HSG lớp 9 vòng 1.doc

đề thi hsg lớp 9 vòng I
Môn : Toán
Năm học 2007-2008
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
-----------o0o---------
Câu 1: Chứng minh rằng có duy nhất bộ số nguyên tố thoả mãn x
y
+ 1 = z
Câu 2:
a/. Cho x > y > 0. Rút gọn biểu thức:
( )
yx
yxxyxx
Q

+
=
2
2222
b/. Tính tổng
22222222
2008
1
2007
1
1
4
1
3
1
1

3
1
2
1
1
2
1
1
1
1
++++++++++++=
S
Câu 3: Giải phơng trình
(
)
22
12111 xxx
+=+
Câu 4: Cho P(x) là đa thức bậc 3 có các hệ số là số nguyên và P(0), P(1) là các số lẻ.
Chứng minh rằng P(x) không thể có nghiệm nguyên.
Câu 5: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x
10
- 10x
10
+2008
Câu 6: Cho a, b, c dơng và
1
2
1
2

1
2
1
=
+
+
+
+
+
cba
.
Chứng minh rằng P = abc

1
Câu 7: Cho ABC có A = 120
0
, BC = a, AC = b, AB = c.
Chứng minh rằng: a
2
= b
2
+ c
2
+ bc
Câu 8: Cho ABC vuông có cạnh huyền BC = 2a. Gọi HA là đờng cao, D và E là
hình chiếu của H trên AC và AB. Tìm giá trị lớn nhất của diện tích tứ giác ADHE.
----------------------------------------------------------------
Họ tên thí sinh: SBD.
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm !
)

hớng dẫn chấm
thi hsg lớp 9 vòng I
Môn : Toán
Năm học 2007-2008
-----------o0o---------
Câu Nội dung Điểm
1(1đ)
- Từ x
y
+ 1 = z và z là số nguyên tố z là số lẻ x
y
chẵn x
chẵn mà x nguyên tố x = 2.
- Khi đó 2
y
+ 1 = z . Xét 2 khả năng:
+ Nếu y chẵn mà y nguyên tố y = 2 z = 5
+ Nếu y lẻ y = 2k +1 2
2k+1
+ 1 = 2.4
k
+ 1 0 mod 3 z không
là sô nguyên tố loại
- Vậy có (x, y, z) = (2, 2, 5) là duy nhất
0,25
0,5
0,25
2a(1đ)
- Tử số
(

)
(
)
( )
)(2)(222
2
2222
222222222
2222
yxTyxyxxxT
yxxyxxyxxyxxT
yxxyxxT
===
+++=
+=
- Do đó Q = 1
0,5
0,5
2b(1đ)
- Ta có
( )
1
11
1
1
11
1
1
11
1

2
22
+
+=






+
+=
+
++
kkkk
k
k
- Do đó
2008
2009.2007
2008
12008
2008
1
2008
2008
1
2007
1
1

4
1
3
1
1
3
1
2
1
1
2
1
1
1
1
2
=

==






+++

++






++






+=
S
0,5
0,5
3(1,5đ)
-ĐKXĐ: 0 x 1
- Bình phơng 2 vế:
(
)
2222
4414111 xxxx
++=+
Đặt
2

1 xa
=
, a 0 ta có phơng trình 1 + a = (1 - a
2
)(1+ 4a +
4a
2
). Vì a 0 nên 1 = (1- a )(1+ 4a + 4a
2
) 4a
3
-3a = 0
a= 0 hoặc
4
3
2
=
a

- Với a= 0 thì x = 1 mà 0 x 1 nên x = 1 là nghiệm
- Với
4
3
2
=
a
thì
2
1
=

x
mà 0 x 1 nên
2
1
=
x
là nghiệm
Vậy x= 1;
2
1
=
x
là nghiệm
0,25
0,25
0,5
0,25
0,25
4(1,5đ)
- Giả sử P(x) = ax
3
+ bx
2
+ cx + d với a, b, c, d Z
- Nếu x chẵn, mà P(0) = d lẻ thì P(x) = ax
3
+ bx
2
+ cx + d là số lẻ
nên P(x) 0 mọi x Z

- Nếu x lẻ , ta có P(x)- P(1)= a(x
3
-1)+ b(x
2
-1)+ c(x-1) là số chẵn
mà P(1) lẻ P(x) chẵn P(x) 0 mọi x Z
Vậy P(x) không có nghiệm nguyên.
0,25
0,5
0,5
0,25
5(1đ)
- Ta có
1999199910101999101....11
101010
9
100
=++++++=
xxxxP

(theo BĐT Cosi)
- Dấu = khi x= 1
- Vậy GTNN của P = 1999 khi x= 1
0,5
0,25
0,25
6(1đ)
- Ta có
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )

2
.
22222
2
22222
1
2
1
2
1
2
1
2
1
++
=
++

+
+
+
=






+
+

+
=
+
c
c
b
b
c
c
b
b
c
c
b
b
cba
- Tơng tự
( ) ( )
( ) ( )
2
.
22
1
2

.
22
1
++

+
++

+
b
b
a
a
c
c
c
a
a
b
- Nhân các vế của BĐT trên ta đợc ĐPCM
0,5
0,25
0,25
7(1đ)
- Vẻ hình , GT,KL
- Kẻ AH vuông góc với BC
- Ta có a
2
= BH
2

+ HC
2
= BH
2
+ AH
2
+ 2AH.AC+AC
2
= AB
2
+ AC
2
+ 2AH.AC
- Vì ABH vuông tại H có HAB = 60
0
nên 2AH = AB
Do đó a
2
= b
2
+ c
2
+ bc
0,25
0,5
0,25
8(1đ)
- Chứng minh đợc ADHE là hình chữ nhật
- Ta có S
ADHE

= AE.AD =
2.
234
a
BC
AH
ACAB
AH
=
- Dấu = khi ABC vuông cân
- Vậy GTLN của S
ADHE
= a
2
/2 khi ABC vuông cân
0,25
0,5
0,25
đề thi hsg lớp 9 vòng I
Môn : Toán
Năm học 2007-2008
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
-----------o0o---------
Câu 1 (1,5 điểm).
Tìm các số tự nhiên dạng
bc c, b avà 11 abcdbiết abcd
+=

là số chính phơng.
Câu 2(2 điểm). Cho:

( )
3612
2
3
7829
2
:
6
6
6
7
414
3
1
2
1
4
4
+
++








+

+
+
=
xx
xx
xxx
xxx
x
x
x - 1,5 P
1. Rút gọn P.
2. Tìm x để
P
= 15.
Câu 3 (1,5 điểm): Giải phơng trình:
2 2x x x2x
22
+=+++
168
Câu 4 (1 điểm). Tìm đa thức P(x) biết:
P(x) chia cho (x -3) d 3.
P(x) chia cho (x+4) d (- 4)

P(x) chia cho (x
2
+ x 12) đợc (x
2
+ 3) và còn d.
Câu 5(1 điểm): Tìm Min của:
20082008
+=
x
2008
x P
Câu 6 (1 điểm): Cho a, b, c > 0 thoả mãn:
2
1
1
1
1
=
+
+
+
+
+
c1 b
1

a
.
CMR:
8

1
abc

.
Câu 7 (1 điểm): Qua điểm A của hình vuông ABCD cạnh a vẽ 1 đờng thẳng cắt BC tại M và cắt
DC tại I.
CMR: giá trị của biểu thức:
22
AIAM
1
P
1
+=
không phụ thuộc vào vị trí của M và I.
Câu 8(1điểm): Cho O nằm trong

ABC. Các tia AO, BO, CO cắt các cạnh của

ABC lần lợt
tại
C ,B, A

. Tìm vị trí của O để :
CO
OC

BO
OB

AO

OA
P

+

+

=
nhỏ nhất.
hớng dẫn chấm
thi hsg lớp 9 vòng I
Môn : Toán
Năm học 2007-2008
-----------o0o---------
Điểm Nội dung Thang
điểm
Câu 1
(1,5đ)
Vì
1111 dbcaabcd
+
Mà
112 dccba
+=
(1)
Mặt khác:
{ }
1;021829

dcdc

(2)
Từ (1) và (2) ta có:
+TH1: 2c d =0
492
=
ccd
mà
bc
là số chính phơng
{ }
4;1;0

c
Nếu c =0 thì vô lí vì số chính phơng đã tận cùng là 0 thì phảI có hai
chữ số tận cùng là 00
Nếu c = 1 thì





=
==
=
=
2
98129
8
81
d

abcda
b
bc
Nếu c = 4



=
=
=
10
6
64
a
b
bc
loại
+TH2: 2c d =11
{ }
6;5;4;1;0
718112

+=
c
ccd
Mà c lẻ vậy c 1; 5
Nếu c=1

=
==
=
=
6
98168
9
81
d
abcdb
a
bc
loại vì không chia hết cho 11
Nếu c=5





=
==
=
=
8
72582
7
25
d

abcdb
a
bc
loại vì không chia hết cho 11
Vậy có duy nhất số 9812 thoả mãn