[TƯ DUY MỞ] CÔNG THỨC TÍNH NHANH TỈ SỐ THỂ TÍCH

t. Gọi V1 là
AA , BB , CC , DD lần lượt tại M, N, P, Q. Đặt
AA
BB
CC
DD
thể tích của khối đa diện M N P Q.A B C D . Khi đó ta có kết quả
x+y+z+t
4

V =

x+z
2

V =

y+t
2

V

Sau đây ta sẽ đi tìm hiểu chứng minh cho công thức này.
✍ Lời giải.
Theo kết quả của dạng 1, ta có
x+y+z
VABC.A B C
3
x+z+t
=
VADC.A B C

3
x+y+t
=
VABD.A B C
3
y+z+t
=
VBCD.A B C
3

VM N P.A B C =
VM P Q.A B C
VM N Q.A B C
VN P Q.A B C

x+y+z
V
6
x+z+t
=
V
6
x+y+t
=
V
6
y+z+t
=
V
6

=

Do đó ta được
V1 = VM N P.A B C + VM P Q.A B C + VM N Q.A B C + VN P Q.A B C =

x+y+z+t
V
4

Mặt khác ta lại có
MA
PC
MA + PC
2OI N B
QD
N B + QD
2OI
2OI
+
=
=
;
+
=
=
=
AA
CC
AA
AA BB

DD
BB
BB
AA
Như vậy thì ta được x + z = y + t, điều này suy ra trực tiếp dấu bằng thứ 2 và thứ 3.
Bài toán mở rộng. Cho hình hộp ABCD.A B C D , một mặt phẳng (α) cắt 4 cạnh của hình hộp tại các
điểm M, N, P, Q và một mặt phẳng (β) cắt 4 cạnh của hình hộp tại các điểm M , N , P , Q .
A

D
B

M

C

x

Q

N

M

t

y

P
z

Q
A

N
D
B

P
C

Khi đó các tứ giác M N P Q và M N P Q là những hình bình hành và có công thức
Å
ã
Å
ã
VM N P Q.M N P Q
MM
PP
NN
QQ
1 MM
PP
1 NN
QQ
+
=
+
⇒
=

+
=
+
AA
CC
BB
DD
VABCD.A B C D
2 AA
CC
2 BB
DD
ɚ Website. tuduymo.com

3

Tư duy mở trắc nghiệm toán lý

CÔNG THỨC TÍNH TỈ SỐ THỂ TÍCH

V1 =


Các công thức tính nhanh thể tỉ số thể tích

Khóa hình không gian IM3BPlus

Dạng 4. Tỉ số thể tích khối hộp trong trường hợp không phải là một mặt phẳng cắt
ngang.
Phương pháp giải. Xét bài toán. Cho hình hộp ABCD.A B C D có thể tích V , có 4 điểm M, N, P, Q

nằm trên các cạnh AA ,BB , CC , DD . Hãy tính theo V thể tích khối đa diện lồiABCD.M N P Q.
Chúng ta phải xét xem khối đa diện lồi ABCD.M N P Q có M, N, P, Q không đồng phẳng và 4 điểm
này lồi theo cạnh M P hay N Q, từ đó ta tách thành hai khối lăng trụ lệch hợp lí.
✍ Lời giải.

AM
CP
BN
DQ
+
>
+
, lúc này ta sẽ thấy rằng cạnh M P sẽ gồ lên bên trong
AA
CC
BB
DD
khối đa diện ABCDM N P Q, khi đó ta sẽ tách khối đa diện này thành hai khối lăng trụ lệch theo cạnh M P
là BACN M P và DACQM P . Áp dụng công thức tỉ lệ lăng trụ
Å
Å
ã
ã
1 AM
VBAC.N M P
BN
CP
V AM
BN
CP

=
+
+
⇒ VBAC.N M P =
+
+
VBAC.B A C
3 AA
BB
CC
6 AA
BB
CC
Å
ã
Å
ã
VDAC.QM P
1 AM
DQ
CP
V AM
DQ
CP
=
+
+
⇒ VDAC.QM P =
+
+

VDAC.D A C
3 AA
DD
CC
6 AA
DD
CC
Trường hợp 1. Nếu

LATEX by TƯ DUY MỞ

A

D
B

C

N

M

Q

A

P

D
B

C

Suy ra thể tích khối đa diện ABCDM N P Q là
VABCDM N P Q = VBAC.N M P + VDAC.QM P

V
=
6

Å
ã
CP
BN
DQ
AM
2.
+ 2.
+
+
AA
CC
BB
DD

AM
CP
BN
DQ
+

<
+
, lúc này ta sẽ thấy rằng cạnh N Q sẽ gồ lên trong khối đa
AA
CC
BB
DD
diện ABCDM N P Q, khi đó ta sẽ tách đa diện này thành hai khối lăng trụ lệch theo cạnh N Q là ABDM N Q
và CBDP N Q.
Trường hợp 2. Nếu

A

M

D

B

C
Q
P

A

N
D
B

ɚ Website. tuduymo.com

C
4

Tư duy mở trắc nghiệm toán lý


Các công thức tính nhanh thể tỉ số thể tích

Khóa hình không gian IM3BPlus

Tương tự ta cũng có thể tích khối đa diện ABCDM N P Q là
Å
ã
BN
DQ
AM
CP
V
2.
+ 2.
+
+
VABCDM N P Q = VABD.M N Q + VCBD.P N Q =
6
BB
DD
AA
CC
Bài toán được giải quyết.

CÁC KHÓA HỌC KHÁC DÀNH CHO 2K2-2K3 TẠI TƯ DUY MỞ
Tư duy mở luôn tự tin dẫn đầu về chất lượng với sự dẫn dắt của thầy Nguyễn Đăng Ái - một người thầy dày
dặn kinh nghiệm với các bài giảng vô cùng hay. Bên cạnh đó Tư Duy Mở cũng cung cấp tới các em những khóa
học toàn diện hướng tới kì thi THPT Quốc Gia

/>2 IM3C - Công phá hình học không gian thế hệ C. Tham khảo tại

/>3 IM4C - Công phá logarit và hàm mũ thế hệ C. Tham khảo tại

/>4 IM5C - Công phá tích phân thế hệ C. Tham khảo tại

/>5 IM6C - Công phá Oxyz thế hệ C. Tham khảo tại

/>6 IM7C - Công phá số phức thế hệ C. Tham khảo tại

/>7 IM8C - Kĩ năng và tư duy giải toán THPT cùng 2k3. Tham khảo tại

/>8 IM9C - Công phá đề thế hệ C. Tham khảo tại

/>
ɚ Website. tuduymo.com

5

Tư duy mở trắc nghiệm toán lý

CÔNG THỨC TÍNH TỈ SỐ THỂ TÍCH

1 IM2C - Công phá hàm số thế hệ C. Tham khảo tại