Toán lớp 12: 1 thi online bài toán rút gọn trên tập số phức có lời giải chi tiết

ĐỀ THI ONLINE – BÀI TOÁN RÚT GỌN TRÊN TẬP SỐ PHỨC (T1) – CÓ LỜI GIẢI CHI TIẾT
MỤC TIÊU ĐỀ THI:
- Nhận biết được khái niệm số phức, xác định được phần thực, phần ảo, mođun của số phức, điểm biểu diễn của
số phức trên mặt phẳng phức.
- Thành thạo trong việc tính toán, rút gọn các biểu thức số phức.
Phần 1 : Nhận biết
Câu 1: Thu gọn z 



A. z  11– 6i

2  3i



2

ta được:

B. z  1– i

C. z  4  3i

D. z  7  6 2i

C. 5

D. 2

Câu 2: Môđun của số phức z  5  2i  1  i  là:

3

A. 7

B. 3

Câu 3: Phần ảo của số phức z 
A.  2



2 i

 1  2i  là:
2

B. 2

C.

2

D. 3

Câu 4: Rút gọn biểu thức z  i  2 – i  3  i  ta được:
A. z  6

B. z  1  7i

C. z  2  5i

D. z  5i

Phần 2: Thông hiểu
Câu 5: Phần thực của số phức z thỏa mãn: 1  i   2  i  z  8  i  1  2i  z là:
2

A. 6

B. 3

Câu 6: Rút gọn biểu thức sau: B 

A.

3  4i
14  5i

B.

114  2i
13

B.

D. 1

3  4i
1  4i  2  3i 

62  41i
221

Câu 7: Thực hiện phép tính sau: A   2  3i 1  2i  
A.

C. 2

114  2i
13

C.

62  41i
221

D.

62  41i
221

114  2i
13

D.

114  2i
13

4i

:
 3  2i 
C.

Câu 8: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện: 1  i  z  i   2 z  2i . Khi đó môđun của số phức w 

z  2z 1
z2

là:
B. 10

A. 3

C. 2 5

D. 2 3

Câu 9: Số phức z thỏa mãn: 1  i  z   2  3i 1  2i   7  3i là:

1

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!


A. z 

1 3
 i
2 2

1 3
B. z    i
2 2

1 3
C. z    i
2 2

D. z 

1 3
 i
2 2

Câu 10: Cho số phức thỏa mãn điều kiện:  3  2i  z   2  i   4  i . Phần ảo của số phức w  1  z  z là:
2

A. 0

C. 2

B. 2

D. 1

Câu 11: Phương trình  2  i  z 2  az  b  0(a, b  C ) có 2 nghiệm là 3  i và 1– 2i . Khi đó a bằng:
A. 9 – 2i

B. 15  5i

C. 9  2i

Câu 12: Cho số phức z thỏa mãn:  2  i  z 
A. 3

D. 15 – 5i

2 1  2i 
 7  8i . Mô đun của số phức w  z  i  1 là:
1 i

B. 4

C. 5

D. 6

Câu 13: Trong các kết luận sau, kết luận nào sai:
A. z  z là một số thực

B. z  z là một số ảo

C. z.z là một số thực

D. z 2  z là một số ảo

2

Phần 3 : Vận dụng

Câu 14: Gọi A, B, C lần lượt là các điểm biểu diễn cho các số phức z1  1  3i; z2  3  2i; z3  4  i. Chọn
kết luận đúng nhất
A. ABC cân

B. ABC vuông cân

C. ABC vuông

D. ABC đều

Câu 15: Căn bậc hai của số phức 117  44i là:
A.   2  11i 

B.   2  11i 

C.   7  4i 

D.   7  4i 

Câu 16: Cho hai số phức z1  1  2i; z2  2  3i . Xác định phần ảo của số phức 3 z1 – 2 z2
A. 11

B. 12

 1 i 
Câu 17: Cho số phức z  

 1 i 
A. 1

D. 13

C. i

D. i

2017

. Khi đó z.z 7 .z15 bằng:

B. 1

1  3i 
Câu 18: Cho số phức z thỏa mãn z 
1 i

3

. Mô đun của số phức w  z  iz

B. 8 3

A. 8

C. 10

C. 4

D. 8 2

Câu 19: Cho số phức z thỏa mãn:  3  4i  z  1  3i   12  5i . Phần thực của số phức z 2 là:
B. 4

A. 5

C. 3

D. 4

Câu 20: Số nào trong các số sau đây không là số thực:
A. 2017i 2

2

B.  2016  i    2017  i 
Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!


C.  3  i    2  i 

D.



 

2  2i 

2 i



HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
THỰC HIỆN: BAN CHUYÊN MÔN TUYENSINH247.COM
1D

2A

3C

4B

5C

6B

7B

8B

9A

10D

11A

12C

13D

14B

15A

16B

17D

18D

19C

20D

Câu 1:
Phương pháp:
Dùng hằng đẳng thức  a  b   a 2  2ab  b 2 với chú ý i 2  1 .
2

Cách giải:
Ta có: z 



2  3i



2

 2  6 2i  9i 2  7  6 2i

Chọn D
Sai lầm thường gặp:
Nhầm lẫn i 2  1 dẫn đến kết quả sai.
Câu 2:
Phương pháp:
- Rút gọn số phức z  a  bi .
- Tính mô đun z  a 2  b 2 .
Cách giải:
Ta có: z  5  2i  1  i   5  2i  (1  3i  3i 2  i 3 )  5  2i  2  2i  7  z  49  7
3

Chọn A
Sai lầm thường gặp:
- Tính sai số phức z .
- Áp dụng sai công thức tính mô đun số phức.
Câu 3:
Phương pháp:
- Rút gọn số phức z  a  bi .
- Phần ảo của số phức z  a  bi là b .
Cách giải:

3

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!


Ta có: z 



2 i

 1  2i    2  2
2

 Phần ảo của số phức z là



 





2i  i 2 1  2i  1  2 2i 1  2i  1  2i  2 2i  4i 2  5  2i

2

Chọn C
Sai lầm thường gặp:
- Tính sai số phức.
- Nhầm lẫn giữa phần thực và phần ảo của số phức.
Câu 4:
Phương pháp:
- Dùng quy tắc nhân hai số phức.
Cách giải:
Ta có: z = i(2 – i)(3 + i) =  2i  1 3  i   6i  2i 2  3  i  1  7i

Chọn B
Sai lầm thường gặp :
- Tính sai số phức z .
Câu 5:
Phương pháp:
- Tìm số phức z .
- Phần thực của số phức z  a  bi  a, b  R  là a .
Cách giải:

1  i   2  i  z  8  i  1  2i  z
2

Ta có:

 1  2i  i 2   2  i  z  8  i  1  2i  z
  2  4i  z  8  i  1  2i  z
 1  2i  z  8  i
z

8  i 1  2i   10  15i  2  3i
8i

1  2i 1  2i 1  2i  12  22

Phần thực của số phức z là 2 .
Chọn C
Sai lầm thường gặp:
- Tính sai số phức z .
- Nhầm lẫn giữa phần thực và phần ảo của số phức.
Câu 6:

4

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!


Phương pháp:
- Rút gọn số phức dựa theo các quy tắc cộng, trừ, nhân, chia số phức.
Cách giải:
Ta có: B 



3  4i
3  4i
3  4i


2
1  4i  2  3i  2  3i  8i  12i 14  5i

 3  4i 14  5i   42  15i  56i  20i 2
142  52
14  5i 14  5i 



62  41i
221

Chọn B
Sai lầm thường gặp:
- Thực hiện sai phép chia số phức.
Câu 7:
Phương pháp:
- Thực hiện phép tính dựa trên các quy tắc cộng, trừ, nhân, chia số phức.
Cách giải:

A   2  3i 1  2i  

4i
 3  2i 

4i
4i
 8i 
3  2i
3  2i
8  i  3  2i   4  i 24  16i  3i  2i 2  4  i



3  2i
3  2i
26  18i (26  18i)(3  2i)


3  2i
(3  2i)(3  2i)
  2  4i  3i  6i 2  



78  52i  54i  36i 2 114  2i

32  22
13

Chọn B
Sai lầm thường gặp:
- Thực hiện sai phép chia số phức.
Câu 8:
Phương pháp:
- Tính số phức z .
- Tính số phức w  w .
Cách giải:
Ta có: 1  i  z  i   2 z  2i

5

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!


 z  i  iz  i 2  2 z  2i   3  i  z  1  3i
z

1  3i  1  3i  3  i 

3i
 3  i  3  i 

z

3  i  9i  3i 2 10i

i
32  12
10

Khi đó w 

z  2 z  1 i  2i  1 1  3i


 1  3i  w  10
z2
i2
1

Chọn B
Sai lầm thường gặp:
- Tính sai số phức z
- Tính sai số phức w .
- Tính sai môđun w .
Câu 9:
Phương pháp:
- Tìm số phức z dựa trên các quy tắc cộng, trừ, nhân, chia số phức.
Cách giải:

1  i  z   2  3i 1  2i   7  3i

Ta có:

 1  i  z  2  4i  3i  6i 2  7  3i  1  i  z  1  2i
1  2i  1  2i  (1  i) 1  i  2i  2i 2 1  3i 1 3
z



  i
1 i
12  12
2
2 2
1  i  (1  i)
Chọn A
Sai lầm thường gặp:
- Thực hiện sai phép chia hai số phức.
Câu 10:
Phương pháp:
- Tính số phức z  w .
- Phần ảo của số phức z  a  bi là b .
Cách giải:
Ta có:  3  2i  z   2  i   4  i
2

  3  2i  z  4  4i  i 2  4  i
  3  2i  z  1  5i
1  5i 1  5i  3  2i  3  2i  15i  10i 2 13  13i
z




 1 i
3  2i  3  2i  3  2i 
32  22
13

6

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!


 w  1  z  z  1  1  i  (1  i)  (2  i)(1  i)  3  i
Phần ảo của số phức w là 1
Chọn D
Sai lầm thường gặp:
- Tính sai số phức z , w .
- Nhầm lẫn giữa phần thực và phần ảo của số phức.
Câu 11:
Phương pháp:

b

z1  z2  


a
Định lý Vi-et cho phương trình bậc hai az 2  bz  c  0 : 
 z .z  c

 1 2 a
Cách giải:
Ta có:  3  i   (1  2i) 

a
2i

 a  (2  i)(4  i)  8  2i  4i  i 2  a  9  2i

Chọn A
Sai lầm thường gặp:
- Chưa biết cách áp dụng định lý Vi-et.
Câu 12:
Phương pháp:
- Tính số phức z .
- Tính số phức w  w .
Cách giải:
Ta có:  2  i  z 

2 1  2i 
 7  8i
1 i

  2  i 1  i )  z  2 1  2i   (7  8i )(1  i )
  2  3i  i 2  z  2  4i  7  15i  8i 2
 (1  3i ) z  3  11i
3  11i (3  11i)(1  3i) 3  20i  33i 2


 3  2i

1  3i
(1  3i)(1  3i )
12  32
 w  z  i  1  3  2i  i  1  4  3i
z

 w  42  32  5

7

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!


Chọn C
Sai lầm thường gặp:
- Tính sai số phức z .
- Tính sai số phức w .
Câu 13:
Phương pháp:
Giả sử z = a + bi (a, b  R).
Tính các số phức ở các đáp án A, B, C, D và kiểm tra tính đúng, sai của các kết luận.
Cách giải:
Giả sử z = a + bi (a, b  R)  z  a  bi
Ta có: z  z  a  bi  a  bi  2a là một số thực  A đúng

z  z  a  bi  a  bi  2bi là một số ảo  B đúng
z.z  (a  bi).(a  bi)  a 2  b2 là một số thực  C đúng
2

z 2  z  (a  bi)2  (a  bi)2  2a 2  2b2 là một số thực D sai

Chọn D
Sai lầm thường gặp:
- Tính sai các số phức ở các đáp án.
- Chọn nhầm đáp án (đề bài yêu cầu chọn đáp án sai nhưng học sinh hay chọn nhầm đáp án đúng.
Câu 14 :
Phương pháp:
- Tìm tọa độ các điểm biểu diễn ba số phức đã cho.
- Xét các tính chất vuông, cân, đều của tam giác.
 BC 2  AB 2  AC 2
Chú ý: ABC vuông cân nếu 
;
 AB  AC

ABC vuông nếu BC 2  AB2  AC 2 hoặc AC 2  AB 2  BC 2 hoặc AB 2  AC 2  CB 2 .
ABC đều nếu AB  BC  CA .
Cách giải:
Ta có A  1;3 , B(3; 2), C (4;1)
Khi đó: AB  (2; 5)  AB  29; BC  (7;3)  BC  58; AC  (5; 2)  AC  29
 BC 2  AB 2  AC 2
Do 
nên ABC là tam giác vuông cân
AB

AC


8

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!

Chọn B
Sai lầm thường gặp:
- Tìm sai tọa độ các điểm A, B, C .
- Kiểm tra các điều kiện vuông, cân, đều sai.
Câu 15:
Phương pháp:
- Đưa số phức đã cho về dạng hằng đẳng thức số 1 hoặc 2 và tìm căn bậc hai.
- Cách tổng quát:
Gọi w  x  yi là một căn bậc hai của z  a  bi , khi đó:
w 2  z   x  yi   a  bi  x, y suy ra có hai căn bậc hai là w,  w .
2

Cách giải:
Ta có: 117  44i  4  44i  121i 2   2  11i 

 117  44i 

 2  11i 

2

2

 (2  11i)

Chọn A
Sai lầm thường gặp:
- Biến đổi sai số phức đã cho.
Câu 16:

Phương pháp:
- Tính số phức 3 z1 – 2 z2
- Phần ảo của số phức z  a  bi là b .
Cách giải:
Ta có: 3z1  2 z2  3(1  2i)  2(2  3i)  3  6i  4  6i  1  12i
 Phần ảo của nó là 12
Chọn B
Sai lầm thường gặp:
- Thay nhầm các số phức z1 , z2 vào biểu thức cần tính.
- Nhầm lẫn giữa phần thực và phần ảo của số phức.
Câu 17 :
Phương pháp:
- Tính số phức z  z.z 7 .z15 (lưu ý: i 4 k  1; i 4 k 1  i; i 4 k  2  1; i 4 k 3  i ).
Cách giải:

9

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!


Ta có :

1  i (1  i)(1  i) 1  2i  i 2 2i

 2 2  i
1  i (1  i)(1  i)
1 1
2

 z  i 2017  i.i 2016  i.  i 4 

504

 i.1504  i

 z.z 7 .z15  i.i 7 .i15  i 23  i.i 22  i.  i 2   i.  1  i
11

11

Chọn D
Sai lầm thường gặp:
- Tính sai số phức z .
- Chưa phát hiện ra quy luật i 4 k  1; i 4 k 1  i; i 4 k  2  1; i 4 k 3  i .
Câu 18:
Phương pháp:
- Tính số phức z  z  w .
- Mô đun số phức z  a  bi là

a 2  b2 .

Cách giải:

1  3i 
Ta có: z 
1 i

3



1  3 3i  9i 2  3 3i 3 8
8(1  i )
8  8i


 2 2  4  4i
1 i
1  i (1  i )(1  i ) 1  1

 z  4  4i  w  z  iz  4  4i  i (4  4i)  8  8i
 w  (8)2  (8) 2  8 2
Chọn D
Sai lầm thường gặp:
- Tính sai số phức z, z, w .
- Tính sai mô đun số phức w .
Câu 19:
Phương pháp:
- Tính số phức z  z 2 .
- Phần thực của số phức z  a  bi là a .
Cách giải:
Ta có:  3  4i  z  1  3i   12  5i

10

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!


  3  4i  z  11  2i
z

11  2i (11  2i )(3  4i )

3  4i
(3  4i )(3  4i )

z

33  50i  8i 2 25  50i

 1  2i
32  42
25

 z 2  1  2i   1  4i  4i 2  3  4i
2

 Phần thực của số phức z 2 là 3
Chọn C
Sai lầm thường gặp:
- Tính sai số phức z .
- Nhầm lẫn giữa phần thực và phần ảo của số phức.
Câu 20:
Phương pháp:
- Rút gọn các số phức đã cho.
- Số phức z  a  bi là một số thực nếu b  0 .
Cách giải:
Ta có số thực là số có phần ảo bằng 0 nên:
+)  2016  i    2017  i   4033 là số thực
+)  3  i    2  i   1 là số thực

+) 2017i 2  2017 là số thực
+)



 

2  2i 



2  i  3i là số thuần ảo

Chọn D
Sai lầm thường gặp:
- Rút gọn sai các số phức đã cho.
- Nhầm lẫn điều kiện để một số phức là số thực với số ảo.

11

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!