TỔNG HỢP CÁC CÔNG THỨC TOÁN CẦN THIẾT ĐỂ ÔN THI TNQG TỪ LỚP 1012
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (804.43 KB, 42 trang )
Sổ Tay Công Thức Toán THPT(lưu hành nội bộ)
Giáo viên: Nguyễn Việt Dũng
1: CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC
1. Công thức cơ bản
2. Các cung liên quan đặc biệt
Các công thức cơ bản
sin 2 α + cos 2 α = 1
•
1 + tan 2 α =
•
1
cos 2 α
1
1 + cot α = 2
sin α
•
Cos đối:
•
Sin bù:
2
•
tan α =
sin α
cos α
cot α =
cos α
sin α
•
•
•
sin ( −α ) = − sin α
cos ( −α ) = cos α
tan ( −α ) = − tan α
cot −α = − cot α
)
(
sin ( π − α ) = sin α
cos ( π − α ) = − cos α
tan ( π − α ) = − tan α
cot π − α = − cot α
)
(
tan α .cot α = 1
Tính chất
sin(α + k 2π ) = sin α
•
•
•
cos(α + k 2π ) = cos α
tan(α + kπ ) = tan α
π
sin 2 − α ÷ = cos α
π
cos − α ÷ = sin α
2
tan π − α = cot α
÷
2
cot π − α = tan α
÷
2
•
Phụ chéo:
•
Khác pi tan cô:
cot(α + kπ ) = cot α
•
3. Công thức cộng
sin(a + b) = sin a cos b + cos a sin b
•
•
•
•
sin(a − b) = sin a cos b − cos a sin b
cos ( a + b ) = cos a cos b − sin a sin b
cos ( a − b ) = cos a cos b + sin a sin b
sin ( α + π ) = − sin α
cos ( α + π ) = − cos α
tan ( α + π ) = tan α
cot α + π = cot α
)
(
4. Công thức nhân đôi
•
•
sin 2α = 2 sin α .cos α
cos 2α = cos 2 α − sin 2 α
= 1 − 2sin 2 α
= 2cos 2 α − 1
Liên hệ để mua tài liệu hoặc đăng kí học thêm
Sổ Tay Công Thức Toán THPT(lưu hành nội bộ)
•
tan a + tan b
tan(a + b) =
1 − tan a tan b
tan(a − b) =
•
•
Giáo viên: Nguyễn Việt Dũng
2 tan α
tan 2α =
1 − tan 2 α
tan a − tan b
1 + tan a tan b
5. Công thức hạ bậc
sin 2 a =
•
1 − cos 2a
2
•
cos 2 a =
1 + cos 2a
2
•
tan 2 a =
1 − cos 2a
1 + cos 2a
•
•
•
7. Công thức biến đổi tổng thành tích
•
•
cos 3a = 4 cos 3 a − 3cos a
3 tan a − tan 3 a
tan 3a =
1 − 3 tan 2 a
a+b
a−b
cos
2
2
a+b
a−b
cos a − cos b = −2sin
sin
2
2
1
sin a sin b = cos ( a − b ) − cos ( a + b )
2
sin a + sin b = 2sin
•
sin 3a = 3sin a − 4sin 3 a
8. Công thức biến đổi tích thành tổng
1
cos a cos b = cos ( a + b ) + cos ( a − b )
2
cos a + cos b = 2 cos
•
6. Công thức nhân ba
a+b
a −b
cos
2
2
a+b
a−b
sin a − sin b = 2 cos
.sin
2
2
•
•
•
1
sin a cos b = sin ( a + b ) + sin ( a − b )
2
------------------------------------------------------------------------------------------
2: HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
y = cosx
y = sinx
2. Hàm số
1. Hàm số
Tập xác định:
Tập giá trị:
D=¡
T=[ − 1;1]
Tập xác định:
Tập giá trị:
D=¡
T=[ − 1;1]
Liên hệ để mua tài liệu hoặc đăng kí học thêm
Sổ Tay Công Thức Toán THPT(lưu hành nội bộ)
T = 2π
Tuần hoàn với chu kì:
.
y = sin(ax + b)
⇒
Hàm số
tuần hoàn với chu kì
2π
T=
a
Giáo viên: Nguyễn Việt Dũng
T = 2π
Tuần hoàn với chu kì:
.
y
=
cos(ax
+
b)
⇒
Hàm số
tuần hoàn với chu
2π
T=
a
kì
Là hàm số lẻ: Vì
sin( − x) = − sinx
Là hàm số chẵn: Vì
cos( − x) = cosx
Đồ thị: Là 1 đường hình sin (đối xứng qua
Đồ thị: Là 1 đường hình sin (đối xứng qua gốc trục Oy)
tọa độ)
y = tanx
y = cotx
3. Hàm số
4. Hàm số
π
D = ¡ \ + kπ k ∈ ¢
2
Tập xác định:
sinx
tanx =
cosx ≠ 0
cosx
Vì
nên đk
Tập giá trị:
T =¡
Tuần hoàn với chu kì:
y = tan(ax + b)
⇒
Hàm số
tuần hoàn với chu kì
π
a
Là hàm số lẻ : Vì
Tập xác định:
cosx
cotx =
sinx ≠ 0
sinx
Vì
nên đk
Tập giá trị:
T =π
T=
D = ¡ \ { kπ k ∈ ¢}
T =¡
T =π
Tuần hoàn với chu kì:
y = cot(ax + b)
⇒
Hàm số
tuần hoàn với chu
π
T=
a
kì
tan( − x) = − tanx
Đồ thị: Đối xứng qua gốc tọa độ
cot ( − x) = − cot x
Là hàm số lẻ : Vì
Đồ thị: Đối xứng qua gốc tọa độ
Liên hệ để mua tài liệu hoặc đăng kí học thêm
Sổ Tay Công Thức Toán THPT(lưu hành nội bộ)
Giáo viên: Nguyễn Việt Dũng
3: CÔNG THỨC NGHIỆM PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
1. Các phương trình cơ bản (loại 1)
•
•
•
•
2. Các phương trình cơ bản (loại 2)
u = α + k 2π
sin u = sin α ⇔
u = π − α + k 2π
u = α + k 2π
cos u = cos α ⇔
u = −α + k 2π
•
m ≤1
Điều kiện:
tan u = tan α ⇔ u = α + kπ
cot u = cot α ⇔ u = α + kπ
•
π
+ k2π
2
u = arcsin m + k 2π
cos u = m ⇔
.
u = − arcsin m + k 2π
m ≤1
* Các phương trình sin đặc biệt
sin x = 1 ⇔ x =
u = arcsin m + k 2π
sin u = m ⇔
.
u
=
π
−
arcsin
m
+
k
2
π
•
Điều kiện:
tan u = m ⇔ u = arctan m + kπ
Liên hệ để mua tài liệu hoặc đăng kí học thêm
Sổ Tay Công Thức Toán THPT(lưu hành nội bộ)
π
sin x = −1 ⇔ x = − + k2π
2
sin x = 0 ⇔ x = kπ
Giáo viên: Nguyễn Việt Dũng
cot u = m ⇔ u = arctan m + kπ
•
Chú ý: Chỉ dùng các công thức loại 2 khi
không thể biến đổi về loại 1
* Các phương trình cos đặc biệt
cos x = 1 ⇔ x = k2π
cos x = −1 ⇔ x = π + k2π
cos x = 0 ⇔ x =
π
+ kπ
2
-----------------------------------------------------------------------------------------
4: MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC THƯỜNG GẶP
1. Bất đẳng thức Côsi
Với các số thực dương:
•
Cho
a + b ≥ 2 ab
a , b, c , d ∈ ¡
, ta có:
ac + bd ≤ a 2 + b 2 . c 2 + d 2
a1 = b
Dấu bằng xảy ra khi
•
( ac + bd )
a + b + c ≥ 3 abc
3
•
2. Bất đẳng thức Bunnhiacopxki
hoặc
a=b=c
Dấu bằng xảy ra khi
a1 + a2 + ... + an ≥ n n a1a2 ...an
2
≤ ( a2 + b2 ) ( c2 + d 2 )
Dấu bằng xảy ra khi
ad = bc.
.
•
Dấu bằng xảy ra khi
:
a1 = a2 = ... = an
3. Bất đẳng thức trị tuyệt đối
Với hai số thực, ta có:
a − b ≤ a+b ≤ a + b
•
a −b ≤ a−c + c −b
•
a ≥a
•
4. Một số BĐT khác
• Bất đẳng thức tam giác
a , b, c
Cho
là độ dài ba cạnh của tam giác.
b−c < a < b+c
Ta có:
•
Bất đẳng thức vectơ
r r
r
r
r
r
a1 + a2 + ... + an ≤ a1 + a2 + ... + an
.
Liên hệ để mua tài liệu hoặc đăng kí học thêm
Sổ Tay Công Thức Toán THPT(lưu hành nội bộ)
a ≤ b ⇔ −b ≤ a ≤ b
Dấu bằng xảy ra
hướng.
•
•
Giáo viên: Nguyễn Việt Dũng
r r
r
⇔ a1 ; a2 ;...; an
a ≤ −b
a ≥b⇔
a ≥ b
đôi một cùng
------------------------------------------------------------------------------------------
5: CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN ĐẾN PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
1. Định lí Viet thuận
Phương trình bậc hai (
•
Tổng 2 nghiệm:
ax 2 + bx + c = 0
−b
S = x1 + x2 =
a
P = x1.x2 =
•
Tích 2 nghiệm:
)
c
a
3. Điều kiện nghiệm của phương trình
bậc hai
•
•
•
•
Có 2 nghiệm trái dấu
2. Định lí Viet đảo
α + β = S
α, β
α .β = P
Nếu
là hai số có:
thì chúng là 2 nghiệm phương trình:
x 2 − Sx + P = 0
4. Phương trình bậc hai chứa tham số thỏa
điều kiện cho trước
⇔ a.c < 0
Có 2 nghiệm cùng dấu
•
∆ > 0
⇔
P > 0
Có 2 nghiệm cùng dương
Có 2 nghiệm cùng âm
x1 < a < x 2
∆ > 0
⇔ S > 0
P > 0
∆ > 0
⇔ S < 0
P > 0
x − a < 0
∆ > 0
⇔ 1
⇔
x2 − a > 0 ( x1 − a )( x2 − a ) < 0
x1 < x 2 < a
•
∆ > 0
x1 − a < 0
⇔
⇔ ( x1 − a) + ( x2 − a ) < 0
x2 − a < 0 ( x − a)( x − a) > 0
1
2
a < x1 < x 2
•
∆ > 0
x1 − a > 0
⇔
⇔ ( x1 − a) + ( x2 − a ) > 0
x2 − a > 0 ( x − a)( x − a) > 0
1
2
Liên hệ để mua tài liệu hoặc đăng kí học thêm
Sổ Tay Công Thức Toán THPT(lưu hành nội bộ)
Giáo viên: Nguyễn Việt Dũng
------------------------------------------------------------------------------------------
6: MỘT SỐ VẤN ĐỀ LIÊN QUAN ĐẾN TRỊ TUYỆT ĐỐI
1. Định nghĩa và tính chất trị tuyệt đối
2. PT và BPT chứa dấu trị tuyệt đối
Định nghĩa
•
A khi A ≥ 0
A =
-A khi A<0
•
Tính chất
•
A ≥0
A = B
A = B ⇔ A2 = B 2 ⇔
A = −B
B ≥ 0
B ≥ 0
A =B⇔ 2
⇔
A = ±B
2
A = B
A < B ⇔ A2 < B 2
•
•
A2 = A
•
•
•
B > 0
A
A < B
B < 0
A > B ⇔ B > 0
A2 > B 2
------------------------------------------------------------------------------------------
7: PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN
1. Phương trình chứa căn
•
A ≥ 0
A= B⇔
A = B
2. Bất phương trình chứa căn
•
A ≥ 0
A< B⇔
A < B
Liên hệ để mua tài liệu hoặc đăng kí học thêm
Sổ Tay Công Thức Toán THPT(lưu hành nội bộ)
B ≥ 0
A = B⇔
2
A = B
•
•
•
Giáo viên: Nguyễn Việt Dũng
A ≥ 0
A < B ⇔ B > 0
A < B2
A ≥ 0
B < 0
A > B⇔
B ≥ 0
A > B2
------------------------------------------------------------------------------------------
8: ĐẠI SỐ TỔ HỢP
1. Quy tắc cộng
2. Quy tắc nhân
Công việc có nhiểu phương án thực hiện:
Phương án 1: m1 cách
Phương án 2: m2 cách
…
Phương án n: mn cách
Để hoàn thành công việc có: m1+ m2+…+ mn
cách
Công việc có nhiểu giai đoạn thực hiện:
Giai đoạn 1: m1 cách
Giai đoạn 2: m2 cách
…
Giai đoạn n: mn cách
Để hoàn thành công việc có: m1. m2… mn cách
3. Hoán vị
•
4. Chỉnh hợp
Định nghĩa: Mỗi cách sắp xếp tất cả n
phần tử của
1
tập hợp
A
cho trước theo
một trật tự nhất định được gọi là
của
n
•
1
của
hoán vị
Số hoán vị:
•
Tính chất:
•
•
5. Tổ hợp
•
Định nghĩa: Mỗi tập con gồm k phần tử
của
1
tập hợp
A
gồm n phần tử cho trước
tập hợp
A
gồm n phần tử cho trước
chỉnh hợp chập k của
Pn = n ! = 1.2.3.4...n
0! = 1! = 1
1
theo một trật tự nhất định được gọi là
phần tử.
•
Định nghĩa: Mỗi cách sắp xếp k phần tử
Số chỉnh hợp:
Chú ý:
n
phần tử.
n!
Ank =
( n−k)!
Ann = Pn
6. Xác suất
•
Định nghĩa: Xác suất của biến cố
Liên hệ để mua tài liệu hoặc đăng kí học thêm
A:
1
Sổ Tay Công Thức Toán THPT(lưu hành nội bộ)
n
tổ hợp chập k của
•
•
Số tổ hợp:
n( A)
+
Cnk = Cnn − k
C
•
phần tử.
n!
Cnk =
k !( n − k ) !
Tính chất 1:
Tính chất 2:
k −1
n −1
Giáo viên: Nguyễn Việt Dũng
n( A)
P ( A) =
.
n (Ω )
+C
k
n −1
+
=C
k
n
n ( Ω)
là số kết quả của biến cố A.
là số kết quả của không gian mẫu.
P ( A) = 1 − P A
• Tính chất:
( )
Với
7. Nhị thức Niutơn
•
là biến cố đối của A.
8. Bảy hằng đẳng thức đáng nhớ
Công thức:
( a + b)
n
= Cn0 a n + Cn1a n −1b + ... + Cnn b n
n
= ∑ Cnk a n− k b k
Số hạng thứ k+1:
• ( a + b ) = a 2 + 2ab + b 2
2
• ( a − b ) = a 2 − 2ab + b 2
2
k =0
•
A
Tk +1 = Cnk a n − k b k
• ( a + b ) = a 3 + 3a 2b + 3ab 2 + b 3
3
• ( a − b ) = a 3 − 3a 2b + 3ab 2 − b3
3
• a 2 − b 2 = (a − b)(a + b)
• a 3 − b 3 = (a − b)(a 2 + ab + b 2 )
• a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 − ab + b 2 )
9: GIỚI HẠN
1. Các giới hạn cơ bản
2. Quy tắc tính giới hạn hữu hạn
Liên hệ để mua tài liệu hoặc đăng kí học thêm
Sổ Tay Công Thức Toán THPT(lưu hành nội bộ)
Giáo viên: Nguyễn Việt Dũng
Giới hạn cơ bản tại một điểm
lim x = x0
lim f ( x) = L
x → x0
lim g ( x ) = M
x → x0
x → x0
•
lim c = c
1. Nếu
thì:
• lim [ f ( x ) ± g ( x )] = L ± M
x → x0
•
x → x0
• lim [ f ( x).g ( x) ] = L.M
Giới hạn cơ bản tại vô cực
x → x0
lim c = c
•
•
x →±∞
x → x0
c
lim = 0
x →±∞ x
(c là hằng số)
lim x = +∞
k
•
x →+∞
(
k ∈¥
)
2. Nếu
lim x k = −∞
x →−∞
(k lẻ)
•
4. Hàm số liên tục
•
Hàm số liên tục tại một điểm
Cho y = f(x) xác định trên khoảng K và x0
∈
K.
lim f (x) = f (x 0 )
•
+ Nếu
x0.
∃ lim f (x)
x →x0
thì f(x) liên tục tại
lim f (x) ≠ f (x 0 )
x → x0
+ Nếu
hoặc
f(x) không liên tục (gián đoạn) tại x0.
thì
x → x0
3.
( k chẵn)
x →x0
f ( x) = L
lim
x → x0
lim f ( x) = L ⇔ lim+ f ( x) = lim− f ( x) = L
lim x = +∞
x →−∞
( M ≠ 0)
f ( x) ≥ 0
lim f ( x) = L
x→ x0
x → x0
k
•
f ( x) L
=
g ( x) M
• lim
thì
Cho
x → x0
3. Quy tắc tính giới hạn vô cực
Quy tắc 1. (Giới hạn của tích)
lim f ( x) = ±∞
x → x0
lim g ( x) = L ≠ 0
x → x0
lim [ f ( x ).g ( x) ]
lim f ( x)
Dấu của L
+∞
±
±∞
−∞
±
m∞
x → x0
x → x0
• Quy tắc 2. ( Giới hạn của thương)
Chú ý: Đồ thị hàm số liên tục trên một
f ( x) = L ≠ 0
xlim
khoảng là một đường liền nét trên khoảng
→x
đó.
lim g ( x ) = 0
• Định lý: Nếu hs y = f(x) liên tục trên đoạn
x→ x
[a; b] và f(a).f(b) < 0 thì phương trình Cho
f ( x)
Dấu của L
Dấu của g(x)
f (x) = 0
lim
x→ x g ( x)
có ít nhất 1 nghiệm thuộc khoảng
(a;b)
.
±
±∞
+
0
0
0
Liên hệ để mua tài liệu hoặc đăng kí học thêm
Sổ Tay Công Thức Toán THPT(lưu hành nội bộ)
Giáo viên: Nguyễn Việt Dũng
m∞
±
_
10: ĐẠO HÀM
1. Hàm sơ cấp
1. Hàm thường
gặp
( C)′ = 0
1. Hàm thường gặp
( uα ) ′ = α u α
( xn ) ′ = n.x n−1
( sin x ) ′ = cos x
( cos x ) ′ = − sin x
( u ± v ) ' = u '± v '
( u.v ) ' = u '.v + v '.u
u u '.v − v '.u
÷=
v
v2
( sin u ) ′ = u.′ cos u
( cos u ) ′ = −u′.sin u
( tan u ) ′ =
1
cos 2 x
( cot x ) ′ = −
u′
cos 2 u
( cot u ) ′ = −
1
sin 2 x
3. Hàm mũ-logarit
( a ) ' = a .ln a
x
( ex ) ' = ex
ax 2 + bx + c ′ adx 2 + 2aex + be − dc
2.
=
dx + e ÷
÷
( dx + e ) 2
ax 2 + bx + c ′ (ab1 − a1b)x 2 + 2(ac1 − a1c)x + (bc1 − b1c)
3. 2
÷=
(a1x 2 + b1x + c1 ) 2
a1x + b1x + c1
4. Ứng dụng
sin 2 u
1. Phương trình tiếp tuyến
( a ) ' = u′.a .ln a
y = f ' ( x0 ) . ( x − x0 ) + y0
u
( e ) ' = u '.e
u
( log a u )
1
x.ln a
1.
ax + b ′ ad − bc
÷=
cx + d ( cx + d ) 2
u′
3. Hàm mũ-logarit
u
=
* Quy tắc:
2. Hàm lượng giác
2. Hàm lượng giác
'
3. Quy tắc tính
* CT Tính nhanh:
1 ′ −1
÷= 2
x x
( log a x )
.u′
1 ′ −u '
÷= 2
u
u
( x )′ = 21x
x
−1
( u ) ′ = 2u′u
( x)′ = 1
( tan x ) ′ =
2. Hàm hợp
'
( ln u ) ' =
=
u'
u
u
u'
u.ln a
+
+
( x0 ; y0 )
f ' ( x0 )
là tọa độ tiếp điểm
là hệ số góc
2. Ứng dụng trong vật lí
Liên hệ để mua tài liệu hoặc đăng kí học thêm
Sổ Tay Công Thức Toán THPT(lưu hành nội bộ)
1
( ln x ) ' =
x
Giáo viên: Nguyễn Việt Dũng
s( t)
Một chuyển động với quãng đường
+ Vận tốc:
+ Gia tốc:
v (t ) = s ' ( t )
có:
a(t ) = v '(t ) = s '' ( t )
11: NGUYÊN HÀM
1. Bảng công thức
2. Phương pháp tìm nguyên hàm
Liên hệ để mua tài liệu hoặc đăng kí học thêm
Sổ Tay Công Thức Toán THPT(lưu hành nội bộ)
1.
∫ dx = x + C
1. Phân tích
xα +1
∫ x dx = α + 1 + C
Thực hiện các phép biến đổi để chia tách
nguyên hàm đã cho thành tổng hiệu các nguyên
hàm đơn giản có trong bảng công thức.
dx
∫ x = ln x + C ( x ≠ 0 )
2. Đổi biến
∫ e dx = e
Gồm các bước:
α
2.
3.
x
4.
x
+C
t = f ( x)
6.
7.
8.
∫ cos xdx = sin x + C
3. Nguyên hàm từng phần
∫ sin xdx = − cos x + C
Công thức:
∫ udv = uv − ∫ vdu
dx
∫ cos2 x = tan x + C
dx
9.
x = ϕ (t )
+ Đặt
hoặc
+ Suy ra dt=…(hoặc dx)
+ Thay biến mới…
ax
a
dx
=
+ C ( 0 < a ≠ 1)
∫
ln a
x
5.
Giáo viên: Nguyễn Việt Dũng
∫ sin
2
x
Sử dụng sơ đồ đường chéo để tính nhanh:
= − cot x + C
u = ...
dv = ...
Đạo hàm liên tục đến 0
Chú ý: Nếu u là hàm logarit thì phải rút gọn.
Nguyên hà
Thứ tự ưu tiên đặt u: Nhất lô, nhì đa, tam lượng,
tứ mũ
3. Tính chất
1.
2.
∫ f '( x)dx = f ( x ) + C
∫ kf ( x ) dx = k ∫ f ( x ) dx
(
k
là hằng số)
Liên hệ để mua tài liệu hoặc đăng kí học thêm
Sổ Tay Công Thức Toán THPT(lưu hành nội bộ)
Giáo viên: Nguyễn Việt Dũng
3. ∫ ( f ± g ) dx = ∫ f ( x ) dx ± ∫ g ( x ) dx
------------------------------------------------------------------------------------------
12: TÍCH PHÂN
1. Định nghĩa – Tính chất
•
2. Phương pháp tính
Định nghĩa
b
1. Phân tích
b
∫ f ( x)dx = F ( x) a = F (b) − F (a)
Sử dụng tính chất để chia tách tích phân
đã cho thành tổng hiệu các tích phân đơn
giản.
a
•
Tính chất
a
1.
b
2.
∫a
b
3.
2. Đổi biến
∫a f ( x)dx = 0
∫a
c
c
b
a
f ( x )dx + ∫ f ( x)dx = ∫ f ( x )dx
a
a
(
a
∫ k. f ( x)dx = k.∫ f ( x)dx (k ∈ ¡ )
4.
a
u (a )
g (u )du.
* Loại 1:
b
b
u (b )
∫ f ( x)dx = ∫
a
f ( x)dx = − ∫ f ( x)dx
b
b
b
b
b
a
a
a
5. ∫ [ f ( x) ± g ( x)]dx = ∫ f ( x)dx ± ∫ g ( x)dx
u = f ( x)
)
+ Đặt
+ Suy ra du=…
+ Đổi cận…
+ Đưa về tích phân với biến mới
b
∫
* Loại 2:
a
β
f ( x)dx = ∫ f (ϕ (t ))ϕ '(t ) dt.
α
x = ϕ ( x)
3. Ứng dụng
+ Đặt
+ Suy ra dx=…
+ Đổi cận…
+ Đưa về tích phân với biến mới
1. Tính diện tích hình phẳng
Nhận biết đổi biến loại 2:
•
Với một số dạng:
Giới hạn bởi một hàm số
Liên hệ để mua tài liệu hoặc đăng kí học thêm
Sổ Tay Công Thức Toán THPT(lưu hành nội bộ)
Giáo viên: Nguyễn Việt Dũng
2
a −x
2
x −a
b
S = ∫ f ( x ) dx
2
: đặt
π π
x =| a | sin t ; t ∈ − ;
2 2
x=
2
: đặt
a
|a|
π π
; t ∈ − ; \ {0}
sin t
2 2
Công thức:
•
Giới hạn bởi hai hàm số
2
x +a
a+x
a−x
b
S = ∫ f1 ( x) − f 2 ( x) dx
a
Công thức:
2. Tính thể tích vật thể
•
Quay quanh Ox (giới hạn bởi 1 hàm )
2
: đặt
hoặc
π π
x =| a | tan t ; t ∈ − ; ÷
2 2
a−x
a+x
: đặt
x = a.cos 2t
Lưu ý: Chỉ nên sử dụng phép đặt này khi
các dấu hiệu 1, 2, 3 đi với x mũ chẵn.
3. Tích phân từng phần
b
b
∫ udv = uv | − ∫ vdu
b
a
a
a
Công thức:
Sử dụng sơ đồ đường chéo để tính nhanh:
u = ...
Đạo hàm liên tục đến 0
* Chú ý: Nếu u là hàm logarit thì phải rút gọn.
b
S = ∫ [f (x)]2 dx
Công thức:
•
a
Quay quanh Ox (giới hạn bởi 2 hàm )
Thứ tự ưu tiên đặt u: Nhất lô, nhì đa, tam
lượng, tứ mũ
y = f ( x)
y = g ( x)
x = a
x = b
Liên hệ để mua tài liệu hoặc đăng kí học thêm
Sổ Tay Công Thức Toán THPT(lưu hành nội bộ)
Giáo viên: Nguyễn Việt Dũng
b
V = π ∫ f 2 ( x ) − g 2 ( x ) dx
a
Công thức:
•
Quay quanh Oy
d
Vy = π ∫ [ g ( y )] dy
2
c
Công thức:
12.1: CÁC VẤN ĐỀ VỀ HÀM SỐ
1. Khảo sát sự biến thiên
2. Tìm cực trị
Các bước khảo sát
• Cách 1: Dùng BBT
Bước 1: Tìm tập xác định
(Tương tự các bước như mục 1)
Bước 2: Tính y’
• Cách 2: Dùng y’’
Bước 3: Tìm nghiệm của y’ và những điểm y’ Bước 1: Tìm tập xác định
không xác định
Bước 2: Tính y’
Bước 4: Lập bảng biến thiên
xi
Bước 5: Kết luận khoảng đồng biến, nghịch
Bước 3: Tìm các nghiệm của y’
biến
y ''
• Áp dụng giải phương trình
Bước 4: Tính
•
f
+ Nếu
trình
tăng (giảm) và
f (x) = a
Nếu
g
tăng và
phương trình
là
x = x0
+ Nếu
D thì:
thì phương
có nghiệm duy nhất là
f
+
f (x0) = a
giảm và
f (x) = g(x)
x = x0
f (x0 ) = g(x0 )
thì
y ''( xi )
Bước 5: Tính
Bước 6: Kết luận
y ''( xi ) < 0 ⇒ xi
y ''( xi ) > 0 ⇒ xi
là điểm cực đại
là điểm cực tiểu
có nghiệm duy nhất
f
tăng (giảm) trên tập xác định
f (u) = f (v) ⇔ u = v (ví i u,v ∈ D)
3. Tìm max, min
4. Tìm tiệm cận
Liên hệ để mua tài liệu hoặc đăng kí học thêm
Sổ Tay Công Thức Toán THPT(lưu hành nội bộ)
• Max, min trên đoạn [a;b]
Bước 1: Tìm tập xác định
Bước 2: Tính y’
Bước 3: Tìm các điểm xi là nghiệm của y’
hoặc là điểm mà y’ không xác định trên
khoảng (a,b)
Bước 4: Tính các giá trị f(xi), f(a), f(b)
Bước 5: So sánh và kết luận Max, min.
Max, min trên khoảng hoặc nửa
khoảng
Bước 1: Tìm tập xác định
Bước 2: Tính y’
Bước 3: Tìm nghiệm của y’ và những điểm y’
không xác định trên khoảng (a,b)
Bước 4: Lập bảng biến thiên
Bước 5: Kết luận Max, min
•
Giáo viên: Nguyễn Việt Dũng
•
Tiệm cận ngang
lim y = y1
x →+∞
Bước 1: Tính
⇒ y = y1
là tiệm cận ngang
lim y = y2
Bước 2: Tính
⇒ y = y2
x →−∞
là tiệm cận ngang
Chú ý: Nếu hai giới hạn bằng nhau thì đths có một TCN
•
Tiệm cận đứng
x0
Bước 1: Tìm những điểm là những điểm
không xác định của hàm số( với hàm phân thức
thường là nghiệm của mẫu)
lim+ x = ±∞
Bước 2: Kiểm tra điều kiện:
lim− x = ±∞
x → x0
x → x0
⇒ x = x0
là tiệm cận đứng.
13: CÁC DẠNG ĐỒ THỊ
y'
Số nghiệm
y
O
1. Hàm số bậc ba
x
y = ax 3 + bx 2 + cx + d ( a ≠ 0 )
y
O
x
2 nghiệm
(2 cực trị)
a>0
Liên hệ để mua tài liệu hoặc đăng kí học thêm
a<0
hoặc
Sổ Tay Công Thức Toán THPT(lưu hành nội bộ)
y
1 nghiệm
(0 cực trị)
O
x
Giáo viên: Nguyễn Việt Dũng
y
x
O
a>0
y
a<0
y
O
O
x
x
Vô nghiệm
(0 cực trị)
a>0
y'
Số nghiệm
2. Hàm số bậc bốn trùng phương
a<0
y = ax 4 + bx 2 + c ( a ≠ 0 )
3 nghiệm
(3 cực trị)
a>0
Liên hệ để mua tài liệu hoặc đăng kí học thêm
a<0
Sổ Tay Công Thức Toán THPT(lưu hành nội bộ)
Giáo viên: Nguyễn Việt Dũng
1 nghiệm
(1 cực trị)
a>0
a<0
y=
3. Hàm phân thức bậc nhất
ax + b
, ( ab − bc ≠ 0 )
cx + d
+ Đồ thị
không có cực
trị
+ Có tâm đối
xứng là giao
điểm 2 tiệm
cận
ad − bc > 0
ad − bc < 0
4. Các dạng toán liên quan đến đồ thị
•
Tương giao hai đồ thị (tìm giao điểm)
y = f ( x ); y = g ( x )
Bước 1: Tìm nghiệm
hoành độ giao điểm
x0
Công thức:
Giao điểm
( x0 ; y0 )
của phương trình
là tọa độ tiếp điểm
f ( x ) = g ( x)
Bước 2: Thay vào công thức
Được tung độ
Phương trình tiếp tuyến
y = y0 + f '( x0 )( x − x0 )
f '( x0 )
f ( x)
⇒
•
y0 = f ( x0 ) = g ( x0 )
M ( x0 ; y0 )
g ( x)
hoặc
.
Là hệ số góc
* Các trường hợp đặc biệt:
+ Tiếp tuyến song song với đường thẳng:
d : y = ax + b
Liên hệ để mua tài liệu hoặc đăng kí học thêm
Sổ Tay Công Thức Toán THPT(lưu hành nội bộ)
* Các trường hợp đặc biệt:
y=0
Giáo viên: Nguyễn Việt Dũng
⇒ f '( x0 ) = a
+ Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng:
+ Giao với trục hoành (trục Ox):
d : y = ax + b
x=0
+ Giao với trục tung (trục Oy):
⇒ f '( x0 ).a = −1
14: CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI ĐỒ THỊ
1. Tịnh tiến đồ thị hàm số
y = f ( x)
Hàm số
có đồ thị là đường cong
2. Suy biến đồ thị
( C)
y = f ( x)
Hàm số
y = f ( x) + a
( C)
y = -f ( x )
Đồ thị hs
:
( C)
a
Tịnh tiến
lên trên đơn vị.
•
y = f ( x) - a
Đồ thị hs
:
Lấy đối xứng (C) qua Ox
•
y = f ( -x )
Đồ thị hs
:
Lấy đối xứng (C) qua Oy
•
Đồ thị hs
:
( C)
a
Tịnh tiến
xuống dưới đơn vị.
•
y= f
•
y = f ( x + a)
Đồ thị hs
:
( C)
a
Tịnh tiến
sang trái đơn vị.
•
y = f ( x - a)
Đồ thị hs
:
( C)
a
Tịnh tiến
sang phải đơn vị.
•
có đồ thị là đường cong
Đồ thị hs
( x)
:
+ Giữ nguyên phần đồ thị
phần bên trái
( C)
+ Lấy đối xứng phần đồ thị
qua Oy.
bên phải Oy, bỏ
( C)
được giữ lại
y = f ( x)
•
Đồ thị hs
:
( C)
Ox
+ Giữ nguyên phần đồ thị
nằm trên
, bỏ
( C)
Ox
phần đồ thị
phía dưới
.
( C)
Ox
+ Lấy đối xứng phần đồ thị
bị bỏ qua
Liên hệ để mua tài liệu hoặc đăng kí học thêm
Sổ Tay Công Thức Toán THPT(lưu hành nội bộ)
Giáo viên: Nguyễn Việt Dũng
f ( x) ≥ 0
y = f ( x) ⇔
y = ± f ( x)
Đồ thị hs
•
+ Giữ nguyên phần đồ thị
phần đồ thị nằm phía dưới
( C)
qua
Ox
, bỏ
Ox
+ Lấy đối xứng phần đồ thị
Ox
nằm trên
( C)
được giữ lại
.
------------------------------------------------------------------------------------------
15: LŨY THỪA – MŨ - LOGARIT
1. Lũy thừa
•
Định nghĩa
Lũy thừa mũ nguyên dương:
a
−n
Lũy thừa mũ nguyên âm:
a
(
1
= n
a
(
a =1
0
Lũy thừa mũ 0:
(
m
n
Lũy thừa mũ hữu tỉ:
Lũy thừa mũ vô tỉ:
•
Tính chất
•
n
a
a = n am
(
α
(
Định nghĩa
a≠0
a≠0
aα ×a β = aα + β
)
aα
= aα − β
β
a
)
( ab)α = aα ×bα
( aα ) β = aα . β
)
a>0
α
aα
a
÷ = α
b
b
)
a>0
)
2. Căn bậc n
Tính chất
Với a, b là các số dương:
•
n
Số a là căn bậc n của b nếu
• Chú ý:
a∈¡
a =b
n
± b
n
+ Số dương b có 2 căn bậc chẵn:
n
a. b = ab
n
n
Liên hệ để mua tài liệu hoặc đăng kí học thêm
n
;
a n a
=
b
b
(b > 0)
Sổ Tay Công Thức Toán THPT(lưu hành nội bộ)
n
b
+ Số thực b bất kì có 1 căn bậc lẻ:
n
+
Giáo viên: Nguyễn Việt Dũng
( n a)
0 = 0 (∀n ∈ ¥ *, n ≥ 2)
n
m
= n a m (a > 0)
a
an =
a
m n
;
a = mn a
nÕu n lÎ
nÕu n ch½n
3. Logarit
Định nghĩa
a, b a ≠ 0 : α = log a b ⇔ aα = b
Với 2 số dương
và
•
Logarit thập phân:
•
•
Quy tắc tính
log10 b = log b = lg b
log e b = ln b
Lôgarit của tích:
log a (b1.b2 ) = log a b1 + log a b2
Logarit tự nhiên:
• Tính chất
log a a = 1
log a
Lôgarit của thương:
log a 1 = 0
b1
= log a b1 − log a b2
b2
a loga b = b
log a aα = α
Lôgarit của lũy thừa:
log a bα = α log a b
Đổi cơ số:
log a b =
log c b
log c a ⇔ log c a.log a b = log c b
log a b =
1
log b a
log aα b =
1
log a b
α
Đặc biệt:
;
4. So sánh hai lũy thừa và logarit
• So sánh hai lũy thừa cùng cơ số
• So sánh hai logarit cùng cơ số
α
β
a >1 a < a ⇔α < β
a > 1 log a b1 < log a b2 ⇔ b1 < b2
:
:
+ Nếu
+ Nếu
α
β
0< a <1 a < a ⇔α > β
0 < a < 1 log a b1 < log a b2 ⇔ b1 > b2
+ Nếu
:
+ Nếu
:
• So sánh hai lũy thừa cùng số mũ (cơ số
dương)
m > 0 a m < bm ⇔ a < b
+ Nếu
+ Nếu
:
m < 0 am < bm ⇔ a > b
:
Liên hệ để mua tài liệu hoặc đăng kí học thêm
Sổ Tay Công Thức Toán THPT(lưu hành nội bộ)
Giáo viên: Nguyễn Việt Dũng
------------------------------------------------------------------------------------------
16: HÀM SỐ LŨY THỪA – HÀM SỐ MŨ – HÀM SỐ LOGARIT
1. Hàm số lũy thừa
Dạng tổng quát
y = xα
α ∈¡
với
TXĐ:
•
α
+
α
nguyên dương:
+
•
y = a , (a > 0, a ≠ 1).
x
D = ( 0; +∞ )
TXĐ:
TXĐ:
• Đạo hàm
Đạo hàm
•
(a )′ = a x .ln a
x
D = ¡ \ { 0}
D = ( 0; +∞ )
( log a x ) ′ =
(e x )′ = e x
Đặc biệt:
1
x.ln a
(ln x)′ =
Đối với hàm hợp:
Đặc biệt:
(a u )′ = u′.a u .ln a
1
x
Đối với hàm hợp:
(e )′ = e .u ′
u
Đối với hàm hợp:
(uα )′ = α .uα −1.u '
Dạng tổng quát
y = log a x, ( a > 0, a ≠ 1)
D=¡
nguyên âm hoặc bằng 0:
+ không nguyên:
• Đạo hàm
( xα )′ = α .xα −1.
3. Hàm số logarit
Dạng tổng quát
•
D=¡
α
2. Hàm số mũ
u
( log a u ) ′ =
Đặc biệt:
u′
u.ln a
(ln u )′ =
u′
u
Đặc biệt:
------------------------------------------------------------------------------------------
17: PHƯƠNG TRÌNH MŨ – PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT
1. Phương trình mũ
•
Phương trình mũ cơ bản
x
Dạng TQ:
Nghiệm:
+ Nếu
a =b
b≤ 0
với
0 < a ≠1
.
2. Phương trình logarit
Phương trình logarit cơ bản
log a x = b
0 < a ≠1
Dạng TQ:
với
.
•
Điều kiện:
thì phương trình vô nghiệm.
ax = b⇔ x = loga b
b> 0
+ Nếu
thì
.
• Một số phương pháp giải
- Đưa về cùng cơ số (chú ý trường hợp cơ số
là ẩn cần xét thêm trường hợp cơ số bằng 1)
- Đặt ẩn phụ (chú ý điều kiện ẩn phụ)
- Logarit hóa.
Nghiệm:
x>0
log a x = b ⇔ x = a b
Một số phương pháp giải
(Chú ý đặt điều kiện phương trình)
- Đưa về cùng cơ số.
- Đặt ẩn phụ.
- Mũ hóa.
•
Liên hệ để mua tài liệu hoặc đăng kí học thêm
Sổ Tay Công Thức Toán THPT(lưu hành nội bộ)
Giáo viên: Nguyễn Việt Dũng
18: BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ – BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT
1. Bất phương trình mũ
•
2. Bất phương trình logarit
Bất phương trình mũ cơ bản
Dạng TQ:
ax > b
(với
0 < a ≠1
)
ax < b ax ≥ b ax ≤ b
;
(hoặc
;
Nghiệm:
+ Nếu b<0:
Bất phương trình logarit cơ bản
log a x > b
0 < a ≠1
(với
)
Dạng TQ:
log a x < b; log a x ≥ b; log a x ≤ b
)
(hoặc
•
)
x>0
ax < b
BPT
ax > b
BPT
+ Nếu b>0:
Điều kiện:
vô nghiệm
Nghiệm:
vô số nghiệm
log a x > b
ax > b
ax < b
a >1
x > ab
a >1
x > loga b
x < loga b
0
x < ab
0
x < loga b
x > loga b
⇒
Cơ số lớn hơn 1 giữ chiều, bé hơn 1 đảo
chiều
• Một số phương pháp giải
- Đưa về cùng cơ số.
- Đặt ẩn phụ (chú ý điều kiện ẩn phụ)
- Logarit hóa.
⇒
Cơ số lớn hơn 1 giữ chiều, bé hơn 1 đảo
chiều
Một số phương pháp giải
(Chú ý đặt điều kiện bất phương trình)
- Đưa về cùng cơ số.
- Đặt ẩn phụ.
- Mũ hóa.
•
19: SỐ PHỨC
1. Các định nghĩa
Phép cộng và phép trừ hai số phức
(a + bi) + (c + di ) = (a + c) + (b + d )i.
i = −1
2
Đơn vị ảo (số i):
Số phức:
a
z = a + bi
là phần thực,
+ Nếu
+ Nếu
b
(a + bi) − (c + di ) = (a − c ) + (b − d )i.
a, b ∈ ¡
với
.
là phần ảo.
b = 0 ⇔ z = a∈¡ ⇔ z
a = 0 ⇔ z = bi ⇔ z
2. Các phép toán số phức
là số thực
là số thuần ảo
Phép nhân hai số phức
(a + bi )( c + di ) = (ac − bd ) + (ad + bc)i.
Chú ý:
i 4k = i
i 4k+ m = i m (1≤ m≤ 3)
Liên hệ để mua tài liệu hoặc đăng kí học thêm
Sổ Tay Công Thức Toán THPT(lưu hành nội bộ)
0 = 0 + 0i
+ Số
ảo.
vừa là số thực, vừa là số thuần
£ = { a + bi / a, b ∈ ¡ ; i 2 = −1}
Tập số phức
Hai số phức bằng nhau:
a = c
a + bi = c + di ⇔
b = d
Giáo viên: Nguyễn Việt Dũng
Phép chia hai số phức
c + di ( c + di ) ( a − bi ) ac + bd + ( ad − bc ) i
=
=
a + bi ( a + bi ) ( a − bi )
a 2 − (bi )2
=
.
ac + bd + ( ad − bc ) i
a2 + b2
3. Phương trình bậc hai với hệ số thực
a, b, c, d ∈ ¡
với
.
z = a + bi = a 2 + b 2
Môđun của số phức z:
Số
.
z ≥ 0; 0 = 0; z = z
2
2
Số
Số
Số phức liên hợp:
z = a − bi
Căn bậc hai
•
.
z = z; z = z
a>0
a=0
a<0
có hai căn bậc hai là
± a
.
có đúng một căn bậc hai là 0.
±i | a |
có các căn bậc hai là
.
Phương trình bậc hai hệ số thực
•
ax + bx + c = 0 ( a , b, c ∈ ¡ ; a ≠ 0 )
2
∆ = b − 4ac
.
2
Biểu diễn hình học
Số phức
điểm
Xét
z = a + bi ( a, b ∈ ¡
)
được biểu diễn bởi
+∆ = 0:
M ( a; b )
+∆ > 0
+∆ < 0
, ta có:
x=−
PT có nghiệm thực kép
x1,2 =
−b ± ∆
2a
x1,2 =
−b ± i | ∆ |
2a
: PT có 2 nghiệm thực
: PT có 2 nghiệm phức
------------------------------------------------------------------------------------------
20: HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC
1. Tam giác vuông
2. Tam giác thường
Liên hệ để mua tài liệu hoặc đăng kí học thêm
b
2a
