(QUAN TRỌNG) Kiến thức Toán 9 cần nhớ khi thi vào 10

Page, web: daytoan.edu.vn
FB: Luyệnthi cấpba Luyệnthi Đạihọc

HL: 0947 00 88 49
Thiên Lôi + Lương Khánh Thiện - HP
Kiến thức cần nhớ
Số học
1. Cho đường thẳng (d): y = ax + b có hệ số góc là a.
- Để (d) là hàm số bậc nhất thì a  0.
- Hàm số đồng biến khi a >0
- Hàm số nghịch biến khi a < 0
- (d) cắt Oy tại điểm có tung độ là b với b  0
- (d) cắt Ox tại điểm có hoành độ là m thì (d) đi qua điểm có tọa độ (m;0), ta thay tọa độ vào (d)
- (d) tạo với chiều dương Ox 1 góc  : + Nếu a > 0 thì tan  = a
+ Nếu a < 0 thì tan( 180 -  ) = -a
1
- (d) cắt trục hoành, trục tung lần lượt tại A và B thì diện tích tam giác OAB là: S = 2 .OA.OB
2. Cho 2 đường thẳng (d): y = ax + b và (d’): y = a’x + b’
a  a '
- Nếu (d) cắt (d’) tại 1 điểm trên Oy thì 
b  b '
𝑎 ≠ 𝑎′
- Nếu (d) cắt (d’) tại 1 điểm trên trục hoành Ox thì { 𝑎𝑥 + 𝑏 = 0 ( tức là y = 0)
𝑎′ 𝑥 + 𝑏 ′ = 0
𝑎 ≠ 𝑎′
- Nếu (d) cắt (d’) tại 1 điểm có hoành độ bằng m thì { 𝑦 = 𝑎. 𝑚 + 𝑏
𝑦 = 𝑎′ . 𝑚 + 𝑏′
𝑎 ≠ 𝑎′
- Nếu (d) cắt (d’) tại 1 điểm có tung độ bằng n thì { 𝑎. 𝑥 + 𝑏 = 𝑛
𝑎′ . 𝑥 + 𝑏 ′ = 𝑛
(d) cắt (d’)  a  a’

(d)  (d’)  a.a’ = -1
a  a '
a  a '
(d) //(d’)  
(d) trùng (d’)  
b  b '
b  b '
3. Xét (P): y = ax 2 và (d): y = bx + c
- Hàm số (P) là hàm số bậc hai khi a  0.
- Hàm số (P) đồng biến khi a và x cùng dấu, nghịch biến khi a và x trái dấu
- Giá trị nhỏ nhất hoặc giá trị lớn nhất bằng 0 khi x = 0
- Đồ thị hàm số (P) là 1 Parabol có đỉnh O, nằm phía trên hoặc phía dưới Ox, nhận trục Oy làm trục đối xứng
- Xét phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d): ax 2 = bx + c (*)
+ (d) không cắt (P)  phương trình (*) vô nghiệm
+ (d) cắt (P) tại 1 điểm( (d) tiếp xúc với (P))  phương trình (*) có nghiệm kép
+ (d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt  phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt
ax  by  c
4. Xét hệ phương trình: 
a ' x  b ' y  c '
a b c
- Hệ vô nghiệm 
 
a' b' c'
a b
- Hệ có nghiệm duy nhất 

a' b'
a b c
- Hệ vô số nghiệm 
 

a' b' c'
- Hai hệ phương trình được gọi là tương đương nếu chúng có cùng tập nghiệm hoặc chúng cùng vô nghiệm
5. Phương trình bậc nhất 1 ẩn: ax + b =0
a  0
- Phương trình vô nghiệm  
b  0
- Phương trình có nghiệm duy nhất  a  0
a  0
- Phương trình vô số nghiệm  
b  0
1


Page, web: daytoan.edu.vn
FB: Luyệnthi cấpba Luyệnthi Đạihọc

HL: 0947 00 88 49
Thiên Lôi + Lương Khánh Thiện - HP

b

S  x1  x2  


a
6. Phương trình bậc hai 1 ẩn: ax 2  bx  c  0 (1) (a  0), ∆ = 𝑏 2 − 4𝑎𝑐. Định lí vi-ét: 
 P  x .x  c
1 2

a

- Phương trình (1) vô nghiệm  ∆ < 0
- Phương trình (1) có nghiệm ( có 2 nghiệm )  ∆  0
b  
b  
- Phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt  ∆ > 0. Hai nghiệm pb là: x1 
; x2 
2a
2a
∆> 0
- Phương trình (1) có 2 nghiệm pb dương  {𝑥1 + 𝑥2 > 0
𝑥1 . 𝑥2 > 0
-

∆> 0
Phương trình (1) có 2 nghiệm pb âm  {𝑥1 + 𝑥2 < 0
𝑥1 . 𝑥2 > 0

-

Phương trình (1) có 2 nghiệm trái dấu  a.c < 0

-

Phương trình (1) có 2 nghiệm cùng dấu  {

-

Nếu phương trình (1) có dạng a + b +c = 0 thì phương trình (1) có 2 nghiệm x1  1; x2 

∆≥0

𝑎𝑐 > 0
c
a

c
a
- Phương trình (1) có ít nhất 1 nghiệm dương ( có nghiệm dương) ta xét các trường hợp có thể xảy ra:
+ Trường hợp 1: Phương trình có 2 nghiệm trái dấu  a.c < 0
∆=0
+ TH 2: Phương trình (1) có nghiệm kép dương  { -b
2a > 0
∆≥0
+ TH 3: Pt (1) có 2 no dương { 𝑆 > 0
𝑃>0
∆>0
+ TH 4: Pt (1) có 1 no =0 và 1 no > 0 { 𝑆 > 0
𝑃=0
- Phương trình (1) có ít nhất 1 nghiệm âm: tương tự 4 trường hợp
- Phương trình (1) có nghiệm không dương ta xét các trường hợp xảy ra:
+ TH 1: phương trình (1) có 2 nghiệm trái dấu  a.c < 0

-

Nếu a – b + c = 0 thì phương trình (1) có 2 nghiệm x1  1; x2  

∆≥0
𝑃=0
∆≥0
+ TH 3: Phương trình (1) có 2 nghiệm âm  { 𝑆 < 0
𝑃>0

+TH 2: Phương trình (1) có 1 nghiệm = 0  {




Phương trình (1) có nghiệm không âm ta xét tương tự.
Nếu 2 số có tổng là S, tích là P thì 2 số là nghiệm của phương trình: X 2  SX  P  0 . Điều kiện để phương
trình có nghiệm là S 2  4P
Một số công thức đặc biệt có thể sử dụng:

+ A( x1 ; y1 ), B( x2 ; y2 ) thì khoảng cách từ A đến B là: AB =
+ Nếu I( xI ; yI ) là trung điểm của AB thì xI 
+ tan  =

 x2  x1    y2  y1 

x1  x2
y  y2
; yI  1
2
2

sin 
cos
; cot  =
; sin 2   cos2  1
cos
sin 

2

2

2


Page, web: daytoan.edu.vn
FB: Luyệnthi cấpba Luyệnthi Đạihọc

HL: 0947 00 88 49
Thiên Lôi + Lương Khánh Thiện - HP
ÔN TẬP HÌNH HỌC CẤP 2

1) Hai đường thẳng song song:
ˆ và B
ˆ và B
ˆ ;A
ˆ bằng nhau
- Các cặp góc so le trong: A
3
2
4
1
ˆ và B
ˆ và B
ˆ và B
ˆ và B
ˆ ;A
ˆ ;A
ˆ ;A

ˆ
- Các cặp góc đồng vị: A
1

1

2

2

3

3

4

1 2
4 A

3

4

ˆ và B
ˆ và B
ˆ ;A
ˆ
- Các cặp góc trong cùng phía: A
3
1

4
2
ˆ và A
ˆ ;A
ˆ và A
ˆ ;B
ˆ và B
ˆ ;B
ˆ và B
ˆ
- Các cặp góc đối đỉnh: A
1
4
3
2
1
4
2
3
2) Từ vuông góc đến song song:
a  c
a  c
- 
- 
 a / / b
 b  c
b  c
a / / b

a

b

1
3

2
4B

3) Tam giác:
- Tổng ba góc của một tam giác bằng 180
- Góc ngoài của tam giác bằng tổng hai góc trong không kề
với nó.
A

1
c

A

B

B
C

3) Hai tam giác bằng nhau:
*) Cạnh – cạnh – cạnh:
A
Xét ABC và DEF có:
AB = DE

AC = DF
BC = EF
=> ABC = DEF (c.c.c)
B
C
*) Cạnh – góc – cạnh:
A
Xét ABC và DEF có:
AB = DE
ˆ =E
ˆ
B
BC = EF
=> ABC = DEF (c.g.c)
B
C
*) Góc – cạnh – góc:
Xét ABC và DEF có:
A
AB = DE
ˆ =E
ˆ
B
ˆ =D
ˆ
A
=> ABC = DEF (g.c.g)
4) Tam giác cân, tam giác đều
B
C

*) ĐN: Tam giác ABC cân tại A <=> AB = AC
ˆ
ˆ =C
*) Tính chất: Tam giác ABC cân tại A <=> B
*) ĐN: Tam giác đều là tam giác có 3 cạnh bằng nhau
*) Hệ quả: - Trong tam giác đều mỗi góc bằng 60
- Nếu tam giác có 3 góc bằng nhau thì tam giác đó là tam giác đều
- Nếu tam giác cân có 1 góc bằng 60 thì tam giác đó là tam giác đều
5) 4 trường hợp bằng nhau của tam giác vuông
+ Cạnh huyền – góc nhọn
+ Cạnh huyền – cạnh góc vuông
+ Hai cạnh góc vuông ( c.g.c)
+ Cạnh góc vuông và góc nhọn kề cạnh ấy (g.c.g)
3

D

E

F
D

E

F
D

E

F

Page, web: daytoan.edu.vn
HL: 0947 00 88 49
FB: Luyệnthi cấpba Luyệnthi Đạihọc
Thiên Lôi + Lương Khánh Thiện - HP
6) Đường trung tuyến:
A
*) Định nghĩa:
Đường trung tuyến là đường thẳng nối đỉnh với trung điểm của cạnh đối diện
P
N
M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, AC, AB
G
=> AM, BN, CP lần lượt là đường trung tuyến của tam giác ABC, ba đường này
giao nhau tại G, G là trọng tâm của tam giác ABC
B
2
2
2
AG = AM ; BG  BN ; CG  CP
M
3
3
3
7) Đường phân giác:
*) ĐN: Tia phân giác là tia chia góc thành hai góc bằng nhau
A
*) Tính chất:
- Mọi điểm nằm trên tia phân giác của góc thì cách đều hai cạnh của góc ấy

P
N
- Mọi điểm cách đều hai cạnh của góc thì nằm trên tia phân giác của góc ấy
- Ba đường phân giác cùng đi qua một điểm, điểm đó gọi là tâm đường tròn
nội tiếp tam giác và cách đều 3 cạnh của tam giác.
B
M
C
8) Đường cao: là đường hạ từ đỉnh vuông góc với cạnh đối diện
*) Ba đường cao cùng đi qua một điểm. Điểm đó gọi là trực tâm tam giác

C

d M

9) Đường trung trực: là đường thẳng vuông góc tại trung điểm của đoạn thẳng
*) Tính chất:
A
I
B
- Mọi điểm thuộc đường trung trực của đoạn thẳng thì
cách đều hai mút của đoạn thẳng (M  d => MA = MB)
- Mọi điểm cách đều hai mút của đoạn thẳng thì thuộc đường trung trực của đoạn thẳng đó
*) Tính chất ba đường trung trực:
A
Ba đường trung trực cùng đi qua một điểm,
điểm đó cách đều ba đỉnh của tam giác
a
b
và là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác

10) Tính chất tam giác cân:
- Nếu tam giác ABC cân tại A thì đường cao đồng thời là đường
Trung tuyến, đường phân giác, đường trường.
- Nếu một tam giác có đường cao đồng thời là đường trung tuyến
B
c
C
(hoặc đường phân giác hoặc đường trung trực) thì tam giác đó là
Tam giác cân.
11) Hình thang:
*) ĐN: - Hình thang là tứ giác có hai cạnh đối song song
- Hình thang cân là hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau
- Hình thang vuông là hình thang có 1 góc vuông
*) Tính chất: - Trong hình thang cân, hai cạnh bên bằng nhau, hai đường chéo bằng nhau
*) DHNB: - Hình thang có hai góc kề một đáy là hình thang cân
A
- Hình thang có hai đường chéo bằng nhau là hình thang cân
12) Đường trung bình:
a) Đường trung bình của tam giác:
M
N
*) ĐN: ĐTB của tam giác là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh của tam giác
M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC => MN là ĐTB của  ABC
B
C
1
*) Tính chất: MN // = BC
2
- Nếu một đường thẳng đi qua trung điểm của một cạnh, song song với cạnh thứ hai thì đi qua trung điểm của cạnh
thứ ba ( M là trung điểm của AB, MN // BC => N là trung điểm của AC

A
B
b) ĐTB của hình thang: là đoạn thẳng nối trung điểm của hai cạnh bên
M, N lần lượt là trung điểm của AD, BC => MN là ĐTB của ABCD
M
N
*) Nếu một đường thẳng đi qua trung điểm của một cạnh bên và song
Song với hai đáy thì đi qua trung điểm của cạnh bên còn lại
M là trung điểm của AD, MN // AB // CD => N là trung điểm của BC
D
C
4


Page, web: daytoan.edu.vn
HL: 0947 00 88 49
FB: Luyệnthi cấpba Luyệnthi Đạihọc
Thiên Lôi + Lương Khánh Thiện - HP
13) Hình bình hành:
A
B
*) ĐN: HBH là tứ giác có các cạnh đối song song
*) Tính chất: Trong HBH có
- Các cạnh đối bằng nhau
- Các góc đối bằng nhau
- Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường
D
*) Dấu hiệu nhận biết: - Tứ giác có các cạnh đối song song là hbh C
- Tứ giác có các cạnh đối bằng nhau là hình bình hành
- Tứ giác có các góc đối bằng nhau là hình bình hành

- Tứ giác có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau là hình bình hành
d
- Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường là hình bình hành
14) Đối xứng:
a) Đối xứng trục: A đối xứng với B qua đường thẳng d thì d là đường trung trực của AB,
A
I
B
d gọi là trục đối xứng của đoạn AB
b) Đối xứng tâm: A đối xứng với B qua I thì I là trung
điểm của AB.
A
I
B
15) Hình chữ nhật:
*) ĐN: HCN là tứ giác có bốn góc vuông
B
*) Tính chất: Trong hình chữ nhật mang đầy đủ tính chất của hình bình hành A
- Hai đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường
*) Dấu hiệu nhận biết:
- Tứ giác có ba góc vuông là hình chữ nhật
- Hình bình hành có một góc vuông là hình chữ nhật
C
D
- Hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau là hình chữ nhật
- Hình thang cân có một góc vuông là hình chữ nhật
B
16) Hình thoi:
*) ĐN: Hình thoi là tứ giác có bốn cạnh bằng nhau
*) Tính chất: Trong hình thoi có đầy đủ tính chất của hình bình hành

A
C
- Hai đường chéo vuông góc với nahu
- Hai đường chéo là các đường phân giác của các góc của hình thoi
*) Dấu hiệu nhận biết:
D
- Tứ giác có bốn cạnh bằng nhau là hình bình hành
- Hình bình hành có hai đường chéo vuông góc là hình thoi
- Hình bình hành có một đường chéo là phân giác của một góc là hình thoi
- Hình bình hành có hai cạnh bên bằng nhau là hình thoi
A
B
17) Hình vuông:
*) ĐN: Hình vuông là tứ giác có bốn cạnh bằng nhau và bốn góc vuông
*) Tính chất: Hình vuông mang đầy đủ tính chất của hình thoi và HCN
*) Dấu hiệu nhận biết:
- Hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau là hình vuông
- Hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc với nhau là hình vuông
- Hình chữ nhật có một đường chéo là phân giác của một góc là hình vuông
D
C
- Hình thoi có hai đường chéo bằng nhau là hình vuông
- Hình thoi có một góc vuông là hình vuông
18) Diện tích:
a.h
- Nếu tam giác ABC là tam giác thường thì S =
với a là cạnh đáy tương ứng với đường cao h
2
AB. AC
- Nếu tam giác ABC vuông tại A thì S =

2
a  b  .h

- Diện tích hình thang ABCD: S =
với a, b là hai đáy, h là chiều cao
2
m.n
- Diện tích hình thoi: S =
- Diện tích hình chữ nhật: S = a.b
2
- Diện tích hình bình hành: S = a. h với a là cạnh đáy còn h là chiều cao - Diện tích hình vuông cạnh a: S = a 2
5


Page, web: daytoan.edu.vn
FB: Luyệnthi cấpba Luyệnthi Đạihọc
19) Định lí ta – lét; hai tam giác đồng dạng
20) Tính chất đường phân giác:
Xét tam giác ABC có:
AD là đường phân giác trong; AE là đường pgiac ngoài
AB BD AB BE
=>
;


AC CD AC CE

HL: 0947 00 88 49
Thiên Lôi + Lương Khánh Thiện - HP

A

21) Tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông:
- Nếu tam giác ABC vuông tại A có AM là đường trung
BC
E
tuyến thì AM =
2
C
- Nếu tam giác ABC có đường trung tuyến AM ứng với cạnh BC và AM =

B

D

BC
thì tam giác ABC vuông tại A
2

22) Các định lí sử dụng trong đường tròn:
22.1) – Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông là trung điểm của cạnh huyền
- Nếu một tam giác nội tiếp một đường tròn có một cạnh là đường kính thì tam giác đó là tam giác vuông
22.2) – Đường tròn có 1 tâm đối xứng
- Đường tròn có vô số trục đối xứng và các trục đối xứng là đường kính
22.3) Trong các dây của đường tròn thì dây lớn nhất là đường kính
22.4) Trong một đường tròn
- Đường kính vuông góc với dây thì đi qua trung điểm của dây
- Đường kính đi qua trung điểm của dây không đi qua tâm thì vuông góc với dây ấy
22.5) Trong một đường tròn:
- Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm, hai dây cách đều tâm thì bằng nhau

- Dây lớn hơn thì gần tâm hơn, dây gần tâm hơn thì lớn hơn
22.6) – Nếu một đường thẳng là tiếp tuyến của một đường tròn thì nó vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm
- Nếu một đường thẳng vuông góc với bán kính tại một điểm thuộc đường tròn thì nó là tiếp tuyến
22.7) Nếu hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại một điểm thì:
- Điểm đó cách đều hai tiếp điểm
- Tia kẻ từ điểm đó đi qua tâm là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến
- Tia kẻ từ tâm đi qua điểm đó là tia phân giác của góc tạo bởi hai bán kính
22.8) Nếu hai đường tròn cắt nhau tại hai điểm phân biệt thì đường nối tâm là đường trung trực của dây chung
23.9) Vị trí tương đối giữa hai đường tròn (O;R), (O’;R)
- R – R’ < OO’ < R + R’ => hai đường tròn cắt nhau
- R – R’ = OO’ => hai đường tròn tiếp xúc trong
- R + R’ = OO’ => hai đường tròn tiếp xúc ngoài
- R – R’ > OO’ => hai đường tròn đựng nhau
- R + R’ < OO’ => hai đường tròn ở ngoài nhau
22.10) Vị trí tương đối của đường thẳng a và đường tròn (O; R)
Gọi d là khoảng cách từ O tới a
- Nếu d > R thì a không cắt (O)
(Hình a)
- Nếu d = R thì a tiếp xúc với (O) hay a là tiếp tuyến của (O) (Hình b)
- Nếu d < R thì a cắt (O) tại hai điểm phân biệt A, B
(Hình c)

a
a
A

a
Hình a

Hình b

6

B
Hình c


Page, web: daytoan.edu.vn
HL: 0947 00 88 49
FB: Luyệnthi cấpba Luyệnthi Đạihọc
Thiên Lôi + Lương Khánh Thiện - HP
A
23. Hệ thức lượng trong tam giác vuông ABC đường cao AH:
2
2
- AB  BC.BH ; AC  BC.CH
- AH 2  BH .CH
B H
C
- AH. BC = AB.AC
24. Tỉ số lượng giác: sin  = đối / huyền; cos  = kề / huyền; tan  = đối / kề; cot  = kề / đối. (sin: đi học, cos:
không hư, tan: đoàn kết, cot: kết đoàn)
25. Trong một đường tròn:
- Hai cung bằng nhau căng hai dây bằng nhau và ngược lại
- Hai cung bị chắn giữa hai dây song song thì bằng nhau
- Đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì vuông góc với dây căng cung đó và ngược lại
- Đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì vuông góc với dây căng cung đó và ngược lại
26. Góc ở tâm là góc có đỉnh trùng với tâm của đường tròn
*) Tính chất: Góc có đỉnh ở tâm có số đo bằng số đo của cung bị chắn
27. Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây bằng nửa số đo của cung bị chắn
28. Góc có đỉnh ở bên trong đường tròn có số đo bằng nửa tổng hai cung bị chắn

29. Góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn có số đo bằng nửa hiệu hai cung bị chắn
30. Góc nội tiếp
*) ĐN: Góc nội tiếp là góc có đỉnh nằm trên đường tròn, hai cạnh là hai dây của đường tròn
*) Tính chất: Góc nội tiếp có số đo bằng nửa số đo cung bị chắn
*) Hệ quả: Trong một đường tròn
- Các góc bằng nhau thì chắn các cung bằng nhau
- Các góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau
- Các góc nội tiếp chắn các cung bằng nhau thì bằng nhau
- Góc nội tiếp có số đo  90 có số đo bằng nửa số đo của góc ở tâm cùng chắn một cung
- Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông và ngược lại, góc vuông nội tiếp thì chắn nửa đường tròn
- Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau
31. Dấu hiệu nhận tứ giác nội tiếp
31.1) Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 180
31.2) Tứ giác có góc ngoài bằng góc trong tại đỉnh đối diện
31.3) Tứ giác có hai đỉnh liền kề cùng nhìn một cạnh nối hai đỉnh còn lại dưới 2 góc bằng nhau
31.4) Tứ giác có bốn đỉnh cách đều một điểm (điểm dễ xác định). Điểm đó là tâm của đường tròn ngoại tiếp
26. Công thức tính chu vi đường tròn, diện tích hình tròn:
- Độ dài( chu vi) đường tròn bán kính R được tính theo công thức: C = 2  R
 Rn
- Độ dài cung có số đo n của đường tròn có bán kính R bằng: l =
180
- Diện tích hình tròn có bán kính R được tính theo công thức: S =  R 2
 R2n
- Diện tích hình quạt tròn có số đo cung n và bán kính R bằng: Sq 
360
4. Công thức toán hình học không gian:
Hình

S xq

Hình trụ
Hình nón

2 Rh
 Rl

Hình cầu

4 R 2

STP
2 Rh  2 R2
 Rl   R2

V

 R2h
1 2
R h
3
4
 R3
3

Chú ý:
- Quay ∆ vuông sẽ được hình nón, quay hình chữ nhật hoặc hình vuông sẽ được hình trụ, quay đường tròn
được hình cầu
- Quay quạnh cạnh nào thì cạnh đó là đường cao, cạnh vuông góc với nó là bán kính đáy.
- R: bán kính đáy, h: chiều cao, l: đường sinh ( l là cạnh huyền trong tam giác vuông, sử dụng định lí pytago ta
có: l 2  R2  h2 ). Trong hình trụ chiều cao cũng là đường sinh

7


Page, web: daytoan.edu.vn
FB: Luyệnthi cấpba Luyệnthi Đạihọc
(d): y = ax + b có hệ số góc là a.

HL: 0947 00 88 49
Thiên Lôi + Lương Khánh Thiện - HP

-

Để (d) là hàm số bậc nhất thì a  0.

-

Hàm số đồng biến khi a >0

-

Hàm số nghịch biến khi a < 0

(d): y = ax + b và (d’): y = a’x + b’
-

a  a '
(d) //(d’)  
b  b '

-

(d) cắt (d’)  a  a’

-

a  a '
(d) trùng (d’)  
b  b '

-

(d) cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng m thì thay x = m, y = 0 vào (d)

-

(d) cắt trục tung tại điểm có hoành độ bằng n thì thay x = 0, y = n vào (d)

-

a  a '
Nếu (d) cắt (d’) tại 1 điểm trên Oy thì 
(tức là x = 0)
b  b '

-

-

-

𝑎 ≠ 𝑎′
Nếu (d) cắt (d’) tại 1 điểm trên trục hoành Ox thì { 𝑎𝑥 + 𝑏 = 0 ( tức là y = 0)
𝑎′ 𝑥 + 𝑏 ′ = 0
𝑎 ≠ 𝑎′
Nếu (d) cắt (d’) tại 1 điểm có tung độ bằng n thì { 𝑎𝑥 + 𝑏 = 𝑛
𝑎′ 𝑥 + 𝑏 ′ = 𝑛
Nếu (d) cắt (d’) tại 1 điểm có hoành độ bằng m thì {

𝑎 ≠ 𝑎′
𝑥=𝑚
𝑎𝑥 + 𝑏 = 𝑎𝑥 ′ + 𝑏′

y = ax 2 (a  0). Hàm số (P) đồng biến khi a và x cùng dấu, nghịch biến khi a và x trái dấu

Phương trình bậc hai: ax 2  bx  c  0

 a  0 ∆ = 𝒃𝟐 − 𝟒𝒂𝒄, ∆’ = 𝒃′𝟐 − 𝒂𝒄 ; vi – ét:



phương trình có hai nghiệm khác dấu  ac < 0



phương trình có 2 nghiệm phân biệt  ∆ > 0 và 𝑥1 =



phương trình có 2 nghiệm (có nghiệm)  ∆ ≥ 0



b
phương trình có nghiệm kép  ∆ = 0 và 𝑥1 = 𝑥2 = −2a



𝑥 + 𝑥2 > 0
phương trình có 2 nghiệm dương phân biệt  ∆ > 0 và { 1
𝑥1 𝑥2 > 0



𝑥 + 𝑥2 < 0
phương trình có 2 nghiệm âm phân biệt  ∆ > 0 và { 1
𝑥1 𝑥2 > 0



Phương trình (1) có 2 nghiệm cùng dấu  {

∆≥0
𝑎𝑐 > 0
8

−𝑏+√∆
2𝑎

; x2 

b  
2a

b
𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 = − a
c
𝒙𝟏 𝒙𝟐 = a
{


Page, web: daytoan.edu.vn
HL: 0947 00 88 49
FB: Luyệnthi cấpba Luyệnthi Đạihọc
Thiên Lôi + Lương Khánh Thiện - HP
 Nếu 2 số có tổng là S, tích là P thì 2 số là nghiệm của phương trình: X 2  SX  P  0 . Điều kiện để phương
trình có nghiệm là S 2  4P


Phương trình (1) có ít nhất 1 nghiệm dương ( có nghiệm dương) ta xét các trường hợp có thể xảy ra:

+ Trường hợp 1: Phương trình có 2 nghiệm trái dấu  a.c < 0
∆=0
-b
+ TH 2: Phương trình (1) có nghiệm kép dương  {
2a > 0
∆≥0
+ TH 3: Pt (1) có 2 no dương { 𝑆 > 0
𝑃>0

KHÓ

∆>0
+ TH 4: Pt (1) có 1 no =0 và 1 no > 0 { 𝑆 > 0
𝑃=0


Phương trình (1) có ít nhất 1 nghiệm âm: tương tự 4 trường hợp



Phương trình (1) có nghiệm không dương ta xét các trường hợp xảy ra:

+ TH 1: phương trình (1) có 2 nghiệm trái dấu  a.c < 0
∆≥0
𝑃=0
∆≥0
+ TH 3: Phương trình (1) có 2 nghiệm âm  { 𝑆 < 0
𝑃>0
+TH 2: Phương trình (1) có 1 nghiệm = 0  {



Phương trình (1) có nghiệm không âm ta xét tương tự.

Công thức toán hình học không gian:

-

Hình

S xq

STP

Hình trụ

2 Rh

2 Rh  2 R2

Hình nón

 Rl

Hình cầu

4 R 2

 Rl   R2

V

 R2h
1 2
R h
3

4
 R3
3

Đường sinh : l 2  R2  h2 và diện tích hình tròn : S = π𝑅 2 , chu vi đường tròn: C = πd = 2πR
Quay quanh cái gì cái đó là đường cao h, cái vuông góc với nó là bán kính R, nếu là tam giác thì cạnh huyền
là đường sinh l. Trong hình trụ chiều cao cũng là đường sinh

9