Toán lớp 12: 14 đề thi online ứng dụng tích phân vào bài toán ứng dụng – có lời giải chi tiết

ĐỀ THI ONLINE - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN VÀO CÁC BÀI TOÁN ỨNG DỤNG –
CÓ LỜI GIẢI CHI TIẾT
Mục tiêu đề thi:
- Áp dụng tích phân vào các bài toán thực tế về chuyển động.
- Sử dụng thành thạo các công thức S  t    v  t  dt; v  t    a  t  dt
- Luyện tập các phương pháp tính nguyên hàm, tích phân.
Câu 1 (Nhận biết) Bạn Minh ngồi trên máy bay đi du lịch thế giới với vận tốc chuyển động của máy bay là

v  t   3t 2  5  m / s  . Quãng đường máy bay bay từ giây thứ tư đến giây thứ 10 là:
A. 36m

B. 252m

C. 1134m

D. 966m

Câu 2 (Nhận biết) Một vật chuyển động chậm dần đều với vận tốc v  t   160  10t  m / s  . Quãng đường
mà vật chuyển động từ thởi điểm t = 0(s) đến thời điểm vật dừng lại là:
A. 1028m

B. 1280m

C. 1308m

D. 1380m

Câu 3 (Nhận biết) Một vật chuyển động với vận tốc thay đổi theo thời gian được tính bởi công thức
v  t   3t  2 , thời gian tính theo đơn vị giây, quãng đường vật đi được tính theo đơn vị m Biết tại thời điểm
t = 2s thì vật đi được quãng đường là 10m. Hỏi tại thời điểm t = 30s thì vật đi được quãng đường là bao
nhiêu?

A. 1410m

B. 1140m

C. 300m

D. 240m

Câu 4 (Nhận biết) Một người chạy xe máy chuyển động thẳng theo phương trình S  t   t 3  3t 2  4t trong
đó t tính bằng giây (s), S tính bằng mét (m). Gia tốc của xe máy lúc t = 2s bằng:
A. 4 m/s2

B. 6 m/s2

C. 8 m/s2

D. 12 m/s2

Câu 5 (Nhận biết) Một vật chuyển động với vận tốc ban đầu 5m/s và có gia tốc được xác định bởi công
2
thức a 
m / s 2  . Vận tốc của vật sau 10s đầu tiên là (Làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)

t 1
A. 10 m/s

B. 9 m/s

C. 11 m/s

D. 12 m/s

Câu 6 (Nhận biết) Một ô tô đang chạy thì người lái đạp phanh, từ thời điểm đó, ô tô chuyển động chậm dần
đều với vận tốc v(t) = -4t + 8 (m/s), trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây, kể từ lúc bắt đầu đạp
phanh. Hỏi từ lúc đạp phanh đến lúc dừng hẳn, ô tô di chuyển được bao nhiêu mét?
A. 0,2m

B. 2m

C. 6m

D. 8m

Câu 7 (Thông hiểu) Người ta tổ chức thực hành nghiên cứu thí nghiệm bằng cách như sau: Họ tiến hành
quan sát một tia lửa điện bắn từ mặt đất bắn lên với vận tốc 15 m/s. Hỏi biểu thức vận tốc của tia lửa điện là:
A. v = -9,8t + 15

B. v = -9,8t + 13

C. v = 9,8t + 15

D. v = -9,8t – 13

1 Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!


Câu 8 (Thông hiểu) Người ta tổ chức thực hành nghiên cứu thí nghiệm bằng cách như sau: Họ tiến hành
quan sát một tia lửa điện bắn từ mặt đất bắn lên với vận tốc 15 m/s. Hỏi sau 2,5 giây thì tia lửa điện có chiều
cao là bao nhiêu?
A. 6,235m

B. 5,635m

C. 4,235m

Câu 9 (Thông hiểu) Một vật chuyển động với gia tốc a  t   20 1  2t 

D. 6,875m
2

m / s  . Khi t = 0 thì vận tốc của
2

vật là 30 m/s. Tính quãng đường vật đó di chuyển sau 2 giây (làm tròn kết quả đến chữ số hàng đơn vị).
A. S = 46m

B. S = 47m

C. S = 48m

D. S = 49m

Câu 10 (Thông hiểu) một vật chuyển động với vận tốc 10 (m/s) thì tăng tốc với gia tốc a(t) = 3t + t2 (m/s2).
Tính quãng đường mà vật đi được trong khoảng thời gian 10s kể từ lúc bắt đầu tăng tốc (Tính chính xác đến
hàng phần trăm).
A. 483,33 (m)

B. 1333,33 (m)

C. 1433,33 (m)

D. 196,11 (m)

Câu 11 (Thông hiểu) Một đám vi trùng tại thời điểm t có số lượng là N(t). Biết rằng N '  t  

4000
và
1  0,5t

lúc đầu đám vi trùng có 250000 con. Hỏi sau 10 ngày số lượng vi trùng là bao nhiêu?
A. 264334

B. 257167

C. 253583

D. 255545

Câu 12 (Thông hiểu) Trong Vật lí, công được hình thành khi một lực tác động vào một vật và gây ra sự
dịch chuyển . Ví dụ như đi xe đạp. Một lực F(x) biến thiên , thay đổi, tác động vào một vật thể làm vật này
b

dịch chuyển từ x =a đến x = b thì công sinh ra bởi lực này có thể tính theo công thức W   F(x)dx . Với
a

thông tin trên, hãy tính công W sinh ra khi một lực F(x)  3x  2 tác động vào một vật thể làm vật này di
chuyển từ x = 1 đến x = 6.
A. W= 20

B. W= 12

C. W= 18

D. W = 14

Câu 13 (Vận dụng) Một ô tô đang chạy đều với vận tốc a (m/s) thì người lái đáp phanh. Tại thời điểm đó, ô
tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc v(t) = -5t + a (m/s), trong đó t là thời gian tính bằng giấy kể từ lúc
đạp phanh. Hỏi từ vận tốc ban đầu bằng a của ô tô là bao nhiêu, biết từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn ô tô
di chuyển được 40 mét.
A. a = 20

B. a = 10

C. a =40

D. a = 25

Câu 14 (Vận dụng) Một viên đạn bắn theo phương thẳng đứng có vận tốc ban đầu 25  m / s 2  . Gia tốc
trọng trường là 9,8 (m/s2). Sau bao lâu thì viên đạn đạt độ cao lớn nhất? (Tính chính xác đến hằng phần
trăm).
A. 2,25 (s)

B. 3,55 (s)

C. 2,55 (s)

D. 25,55 (s)

Câu 15 (Vận dụng) Tại một nơi không có gió, một chiếc khí cầu đang đứng yên ở độ cao 162 (mét) so với
mặt đất đã được phi công cài đặt cho nó chế độ chuyển động đi xuống. Biết rằng, khí cầu đã chuyển động

theo phương thằng đứng với vận tốc tuân theo quy luật v  t   10t  t 2 , trong đó t ( phút) là thời gian tính từ
lúc bắt đầu chuyển động, v(t) được tính theo đơn vị mét / phút (m/p). Nếu như vậy thì khi bắt đầu tiếp đất
vận tốc v của khí cầu là:
2 Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!


A. 5 (m/p)
B. 7 (m/p)
C. 9 (m/p)
D. 3 (m/p)
Câu 16 (Vận dụng) Một viên đạn được bắn lên theo phương thẳng đứng với vận tốc ban đầu là 24,5 (m/s)
và gia tốc trọng trường là 9,8 (m/s2). Quãng đường viên đạn đi từ lúc bắn lên cho tới khi rơi xuống đất là
(coi như viên đạn được bắn lên từ mặt đất).
A. 61,25m

B. 30,625m

C. 29,4m

D. 59,5m

Câu 17 (Vận dụng) Một người đứng từ sân thượng một tòa nhà cao 262m, ném một quả bi sắt theo phương
thẳng đứng hướng xuống (bỏ qua ma sát) với vận tốc 20 m/s. Hỏi sau 5s thì quả bi sắt cách mặt đất một đoạn
d bao nhiêu mét? (Cho gia tốc trọng trường a  10 m / s 2 )
A. 35m

B. 36m

C. 37m

D. 40m

Câu 18 (Vận dụng) Một bác thợ xây bơm nước vào bể chứa nước. Gọi h(t) là thể tích nước bơm được sau t
giây. Cho h '  t   3at 2  bt và ban đầu bể không có nước. Sau 5 giây thì thể tích nước trong bể là 150m3, sau
10 giây thì thể tích nước trong bể là 1100m3. Tính thể tích của nước trong bể sau khi bơm được 20 giây?
A. 8400 m3

B. 2200 m3

C. 600 m3

D. 4200 m3

Câu 19 (Vận dụng cao) Cá hồi Thái Bình Dương đến mùa sinh sản chúng thường bơi từ biển đến thượng
nguồn con sông để đẻ trứng trên sỏi đá rồi chết. Khi nghiên cứu một con cá hồi sinh sản người ta phát hiện

t2
 4t , với t (giờ) là khoảng thời gian từ
10
lúc con cá bắt đầu chuyển động và s (km) là quãng đường con cá bơi trong khoảng thời gian đó. Nếu thả con
cá hồi vào dòng nước có vận tốc dòng nước chảy là 2 km/h. Tính khoảng cách xa mà con cá hồi có thể bơi
ngược dòng nước đến nơi đẻ trứng.
ra một quy luật nó chuyển động trong nước yên lặng là s  t   

A. 8 km/h

B. 10 km/h

C. 20 km/h

D. 30 km/h

Câu 20 (Vận dụng cao) Một công ty phải gánh chịu nợ với tốc độ D(t) đô la mỗi năm, với

D'  t   90  t  6  t 2  12t , trong đó t là số lượng thời gian (tính theo năm) kể từ khi công ty bắt đầu vay
nợ. Đến năm thứ tư công ty phải chịu 1 610 640 đô la tiền nợ nần. Tìm hàm số biểu diễn tốc độ nợ nần của
công ty này?
A. D  t   30
C. D  t   3 

t

2

t

 12t   C
3

2

 12t   1595280
3

B. D  t   30 3  t 2  12t   1610640
2

D. D  t   30 3  t 2  12t   1610640
2

3 Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!


HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
THỰC HIỆN: BAN CHUYÊN MÔN TUYENSINH247.COM
1D
11A

2B
12D

3A
13A

4B
14C

5A
15C

6D
16A

7A
17C

8D
18A

9C

19B

10C
20C

Câu 1.
Phương pháp:
t2

Sử dụng công thức S   v  t  dt
t1

Cách giải:
Quãng đường máy bay bay từ giây thứ tư đến giây thứ 10 là:
10

S    3t 2  5  dt   t 3  5t 
4

10
4

 1050  84  966  m 

Chọn D.
Câu 2.
Phương pháp:
+) Tính thời điểm mà vật dừng lại  v  t   0  .
t2

+) Sử dụng công thức S   v  t  dt
t1

Cách giải:
Khi vật dừng lại ta có v  t   160  10t  0  t  16  s 
Vậy quãng đường mà vật chuyển động từ thởi điểm t = 0(s) đến thời điểm vật dừng lại là
16

S   160  10t  dt  1280  m 
0

Chọn B.
Câu 3.
Phương pháp:
+) Sử dụng công thức S   v  t  dt
+) Sử dụng giả thiết S  2   10 để tìm hằng số C.
4 Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!


+) Tính S(30)
Cách giải:
3t 2
 2t  C
Quãng đường đi được tại thời gian t là S    3t  2  dt 
2

Mà S  2   10  6  4  C  10  C  0  S  t  

3t 2
 2t

2

Tại thời điểm t = 30s thì vật đi được quãng đường là S  30  

3.302
 2.30  1410  m 
2

Chọn A.
Câu 4.
Phương pháp:
+) Sử dụng các công thức v  t   S  t   ',a  t    v  t   '
+) Tính a(2).
Cách giải:
Vận tốc tại thời điểm t là: v  t    S  t   '  3t 2  6t  4
Gia tốc tại thời điểm t là : a  t    v  t   '  6t  6
Suy ra gia tốc tại thời điểm t = 2s là a  2   6.2  6  6  m / s 2 
Chọn B.
Câu 5.
Phương pháp:
+) Sử dụng công thức v  t    a  t  dt
+) Sử dụng giả thiết v  0   5 để tìm hằng số C.
+) Tính v(10) = ?
Cách giải:
Ta có v  t   

2
dt  2ln  t  1  C
t 1

Mà vận tốc ban đầu là 5 m/s, tức là v  0   5  2 ln  0  1  C  5  C  5  v  t   2 ln  t  1  5
Vận tốc của vật sau 10s đầu tiên là v 10   2 ln11  5  10  m / s 
5 Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!


Chọn A.
Câu 6.
Phương pháp:
+) Tính thời điểm mà ô tô dừng hẳn v  t   0
t2

+) Sử dụng công thức S   v  t  dt
t1

Cách giải:
Khi ô tô dừng hẳn ta có v  t   0  4t  8  0  t  2  s  , vậy ô tô đi thêm được 2 giây.
2

Quãng đường cần tìm là S    4t  8 dt   2t 2  8t   8  m 
0

2

0

Chọn D.
Câu 7.
Phương pháp :
+) Tia lửa điện của trọng lực hướng xuống nên ta có gia tốc a  9,8  m / s 2 
+) Sử dụng công thức v  t    a  t  dt

+) Sử dụng giả thiết v(0) = 15 để tìm hằng số C.
Cách giải:
Tia lửa điện của trọng lực hướng xuống nên ta có gia tốc a  9,8  m / s 2 
Ta có biểu thức vận tốc theo thời gian t là v  t    a  t  dt   9,8dt  9,8t  C
Mà v  0   15  C  15  v  9,8t  15
Chọn A.
Câu 8.
Phương pháp:
+) Tia lửa điện có trọng lực hướng xuống nên ta có gia tốc a  9,8  m / s 2 
+) Sử dụng công thức v  t    a  t  dt
+) Sử dụng giả thiết v(0) = 15 để tìm hằng số C.

6 Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!


t2

+) Sử dụng công thức S   v  t  dt
t1

Cách giải:
Tia lửa điện có trọng lực hướng xuống nên ta có gia tốc a  9,8  m / s 2 
Ta có biểu thức vận tốc theo thời gian t là v  t    a  t  dt   9,8dt  9,8t  C
Mà v  0   15  C  15  v  9,8t  15
2,5

Vậy sau 2,5 giây thì tia lửa điện có chiều cao là S 

  9,8t  15 dt  6,875  m 
0

Chọn D.
Câu 9.
Phương pháp:
+) Sử dụng công thức v  t    a  t  dt
+) Sử dụng giả thiết v(0) = 30 để tìm hằng số C.
t2

+) Áp dụng công thức S   v  t  dt
t1

Cách giải:
Ta có v  t    a  t  dt  

20

1  2t 

Theo đề bài ta có v  0   30 

2

dt  

20 1
10
C 
C
2 1  2t
1  2t

10
10
 C  30  C  20  v  t  
 20
1  2.0
1  2t

Vậy quãng đường vật đi được sau 2 giây là :
2
 10

S  
 20  dt   5ln 1  2t   20t   5ln 5  40  48  m 
0
1  2t

0
2

Chọn C.
Câu 10.
Phương pháp :
+) Sử dụng công thức v  t    a  t  dt
+) Sử dụng giả thiết v(0) = 10 để tìm hằng số C.
7 Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!


t2

+) Áp dụng công thức S   v  t  dt
t1

Cách giải :
Vận tốc của vật khi bắt đầu tăng tốc là v  t     3t  t 2  dt 
Mà v  0   10  C  10  v  t  

3t 2 t 3
 C
2 3

3t 2 t 3
  10
2 3

Quãng đường mà vật đi được trong khoảng thời gian 10s kể từ thời điểm bắt đầu tăng tốc là

 3t 2 t 3

S t    
  10  dt  1433,33  m 
2
3

0
10

Chọn C.
Câu 11.
Phương pháp:

+) Tính N  t    N '  t  dt
+) Sử dụng giả thiết N(0) = 25000 đề tìm hằng số C.
+) Tính N(10).
Cách giải:
Số lượng vi trùng tại thời điểm t là N  t    N '  t  dt  

4000
dt  8000 ln 1  0,5t   C
1  0,5t

Mà N  0   C  250000  N  t   8000 ln 1  0,5t   250000
Vậy sau 10 ngày số lượng vi trùng là: N 10   8000 ln 1  5   250000  264334
Chọn A.
Câu 12.
Phương pháp:
Sử dụng đúng công thức trong đề bài.
Cách giải:
Công W sinh ra khi một lực F(x)  3x  2 tác động vào một vật thể làm vật này di chuyển từ x = 1 đến x
6

= 6 là W   3x  2dx  14
1

8 Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!


Chọn D.
Câu 13.
Phương pháp:
+) Khi dừng hẳn thì vận tốc bằng 0, tìm thời điểm ô tô dừng hẳn.

t2

+) Áp dụng công thức S  t    v  t  dt
t1

Cách giải:
Khi xe dừng hẳn thì vận tốc bằng 0 nên 5t  a  0  t 
a
5

a
5

a
5

a
5

 5t

a 2 a 2 a 2
Ta có S   v  t  dt    5t  a  dt   
 at  
   40  a 2  400  a  20
5 10
 2
 0 10
0
0

2

Chọn A.
Câu 14.
Phương pháp:
+) Sử dụng công thức v  t    a  t  dt
+) Sử dụng giả thiết v(0) = 25 để tìm hằng số C.
t2

+) Áp dụng công thức h  t    v  t  dt , tìm GTLN của hàm số y = h(t).
t1

Cách giải:
Viên đạn có trọng lực hướng xuống nên ta có gia tốc a  9,8  m / s 2 
Khi đó ta có vận tốc của viên đạn tại thời điểm t là v  t    a  t  dt  9,8t  C
Mà v  0   25  C  25  v  t   9,8t  25
t



t2
Độ cao của viên đạn sau thời gian t là h  t     9,8t  25 dt   9,8  25t   4,9t 2  25t
2

0
0
t

Đồ thị hàm số y = h(t) có hình dáng parabol có bề lõm hướng xuống, đạt GTLN tại
b

25
t

 2,55  s
2a 2.4,9
Vậy tại thời điểm t = 2,55s thì viên đạn đạt độ cao lớn nhất.
9 Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!


Chọn C.
Câu 15.
Phương pháp:
+) Tính thời điểm mà vật tiếp đất.
+) Tính vận tốc của vật tại thời điểm vật tiếp đất.
Cách giải:
Gọi thời điểm khí cầu bắt đầu chuyển động là t = 0, thời điểm khinh khí cầu bắt đầu tiếp đất là t1.
Quãng đường khí cầu đi được từ thời điểm t = 0 đến thời điểm khinh khí cầu bắt đầu tiếp đất là t1.
 t1  4,93
3
t

2
2
0 (10t  t )dt  5t1  31  162  t1  10,93
 t1  9
t1

Do v(t)  0  0  t  10 nên chọn t = 9.
Vậy khi bắt đầu tiếp đất vận tốc v của khí cầu là v(9) = 10.9 – 92 = 9 (m/p).
Chọn C.

Câu 16.
Phương pháp:
+) Sử dụng công thức v  t    a  t  dt
+) Sử dụng giả thiết v(0) = 24,5 để tìm hằng số C.
+) Tính thời điểm và viên đạn ở vị trí cao nhất (v(t) = 0).
t2

+) Áp dụng công thức S  t    v  t  dt tính quãng đường viên đạn đi được từ lúc bắn lên vị trí cao nhất.
t1

Cách giải:
Chọn chiều dương hướng từ mặt đất lên, ta có a  9,8  m / s 2   v  t    a  t  dt  9,8t  C
Mà v  0   24,5  C  24,5  v  t   9,8t  24,5  m / s 
Khi viên đạn ở vị trí cao nhất thì viên đạn có vận tốc bằng 0  v  t   24,5  9,8t  0  t 

5
2

Quãng đường viên đạn đi được từ mặt đất đến vị trí cao nhất là:
5
2

5
2

0

0

S  t    v  t  dt    9,8t  24,5  dt  30, 625  m 

10 Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!


Vậy quãng đường viên đạn đi từ lúc bắn lên cho đến khi rơi xuống đất là 2.30,625  61, 25  m  .
Chọn A.
Câu 17.
Phương pháp:
+) Quả bi sắt bị ném xuống nên có gia tốc trọng trường là 10m / s 2
+) Sử dụng công thức v  t    a  t  dt
+) Sử dụng giả thiết v(0) = 20 để tìm hằng số C.
t2

+) Áp dụng công thức S   v  t  dt , tìm quãng đường đi được sau 5s.
t1

+) Tính d  262  S
Cách giải:
Quả bi sắt bị ném xuống nên có gia tốc trọng trường là 10m / s 2
Ta có v  t    a  t  dt  10t  C
Tại thời điểm t = 0 thì vận tốc bằng 20 m/s nên v  0   C  20  v  t   10t  20
5

Quãng đường quả bi sắt đi được sau 5s là S   10t  20  dt   5t 2  20t   225  m 
5

0

0

 d  262  225  37  m 
Chọn C.
Câu 18.
Phương pháp:
+) Thể tích của bể sau thời gian t là: h  t    h '  t  dt .
+) Sử dụng các giả thiết thể tích của bể sau 5 giây và 10 giây giải hệ phương trình tìm a và b.
+) Thay a và b vào h’(t) và tính thể tích của bể sau 20 giây.
Cách giải
5


bt 2 
25b
Sau 5 giây thì thể tích nước trong bể là 150m    3at  bt  dt   at 3 
 150
  125a 
2 0
2

0
5

3

2

11 Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!


10


bt 2 
Sau 10 giây thì thể tích nước trong bể là 1100m    3at  bt  dt   at 3 
  1000a  50b  1100
2 0

0
10

3

2

 a  1, b  2  h '  t   3t 2  2t
20

Vậy sau 20 giây thì thể tích nước trong bể là

 3t

2

 2t  dt   t 3  t 2 

0

20
0

 203  202  8400  m3 

Chọn A.
Câu 19.
Phương pháp:
+) v  t   s '  t  , tính vận tốc thực của con cá khi bơi ngược dòng.
+) s  t    v  t  dt
+) Sử dụng giả thiết S(0) = 0 để tìm hằng số C.
+) Tìm GTLN của biểu thức S(t).
Cách giải:

t
Vận tốc của con cá là v  t   s '  t     4
5
Vận tốc thực của con cá khi khi bơi ngược dòng là v  t   2 

t
t
42  2
5
5

Quãng đường con cá bơi được trong thời gian t kể từ lúc bắt đầu là
t2
 t

S  t       2  dt    2t  C
5
10


0
t

Mà S  0   0  C  0  S  t   

t2
1
1
2
 2t    t 2  20t     t  10   10  10 t
10
10
10

Vậy khoảng cách xa mà con cá hồi có thể bơi ngược dòng nước đến nơi đẻ trứng là 10 km.
Chọn B.
Câu 20.
Phương pháp:
Thực chất đây là một bài toán tìm nguyên hàm D  t    D '  t  dt
Cách giải:
Ta có D  t    D'  t  dt   90  t  6  t 2  12tdt
12 Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!


Đặt

t 2  12t  y  t 2  12t  y2   2t  12 dt  2ydy   t  6 dt  ydy

 D  t    90y2dy  30y3  C  30



t 2  12t

 C
3

Vì đến năm thứ tư công ty đã chịu 1610640 tiền nợ nần nên số tiền mà công ty vay năm đầu tiên sẽ được
tính 1610640  30

4

2

 12.4   1595280
3

Vậy công thức tính tiền nợ nần là D  t   30

t

2

 12t   1595280
3

Chọn C.
Chú ý và sai lầm: Nhiều học sinh khi tìm ra được nguyên hàm của hàm số sẽ cộng thêm C luôn như bài
toán tìm nguyên hàm bình thường. Tuy nhiên ở đây khoản nợ nần ban đầu đã cố định, tức là hằng số C cố
định. Ta cần tìm hằng số để cộng thêm vào công thức.

13 Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!