XÁC ĐỊNH QUAN HỆ MỜ BẰNG MẠNG NƠRON NHÂN TẠO.doc

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI
KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN
---------------------

BÁO CÁO NGHIÊN CỨU KHOA HỌC
Tên đề tài:
XÁC ĐỊNH QUAN HỆ MỜ BẰNG MẠNG NƠRON
NHÂN TẠO
Giáo viên hướng dẫn : T.S Nguyễn Tân Ân
Sinh viên thực hiện : Nguyễn Thị Thuý Chinh.
Lớp : C-K54-CNTT.
Hà Nội 4/2008
B¸o c¸o nghiªn cøu khoa häc
PHẦN MỞ ĐẦU
1. Tên đề tài
Xác định quan hệ mờ bằng mạng nơron nhân tạo.
2. Lý do chọn đề tài
Từ 20 năm nay, lý thuyết tập mờ và mạng nơron nhân tạo đã phát triển rất
nhanh và đa dạng. Công nghệ mờ và công nghệ mạng nơron đã cung cấp
những công nghệ mới cho các ngành công nghiệp làm ra nhiều sản phẩm
thông minh, đáp ứng nhu cầu thị trường cần có những bộ điều khiển linh hoạt
hơn. Hệ mờ và mạng nơron được kết hợp với nhau để cùng phát huy những ưu
điểm của chúng. Một trong những dạng kết hợp đó là mạng nơron mờ, nhờ có
nó mà chúng ta đã giải quyết được rất nhiều bài toán khó mà với thuật giải
thông thì không thực hiện được hoặc nếu có thì cũng rất phức tạp và mất nhiều
thời gian.
Với bài toán xác định quan hệ giữa không gian vào và không gian ra dựa
trên các cặp phần tử vào ra đã biết. Cụ thể cho không gian vào
X
, không gian
ra

Y
và các cặp phần tử vào ra
( )
,x y
đã biết , tức là cho một phần tử
x XÎ
thì
có một phần tử ra tương ứng
y YÎ
. Yêu cầu bài toán đặt ra là xác định quan
hệ
R
giữa
X
và
Y
. Một trong những phương pháp thường được sử dụng để
giải quyết bài toán trên đó là phương pháp bình phương bé nhất. Để giảm độ
phức tạp và thời gian tính toán trong báo cào này tôi sử dụng một phương
pháp mới đó là dùng mạng nơron nhân tạo. Và quan hệ giữa không gian vào
và ra xác định được không phải là quan hệ bình thường mà là quan hệ mờ.
Bài nghiên cứu gồm những phần sau:
I. Tổng quan lý thuyết tập mờ và quan hệ mờ
Giới thiệu về khái niệm tập mờ, các phép toán trên tập mờ, quan hệ mờ.
II. Giới thiệu về mạng nơron nhân tạo.
Giới thiệu cấu trúc của một nơron, định nghĩa và phân loại mạng nơron,
các thủ học mạng nơron, thuật toán lan truyền ngược.
Sinh viªn: NguyÔn ThÞ Thuý Chinh – K54C - CNTT
2
Báo cáo nghiên cứu khoa học

III. Bi toỏn xỏc nh quan h m bng mng nron nhõn to
nh x bi toỏn xỏc nh quan h m lờn mng nron nhõn to, a ra
cỏch hun luyn mng. Cui cựng l demo thut toỏn xỏc nh quan h m
bng mng nron nhõn to.
I. Tng quan lý thuyt tp m v quan h m
1.1 Khỏi nim tp m
Tp m c xem l s m rng trc tip ca tp kinh in. Bõy gi ta
xột khỏi nim hm thuc ca tp kinh in.
nh ngha 1.1
Cho mt tp hp
A
. nh x
{ }
: 0,1U
m
đ
c nh ngha nh sau:
( )
1 nếu
0 nếu
A
x A
x
x A
m
ỡ
ẻ
ù
ù
=

ớ
ù
ẽ
ù
ợ
(1.1)
c gi l hm thuc ca tp
A
. Tp
A
l tp kinh in,
U
l khụng gian
nn. Nh vy hm thuc ca tp c in ch nhn hai giỏ tr l 0 hoc 1. Giỏ
tr 1 ca hm thuc
( )
A
x
m
cũn c gi l giỏ tr ỳng, ngc li 0 l giỏ tr
sai ca
( )
A
x
m
. Mt tp
U
luụn cú

( )

1
U
x
m
=
, vi mi
x
c gi l khụng gian nn (tp nn).
Mt tp
A
cú dng

{ }
thoả mãn một số tính chất nào đóA x U x= ẻ
thỡ c gi l cú tp nn
U
, hay c nh ngha trờn tp nn
U
. Vớ d tp
{ }
9 12A x x= < <ẻ Ơ
cú tp nn l tp cỏc s t nhiờn
Ơ
.
Sinh viên: Nguyễn Thị Thuý Chinh K54C - CNTT
3
Báo cáo nghiên cứu khoa học
Hm thuc
( )
A

x
m
nh ngha trờn tp
A
, trong khỏi nim kinh in ch
cú hai giỏ tr l 1 nu
x Aẻ
hoc 0 nu
x Aẽ
. Hỡnh 1.1 mụ t hm thuc ca
hm
( )
A
x
m
, trong ú tp
A
c nh ngha nh sau:
{ }
2 6A x x= < <ẻ Ă
. (1.2)
Hỡnh 1.1. Hm thuc
( )
A
x
m
ca tp kinh in
A
.
Cỏch biu din hm ph thuc nh vy khụng phự hp vi nhng tp

c mụ t m nh tp
B
gm cỏc s thc dng nh hn nhiu so vi 6
{ }
6B x x= ẻ Ă =
, (1.3)
cú tp nn l Ă , hoc tp
C
gm cỏc s thc gn bng 3 cng cú tp nn Ă

{ }
3C x x= ằẻ Ă
(1.4)
Tp
B
,
C
nh vy c gi l cỏc tp m.
Lý do l vi nhng nh ngha m nh vy cha xỏc nh c
mt s chng hn nh
4,5x =
cú thuc
B
hoc
2,5x =
cú thuc
C
hay
khụng. Nờn chỳng ta khụng th dựng hm thuc ca tp c in ch cú hai giỏ
tr 1 v 0 nh ngha tp

B
v
C
trong trng hp ny.
Vỡ vy ngi ta ngh rng: ti sao li khụng m rng min giỏ tr cho
hm thuc ca tp c in, tc l hm thuc s cú nhiu hn hai giỏ tr. Khi ú
thay vỡ vic tr li cõu hi
4,5x =
cú thuc
B
hay khụng, ngũi ta s tr li
cõu hi l: vy thỡ
4,5x =
thuc
B
bao nhiờu phn trm? Gi s rng cú cõu
Sinh viên: Nguyễn Thị Thuý Chinh K54C - CNTT
4
2
x
6
0
)(x
A
à
1
B¸o c¸o nghiªn cøu khoa häc
trả lời thì lúc này hàm thuộc
( )
B

x
m
tại điểm
4,5x =
phải có một giá trị trong
đoạn
[ ]
0,1
, tức là

( )
0 1
B
x
m
£ £
(1.5)
Nói cách khác hàm
( )
B
x
m
không còn là hàm hai giá trị như đối với tập
kinh điển nữa mà là một ánh xạ (hình 1.2)

[ ]
: 0,1
B
U
m

®
, (1.6)
trong đó
U
là tập nền của tập “mờ”.
Hình 1.2 a, Hàm phụ thuộc của tập “mờ”
B
b, Hàm phụ thuộc của tập “mờ”
C
Định nghĩa 1.2
Tập mờ
F
xác định trên tập kinh điển
U
là một tập mà mỗi phần tử của
nó là một cặp các giá trị
( )
( )
,
F
x x
m
trong đó
x UÎ
và
F
m
là một ánh xạ
[ ]
: 0,1

F
U
m
®
. (1.7)
Ánh xạ
F
m
được gọi là hàm thuộc (hàm phụ thuộc hay hàm thành viên )
của tập mờ
F
. Tập kinh điển
U
được gọi là tập nền (hay tập vũ trụ) của tập
mờ
F
.
Ví dụ một tập mờ
F
của các số tự nhiên nhỏ hơn 6 với hàm phụ thuộc
( )
F
x
m
có dạng như hình 1.2a định nghĩa trên nền
U
sẽ chứa các phần tử sau
Sinh viªn: NguyÔn ThÞ Thuý Chinh – K54C - CNTT
5
B¸o c¸o nghiªn cøu khoa häc

( ) ( ) ( ) ( )
{ }
1, 1 , 2, 1 , 3, 0,8 , 4, 0,07F =
.
Số tự nhiên 1 và 2 có độ phụ thuộc
( ) ( )
1 2 1
F F
m m
= =
,
các số tự nhiên 3 và 4 có độ phụ thuộc nhỏ hơn 1
( )
3 0,8
F
m
=
và
( )
4 0,07
F
m
=
,
Những số tự nhiên không được liệt kê đều có độ phụ thuộc bằng 0.
1.2 Các phép toán về tập mờ
Giống như định nghĩa về tập mờ các phép toán trên tập mờ cũng sẽ được
định nghĩa thông qua các hàm thuộc. Nói cách khác, khái niệm xây dựng
những phép toán trên tập mờ là việc xác định các hàm thuộc cho phép hợp,
giao , bù từ những tập mờ. Một nguyên tắc cơ bản trong việc xây dựng các

phép toán trên tập mờ là không được mâu thuẫn với những phép toán đã có
trong lý thuyết tập hợp kinh điển.
1.2.1 Phép hợp
Cho hai tập hợp mờ
A
và
B
có cùng không gian nền
U
với hai hàm
thuộc tương ứng là
( )
A
x
m
và
( )
B
x
m
. Hợp của
A
và
B
là một tập mờ cũng
xác định trên
U
, kí hiệu là
A BÈ
có hàm thuộc

( )
A B
x
m
È
thoả mãn:
i.
( )
A B
x
m
È
chỉ phụ thuộc vào
( )
A
x
m
và
( )
B
x
m
.
ii.
( )
0
B
x
m
=

với
x"

Þ

( )
A B
x
m
È
=
( )
A
x
m
.
iii. Tính giao hoán, tức là
( ) ( )
A B B A
x x
m m
È È
=
.
iv. Tính kết hợp, tức là
( ) ( )
( ) ( )A B C A B C
x x
m m
È È È È

=
.
v. Là hàm không giảm:
( ) ( )
1 2
A A
x x
m m
£

Þ

( ) ( )
1 2
A B A B
x x
m m
È È
£
.
Để tính hàm thuộc
( )
A B
x
m
È
có nhiều cách khác nhau, sau đây là một
công thức được dùng trong báo cáo này:
Sinh viªn: NguyÔn ThÞ Thuý Chinh – K54C - CNTT
6

Báo cáo nghiên cứu khoa học
( ) ( ) ( )
{ }
max ,
A B A B
x x x
m m m
ẩ
=
(Lut ly max) (1.8)
Hỡnh 1.3. Hm thuc ca hai tp m cú cựng khụng gian nn
a) Hm thuc ca hai tp m
A
v
B
b) Hp ca hai tp m
A
v
B
theo lut max.
Mt cỏch tng quỏt thỡ bt c mt ỏnh x dng
( ) [ ]
: 0,1
A B
x U
m
ẩ
đ

nu tho món 5 tiờu chun ó nờu trong nh ngha hp hai tp m u c

xem nh l hp ca hai tp m
A
v
B
cú chung mt khụng gian nn
U
.
Cụng thc trờn cng c m rng ỏp dng cho vic xỏc nh hp ca
hai tp m khụng cựng khụng gian nn, bng cỏch a c hai tp m v chung
mt khụng gian nn l tớch ca hai tp nn ó cho.
Vớ d cho tp m
A
xỏc nh trờn khụng gian nn
M
v tp m
B
xỏc
nh trờn khụng gian nn
N
. Do hai tp nn
M
v
N
c lp vi nhau nờn
hm thuc
( )
A
x
m
,

x Mẻ
ca tp m
A
s khụng ph thuc vo
N
v ngc
li
( )
B
x
m
,
y Nẻ
ca tp
B
cng s khụng ph thuc vo
M
. iu ú th
hin ch trờn khụng gian nn mi l tp tớch
M N
hm
( )
A
x
m
phi l mt
Sinh viên: Nguyễn Thị Thuý Chinh K54C - CNTT
7
x
à

( )
A
x
à
x
a)
à
( )
B
x
à
x
b)
à
( )
A
x
à
( )
B
x
à
B¸o c¸o nghiªn cøu khoa häc
mặt “cong” dọc theo trục
y
và
( )
B
x
m

là một mặt “cong” dọc theo trục
x

(hình 1.4). Tập mờ
A
như vậy được định nghĩa trên hai không gian nền
M
và
M N´
. Để phân biệt được chúng, sau đây kí hiệu
A
sẽ được dùng để chỉ tập
mờ
A
trên không gian nền
M N´
. Đối với các tập mờ khác cũng được kí
hiệu tương tự. Với kí hiệu đó thì
( ) ( )
,
A A
x y x
m m
=
với mọi
y NÎ
và
( ) ( )
,
B B

x y x
m m
=
với mọi
x MÎ
.
a.
Hình 1.4. Phép hợp hai tập mờ không cùng nền
a. Hàm thuộc của hai tập mờ
A
và
B
b. Đưa hai tập mờ về chung một nền
M N´
Sinh viªn: NguyÔn ThÞ Thuý Chinh – K54C - CNTT
8
( )
A
x
µ
∧
x
( )
B
x
µ
∧
y
x
( , )

A
x y
µ
∧
y
M×N
b.
( , )
B
x y
µ
∧
M×N
x
y
M×N
x
( , )
A B
x y
µ
∧ ∧
∪
y
c.
B¸o c¸o nghiªn cøu khoa häc
c. Hợp hai tập mờ trên nền
M N´
Sau khi đã đưa được hai tập mờ
A

và
B
về chung một không gian nền là
M N´
thành
A
và
B
thì hàm thuộc
( )
,
A B
x y
m
È
của tập mờ
A BÈ
được xác
định theo công thức (1.8).
Hợp hai tập mờ theo luật max
Cho tập mờ
A
xác định trên không gian nền
M
và tập mờ
B
xác định
trên không gian nền
N
, có hàm thuộc lần lượt là

( )
A
x
m
,
( )
B
x
m
. Hợp của hai
tập mờ
A
và
B
theo luật max là một tập mờ xác định trên không gian nền
M N´
với hàm thuộc
( ) ( ) ( )
{ }
, max , , ,
A B A B
x y x y x y
m m m
È
=
. (1.9)
trong đó
( ) ( )
,
A A

x y x
m m
=
với mọi
y NÎ
và
( ) ( )
,
B B
x y x
m m
=
với mọi
x MÎ
.
Một cách tổng quát, do hàm thuộc
( )
,
A B
x y
m
È
của hợp hai tập mờ
A
,
B

không cùng không gian nền chỉ phụ thuộc vào
( ) [ ]
0,1

A
x
m
Î
và
( ) [ ]
0,1
B
x
m
Î

nên ta có thể xem
( )
,
A B
x y
m
È
là hàm của hai biến
A
m
,
B
m
được định nghĩa như
sau
( ) ( ) [ ] [ ]
2
, , : 0,1 0,1

A B A B
x y
m m m m
È
= ® (1.10)
Ta đi đến định nghĩa về hàm thuộc
( )
,
A B
m m m
của hợp hai tập mờ không
cùng không gian nền:
Định nghĩa 1.3
Sinh viªn: NguyÔn ThÞ Thuý Chinh – K54C - CNTT
9
Báo cáo nghiên cứu khoa học
Hm thuc ca hp gia hai tp m
A
vi
( )
A
x
m
nh ngha trờn khụng
gian nn
M
v
B
vi
( )

B
x
m
nh ngha trờn khụng gian nn
N
l mt hm
hai bin
( ) [ ] [ ]
2
, : 0,1 0,1
A B
m m m
đ
xỏc nh trờn nn
M N
tho món:
a)
0
B
m
= ị
( )
,
A B A
m m m m
=
.
b)
( ) ( )
, ,

A B B A
m m m m m m
=
, tc l cú tớnh giao hoỏn.
c)
( )
( )
( )
( )
, , , ,
A B C A B C
m m m m m m m m m m
=
, tc l cú tớnh kt hp.
d)
( ) ( )
, , , ,
A B C D A C B D
m m m m m m m m m m
"Ê Ê Ê
, tc l cú tớnh khụng gim.
Mt hm hai bin
( ) [ ] [ ]
2
, : 0,1 0,1
A B
m m m
đ tho món cỏc iu kin ca
nh ngha trờn cũn c gi l hm t-i chun (t-conorm).
1.2.2 Phộp giao

Cho hai tp hp m
A
v
B
cú cựng khụng gian nn
U
vi hai hm
thuc tng ng l
( )
A
x
m
v
( )
B
x
m
. Giao ca
A
v
B
l mt tp m cng
xỏc nh trờn
U
, kớ hiu l
A BI
cú hm thuc
( )
A B
x

m
I
tho món:
i.
( )
A B
x
m
I
ch ph thuc vo
( )
A
x
m
v
( )
B
x
m
.
ii.
( )
1
B
x
m
=
vi
x"

ị

( )
A B
x
m
I
=
( )
A
x
m
.
iii. Tớnh giao hoỏn, tc l
( ) ( )
A B B A
x x
m m
=
I I
.
iv. Tớnh kt hp, tc l
( ) ( )
( ) ( )A B C A B C
x x
m m
=
I I I I
.
v. Nu

1 2
A A
thỡ
1 2
A B A Bầ ầ
hay
( )
A B
x
m
ẩ
cú tớnh cht khụng
gim, tc l
( ) ( )
1 2
A A
x x
m m
Ê

ị

( ) ( )
1 2
A B A B
x x
m m
ầ ầ
Ê
.

Tng t nh ó trỡnh by v phộp hp hai tp m, cú nhiu cụng thc
khỏc nhau tớnh hm thuc
( )
A B
x
m
I
ca giao hai tp m v bt c mt ỏnh
x
Sinh viên: Nguyễn Thị Thuý Chinh K54C - CNTT
10
Báo cáo nghiên cứu khoa học
( ) [ ]
: 0,1
A B
x U
m
đ
I

no tho món 5 tiờu chun ó nờu trong nh ngha trờn u c xem nh l
hm thuc ca giao hai tp m
A
v
B
cú chung mt khụng gian nn
U
. Sau
õy l mt trong nhng cụng thc tớnh hm thuc
( )

A B
x
m
I
ca phộp giao
gm:
( ) ( ) ( )
{ }
min ,
A B A B
x x x
m m m
=
I
(Lut min) (1.11)
Cụng thc trờn cng ỏp dng c cho hp hai tp m khụng cựng khụng
gian nn bng cỏch a c hai tp m v chung mt khụng gian nn l tớch ca
hai khụng gian nn ó cho.
Hỡnh 1.5. Phộp giao ca hai tp m
a) Hm thuc ca hai tp m
A
v
B
.
b) Phộp giao hai tp m cựng khụng gian nn theo lut min.
c) Phộp giao hai tp m cựng khụng gian nn theo lut tớch i s.
d) Phộp giao hai tp m khụng cựng khụn gian nn
Sinh viên: Nguyễn Thị Thuý Chinh K54C - CNTT
11
à

x
à
( )
B
x
à
x
a)
( )
A
x
à
à
( )
B
x
à
x
b)
( )
A
x
à
MìN
y
( , )
A B
x y
à

x
d)
c)
( )
B
x
à
( )
A
x
à
Báo cáo nghiên cứu khoa học
Giao ca hai tp m theo lut min
Giao ca hai tp m
A
vi hm thuc
( )
A
x
m
nh ngha trờn khụng gian
nn
M
v
B
vi hm thuc
( )
B
x
m

nh ngha trờn khụng gian nn
N
l mt
tp m xỏc nh trờn khụng gian nn
M N
cú hm thuc
( ) ( ) ( )
{ }
( ) ( )
{ }
, min , min , , ,
A B A B A B
x y x y x y x y
m m m m m
ầ
= =
. (1.12)
Trong ú

( ) ( )
,
A A
x y x
m m
=
vi mi
y Nẻ
v
( ) ( )
,

B B
x y x
m m
=
vi mi
x Mẻ
.
Vi vớ d v tp m
A
,
B
cú hm c tớnh nh trong hỡnh 1.5a thỡ tp
giao ca chỳng trờn tp nn chung
M N
s cú hm thuc mụ t nh trong
hỡnh 1.5d.
Trong vớ d trờn ta thy hm thuc
( )
,
A B
x y
m
ầ
ca giao hai tp m
A
,
B

khụng cựng khụng gian nn ch ph thuc vo
( ) [ ]

0,1
A
x
m
ẻ
v
( ) [ ]
0,1
B
x
m
ẻ
.
Do ú khụng mt tớnh tng quỏt nu ta xem
( )
,
A B
x y
m
ầ
l hm ca hai bin
A
m
,
B
m
c nh ngha nh sau
( ) ( ) [ ] [ ]
2
, , : 0,1 0,1

A B A B
x y
m m m m
ầ
= đ (1.13)
Ta i n nh ngha v hm thuc
( )
,
A B
m m m
ca hp hai tp m khụng
cựng khụng gian nn nh sau:
nh ngha 1.4
Hm thuc ca hp gia hai tp m
A
vi
( )
A
x
m
nh ngha trờn khụng
gian nn
M
v
B
vi
( )
B
x
m

nh ngha trờn khụng gian nn
N
l mt hm
hai bin
( ) [ ] [ ]
2
, : 0,1 0,1
A B
m m m
đ xỏc nh trờn nn
M N
tho món:
e)
1
B
m
= ị
( )
,
A B A
m m m m
=
.
f)
( ) ( )
, ,
A B B A
m m m m m m
=
, tc l cú tớnh giao hoỏn.

Sinh viên: Nguyễn Thị Thuý Chinh K54C - CNTT
12
Báo cáo nghiên cứu khoa học
g)
( )
( )
( )
( )
, , , ,
A B C A B C
m m m m m m m m m m
=
, tc l cú tớnh kt hp.
h)
( ) ( )
, , , ,
A B C D A C B D
m m m m m m m m m m
"Ê Ê Ê
, tc l cú tớnh khụng gim.
Mt hm hai bin
( ) [ ] [ ]
2
, : 0,1 0,1
A B
m m m
đ tho món cỏc iu kin ca
nh ngha trờn cũn c gi l hm t- chun (t-norm).
1.2.3 Phộp bự
Cho tp m

A
trờn khụng gian nn
U
. Phộp bự ca
A
l mt tp m
cng xỏc nh trờn khụng gian nn
U
, kớ hiu l
c
A
, nú cú hm thuc tho
món:
i.
( )
c
A
x
m
ch ph thuc vo
( )
A
x
m
.
ii. Nu
x Aẻ
thỡ
c
x Aẽ

, hay
( )
1
A
x
m
=

ị

( )
0
c
A
x
m
=
iii. Nu
x Aẽ
thỡ
c
x Aẻ
, hay
( )
0
A
x
m
=

ị

( )
1
c
A
x
m
=
iv.Nu
A B
thỡ
c c
A Bấ
, tc l
( ) ( )
1 2
A A
x x
m m
Ê


ị

( ) ( )
1 2
A B A B
x x
m m

ẩ ẩ

.
Do hm thuc
( )
c
A
x
m
ca
c
A
ch ph thuc vo
( )
A
x
m
nờn ta cú th xem
( )
c
A
x
m
nh l mt hm ca
( )
A
x
m
trong
[ ]

0,1
. T ú a ra nh ngha tng
quỏt hn v phộp bự m nh sau:
nh ngha 1.5
Tp bự ca tp m
A
xỏc nh trờn khụng gian nn
U
l mt tp m
c
A
cng xỏc nh trờn khụng gian nn
U
vi hm thuc
[ ] [ ]
( ) : 0,1 0,1
A
m m
đ
tho món
i.
(1) 0
m
=
v
(0) 1
m
=
ii,
( ) ( )

A B A B
m m m m m m
Ê ị
, tc l hm khụng tng.
Sinh viên: Nguyễn Thị Thuý Chinh K54C - CNTT
13
Báo cáo nghiên cứu khoa học
Hỡnh 1.6: Tp bự mnh
c
A
ca tp m
A
.
a. Hm thuc ca tp m
A
.
b. Hm thuc ca tp m
c
A
.
1.3. Quan h m
nh ngha 1.6
Cho
X
,
Y
l hai khụng gian nn.
R
gi l mt quan h m trờn

X Y

nu
R
l mt tp m trờn
X Y
, tc l cú mt hm thuc
[ ]
: 0,1
R
X Y
m
đ
,
õy
( ) ( )
, ,
R
x y R x y
m
=
l thuc ca
( )
,x y
vo quan h
R
.
- Tớnh bc cu
nh ngha: Quan h m R trờn
X

X
gi l:
a) Min-chuyn tip nu
( ) ( )
{ }
( )
min , , , , , ,R x y R y z R x z x y z X"Ê ẻ
b) Bc cu yu nu
, ,x y z X" ẻ
cú
( ) ( )
, ,R x y R y x>
v
( ) ( )
, ,R y z R z y>
thỡ
( ) ( )
, ,R x z R z x>
.
c) bc cu tham s nu cú mt s
0 1
q
< <
sao cho:
Nu
( ) ( )
, ,R x y R y x
q
> >
v

( ) ( )
, ,R y z R z y
q
> >
thỡ
( ) ( )
, ,R x z R z x
q
> >
Sinh viên: Nguyễn Thị Thuý Chinh K54C - CNTT
14
a)
b)
( )
A
x
à
x
1
( )
c
A
x
à