét m  6  

.
 m  6  A  10;9;6
Ta thấy m  6 thỏa mãn yêu cầu bài toán là min f  x   6 .
Vậy có hai giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

trên

0;ln 4

sẽ

thuộc