Tổng hợp công thức toán cần nhớ cấp 3
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.05 MB, 43 trang )
Thầy.Nguyễn Quang Sơn ĐT:0909.230.970
________________________________________________________________________________
1
CĂN BẬC HAI
1. AA
2
2.
BAAB .
(A0, B0 ) 3.
B
A
B
A
(A0, B>0)
4.
BABA
2
(B0) 5.
BABA
2
(A0, B0) 6.
BABA
2
(A<0, B0)
7.
B
BA
B
A
(B>0) 8.
AB
BB
A 1
(AB0, B≠0) 9)
2
)(
BA
BAC
BA
C
(A0, A≠B
2
)
10)
BA
BAC
BA
C
(
(A0, B0, A≠B) 11)0 A < B BA
BẢY HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ
2 2 2
( ) 2
A B A AB B
2 2 2
( ) 2
A B A AB B
2 2
A B A B A B
3
3 2 2 3
3 3
A B A A B AB B
3
3 2 2 3
3 3
A B A A B AB B
3
3 3 2 2
( )( ) 3 ( )
A B A B A AB B A B AB A B
3 3 2 2
A B A B A AB B
2
2 2
2
A B A B AB
NHỚ 1: PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬT NHẤT
Ax B
A 0 : phương trình có nghiệm duy nhất :
A
B
x .
A = 0 và B 0 : phương trình vô nghiệm.
A = 0 và B = 0 : phương trình vô số nghiệm.(
x R
)
Ax B
A > 0 :
A
B
x 0
B
A x
A
A = 0 và B 0 : vô nghiệm
A = 0 và B < 0 : vô số nghiệm.
( )
x R
NHỚ 2 : HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬT NHẤT HAI ẨN SỐ
1/. Dạng :
///
cybxa
cbyax
2/. Cách giải :
baab
ba
ba
D
//
//
;
bccb
bc
bc
D
x
//
//
;
caac
ca
ca
D
y
//
//
D 0 : hệ có nghiệm duy nhất
D
D
y
y
D
D
x
x
Thầy.Nguyễn Quang Sơn ĐT:0909.230.970
________________________________________________________________________________
2
D = 0 và D
x
0
Hệ vô nghiệm.
D = 0 và D
y
0
D = D
x
= D
y
= 0 : Hệ vô số nghiệm tùy thuộc a, b, c, a
/
, b
/
, c
/
NHỚ 3 : PHƯƠNG TRÌNH BẬT HAI MỘT ẨN
ax
2
+ bx + c = 0 ( a 0)
= b
2
– 4ac
> 0
a
b
x
2
1
,
a
b
x
2
2
= 0
Nghiệm kép
a
b
xx
2
21
< 0 Vô nghiệm
/
= b
/ 2
– ac
/
> 0
a
b
x
//
1
,
a
b
x
//
2
/
= 0
Nghiệm kép
a
b
xx
/
21
/
< 0 Vô nghiệm
Chú ý:
a + b + c = 0 : Nghiệm x
1
= 1, x
2
=
a
c
a – b + c = 0 : Nghiệm x
1
= –1, x
2
=
a
c
.
Cho tam thức f(x) = ax
2
+ bx + c
( 0)
a
có
2
4
b ac
f(x) = 0 có hai nghiệm
0
;f(x) = 0 có nghiệm kép
0
; f(x) = 0 vơ nghiệm
0
f(x) = 0 có hai nghiệm trái dấu
0
0
a
P
f(x) = 0 có hai nghiệm cùng dấu
0
0
a
P
f(x) = 0 có hai nghiệm âm
0
0
0
0
a
S
P
f(x) = 0 có hai nghiệm dương
0
0
0
0
a
S
P
f(x) > 0
0
0
a
x
f(x)
0
0
0
a
x
f(x) < 0
0
0
a
x
f(x)
0
0
0
a
x
f(x) > 0 vơ nghiệm
f(x)
0
x
0
0
a
f(x)
0 vơ nghiệm
f(x)
0
x
0
0
a
f(x) < 0 vơ nghiệm
f(x)
0
x
0
0
a
f(x)
0 vơ nghiệm
f(x)
0
x
0
0
a
Thầy.Nguyễn Quang Sơn ĐT:0909.230.970
________________________________________________________________________________
3
NHỚ 4 : DẤU NHỊ THỨC
f(x) = ax + b ( a 0)
x
–
a
b
+
f(x)
Trái dấu a 0 cùng dấu a
NHỚ 5 : DẤU TAM THỨC
f(x) = ax
2
+ bx + c ( a 0) ( Nhớ : TRONG TRÁI NGOÀI CÙNG)
Nếu Thì
0
0
a
0
0
a
f(x) > 0, x
f(x) < 0, x
0
0
a
0
0
a
f(x) > 0, x
a
b
2
f(x) < 0, x
a
b
2
> 0
x – x
1
x
2
+
f(x)
cùng dấu a 0 trái dấu a 0 cùng dấu a
Hoặc :
f(x) =
ax bx c
2
(a
0)
< 0
a.f(x) > 0,
x
R
= 0
a.f(x) > 0,
x
b
R
a
\
2
> 0
a.f(x) > 0,
x
(
–
∞
; x
1
)
(x
2
∞
; +
)
a.f(x) < 0,
x
(x
1
; x
2
)
NHỚ 6 : SO SÁNH NGHIỆM CỦA TAM THỨC BẬC HAI VỚI CÁC SỐ
Cho: f(x) = ax
2
+ bx + c ( a 0) và , là hai số thực(
)
1/. x
1
< < x
2
af(x) < 0 2/. x
2
> x
1
>
0
2
0)(
0
S
af 3/. x
1
< x
2
<
0
2
0)(
0
S
af
4/. x
1
< < < x
2
0)(
0)(
af
af
5/. x
1
< < x
2
<
0)(
0)(
af
af
6/.
21
21
xx
xx
0)()(
ff 7/. < x
1
< x
2
<
2
0)(
0)(
0
S
af
af
Chú ý:
Thầy.Nguyễn Quang Sơn ĐT:0909.230.970
________________________________________________________________________________
4
1/. x
1
< 0 < x
2
P < 0 2/. x
2
> x
1
> 0
0
0
0
S
P 3/. x
1
< x
2
< 0
0
0
0
S
P
NHỚ 7 : PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN
1/.
K
K
BA
B
BA
2
2
0
2/.
)0(0
22
hayBA
BA
BA
KK
g x
f x g x
f x g x
2
( ) 0
( ) ( )
( ) ( )
f x hoặc g x
f x g x
f x g x
( ) 0 ( ( ) 0)
( ) ( )
( ) ( )
NHỚ 8 : BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN
1/.
K
K
BA
B
A
BA
2
2
0
0
2/.
K
K
BA
B
A
B
BA
2
2
0
0
0
3/.
12
12
K
K
BABA
f x
f x g x g x
f x g x
2
( ) 0
( ) ( ) ( ) 0
( ) ( )
g x
f x
f x g x
g x
f x g x
2
( ) 0
( ) 0
( ) ( )
( ) 0
( ) ( )
NHỚ 9 : PHƯƠNG TRÌNH CÓ DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
1/.
0
0
B
BA
B
BA
BA 2/.
BA
BA
BA Chú ý:
0
)()(
0
)()(
)()(
x
xgxf
x
xgxf
xgxf
NHỚ 10 : BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
1/.
0B
BAB
BA 2/.
0
0
0
B
A B
A B
B
A B
B
3/.
22
BABA
nếu 0
nếu 0
A A
A
A A
;
2
2
,
A A A
Thầy.Nguyễn Quang Sơn ĐT:0909.230.970
________________________________________________________________________________
5
NHỚ 11 : BẤT ĐẲNG THỨC
1/. ĐỊNH NGHĨA :
Dạng : A > B, A B , A < B, A B
2/. TÍNH CHẤT :
a)
abba
; b)
ca
cb
ba
; c)
cbcaba
;d)
0,
0,
cbcac
cbcac
ba
e)
dbca
dc
ba
;f)
bdac
dc
ba
0
0
;g)
0;
11
0;
11
abkhi
ba
abkhi
ba
ba
3/. BĐT Cô Si :
Cho n số tự nhiên không âm a
1
, a
2
, a
3
, , a
n
n
n
n
aaaa
n
aaaa
321
321
Hay
n
n
n
n
aaaa
aaaa
321
321
Dấu đẳng thức xảy ra a
1
= a
2
= a
3
= = a
n.
Cơ si cho 2 số khơng âm:
, 0
a b
: 2
a b ab
.Dấu “=” xảy ra khi
a b
.
Tính chất: Cho 2 số khơng âm
,
a b
.
Nếu
a b
hằng số thì
.
a b
đạt giá trị lớn nhất khi
a b
.
Nếu
.
a b
hằng số thì
( )
a b
đạt giá trị nhỏ nhất khi
a b
.
4/. BĐT Bunhia Côp ski :
Cho a
1
, a
2
, a
3
, , a
n
, b
1
, b
2
, b
3
, , b
n
là những số tực khi đó:
) )( () (
22
2
2
1
22
2
2
1
2
2211 nnnn
bbbaaabababa
Dấu đẳng thức xảy ra a
i
= k.b
i
, i = 1 , 2 , 3, , n
5/. BĐT BecnuLi :
Cho : a > –1, n N.Ta có : (1 + a)
n
1 + na Đẳng thức xảy ra
1
0
n
a
6/. BĐT tam giác :
BABA
.Đẳng thức xảy ra AB 0.
NHỚ 12 : CÔNG THỨC LƯNG GIÁC
A. HỆ THỨC CƠ BẢN ( 6 công thức )
1/.
2 2
1
sin x cos x
2/.
sinx
tanx
cosx
3/.
cosx
cotx
sinx
4/.
. 1
tanx cotx
5/.
2
2
1
1 tan x
cos x
6/.
2
2
1
1 cot x
sin x
Điều kiện tồn tại :
tanx là(x / 2 + k , k Z)
cotx là (x k , k Z)
sinx là – 1 Sinx 1
cosx là – 1 Cosx 1
Chú ý :
a
2
+ b
2
= ( a + b)
2
– 2ab
a
3
+ b
3
= ( a + b)
3
– 3ab( a + b)
B. CÔNG THỨC CỘNG ( 8 công thức ):
Thầy.Nguyễn Quang Sơn ĐT:0909.230.970
________________________________________________________________________________
6
7/. ( ) cos . sin .
cos a b a cosb a sinb
8/. ( ) cos . sin .
cos a b a cosb a sinb
9/.
( ) sin . cos .
sin a b a cosb a sinb
10/.
( ) sin . .
sin a b a cosb cosa sinb
11/.
( )
1 tan .
tana tanb
tan a b
a tanb
12/.
( )
1 .
tana tanb
tan a b
tana tanb
13/.
cot . 1
( )
a cotb
cot a b
cota cotb
14/.
cot 1
( )
acotb
cot a b
cota cotb
C. CÔNG THỨC NHÂN:
I. NHÂN ĐÔI : ( 3 công thức)
15/. 2 2sin .
sin a a cosa
16/.
2 2 2 2
2 2 1 1 2
cos a cos a sin a cos a sin a
17/.
2
2
2
1
tana
tan a
tan a
II. NHÂN BA : ( 3 công thức)
18/.
CosaaCosaCos 343
3
19/.
aSinSinaaSin
3
433
20/.
a
Tan
aTanTana
aTan
2
3
3
1
3
3
III. HẠ BẬC : ( 4 công thức)
21/.
2
21
2
aCos
aSin
aSinaCos
2
221
22/.
2
21
2
aCos
aCos
aCosaCos
2
221
23/.
4
33
3
aSinSina
aSin
24/.
4
33
3
aCosCosa
aCos
IV. GÓC CHIA ĐÔI : ( 3 công thức) với
2
x
Tant
25/.
2
1
2
t
t
Sinx
26/.
2
2
1
1
t
t
Cosx
, 27/.
2
1
2
t
t
Tanx
D. TỔNG THÀNH TÍCH : ( 8 công thức)
28/.
2
2
2
ba
Cos
ba
CosCosbCosa
29/.
2
2
2
ba
Sin
ba
SinCosbCosa
30/.
2
2
2
ba
Cos
ba
SinSinbSina
31/.
2
2
2
ba
Sin
ba
CosSinbSina
32/.
CosaCosb
baSin
TanbTana
)(
33/.
CosaCosb
baSin
TanbTana
)(
34/.
SinaSinb
baSin
CotbCota
)(
35/.
SinaSinb
baSin
CotbCota
)(
E. TÍCH THÀNH TỔNG : ( 3 công thức)
36/.
)(
2
1
baCosbaCosCosaCosb 37/.
)()(
2
1
baCosbaCosSinaSinb
38/.
)()(
2
1
baSinbaSinSinaCosb
Thầy.Nguyễn Quang Sơn ĐT:0909.230.970
________________________________________________________________________________
7
CHUÙ YÙ:
2
2
2 2
1 sin 2 sin cos ;1 sin 2 (sin cos ) ;1 sin (sin cos ) ;1 sin sin cos
2 2 2 2
x x x x
x x x x x x x x
2 2 2 2
1 cos 2 2sin ;1 cos 2 2cos ;1 cos 2 cos ;1 cos 2 sin
2 2
x x
x x x x x x
sin cos 2 sin 2 cos ;sin cos 2 sin ; cos sin 2 cos
4 4 4 4
x x x x x x x x x x
sin 3 cos 2 cos 2sin ; 3 sin cos 2sin 2 cos
6 3 6 3
x x x x x x x x
F. CUNG LIEÂN KEÁT :
Góc hơn kém
Góc hơn kém
2
sin( ) sin
sin cos
2
cos( ) cos
cos sin
2
tan( ) tan
tan cot
2
cot( ) cot
cot tan
2
Góc đối nhau Góc bù nhau Góc phụ nhau
cos( ) cos
sin( ) sin
sin cos
2
sin( ) sin
cos( ) cos
cos sin
2
tan( ) tan
tan( ) tan
tan cot
2
cot( ) cot
cot( ) cot
cot tan
2
Thầy.Nguyễn Quang Sơn ĐT:0909.230.970
________________________________________________________________________________
8
G. Giá trị lượng giác của các góc có liên quan đặc biệt:
NHỚ 13 : PHƯƠNG TRÌNH LƯNG GIÁC
A. CƠ BẢN :
Sinu = Sinv
2
2
kvu
kvu
k
Z
Cosu = Cosv
2kvu
Tanu = Tanv
kvu
Cotu = Cotv
kvu
Sinu = 0
ku
Sinu =
1
22/ ku
Sinu =
–
1
22/ ku
Cosu = 0
ku
2/
Cosu = 1
2ku
Cosu = – 1
2ku
B. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI Sin và Cos
Dạng: aSinx + bCosx = c (1) ( a
2
+ b
2
0 ). Phương pháp :
Cách 1: Chia hai vế cho
22
ba .Đặt :
Sin
ba
b
Cos
ba
a
2222
;
.
(1)
22
)(
ba
c
xSin
(*). (*) Có nghiệm khi : 1
22
ba
c
222
cba
.
(*) Vô nghiệm khi
222
cba
Cách 2:
Kiểm chứng x = (2k + 1) có phải là nghiệm của phương trình hay không?
0
6
4
3
2
2
3
3
4
3
2
2
0
0
30
0
45
0
60
0
90
0
120
0
135
0
180
0
270
0
360
0
sin 0
1
2
2
2
3
2
1
3
2
2
2
0 –1 0
cos 1
3
2
2
2
1
2
0
1
2
2
2
–1 0 1
tan 0
3
3
1
3
3
–1 0
0
cot
3
1
3
3
0
3
3
–1
0
Thầy.Nguyễn Quang Sơn ĐT:0909.230.970
________________________________________________________________________________
9
Xét x (2k + 1) .Đặt :
2
x
Tant
. Thế
2
2
2
1
1
;
1
2
t
t
Cosx
t
t
Sinx
.
Vào phương trình (1) t ? x ?
C. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI:
1/. Đối với một hàm số lượng giác: Giả sử a 0
0
2
cbSinxxaSin ( đặt 1, tSinxt )
0
2
cbCosxxaCos (đặt 1, tCosxt )
0
2
cbTanxxaTan
( đặt
kxTanxt
2
, )
0
2
cbCotxxaCot ( đặt
kxCotxt
, )
2/. Phương trình đẳng cấp đối với Sinx, Cosx
Dạng:
0
22
xcCosbSinxCosxxaSin
(1)
0
3223
xdCosxcSinxCosxCosxbSinxaSin
(2)
Phương pháp :
Cách 1:
Kiểm x = / 2 + k có phải là nghiệm của phương trình ?
Chia hai vế cho Cos
2
x ( dạng 1), chia Cos
3
x ( dạng 2) để đưa phương trình đã cho
về dạng phương trình bậc hai, bậc ba đối với Tanx.
Cách 2:
Dạng (1) có thể sử dụng công thức hạ bậc và
2
2xSin
SinxCosx thế vào
3/. Phương trình đối xứng của Sinx, Cosx:
Dạng : a(Sinx + Cosx) + bSinxCosx + c = 0 (*)
Phương pháp: Đặt : 2),
4
(2 txSinCosxSinxt
0
2
1
(*)
2
c
t
bat
t
( nếu có)
x
Chú ý: Dạng a(Sinx – Cosx) + bSinxCosx + c = 0 (*) giải tương tự :
Đặt :
2),
4
(2 txSinCosxSinxt
0
2
1
(*)
2
c
t
bat t ? ( nếu có) x ?
D. PHƯƠNG TRÌNH ĐẶC BIỆT :
1/. Tổng bình phương :
A
2
+ B
2
+ + Z
2
= 0 A = B = = Z = 0
A 0, B 0, , Z 0
Ta có : A + B + + Z = 0 A = B = = Z = 0
2/. Đối lập :
Giả sử giải phương trình A = B(*). Nếu ta chứng minh
KB
KA
KB
KA
(*)
3/.
klBA
kB
lA
kB
lA
4/. 1,1 BA
1
1
1
B
A
AB hay
1
1
B
A
NHỚ 14: HỆ THỨC LƯNG TRONG TAM GIAC
Thầy.Nguyễn Quang Sơn ĐT:0909.230.970
________________________________________________________________________________
10
H
B
C
A
1.TAM GIÁC THƯỜNG ( các đònh lý)
Hàm số Cosin
bcCosAcba 2
222
bc
acb
CosA
2
222
Hàm số Sin
R
SinC
c
SinB
b
SinA
a
2
R
a
SinARSinAa
2
,2
Hàm số Tan
ba
ba
BA
Tan
BA
Tan
2
2
Các chiếu
cCosBbCosCa
Trung tuyến
4
)(2
222
2
acb
m
a
Phân giác
2 .
2
a
A
bc Cos
l
b c
Diện tích
cba
chbhahS
2
1
2
1
2
1
abSinCacSinBbcSinAS
2
1
2
1
2
1
prS
R
abc
S
4
))()(( cpbpappS
Chú ý:
2
)(
2
)(
2
)(
C
Tancp
B
Tanbp
A
Tanap
p
S
r
SinC
c
SinB
b
SinA
a
S
abc
R
2
2
2
4
a, b, c : cạnh tam giác.
A, B, C: góc tam giác.
h
a
: Đường cao tương ứng với cạnh a.
m
a
: Đường trung tuyến vẽ từ A.
R, r : Bán kính đường tròn ngoại, nội tiếp tam giác.
2
cba
p
Nữa chu vi tam giác.
2.HỆ THỨC LƯNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG:
ACABBCAH
CHBHAH
.
2
BCBHAB .
2
CBCHAC .
2
222
ACABBC
222
111
AC
AB
AH
Thầy.Nguyễn Quang Sơn ĐT:0909.230.970
________________________________________________________________________________
11
NHỚ 15: MỘT SỐ BÀI TÓAN CẦN NHỚ
CHO TAM GIÁC ABC :
1/.
2
2
2
4
C
Cos
B
Cos
A
CosSinCSinBSinA
2/.
2
2
2
41
C
Sin
B
Sin
A
SinCosCCosBCosA
3/.
TanCTanBTanATanCTanBTanA
( tam giác ABC không vuông)
4/.
2
.
2
.
2
2
2
2
C
Cot
B
Cot
A
Cot
C
Cot
B
Cot
A
Cot
5/. 1
2
.
2
2
.
2
2
.
2
A
Tan
C
Tan
C
Tan
B
Tan
B
Tan
A
Tan
6/.
CosCCosBCosACSinBSinASin 22
222
7/.
CosCCosBCosACCosBCosACos 21
222
8/. SinCBASin
)( ; CosCBACos
)( ;
2
2
C
Cos
BA
Sin
;
2
2
C
Sin
BA
Cos
2
2
C
Cot
BA
Tan
9/.
8
33
SinCSinBSinA 10/.
8
1
CosCCosBCosA 11/.
8
33
2
.
2
.
2
C
Cos
B
Cos
A
Cos
12/.
8
1
2
.
2
.
2
C
Sin
B
Sin
A
Sin 13/.
4
3
222
CCosBCosACos
14/.
9
4
222
CSinBSinASin 15/.
9
222
CTanBTanATan
16/.
1
2
2
2
4
3
222
C
Sin
B
Sin
A
Sin
17/.
4
9
2
2
2
2
222
C
Cos
B
Cos
A
Cos
18/. 1
2
2
2
222
C
Tan
B
Tan
A
Tan 19/. 9
2
2
2
222
C
Cot
B
Cot
A
Cot
20/.
2
33
222 CSinBSinASin
21/.
2
3
222 CCosBCosACos
NHỚ 16 : HÀM SỐ LIÊN TỤC
1.a)ĐỊNH NGHĨA 1: Hàm số )(xfy
gọi là liên tục tại điểm x = a nếu :
1/. )(xf xác đònh tại điểm x = a. 2/. )()(lim afxf
ax
b)ĐỊNH NGHĨA 2: )(xf liên tục tại điểm x = a
)()(lim)(lim afxfxf
axax
2. ĐỊNH LÝù : Nếu )(xf liên tục trên [a, b] và 0)().(
bfaf thì tồn tại ít nhất một điểm c (a, b)
sao cho 0)(
cf .
NHỚ 17 : HÀM SỐ MŨ
1/. ĐỊNH NGHĨA : Cho a > 0, a
1 ( cố đònh). Hàm số mũ là hàm số xác đònh bởi công thức :
y = a
x
( x
R)
2/. TÍNH CHẤT :
a) Hàm số mũ liên tục trên R. b) y = a
x
> 0 mọi x R
Thầy.Nguyễn Quang Sơn ĐT:0909.230.970
________________________________________________________________________________
12
c) a > 1 : Hàm số đồng biến :
21
21
xxaa
xx
d) 0 < a < 1 : Hàm số nghòch biến:
21
21
xxaa
xx
3/. ĐỒ THỊ :
(a> 1) y ( 0 < a < 1) y
1 1
4.CÔNG THỨC:
.
1) . ; 2) ; 3)( ) ; 4)( ) . ; 5)
a a a
a a a a a a ab a b
a b b
6) . . ;7)
n
n n n
n
n
a a
a b a b
b
b
.
.
8) ;
m
n n k n
m m k m
n
a a a a
.
,
9) ;10)
,
n n
n
m n m
a
a a a
a
11)
0
1
a
1
n
a
n
a
12)
(**)( )
n
n
m
n m
n
a a a b b a
5.PHƯƠNG TRÌNH MŨ:
( ) ( )
0 1 : ( ) ( )
f x g x
a a a f x g x
6.BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ:
( ) ( )
1 : ( ) ( )
f x g x
a a a f x g x
( ) ( )
0 1 : ( ) ( )
f x g x
a a a f x g x
NHỚ 18 : HÀM SỐ LOGARIT
1/. Đònh nghóa :
a Với số 0,10
ba .
bab
a
log
.
b) Hàm số logarit theo cơ số a ( a > 0, a
1 ) của đối số x là hàm số được cho bởi công
thức: y = log
a
x ( với x > 0, a > 0, a
1)
2/. TÍNH CHẤT VÀ ĐỊNH LÝ CƠ BẢN VỀ logarit :
1)
log 1 0 ; log 1
a a
a
2) cbcb
aaa
loglog).(log 3) cb
c
b
aaa
logloglog
;
4) bb
aa
log.log
5)
1
log log
a
a
b b
6)
log log
a
a
b b
6)
1 1
log log ;log log
n
a a a a
b b b
b n
7)
ccb
b
c
c
aba
a
a
b
loglog.log
log
log
log
;
8)
1
log
log
a
b
b
a
9)
log
a
b
a b
; 10)
log log
b b
c a
a c
11)
cbcba
cbcba
aa
aa
0loglog:10
0loglog:1
3. GIỚI HẠN:
1
)1ln(
lim;1
1
lim
00
x
x
x
e
x
x
x
Thầy.Nguyễn Quang Sơn ĐT:0909.230.970
________________________________________________________________________________
13
4/. ĐỒ THỊ :
(a> 1) y ( 0 < a < 1) y
1 1
0 x 0 x
4/. PHƯƠNG TRÌNH Logarit :
)()()(log)(log xgxfxgxf
aa
( f(x) hoặc g(x) > 0 , 0 < a
1 )
5/. BẤT PHƯƠNG TRÌNH Logarit :
(*))(log)(log xgxf
aa
)()(
0)(
(*)
1
xgxf
xf
a
)()(
0)(
(*)
10
xgxf
xg
a
NHỚ 19 : ĐẠO HÀM
I/. ĐỊNH NGHĨA ĐẠO HÀM :
Cho hàm số y = f(x) , xác đònh trên ( a, b) , x
0
( a, b). Ta nói f(x) có đạo hàm tại x
0
nếu
giới hạn 0
xkhi
x
y
tồn tại.
x
xfxxf
x
y
xf
xx
)()(
limlim)(
00
00
0
'
Đạo hàm bên trái :
x
y
xf
x
0
0
'
lim)( ( tồn tại )
Đạo hàm bên phải :
x
y
xf
x
0
0
'
lim)( ( tồn tại )
Cho y = f(x) xác đònh trên (a, b).y = f(x) có đạo hàm tại x
0
(a, b)
f
‘
(x
0
+
) = f
’
(x
0
–
)
II/. QUI TẮC TÍNH ĐẠO HÀM :
Giả sử u = u(x), v = v(x), w = w(x) Là các hàm số có đạo hàm, khi đó:
1)(u + u - w)' = u' + v' - w'; 2) (uv)' = u'v + v'u; 3) (k.u)' = k.u' (
k R
)
4)
2
''
)'(
v
uvvu
v
u
5)
2
'
)'
1
(
v
v
v
.
III/. BẢNG ĐẠO HÀM CỦA CÁC HÀM SỐ SƠ CẤP CƠ BẢN :
Đạo hàm số sơ cấp cơ bản
Đạo hàm hàm số hợp (u = u(x))
(C)' = 0
(x
)' = x
-
1
( R, x > 0)
x
x
2
1
)'( (x > 0)
(u
)' = u
-
1
.u'( R, u > 0)
u
u
u
2
'
)'( (u > 0)
Thầy.Nguyễn Quang Sơn ĐT:0909.230.970
________________________________________________________________________________
14
Hàm số sơ cấp Hàm hợp (u = u(x))
(e
x
)' = e
x
(a
x
)' = a
x
lna
(e
u
)' = e
u
.u'
(a
u
)' = a
u
lna.u'
x
x
1
)'(ln
a
x
x
a
ln
1
)'(log
u
u
u
'
)'(ln
a
u
u
u
a
ln
'
)'(log
MỘT SỐ CÔNG THỨC TÍNH ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ ĐẶC BIỆT:
(
d
cx
bax
)' =
2
)( dcx
bcad
2
22
)(
2
)'(
edx
dcbeaexadx
edx
cbxax
2 2
2 2 2
( ) 2( )
( )'
( )
ax bx c ae bd x af dc x bf ec
dx ex f dx ex f
NHỚ 20 : ĐỊNH LÝ LAGRĂNG
Nếu f(x) liên tục trên [a, b] và có đạo hàm trên khoảng (a, b) thì tồn tại ít nhất một điểm x = c
, c
(a, b): f(b) – f(a) = f
‘
(c)(b – a)
NHỚ 21 : BẢNG TÍCH PHÂN
1/. CÔNG THỨC NewTon _ Leibnitz :
b
a
b
a
aFbFxFdxxf )()()()(
(với F(x) là nguyên hàm của f(x) trên
,
a b
)
2/. TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN :
b
a
b
a
b
a
vduvuudv ].[
với u, v liên tục và có đạo hàm liên tục trên [a, b]
3/. ĐỔI CƠ SỐ:
dtttfdxxf
b
a
)(.)()(
'
với x =
(t) là hàm số liên tục và có đạo hàm
’
(t) liên tục trên [a, b] ,
t
a =
(
), b =
(
), f[
(t)] là hàm số liên tục trên [
,
]
4/. TÍNH CHẤT :
a)
b
a
a
b
dxxfdxxf )()(
b)
0)(
a
a
dxxf
c)
b
c
c
a
b
a
dxxfdxxfdxxf )()()(
d)
b
a
b
a
b
a
dxxgdxxfdxxgxf )()()]()([
2
1
)'
1
(
x
x
(x 0)
2
'
)'
1
(
u
u
u
(u 0)
(sinx)' = cosx
(cosx)' = -sinx
(tanx)' =
x
2
cos
1
(x
k
2
, k Z)
(cotx)' = -
x
2
sin
1
(x k, k Z).
(sinu)' = cosu.u'
(cosu)' = -sinu.u'
(tanu)' =
u
u
2
cos
'
(u
k
2
, k Z)
(cotu)' = -
u
u
2
sin
'
(u k, k Z).
Thầy.Nguyễn Quang Sơn ĐT:0909.230.970
________________________________________________________________________________
15
e)
b
a
b
a
RKdxxfKdxxKf ,)()(
f) Nếu m f(x) M thì
)()()( abMdxxfabm
b
a
5.BẢNG NGUYÊN HÀM CỦA CÁC HÀM SỐ ĐƠN GIẢN
u là hàm số theo biến x,
tức là
( )
u u x
*Trường hợp đặc biệt
, 0
u ax b a
*Ngun hàm c
ủa các h
àm s
ố đ
ơn gi
ản
dx x C
du u C
. .
k dx k x C
, k là hằng
số
. .
k du k u C
1
1
x
x dx C
1
1
u
u du C
1
1 ( )
( ) . .
1
ax b
ax b dx C
a
1
ln
dx x C
x
1
ln
du u C
u
1 1
ln
( )
dx ax b C
ax b a
1 1
2
dx C
x
x
1 1
2
u
u
dx C
1
2
dx x C
x
1
2
du u C
u
1 1
.2
du ax b C
a
ax b
*Ngun hàm c
ủa h
àm s
ố mũ
:
C
x x
e dx e
C
u u
e du e
1
ax b ax b
e dx e C
a
C
x x
e dx e
C
u u
e du e
,0 1
ln
C a
x
a
x
a dx
a
ln
C
u
a
u
a du
a
. , 0
1
ln
m
m
mx n
a
mx n
a dx C
a
*Ngun hàm của hàm số lượng giác:
cos . sin
C
x dx x
cos . sin
C
u du u
1
cos( ) sin( )
ax b dx ax b C
a
sin . cos
x dx x C
sin . cos
C
u du u
1
sin( ) cos( )
ax b dx ax b C
a
1
tan
2
cos
dx x C
x
1
tan
2
cos
u
du u C
1 1
tan( )
2
cos ( )
dx ax b C
a
ax b
1
cot
2
sin
dx x C
x
1
cot
2
sin
du u C
u
1 1
cot( )
2
sin ( )
dx ax b C
a
ax b
CHÚ Ý:
2 2
2 2
1 1
1 tan ;1 cot
cos sin
x x
x x
Thầy.Nguyễn Quang Sơn ĐT:0909.230.970
________________________________________________________________________________
16
Một số ví dụ trong trường hợp đặc biệt
*Trường hợp đặc biệt
u ax b
Ví dụ
1
cos . sin
k
kx dx kx C
,( 2)
2
1
cos 2 . sin 2 kx dx x C
1
sin . cos
k
kx dx kx C
2
1
sin 2 . cos 2
x dx x C
1
C
k
kx kx
e dx e
1
2
2 2
C
x x
e dx e
1
1 ( )
( ) . .
1
ax b
ax b dx C
a
2 1
2 3
1
.(
2 2 1 6
1 (2 1)
(2 1) . . 2 1)
x
x dx C x C
1 1
ln
( )
dx ax b C
ax b a
3
1 1
ln 3 1
3 1
dx x C
x
1 1
.2
du ax b C
a
ax b
2
3 3
1 1
.2 3 5 3 5
3 5
du x C x C
x
1
ax b ax b
e dx e C
a
2
1
2 1 2 1x x
e dx e C
. , 0
1
ln
m
m
mx n
a
mx n
a du C
a
5
5 .
2
2 1
1
2 1
ln 5
x
x
dx C
1
cos( ) sin( )
ax b dx ax b C
a
2
1
cos(2 1) sin(2 1)
x dx x C
1
sin( ) cos( )
ax b dx ax b C
a
3
1
sin(3 1) cos(3 1)
x dx x C
1 1
tan( )
2
cos ( )
dx ax b C
a
ax b
2
1 1
tan(2 1)
2
cos (2 1)
dx x C
x
1 1
cot( )
2
sin ( )
dx ax b C
a
ax b
3
1 1
cot(3 1)
2
sin (3 1)
dx x C
x
*Chú ý: Những công thức trên có thể chứng minh bằng cách lấy đạo hàm vế trái hoặc tính bằng phương
pháp đổi biến số đặt
.?. .?.
u ax b du dx dx du
Ví dụ: Chứng minh
, 0
1
cos( ) sin( ) aax b dx ax b C
a
Giải: Đặt
1
) ' . .
(
b dx a dx dx du
a
u ax b du ax
Suy ra
1 1 1 1
cos( ) cos . . cos . .sin sin( )
ax b dx u du u du u C ax b C
a a a a
2 2
1 1
ln
2
x a
dx
x a a x a
NHÔÙ 22 : HOAÙN VÒ _ TOÅ HÔÏP _ CHÆNH HÔÏP
1/. HOAÙN VÒ :
!nP
n
2/. TOÅ HÔÏP :
!
!( )!
k
n
n
C
k n k
Thầy.Nguyễn Quang Sơn ĐT:0909.230.970
________________________________________________________________________________
17
Kn
n
K
n
CC
1
0
n
n
n
CC
K
n
K
n
K
n
CCC
1
11
nn
nnn
CCC 2
10
3/. CHÆNH HÔÏP :
)0(
)!(
!
nK
Kn
n
A
K
n
NHÔÙ 23 : SOÁ PHÖÙC
1. KHÁI NIỆM SỐ PHỨC:
Tập hợp số phức: C
Số phức (dạng đại số) :
z a bi
(a, b
R
, a là phần thực, b là phần ảo, i là đơn vị ảo, i
2
= –1)
z là số thực phần ảo của z bằng 0 (b = 0)
z là thuần ảo phần thực của z bằng 0 (a = 0)
Số 0 vừa là số thực vừa là số ảo.
Hai số phức bằng nhau:
'
’ ’ ( , , ', ' )
'
a a
a bi a b i a b a b R
b b
2. BIỂU DIỄN HÌNH HỌC: Số phức z = a + bi (a, b
)
R
được biểu diễn bởi điểm M(a; b) hay bởi
( ; )
u a b
trong mp(Oxy) (mp phức)
3. CỘNG TRỪ SỐ PHỨC:
’ ’ ’ ’
a bi a b i a a b b i
’ ’ ’ ’
a bi a b i a a b b i
Số đối của z = a + bi là –z = –a – bi
u
biểu diễn z,
'
u
biểu diễn z' thì
'
u u
biểu diễn z + z’ và
'
u u
biểu diễn z – z’.
4. NHÂN HAI SỐ PHỨC :
' ' ’– ’ ’ ’
a bi a b i aa bb ab ba i
( ) ( )
k a bi ka kbi k R
5. SỐ PHỨC LIÊN HỢP: của số phức z = a + bi là
z a bi
1 1
2 2
; ' '; . ' . ';
z z
z z z z z z z z z z
z z
;
2 2
.
z z a b
z là số thực
z z
; z là số ảo
z z
6. MÔĐUN CỦA SỐ PHỨC : z = a + bi
2 2
z a b zz OM
0, , 0 0
z z C z z
. ' . '
z z z z
'
'
z z
z
z
' ' '
z z z z z z
7. CHIA HAI SỐ PHỨC:
1
2
1
z z
z
(z
0)
1
2
' '. '.
'
.
z z z z z
z z
z z z
z
'
'
z
w z wz
z
8. CĂN BẬC HAI CỦA SỐ PHỨC:
z x yi
Là căn bậc hai của số phức
w a bi
2
z w
2 2
2
x y a
xy b
Thầy.Nguyễn Quang Sơn ĐT:0909.230.970
________________________________________________________________________________
18
w = 0 Có đúng 1 căn bậc hai là z = 0.
w
0
Có đúng hai căn bậc hai đối nhau.
Hai căn bậc hai của a > 0 là
a
Hai căn bậc hai của a < 0 là
.
a i
9. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI :Az
2
+ Bz + C = 0 (*) (A, B, C là các số phức cho trước, A
0
).
2
4
B AC
0
: (*) có hai nghiệm phân biệt
1,2
2
B
z
A
, (
là 1 căn bậc hai của )
0
: (*) có 1 nghiệm kép:
1 2
2
B
z z
A
Chú ý: Nếu z
0
C là một nghiệm của (*) thì
0
z
cũng là một nghiệm của (*).
10. DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC:
(cos sin )
z r i
(r > 0) là dạng lương giác của z = a + bi (z
0)
2 2
cos
sin
r a b
a
r
b
r
là một acgumen của z,
( , )
Ox OM
1 cos sin ( )
z z i R
11. NHÂN CHIA SỐ PHỨC DƯỚI DẠNG LƯỢNG GIÁC:
Cho
(cos sin ), ' '(cos ' sin ')
z r i z r i
:
. ' '. cos( ') sin( ')
z z rr i
cos( ') sin( ')
' '
z r
i
z r
12. CƠNG THỨC Moa–vrơ:
(cos sin ) (cos sin )
n
n
r i r n i n
, (
*
n N
)
cos sin cos sin
n
i n i n
13. Căn bậc hai của số phức dưới dạng lượng giác:
Số phức
(cos sin )
z r i
(r > 0) có hai căn bậc hai là:
cos sin
2 2
cos sin cos sin
2 2 2 2
r i
và r i r i
Mở rộng: Số phức
(cos sin )
z r i
(r > 0) có n căn bậc n là:
2 2
cos sin , 0,1, , 1
n
k k
r i k n
n n
NHỚ 24 : PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG
A. VECTƠ VÀ TỌA ĐỘ :
x
y
i
j
O
O
y
x
M
2
M
1
M(x;y)
Thầy.Nguyễn Quang Sơn ĐT:0909.230.970
________________________________________________________________________________
19
Nếu
a
=x
i
+y
j
thì cặp số (x;y) là toạ độ của
a
.Ký hiệu
a
= (x ; y) hoặc
a
(x ; y)
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tọa độ của vectơ
OM
được gọi là tọa độ của điểm M. Như
vậy, cặp số (x ; y) là tọa độ của M
OM
=(x ; y)
M(x ; y)
OM
xi y j
OM
=(x;y)
a. Tọa độ điểm:
Cho A( x
A
, y
A
) B( x
B
, y
B
):
1).
),(
ABAB
yyxxAB
3). Tọa độ trung điểm I của AB :
2
2
BA
BA
yy
y
xx
x
2).
2
),(
ABAB
yyxxAB 5) Tọa độ trọng tâm G: ;
3 3
A B C A B C
x x x y y y
4). Tọa độ điểm M chia AB theo tỉ số k 1 :
k
yky
y
k
xkx
x
BA
BA
1
.
1
.
5)Cho ABC với đường phân giác trong AD và phân giác ngồi AE (D, E BC) ta có:
AB
DB DC
AC
.
AB
EB EC
AC
.
.
b. Tọa độ véctơ: Cho : ),(
21
aaa
),(
21
bbb
:
1).
22
11
ba
ba
ba
2).
),(
2211
bababa
3)
1 2
. ( , ),( )
k a ka ka k R
4).
2211
bababa
6) 0
2211
bababa 5).
2
2
2
1
aaa
7).
1 1 2 2
2 2 2 2
1 2 1 2
.
,
.
a b a ba b
Cos a b
a b
a a b b
8)
1 2 2 1
a b a b a b
NHỚ 25: ĐƯỜNG THẲNG
1/. PHƯƠNG TRÌNH THAM SỐ:
tayy
taxx
20
10
Vectơ chỉ phương: ),(
21
aaa
VÉCTƠ CHỈ PHƯƠNG:Là véc tơ song song hoặc nằm trên đường thẳng.
2/. PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT :
Dạng 1:
2 2
0,( 0)
Ax By C A B
.Pháp vectơ ),( BAn
Dạng 2:
0 0
( ) ( ) 0
A x x B y y
.Khi biết đường thẳng đi qua điểm
0 0
( ; )
M x y
VÉC TƠ PHÁP TUYẾN:Là véc tơ có phương vng góc với đường thẳng.
CHÚ Ý:
Có VTPT:
( ; )
n A B
VTCP: ),( ABa
( hay ),( ABa
),Và ngược lại.
Hệ số góc:
( 0)
A
k B
B
Thầy.Nguyễn Quang Sơn ĐT:0909.230.970
________________________________________________________________________________
20
4/. Phương trình đường thẳng qua M( x
0
, y
0
) có hệ số góc k :
0 0
( )
y k x x y
5/. Phương trình đường thẳng qua A(x
A
, y
A
) và B(x
B
, y
B
) :
(x – x
A
)(y
B
– y
A
) = (y – y
A
)(x
B
– x
A
) hay
AB
A
AB
A
yy
yy
xx
xx
6/. Phương trình đường thẳng qua A( a, 0) , B( 0,b) ( đọan chắn):
1
b
y
a
x
7/. Phương trình chính tắc :
b
yy
a
xx
00
),(),,(
00
baayxM
* Quy ước : 0
0
0
00
xx
b
yyxx
0
0
0
00
yy
yy
a
xx
8/. Khoảng cách từ một điểm M(x
0
, y
0
) đến (d):Ax + By + C = 0 :
0 0
,( )
2 2
M d
Ax By C
d
A B
10/. Vò trí tương đối của hai đường thẳng : d
1
: A
1
x + B
1
y + C
1
= 0
d
2
: A
2
x + B
2
y + C
2
= 0
2
1
2
1
B
B
A
A
D
;
2
1
2
1
B
B
C
C
D
x
;
2
1
2
1
C
C
A
A
D
y
d
1
cắt d
2
0
D ; 0
21
yx
DDDdd ;
0
0
//
21
x
D
D
dd
hay
0
0
y
D
D
Chú ý :A
2
, B
2
, C
2
0
d
1
cắt d
2
2
1
2
1
B
B
A
A
;
2
1
2
1
2
1
21
//
C
C
B
B
A
A
dd
;
2
1
2
1
2
1
21
C
C
B
B
A
A
dd
11/. Góc của hai đường thẳng d
1
và d
2
:
Xác đònh bởi công thức :
2
2
2
2
2
1
2
1
2121
BABA
BBAA
Cos
Cho
ABC. Để tính góc A trong
ABC, ta có thể sử dụng cơng thức:
AB AC
A AB AC
AB AC
.
cos cos ,
.
12/. Phương trình đường phân giác của các góc tạo bởi d
1
và d
2
:
2
2
2
2
222
2
1
2
1
111
BA
CyBxA
BA
CyBxA
* Chú ý :
Dấu của:
21
nn
Phương trình đường phân
giác góc nhọn tạo bởi d
1
, d
2
Phương trình đường phân
giác góc tù tạo bởi d
1
, d
2
–
t
1
= t
2
t
1
=
–
t
2
+
t
1
=
–
t
2
t
1
= t
2
Thầy.Nguyễn Quang Sơn ĐT:0909.230.970
________________________________________________________________________________
21
13.CÁC DẠNG TOÁN CƠ BẢN:
a. Chú ý:
'
'
d
d
d d n n
/
/
/
d
d
d
d
n u
d d
u n
NHỚ 26: ĐƯỜNG TRÒN
1/. Đònh nghóa : M (c) OM = R
2/. Phương trình đường tròn tâm I( a, b) bán kính R :
Dạng 1 :
2 2 2
( ) ( )
x a y b R
Dạng 2 :
2 2
2 2 0
x y ax by c
,(ĐK
2 2
0
a b c
)
Với Tâm I(a,b) Bán kính
2 2 2
0
R a b c
3.Cách lập phương trình đường tròn các dạng cơ bản:
Để lập phương trình đường tròn (C) ta thường cần phải xác định tâm I (a; b) và bán kính R của (C). Khi đó
phương trình đường tròn (C) là:
x a y b R
2 2 2
( ) ( )
Dạng 1: (C) có tâm I và đi qua điểm A. Bán kính R = IA.
Dạng 2: (C) có tâm I và tiếp xúc với đường thẳng
. Bán kính R =
d I
( , )
.
Dạng 3: (C) có đường kính AB. Tâm I là trung điểm của AB. Bán kính R =
AB
2
.
Dạng 4: (C) đi qua hai điểm A, B và có tâm I nằm trên đường thẳng
.
– Viết phương trình đường trung trực d của đoạn AB.
– Xác định tâm I là giao điểm của d và
.
– Bán kính R = IA.
Dạng 5: (C) đi qua hai điểm A, B và tiếp xúc với đường thẳng
.
– Viết phương trình đường trung trực d của đoạn AB.
– Tâm I của (C) thoả mãn:
I d
d I IA
( , )
.
– Bán kính R = IA.
Dạng 6: (C) đi qua điểm A và tiếp xúc với đường thẳng
tại điểm B.
– Viết phương trình đường trung trực d của đoạn AB.
– Viết phương trình đường thẳng
đi qua B và vng góc với
.
– Xác định tâm I là giao điểm của d và
.
– Bán kính R = IA.
Dạng 7: (C) đi qua điểm A và tiếp xúc với hai đường thẳng
1
và
2
.
– Tâm I của (C) thoả mãn:
d I d I
d I IA
1 2
1
( , ) ( , ) (1)
( , ) (2)
– Bán kính R = IA.
Chú ý: – Muốn bỏ dấu GTTĐ trong (1), ta xét dấu miền mặt phẳng định bởi
1
và
2
hay xét dấu khoảng cách đại số từ A đến
1
và
2
.
– Nếu
1
//
2
, ta tính R =
d
1 2
1
( , )
2
, và (2) được thay thế bới IA = R.
x
y
O
);( baI
R
a
b
);( yxM
Thầy.Nguyễn Quang Sơn ĐT:0909.230.970
________________________________________________________________________________
22
Dạng 8: (C) tiếp xúc với hai đường thẳng
1
,
2
và có tâm nằm trên đường thẳng d.
– Tâm I của (C) thoả mãn:
d I d I
I d
1 2
( , ) ( , )
.
– Bán kính R = d I
1
( , )
.
Dạng 9: (C) đi qua ba điểm không thẳng hàng A, B, C (đường tròn ngoại tiếp tam giác).
Cách 1: – Phương trình của (C) có dạng: x y ax by c
2 2
2 2 0
(*).
– Lần lượt thay toạ độ của A, B, C vào (*) ta được hệ phương trình.
– Giải hệ phương trình này ta tìm được a, b, c
phương trình của (C).
Cách 2: – Tâm I của (C) thoả mãn:
IA IB
IA IC
.
– Bán kính R = IA = IB = IC.
Dạng 10: (C) nội tiếp tam giác ABC.
– Viết phương trình của hai đường phân giác trong của hai góc trong tam giác
– Xác định tâm I là giao điểm của hai đường phân giác trên.
– Bán kính R =
d I AB
( , )
.
4. Vị trí tương đối của đường thẳng d và đường tròn (C)
Để biện luận số giao điểm của đường thẳng d:
Ax By C
0
và đường tròn (C):
x y ax by c
2 2
2 2 0
, ta có thể thực hiện như sau:.
Cách 1: So sánh khoảng cách từ tâm I đến d với bán kính R.
– Xác định tâm I và bán kính R của (C).
– Tính khoảng cách từ I đến d.
+
d I d R
( , )
d cắt (C) tại hai điểm phân biệt.
+
d I d R
( , )
d tiếp xúc với (C).(Cách tìm tọa độ tiếp xúc:Viết phương trình đường
thẳng
qua I và vuông góc với d.
M d
.
+
d I d R
( , )
d và (C) không có điểm chung.
Cách 2: Toạ độ giao điểm (nếu có) của d và (C) là nghiệm của hệ phương trình:
Ax By C
x y ax by c
2 2
0
2 2 0
(*)
+ Hệ (*) có 2 nghiệm
d cắt (C) tại hai điểm phân biệt.
+ Hệ (*) có 1 nghiệm
d tiếp xúc với (C).
+ Hệ (*) vô nghiệm
d và (C) không có điểm chung.
5: Vị trí tương đối của hai đường tròn (C
1
) và (C
2
)
Để biện luận số giao điểm của hai đường tròn
(C
1
): x y a x b y c
2 2
1 1 1
2 2 0
, (C
2
): x y a x b y c
2 2
2 2 2
2 2 0
.
ta có thể thực hiện như sau:
Cách 1: So sánh độ dài đoạn nối tâm I
1
I
2
với các bán kính R
1
, R
2
.
+
R R I I R R
1 2 1 2 1 2
(C
1
) cắt (C
2
) tại 2 điểm.
+
I I R R
1 2 1 2
(C
1
) tiếp xúc ngoài với (C
2
).
+
I I R R
1 2 1 2
(C
1
) tiếp xúc trong với (C
2
).
+
I I R R
1 2 1 2
(C
1
) và (C
2
) ở ngoài nhau.
+
I I R R
1 2 1 2
(C
1
) và (C
2
) ở trong nhau.
Cách 2: Toạ độ các giao điểm (nếu có) của (C
1
) và (C
2
) là nghiệm của hệ phương trình:
x y a x b y c
x y a x b y c
2 2
1 1 1
2 2
2 2 2
2 2 0
2 2 0
(*)
+ Hệ (*) có hai nghiệm
(C
1
) cắt (C
2
) tại 2 điểm.
+ Hệ (*) có một nghiệm
(C
1
) tiếp xúc với (C
2
).
+ Hệ (*) vô nghiệm
(C
1
) và (C
2
) không có điểm chung.
Thầy.Nguyễn Quang Sơn ĐT:0909.230.970
________________________________________________________________________________
23
6: Tiếp tuyến của đường tròn (C)
Cho đường tròn (C) có tâm I, bán kính R và đường thẳng
.
tiếp xúc với (C)
d I R
( , )
Dạng 1: Tiếp tuyến tại một điểm
M x y
0 0 0
( ; )
(C).
–
đi qua
M x y
0 0 0
( ; )
và có VTPT
IM
0
.
Dạng 2: Tiếp tuyến có phương cho trước.
– Viết phương trình của
có phương cho trước (Dạng Ax + By + m = 0,(A,B) đã biết).
– Dựa vào điều kiện:
d I R
( , )
, ta tìm được m. Từ đó suy ra phương trình của
.
Dạng 3: Tiếp tuyến vẽ từ một điểm
A A
A x y
( ; )
ở ngồi đường tròn (C).
– Viết phương trình của
đi qua A (Dạng: A(x – x
A
) + B(y – y
A
) = 0).
– Dựa vào điều kiện:
d I R
( , )
, ta tìm được p trình bậc hai theo A,B. Từ đó suy ra phương trình
của
.
NHỚ 27: ELIP
PT chính tắc
Lý thuyết
2 2
2 2
2 2
1
( )
x y
a b
a b
2 2
2 2
2 2
1
( )
x y
a b
a b
Trục lớn, độ dài
Ox, 2a
Oy, 2b
Trục nhỏ, độ dài Oy, 2b Ox, 2a
Liên hệ a, b, c c
2
= a
2
– b
2
c
2
= b
2
– a
2
Tiêu điểm F
1
(– c, 0), F
2
( c, 0) F
1
(0,– c), F
2
( 0, c)
Đỉnh
A
1,2
( ± a, 0)
B
1,2
(0, ± b)
A
1,2
( ± a, 0)
B
1,2
(0, ± b)
Tâm sai
c
e
a
c
e
b
Đường chuẩn
a
x
e
b
y
e
Bán kính qua tiêu
MF
1
= a + ex
MF
2
= a – ex
MF
1
= b + ey
MF
2
= b – ey
Pt tiếp tuyến tại
M(x
0
, y
0
)
0 0
2 2
1
x x y y
a b
0 0
2 2
1
x x y y
a b
Pt hình chữ nhật cơ
sở
x a
y b
x a
y b
Điều kiện tiếp xúc
với Ax + By + C = 0
A
2
a
2
+ B
2
b
2
= C
2
A
2
a
2
+ B
2
b
2
= C
2
NHỚ 28: HYPEBOL
(C)
I(a;b)
)(
);(
000
yxM
Thầy.Nguyễn Quang Sơn ĐT:0909.230.970
________________________________________________________________________________
24
PT chính tắc
Lý thuyết
2 2
2 2
1
x y
a b
2 2
2 2
1
y x
b a
Trục thực, độ dài
Ox,
2
a
Oy, 2b
Trục ảo, độ dài
Oy, 2b
Ox, 2a
Liên hệ a, b, c
c
2
= a
2
+ b
2
c
2
= a
2
+ b
2
Tiêu điểm F
1
(– c, 0), F
2
( c, 0) F
1
(0,– c), F
2
( 0, c)
Đỉnh A
1,2
( ± a, 0) B
1,2
(0, ± b)
Tâm sai
c
e
a
c
e
b
Đường chuẩn
a
x
e
b
y
e
Tiệm cận
b
y x
a
b
y x
a
Bán kính qua tiêu
M
nhánh phải
MF
1
= ex + a
MF
2
= ex – a
M
nhánh trái
MF
1
= – (ex + a)
MF
2
= – (ex – a)
M
nhánh phải
MF
1
= ey + b
MF
2
= ey – b
M
nhánh trái
MF
1
= – (ey + b)
MF
2
= – (ey – b)
Pt tiếp tuyến tại
M(x
0
, y
0
)
0 0
2 2
1
x x y y
a b
0 0
2 2
1
y y x x
b a
Điều kiện tiếp xúc
với Ax + By + C = 0
A
2
a
2
– B
2
b
2
= C
2
B
2
b
2
– A
2
a
2
= C
2
NHỚ 29: PARAPOL
Pt chính tắc
Lý thuyết
y
2
= 2px y
2
= – 2px y
2
= 2py y
2
= – 2py
Tiêu điểm
,0
2
p
F
,0
2
p
F
0,
2
p
F
0,
2
p
F
Đường chuẩn
2
p
x
2
p
x
2
p
y
2
p
y
Điều kiện tiếp xúc
với Ax + By + C = 0
B
2
p = 2AC B
2
p = – 2AC A
2
p = 2BC A
2
p = – 2BC
NHỚ 30 : PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
Hệ tọa độ Đêcac vng góc trong khơng gian
Cho ba trục Ox, Oy, Oz vng góc với nhau từng đơi một và chung một điểm gốc O. Gọi
i j k
, ,
là các
vectơ đơn vị, tương ứng trên các trục Ox, Oy, Oz. Hệ ba trục như vậy gọi là hệ tọa độ Đêcac vng góc
Oxyz hoặc đơn giản là hệ tọa độ Oxyz.
Chú ý:
2 2 2
1
i j k
và
0
i j i k k j. . .
.
2. Tọa độ của vectơ:
a) Định nghĩa:
u x y z u xi y j zk
; ;
Thầy.Nguyễn Quang Sơn ĐT:0909.230.970
________________________________________________________________________________
25
b) Tính chất: Cho
1 2 3 1 2 3
a a a a b b b b k R
( ; ; ), ( ; ; ),
1 1 2 2 3 3
a b a b a b a b
( ; ; )
1 2 3
ka ka ka ka
( ; ; )
1 1
2 2
3 3
a b
a b a b
a b
0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1
i j k
( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )
a
cùng phương
0
b b
( )
a kb k R
( )
1 1
3
1 2
2 2 1 2 3
1 2 3
3 3
0
a kb
aa a
a kb b b b
b b b
a kb
, ( , , )
1 1 2 2 3 3
a b a b a b a b
. . . .
1 1 2 2 3 3
0
a b a b a b a b
2 2 2 2
1 2 3
a a a a
2 2 2
1 2 2
a a a a
1 1 2 2 3 3
2 2 2 2 2 2
1 2 3 1 2 3
a b a b a b
a b
a b
a b
a a a b b b
.
cos( , )
.
.
(với
0
a b,
)
3. Tọa độ của điểm:
a) Định nghĩa:
M x y z OM x y z
( ; ; ) ( ; ; )
(x : hoành độ, y : tung độ, z : cao độ)
Chú ý:
M
(Oxy)
z = 0; M
(Oyz)
x = 0; M
(Oxz)
y = 0
M
Ox
y = z = 0; M
Oy
x = z = 0; M
Oz
x = y = 0
b) Tính chất: Cho
A A A B B B
A x y z B x y z
( ; ; ), ( ; ; )
B A B A B A
AB x x y y z z
( ; ; )
2 2 2
B A B A B A
AB x x y y z z
( ) ( ) ( )
Toạ độ điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k (k≠1):
MA kMB
1 1 1
A B A B A B
x kx y ky z kz
M
k k k
; ;
Toạ độ trung điểm M của đoạn thẳng AB:
2 2 2
A B A B A B
x x y y z z
M ; ;
Toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC:
3 3 3
A B C A B C A B C
x x x y y y z z z
G ; ;
Toạ độ trọng tâm G của tứ diện ABCD:
4 4 4
A B C D A B C D A B C C
x x x x y y y y z z z z
G ; ;
4. Tích có hướng của hai vectơ:
a) Định nghĩa: Cho
1 2 3
a a a a
( , , )
,
1 2 3
b b b b
( , , )
.
2 3 3 1
1 2
2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1
2 3 3 1 1 2
a a a a
a a
a b a b a b a b a b a b a b a b
b b b b b b
, ; ; ; ;
Chú ý: Tích có hướng của hai vectơ là một vectơ, tích vô hướng của hai vectơ là một số.
b) Tính chất:
i j k j k i k i j
, ; , ; ,
a b a a b b
[ , ] ; [ , ]
