D03 công thức nguyên hàm cơ bản, mở rộng muc do 2

[2D3-1.3-2](THPT VĨNH VIỄN - TP.HCM - HKII - 2017) Cho hàm số f  x  

Câu 1:

1
.
3  2x

Mệnh đề nào sau đây đúng
A.

 f  x  dx 

C.

 f  x  dx   2

3  2x  C .

1

3  2x  C .

B.

 f  x  dx  

3  2x  C .

D.

 f  x  dx  2

1

3  2x  C .

Lời giải
Chọn B
1
1
1
1 3  2x

dx     3  2 x  2 d  3  2 x   
 C   3  2x  C .
1
2
2
3  2x



2

[2D3-1.3-2](THPT VĨNH VIỄN - TP.HCM - HKII - 2017) Cho hàm số f  x  

Câu 2:

1

 3x  2 

3

.

Mệnh đề nào sau đây đúng

1

A.

 f  x  dx  6 3x  22  C .

C.

 f  x  dx   6 3x  22  C .

1

1

B.

 f  x  dx   3 3x  22  C .

D.

 f  x  dx  3 3x  22  C .

1

Lời giải
Chọn C

1  3x  2 
1
1
3

C  
C.
d
x

3
x

2
d
3
x

2




2


  3 x  2 3
3
2
3
6  3x  2 
2

1

Câu 30.

[2D3-1.3-2] (Chuyên Lê Hồng Phong - Nam Đị nh - 8 Tuần HK1 - 2018 - BTN) Nếu

x3
 e x  C thì f  x  bằng:

3
x4
 ex .
A. f  x   x 2  e x .
B. f  x  
3
f  x  dx 

C. f  x   3x 2  e x .

D. f  x  

x4
 ex .

12

Lời giải
Chọn A
Ta có



f  x  dx 

Câu 9. [2D3-1.3-2]

f  x 

 x3

x3
 ex  C  f  x     ex  C   x2  ex .
3
 3


(THPT Trần Hưng Đạo-TP.HCM-2018)

2
thỏa mãn F  5  7 .
2x 1

A. F  x   2 2 x  1 .

B. F  x   2 2 x  1  1 .

C. F  x   2 x  1  4 .

D. F  x   2 x  1  10 .
Lời giải

Chọn B

d  2 x  1
2
 2 2x 1  C ;
dx  2
2x 1
2 2x 1
Do F  5  7 nên 6  C  7  C  1 .

Ta có



Tìm nguyên hàm

F  x  của hàm số


Câu 21. [2D3-1.3-2]

(THPT Trần Hưng Đạo-TP.HCM-2018) Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x)  3 .
x

3x
C .
A.  3 dx 
ln 3
3x1
x
 3 dx  x  1  C .



x
x
B. 3 dx  3 ln 3  C .

x

x
x 1
C. 3 dx  3  C .



D.

Lời giải
Chọn A
x
 3 dx 

Câu 7.

3x
C .
ln 3

[2D3-1.3-2] (THPT Lê Hồng Phong - Nam Đị nh - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Cho bốn mệnh đề
sau:

 I  :  cos2 x.dx 

cos3 x
C
3

2x 1

dx  ln  x 2  x  2018  C .
 II  :  2
x  x  2018

6x

 III  :  3x  2x  3 x  dx   x  C .
ln 6
 IV  :  3x dx  3x.ln 3  C .
Trong các mệnh đề trên có bao nhiêu mệnh đề sai?
A. 3 .

B. 1 .

C. 2 .
Lời giải

D. 4 .

Chọn C
1  cos 2 x
1
1

.dx   x  sin 2 x   C .
2
2
2

2x 1
1
dx   2
d  x 2  x  2018  ln  x 2  x  2018  C .
 II  :  2
x  x  2018
x  x  2018
6x
x
x
x
x
 III  :  3  2  3  dx    6  1 dx   x  C .
ln 6

x
3
 IV  :  3x dx   C .
ln 3
Vậy các mệnh đề  I  ,  IV  sai.

 I  :  cos2 x.dx  

Câu 49.

[2D3-1.3-2] (THPT Lê Hồng Phong - Nam Đị nh - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Tìm nguyên hàm
của hàm số f  x   sin 3x .
cos 3x
C .
3
sin 3x
C.  sin 3xdx  
C .
3

A.  sin 3xdx  

B.  sin 3xdx 

cos 3x
C.
3

D.  sin 3xdx   cos3x  C .
Lời giải

Chọn A
Theo công thức nguyên hàm  sin xdx   cos x  C ta có  sin 3xdx  

cos 3x
C
3


cos 3x
C .
3
Câu 39: [2D3-1.3-2] (THPT Lê Xoay – Vĩnh Phúc – Lần 3 – 2018) Tất cả các nguyên hàm của hàm
số f  x    cos 2 x là.

Vậy  sin 3xdx  

1
A. F  x   sin 2 x  C .
2

C. F  x    sin 2 x  C .

1
B. F  x    sin 2 x .
2
1
D. F  x    sin 2 x  C .
2
Lời giải

Chọn D
Áp dụng công thức nguyên hàm cơ bản ta có
1

 f  x  dx     cos 2 x  dx   cos 2 xdx   2 sin 2 x  C .
Câu 3.

[2D3-1.3-2] (THPT Gia Định - TPHCM - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Cho F  x  là một
3
. Tính F  x  .
2
1
B. F  x   2e x  x 2  .
2
1
D. F  x   e x  x 2  .
2
Lời giải

nguyên hàm của hàm số f  x   e x  2 x thỏa mãn F  0  
3
.
2
5
C. F  x   e x  x 2  .
2

A. F  x   e x  x 2 

Chọn D

 e

x

 2 x  dx  e x  x2  C  F  x  . Mà F  0  

1
3
C  .
2
2

1
.
2
Câu 13. [2D3-1.3-2] (THPT Gia Định - TPHCM - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Tìm nguyên hàm của

Vậy F  x   e x  x 2 

hàm số f  x   cos3x
A.  cos3xdx  3sin x  C .
C.  cos 3xdx 

sin 3x
C.
3

B.  cos3xdx  sin 3x  C .

D.  cos 3xdx  

sin 3x
C .
3

Lời giải
Chọn C
sin 3x
C.
3
Câu 26. [2D3-1.3-2] (THPT Gia Định - TPHCM - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Tìm nguyên hàm của
1
hàm số f  x  
.
5x  2
1
1
1
A. 
B. 
dx  ln 5 x  2  C .
dx  5ln 5 x  2  C .
5x  2
5x  2
5
1
1
1
C. 

D. 
dx   ln 5 x  2  C .
dx  ln 5 x  2  C .
5x  2
2
5x  2
Lời giải
Chọn A
1
1
Áp dụng công thức 
dx  ln ax  b  C , ta chọn đáp án A.
ax  b
a

 cos 3xdx 


Câu 39. [2D3-1.3-2] (THPT Gia Định - TPHCM - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Cho hàm số f  x 
thỏa mãn f   x   3  5sin x và f  0   10 . Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. f  x   3x  5cos x  2 .
B. f  x   3x  5cos x  2 .
C. f  x   3x  5cos x  5 .

D.

f  x   3x  5cos x  15 .
Lời giải
Chọn C
f   x   3  5sin x  f  x   3x  5cos x  C .

Vì f  0   10 nên 3.0  5cos0  C  10  C  5 .
Vậy f  x   3x  5cos x  5 .
Câu 11: [2D3-1.3-2] (THPT Năng Khiếu - TP HCM - Lần 1 - 2018) Tìm nguyên hàm F  x  của hàm

x
số f  x   22 x  3x  x  .
4 


A. F  x  

12 x 2 x x

C
ln12
3

B. F  x   12x  x x  C

C. F  x  

2 2 x  3x x x 



ln 2  ln 3 4 x 

D. F  x  

22 x  3x x x ln 4 




ln 2  ln 3
4x


Lời giải
Chọn A

x
Ta có f  x   22 x  3x  x   12 x  x
4 






Nên F  x    12 x  x dx 
Câu 23:

12 x 2 x x

C.
ln12
3

[2D3-1.3-2] (THPT Chuyên Lê Quý Đôn - Đà Nẵng - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Nguyên hàm của
hàm số y  e3 x 1 là

A.

1 3 x 1
e
C .
3

B. 3e3 x1  C .

1
3

C.  e3 x 1  C .

D. 3e3 x1  C .

Lời giải
Chọn C
Ta có:  e3 x 1dx  

1
1 3 x 1
e
d  3x  1   e3 x 1  C .

3
3

Câu 18: [2D3-1.3-2] (THPT Hoàng Hoa Thám - Hưng Yên - 2017 - 2018 - BTN) Chọn mệnh đề
đúng?

A.  sin  3  5x  dx  5cos  3  5x   C .

1
B.  sin  3  5x  dx   cos  3  5x   C .
5

1
C.  sin  3  5x  dx  cos  5x  3  C .
5

1
D.  sin  3  5x  dx   cos  3  5 x   C .
3
Lời giải

Chọn C


1

 sin 3  5x  dx  5 cos 3  5x   C  cos  5x  3  C .
Câu 7:

[2D3-1.3-2] (THPT Chuyên Trần Phú - Hải Phòng - Năm 2018) Họ nguyên hàm cuả hàm số

1
f  x   4 x5   2018 là:
x
4
A. x 6  ln x  2018 x  C .

6
1
C. 20x 4  2  C .
x

2 6
x  ln x  2018 x  C .
3
2
D. x6  ln x  2018 x  C .
3
B.

Lời giải

Chọn D
1
2


Ta có:   4 x5   2018 dx  x 6  ln x  2018 x  C
x
3



Câu 41: [2D3-1.3-2] (SGD Hà Nam - Năm 2018) Cho hàm số f  x  xác định trên
f  x 

1

. Biết
x 1
2

1
f  
 3

f  3  f  3  4 và

f  5  f  0   f  2  bằng:
1
A. 5  ln 2 .
2

 1
f     2 . Giá trị của biểu thức
 3
1
D. 6  ln 2 .
2

1
C. 5  ln 2 .
2
Lời giải

1
B. 6  ln 2 .
2

\ 1;1 thỏa mãn

Chọn A
f  5  f  2    f  5  f  3   f  3   f  2   f  3   f  3 

1
2 f  0  2  f  0  f    f  0 
3

5



3

2

f   x  dx   f   x  dx  4
3

 1
f      f   x  dx   f   x  dx
 3 1
1

0

0

3

3

0

0
1

 f  0     f   x  dx   f   x  dx  2 
2 1
1

 3

3

 f  5  f  0  f  2  

5



3

0

0
1


f   x  dx   f   x  dx  4    f   x  dx   f   x  dx  2 
2 1
1
3

 3

3
2

1
 5  ln 2
2

Câu 13: [2D3-1.3-2] (Chuyên KHTN - Lần 3 - Năm 2018)
f  x   sin 2 x  cos x là
A.  cos 2 x  sin x  C .
C. sin 2 x  sin x  C .

Họ nguyên hàm của hàm số

B. cos2 x  sin x  C .
D. cos 2 x  sin x  C .
Lời giải

Chọn C
Ta có:

  sin 2 x  cos x  dx   2 cos 2 x  sin x  C   2 1  2sin x   sin x  C
1

1

2


1

 sin 2 x  sin x  C .  C  C   
2


Câu 1:

[2D3-1.3-2] (THPT Mộ Đức 2 - Quảng Ngãi - 2017 - 2018 - BTN)Tìm họ nguyên hàm của
hàm số f  x   cos 2 x .
A. F  x   2sin 2 x  C .

1
B. F  x    sin 2 x  C .
2

1
C. F  x   sin 2 x  C .
2

D. F  x   2sin 2 x  C .
Lời giải

Chọn C

1
Ta có: F  x    cos 2 xdx  sin 2 x  C .
2

Câu 33: [2D3-1.3-2] (SGD Bà Rịa - Vũng Tàu - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Hàm số nào sau đây
không phải là một nguyên hàm của hàm số f ( x)   2 x  3 ?
3

A.

 2 x  3
F ( x) 

4

 2 x  3

4

 8.

8

C. F ( x) 

8

B.

 2 x  3

F ( x) 

 3.

8

D. F ( x) 

.

4

 2 x  3
4

4

.

Lời giải
Chọn D

1  2 x  3
C .
f  x dx    2 x  3 dx  .
2
4
4

Ta có

Câu 8:



3

[2D3-1.3-2] (THPT HÀM RỒNG - THANH HÓA - LẦN 1 - 2017 - 2018 - BTN) Cho
f , g là

hai

hàm

số

liên

tục

trên

1;3

3

thỏa

mãn:

  f  x   3g  x  dx  10 ,

1

3

3

1

1

 2 f  x   g  x  dx  6 . Tính   f  x   g  x  dx
C. 8 .

B. 9 .

A. 7 .

D. 6 .

Lời giải
Chọn D
3

Đặt


1

3

f  x  dx  a,  g  x  dx  b .
1

3
   f  x   3g  x   dx  10
a  3b  10
a  4
1


Ta có  3
 2a  b  6
b  2
  2 f x  g x  dx  6





 
1
3

Suy ra

  f  x   g  x  dx  a  b  6 .
1

Câu 11: [2D3-1.3-2] (THPT Chuyên Tiền Giang - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Tìm hàm số F  x 
biết F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x   x và F 1  1 .

2
1
x x .
3
3
2
5
D. F  x   x x  .
3
3

2
x x.
3
1
1
C. F  x  
 .
2 x2 2

B. F  x  

A. F  x  

Lời giải
Chọn B
Ta có: F  x    x dx

2
2
Đặt t  x suy ra t 2  x và dx  2dt . Khi đó I   t.2tdt  t 3  C  I  x x  C .
3
3
2
1
1
Vì F 1  1 nên C  .Vậy F  x   x x  .
3
3
3
Câu 33. [2D3-1.3-2] (THPT Ninh Giang – Hải Dương – Lần 2 – Năm 2018) Cho F  x  là một
nguyên hàm của f  x   e3 x thỏa mãn F  0   1 . Mệnh đề nào sau đây là đúng?
1
2
A. F  x   e3 x  .
3
3

1
B. F  x   e3 x .
3

1
C. F  x   e3 x  1 .
3
Lời giải

1

4
D. F  x    e3 x  .
3
3

Chọn A
1
Ta có F  x    e3 x dx  e3 x  C .
3
1
2
Lại có F  0   1   C  1  C 
3
3
Câu 32: [2D3-1.3-2] (Sở GD Cần Thơ-Đề 324-2018) Gọi F  x  là nguyên hàm của hàm số

1
2
f  x    2 x  3 thỏa mãn F  0   . Giá trị của biểu thức log 2 3F 1  2 F  2  bằng
3
A. 10 .
B. 4 .
C. 4 .
D. 2 .
Lời giải
Chọn D
Ta có:
1

2

2

0

1
3F 1  2 F  2   3  F 1  F  2   F  2   F  0   F  0   3 f  x  dx   f  x  dx   4 .
3
 log 2 3F 1  2 F  2   log 2 4  2 .

Câu 4.

[2D3-1.3-2] (SỞ GD VÀ ĐT HƯNG YÊN NĂM 2018) Trong các khẳng định sau, khẳng
định nào đúng?
dx
1
A.  ln x dx =  C .
B. 
 ln 2 x  1  C .
2x+1
x
1
1
3
2
3
4
C.   x  1 dx=  x  1  C .
D.   x  1 dx=  x  1  C .
2

4
Lời giải
Chọn C
1
3
4
Ta có   x  1 dx=  x  1  C .
4
Câu 10: [2D3-1.3-2] (THPT Yên Lạc_Trần Phú - Vĩnh Phúc - Lần 4 - 2018 - BTN) F  x  là một
nguyên hàm của hàm số y  2sin x cos3x và F  0   0 , khi đó


cos 2 x cos 4 x 1

 .
4
8
8
cos 4 x cos 2 x 1
D. F  x  

 .
4
2
4
Lời giải

A. F  x   cos 4 x  cos 2 x .
C. F  x  

B. F  x  

cos 2 x cos 4 x 1

 .
2
4
4

Chọn C
Ta có y  sin 4 x  sin 2 x  F  x   
Nên F  x  
Câu 6:

cos 4 x cos 2 x
1

 C , vì F  0   0 nên C   .
4
2
4

cos 2 x cos 4 x 1

 .
2
4
4

[2D3-1.3-2] (THPT Quảng Xương 1 - Thanh Hóa - 2018 - BTN) Nguyên hàm F  x  của

1
là:
sin 2 x
A. F  x   3x  tan x  C .

B. F  x   3x  tan x  C .

C. F  x   3x  cot x  C .

D. F  x   3x  cot x  C .

hàm số f  x   3 

Lời giải
Chọn C
Nguyên hàm của hàm số f  x   3 
Câu 6.

1
là F  x   3x  cot x  C .
sin 2 x

[2D3-1.3-2] (Sở GD Bạc Liêu - HKII - 2018 - BTN) Cho hàm số f  x  thỏa mãn

f   x   3  2sin x và f  0   3 . Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. f  x   3x  2cos x  5 .

B. f  x   3x  2cos x  3 .

C. f  x   3x  2cos x  3 .

D. f  x   3x  2cos x  5 .
Lời giải

Chọn A
f  x    f   x  dx    3  2sin x  dx  3x  2cos x  C .

f  0   3  3.0  2cos 0  C  3  C  5 .

3

Câu 9.

[2D3-1.3-2] (Sở GD Bạc Liêu - HKII - 2018 - BTN) Biết

1

m

 x  1 dx  ln n

(với m, n là những

2

số thực dương và
A. 12 .

m
tối giản), khi đó, tổng m  n bằng

n
B. 7 .
C. 1 .
Lời giải

D. 5 .

Chọn B
3

1

 x  1 dx  ln x  1
2

3
2

4
 ln . Suy ra m  4, n  3  m  n  7 .
3

Câu 27: [2D3-1.3-2] (Sở GD Bạc Liêu - HKII - 2018 - BTN) Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào
đúng?
1
1
1
A.  sin xdx  cos x  C . B.  dx   2  C . C.  e x dx  e x  C .
D.  ln xdx   C .
x

x
x
Lời giải
Chọn C


A sai vì  sin xdx   cos x  C .
B sai vì

1

 x dx  ln x  C .

C đúng vì  e x dx  e x  C .
D sai vì  ln x  

1
.
x
1

Câu 22: [2D3-1.3-2](CHUYÊN VINH LẦN 3-2018) Tính  32 x 1 dx bằng
0

A.

9
.
ln 9

B.

12
.
ln 3

4
.
ln 3

C.

D.

27
.
ln 9

Lời giải
Chọn B
1

Ta có  3

2 x 1

0

Câu 19.

1

1

1
12
1
1 32 x1

33  3 
dx   32 x 1 d  2 x  1 
.

20
ln 3
2 ln 3 0 2ln 3

3
[2D3-1.3-2] (CHUYÊN LAM SƠN THANH HÓA LẦN 3-2018) Cho hàm số f  x   4 x  2 x  1 . Tìm

 f  x  dx .
 f  x  dx  12x  2x  x  C .
C.  f  x  dx  x  x  x  C .
4

A.

4

 f  x  dx  12x

D.  f  x  dx  12 x

2

B.

2

2

2.

2

2C .

Lời giải
Chọn C
Theo công thức nguyên hàm.
Câu 20:

[2D3-1.3-2](THPT ĐẶNG THÚC HỨA-NGHỆ AN-LẦN 2-2018) Tìm họ nguyên hàm của hàm số

f  x   2x  3
2

A.

 f  x  dx  3 x

C.

 f  x  dx  3  2 x  3

2x  3  C .

2

2x  3  C .

1

B.

 f  x  dx  3  2 x  3

D.

 f  x  dx 

2x  3  C .

2x  3  C .

Lời giải
Chọn B
Xét I  





2 x  3 dx .

2 x  3  t  t 2  2 x  3  2tdt  2dx .
3
1
1
1
2 x  3  C   f  x  dx   2 x  3 2 x  3  C .
I   t.tdt   t 2 dt  t 3  C 
3
3
3

Đặt





Câu 21: [2D3-1.3-2](THPT NGUYỄN THỊ MINH KHAI-SÓC TRĂNG-2018) Tìm nguyên hàm của
hàm số f  x   sin 2 x
1

A.

 f  x  dx  cos 2 x  C .

B.

 f  x  dx  2 cos 2 x  C .

C.

 f  x  dx   cos 2x  C .

D.

 f  x  dx   2 cos 2 x  C .

Lời giải
Chọn D

1


1
Ta có  f  x  dx   sin2xdx   cos 2 x  C .
2

Câu 6:

[2D3-1.3-2] (THPT Quốc Oai - Hà Nội - HKII - 2016 - 2017 - BTN) Tìm hàm số F  x  biết

F   x   3x 2  2 x  1 và đồ thị hàm số F  x  cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng e .
A. F  x   x 2  x  2 .

B. F  x   x 2  x  e  1 .

C. F  x   x3  x 2  x  e .

D. F  x   x3  x 2  x  1 .
Lời giải

Chọn C

Ta có F  x     3x 2  2 x  1 dx  x3  x 2  x  C .

Theo giả thiết ta có F  0   e  C  e . Vậy F  x   x3  x 2  x  e .
Câu 20:

[2D3-1.3-2] (THPT Quốc Oai - Hà Nội - HKII - 2016 - 2017 - BTN) Nguyên hàm của hàm
số f  x   cos  3x  2  là :
1

A.

 f  x  dx  3 sin  3x  2  C .

C.

 f  x  dx   3 sin  3x  2  C .

1

1

B.

 f  x  dx   3 sin 3x  C .

D.

 f  x  dx  3 sin 3x  C .

1

Lời giải
Chọn A
1
1
cos  3x  2  d  3x  2   sin  3x  2   C .

3
3
Câu 33: [2D3-1.3-2] (CHUYEN PHAN BOI CHAU_NGHE AN_L4_2018_BTN_6ID_HDG) Hàm
1
số nào sau đây không phải là nguyên hàm của hàm số f  x  
?
2x 1
1
A. F  x   ln 2 x  1  1 .
B. F  x   ln 2 x  1  2 .
2
1
1
C. F  x   ln 4 x  2  3 .
D. F  x   ln 4 x 2  4 x  1  3 .
4

2
Lời giải
Chọn A

Ta có :  cos  3x  2  dx 



Ta có

1



1

 2 x  1 dx  2 ln 2 x  1  C .

Do đó F  x   ln 2 x  1  1 không phải nguyên hàm của hàm số f  x  

1
.
2x 1

1
1
Với C  2 , ta có F  x   ln 2 x  1  2 là một nguyên hàm của hàm số f  x  
.
2
2x 1

1
1
1
Với C  3  ln 2 , ta có F  x   ln 4 x  2  3 là một nguyên hàm của hàm số f  x  
.
2
2x 1
2
1
1
1
2
Với F  x   ln  4 x 2  4 x  1  3  ln  2 x  1  3  ln 2 x  1  3 là một nguyên hàm của
4
4
2
1
hàm số f  x  
.
2x 1
Câu 10: [2D3-1.3-2] [SGD_QUANG NINH_2018_BTN_6ID_HDG] Hàm số nào dưới đây là một
nguyên hàm của hàm số f  x   x  1 trên  0;   .


2 3
x  x  2.
3
1
D. F  x  
x.

2 x

23 2
x  x  1.
3
1
C. F  x  
.
2 x

B. F  x  

A. F  x  

Lời giải
Chọn B
Ta có :





x  1 dx 

2 3
x  xC.
3

Câu 15. [2D3-1.3-2] (SỞ GD-ĐT HẬU GIANG-2018-BTN) Họ nguyên hàm của hàm số
1 1

f  x   7 x 6   2  2 là
x x
1
1
A. x 7  ln x   2 x .
B. x 7  ln x   2 x  C .
x
x
1
1
C. x 7  ln x   2 x  C .
D. x 7  ln x   2 x  C .
x
x
Lời giải
Chọn D
1
7
 f  x  dx  x  ln x  x  2 x  C .
Câu 12: [2D3-1.3-2] (SỞ GD-ĐT PHÚ THỌ-Lần 2-2018-BTN) Họ nguyên hàm của hàm số
f  x   3x là
A.

3x
C .
ln 3

B. 3x.ln 3  C .

C.

3x 1
C.
x 1

D. 3x1  C .

Lời giải
Chọn A

ax
3x
x
 C  0  a  1 ta có  3 dx 
Áp dụng công thức  a dx 
C .
ln a
ln 3
x

Câu 10.

f  x 

[2D3-1.3-2]

(TT Tân Hồng Phong - 2018 - BTN) Tìm một nguyên hàm của hàm số

2
.

x 1

A. F  x  

1
.
x 1

B. F  x   4 x  1 .

C. F  x   2 x  1 .

D. F  x   x  1 .

Lời giải
Chọn B
Đặt t  x  1  t 2  x  1  2tdt  dx .
Ta có:
4t
2
 f  x  dx   x  1 dx   t dt   4dt  4t  C  4 x 1  C .
2
Vậy một nguyên hàm của hàm số f  x  
là F  x   4 x  1 .
x 1
Câu 4:

[2D3-1.3-2] [TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG- NAM ĐỊNH – 5/2018] Họ
nguyên hàm của hàm số f  x   3x  1 là

A.

3x
C .
ln 3

B.

3x
 xC .
ln 3

C. 3x  x  C .

D. 3x ln x  x  C .

Lời giải
Chọn B
Câu 4:

[2D3-1.3-2] (THPT CHuyên Lam Sơn - Thanh Hóa - Lần 2 - 2017 - 2018 - BTN) Họ
nguyên hàm của hàm số f  x   sin 3x là:
1
A.  cos3x  C .
3

B.

1

cos3x  C .
3

D. 3cos3x  C .

C. 3cos3x  C .
Lời giải

Chọn A
1
1
sin 3xd3x   cos3x  C .

3
3
Câu 3457:
[2D3-1.3-2] [THPT Hà Huy Tập-2017] Biết F ( x) là một nguyên hàm của của hàm số
1
và F (3) 1 . Tính F (0) .
f ( x) 
x2
A. F (0)  ln 2  1 .
B. F (0)  ln 2  3 .
C. F (0)  ln 2 .
D. F (0)  ln 2  1 .
Lời giải
Chọn D
1
F  x  
dx  ln x  2  C .

x2
Có : F (3)  1  1  C .

Ta có  sin 3xdx 

Hay F  x   ln x  2  1 .
Vậy F (0)  ln 2  1.

Câu 3458:

1
.
3
2x

[2D3-1.3-2] [THPT Đặng Thúc Hứa-2017] Tìm nguyên hàm của hàm số f  x  
33

A.

 f  x  dx  4

4x2  C .

C.

 f  x  dx  4

3
3

16 x

4

C.

B.

 f  x  dx   8

D.

 f  x  dx  2

33

3
3

16 x 4

C .

4x2  C .

Lời giải
Chọn A

1

1
1
3
1 3
2
d  2 x   .  3  2x   C  3 4 x2  C .
dx   3
4
2
2 2
2x
2x
Câu 3466:
[2D3-1.3-2] [Chuyên ĐH Vinh-2017] Tìm tất cả các nguyên hàm của hàm số
2
.
f  x 
x 1
1
A. F  x  
.
B. F  x   4 x  1 . C. F  x   2 x  1 . D. F  x   x  1 .
x 1
Lời giải
Chọn B
2
Ta có : F  x   
dx  4 x  1  C .
x 1
Ta có

Câu 3468:

 f  x  dx  

3





[2D3-1.3-2] [CHUYÊN VĨNH PHÚC-2017] Hàm số F  x   ln x  x 2  a  C  a  0 

là nguyên hàm của hàm số nào sau?
1
A. x  x 2  a .
B.
.
x2  a

C.

x2  a .

D.

1
x  x2  a

.

Lời giải
Chọn B



x  x2  a





x

1

u
x a 

Áp dụng công thức:  ln u    F   x  
2
u
x x a
x  x2  a
Câu 3469:

1

2

x2  a

[2D3-1.3-2] [THPT Nguyễn Đăng Đạo-2017] Nguyên hàm của hàm số y
1
2x 1

A.

C. 2 2 x 1

C.
2x 1

2x 1

B.
C.

2x 1
2

D. 2 x 1
Lời giải

2x 1

.
2 x 1 là.

C.
C.

Chọn B
3

1 (ax  b) 2
C .
Áp dụng công thức  (ax  b) dx  .
3
a
2
1
2

[2D3-1.3-2] [208-BTN-2017] Tìm nguyên hàm của hàm số f  x  

Câu 3472:

1
C .
2x 1
f  x  dx  2 2 x  1  C .

1

A.

 f  x  dx 

B.

 f  x  dx  2

C.



D.

 f  x  dx 

1
.
2x 1

2x  1  C .
2x  1  C .

Lời giải
Chọn D

Câu 3473:





1
dx   d 2 x  1  2 x  1  C .

2x 1
[2D3-1.3-2] [208-BTN-2017] Tìm hàm số F  x  biết F '  x   3x 2  2 x  1 và đồ thị

Ta có



y  F  x  cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng e .
A. F  x   x3  x 2  x  1 .

B. F  x   cos 2 x  e  1 .

C. F  x   x 2  x  e .

D. F  x   x3  x 2  x  e .

Lời giải
Chọn D
Ta có F  x    F '  x  dx   3x 2  2 x  1 dx  x3  x 2  x  C .





Vì đồ thị y  F  x  cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng e nên F  0   e  C  e .
Câu 3474:

[2D3-1.3-2] [THPT Tiên Du 1-2017] Nguyên hàm của hàm số f  x   x3 

x4 3

  2 x.ln 2  C .
A.
4 x
x3 1
  2x  C .
C.
3 x3

x4 3 2x
 
C.
B.
4 x ln 2
x4
 3ln x 2  2 x.ln 2  C .
D.
4
Lời giải

Chọn B

3
x4 3 2x


C .
Ta có:   x3  2  2 x dx   
4 x ln 2
x



Câu 3475:

4

[2D3-1.3-2] [THPT Quế Võ 1-2017] Tìm nguyên hàm:   3 x 2   dx .
x


3
 2 x là.
2
x


3 3 5
x  4ln x  C .
5
3
C. 3 x5  4ln x  C .
5

33 5
x  4ln x  C .
5
5
D. 3 x5  4ln x  C .
3
Lời giải

A.

B.

Chọn B

 2 4
4
3 5

Ta có:   3 x 2   dx    x 3   dx  x 3  4ln x  C .
x
x
5


3


[2D3-1.3-2] [THPT Quế Vân 2-2017] Tìm nguyên hàm của hàm số   x 2   2 x dx .
x


3
3
x
4 3
x
4 3
A.

B.
 3ln x 
x C .
 3ln x 
x C .
3
3
3
3
x3
4 3
x3
4 3
C.
D.
 3ln x 
x C .
 3ln x 
x C .
3
3
3
3
Lời giải
Chọn B
1


3
3

x3
4 3


x C .
Ta có :   x 2   2 x  dx    x 2   2 x 2  dx   3ln x 
x
x
3
3





Câu 3476:

Câu 3483:

[2D3-1.3-2] [THPT Đặng Thúc Hứa-2017] Tìm nguyên hàm của hàm số f  x  
33

A.

 f  x  dx  4

C.

 f  x  dx  4

4x2  C .

3
3

16 x

4

C.

B.

 f  x  dx   8

D.

 f  x  dx  2

33

3
3

16 x 4

3

1
.

2x

C .

4x2  C .

Lời giải
Chọn A
Ta có
Câu 3484:

 f  x  dx  

1
1
1
33 2
1 33
2

d
2
x
d
x

4x  C .

.
2

x

C







3
4
2 3 2x
2 2
2x

[2D3-1.3-2] [THPT Kim Liên-HN-2017] Tìm nguyên hàm của hàm số f x

A.

f x dx

C.

f x dx

x4
4
x4
4

ln x

C.

B.

f x dx

3x 2

ln x

C.

D.

f x dx

3x 2

1
x2
1
x2

1
?
x

x3

C.
C.

Lời giải
Chọn A
Ta có
Câu 3485:

x3

f x dx

x4
4

1
dx
x

ln x

C.

[2D3-1.3-2] [THPT Kim Liên-HN-2017] Cho f x là nguyên hàm số f x

và F 2
A. 0 .

0 . Tính F

2 .
B. 1 .

C. 2 .
Lời giải

Chọn A
Ta có F x

x

f x
8

Suy ra F x là hàm chẵn F

x

2

2

dx

8

F 2

0.

x2

C.

D. 3 .

x
8

x2


Câu 3486:

[2D3-1.3-2] [Chuyên ĐH Vinh-2017] Tìm tất cả các nguyên hàm của hàm số
2
.
f  x 
x 1
1
A. F  x  
.
B. F  x   4 x  1 . C. F  x   2 x  1 . D. F  x   x  1 .
x 1
Lời giải
Chọn B
2
Ta có : F  x   

dx  4 x  1  C .
x 1
Câu 3487:
[2D3-1.3-2] [Sở Hải Dương-2017] Cho hai hàm số f  x  , g  x  là hàm số liên tục trên
, có F  x  , G  x  lần lượt là một nguyên hàm của f  x  , g  x  . Xét các mệnh đề sau:

 I  : F  x   G  x  là một nguyên hàm của f  x   g  x  .
 II  : k.F  x  là một nguyên hàm của kf  x  k  R  .
 III  : F  x  .G  x  là một nguyên hàm của f  x  .g  x  .
Những mệnh đề nào là mệnh đề đúng ?
A.  II  .
B. ( I ),( II ) và ( III ) . C.  I  .
Lời giải
Chọn D
 I  : F  x   G  x  là một nguyên hàm của f  x   g  x  : MĐ đúng.

D.  I  và  II  .

 II  : k.F  x  là một nguyên hàm của kf  x  k  R  . MĐ đúng.
 III  : F  x  .G  x  là một nguyên hàm của f  x  .g  x  . MĐ sai.
Câu 3488:
[2D3-1.3-2] [Sở Bình Phước-2017] Trong các khẳng định sau, khẳng định nào là sai?
A. F  x   x 2 là một nguyên hàm của f  x   2 x .
B. Nếu f  x  , g  x  là các hàm số liên tục trên

thì   f  x   g  x  dx   f  x  dx   g  x  dx .
C. Nếu F  x  và G  x  đều là nguyên hàm của hàm số f  x  thì F  x   G  x   C (với C là
hằng số).
D. Nếu các hàm số u  x  , v  x  liên tục và có đạo hàm trên
thì

 u  x  v  x  dx   v  x  u  x  dx  u  x  v  x  .
Lời giải
Chọn D
Ta có.

 u( x)v( x)dx   v( x)u( x)dx   u( x)v( x)  v( x)u( x)  dx   u( x)v( x) dx  u( x)v( x)  C .
3


[2D3-1.3-2] [THPT Lệ Thủy-Quảng Bình-2017] Tính nguyên hàm   x 2   2 x  dx .
x


3
3
x
4 3
x
4 3
 3ln x 
x C .
 3ln x 
x C .
A.
B.
3
3
3
3

x3
4 3
x3
4 3
 3ln x 
x C .
 3ln x 
x .
C.
D.
3
3
3
3
Lời giải
Chọn B
3
x3
4 3


x C .
Ta có   x 2   2 x  dx   3ln x 
x
3
3



Câu 3493:

[2D3-1.3-2] [THPT Chuyên Phan Bội Châu-2017] Biết F  x  là một nguyên hàm của

Câu 3494:

1
và F 1  3 . Tính F  4  .
x
B. F  4   3 .

hàm số f  x  
A. F  4   5 .

C. F  4   3  ln 2 .

D. F  4   4 .

Lời giải
Chọn A
4

 Ta có


1



4

1

1
dx   x 2 dx  2 x
x
1



4

 42  2.

1

4

4

1
1
1 x dx  F  4  F 1  F  4  F 1  1 x dx  3  2  5 .
Câu 3495:
[2D3-1.3-2] [THPT Chuyên Phan Bội Châu-2017] Hàm số nào dưới đây là nguyên hàm
1
?.
của hàm số f  x  
1 x
1

A. F  x   ln( x 2  2 x  1)  5 .
B. F  x    ln 2 x  2  4 .
2
1
C. F  x   ln 1  x  2 .
D. F  x    ln 4  4 x  3 .
4
Lời giải
Chọn B
1
dx   ln 1  x  C .
Theo công thức tính nguyên hàm ta có 
1 x
Ta có F  x    ln 2 x  2  4   ln x  1  ln 2  4 .
Cách khác:
1
a
a
 x  1 dx   ax  a dx  a ln ax  a  C   ln ax  a  C .
1
Câu 3497:
[2D3-1.3-2] [208-BTN-2017] Tìm nguyên hàm của hàm số f  x  
.
2x 1
1
1
A.  f  x  dx 
B.  f  x  dx 
C .
2x  1  C .

2
2x 1
C.  f  x  dx  2 2 x  1  C .
D.  f  x  dx  2 x  1  C .
 Mặt khác

Lời giải
Chọn D





1
dx   d 2 x  1  2 x  1  C .
2x 1
[2D3-1.3-2] [208-BTN-2017] Tìm hàm số F  x  biết F '  x   3x 2  2 x  1 và đồ thị

Ta có
Câu 3498:



y  F  x  cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng e .
A. F  x   x3  x 2  x  1 .

B. F  x   cos 2 x  e  1 .

C. F  x   x 2  x  e .

D. F  x   x3  x 2  x  e .
Lời giải

Chọn D
Ta có F  x    F '  x  dx   3x 2  2 x  1 dx  x3  x 2  x  C .





Vì đồ thị y  F  x  cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng e nên F  0   e  C  e .
Câu 3499:
A.

[2D3-1.3-2] [Sở GD và ĐT Long An-2017] Tìm nguyên hàm của hàm số f  x  
1

 f  x  dx  e

x

C.

B.

 f  x  dx   e

x

C .

1
.
ex


C.

1

 f  x  dx   e

x

C .

D.

 f  x  dx  e

x

C .

Lời giải
Chọn C
1 x
1
e  C   x  C. .
1

e
Câu 3500:
[2D3-1.3-2] [TTLT ĐH Diệu Hiền-2017] Các mệnh đề sau, mệnh đề nào SAI?
A.  kf  x  dx  k  f  x  dx,  k   .

Ta có:

B.

x

dx 

  f  x   g  x  dx  f  x  dx   g  x  dx .


D. 
C.

 f  x  dx   e

f m1  x 
 C ,  m  1 .
m 1
f  x  .g  x  dx  f  x  dx. g  x  dx .

f m  x  f '  x  dx 

Lời giải
Chọn D

Theo lý thuyết.Câu 26:
[2D3-1.3-2] (THPT Chuyên Quốc Học Huế - lần 1 - 2017 - 2018) Tìm
họ của nguyên hàm f  x   tan 2 x .



1
C.  tan 2 x dx  1  tan 2 x   C .
2
A.  tan 2 x dx  2 1  tan 2 2 x  C .
2

Chọn D
Ta có:  tan 2 x dx  

B.  tan 2 x dx   ln cos 2 x  C .

1
D.  tan 2 x dx   ln cos 2 x  C .
2
Lời giải

sin 2 x
1 d  cos2 x 
1
dx   
  ln cos 2 x  C .
cos 2 x
2 cos 2 x
2

Câu 30: [2D3-1.3-2] (THPT Chuyên Quốc Học Huế - lần 1 - 2017 - 2018) Tìm họ nguyên hàm của
hàm số f  x   52 x .
A.  52 x dx  2.

52 x
C .
ln 5

C.  52 x dx  2.52 x ln 5  C .

25x
C .
2 ln 5
25x 1
C .
D.  52 x dx 
x 1
Lời giải
B.  52 x dx 

Chọn B

25x
25x
C 
C .
Ta có  5 dx   25 dx 
ln 25
2 ln 5

2x

Câu 6:

x

[2D3-1.3-2] (THPT Quảng Xương 1 - Thanh Hóa- Lần 1- 2017 - 2018 - BTN) Tìm mệnh đề
sai trong các mệnh đề sau
x4  C
1
A.  x3dx 
.
B.  dx  ln x  C .
4
x
C.  sin xdx  C  cos x . D.  2e x dx  2  e x  C  .
Lời giải
Chọn B
Ta có

1

 x dx  ln x  C .

Câu 15: [2D3-1.3-2] [THPT CHUYÊN VINH-2017] Cho F  x  là một nguyên hàm của f  x   e3x
thỏa F  0   1 . Mệnh đề nào sau đây là đúng?


1
1

2
B. F  x   e3 x  1 . C. F  x   e3 x  .
3
3
3
Lời giải

1
A. F  x   e3 x .
3

1
4
D. F  x    e3 x 
3
3.

Chọn C
1
1
2
Ta có F  x    e3 x dx  e3 x  C. Vì F  0   1   C  1  C  .
3
3
3
1
2
Vậy F  x   e3 x  . .
3
3

Câu 21: [2D3-1.3-2] [THPT Nguyễn Khuyến –NĐ-2017] Cho F  x  là nguyên hàm của hàm số

f  x   3x , biết F  0   
A. F  log3 7   5ln 3 .

1
. Tính F  log3 7  .
ln 3

B. F  log3 7   6ln 3 . C. F  log3 7  

6
.
ln 3

D. F  log3 7  

5
.
ln 3

Lời giải
Chọn D
Ta có: F  x    f  x  dx   3x dx 
Mà F  0   

3x
C .
ln 3

2
1
nên C  
.
ln 3
ln 3

Vậy F  log3 7  

3log3 7
2
5


.
ln 3 ln 3 ln 3

Câu 24: [2D3-1.3-2] [THPT Hoàng Văn Thụ - Khánh Hòa-2017] Tìm các hàm số F  x  , biết rằng

1
.
3x  2
2
A. F  x  
3x  2  C .
3
1
C. F  x  
C .

 3x  2  3x  2
F x 

B. F  x   3x  2  C .
D. F  x   2 3x  2  C .
Lời giải

Chọn A

F  x  

1
2
dx 
3x  2  C .
3
3x  2

Câu 29: [2D3-1.3-2] [TTGDTX Cam Ranh - Khánh Hòa-2017] Tìm một nguyên hàm F  x  của hàm
số f  x   ax 

b
x2

 x  0  , biết rằng F  1  1 , F 1  4 , f 1  0 . F  x 

nào sau đây.

x2 1 7
  .

A. F  x  
2 x 2
3x 2 3 7

 .
C. F  x  
4 2x 4

1
2.
x
1
D. F  x   x 2   4 .
x
B. F  x   x 2 

Lời giải
Chọn C

là biểu thức


b 
x2 b

F  x    f  x  dx    ax  2  dx  a.   c .
x 
2 x


3


a  2

a

b

0
 f 1  0



3
a

Ta có:  F  1  1    b  c  1  b   .
2

2

F
1

4



7

a

 2  b  c  4
c  4

Vậy F  x  

3 2 3
7
x  x .
4
2
4

Câu 31: [2D3-1.3-2]

[THPT

F  x    ax  b  e

x

Ng.T.Minh

Khai(K.H)-2017]

Xác

định

a, b

để

hàm

là một nguyên hàm của hàm số f  x    3x  2  e .
x

a  3
A. 
.
b  5

a  3
B. 
.
b  1

a  3
C. 
.
b  1
Lời giải

a  3
D. 
.
b  5

Chọn B

a  3
a  3
Vì F   x   a.e x   ax  b  .e x   ax  a  b  .e x nên ta có 
.

a  b  2
b  1
Câu 36: [2D3-1.3-2] [BTN 175-2017] Với a, b là các số thực dương, cho các biểu thức sau:

a x 1

dx

 2    ax  b 

1

 ln  ax  b   C. .
 3 
 ax  b  a

 C.
1  a x dx 
x 1

 ax  b 
dx 

2

2

Số biểu thức đúng là.
A. 4 .

 C.

B. 2 .

 4   f  x  dx 



 f  x. .
D. 3 .

C. 1 .
Lời giải

Chọn C
Các yếu tố 1, 2, 3 sai:

ax
C .
ln a
dx
1
 ln ax  b  C .

- 2 đúng phải là 
 ax  b  a
- 1 đúng phải là  a x dx 

ax 2
 bx  C .
- 3 đúng phải là   ax  b  dx 
2
Câu 41: [2D3-1.3-2] [THPT – THD Nam Dinh-2017] Tìm nguyên hàm của hàm số f  x   32 x 1 .
A.
C.

f  x  dx 

32 x 1
C .
ln 3



f  x  dx  32 x 1 ln 3  C .

B.





32 x 1
f  x  dx 

C .
ln 9

D.

 f  x  dx   2x  1 3

Lời giải
Chọn C

2x

C .

số


Áp dụng công thức nguyên hàm



Ta có 32 x 1 dx 

 x 
 a dx 

a x  
 C với 0  a  1 và   0 .
 ln a

32 x 1
32 x 1
C 
C .
2ln 3
ln 9

Câu3551:[2D3-1.3-2] [THPT Hoàng Văn Thụ (Hòa Bình) - 2017]Tìm một nguyên hàm F  x  của
hàm số f  x   3x 2  2e x  1 , biết F  0   1 .
2
 x 1.
ex
D. F  x   x3  2e x  x  1 .

A. F  x   x3  2e x  x  3 .

B. F  x   x3 

C. F  x   x3  2e x  x .

Lời giải
Chọn D
Ta có

 f  x  dx   3x

2

 2e x  1 dx  x3  2e x  x  C .

Mà F  0   1  2  C  1  C  1 nên F  x   x3  2e x  x  1 .
Câu3552:[2D3-1.3-2] [THPTChuyênSPHN - 2017]Tìm hàm số

F   x 
A. F  x  

2 x3  x
x4  x2  1
1

và F  0   1 .

x  x 1
4

F  x  thỏa mãn điều kiện

2

B. F  x   x 4  x 2  1  x .

.

C. F  x   x 4  x 2  1  x .

D. F  x   x 4  x 2  1 .
Lời giải

Chọn D
Ta có F  x   

2 x3  x
x  x 1
4

2

dx   1d





4
2
x 4  x 2  1  x  x  1  C,  C 

.

Mà F  0   1 nên C  0 . Suy ra F  x   x 4  x 2  1 .
Câu 3556:

[2D3-1.3-2] [THPT GiaLộc2 - 2017]Cho hàm số f  x    2 x  1

số F  x  thỏa mãn F  x 

 2 x  1

 2 x  1


2017

2018

4036

 2018 .

2018

 2018 .

B. F  x   2017  2 x  1

 1
C. F   x   f  x  và F     2018 .
 2

D. F  x   4034  2 x  1

A.

2018

. Tìm tất cả các hàm

2016

2016

 2018 .
 2018 .

Lời giải
Chọn C
Ta có F  x     2 x  1

2017

dx 

 2 x  1

2018

4036

C.

Câu3567:[2D3-1.3-2] [THPTNgôQuyền - 2017] Cho f  x   3
nguyên hàm của hàm số f  x  ?

x

ln 3
. Hàm số nào dưới đây không là
x









A. F  x   2 3 x  1  C .

B. F  x   2 3 x  1  C .

C. F  x   2.3 x  C .

D. F  x   3 x .
Lời giải

Chọn D
Ta có

 f  x  dx  F  x   F   x   f  x  .



 







 


ln 3
Xét đáp án A, ta có F   x   2 3 x  1  C  3 x
 f  x .
x
ln 3

Xét đáp án B, ta có F   x   2.3 x  C  3 x
 f  x .
x

ln 3
Xét đáp án C, ta có F   x   2 3 x  1  C  3 x
 f  x .
x
ln 3

Xét đáp án D, ta có F   x   3 x  3 x
 f  x .
2 x

 

Câu 3.

[2D3-1.3-2] (THPT Chuyên Hạ Long - QNinh - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Tìm họ nguyên

hàm của hàm số f  x   e2018 x .
1

 f  x  dx  2018 .e
C.  f  x  dx  2018e
A.

2018 x

2018 x

 f  x  dx  e
D.  f  x  dx  e

C .

B.

C .

2018 x

C .

2018 x

ln 2018  C .

Hướng dẫn giải

Chọn A
Theo công thức nguyên hàm mở rộng.
Câu 10. [2D3-1.3-2] (THPT Chuyên Hạ Long - QNinh - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Tìm họ nguyên
1
hàm của hàm số f  x  
.
2 2x 1
1
A.  f  x dx 
B.  f  x dx  2 x  1  C .
2x 1  C .
2
1
C.  f  x dx  2 2 x  1  C .
D.  f  x dx 
C .
 2 x  1 2 x  1
Hướng dẫn giải
Chọn A
2 x  1  t  2 x  1  t 2  dx  tdt .
1
1
1
1 tdt
1
Khi đó ta có 
   dt  t  C 
2x  1  C .
2 x  1dx  
2

2
2
2 t
2

Đặt

Câu 3612:

1

[2D3-1.3-2] [TTGDTX Cam Lâm - Khánh Hòa] Nguyên hàm của hàm số

2x 1
4

A.

2x 1

C.

3

B.

1
2x 1

C.

C.

1
4x

2

Lời giải
Chọn C.
Ta có

1
2x 1

Câu 3641:

2

dx

1 1
C
2 2x 1

1
4x 2

C.

[2D3-1.3-2] [Sở GD ĐT Hà Tĩnh] Cho các khẳng định:

D. ln 2 x 1

C

.

2

2

là.

C.


b

(I):  sin xdx  cos a  cos b và (II):
a

b

 cos xdx  sin b  sin a .
a

Kết luận nào sau đây đúng?
A. (I) đúng, (II) sai.
C. (II) đúng, (I) sai.

B. Cả (I) và (II) đều đúng.
D. Cả (I) và (II) đều sai.
Lời giải

Chọn B.
b

 s inxdx   cos x

b
a

 cos a  cos b .

a
b

 cos xdx  sin x

b
a

 sinb sina .

a

Câu 3681: [2D3-1.3-2] [BTN 172-2017] Nguyên hàm của f  x   cos  5x  2  .
A. 5sin  5x  2   C .

B. 5sin  5 x  2   C .

1
C.  sin  5 x  2   C .
5

D.

1
sin  5 x  2   C .
5

Lời giải
Chọn D
1

 cos  5x  2 dx  5 sin 5x  2  C .
1
Chú ý:  cos  ax  b  dx  sin  ax  b   C .
a

Câu 3694: [2D3-1.3-2] [THPT LÝ THƯỜNG KIỆT - 2017] Tìm nguyên hàm của hàm số f  x  
1

A.

 f  x  dx  2 ln

C.

 f  x  dx  e

x

2

xC .

C .

B.

 f  x  dx  ln x  C .

D.

 f  x  dx  ln

2

ln x
.
x

xC .

Lời giải
Chọn A

 f  x  dx  

Câu 3783:

ln x
1
dx   ln xd  ln x   ln 2 x  C .
x
2

[2D3-1.3-2] [Sở GDĐT Lâm Đồng lần 05 – 2017] Cho

f   x   3  5sin x và

f  0   10 . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
A. f  x   3x  5cos x .

B. f  x   3x  5cos x  2 .

   3
C. f   
.
2 2

D. f    3 .
Lời giải

Chọn D
f  x    f   x dx  3x  5cos x  C ; f  0   10  C  5 .

Vậy f  x   3x  5cos x  5  f    3 .

Câu 5:

[2D3-1.3-2] (THPT Thuận Thành - Bắc Ninh - Lần 2 - 2017 - 2018 - BTN) Cho F  x  là
1
, biết F  0   1 . Giá trị của F  2  bằng:
2x 1
1
1
B. 1  ln 5 .
C. 1  ln 3 .
D. 1  ln 3 .
2
2

một nguyên hàm của hàm số f  x  
1
A. 1  ln 3 .
2

Lời giải
Chọn A
Ta có F  x    f  x  dx  

dx
1
 ln 2 x  1  C .
2x 1 2

1

1
1
F  0   1  ln1  C  1  C  1  F  x   ln 2 x  1  1  F  2   1  ln 3 .
2
2
2

Câu 1502.

[2D3-1.3-2] (THPT CHUYÊN BIÊN HÒA) Tìm nguyên hàm F  x     x  sin x  dx biết

F  0   19 .

2
A. F  x   x  cos x  20 .

C. F  x  

2
B. F  x   x  cos x  20 .

1 2
x  cos x  20 .
2

D. F  x  

1 2
x  cos x  20 .
2

Lời giải
Chọn C

x2
Ta có: F  x     x  sin x  dx   cos x  C
2
Mà F  0   19  1  C  19  C  20
Vậy F  x  
Câu 1505.

x2
 cos x  20 .
2

[2D3-1.3-2] (SGD-BÌNH PHƯỚC) Tìm nguyên hàm F  x  của hàm số f  x   cos 2 x ,

 
biết rằng F    2
2

A. F  x   sin x  2 .

B. F  x   x  sin 2 x 

1
C. F  x   sin 2 x  2 .
2

D. F  x   2 x  2 .

3
.
2

Lời giải
Chọn C
1
Ta có  cos 2 xdx  sin 2 x  C.
2
1
1
 
Theo đề F    2  sin   C  2  C  2 . Vậy F  x   sin 2 x  2 .
2
2
2

Câu 1544.
A.

x2
. Nếu F  1  3 thì F ( x) bằng:
x3
1 1
1 1
C.   2  1 .
D.   2  1 .
x x
x x

Lời giải

[2D3-1.3-2] F ( x) là một nguyên hàm của y 
1 1
  3.
x x2

Chọn D

B.

1 1
 3.
x x2


F ( x)  

1 1
x2
1
1 1
 1
dx    2  2 3 dx    2  C , mà F  1  3  F ( x)    2  1 Câu 12:
3
x x
x
x 
x x
x

[2D3-1.3-2] (Toán Học Tuổi Trẻ - Lần 6 – 2018) Tính nguyên hàm của hàm số
2018e x 
x
f  x   e  2017 
.
x5 


2018
C.
x4
504,5
f  x  dx  2017e x  4  C .
x

A.

 f  x  dx  2017e

C.



x



504,5
C .
x4

2018
f  x  dx  2017e x  4  C .
x

B.

 f  x  dx  2017e

D.



x



Lời giải
Chọn B

 f  x  dx    2017e

x

 2018 x 5  dx  2017e x 

504,5
C .
x4

Câu 44. [2D3-1.3-2] (SGD Bình Dương - HK 2 - 2017 - 2018 - BTN) Hàm số F  x   e x là nguyên

2

hàm của hàm số nào sau đây?
A. f  x   x 2e x  3 .
2

B. f  x   x 2e x  C . C. f  x   2 xe x .
2

2

D. f  x   xe x .
2

Lời giải
Chọn C
Ta có: F  x   e x  f  x   F   x   2 xe x .
2

2


3

Câu 19: [2D3-1.3-2] (SGD - Quảng Nam - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Tích phân

 cos 2 xdx bằng.
0

A. 

3
.
2

B. 

3
.
4

C.

3
.
2

D.

3
.
4

Lời giải
Chọn D




3

3
1
3
Ta có:  cos 2 xdx  sin 2 x 
.
2
4
0
0

Câu 6:

[2D3-1.3-2] (Tổng Hợp Đề SGD Nam Định - 2017 - 2018 - BTN) F  x  là một nguyên hàm
của hàm số f  x   3x 2 
nguyên dương và
A. 4 .

b
1
. Biết F  0   0, F 1  a  ln 3 trong đó a, b, c là các số
c
2x 1

b
là phân số tối giản. Khi đó giá trị biểu thức a  b  c bằng.
c
B. 9 .
C. 3 .
D. 12 .

Hướng dẫn giải

Chọn A
1
1 

3
F  x     3x 2 
 dx  x  ln 2 x  1  C .
2
2x 1 

1
Do F  0   0  C  0  F  x   x3  ln 2 x  1 .
2
1
Vậy F 1  1  ln 3  a  1; b  1; c  2  a  b  c  4 .
2


Câu 18: [2D3-1.3-2] (THPT Vũng Tàu - BRVT - HKII - 2017 - 2018 - BTN) Tìm một nguyên hàm
2
của hàm số f  x   6 x  sin 3x , biết F  0   .
3
cos 3x
cos 3x
A. F  x   3x 2 
B. F  x   3x 2 
 1.
 1.

3
3
cos 3x 2
cos 3x
C. F  x   3x 2 
D. F  x   3x 2 
 .
1.
3
3
3
Lời giải
Chọn B
cos3x
C .
Ta có:   6 x  sin 3x  dx  3x 2 
3
1
2
2
Do F  0      C   C  1 .
3
3
3
cos 3x
Vậy F  x   3x 2 
 1.
3
Câu 2.

[2D3-1.3-2] (THPT Hà Huy Tập - Hà Tĩnh - Lần 2 - 2017 - 2018 - BTN) Khẳng định nào
đây sai?
1
A.  cos x dx   sin x  C .
B.  dx  ln x  C .
x
2
C.  2 x dx  x  C .
D.  e x dx  e x  C .
Lời giải
Chọn A

Câu 3.

Ta có  cos x dx  sin x  C  A sai.

[2D3-1.3-2] (THPT Hà Huy Tập - Hà Tĩnh - Lần 2 - 2017 - 2018 - BTN) Khẳng định nào
đây đúng?
1
A.  sin x dx   cos x  C .
B.  sin x dx  sin 2 x  C .
2
C.  sin x dx  cos x  C .
D.  sin x dx   sin x  C
Lời giải
Chọn A
Ta có  sin x dx   cos x  C  A đúng.

Câu 23: [2D3-1.3-2] (THPT Hà Huy Tập - Hà Tĩnh - Lần 2 - 2017 - 2018 - BTN) Nguyên hàm của
2

f  x   sin 2 x.esin x là
esin x 1
B.
C.
sin 2 x  1

sin 2 x 1

A. sin x.e

C.

esin x 1
D.
C .
sin 2 x  1
2

2

2

C. e

Lời giải
Chọn C
2
2
2
Ta có  sin 2 x.esin x dx   esin x d  sin 2 x   esin x  C

sin 2 x

C .

Câu 32. [2D3-1.3-2] (THPT Hà Huy Tập - Hà Tĩnh - Lần 2 - 2017 - 2018 - BTN) Khẳng định nào
đây sai
2
A. 
B.  tan xdx   ln cos x  C.
dx  ln 2 x  3  C.
2x  3
1
C.  e2 x dx  e2 x  C.
dx  x  C.
D. 
2 x