Phương Pháp Tìm Nghiệm Xấp Xỉ Đối Với Bài Toán Trượt Của Tấm Trong Môi Trường Chất Lỏng
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (898.47 KB, 53 trang )
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
TRẦN NGỌC HÀ
PHƢƠNG PHÁP TÌM NGHIỆM
XẤP XỈ ĐỐI VỚI BÀI TOÁN TRƢỢT CỦA TẤM
TRONG MÔI TRƢỜNG CHẤT LỎNG
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
THÁI NGUYÊN - 2016
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
TRẦN NGỌC HÀ
PHƢƠNG PHÁP TÌM NGHIỆM
XẤP XỈ ĐỐI VỚI BÀI TOÁN TRƢỢT CỦA TẤM
TRONG MÔI TRƢỜNG CHẤT LỎNG
Chuyên ngành: Toán ứng dụng
Mã số: 60. 46. 01.12
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Ngƣời hƣớng dẫn khoa học:
TS. VŨ VINH QUANG
THÁI NGUYÊN - 2016
i
LỜI CẢM ƠN
Lời đầu tiên, em xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc tới TS.
Vũ Vinh Quang, người đã tận tình hướng dẫn em trong suốt quá trình thực hiện và
hoàn thành luận văn này.
Em cũng xin kính gửi lời cảm ơn chân thành đến các thầy cô giáo trong
trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên cũng như các thầy cô giáo đã tham
gia giảng dạy khóa cao học 2014 -2016, những người đã đem tâm huyết và sự nhiệt
tình để giảng dạy, trang bị cho chúng em nhiều kiến thức cơ sở.
Cuối cùng em xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè thân thiết những người
luôn động viên chia sẻ, giúp em trong suốt quá trình học tập và làm luận văn.
Thái Nguyên, tháng 5 năm 2016
Tác giả
Trần Ngọc Hà
ii
MỤC LỤC
LỜI CẢM ƠN ...................................................................................................... i
MỤC LỤC .......................................................................................................... ii
DANH MỤC CÁC BẢNG .................................................................................. iv
DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ .............................................................................. v
MỞ ĐẦU............................................................................................................ 1
Chƣơng 1. MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN .................................................... 3
1.1. Không gian các hàm và phương trình song điều hòa ....................................... 3
1.1.1. Không gian tuyến tính định chuẩn ........................................................... 3
1.1.2. Không gian Sobolev ............................................................................... 4
1.1.3. Phương trình song điều hòa và lý thuyết nghiệm yếu ............................... 5
1.2. Lý thuyết về các sơ đồ lặp ............................................................................. 7
1.2.1. Sơ đồ lặp hai lớp .................................................................................... 7
1.2.2. Định lý về sự hội tụ của phương pháp lặp ................................................ 8
1.3. Lý thuyết về sai phân .................................................................................... 9
1.3.1. Công thức Taylor ................................................................................................ 9
1.3.2. Các phương pháp sai phân và đạo hàm .................................................. 10
1.3.3. Giới thiệu thư viện RC2009 .................................................................. 13
Chƣơng 2. MÔ HÌNH BÀI TOÁN CƠ HỌC VÀ PHƢƠNG PHÁP TÌM
NGHIỆM XẤP XỈ ........................................................................................... 22
2.1. Mô hình bài toán trượt của tấm trong môi trường chất lỏng ........................... 22
2.1.1. Mô hình thực tế .................................................................................... 22
2.1.2. Phương trình toán học và hệ điều kiện biên............................................ 23
2.2. Phương pháp lặp tìm nghiệm xấp xỉ ............................................................. 28
2.2.1. Xây dựng sơ đồ lặp xác định 4 ........................................................... 31
2.2.2. Xây dựng sơ đồ lặp xác định 3 ........................................................... 32
iii
Chƣơng 3. MỘT SỐ KẾT QUẢ THỰC NGHIỆM SỐ ................................... 34
3.1. Kết quả kiểm tra trong trường hợp biết trước nghiệm đúng ........................... 34
3.2. Kết quả xác định nghiệm của bài toán trượt của tấm trong môi trường chất lỏng..... 37
KẾT LUẬN...................................................................................................... 39
TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................... 40
PHỤ LỤC ........................................................................................................ 41
iv
DANH MỤC CÁC BẢNG
Bảng 3.1: Kết quả so sánh giữa nghiệm đúng và nghiệm xấp xỉ ............................. 34
Bảng 3.2: Kết quả so sánh giữa nghiệm đúng và nghiệm xấp xỉ ............................. 36
Bảng 3.3: Kết quả so sánh giữa hai bước lặp liên tiếp ............................................ 37
v
DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ
Hình 3.1: Đồ thị sai số giữa nghiệm đúng và nghiệm xấp xỉ ......................................35
Hình 3.2: Đồ thị sai số giữa nghiệm đúng và nghiệm xấp xỉ ................................... 36
Hình 3.3: Đồ thị nghiệm xấp xỉ của bài toán gốc ................................................... 37
1
MỞ ĐẦU
Một số bài toán trong cơ học các môi trường liên tục như các bài toán
nghiên cứu về truyền nhiệt, các bài toán về lý thuyết dao động qua mô hình
hóa đều đưa về các bài toán biên cho phương trình elliptic cấp hai hoặc cấp
bốn (phương trình song điều hòa). Trong trường hợp khi môi trường là thuần
nhất và điều kiện biên bình thường thì việc tìm nghiệm của bài toán có thể
được thực hiện thông qua các phương pháp giải tích như các phương pháp
tách biến, phương pháp hàm Green hoặc các phương pháp tìm nghiệm xấp xỉ
như các phương pháp sai phân hay phương pháp phần tử hữu hạn. Tuy nhiên
khi điều kiện biên của bài toán là dạng đặc biệt (hỗn hợp giữa hàm và đạo
hàm, thiếu điều kiện trên biên hay hỗn hợp mạnh tức là trên một đoạn biên
trơn tồn tại 2 loại điều kiện biên dạng hàm (Dirichlet) và dạng đạo hàm
(Neumann) thì các phương pháp kể trên không thể thực hiện được. Để giải
quyết các bài toán này, người ta thường nghiên cứu theo hướng sau đây: Sử
dụng lý thuyết các toán tử biên để xây dựng các sơ đồ lặp xác định các giá
trị thiếu trên biên, kết hợp với phương pháp phân rã phương trình cấp 4 về
hai phương trình cấp hai. Từ đó áp dụng các phương pháp sai phân để giải
quyết các bài toán con qua đó xây dựng nghiệm của bài toán gốc ban đầu.
Trong trường hợp khi biên là kì dị thì một phương pháp thường áp dụng là
phương pháp chia miền.
Trong các bài toán cơ học điển hình thì bài toán nghiên cứu tấm trượt
đàn hồi trong môi trường chất lỏng là một bài toán đã được các tác giả
Nikolai V. Priezjev, Anton A. Darhuber and Sandra M. Troian đưa ra năm
2005. Đây chính là một bài toán được mô tả của phương trình song điều hòa
với dạng điều kiện biên hết sức phức tạp. Tính chất nghiệm của bài toán cũng
như ý nghĩa thực tế đã được các tác giả đề cập tuy nhiên vấn đề nghiên cứu
phương pháp xác định nghiệm của bài toán chưa được đề cập đến.
2
Xuất phát từ thực tế đó, mục tiêu nghiên cứu chính của luận văn là tìm
hiểu về mô hình toán học của bài toán mô tả chuyển động trượt của tấm đàn
hồi trong môi trường chất lỏng không nén được, nghiên cứu cơ sở của phương
pháp toán tử biên miền để xây dựng các sơ đồ lặp xác định giá trị trên biên
của bài toán song điều hòa đồng thời nghiên cứu cơ sở của phương pháp phân
rã chuyển bài toán đang xét về các bài toán elliptic cấp hai, sử dụng phương
pháp sai phân để xác định nghiệm của bài toán gốc, đánh giá kết quả thực
nghiệm. Các kết quả thực nghiệm được thực hiện trên máy tính điện tử.
3
Chƣơng 1
MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN
Nội dung chính của chương 1 trình bày một số kiến thức cơ bản về các
không gian hàm, phương trình song điều hòa, lý thuyết về sơ đồ lặp 2 lớp, lý
thuyết về sai phân và đặc biệt là các kết quả xây dựng thư viện giải số bài toán
biên elliptic cấp hai trên miền chữ nhật. Đây là các kiến thức và công cụ quan
trọng sẽ sử dụng để nghiên cứu và thực hiện tính toán trong các chương tiếp sau
của luận văn. Các kết quả này đã được tham khảo trong các tài liệu [1, 2, 3, 4].
1.1 Không gian các hàm và phƣơng trình song điều hòa
Định nghĩa 1.1 Cho X là một tập khác rỗng, trên X ta trang bị một hàm số
: X X
(x , y ) (x , y ),
thỏa mãn các điều kiện sau
1) (x, y ) 0 x, y X ; (x, y ) 0 x y;
2) (x, y ) (y, x ) x, y X ;
3) (x, z ) (x, y ) (y, z ) x, y, z X .
Khi đó ρ được gọi là một metric hay khoảng cách trên X . Và cặp
(X , ) gọi là một không gian metric (đôi khi chỉ kí hiệu là X ). Mỗi phần tử
của X sẽ được gọi là một điểm, x , y gọi là khoảng cách giữa hai
x và y
điểm trên X .
1.1.1. Không gian tuyến tính định chuẩn
Định nghĩa 1.2 Cho X là một không gian tuyến tính, ta đưa vào ánh
xạ kí hiệu là chuẩn X
với mọi x, y X
. : X thỏa mãn các điều kiện
a.
x 0;
x 0 x 0;
b.
x x ;
c.
x y x y ,
4
Khi đó cặp (X , . ) , trong đó X là một không gian tuyến tính, . là
một chuẩn trên X , gọi là một không gian định chuẩn (hay còn gọi là không
gian tuyến tính định chuẩn).
Cho (X , . ) là một không gian định chuẩn. Xét hàm số
: X X
xác định bởi (x , y ) x y , với x, y X . Dễ chứng minh được với định
nghĩa như trên thì là một metric trên X , gọi là metric sinh bởi chuẩn. Như
vậy, không gian định chuẩn là một không gian metric.
1.1.2. Không gian Sobolev
1.1.2.1. Định nghĩa Không gian W1, p
Định nghĩa 1.3 Giả sử p là một số thực, 1 p , là một miền
n
1, p
trong . Không gian Sobolev W được định nghĩa như sau:
u
W1,p u | u Lp ,
Lp , i 1,..., n
x i
Trong đó các đạo hàm trên là các đạo hàm suy rộng.
1,2
1
Với p 2 , ta kí hiệu W H , nghĩa là:
u
2
2
H u | u L ,
L , i 1,2,..., n
x i
1
1
1.1.2.2. Không gian H 0
Định nghĩa 1.4
Với bất kì 1 p , không gian Sobolev
W01, p được định nghĩa như các bao đóng của D (không gian các hàm
1, p
khả vi vô hạn có giá compact trong ) tương ứng với chuẩn của W .
1
Không gian H 0 được xác định bởi:
H 01 W01,2
5
1.1.2.3. Không gian Sobolev với chỉ số âm H
1
1
2
và H .
Định nghĩa 1.5 Ta kí hiệu H 1 là một không gian Banach được
xác định bởi:
'
H 1 H 01
với chuẩn:
F, u
F
trong đó F, u
H 1 ,H 01
H 1
sup
H 01 \0
H 1 ,H 01
u
H 01
là tích năng lượng trên cặp không gian đối ngẫu.
1.1.3. Phương trình song điều hòa và lý thuyết nghiệm yếu
1.1.3.1. Phương trình song điều hòa
Phương trình tổng quát được xét có dạng:
2u cu du f , c 0, x ,
0u
g 0 , x ,
1 u g1, x ,
(1.1)
2
m
trong đó , là biên Lipshitz, f L (), 0, 1 là một số dạng toán
tử điều kiện biên đảm bảo điều kiện để bài toán có nghiệm duy nhất, g 0 , g 1 là các
hàm số cho trước. Phương trình (1.1) được gọi là phương trình song điều hòa
tổng quát. Tùy thuộc vào các hệ số c, d, xét hai dạng bài toán cơ bản:
Bài toán biên thứ nhất
2u cu f , c 0, x ,
0u
g 0 , x ,
1 u g1, x ,
(1.2)
6
Bài toán biên thứ hai
2u cu du f , c 0, d 0, x ,
0u
g 0 , x ,
1 u g1, x ,
(1.3)
1.1.3.2. Khái niệm nghiệm yếu của phương trình
Xét phương trình:
u f
(1.4)
2
Giả sử u C , f C và phương trình (1.4) thỏa mãn trong
miền . Khi đó, u x được gọi là nghiệm cổ điển của phương trình (1.4).
Lấy hàm bất kì thuộc D C 0 nhân với hai vế của (1.4) rồi lấy
tích phân ta được:
udx
f dx
(1.5)
Áp dụng công thức Green vào (1.5) và kết hợp với điền kiện | 0
ta có :
n
u
dx
x
i
i
x
i 1
f dx
(1.6)
hay:
ufdx f dx
Như vậy, nếu
u là nghiệm của phương trình (1.4) thì có (1.6). Nhưng
nếu f C thì phương trình (1.4) không có nghiệm cổ điển. Vậy, ta cần
2
mở rộng khái niệm khi f L .
7
Định nghĩa 1.6 Giả sử u H 1 , f L2 , u được gọi là nghiệm
yếu của phương trình (1.4) nếu (1.6) được thỏa mãn.
Mệnh đề. Nếu
u là nghiệm yếu của phương trình (1.4) và
u C 2 , f C thì u là nghiệm cổ điển, tức là u f .
Chứng minh. Giả sử
u là nghiệm yếu của phương trình (1.4), tức là
u H 1 và ta có (1.6) với mọi hàm D , kết hợp với điều kiện
u C 2 ta suy ra:
u f dx 0, u D .
Vì D trù mật trong L2 , u f trực giao với mọi D
2
nên u f 0 trong L . Nhưng vì u liên tục nên u f 0 trong
C . Vậy u là nghiệm cổ điển của phương trình (1.4).
1.2. Lý thuyết về các sơ đồ lặp
1.2.1. Sơ đồ lặp hai lớp
Xét bài toán:
Ay f
(1.7)
trong đó A : H H là toán tử tuyến tính trong không gian Hilbert thực hữu
hạn chiều H . Giả sử A là toán tử đối xứng, xác định dương, f H là
vectơ tùy ý. Trong mỗi phương pháp lặp, xuất phát từ y 0 bất kì thuộc H ,
người ta đưa ra cách xác định nghiệm xấp xỉ y1, y2 ,..., yk ,... của phương trình
(1.7). Các xấp xỉ như vậy được biết như là các cặp giá trị lặp với chỉ số lặp
k 1,2,... , bản chất của những phương pháp này là giá trị yk 1 có thể được
tính thông qua các giá trị lặp trước: yk , yk 1,... Phương pháp lặp được gọi là
8
phương pháp lặp một bước hoặc hai bước nếu xấp xỉ yk 1 có thể được tính
thông qua một hoặc hai giá trị trước đó. Dạng chính tắc của lược đồ lặp hai lớp là:
Bk
yk 1 yk
k 1
Ayk f , k 0,1,2,...
(1.8)
Lược đồ lặp (1.8) cho ta xấp xỉ chính xác nghiệm y của phương trình
(1.7) với bất kì toán tử Bk và cách chọn tham số k 1 . Nếu Bk E thì lược
đồ lặp (1.7) được gọi là lược đồ lặp hiện.
yk 1 yk
k 1
Ay f , k 0,1,2,... (1.9)
k
Trong trường hợp k là hằng số thì lược đồ lặp (1.9) còn gọi là
lược đồ lặp đơn giản.
Nếu Bk E thì lược đồ lặp (1.7) được gọi là lược đồ ẩn.
1.2.2. Định lý về sự hội tụ của phương pháp lặp
Lược đồ lặp (1.8) với toán tử Bk B , tham số k 1 không đổi
k 0,1, 2,... còn được gọi là lược đồ lặp dừng, có dạng:
B
yk 1 yk
Ay f , k 0,1, 2...
k
(1.10)
1.2.2.1. Định lý. Nếu A là toán tử đối xứng, xác định dương thì:
1
1
B A hay Bx, x Ax, x , x H
2
2
(1.11)
là điều kiện đủ cho sự hội tụ của lược đồ lặp (1.10) trong không gian H A với
tốc độ hội tụ cấp số nhân. Ta có đánh giá
zk 1
A
zk
A
, k 0,1,2,..., 1
9
trong đó:
1
2
2
1
1
,
min
A
,
min
B
A,
k
k
2
0 2
k
k
B
B B
là phần tử đối xứng của toán tử B .
B0
2
Nhận xét. Với Bk B cố định, định lý đã đưa ra quy tắc lựa chọn giá
trị để lược đồ lặp hội tụ. Trong trường hợp B E , điều kiện hội tụ sẽ
được đảm bảo nếu tất cả các giá trị riêng thỏa mãn:
1
1
k E A 1 k A 0
2
2
hay:
1
1 A 0
2
Như vậy, lược đồ lặp hội tụ với mỗi
2
.
A
1.3. Lý thuyết về sai phân
Phương pháp lưới hay còn gọi là phương pháp sai phân được áp dụng
rộng rãi trên nhiều lĩnh vực khoa học, kỹ thuật. Nội dung chính của nó là đưa
bài toán vi phân đang xét về giải hệ phương trình sai phân (tức là hệ thức
hoặc các hệ thức liên hệ các giá trị của hàm số tại các thời điểm khác nhau)
bằng các phương pháp đại số.
1.3.1. Công thức Taylor
Giả sử u x , y là một hàm số xác định và có các đạo hàm riêng theo
các biến đến cấp m 1 trong một khoảng R 2 chứa các điểm (x , y ) và
(x h, y k ) , trong đó h, k là các đại lượng đủ nhỏ có thể dương hay âm.
10
Khi đó tương tự như hàm 1 biến số, chúng ta có công thức khai triển
Taylor như sau:
u
u
k
x
y
2
1 2 2u
2u
2 u
m
m
[h
2
hk
k
]
...
o
(
h
k
)
2!
x y
x 2
y 2
u x h, y k u x , y h
(1.12)
Về mặt ý nghĩa toán học tính toán thì công thức Taylo, giá trị của hàm số
tại điểm (x h, y k ) sẽ được được tính qua các giá trị hàm và các đạo hàm
riêng các cấp tại điểm (x , y ) . Nếu chúng ta giữ đến số hạng chứa các đạo hàm
cấp m thì kết quả tính toán sẽ đảm bảo sai số xấp xỉ một đại lượng vô cùng bé
là o(h m ) . Sau đây luận văn sẽ đưa ra một số kết quả khi xậy dựng các phương
pháp sai phân dựa trên công thức Taylo.
1.3.2. Các phương pháp sai phân và đạo hàm
1.3.2.1. Lƣới sai phân
Xét bài toán
u f , x ,
u g,
x .
(1.13)
trong đó (x, y ) R2 , a x b, c y d , chọn 2 số nguyên
N 1 và M 1 , đặt h b a / N gọi là bước lưới theo x ,
k d c / M gọi là bước lưới theo y .
Đặt x i a ih, y j c jk, i 0...N , j 0...M . Mỗi điểm (x i , y j ) gọi
là một nút lưới ký hiệu là nút i, j . Tập tất cả các nút trong ký hiệu là hk .
Nút ở trên biên gọi là nút biên; tập tất cả các nút biên ký hiệu là hk , tập
hk = hk hk gọi là một lưới sai phân trên .
11
1.3.2.2. Hàm lƣới:
Mỗi hàm số xác định tại các nút của lưới gọi là một hàm lưới, giá trị
của hàm lưới u x , y tại nút lưới i, j viết tắt là ui , j . Mỗi hàm u i, j xác
định tại mọi (x, y) tạo ra hàm lưới u xác định bởi ui , j .
1.3.2.3. Bài toán sai phân:
Sử dụng công thức Taylo trong trường hợp 2 biến số, chúng ta thu được
các công thức tính gần đúng các giá trị đạo hàm tại các nút lưới (i, j ) như sau
u
x
u
y
2u
x 2
2u
y 2
(i , j )
(i , j )
1
(u
ui, j ) o(h )
h i 1, j
(i , j )
1
(u
ui, j ) o(h )
k i, j 1
(i , j )
ui 1, j 2ui, j ui 1, j
h
2
ui, j 1 2ui, j ui , j 1
k
2
o(h 2 )
o(k 2 )
Đặt
hk u
ui 1, j 2ui, j ui 1, j
h2
ui, j 1 2ui, j ui, j 1
k2
(1.14)
Khi đó chứng tỏ:
kh u = u o(h 2 k 2 )
Số hạng o(h 2 k 2 ) là một vô cùng bé bậc hai. Ta nói toán tử kh xấp
xỉ toán tử , điều đó cho phép thay phương trình vi phân bằng phương trình
sai phân:
12
hk u = fij ,
(x i , y j ) hk
fij = f (x i , y j ),
tức là:
ui 1, j 2ui, j ui 1 j
h2
ui, j 1 2ui, j ui, j
k2
fi, j ,(i, j ) hk
(1.15)
đồng thời thay điều kiện biên bằng điều kiện:
uij g(x i , y j ),
(x i , y j ) hk
(1.16)
Ta được bài toán sai phân hoàn chỉnh: tìm hàm lưới u tại các nút (i, j )
thỏa mãn hệ phương trình sai phân (1.15) với các điều kiện biên (1.16). Như
vậy việc tìm nghiệm xấp xỉ của bài toán vi phân với độ chính xác cấp hai
được đưa về việc giải bài toán sai phân (1.15) với điều kiện (1.16) bằng các
phương pháp đại số.
Nhận xét:
Hệ phương trình sai phân (1.15) với điều kiện biên (1.16) hoặc các hệ
điều kiện biên dạng Neumann tương ứng trong miền chữ nhật [a, b ] [c, d ]
thông qua các phép biến đổi sơ cấp sẽ được biểu diễn dưới dạng các hệ
phương trình vectơ 3 điểm dạng
Yj 1 CYj Yj 1 Fj ;
Y0 F0 ,YN FN ; j 1, N 1.
(1.17)
trong trường hợp điều kiện biên là Dirichlet và dạng
Yj 1 CYj Yj 1 Fj ;
Y0 F0 , 2YN 1 CYN FN ; j 1, N 1
trong trường hợp điều kiện biên dạng Neumann trong đó kí hiệu
Yj (u0, j , u1, j ,..., uN , j ) là các vectơ nghiệm,
Fj (f0, j , F1, j ,..., FN , j ) là các vectơ vế phải,
C (ci, j )N N là ma trận hệ số của hệ dạng 3 đường chéo trội
(1.18)
13
Nhận xét:
+ Để giải được bài toán (1.17) hoặc (1.18) bằng phương pháp số, điều
quan trọng nhất là ta phải xác định được thuật toán nhanh giải các hệ phương
trình vector ba điểm (1.17), (1.18) là các hệ phương trình đại số tuyến tính.
+ Có nhiều phương pháp khác nhau để giải được các hệ trên. Tuy nhiên
do tính chất đặc biệt của hệ, phương pháp thu gọn khối lượng tính toán của
Samarskij - Nicolaev đề xuất [5, 7] với độ phức tạp tính toán O MN log N
sẽ được sử dụng để xây dựng thư viện số.
1.3.3. Giới thiệu thư viện RC2009
Để giải bài toán biên elliptic (1.13) các tác giả đã sử dụng phương pháp
sai phân xây dựng lược đồ sai phân cho các bài toán biên, chuyển bài toán vi
phân (1.13) về các bài toán sai phân tương ứng với các hệ phương trình vector
ba điểm. Sau đó áp dụng phương pháp thu gọn khối lượng tính toán giải các
hệ phương trình đại số. Các kết quả đã được công bố trong công trình [2].
a. Bài toán biên Dirichlet
Xét bài toán
2u
2u
k
x
k
x
c x u f x , x
1
2
2
2
x
x
1
2
lu g x , x
(1.19)
Trong đó: k1, k2 , c là các hằng số, là hình chữ nhật có kích thước hai
cạnh là L1, L2 .
Xuất phát từ phương pháp lưới chia miền thành M N điểm
lưới, trong đó N 2n , n 0 . Ký hiệu h1
là vector hàm vế phải của phương trình.
L1
M
, h2
l2
M
là các bước lưới,
14
Từ phương pháp sai phân với độ chính xác O h12 h22 chuyển bài toán
vi phân (1.13) về bài toán sai phân tương ứng với hệ phương trình vector ba điểm.
Yj 1 CYj Yj 1 Fj ,Y0 F0 ,YN FN , j 1, N 1.
Trong đó Yj là các vector nghiệm, Fj là các vector cấp M 1, C là
ma trận hệ số cấp M 1 M 1 được xác định như sau:
Yj u1, j , u2, j ,..., uM 1, j , j 0, N
F0 g1,0 , g2,0 ,..., gM 1,0 , FN g1,N , g2,N ,..., gM 1,N
Ma trận C có dạng
C
d r 0
r d r
0 r d
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
d r 0
r d r
0 r d
h2
2 rg
1, j
k 1, j
2
2
h2
2, j
k2
Fj
2
h2
M 2, j
k2
h2
2
rbM , j
M 1, j
k2
trong đó r
k1 h22
k2 h12
, d 2 r 1 c
h22
k2
15
Trên cơ sở thuật toán thứ nhất [7] tiến hành cài đặt giải hệ phương trình
trên
với
ngôn
ngữ
lựa
chọn
là
Matlab.
Thiết
kế
các
hàm
RC 0000(phi, b1, b2, b 3, b 4,11,12, k 1, k 2, c, N , M , n ) thực hiện thuật toán thu
gọn, trong đó phi là hàm vế phải b1,b2,b 3,b 4 lần lượt là các vector giá trị
điều kiện biên Dirichlet hoặc Neumann trên các biên trái, phải, dưới, trên của
miền chữ nhật.
Hàm
v 0000(phi, b1, b2, b 3, b 4,11,12, k 1, k 2, c, M , N , n, p1, p2, q1, q 2)
trả lại ma trận nghiệm xấp xỉ của bài toán (1.19) bắt đầu từ tọa độ p1, q1 đến
p , q .
2
2
b. Bài toán biên Neamann
Xét bài toán biên hỗn hợp
2u
2u
k1 x 2 k2 x 2 c x f x , x
x1
x 2
lu g x , x
(1.20)
Trong đó l là toán tử điều kiện biên ( lu u nếu điều kiện biên là
Dirichlet, lu
u
nếu điều kiện biên là Neumann).
n
Trường hợp 1: Điều kiện trên cạnh trên của hình chữ nhật là dạng
Neumann
Từ phương pháp sai phân với độ chính xác O h12 h22 chuyển bài toán
vi phân (1.13) về bài toán sai phân tương ứng với hệ phương trình vector ba điểm
Yj 1 CYj Yj 1 Fj ,Y0 F0, YN 1 CYN FN , j 1, N 1 .
16
trong đó Yj là các vector nghiệm, Fj là các vector cấp M 1,C là ma trận
hệ số cấp M 1 M 1 được xác định như sau:
Yj u1, j , u2, j ,..., uM 1, j j 0, N 1
F0 b3 1, b3 2,..., b3 M 1
h22
2
h
b
1
rb
N
1,N
2 4
1
k2
2
h2
2,N 2h2b4 2
k2
FN
2
h2
M 2,N 2h2b4 M 2
k2
h2
2
2h2b4 M 1 rb2 N
M 1,N
k2
C
d
r
0
0
0
0
r
d
r
0
0
0
0
r
d
0
0
0
0
0
0
d
r
0
0
0
0
r
d
r
h2
2 rb j
1
k 1, j
2
2
h2
2, j
k2
Fj
2
h2
M 2, j
k2
h2
2
rb2 j
M 1, j
k2
0
0
0
0
r
d
17
j 1,2,..., N
Trong đó: r
k1 h22
, d 2 r 1 c
k2 h12
h22
k2
Trên cơ sở của thuật toán thứ hai áp dụng trong trường hợp đã biết
vector F0 , tiến hành cài đặt giải hệ phương trình vector ba điểm ở trên bằng
cách: Thiết kế hàm RC 0001(phi, b1, b2, b 3, b 4,11,12, k 1, k 2, c, N , M , n )
thực hiện thuật toán thu gọn, hàm
v 0001(phi, b1, b2, b 3, b 4,11,12, k 1, k 2, c, M , N , n, p1, p2, q1, q 2) trả lại
ma trận nghiệm xấp xỉ của bài toán (1.13) từ tọa độ p1, q1 đến p2 , q 2 .
Trong trường hợp khi điều kiện biên trên một trong các cạnh còn lại là
dạng Neumann, sử dụng phương pháp biến đổi tọa độ trên cơ sở của hàm
chuẩn RC 0001 ... xây dựng các hàm v 0100 ..., v1000 ... trả lại nghiệm
bằng số của các bài toán tương ứng.
Trường hợp 2: Điều kiện biên trên cạnh phải và cạnh trên của hình
chữ nhật là dạng Neumann.
Với độ chính xác O h12 h22 chuyển bài toán vi phân (1.13) về bài
toán sai phân tương ứng với hệ phương trình vector ba điểm:
Yj 1 CYj Yj 1 Fj ;Y0 F0 ; 2YN 1 CYN FN ; j 1, N
Trong đó Yj là vector nghiệm, Fj là vector cấp M , C là ma trận hệ
số cấp M M được xác định như sau:
18
Yj u1, j , u2, j ,..., uM 1, j j 0, N
F0 b3 1, b3 2,..., b3 M
h2
2 2h b 1 rb N
2 4
1
k 1,N
2
2
h2
2,N 2h2b4 2
k2
FN
h2
2
M 1,N 2h2b4 M 1
k2
h2
2
2h2b4 M rh1b2 N
M ,N
k2
C
d r 0
r d r
0 r d
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
d r 0
r d r
0 r d
h2
2 rb j
1
k 1, j
2
2
h2
2, j
k2
Fj
2
h2
M 1, j
k2
h2
2 2rh b j
M ,j
1 2
k2
