Toán lớp 12: 5 đề thi online – tính nguyên hàm của hàm hữu tỷ (tiết 2) – có lời giải chi tiết

ĐỀ THI ONLINE – TÍNH NGUYÊN HÀM CỦA HÀM HỮU TỶ PHẦN 2 – CÓ LỜI GIẢI CHI TIẾT
Câu 1. Họ nguyên hàm của hàm số

2x  3
dx là:
2
 x 1

 2x

A.

2
5
ln 2x  1  ln x  1  C
3
3

2
5
B.  ln 2x  1  ln x  1  C
3
3

C.

2
5
ln 2x  1  ln x  1  C
3
3

1
5
D.  ln 2x  1  ln x  1  C
3
3

Câu 2 : Tìm nguyên hàm của hàm số f  x  

1
x  2x  2
2

A.  f  x dx  arcsin  x  1  C

B.  f  x dx  arctan  x  1  C

C.  f  x dx  arccos  x  1  C

D.  f  x dx  arccot  x  1  C

Câu 3. Hàm số nào sau đây không là nguyên hàm của hàm số f (x) 

x 2  x 1
A.
x 1

x 2  x 1
B.
x 1

Câu 4. Nguyên hàm của hàm số f  x  
A.

1
x a
ln
C
2a x  a

Câu 5. Cho hàm số f  x  

Fx ?

B.

Câu 6.
A. 

x

2

?

x2  x  1
C.
x 1

x2

D.
x 1

1
là:
x  a2

1 x a
ln
C
a xa

C.

1
xa
ln
C
2a x  a

D.

1 xa
ln
C
a x a

x 3  3x 2  3x  1
1
. Gọi F  x  là một nguyên hàm của f  x  thỏa mãn F 1  . Tìm

2
x  2x  1
3

x2
1
5
B. F  x  
x

2
x 1 3

x2
2
5
x

2
x 1 3
2

 x  1

2

x2
2
13
A. F  x  

x

2
x 1 6
C. F  x  

x  x  2

D. F  x  

x2
2
13
x

2
x 1 6

1
dx bằng?
 6x  9

1
C
x 3

B.

1
C

x 3

C.

1
C
x3

D.

1
C
3 x

Câu 7. Phát biểu nào sau đây đúng?

1 Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa GDCD tốt nhất!


A.

x

C. 

7x  1
dx  2ln x  1  5ln x  2  C
x2

2

7x  1
dx  2ln x  1  5ln x  2  C
x x2
2

Câu 8.

x

2

7x  1
dx  2ln x  1  5ln x  2  C
x2

B.

x

2

D.

x

2

7x  1
dx  2ln x  1  5ln x  2  C

x2

x 1
dx bằng?
 3x  2

A. 3ln x  2  2ln x  1  C

B. 2 ln x  2  3ln x  1  C

C. 3ln x  2  2 ln x  1  C

D. 2 ln x  2  3ln x  1  C

Câu 9. Cho hàm số f  x  
A. x 

x 2  2x  1
. Nguyên hàm F  x  của f  x  thỏa mãn F 1  0 là:
x 2  2x  1

2
2
x 1

Câu 10.

B. x 

x

  x  1

A. ln x  1 

2

2
2
x 1

C. x  2 ln  x  1

2

D. x 

2
2
x 1

dx bằng?

1
C
x 1

B. ln x  1  C

C. ln x  1  x  1  C

D.

1
C
x 1

Câu 11. Phát biểu nào sau đấy đúng?
A.

B.




C. 

D.



x 3  x 2  5  e 2   x  6  5e 2   6e 2  1
x 2  5x  6
x 3  x 2  5  e 2   x  6  5e 2   6e 2  1

dx 

x2
x 3
 e 2 x  ln

C
2
x2

dx 

x2
x 3
 e 2 x  ln
C
2
x 2

x 2  5x  6

x 3  x 2  5  e 2   x  6  5e 2   6e 2  1
x 2  5x  6

x 3  x 2  5  e 2   x  6  5e 2   6e 2  1
x 2  5x  6

x2
x 3
dx 
 e 2 x  ln
C
2
x2

dx 

x2
x 3
 e 2 x  ln
C
2
x2

Câu 12. Phát biểu nào sau đây là đúng?
A.

xdx
1 x2  3


  x 2  2 x 2  3 2 ln x 2  2  C

B.

xdx
1 x2  3


  x 2  2 x 2  3 2 ln x 2  2  C

C.

xdx
1 x2  3


  x 2  2 x 2  3 2 ln x 2  2  C

D. 

xdx
1 x2  3

ln
C
 x 2  2 x 2  3 2 x 2  2

2 Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa GDCD tốt nhất!


Câu 13.

xdx

 4x

2

bằng:

1
A.  ln 4  x 2  C
2

B.

Câu 14. Để tính I  

1 2x
C.  ln
C
2 2x

1
ln 4  x 2  C
2

1 2x
D.  ln
C
2 2x

4x  1
4x  1
Ax  B
C
dx , ta đặt : 3
 2

2
2
x  2x  x  2
x  2x  x  2 x  1 x  2
3

Dùng phương pháp đồng nhất 2 vế ta được :

9
2
9
A. A  , B  ,C 
5
5
5

B. A  9, B  2, C  9

9
2
9
C. A  , B  ,C 
5
5
5

D. Đáp án khác

Câu 15 : Trong các hàm số sau đây, hàm số nào không phải là nguyên hàm của hàm số f  x   1 
x2  x 1
A. F  x  
x 1

B. F  x  

3

 x  12

x2  x  3
C. F  x  
x 1

x 2  1  cos   x  cos   3

D. F  x  

x 1

x 2  1  sin 2  x  sin 2  3
x 1

ex
Câu 16: Đâu không phải là một nguyên hàm của hàm số f  x   x
e 4



A. F  x   ln e  4
x

ex  4
B. F  x   ln
2





C. F  x   ex ln ex  4



D. F  x   ln ex  4  sin 

Câu 17. Bài toán sau đây giải sai từ bước nào?
Tìm nguyên hàm của hàm số sau: f  x  

x 2  2x  1
2x 3  3x 2  2x

Bước 1: Ta có : 2x 3  3x 2  2x  x  x  2  2x  1
Bước 2:

x 2  2x  1
x 2  2x  1
B
C 
A
I   f  x  dx   3
dx  
dx    

dx
2
x  x  2  2x  1
2x  3x  2x

 x x  2 2x  1 


A  x  2  2x  1  Bx  x  2   Cx  2x  1
x  x  2  2x  1



x 2  2A  B  2C   x  3A  2B  C   2A
x  x  2  2x  1

dx

3 Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa GDCD tốt nhất!


1

A  2
2A  B  2C  1

1



3A

2B

C


2

Bước 3: Đồng nhất hệ số

B 
5
2A  1


1

C  10

Bước 4: I  

1
1
1
1
1
1
dx  
dx  
dx  ln x  ln 2x  1  ln x  2  C
2x
5  2x  1
10  x  2 
2
5

10

A.1

B.2

C.3

D.4

Câu 18. Số phát biểu đúng là :
1. Hàm số f  x  

1
có một nguyên hàm là F  x    ln 2  x
2x
3

2. Hàm số f  x   2x  1 có một nguyên hàm là F  x    2x  1 2


3. Hàm số f  x  
4.Hàm số f  x  

x x
x



3

3

1
1  x  1 x  5 
có một nguyên hàm là F  x   ln
8
 x  1 x  3 x  5
 x  32

A.1

B.2
1

  ln x  5 ln x  6

Câu 19. Tính

5

2
3
6
1
có một nguyên hàm là F  x   x 2  x 2  x 2  x 3  1
3
2
5
3

C.3

D.4

1

log e x dx

A. log e.ln

ln x  5
C
ln x  6

B. log e.ln

C. log e.ln

ln x  6
C
ln x  5

D.  log e.ln

Câu 20.

 4x

4x  1

dx bằng?
 2x  5

1
C
4x  2x  5
2

ln x  6
C
ln x  5

2

1
A. ln  4x 2  2x  5   C
2
C.

ln x  6
C
ln x  5

B. 

1
C
4x  2x  5
2

D.  ln  4x 2  2x  5   C

4 Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa GDCD tốt nhất!


HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
THỰC HIỆN BỞI BAN CHUYÊN MÔN TUYENSINH247.COM

1B

2B

3A

4A

5D

6A

7C

8A

9D

10A

11C

12D

13A

14C

15A

16C

17B

18C

19B

20A

Câu 1.
Hướng dẫn giải chi tiết
Ta có:

2x  3
2x  3
B 
 A
dx  
dx   

 dx

2
2x  x  1
(2x  1)(x  1)
 2x  1 x  1 
Ax  A  2Bx  B

dx
 2x  1 x  1
Fx  

4

A



A  2B  2
3

Đồng nhất hệ số ta được 
A  B  3 B  5

3
Suy ra

5 1 
4 dx
5 dx
 4 1
F x      .

 .
 
 dx   
3 2x  1 3 x  1
 3 2x  1 3 x  1 
4 1
5
2
5
  . ln 2x  1  ln x  1  C   ln 2x  1  ln x  1  C
3 2
3
3
3

 C  const 

Chọn B
Câu 2.
Hướng dẫn giải chi tiết
I   f  x  dx  

1

dx

 x  12  1

Đặt x  1  tant  dx 





1
dt  1  tan 2 t dt
cos2 t

5 Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa GDCD tốt nhất!


1  tan t  dt 
2

I

1  tan 2 t

 dt  t  C  C  const 

Ta có: x  1  tan t  t  arctan  x  1

 I  arctan  x  1  C  C  const 
Chọn B
Câu 3.
Hướng dẫn giải chi tiết
Ta thấy

x2  x  1


x 1
x2  x  1

x 1

x2
x 1
x2


1
x 1 x 1 x 1
x2
x 1
x2


1
x 1 x 1 x 1

Do đó các hàm số ở ý B, C, D sai khác nhau một hằng số nên chúng cùng là nguyên hàm của cùng một hàm số
Chọn A.
Câu 4.
Hướng dẫn giải chi tiết

F  x    f  x  dx  

1
1
dx  

dx
2
x a
 x  a  x  a 
2

B 
Ax  Aa  Bx  Ba
 A
 

dx
 dx  
 x  a  x  a 
xa xa 


 A  B x  Aa  Ba dx
 x  a  x  a 

1

A
A  B

A

B

0

A


B




2a


Đồng nhất hệ số ta được: 
1  
Aa  Ba  1 2Ba  1 B 
B  1
2a

2a

1
1
1 
1
1
x a
 1
 Fx    .
 .
ln x  a  ln x  a   C 
ln

C

 dx 
2a
2a x  a
 2a x  a 2a x  a 

 C  const 

Chọn A.
Câu 5.
Hướng dẫn giải chi tiết
6 Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa GDCD tốt nhất!


x 3  3x 2  3x  1
2
2
f x 
 x 1 2
 x 1
2
2
x  2x  1
x  2x  1
 x  1

2 
x2
2

 F x     x 1
dx

x
 C  C  const 

2


2
x

1
x

1




Ta có: F 1 

1
2
1
13
1  C   C  
2
2
3

6

x2
2
13
Vậy F  x  
x

2
x 1 6
Chọn D.
Câu 6.
Hướng dẫn giải chi tiết

x

2

1
1
1
dx  
dx  
C
2
x3
 6x  9
 x  3

 C  const 

Chọn A.
Câu 7.
Hướng dẫn giải chi tiết

F x   


7x  1
7x  1
B 
 A
dx  
dx   

 dx
x x2
 x  1 x  2 
 x 1 x  2 
2

 A  B x  2A  Bdx.
Ax  2A  Bx  B
dx  
 x  1 x  2 
 x  1 x  2 

A  B  7
A  2


Đồng nhất hệ số ta được 
2A  B  1
B  5
5 
dx
dx
 2
 Fx   

 5
 2 ln x  1  5ln x  2  C  C  const 
 dx  2
x 1
x2
 x 1 x  2 

Chọn C.
Câu 8.
Hướng dẫn giải chi tiết

F x   


x 1
x 1
B 
 A
dx  
dx   


 dx
x  3x  2
 x  2  x  1
 x  2 x 1 
2

 A  B x  A  2Bdx.
Ax  A  Bx  2B
dx  
 x  2  x  1
 x  2  x  1

7 Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa GDCD tốt nhất!


A  B  1
A  3

Đồng nhất hệ số ta được 
A  2B  1
B  2
2 
dx
dx
 3
 Fx   

 2
 3ln x  2  2 ln x  1  C
 dx  3

x2
x 1
 x  2 x 1

 C  const 

Chọn A.
Câu 9.
Hướng dẫn giải chi tiết
f x 

x 2  2x  1 x 2  2x  1  2
2
2

1 2
 1
2
2
2
x  2x  1
x  2x  1
x  2x  1
 x  1


2 
dx
2
 F  x    f  x  dx   1 

x
 C  C  const 
 dx   dx  2 
2
  x  12 
x

1
x

1





Ta có: F 1  1 
Vậy F  x   x 

2
 C  0  C  2
2

2
2
x 1

Chọn D.
Câu 10.
Hướng dẫn giải chi tiết

F x  

x

 x  1

2

dx  

x  1 1

 x  1

2

dx  

dx
dx
1

 ln x  1 
 C  C  const 
2
x  1  x  1
x 1

Chọn A.
Câu 11.

Hướng dẫn giải chi tiết
Ta có:
f x 


x 3  x 2  5  e2   x  6  5e 2   6e 2  1

x 2  5x  6
x 3  5x 2  6x  e2  x 2  5x  6   1
x  5x  6
2



 x  e2 

x 3  5x 2  e2 x 2  6x  5e2 x  6e 2  1
x 2  5x  6
1
.
x  5x  6
2

8 Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa GDCD tốt nhất!


 F  x    f  x  dx   xdx   e 2 dx  

1
1

dx   xdx   e 2 dx  
dx
x  5x  6
 x  3 x  2 
2

1 
dx
dx
 1
2
  xdx   e 2 dx   


 dx   xdx   e dx  
x 3
x2
 x 3 x 2
2
x

 e2 x  ln x  3  ln x  2  C
2
x2
x 3

 e2 x  ln
 C  C  const 
2
x2

Chọn C.
Câu 12.
Hướng dẫn giải chi tiết
F x  

xdx
 x  2 x 2  3
2

1
Ta có: d  x 2    x 2  'dx  2xdx  xdx  d  x 2 
2
2
2
d  x2 
1
1  1
1 
1  dx  dx  
2


 F x    2




d  x     2
2  x  2  x 2  3 2   x 2  3 x 2  2 
2 x  3 x2  2 






1
1 x2  3
ln x 2  3  ln x 2  2  C  ln 2
 C  C  const 
2
2 x 2





Chọn D.
Câu 13.
Hướng dẫn giải chi tiết

F x   


xdx
xdx
B 
 A

 


dx
2
4x
 2  x  2  x   2  x 2  x 

 A  B x  2A  2B dx.
2A  Ax  2B  Bx
dx  
 2  x  2  x 
 2  x  2  x 

1

A

A  B  1

2

Đồng nhất hệ số ta được: 
2A

2B

0

B   1

2
1 1 

1  dx
dx 
1 1
 Fx    .
 .

 dx   

2 2x
2x 
 2 2x 2 2x 
1
1
   ln 2  x  ln 2  x   C   ln 4  x 2  C  C  const 
2
2
Chọn A.
9 Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa GDCD tốt nhất!


Câu 14.
Hướng dẫn giải chi tiết

4x  1
4x  1
Ax  B
C
 2
 2


2
x  2x  x  2
x  1  x  2 x  1 x  2



3



 Ax  B x  2   C  x 2  1 x 2  A  C   x  2A  B  2B  C


2
x

1
x

2


 
 x 2  1  x  2
9

A  5
A  C  0

2



Đồng nhất hệ số ta được : 2A  B  4  B 
5
2B  C  1 

9

C  5

Chọn C
Câu 15.
Hướng dẫn giải chi tiết


3 
3

dx  x 
f
x
dx

1

 C  C  const 
  

2 
x 1

x

1




x2  x  1
1
F x  
x
 không có giá trị nào của C thỏa mãn  A sai
x 1
x 1
F x  

F x 

x2  x  3
3
x
 C  0  C đúng
x 1
x 1

x 2  1  cos   x  cos   3
x 1



x 2  x  cos   x  1  3
x 1

 x  cos  

3
x 1

 C  cos   const  B đúng
F x 

x 2  1  sin 2  x  sin 2  3
x 1



x 2  x  sin 2  x  1  3
x 1

 x  sin 2 

3
x 1

 C  sin 2  const  D đúng
Chọn A
Câu 16.
Hướng dẫn giải chi tiết
Ta có: d  e x  4    e x  4  'dx  e x dx

10 Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa GDCD tốt nhất!






d ex  4
ex
x
x
x
 f  x dx   ex  4dx   ex  4  ln e  4  C  ln e  4  C  C  const  Vì e  4  0 x









Ta có:
F  x   ln  e x  4   0  ln  e x  4   C  0  A đúng.

F  x   ln

ex  4
 ln  ex  4   ln 2  C   ln 2  B đúng.
2

F  x   ln  e x  4   sin   C  sin   D đúng.

Chọn C
Câu 17.
Hướng dẫn giải chi tiết
Bước 1: Ta có: 2x 3  3x 2  2x  x  x  2  2x  1
Bước 2:

I   f  x  dx  



x 2  2x  1
x 2  2x  1
B
C 
A
dx

dx    

dx

3
2
x  x  2  2x  1
2x  3x  2x
 x x  2 2x  1 

A  x  2  2x  1  Bx  2x  1  Cx  x  2 
x  x  2  2x  1





A 2x 2  3x  2  2Bx 2  Bx  Cx 2  2x
dx

x  x  2  2x  1

x 2  2A  2B  C   x  3A  B  2C   2A

dx.
x  x  2  2x  1
So sánh với bài toán thấy bài toán trên đã quy đồng sai.

 Bước 2 sai
Chọn B
Câu 18.
Hướng dẫn giải chi tiết
1.  f  x  dx  

1
dx   ln 2  x  C
2x

Khi C  0  F  x    ln 2  x  1 đúng.
2.  f  x  dx   2x  1dx    2x  1

1
2 dx

3
3
1 2
1
 .  2x  1 2  C   2x  1 2  C  C  const 
2 3
3

11 Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa GDCD tốt nhất!


3

Do đó không có giá trị nào của C để F  x    2x  1 2  2 sai.



x x



3

x x  3x 2  3x 2 x  x 3
dx
x

x
3
3
5
 1

2
3
6
1
x  3x  3x x  x 2 dx    x 2  3x  3x 2  x 2  dx  x 2  x 2  x 2  x 3  C  C  const 


3
2
5
3



3.  f  x  dx  








Dễ thấy khi C  1  F  x  

4.  f  x  dx  


2 32 3 2 6 52 1 3
x  x  x  x  1  3 đúng.
3
2
5
3

 x  5    x  3
1
1
dx  
2  x  1 x  3 x  5 
 x  1 x  3 x  5


1 
1
1
1 1 1
1 
1 1 1
1 





dx   
dx   
dx

2   x  1 x  3  x  1 x  5  
2 2  x 1 x  3 
2 4  x 1 x  5 

1 1
1
1
1 1
1
1
1
dx  
dx  
dx  ln x  1  ln x  3  ln x  5  C

8 x 1
4 x 3
8 x 5
8
4
8
1
1
 ln  x  1 x  5   ln x  3  C
8
4

1
 ln  x  1 x  5   2ln x  3  C
8
1  x  1 x  5 
 ln
 C  C  const 
8
 x  32






1  x  1 x  5 
 4 đúng.
Khi C  0  F  x   ln
2
8
 x  3
Chọn C.
Câu 19.
Hướng dẫn giải chi tiết
F x  

1

 ln x  5 ln x  6 

Ta có: d  ln x    ln x  'dx 

1
x

log e dx  log e 

1

1
. dx
 ln x  5 ln x  6  x

1
dx
x

 d  ln x  d  ln x  
d  ln x   log e. 

 dx
ln
x

6
ln
x

5
 ln x  5 ln x  6 



ln x  6
 log e.  ln ln x  6  ln ln x  5   C  log e.ln
 C  C  const 
ln x  5

F  x   log e 

1

Chọn B.
12 Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa GDCD tốt nhất!


Câu 20.
Hướng dẫn giải chi tiết

F x  

4x  1
dx
4x  2x  5
2

Ta có: 4x  2x  5   2x 
2

2

1 1 19 

1  19
 2.  2x  .     2x   
2 4 4 
2
4

2

1

2  2x  
2

 Fx  
dx
2
1  19

 2x   
2
4

Đặt 2x 

1
19
19 dt
19

tan t  2dx 


1  tan2 t  dt
2
2
2
2 cos t
2

19
tan t
2

 Ft  

19
1  tan 2 t  dt

2

19
 tan 2 t  1
4
d  cos t 
sin t
  tan tdt  
dt   
cos t
cos t
  ln cos t  C  C  const 

Ta có:
2

1
19
2 
1
4
1
1
2
2x  
tan t  tan t 
 2x    tan t  1   2x    1 
2
2
2
19 
2
cos 2 t
19 
 cos 2 t 

1
2

4
1
 2x    1
19 

2

 F  x    ln

 cos t 

1
2

4
1
 2x    1
19 
2

1
2

4
1
 2x    1
19 
2



1
2

4

1
 2x    1
19 
2

2
2

4
1
1  4
1
 C  ln
2x


1

C

ln
2x


1

  C





19 
2
2  19 
2


2
2
1  4 
1  19   1 4 1 
1  19 
 ln    2x       ln  ln  2x      C
2 19  
2
4   2 19 2 
2
4 

1
1 4


 ln  4x 2  2x  5   C '  C '  C  ln  const 
2
2 19


Chọn A.

13 Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa GDCD tốt nhất!