Bài toán Motz và một số phương pháp tìm nghiệm xấp xỉ (LV thạc sĩ)

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN



ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
------------**------------

NGUYỄN VŨ TRUNG

BÀI TOÁN MOTZ VÀ MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP
TÌM NGHIỆM XẤP XỈ

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG
Mã số: 60. 46. 01.12

Người hướng dẫn
TS. VŨ VINH QUANG

THÁI NGUYÊN – NĂM 2016


1

MỤC LỤC
Mục lục ..................................................................................................... 1
Lời cam đoan ........................................................................................... 3
Lời cảm ơn ............................................................................................... 4
Các ký hiệu............................................................................................... 5

Mở đầu ..................................................................................................... 6
Chương 1 Các kiến thức cơ bản ............................................................ 7
1.1 Không gian Sobolev ........................................................................ 7
k

(W)................................................................. 7

p

(W).................................................................. 9

1.1.1 Không gian C
1.1.2 Không gian L

1.1.3 Không gian W
1

1, p

(W)

......................................................... 9

( )

1.1.4 Không gian H 0 W và khái niệm vết của hàm .................... 11
1.1.5 Không gian Sobolev với chỉ số âm H

- 1

- 1

(W) và H (¶ W) 12
2

1.2 Phương trình elliptic ..................................................................... 12
1.2.1 Khái niệm nghiệm yếu của phương trình .............................. 13
1.2.2 Phát biểu các bài toán biên .................................................... 14
1.3 Kiến thức về các sơ đồ lặp cơ bản ................................................ 16
1.3.1 Lược đồ lặp hai lớp ................................................................ 16
1.3.2 Lược đồ dừng, các định lý cơ bản về sự hội tụ của phương
pháp lặp ........................................................................................... 17
1.4 Phương pháp sai phân…………………….. ................................. 17
1.5 Giới thiệu thư viện RC2009 .......................................................... 20
1.5.1 Bài toán biên Dirichlet ........................................................... 20
1.5.2 Bài toán biên Neumann.......................................................... 22


2

Chương 2 Bài toán Motz và các phương pháp tìm nghiệm xấp xỉ ... 27
2.1 Giới thiệu bài toán Motz ............................................................... 27
2.2 Một số phương pháp khai triển thông qua các hệ hàm riêng ........ 28
2.2.1 Phương pháp BAMs............................................................... 28
2.2.2 Phương pháp GFIFs ............................................................... 30
2.2.3 Kết quả sử dụng các phương pháp BAMs ............................. 32
2.3 Phương pháp lặp tìm nghiệm xấp xỉ ............................................. 32
Chương 3 Một số kết quả thực nghiệm với bài toán Motz ............... 41
3.1 Kết quả đối với các phương pháp khai triển ................................. 41
3.1.1 Phương pháp BAMs............................................................... 41

3.1.2 Kết quả sử dụng phương pháp GFIFs .................................... 42
3.2 Ứng dụng của phương pháp chia miền đối với bài toán Motz ..... 45
3.3 Mở rộng phương pháp chia miền trong trường hợp tổng quát ..... 49
Phần kết luận ......................................................................................... 54
Tài liệu tham khảo ................................................................................ 55
Phần phụ lục .......................................................................................... 56


3

LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan rằng nội dung trình bày trong luận văn này là trung
thực và không trùng lặp với các đề tài khác. Tôi cũng xin cam đoan rằng mọi
sự giúp đỡ cho việc thực hiện luận văn này đã được cảm ơn và các thông tin
trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc.
Thái nguyên, Tháng 12 năm 2015
Người viết luận văn

Nguyễn Vũ Trung

Xác nhận
của trưởng khoa chuyên môn

Xác nhận
của người hướng dẫn khoa học

TS. Nguyễn Thị Thu Thủy

TS. Vũ Vinh Quang

4

LỜI CẢM ƠN
Để hoàn thành được luận văn một cách hoàn chỉnh, tôi luôn nhận được
sự hướng dẫn và giúp đỡ nhiệt tình của TS. Vũ Vinh Quang - Trường Đại học
Công Nghệ Thông Tin và Truyền Thông. Tôi xin chân thành bày tỏ lòng biết
ơn sâu sắc đến thầy và xin gửi lời tri ân nhất của tôi đối với những điều thầy
đã dành cho tôi.
Tôi xin chân thành cảm ơn ban lãnh đạo phòng sau đại học, quý thầy cô
giảng dạy lớp cao học toán K7C (2014-2016) Trường Đại học Khoa Học –
Đại học Thái Nguyên đã tận tình truyền đạt những kiến thức quý báu cũng
như tạo điều kiện cho tôi hoàn thành khóa học.
Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất tới gia đình, bạn bè, những
người đã luôn động viên, hỗ trợ và tạo mọi điều kiện cho tôi trong suốt quá
trình học tập và thực hiện luận văn. Xin trân trọng cảm ơn!
Thái nguyên, tháng 12 năm 2015
Người viết luận văn

Nguyễn Vũ Trung


5

CÁC KÝ HIỆU

W

Miền giới nội trong không gian ¡

¡

Không gian Euclide n chiều.

n

n

.

¶W

Biên trơn Lipschitz.

C k (W)

Không gian các hàm có đạo hàm cấp k liên tục.

L2 (W)

Không gian các hàm đo được bình phương khả tích.

W 1, p (W)

Không gian Sobolev với chỉ số p .

1

H

2

(¶ W)

Không gian Sobolev với chỉ số 1/2

H 01 (W)

Không gian các hàm có vết bằng không trên ¶ W.

H - 1 (W)

Không gian đối ngẫu với H 0 W .

-

H

1
2

(¶ W)

×

V

1

( )

Không gian đối ngẫu với.
Chuẩn xác định trên không gian V .

()×

Tích vô hướng xác định trên không gian V .

C (W)

Hằng số Poincare.

V


6

MỞ ĐẦU
Một số bài toán trong cơ học các môi trường liên tục như các bài toán
nghiên cứu về lý thuyết dao động qua mô hình hóa đều đưa về các bài toán
biên cho phương trình elliptic cấp hai. Trong trường hợp khi môi trường là
thuần nhất và điều kiện biên bình thường thì việc tìm nghiệm của bài toán có
thể được thực hiện thông qua các phương pháp giải tích như các phương pháp
tách biến, phương pháp hàm Green hoặc các phương pháp tìm nghiệm xấp xỉ
như các phương pháp sai phân hay phương pháp phần tử hữu hạn. Tuy nhiên
khi điều kiện biên của bài toán là hỗn hợp mạnh tức là trên một đoạn biên
trơn tồn tại 2 loại điều kiện biên dạng hàm (Dirichlet) và dạng đạo hàm
(Neumann) thì trong thực tế điểm giao giữa 2 loại điều kiện này thường xảy
ra các hiện tượng gãy nứt vật liệu. Các điểm giao này người ta thường gọi là
các điểm kỳ dị. Trong trường hợp khi tồn tại các điểm kỳ dị thì các phương

pháp kể trên không thể thực hiện được. Để giải quyết các bài toán này, người
ta thường nghiên cứu theo 2 hướng sau đây:
 Xây dựng các hệ hàm riêng trực giao xung quanh lân cận của điểm
kỳ dị dưới dạng tọa độ cực và từ đó tìm nghiệm xấp xỉ của bài toán dưới dạng
khai triển tổng hữu hạn của các hệ hàm riêng. Từ đó bài toán đưa về việc xác
định các hệ số của khai triển thông qua việc giải các hệ đại số tuyến tính.
 Sử dụng các sơ đồ lặp chuyển bài toán có chứa điểm kỳ dị về các bài
toán con không chứa điểm kỳ dị. Từ đó áp dụng các phương pháp sai phân để
giải quyết các bài toán con qua đó xây dựng nghiệm của bài toán gốc ban đầu.
Xuất phát từ phân tích đó, mục tiêu nghiên cứu chính của luận văn là
tìm hiểu về một mô hình bài toán Motz, đây là mô hình bài toán elliptic cấp
hai có chứa 1 điểm kỳ dị mẫu mực, thường sử dụng để test các phương pháp
xấp xỉ trên thế giới, nghiên cứu cơ sở của phương pháp khai triển tìm nghiệm
xấp xỉ của bài toán Motz, đồng thời nghiên cứu cơ sở của phương pháp lặp


7

chuyển bài toán Motz về hai bài toán elliptic cấp hai, sử dụng phương pháp
sai phân để xác định nghiệm của bài toán gốc. So sánh kết quả thực nghiệm
của hai phương pháp. Các kết quả thực nghiệm được thực hiện trên máy tính
điện tử.
Nội dung chính của luận văn là tiến hành tìm hiểu nghiên cứu cơ sở lý
thuyết của các phương pháp tìm nghiệm xấp xỉ của bài toán biên elliptic cấp
hai trong miền phức tạp hoặc điều kiện biên phức tạp, đặc biệt bằng phương
pháp xác định nghiệm xấp xỉ thông qua các hệ hàm mẫu dạng tọa độ cực xung
quanh các điểm kỳ dị, so sánh với phương pháp chia miền và lập trình tính
toán thử nghiệm trên nền ngôn ngữ Matlab. Luận văn cấu trúc gồm 3 chương:
Chương 1: Đưa ra một số kiến thức cơ bản về không gian hàm và lý
thuyết về phương trình elliptic, lý thuyết về các sơ đồ lặp. Cơ sở phương pháp

chia miền và lý thuyết sai phân.
Chương 2: Trình bày mô hình của bài toán Motz và các phương pháp
tìm nghiệm xấp xỉ.
Chương 3: Một số kết quả thực nghiệm đối với bài toán Motz.
Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình của TS Vũ
Vinh Quang, em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành của mình đối với thầy.
Em xin chân thành cảm ơn các thầy, cô giáo trường Đại Học Khoa Học - Đại
Học Thái Nguyên, Viện Toán Học đã tham gia giảng dạy, giúp đỡ em trong
suốt quá trình học tập nâng cao trình độ kiến thức. Tuy nhiên vì điều kiện thời
gian và khả năng có hạn nên luận văn không thể tránh khỏi những thiếu sót.
Em kính mong các thầy cô giáo và các bạn đóng góp ý kiền để đề tài được
hoàn thiện hơn.


8

CHƯƠNG 1
CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN
Nội dung chương 1 của luận văn trình bày một số kiến thức cơ bản về
các không gian hàm, lý thuyết về các sơ đồ lặp và phương trình eliiptic cấp 2,
lý thuyết về phương pháp sai phân. Đây là các kiến thức nền tảng, là cơ sở
cho viện trình bày các nội dung trong chương 2 và chương 3 của luận văn.
Các kiến thức được tham khảo trong các tài liệu [4, 5, 7, 8].
1.1 Không gian Sobolev
1.1.1 Không gian C

k

(W)

Giả sử W là một miền bị chặn trong không gian Euclid n chiều ¡

n

và

W là bao đóng của W. Ta kí hiệu C k (W), (k = 0,1, 2...) là tập các hàm có
đạo hàm đến cấp k kể cả k trong W, liên tục trong W. Ta đưa vào C

k

(W)

chuẩn

u

(

C

k

(W)

Trong đó a = a 1, a 2 ,..., a n

=

å

max D a u (x ) .

a £k

xÎ W

) được gọi là đa chỉ số vectơ với các tọa độ

nguyên không âm, a = a 1 + a 2 + ... + a n :
a

D u=

¶

a 1 + ...+ a n

u

a1
1

an
n

¶ x ...¶ x

.

Sự hội tụ theo chuẩn đã cho là sự hội tụ đều trong W của các hàm và tất cả
đạo hàm của chúng đến cấp k . Rõ ràng tập C
không gian Banach.

k

(W) với chuẩn đã cho là


9

1.1.2 Khụng gian L

p

(W)

Gi s W l mt min trong Ă

n

v p l mt s thc dng. Ta kớ hiu

Lp (W) l lp cỏc hm o c f xỏc nh trờn W sao cho:

ũ f (x )

p

dx < Ơ

(*)

W

trong L

p

(W) ta ng nht cỏc hm bng nhau hu khp trờn W. Nh vy cỏc

phn t ca L

(W) l cỏc lp tng ng cỏc hm o c tha món (*) v

p

hai hm tng ng nu chỳng bng nhau hu khp trờn W. Vỡ :
p

f (x ) + g (x ) Ê
nờn rừ rng L
Ta a vo L

p

p

(

f (x ) + g (x )

p

)

p
pử
ổ
Ê 2p ỗỗ f (x ) + g (x ) ữ
ữ
ữ,
ố
ứ

(W) l mt khụng gian vect.

(W) phim hm

. c xỏc nh bi:
p

1

u
1.1.3 Khụng gian W

1, p

p

ỡù
ỹ
p
ùù p
ù
= ớ ũ u (x ) dx ý .
ùù W
ùù
ợ
ỵ

(W)

1.1.3.1 nh ngha
Cho W l mt min trong Ă

n

( ) c gi l kh tớch a

. Hm u x

()

phng trong W nu u x l mt hm trong W v vi mi x 0 ẻ W u tn

()

ti mt lõn cn w ca x 0 u x kh tớch trong w .

10

1.1.3.2 Định nghĩa
Cho W là một miền trong ¡

n

() ()

. Giả sử u x , v x là hai hàm khả tích

địa phương trong W sao cho ta có hệ thức:

ò u ¶x
W

()

¶ kj
k1
1

k

...¶ x

kn
n

dx = (- 1)

ò ¶x
W

¶ ku
k1
1

...¶ x

( )

kn
n

j dx ,

(

)

đối với mọi j x Î C 0 W , k = k1 + ... + kn , ki £ 0 i = 1, 2,..., n .
Khi đó

k

¶ ku
k

k

¶ x 1 1 ...¶ x nn

()

được gọi là đạo hàm suy rộng cấp k của u x .

Kí hiệu:

v (x ) =

¶ ku
k1
1

¶ x ...¶ x

kn
n

.

1.1.3.3 Định nghĩa
Giả sử p là một số thực, 1 £ p < ¥ , W là một miền trong ¡
Không gian Sobolev W

1, p

(W) được định nghĩa như sau:

ïì
ïü
¶u
W 1, p (W) = ïí u | u Î Lp (W),
Î Lp (W), i = 1,..., n ïý,
ïï
ïï
¶ xi
î
þ
trong đó các đạo hàm trên là các đạo hàm suy rộng.
Với p = 2 , ta kí hiệu W

1,2

(W) =

H 1 (W), nghĩa là:

ïìï
ïü
¶u
2
2
H (W) = í u | u Î L (W),
Î L (W), i = 1, 2,..., n ïý.
ïï
ïï

¶ xi
î
þ
1

n

.


11

1

( )

1.1.4 Không gian H 0 W và khái niệm vết của hàm
1.1.4.1 Định nghĩa
Với bất kì 1 £ p < ¥ , không gian Sobolev W0

1, p

(W) được định nghĩa

( )

như các bao đóng của D W (không gian các hàm khả vi vô hạn có giá
compact trong W) tương ứng với chuẩn của W

1, p

(W). Không gian H (W)
1
0

được xác định bởi

H 01 (W) = W01,2 (W).
1.1.4.2 Định lý (Định lý vết)
i) Tồn tại duy nhất một ánh xạ tuyến tính liên tục được gọi là vết

(

)

(

)

g : H 1 R n - 1 ´ R +* a L2 R n - 1 ,

(

sao cho với bất kì u Î H R
1

n- 1

)

(

)

´ R +* Ç C 0 R n - 1 ´ R + , ta có g (u ) = u |R n - 1 .

ii) Giả sử W là một tập mở trong R

n

sao cho ¶ W là liên tục Lipschitz

thì tồn tại duy nhất một ánh xạ tuyến tính liên tục:

g : H 1 (W) ® L2 (¶ W),
sao cho với bất kì u Î H

1

(W) Ç C (W) ta có g (u ) =
0

u |¶ W. Hàm g (u )

được gọi là vết của u trên ¶ W.
1.1.4.3 Định nghĩa
Giả sử biên ¶ W là liên tục Lipschitz, không gian H
miền giá trị của ánh xạ vết g , tức là:

H

1
2

(¶ W) = g (H (W)).
1

1
2

(¶ W) được gọi là


12

1.1.5 Không gian Sobolev với chỉ số âm H

- 1

-

1

(W) và H (¶ W)
2

1.5.1.1 Định nghĩa.
Ta kí hiệu H

(W) là một không gian Banach được xác định bởi:

- 1

'

(

)

H - 1 (W) = H 01 (W) ,
với chuẩn:

F,u
F
Trong đó F , u

H-

1

H-

1

(W)

(W),H 01(W)

=

sup

H-

u

H 01 (W)\ {0}

1

(W),H 01(W)

.

H 01 (W)

là tích năng lượng trên cặp không gian đối ngẫu.

1.1.5.2 Định nghĩa
Giả sử ¶ W liên tục Lipschitz, ta kí hiệu H

-

1
2

(¶ W) là một không gian

Banach được xác định như sau:

H

-

1

'

(¶ W) = (H (¶ W)) ,
1

2

2

với chuẩn tương ứng
1.2 Phương trình elliptic
Giả sử WÎ ¡

n

là miền giới nội với biên ¶ W= G . Xét phương trình

()

đạo hàm riêng tuyến tính cấp 2m của ẩn hàm u x , x Î W

Au =

å

|a |£ 2m

a a (x )D a u = f (x ),

() ()

(1.1)

trong đó a a x , f x là các hàm cho trước, A là một toán tử vi phân
tuyến tính, ta có:
i)

Với m=1 thì (1.1) là phương trình đạo hàm riêng cấp hai.


13

ii)

Với m=2 thì (1.1) là phương trình đạo hàm riêng cấp bốn.

Bài toán tìm nghiệm của (1.1) được gọi là bài toán biên nếu trên biên G

()

nghiệm u x thỏa mãn một số điều kiện biên:

B i (u ) = gi , i = 0,1,..., m - 1,

()

trong đó B i u , i = 0,1,..., m - 1 là các toán tử biên.
1.2.1 Khái niệm nghiệm yếu của phương trình
Xét phương trình:

- Vu = f .
Giả sử u Î C

2

(W), f

(1.2)

Î C (W) và phương trình (1.2) thỏa mãn trong

( ) được gọi là nghiệm cổ điển của phương trình (1.2).

miền W. Khi đó, u x

( )

¥

Lấy hàm j bất kì thuộc D W = C 0

(W) nhân với hai vế của (1.2) rồi lấy

tích phân ta được:

ò Vuj dx = ò f j dx .

-

W

(1.3)

W

Áp dụng công thức Green vào (1.3) và kết hợp với điền kiện j |¶ W= 0 ta có:
n

òå

W i= 1

¶j ¶u
dx =
¶ xi ¶ xi

ò f j dx ,

(1.4)

W

hay:

ò Ñ u Ñ fdx = ò f j dx .
W

W

Như vậy, nếu u là nghiệm của phương trình (1.2) thì có (1.4). Nhưng

( )

nếu f Î C W thì phương trình (1.2) không có nghiệm cổ điển. Vậy ta cần

( )

mở rộng khái niệm khi f Î L W .
2


14

1.2.1.1 Định nghĩa
Giả sử u Î H

1

(W), f

Î L2 (W), u được gọi là nghiệm yếu của phương

trình (1.1) nếu (1.3) được thỏa mãn.
1.2.1.2 Mệnh đề

Nếu u là nghiệm yếu của phương trình (1.2) và u Î C

2

(W), f

Î C (W)

thì u là nghiệm cổ điển, tức là - Vu = f .
Chứng minh. Giả sử u là nghiệm yếu của phương trình (1.2), tức là

u Î H 1 (W) và ta có (1.4) với mọi hàm j Î D (W), kết hợp với điều kiện
u Î C 2 (W) ta suy ra:

ò (Vu + f )j dx =

0, " u Î D (W),

W

( )

( )

( )

vì D W trù mật trong L W ,Vu + f trực giao vơi mọi j Î D W nên
2

Vu + f = 0 trong L2 (W). Nhưng vì Vu liên tục nên Vu + f º 0 trong

C (W). Vậy u là nghiệm cổ điển của phương trình (1.2). W
1.2.2 Phát biểu các bài toán biên
1.2.2.1 Bài toán Dirichlet
Xét bài toán:

ìï - Vu = f , x Î W,
ï
í
ïï u = j , x Î ¶ W,
î

( )

trong đó f Î L W .
2

Hàm u Î H

1

(W) được gọi là nghiệm yếu của bài toán (1.5) nếu:

(1.5)


15

u - w Î H 01 (W),
trong đó w là hàm thuộc H

1

(W), có vết bằng j

(1.6)
và:

ò Ñ u Ñ vdx = ò fvdx , " v Î
W

H 01 (W).

(1.7)

W

1.2.2.2 Nhận xét
+ Nghiệm yếu của bài toán (1.5) là nghiệm yếu của phương trình - Vu = f ,
vì ta đã định nghĩa nghiệm yếu của phương trình này là hàm u Î H
¥

thỏa mãn (1.7) với mọi v Î C 0

(W) Ì

1

(W)

H 01 (W).

+ Nếu u là nghiệm yếu của bài toán (1.5) và đặt u , f , j đủ trơn thì nghiệm
theo nghĩa cổ điển.
1.2.2.3 Bài toán Neumann
Xét bài toán :

ìï - Vf = u , x Î W,
ïï
í ¶u
ïï
= h, x Î ¶ W,
ïî ¶ n

( )

( )

trong đó h Î C ¶ W , f Î C W , u Î C

2

(1.8)

(W) là nghiệm cổ điển.

Nhân hai vế của phương trình - Vu = f với v Î H

1

(W) rồi lấy tích phân

ta được:

-

ò vVudx = ò vfdx .
W

(1.9)

W

Áp dụng công thức Green vào (1.9) ta có:

-

òv
¶W

¶ Du
dS +
¶n

Kết hợp với (1.8) ta suy ra:

ò Ñ u Ñ vdx = ò vfdx .
W

W

16

ò Ñ u Ñ vdx = ò fvdx + ò hvdS , " v Î
W

W

H 1 (W).

(1.10)

¶W

1.2.2.4 Định nghĩa

( )

( )

Nếu h Î L ¶ W , f Î L W thì nghiệm yếu của bài toán Neumann (1.7) là
2

hàm u Î H

1

2

(W) thỏa mãn (1.10).

1.3 Kiến thức về các sơ đồ lặp cơ bản
1.3.1 Lược đồ lặp hai lớp
Xét bài toán:

Ay = f.

(1.11)

Trong đó A : H ® H là toán tử tuyến tính trong không gian Hilbert thực
hữu hạn chiều H . Giả sử A là toán tử đối xứng, xác định dương, f Î H là
vectơ tùy ý. Trong mỗi phương pháp lặp, xuất phát từ y 0 bất kì thuộc H ,
người ta đưa ra cách xác định nghiệm xấp xỉ y 1,y 2,..., y k ,... của phương trình
(1.11). Các xấp xỉ như vậy được biết như là các cặp giá trị lặp với chỉ số lặp

k = 1, 2,... , bản chất của những phương pháp này là giá trị y k + 1 có thể được
tính thông qua các giá trị lặp trước: y k , y k - 1,...
phương pháp lặp được gọi là phương pháp lặp một bước hoặc hai bước nếu
xấp xỉ y k + 1 có thể được tính thông qua một hoặc hai giá trị trước đó. Dạng
chính tắc của lược đồ lặp hai lớp là:

Bk

yk + 1 - yk
qk+1

+ A y k = f , k = 0,1, 2,...

(1.12)

lược đồ lặp (1.12) cho ta xấp xỉ các nghiệm y của phương trình (1.11) với bất
kì toán tử B k và cách chọn tham số qk + 1 . Nếu B k = E thì lược đồ lặp
(1.11) được gọi là lược đồ lặp hiện.


17

yk + 1 - yk
qk + 1

+ Ay = f , k = 0,1, 2,...

(1.13)

k

trong trường hợp qk = q là hằng số thì lược đồ lặp (1.13) còn gọi là lược đồ
lặp đơn giản. Nếu B k ¹ E thì lược đồ lặp (1.11) được gọi là lược đồ ẩn.
1.3.2 Lược đồ dừng, các định lý cơ bản về sự hội tụ của phương pháp lặp
Lược đồ lặp (1.12) với toán tử B k = B , tham số qk + 1 = q không đổi

(k =

0,1, 2,...) còn được gọi là lược đồ lặp dừng, có dạng:

B

yk + 1 - yk
q

+ Ay = f , k = 0,1, 2...

(1.14)

k

1.3.2.1 Định lý
Nếu A là toán tử đối xứng , xác định dương thì:

B>

1
1
qA hay (Bx , x ) > q (Ax , x ), " x Î H ,
2
2

(1.15)

là điều kiện đủ cho sự hội tụ của lược đồ lặp (1.13) trong không gian H A với

r < 1 tốc độ hội tụ cấp số nhân.

zk + 1

A

£ r zk

A

, k = 0,1, 2,...

(1.16)

1.4 Phương pháp sai phân
Lưới sai phân

ìï - D u = f , x Î W,
ï
í
ïï u = g,
x Î ¶ W,
î

Xét bài toán

{

(1.17)

}

trong đó W= (x , y ) Î R , a £ x £ b, c £ y £ d , chọn 2 số nguyên
2

N>1và M > 1, đặt h = (b - a)/N gọi là bước lưới theo x, k = (d - c)/M gọi là
bước lưới theo y. Đặt x i = a + ih, y j = c + jk , i = 0...N , j = 0...M .

18

Mỗi điểm (x i , y j ) gọi là một nút lưới ký hiệu là nút (i,j). Tập tất cả các nút
trong ký hiệu là Whk . Nút ở trên biên G gọi là nút biên, tập tất cả các nút biên
kí hiệu là Ghk , tập Whk = Whk È Ghk gọi là một lưới sai phân trên W.
Hàm lưới: Mỗi hàm số xác định tại các nút của lưới gọi là một hàm
lưới, giá trị của hàm lưới u(x,y) tại nút lưới (i,j) viết tắt là u i , j . Mỗi hàm u(i,j)
xác định tại mọi (x , y ) Î W tạo ra hàm lưới u xác định bởi u i , j .
Bài toán sai phân: Kí hiệu Lu = f là các hàm số hai biến x, y có các
đạo hàm riêng đến cấp m liên tục trong W= WÈ G. Giả sử bài toán có
nghiệm u Î C (W) , khi đó:
4

¶ 4u
max ( x ,y )Î W |
(x , y ) |£ C 1 = const ,
¶x4

¶ 4u
max ( x ,y )Î W |
(x , y ) |£ C 2 = const .
¶y4
Do đó theo công thức Taylor ta có:

u (x i + 1, y j ) = u (x i ) + h, y j

¶ u h 2 ¶ 2u h 3 ¶ 3u
= u (x i , y j ) - h
+
+ O (h 4 ),

2
3
¶x
2! ¶ x
3! ¶ x
hay

u (x i + 1, y j ) - 2u (x i , y j ) + u (x i - 1, y j )
h2

¶ 2u
2
=
+
O
(
h
).
¶x2

Một cách tương tự:

u (x i , y j + 1 ) = u (x i , y j + k )

¶ u k 2 ¶ 2u k 3 ¶ 3u
= u (x i , y j ) + k
+
+
+ O (k 4 ),
2

3
¶y
2! ¶ y
3! ¶ y


19

u (x i , y j - 1 ) = u (x i , y j - k ) 00.
Do đó:

u (x i , y j + 1 ) - 2u (x i , y j ) + u (x i , y j - 1 )
k2

¶ 2u
2
=
+
O
(
k
).
¶y2

Vậy ta có:

u (x i + 1, y j ) - 2u (x i , y j ) + u (x i - 1, y j )
2

h

u (x i , y j + 1 ) - 2u (x i , y j ) + u (x i , y j - 1 )
2

k
D u + O (h + k ).
2

+
=

2

Ta đặt:

u i + 1, j - 2u i , j + u i - 1, j

D hk u º

h2

+

u i , j + 1 - 2u i , j + u i , j - 1
k2

.

Khi đó chứng tỏ:

D khu = D u + o(h 2 + k 2 ).

2

2

Số hạng O (h + k ) là một vô cùng bé bậc hai. Ta nói toán tử D kh
xấp xỉ toán tử D , điều đó cho phép thay phương trình vi phân bằng phương
trình sai phân:

D hk u = fij ,

fij = f (x i , y j ),

(x i , y j ) Î Whk ,

tức là:

u i + 1, j - 2u i , j + u i - 1 j
h2

+

u i , j + 1 - 2u i , j + u i , j - 1
k2

= f (x i , y j ),(x i , y j ) Î Whk , (1.18)

đồng thời thay điều kiện biên bằng điều kiện:

u ij = g(x i , y j ),

(x i , y j ) Î Ghk .

(1.19)


20

Ta được bài toán sai phân hoàn chỉnh, tìm hàm lưới u tại các nút (i, j )
thỏa mãn hệ phương trình sai phân (1.18) với các điều kiện biên (1.19). Như
vậy việc tìm nghiệm xấp xỉ của bài toán vi phân với độ chính xác cấp hai
được đưa về việc giải bài toán sai phân (1.18) với điều kiện (1.19) bằng các
phương pháp đại số.
1.5 Giới thiệu thư viện RC2009
Thư viện chương trình RC2009 là sự phát triển của thư viện T2004 tìm
nghiệm số của bài toán biên hỗn hợp trong trường hợp toán tử của phương
trình phức tạp hơn.
Cho W là hình chữ nhật

{

}

W= x = (x 1, x 2 ) Î R 2 : 0 < x 1 < l1;0 < x 2 < l2 .
Xét bài toán
2
2
ìï
ïï k (x ) ¶ u + k (x ) ¶ u + c(x )u = f (x ), x Î W,
2
ïí 1 ¶ x 2

¶ x 22
1
ïï
l u = j (x ),
x Î ¶ W,
ïïî

(1.20)

trong đó f Î L (W); j Î L ( G).
2

2

1.5.1 Bài toán biên Dirichlet
Xét trường hợp khi toán tử lu = u tức là điều kiện biên dạng Dirichlet,

k1, k2 , c là các hằng số, W là hình chữ nhật có kích thước hai cạnh là L1, L2.

(

Xuất phát từ phương pháp lưới chia miền W thành M ´ N

) điểm lưới,

n
trong đó N = 2 , n > 0 . Kí hiệu h1 = L1 / M , h2 = L2 / M là các bước

lưới, j là véc tơ hàm vế phải của phương trình. Từ phương pháp sai phân với

21

(

2

2

độ chính xác O h1 + h2

) chuyển bài toán đang xét về bài toán sai phân

tương ứng với hệ phương trình véc tơ ba điểm

- Y j - 1 + CY j - Y j + 1 = Fj ;Y 0 = F0,Y N = FN ; j = 1, N - 1.
Trong đó Yj là các véc tơ nghiệm, Fj là các véc tơ cấp (M-1), C là ma trận hệ

(

) (

)

số cấp M - 1 ´ M - 1 được xác định như sau:

Y j = (u 1, j , u 2, j ,..., u M - 1, j ), j = 0, N
F0 = (g1,0 , g2,0 ,..., gM - 1,0 ), FN = (g1,N , g2,N ,..., gM - 1,N ).

Ma trận C có dạng

éd - r 0 ... 0
0
0 ùú
ê
ê- r d - r ... 0
0
0 úú
ê
ê 0 - r d ... 0
0
0 úú
ê
C = êê M M M M M M Múú,
ê0
0
0 ... d - r 0 úú
ê
ê
ú
0
0 ... - r d - r ú
ê0
ê
ú
0
0 ... 0 - r d ú
êë 0
û

trong đó

r =

k1 h22
k2 h12

,

é h2
ù
ê 2 j + rg ú
ê k 1, j
0, j ú
ê 2
ú
2
ê
ú
h2
ê
ú
j 2, j
ê
ú
k2
ê
ú
ê
ú,

Fj = ê
M
ú
ê
ú
2
ê h2
ú
j M - 2, j
ê
ú
ê k2
ú
ê2
ú
êh2
ú
ê j M - 1, j + rgM , j ú
êëk2
úû

d = 2 (r + 1) + c

h22
k2

.


22

Trên cơ sở thuật toán thứ nhất tiến hành cài đặt giải hệ phương trình
trên. Thiết kế các hàm RC0000(phi,b1,b2,b3,b4,l1,l2,k1,k2,cc,N,M,n) thực
hiện thuật toán thu gọn.
Hàm v0000(phi,b1,b2,b3,b4,l1,l2,k1,k2,cc,M,N,n,p1,p2,q1,q2) trả lại
ma trận nghiệm xấp xỉ của bài toán (1.24) bắt đầu từ tọa độ (p1,q1) đến (p2,q2).
1.5.2 Bài toán biên Neumann
Xét bài toán biên hỗn hợp
2
2
ìï
ïï k (x ) ¶ u + k (x ) ¶ u + c(x ) = f (x ), x Î W,
2
ïí 1 ¶ x 2
(1.21)
¶ x 22
1
ïï
l u = g (x ),
x Î ¶ W.
ïïî
Trong đó l là toán tử điều kiện biên ( l u = u nếu điều kiện biên là

Dirichlet, l u = ¶ u / ¶ v nếu điều kiện biên là Neumann) và tồn tại ít nhất 1
cạnh là điều kiện biên Neumann.
Trường hợp 1: Điều kiện trên cạnh trên của hình chữ nhật là dạng Neumann.

(

2

2

Từ phương pháp sai phân với độ chính xác O h1 + h2

) chuyển bài toán vi

phân (1.25) về bài toán sai phân tương ứng với hệ phương trình véc tơ ba
điểm

- Y j - 1 + CY j - Y j + 1 = Fj ;Y 0 = F0, - 2Y N - 1 + CY N = FN ; j = 1, N - 1,

(

)

trong đó Yj là các véc tơ nghiệm, F j là các véc tơ cấp M - 1 ,C là ma trận

(

) (

)

hệ số cấp M - 1 ´ M - 1 được xác định như sau:

Y j = (u 1, j , u 2, j ,..., u M - 1, j ), j = 0, N

(

)

F0 = b3 (1), b3 (2),..., b3 (M - 1) .


23

ổ h2
ửữ
ỗỗ 2
j 1,N + 2h2b4 (1) + rb1 (N ) ữữữ ộd - r 0
ỗỗ
ữữ ờ
ỗỗ k2
ữữ ờ- r d - r
2
ỗỗ
h2
ữữ ờ
ỗỗ
j 2,N + 2h2b4 (2)
ữữ ờ 0 - r d
ỗỗ
k2
ữữ ờ
ỗỗ
ữữC = ờ M M M
FN = ỗ
M
ữữ ờ

ỗỗ
ữữ ờ 0 0 0
2
ỗỗ h2
ờ
j M - 2,N + 2h2b4 (M - 2) ữữữ ờ
ỗỗ
ữữ ờ 0 0 0
ỗỗ k2
ữữ ờ
2
ỗỗh
ữữ ờ 0 0 0
ỗỗ 2 j
ữữ ở
+
2
h
b
M
1
+
rb
N
(
)
(
)
2 4
2

ỗốk M - 1,N
ứữ
2
j = 1,2,...N - 1,

...
...
...
M
...
...
...

0
0
0
M
d
-r
0

ộ h2
ự
ờ 2 j + rb j ỳ
ờ k 1, j
1( ) ỳ
0 0 ựỳ
ờ 2
ỳ
2

ờ
ỳ
0 0 ỳỳ
h2
ờ
ỳ
j 2, j
ờ
ỳ
0 0 ỳỳ
k2
ờ
ỳ
ỳ,
M Mỳỳ, Fj = ờờ
M
ỳ
ờ
ỳ
2
- r 0 ỳỳ
ờ h2
ỳ
j M - 2, j ỳ
ỳ
ờ
d - rỳ
ờ k2
ỳ
ỳ

ờ2
ỳ
-r dỳ
h2
ờ
ỳ
ỷ
ờ j M - 1, j + rb2 (j )ỳ
ờởk2
ỳỷ

trong ú

r =

k1 h22
k2 h12

,

d = 2 (r + 1) + c

h22
k2

.

Trờn c s ca thut toỏn th hai ỏp dng trong trng hp ó bit vộc
t F0, tin hnh ci t gii h phng trỡnh vec t ba im.
Thit k hm RC0001(phi,b1,b2,b3,b4,l1,l2,k1,k2,cc,N,M,n) thc hin

thut toỏn thu gn.
Hm v0001(phi,b1,b2,b3,b4,l1,l2,k1,k2,cc,M,N,n,p1,p2,q1,q2) tr li
ma trn nghim xp x ca bi toỏn (1.59) t ta (p1,q1) n (p2,q2). Trong
trng hp khi iu kin biờn trờn mt trong cỏc cnh cũn li l dng
Neumann, s dng phng phỏp bin i ta trờn c s ca hm chun
RC0001() xõy dng cỏc hm v0010(),v0100(),v1000() tr li nghim
bng s ca cỏc bi toỏn tng ng.


24

Trng hp 2: iu kin biờn trờn cnh phi v cnh trờn ca hỡnh ch nht

(

2

2

l dng Neumann. Vi chớnh xỏc O h1 + h2

) chuyn bi toỏn vi phõn

(1.26) v bi toỏn sai phõn tng ng vi h phng trỡnh vec t ba im

- Y j - 1 + CY j - Y j + 1 = Fj ;Y 0 = F0 ; - 2Y N - 1 + CY N = FN ; j = 1, N
trong ú Yj l cỏc vec t nghim, Fj l cỏc vec t cp (M), C l ma trn h s

( ) ( )

cp M M c xỏc nh nh sau

Y j = (u 1, j , u 2, j ,..., u M , j ), j = 0, N

(

)

F0 = b3 (1), b3 (2),..., b3 (M ) ,

ổ h2
ữữử
ỗỗ 2
ỗỗ j 1,N + 2h2b4 (1) + rb1 (N ) ữữ ộd - r 0 ...
ữữ ờ
ỗỗ k2
ữữ ờ- r d - r ...
ỗỗ
h22
ữữ ờ
ỗỗ
j 2,N + 2h2b4 (2)
ữữ ờ 0 - r d ...
ỗỗ
k2
ữữ ờ
ỗỗ
ữữC = ờ M M M M
FN = ỗ
M

ữữ ờ
ỗỗ 2
ữữ ờ 0 0 0 ...
ỗỗ h2
ờ
j M - 1,N + 2h2b4 (M - 1) ữữữ ờ
ỗỗ
ữữ ờ 0 0 0 ...
ỗỗ k2
ữữ ờ
ỗỗh 2
ỗỗ 2 j + 2h b (M ) + 2rh b (N )ữữữ ờở 0 0 0 ...
12
ữữ
ỗốk M ,N 2 4
ứ
2
j = 1,2,..., N - 1.

0
0
0
M
d
-r
0

ộ h2
ự
ờ 2 j + rb j ỳ

0 0 ựỳ ờ k 1, j 1 ( ) ỳ
ờ 2
ỳ
ỳ
2
ờ
ỳ
0 0ỳ ờ
h2
ỳ
j 2, j
ỳ
ờ
ỳ
0 0ỳ ờ
k2
ỳ
ỳ
ờ
ỳ
M MỳFj = ờ
M
ỳ
ỳ
ờ
ỳ
2
- r 0 ỳ ờ h2
ỳ
j M - 1, j ỳ

ỳ ờ
d - r ỳ ờ k2
ỳ
ỳ ờ2
ỳ
- r d ỳ ờh2
ỷ ờ j + 2rh b (j )ỳỳ
M ,j
12
ờởk2
ỳỷ

Trờn c s ca thut toỏn th hai ỏp dng trong trng hp ó bit vec t F0,
tin hnh ci t gii h phng trỡnh vec t ba im.
Thit k hm RC0002(phi,b1,b2,b3,b4,l1,l2,k1,k2,cc,N,M,n) thc hin
thut toỏn thu gn.