Hàm đo được- ôn thi cao học

GIẢI TÍCH (CƠ SỞ)
Phần 3. Độ Đo Và Tích Phân
Chuyên ngành: Giải Tích, PPDH Toán
§2. HÀM ĐO ĐƯỢC
(Phiên bản đã chỉnh sửa)
PGS TS Nguyễn Bích Huy
Ngày 1 tháng 3 năm 2006
PHẦN LÝ THUYẾT
1. Định nghĩa:
Cho một không gian đo được (X, F), tập A ∈ F và hàm f : A →
R. Với a ∈ R, ta sẽ ký
hiệu:
A[f < a] = {x ∈ A : f(x) < a}
Các tập hợp A[f ≤ a], A[f > a], A[f ≥ a] được định nghĩa tương tự.
Ta nói hàm f đo được trên A (đo được đối với σ-đại số F hay F-đo được) nếu:
A[f < a] ∈ F, ∀a ∈ R
Định lý 1:
Các mệnh đề sau tương đương
1) f đo được trên A
2) A[f ≤ a] ∈ F, ∀a ∈ R
3) A[f > a] ∈ F, ∀a ∈ R
4) A[f ≥ a] ∈ F, ∀a ∈ R
2. Một số lớp hàm đo được
Cho không gian đo được (X, F). Các tập hợp được xét dưới đây luôn giả thiết là thuộc
F.
1) Hàm hằng số là đo được. Hàm đặc trưng 1
A
của tập A là đo được khi và chỉ khi A ∈ F.
2) Nếu f đo được trên A và B ⊂ A thì f đo được trên B
Nếu f đo được trên mỗi A
n

(n ∈ N
∗
) thì f đo được trên
∞
∪
n=1
A
n
3) Giả sử các hàm f, g đo được trên A và chỉ nhận các giá trị hữu hạn. Khi đó các hàm
sau cũng đo được trên A :
|f|, |f|
α
(α > 0), f + g, f.g,
f
g
(nếu g(x) = 0 ∀x ∈ A)
4) Giả sử các hàm f
n
đo được trên A (n ∈ N
∗
). Khi đó các hàm sau cũng đo được trên A
a) g(x) = sup{f
n
(x) : n ∈ N
∗
}, h(x) = inf{f
n
(x) : n ∈ N
∗
}

b) f(x) = lim
n→∞
f
n
(x), nếu giới hạn tồn tại tại mọi x ∈ A.
1
3. Hàm đo được theo Lebesgue
Hàm đo được đối với σ-đại số các tập (L) đo được gọi là hàm đo được theo Lebesgue hay
(L) đo được
Định lý 2
Nếu A ⊂ R là tập (L)-đo được và hàm f : A → R liên tục thì f là hàm (L)-đo được.
4. Hàm đơn giản
Định nghĩa : Cho không gian đo được (X, F) và tập A ∈ S.
Hàm f : A → R gọi là hàm đơn giản nếu nó có dạng
f(x) =
n

i=1
a
i
1
A
i
(x)
trong đó : A
i
∈ F, (i = 1, n), A
i
∩ A
j

= ∅ (i = j),
n
∪
i=1
A
n
= A và 1
A
i
là hàm đặc trưng
của tập A
i
Như vậy, hàm đơn giản là hàm đo được, chỉ nhận hữu hạn giá trị.
Định lý 3
Nếu f là hàm không âm, đo được trên A thì tồn tại dãy {s
n
} các hàm đơn giản trên A
sao cho
i) 0 ≤ s
n
(x) ≤ s
n+1
(x), ∀x ∈ A
ii) lim
n→∞
s
n
(x) = f(x), ∀x ∈ A
2
PHẦN BÀI TẬP

Bài 1 : Cho hàm f : X → R đo được và các số a, b ∈ R, a < b. Chứng minh rằng hàm
g(x) =



f(x) nếu a ≤ f(x) ≤ b
a nếu f(x) < a
b nếu f(x) > b
là đo được trên X.
GIẢI:
Cách 1:
Đặt A
1
= X[a ≤ f ≤ b], A
2
= X[f < a], A
3
= X[f > b], ta có:
A
k
∈ F , k = 1, 2, 3, A
1
∪ A
2
∪ A
3
= X
g(x) =




f(x) x ∈ A
1
a x ∈ A
2
b x ∈ A
3
g đo được trên A
2
và A
3
vì là hàm hằng trên các tập này
g đo được trên A
1
vì f đo được trên A
1
Do đó g đo được trên A
1
∪ A
2
∪ A
3
= X.
Cách 2:
Ta dễ dàng kiểm tra rằng g(x) = min{b, max{a, f(x)}}
Từ các hàm đo được qua phép lấy max, min ta nhận được hàm đo được. Do đó g
đo được.
Bài 2 : 1) Cho các hàm f, g : X → R đo được. Chứng minh tập
A := {x ∈ X : f(x) = g(x)} là đo được (nghĩa là thuộc F).
2) Cho dãy hàm {f

n
} đo được trên X. Chứng minh rằng tập
B := {x ∈ X : lim
n→∞
f
n
(x) tồn tại} đo được.
GIẢI:
1) Cách 1:
Đặt A
1
= {x ∈ X : f(x) < g(x)}, A
2
= {x ∈ X : g(x) < f(x)}
Ta chứng minh A
1
, A
2
∈ F.
. Ta viết tập Q thành dãy {r
n
}. Ta thấy
f(x) < g(x) ⇔ ∃n : f(x) < r
n
< g(x)
Do đó:
A
1
=
∞


n=1
{x ∈ X : f(x) < r
n
< g(x)}
=
∞

n=1
(X[f < r
n
] ∩ X[g > r
n
])
nên A
1
∈ F. Chứng minh A
2
∈ F tương tự.
. Do A = X\(A
1
∪ A
2
) nên A ∈ F
Cách 2:
Đặt
A
1
= {x ∈ X : f(x) = +∞}, A
2

= {x ∈ X : f(x) = −∞}
A
3
= {x ∈ X : g(x) = +∞}, A
4
= {x ∈ X : g(x) = −∞}
Y = X\
4

k=1
A
k
Ta có thể chứng minh A
k
, Y ∈ F và
3
A = (A
1
∩ A
3
) ∪ (A
2
∩ A
4
) ∪ Y [f − g = 0]
Chú ý rằng trên Y thì f, g đo được, chỉ nhận giá trị hữu hạn nên f − g đo được trên
Y và do đó Y [f − g = 0] ∈ F.
2) Đặt f(x) = lim
n→∞
f

n
(x), g(x) = lim
n→∞
f
n
(x)
. Theo định nghĩa, ta có
f(x) = lim
n→∞
(inf
k≥n
f
k
(x)), g(x) = lim
n→∞
(sup
k≥n
f
k
(x))
Các hàm F
n
(x) := inf
k≥n
f
k
(x) đo được nên f(x) = lim
n→∞
F
n

(x) đo được
Tương tự, ta có g đo được
. Ta có B = {x ∈ X : f(x) = g(x)} nên áp dụng câu 1) có B ∈ F
Bài 3 : Cho không gian độ đo (X, F, µ), A ∈ F và hàm f : A → R đo được.
1) Đặt A
n
= {x ∈ A : |f (x)| ≤ n}, n ∈ N
∗
. Chứng minh
lim
n→∞
µ(B
n
) = µ(A).
2) Giả sử µ(A) < ∞. Chứng minh rằng với mọi  > 0, tồn tại tập B ⊂ A, B ⊂ F
sao cho
µ(A\B) < , f bị chặn trên B
GIẢI:
1) Ta có: A
n
∈ F (vì |f| đo được), A
n
⊂ A
n+1
A =
∞

n=1
A
n

(do f chỉ nhận giá trị hữu hạn)
Do đó lim
n→∞
µ(A
n
) = µ(A)
2) Do µ(A) < ∞ nên µ(A\A
n
) = µ(A) − µ(A
n
). Do đó lim
n→∞
µ(A\A
n
) = 0
Chú ý rằng f bị chặn trên A
n
. Do đó ta chỉ cần chọn B = A
n
khi n đủ lớn.
Bài 4 : Cho không gian đo được (X, F) và các hàm f
1
, f
2
: X → R đo được, hàm F : R
2
→ R
liên tục.
Chứng minh rằng hàm g : X → R, g(x) = F (f
1

(x), f
2
(x)) đo được
GIẢI
Ta xét ánh xạ ϕ : X → R
2
, ϕ(x) = (f
1
(x), f
2
(x)). Ta có
. g(x) = (F
0
ϕ)(x)
. X[g < a] = g
−1
((−∞, a)) = ϕ
−1
(F
−1
((−∞, a)))] (1)
Tập A := F
−1
((−∞, a)) là tập mở trong R
2
(do f liên tục) nên là hợp của đếm được
các hình chữ nhật mở:
A =
∞


n=1
I
n
× J
n
, I
n
= (a
n
, b
n
), J
n
= (c
n
, d
n
) (2)
Từ (1),(2) ta có:
X[g < a] =
∞

n=1
ϕ
−1
(I
n
× J
n
) =

∞

n=1
{x ∈ X : (f
1
(x), f
2
(x)) ∈ I
n
× J
n
}
=
∞

n=1
({x : a
n
< f
1
(x) < b
n
} ∩ {x : c
n
< f
2
(x) < d
n
})
⇒ X[g < a] ∈ F ∀a ∈ R

Bài 5 : Cho hàm f : (a, b) → R khà vi trên (a, b) a < b; a, b ∈ R. Chứng minh rằng hàm f

4
là (L)-đo được trên (a, b)
GIẢI
Xét các hàm f
n
: (a, b) → R xác định như sau
f
n
(x) =

n

f

x +
1
n

− f(x)

, nếu x ∈

a, b −
1
n

c , nếu x ∈


b −
1
n
, b

, n ∈ N
∗
Ta có
(1) lim
n→∞
f
n
(x) = f(x) ∀x ∈ (a, b)
Thật vậy với x ∈ (a, b) ta có x < b −
1
n
khi n đủ lớn, do đó
lim
n→∞
f
n
(x) = lim
n→∞
n

f

x +
1
n


− f(x)

= f

(x)
(2) f
n
là (L)-đo được trên (a, b)
Thật vậy, trên (a, b −
1
n
) hàm f
n
liên tục (vì f khả vi nên f liên tục) trên

b −
1
n
, b

f
n
cũng là hàm liên tục nên f
n
là (L)- đo được)
Từ (1),(2) ta có f

là (L)-đo được.
5