Ảnh hưởng của sự giam giữ phonon lên hệ số hấp thụ phi tuyến sóng điện từ trong dây lượng tử hình chữ nhật

ĐẠI HỌC HUẾ
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

DƯƠNG THỊ DUY PHƯỚC

ẢNH HƯỞNG CỦA SỰ GIAM GIỮ PHONON
LÊN HỆ SỐ HẤP THỤ PHI TUYẾN SÓNG ĐIỆN TỪ
TRONG DÂY LƯỢNG TỬ HÌNH CHỮ NHẬT

Chuyên ngành: VẬT LÝ LÝ THUYẾT VÀ VẬT LÝ TOÁN
Mã số

: 60 44 01 03

LUẬN VĂN THẠC SĨ VẬT LÝ
THEO ĐỊNH HƯỚNG NGHIÊN CỨU
Người hướng dẫn khoa học
TS. LÊ THỊ THU PHƯƠNG

Thừa Thiên Huế, năm 2017

i


LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, các số
liệu và kết quả nghiên cứu nêu trong luận văn là trung thực, được các
đồng tác giả cho phép sử dụng và chưa từng được công bố trong bất kỳ
một công trình nghiên cứu nào khác.
Huế, tháng 9 năm 2017

Tác giả luận văn

Dương Thị Duy Phước

ii


LỜI CẢM ƠN

Hoàn thành luận văn tốt nghiệp này, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu
sắc đến TS. Lê Thị Thu Phương và TS. Bùi Đình Hợi đã tận tình hướng
dẫn và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình thực hiện.
Qua đây, tôi xin chân thành cảm ơn quý Thầy, Cô giáo trong khoa
Vật Lý và phòng Đào tạo Sau đại học, Trường Đại học Sư phạm, Đại
học Huế; gia đình cùng các bạn học viên Cao học khóa 24, bạn bè đã
động viên, góp ý, giúp đỡ, tạo điều kiện cho tôi trong quá trình học tập
và thực hiện luận văn.
Huế, tháng 9 năm 2017
Tác giả luận văn

Dương Thị Duy Phước

iii


MỤC LỤC

Trang phụ bìa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

i

Lời cam đoan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ii

Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

iii

Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

Danh sách các hình vẽ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

MỞ ĐẦU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

NỘI DUNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

Chương 1. MỘT SỐ VẤN ĐỀ TỔNG QUAN . . . . . . .

9

1.1. Tổng quan về hệ bán dẫn thấp chiều. Dây lượng tử hình

chữ nhật . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.1.1. Tổng quan về hệ bán dẫn thấp chiều . . . . . . . .

9

1.1.2. Dây lượng tử hình chữ nhật . . . . . . . . . . . . . 10
1.2. Hàm sóng và phổ năng lượng của điện tử trong dây lượng
tử hình chữ nhật thế vuông góc cao vô hạn . . . . . . . . . 11
1.3. Lý thuyết hấp thụ phi tuyến sóng điện từ mạnh bởi điện
tử bị giam giữ trong dây lượng tử hình chữ nhật thế vuông
góc cao vô hạn trong trường hợp phonon khối. . . . . . . . 13
Chương 2. LÝ THUYẾT HẤP THỤ PHI TUYẾN SÓNG
ĐIỆN TỪ MẠNH BỞI ĐIỆN TỬ BỊ GIAM GIỮ
TRONG DÂY LƯỢNG TỬ HÌNH CHỮ NHẬT
KHI XÉT ĐẾN ẢNH HƯỞNG CỦA SỰ GIAM
GIỮ PHONON . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.1. Hamiltonian của hệ điện tử - phonon bị giam giữ trong
dây lượng tử hình chữ nhật . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1


2.2. Phương trình động lượng tử cho điện tử bị giam giữ trong
dây lượng tử hình chữ nhật khi xét đến sự giam giữ của
phonon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
Chương 3. ẢNH HƯỞNG CỦA PHONON GIAM GIỮ
LÊN HỆ SỐ HẤP THỤ PHI TUYẾN SÓNG ĐIỆN

TỪ BỞI ĐIỆN TỬ BỊ GIAM GIỮ TRONG DÂY
LƯỢNG TỬ HÌNH CHŨ NHẬT THẾ VUÔNG
GÓC CAO VÔ HẠN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.1. Hệ số hấp thụ phi tuyến sóng điện từ bởi điện tử bị giam
giữ trong dây lượng tử hình chữ nhật thế vuông góc cao
vô hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.2. Đánh giá kết quả tính toán số cho dây lượng tử hình chữ
nhật GaAs/AlAs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.2.1. Khảo sát sự phụ thuộc của hệ số hấp thụ phi tuyến
sóng điện từ vào năng lượng của photon . . . . . . 55
3.2.2. Khảo sát sự phụ thuộc của hệ số hấp thụ phi tuyến
sóng điện từ vào kích thước của sợi dây lượng tử . . 58
3.2.3. Khảo sát sự phụ thuộc của hệ số hấp thụ phi tuyến
sóng điện từ vào biên độ của sóng điện từ . . . . . 59
KẾT LUẬN

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

TÀI LIỆU THAM KHẢO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

2


DANH SÁCH CÁC HÌNH VẼ

1.1

Mô hình dây lượng tử hình chữ nhật. . . . . . . . . . . . . 12

3.1

Sự phụ thuộc của hệ số hấp thụ phi tuyến α vào năng lượng
photon Ω của sóng điện từ tại nhiệt độ T = 200 K, biên
độ sóng điện từ E0 = 5.105 V/m, kích thước dây lượng tử
Lx = 10 nm đối với mô hình phonon giam giữ (đường nét
liền) và mô hình phonon khối (đường nét đứt). . . . . . . . 56

3.2

Sự phụ thuộc của hệ số hấp thụ phi tuyến α vào năng
lượng photon Ω của sóng điện từ tại nhiệt độ T = 200 K,
biên độ sóng điện từ E0 = 5.105 V/m với các giá trị khác
nhau của kích thước dây lượng tử Lx : Lx = 9 nm (đường
nét đứt), Lx = 10 nm (đường nét liền). . . . . . . . . . . . 57

3.3

Sự phụ thuộc của hệ số hấp thụ phi tuyến α vào kích
thước của sợi dây lượng tử Lx tại tần số của sóng điện từ
Ω = 10−13 s−1 , biên độ sóng điện từ E0 = 4.105 V/m với
các giá trị khác nhau của nhiệt độ T : T = 150 K (đường
nét đứt), T = 200 K (đường nét liền). . . . . . . . . . . . . 59

3.4

Sự phụ thuộc của hệ số hấp thụ phi tuyến α vào biên độ
của sóng điện từ E0 tại tần số của sóng điện từ Ω = 10−13
s−1 , nhiệt độ T = 200 K với các giá trị khác nhau của
kích thước dây lượng tử Lx : Lx = 9 nm (đường nét đứt),
Lx = 10 nm (đường nét liền). . . . . . . . . . . . . . . . . 60

3


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Trong thời gian gần đây, việc áp dụng phương pháp Epitaxy hiện đại
như Epitaxy chùm phân tử MBE (Molecular BeamEpitaxy), Epitaxy pha
hơi kim loại hữu cơ MOVPE (Metalorganic Chemical Vapor Deposition)
[4] đã tạo ra các lớp bán dẫn có bề rộng vùng cấm khác nhau như AlGaAs
và AlAs. Trong cấu trúc này, ngoài điện trường của thế tuần hoàn gây ra
bởi các nguyên tử tạo nên tinh thể, trong mạng còn tồn tại một trường
điện thế phụ. Tuỳ thuộc vào trường điện thế phụ mà các bán dẫn này
thuộc về bán dẫn có cấu trúc giếng lượng tử, siêu mạng, dây lượng tử
hay chấm lượng tử. Trong các vật liệu bán dẫn có cấu trúc thấp chiều,
chuyển động của các hạt tải (điện tử, lỗ trống) bị giới hạn mạnh. Hạt
tải chỉ có thể chuyển động tự do theo hai chiều (hệ hai chiều, 2D) hoặc
một chiều (hệ một chiều, 1D) hoặc bị giới hạn theo cả 3 chiều (hệ không
chiều, 0D).
Dây lượng tử là một ví dụ về hệ một chiều, là cấu trúc bán dẫn mà
các hạt tải điện trong hệ bị giới hạn theo hai chiều và chuyển động tự do
theo chiều còn lại trong không gian mạng tinh thể. Chính vì tính chất
giam giữ này nên dây lượng tử có các tính chất vật lý và các hiệu ứng
vật lý bên trong khác với các hệ còn lại, đặc biệt là tính chất điện, quang
và phản ứng với trường ngoài [1] đã được khảo sát trong các công trình
[10, 12, 14, 18].
Hiện tượng chuyển tải nói chung và hệ số hấp thụ sóng điện từ nói
riêng trong bán dẫn thấp chiều đã và đang được các nhà khoa học trên
thế giới cũng như trong nước đặc biệt quan tâm nghiên cứu, phát triển về
cả lý thuyết lẫn thực nghiệm. Cụ thể ở ngoài nước, có nhóm tác giả Singh

4


và Tanatar [19], khảo sát dịch chuyển quang từ phonon trong các hệ hai
chiều đối với bán dẫn loại p khi có mặt từ trường. Trong đó nhóm tác
giả đã sử dụng phương pháp Luttinger - Kohn để nghiên cứu lý thuyết
chuyển tải lượng tử cho hệ nhiều hạt và đã thu được hệ số hấp thụ cộng
hưởng cyclotron - phonon bằng lý thuyết phản ứng tuyến tính. Kết quả
thu được có giá trị giới hạn liên kết yếu đối với trường hợp hấp thụ một
phonon. Nhóm tác giả Bhat và cộng sự [9] đã sử dụng mô hình Huang
- Zhu, Fuchs - Kliewer đối với slab mode và mô hình của Ridley đối với
guide mode để nghiên cứu phổ hấp thụ do sự dịch chuyển của phổ hấp
thụ do sự dịch chuyển của electron giữa các mức Landau kèm theo phát
xạ phonon giam giữ và phonon bề mặt. Ở trong nước có nhóm tác giả
Huỳnh Vĩnh Phúc, Lê Đình, Trần Công Phong đã sử dụng phương pháp
nhiễu loạn để khảo sát cộng hưởng cyclotron – phonon trong cấu trúc hố
lượng tử [15], trong dây lượng tử [6, 8] và thu được biểu thức giải tích
cho công suất hấp thụ tuyến tính và phi tuyến, kết quả thu được chỉ ra
được độ cao của các đỉnh cộng hưởng không phụ thuộc vào nhiệt độ mà
chỉ phụ thuộc vào từ trường. Tuy nhiên các tác giả chỉ dừng lại ở việc
khảo sát phonon là phonon khối và bỏ qua giam giữ.
Nhóm tác giả Trần Công Phong, Lê Thị Thu Phương đã nghiên cứu
ảnh hưởng của sự giam giữ phonon lên cộng hưởng từ phonon trong trong
giếng lượng tử bằng quang học [22] bằng phương pháp toán tử chiếu,
nhóm tác giả Lê Thị Thu Phương, Bùi Đình Hợi, Trần Công Phong đã
tính toán hệ số hấp thụ phi tuyến sóng điện từ mạnh bởi điện tử giam
giữ trong dây lượng tử [16], siêu mạng pha tạp [21], bằng phương pháp
phương trình động lượng tử. Bằng hai phương pháp trên các tác giả đều
đã nghiên cứu và thu được sự phụ thuộc của hệ số hấp thụ vào nhiệt độ
của hệ, cường độ của sóng điện từ vào năng lượng photon trong các vật

5


liệu. Trên sơ sở đó chũng tôi sẽ phát triển bài toán trên đối với mô hình
dây lượng tử hình chữ nhật.
Vì những lý do trên nên chúng tôi chọn “Ảnh hưởng của sự giam
giữ phonon lên hệ số hấp thụ phi tuyến sóng điện từ trong dây
lượng tử hình chữ nhật” làm đề tài cho luận văn này.
2. Mục tiêu của đề tài
Mục tiêu của đề tài là nghiên cứu ảnh hưởng của sự giam giữ phonon
lên hệ số hấp thụ phi tuyến sóng điện từ bởi điện tử giam giữ trong dây
lượng tử hình chữ nhật do tương tác giữa electron - phonon quang dưới
ảnh hưởng của trường sóng điện từ mạnh.
3. Nội dung nghiên cứu
- Bán dẫn thấp chiều và dây lượng tử hình chữ nhật.
- Phương pháp phương trình động lượng tử cho điện tử bị giam giữ
trong dây lượng tử hình chữ nhật thế vuông góc cao vô hạn trong trường
hợp phonon khối và phonon giam giữ.
- Biểu thức cho hệ số hấp thụ phi tuyến sóng điện từ trong dây lượng
tử hình chữ nhật thế vuông góc cao vô hạn trong trường hợp phonon giam
giữ.
- Tính số và vẽ đồ thị khảo sát sự phụ thuộc của hệ số hấp thụ phi
tuyến sóng điện từ vào năng lượng của phonon, kích thước sợi dây lượng
tử, biên độ của sóng điện từ và nhiệt độ trong trường hợp phonon giam
giữ.
4. Phương pháp nghiên cứu
- Phương pháp phương trình động lượng tử.
6

- Phương pháp tính số và vẽ đồ thị bằng phần mềm Mathematica.
5. Giới hạn đề tài
- Đề tài chỉ tập trung nghiên cứu dây lượng tử hình chữ nhật với
tương tác của electron - phonon bị giam giữ, bỏ qua các tương tác của
các hạt cùng loại (electron - electron, phonon - phonon).
- Bài toán được xét đến quá trình hấp thụ hai photon và chỉ lấy đến
gần đúng bậc hai của hằng số tương tác điện tử - phonon.
6. Bố cục luận văn
Ngoài mục lục và tài liệu tham khảo, luận văn được chia làm 3 phần.
Phần mở đầu: Trình bày lý do chọn đề tài, mục tiêu của đề tài,
lịch sử nghiên cứu của đề tài, phương pháp nghiên cứu, nhiệm vụ nghiên
cứu, giới hạn đề tài và bố cục luận văn.
Phần nội dung: bao gồm 3 nội dung
- Nội dung 1: Tổng quan về hệ bán dẫn thấp chiều, dây lượng tử
hình chữ nhật. Hàm sóng và phổ năng lượng của điện tử bị trong dây
lượng tử hình chữ nhật. Lý thuyết hấp thụ phi tuyến sóng điện từ bởi
điện tử trong dây lượng tử hình chữ nhật thế vuông góc cao vô hạn trong
trường hợp phonon khối.
- Nội dung 2: Lý thuyết hấp thụ phi tuyến sóng điện từ mạnh bởi
điện tử bị giam giữ trong dây lượng tử hình chữ nhật khi xét đến ảnh
hưởng của sự giam giữ phonon.
- Nội dung 3: Biểu thức giải tích cho hệ số hấp thụ phi tuyến sóng
điện từ bởi điện tử bị giam giữ trong dây lượng tử hình chữ nhật thế vuông
góc cao vô hạn khi xét đến ảnh hưởng của sự giam giữ phonon. Đánh giá
kết quả tính toán số cho dây lượng tử hình chữ nhật GaAs/AlAs.
7


Phần kết luận: Trình bày tóm tắt các kết quả đạt được, hạn chế

của đề tài, đề xuất hướng phát triển của đề tài.

8


NỘI DUNG
Chương 1
MỘT SỐ VẤN ĐỀ TỔNG QUAN
Chương này giới thiệu tổng quan về hệ bán dẫn thấp chiều, dây
lượng tử hình chữ nhật. Hàm sóng và phổ năng lượng của điện
tử trong dây lượng tử hình chữ nhật. Hamiltonian của hệ điện
tử - phonon, xây dựng phương trình động lượng tử cho điện tử
bị giam giữ trong dây lượng tử hình chữ nhật thế vuông góc cao
vô hạn trong trường hợp phonon khối.

1.1.

Tổng quan về hệ bán dẫn thấp chiều. Dây lượng
tử hình chữ nhật

1.1.1.

Tổng quan về hệ bán dẫn thấp chiều

Hệ bán dẫn thấp chiều [4] được tạo ra bằng phương pháp phổ biến
nhất hiện nay là phương pháp epitaxy chùm phân tử và phương pháp
lắng đọng hóa kim loại hữu cơ, trong đó các lớp mỏng chất bán dẫn có bề
rộng vùng cấm khác nhau được tạo ra xen kẽ nhau. Một hệ bán dẫn thấp
chiều là một hệ lượng tử trong đó các hạt tải điện (điện tử và lỗ trống)
dịch chuyển tự do hoặc theo hai chiều, một chiều hoặc không chiều.

Hệ bán dẫn thấp chiều được phân loại dựa trên số chiều không gian
mà các hạt tải điện có thể chuyển động tự do. Vì vậy, ta có các hệ bán
dẫn thấp chiều sau
+ Hệ hai chiều (2D): là hệ mà các hạt tải điện chỉ có thể chuyển
động tự do theo hai chiều và bị giam giữ theo một chiều, đặc trưng là hệ
giếng lượng tử và hệ siêu mạng.
9


+ Hệ một chiều (1D): là hệ mà các hạt tải điện chỉ có thể chuyển
động tự do theo một chiều và bị giam theo hai chiều, đặc trưng là hệ dây
lượng tử.
+ Hệ không chiều (0D): là hệ mà các hạt tải điện bị giam giữ theo
cả ba chiều, đặc trưng là chấm lượng tử.
Chính vì tính chất giam giữ mạnh nên các bán dẫn này có các tính chất
vật lý khác hẳn với bán dẫn khối thông thường, đặc biệt là tính chất
điện, quang và phản ứng với trường ngoài.
1.1.2.

Dây lượng tử hình chữ nhật

Dây lượng tử là cấu trúc bán dẫn mà chuyển động của điện tử trong
hệ bị giới hạn theo hai chiều, và chuyển động tự do theo chiều còn lại
trong không gian mạng tinh thể. Dây lượng tử là một ví dụ về hệ một
chiều. Các hệ này được tạo thành bằng các phương pháp khác nhau như
in thạch bản (lithography), khắc (etching), kỹ thuật cổng. Chẳng hạn,
dây lượng tử hình chữ nhật được tạo thành từ giếng lượng tử bằng phương
pháp in li - tô quang học (photolithography) hoặc in li - tô chùm electron,
sau đó thực hiện kỹ thuật khắc để loại bỏ từng dãi vật liệu tạo nên giếng
để trở thành các dây song song nhau, trong đó electron bị giam giữ thêm

theo trục y và chỉ có tự do theo trục x. Một số loại dây lượng tử khác là
dây hình trụ, dây hình chữ V và chữ T [4].

10


1.2.

Hàm sóng và phổ năng lượng của điện tử trong
dây lượng tử hình chữ nhật thế vuông góc cao
vô hạn

Hàm sóng và phổ năng lượng của điện tử trong dây lượng tử hình
chữ nhật thế cao vô hạn, khi không xét đến ảnh hưởng của từ trường ta
có thể tìm nhờ việc giải phương trình Schroodinger điện tử
2me
−
−
−
∆ψ (→
r ) + 2 [E − U (→
r )] ψ (→
r ) = 0,

(1.1)

−
trong đó me là khối lượng hiệu dụng của điện tử, U (→
r ) là thế năng
giam giữ do hiệu ứng kích thước gây ra. Thông thường, ta giả sử electron

chuyển động tự do theo phương z và bị giam giữ trong mặt phẳng (x, y)
−
của hệ tọa độ Descartes. Từ đó, thế năng U (→
r ) được phân tích thành
hai thành phần
−
U (→
r ) = U (x, y, z) = U (x, y) + U (z) ,
trong đó U (z) = 0 do giả thiết hiệu ứng kích thước xảy ra đối với hai
chiều x và y, điện tử tự do theo phương z. Vì chuyển động của điện tử
dọc theo phương z độc lập với chuyển động trong mặt phẳng (x, y) nên
phương trình (1.1) có thể tách thành hai phương trình
∆Ψ (z) +
∆Φ (x, y) +

2me
2

2me
2

Ez Ψ (z) = 0,

[Ex,y − U (x, y)] Φ (x, y) = 0,

(1.2)
(1.3)

trong đó Ψ (z) và Ez trong phương trình (1.2) lần lượt là hàm sóng và
năng lượng của điện tử ứng với chuyển động theo trục z, Ex,y và Φ (x, y)

trong phương trình (1.3) lần lượt là hàm sóng và năng lượng của điện tử
trong mặt phẳng (x, y). Phương trình (1.2) có nghiệm
Ez =

2 2
kz

2me

11

,


1
Ψ (z) = √ eikz z ,
Lz
→
−
với kz là thành phần véc tơ sóng k theo trục z, Lz là kích thước của dây
theo phương z. Phương trình (1.3) cho nghiệm Ex,y và Φ (x, y) với dạng
cụ thể phụ thuộc vào dạng của thế năng U (x, y). Do đó, hàm sóng và
phổ năng lượng toàn phần của điện tử trong dây lượng tử có dạng
eikz z
ψ (x, y, z) = √ Φ (x, y) ,
Lz
ε (kz ) = Ex,y +

(1.4)

2 2
kz

.
(1.5)
2me
Sau đây chúng tôi chỉ xét dây lượng tử hình chữ nhật có thế vuông
góc cao vô hạn để áp dụng cho luận văn.

Hình 1.1: Mô hình dây lượng tử hình chữ nhật.

Xét dây lượng tử có tiết diện ngang là hình chữ nhật. Ta chọn hệ trục
tọa độ Descartes sao cho trục của dây hướng dọc theo trục z. Kí hiệu kích
thước của dây theo các phương lần lượt là Lx , Ly và Lz (Lz

Lx , Ly ).

Giả thiết thế năng giam giữ điện tử là thế vuông góc cao vô hạn và có
dạng

 0, khi : 0 ≤ x ≤ L , 0 ≤ y ≤ L ,
x
y
U (x, y) =
 ∞, khi : x < 0, x > Lx , y < 0, y > Ly .
12


Việc tìm phổ năng lượng và hàm sóng của điện tử trong dây lượng
tử là một bài toán cơ học lượng tử nhờ việc sử dụng phương pháp phân

ly biến số được trình bày hầu hết trong các tại liệu cơ học lượng tử như
trong [5, 7]. Hàm riêng và trị riêng của phương trình (1.3) có dạng [2]
Φl,j (x, y) =

2
lπx
jπy
sin
sin
Lx
Ly
Lx Ly
2 2

j2
l2
+
L2x L2y

π
Elj =
2me

,

(1.6)

,

(1.7)

với l, j = 1, 2, 3, ...
Hàm sóng và phổ năng lượng toàn phần của điện tử trong dây lượng
tử hình chữ nhật tương ứng với phương trình (1.1) có dạng
1
ψl,j,kz (x, y, z) = √ eikz z
Lz
εl,j (kz ) =

1.3.

jπy
lπx
2
sin
sin
Lx
Ly
Lx Ly

2 2
kz

2me

2 2

+

π

2me

l2
j2
+
L2x L2y

,

.

(1.8)

(1.9)

Lý thuyết hấp thụ phi tuyến sóng điện từ mạnh
bởi điện tử bị giam giữ trong dây lượng tử hình
chữ nhật thế vuông góc cao vô hạn trong trường
hợp phonon khối.

Hamiltonian của hệ điện tử - phonon trong dây lượng tử hình chữ
nhật hố thế cao vô hạn khi không có mặt của từ trường được cho bởi

εα,kz kz −

H=
α,kz

e
Az (t) c+

α,kz cα,kz
c

ω q a+
q aq +

+
q

+
γI1D (q)c+
α ,kz +q cα,kz aq + a−q ,
α,α ,kz ,q

13

(1.10)


trong đó |α = |l, j , |α = |l , j

biểu diễn các trạng thái của điện tử

trong dây lượng tử trước và sau tương tác; kz là vectơ xung lượng của
điện tử chuyển động dọc theo trục z; c+
α,kz (cα,kz ) tương ứng là toán tử
sinh (hủy) của một điện tử bị giam giữ ở trạng thái |α, kz ; a+
q (aq ) tương
ứng là toán tử sinh (hủy) của một phonon ở trạng thái cho bởi vectơ sóng
c

q; ωq là tần số dao động của phonon quang; A (t) = E0 cos (Ωt) là thế
Ω
vectơ của trường sóng điện từ; E0 , Ω là biên độ và tần số của sóng điện
từ; e là điện tích của điện tử; c là vận tốc ánh sáng; γ là hằng số tương
tác điện tử - phonon quang được cho bởi công thức [3]
1/2

2πe2
γ=
ω0
V

1
1
−
χ∞ χ0

,

(1.11)

với V , χ∞ , χ0 lần lượt là thể tích, mật độ thẩm điện môi cao tần và tĩnh;
I1D (q) = Iα,α (q) = Il,j,l ,j (q) là thừa số dạng của điện tử có dạng như
[18]
32π 2 (qx Lx ll )2 1 − (−1)l+l cos (qx Lx )
I1D (q) =

(qx Lx )4 − 2π 2 (qx Lx )2 (l2 + l 2 ) + π 4 (l2 − l 2 )2

2

32π 4 (qy Ly jj )2 1 − (−1)j+j cos (qy Ly )
×
4

(qy Ly ) −

2π 2 (q

2

(j 2

y Ly )

+j

2)

+

π 4 (j 2

−j

2 )2

2.

(1.12)

Sử dụng phương pháp phương trình động lượng tử, ta xây dựng
phương trình động lượng tử cho điện tử áp dụng với toán tử số hạt của
điện tử nα,kz (t) = c+
α,kz cα,kz
i

như sau
t

∂nα,kz (t)
=
∂t

c+
α,kz cα,kz , H

.

(1.13)

t

Tính toán cho vế phải (1.13) với toán tử Hamiltonian cho bởi (1.10)
và sử dụng các hệ thức giao hoán và phản giao hoán sau
+
+
ai , a+
k = ai ak − ak ai = δik ,

14

[ai , ak ] = 0,

a+
, a+
k = 0;
i


+
ci , c+
= ci c+
k
k + ck ci = δik ,

c+
, c+
= 0.
k
i

{ci , ck } = 0,

Với số hạng đầu tiên của toán tử Hamiltonian, ta có giao hoán tử
+
+
+
c+
α,kz cα,kz , cα ,k z cα ,k z = cα,kz cα ,k z δα,α δkz ,k z − cα ,k z cα,kz δα,α δkz ,k z ,

ta thu được kết quả số hạng đầu tiên của vế phải (1.13) là


e
c+
 = 0.
εα ,k z k z − Az (t) c+
α,kz cα,kz ,
α ,k z cα ,k z
c
α ,k

z

(1.14)

t

Với số hạng thứ hai của toán tử Hamiltonian, ta có giao hoán tử
+
+
+
+
+
c+
α,kz cα,kz , aq aq = cα,kz cα,kz aq aq − aq aq cα,kz cα,kz = 0,

ta thu được kết quả số hạng thứ hai của vế phải (1.13) là
c+

α,kz cα,kz ,

ω q a+
q aq

= 0.

q

(1.15)

t

Với số hạng thứ ba của toán tử Hamiltonian, ta có giao hoán tử
+
c+
α,kz cα,kz , cα2 ,kz

1

+q cα1 ,kz1

aq + a+
−q

+
= c+
α,kz δα,α2 δkz ,kz1 +q − cα2 ,kz

− c+

α2 ,kz

1

+q

1

cα1 ,kz1 aq + a+
−q

+q cα,kz

+
δα,α1 δkz ,kz1 + c+
α,kz cα1 ,kz1 cα,kz aq + a−q ,

ta thu được kết quả số hạng thứ ba của vế phải (1.13) là

c+
α,kz cα,kz ,

γIα1 ,α2 (q)c+
α2 ,kz

1

+q cα1 ,kz1




aq + a+
−q

α1 ,α2 ,kz1 ,q
+
γIα,α (q) c+
α,kz cα ,kz −q aq + cα ,kz −q cα,kz a−q

=

∗

t

α,α kz ,q
+
− c+
α ,kz +q cα,kz aq − cα,kz cα ,kz +q a−q

∗

.

(1.16)

Thay các kết quả tính toán tử (1.14), (1.15), (1.16) vào (1.13) với lưu ý
đặt hàm trung gian
Fα1 ,kz1 ,α2 ,kz2 ,q (t) = c+

α1 ,kz cα2 ,kz2 aq
1

15

,
t


ta được
i

∂nα,kz (t)
=
∂t

γIα,α (q) Fα,kz ,α ,kz −q,q (t) + Fα∗ ,kz −q,α,kz ,−q (t)
α ,q

∗
− Fα ,kz +q,α,kz ,q (t) − Fα,k
(t) .
z ,α ,kz +q,−q

(1.17)

Tiếp theo, ta thiết lập phương trình cho hàm trung gian
Fα1 ,kz1 ,α2 ,kz2 ,q (t) = c+
α1 ,kz cα2 ,kz2 aq
1

và tìm biểu thức tường minh cho hàm
t

này. Ta có
i

∂
Fα ,k ,α ,k ,q (t) =
∂t 1 z1 2 z2

c+
α1 ,kz cα2 ,kz2 aq , H

.

1

(1.18)

t

Thực hiện các phép biến đổi toán tử cho số hạng vế phải của (1.18) ta thu
được phương trình vi phân đạo hàm riêng đối với hàm Fα1 ,kz1 ,α2 ,kz2 ,q (t)
như sau
∂Fα1 ,kz1 ,α2 ,kz2 ,q (t)
∂t
i
e
=

εα1 ,kz1 − εα2 ,kz2 − ωq −
(kz − kz2 ) A (t) × Fα1 ,kz1 ,α2 ,kz2 ,q (t)
me c 1
i
+
+
γ Iα1 ,α3 c+
α3 ,kz +q1 cα2 ,kz2 aq1 + a−q1 aq
1

t

α3 ,q1
+
− Iα2 ,α3 c+
α1 ,kz cα3 ,kz2 −q1 aq1 + a−q1 aq
1

.

(1.19)

t

Giải phương trình vi phân không thuần nhất (1.19), sau đó thực hiện
phương pháp biến thiên hằng số ta thu được nghiệm của phương trình
không thuần nhất như sau
t

Fα1 ,kz1 ,α2 ,kz2 ,q (t) =

i

dt2 . Iα1 ,α3 c+
α3 ,kz

γ
α3 ,q1

1

+q1 cα2 ,kz2

−∞

+
− Iα2 ,α3 c+
α1 ,kz cα3 ,kz2 −q1 aq1 + a−q1 aq
1

× exp

i

t2

εα1 ,kz1 − εα2 ,kz2 − ωq (t − t2 )
16

aq1 + a+

−q1 aq

t2




t

−

ie
me c

(kz1 − kz2 ) A (t1 ) dt1  .

(1.20)

t2

Thay kết quả (1.20) vào (1.17) ta thu được
∂nα,kz (t)
=
∂t

i
×
γ


γIα,α (q)

i

α ,q1

α ,q
t

dt2 Iα,α

+
c+
α ,kz +q1 cα ,kz −q aq1 aq + a−q1 aq

t2

−∞

+
− Iα ,α c+
α,kz cα kz −q−q1 aq aq1 + aq a−q1
t2

ie
i
× exp  (εα,kz − εα ,kz −q − ωq ) (t − t2 ) −
me c



t

qA (t1 ) dt1 
t2

t

−

i

γ
α ,q1

dt2 . Iα ,α

c+
α,kz cα

+
+
a+
−q aq1 + a−q a−q1

,kz −q+q1

+ +
+
c+

α ,kz −q1 cα ,kz −q aq1 a−q + a−q1 a−q

− Iα,α

t2

−∞

t2





t

ie
i
× exp − (εα ,kz −q − εα,kz − ω−q ) (t − t2 ) −
me c

qA (t1 ) dt1 
t2

t

+

i

dt2 . Iα ,α

γ
α ,q1

t2

−∞

c+
α ,kz +q cα

− Iα,α

+
c+
α ,kz +q+q1 cα,kz aq1 aq + a−q1 aq

,kz −q1

aq aq1 + aq a+
−q1

t2





t

i
ie
× exp  (εα ,kz +q − εα,kz − ωq ) (t − t2 ) −
me c

qA (t1 ) dt1 
t2

t

−

i

γ
α ,q1

− Iα ,α

dt2 . Iα,α

c+
α ,kz +q cα

,kz +q1

+
+
a+

−q aq1 + a−q a−q1

−∞
+ +
+
c+
α ,kz +q−q1 cα,kz aq1 a−q + a−q1 a−q

17

t2

t2




t

i
ie
× exp − (εα,kz − εα ,kz +q − ω−q ) (t − t2 ) −
me c
t2




qA (t1 ) dt1
.


(1.21)

Trong phép gần đúng bậc hai theo hằng số tương tác điện tử - phonon
|γ|2 , trong số hạng thứ nhất, thứ ba của (1.21) ta lấy theo q1 = −q và
trong số hạng thứ hai, thứ tư ta lấy q1 = q. Khi đó ta viết lại phương
trình động lượng tử cho điện tử trong dây lượng tử hình chữ nhật, có
dạng như sau
t

1
∂nα,kz (t)
= 2
∂t

|γ|2 |Iα,α (q⊥ )|2
α ,q

dt2

−∞

+
× [ c+
α ,kz −q cα ,kz −q (a−q aq + aq aq )

t2

+
− c+

α,kz cα,kz (aq a−q + aq aq ) t2 ]
t

i

× exp[ (εα,kz

ie
− εα ,kz −q − ωq )(t − t2 ) −
me c

qA(t1 )dt1 ]
t2

+ +
+
− [ c+
α,kz cα,kz (a−q aq + a−q a−q )

t2

+ +
+
− c+
α ,kz −q cα ,kz −q (aq a−q + a−q a−q ) t2 ]
t

i

× exp[− (εα ,kz −q − εα,kz

ie
− ω−q )(t − t2 ) −
me c

qA(t1 )dt1 ]
t2

+
− [ c+
α,kz cα,kz (a−q aq + aq aq )

t2

+
− c+
α ,kz +q1 cα ,kz +q1 (aq a−q + aq aq ) t2 ]
t

i

× exp[ (εα ,kz +q − εα,kz

ie
− ωq )(t − t2 ) −
me c

qA(t1 )dt1 ]
t2

+ +
+
+ [ c+
α ,kz +q cα ,kz +q (a−q aq + a−q a−q )
+ +
+
− c+
α,kz cα,kz (aq a−q + a−q a−q ) t2 ]

18

t2


t

i

× exp[− (εα,kz

ie
− εα ,kz +q − ωq )(t − t2 ) −
me c

qA(t1 )dt1 ] .

(1.22)

t2

Khi chuyển về các toán tử số hạt, ta cần lưu ý những điểm sau
+ Các toán tử số hạt của điện tử và số hạt
+
nα ,kz ±q (t) = c+
α ,kz ±q cα ,kz ±q ; nα,kz (t) = cα,kz cα,kz ;
t

Nq (t) =

a+
q aq t ;

Nq (t) + 1 =

t

aq a+
q t.

+ Tần số dao động của phonon: ωq = ω−q .
+
+ Trong phép gần đúng bậc hai ta có thể bỏ qua a−q aq t , a+
−q aq t .

Khi đó từ (1.22) ta có
t

∂nα,kz (t)
1
= 2

∂t

|γ|2 |Iα,α (q⊥ )|2 ×
α ,q

dt2

−∞

× [nα ,kz −q (t2 )Nq − nα,kz (t2 )(Nq + 1)]
t

i

× exp[ (εα,kz

ie
− εα ,kz −q − ωq )(t − t2 ) −
me c

qA(t1 )dt1 ]
t2

+ [nα ,kz −q (t2 )(Nq + 1) − nα,kz (t2 )Nq ]
t

i

× exp[ (εα,kz

ie
− εα ,kz −q + ωq )(t − t2 ) −
me c

qA(t1 )dt1 ]
t2

− [nα,kz (t2 )Nq − nα ,kz +q (t2 )(Nq + 1)]
t

i
ie
× exp[ (εα ,kz +q − εα,kz − ωq )(t − t2 ) −
me c

qA(t1 )dt1 ]
t2

− [nα,kz (t2 )(Nq + 1) − nα ,kz +q (t2 )Nq ]
t

i

× exp[ (εα ,kz +q − εα,kz

ie
+ ω−q )(t − t2 ) −
me c

qA(t1 )dt1 ] .

(1.23)

t2
+∞

Áp dụng khai triển exp (±iz sin ϕ) =

Jµ (z) exp (±iµϕ) và biểu thức
µ=−∞

19


c
E0 cos (Ωt) của trường sóng điện từ ta có
Ω

e E0 q
(sin Ωt2 − sin Ωt)
qA (t1 ) dt1  = exp i
me Ω2

của thế vectơ A (t) =


t

ie
exp −

me c
+∞

t2
+∞

Jµ

=
µ=−∞ µ =−∞

eE0 q
me Ω2

eE0 q
me Ω2

Jµ

× exp [i (µ − µ ) Ωt − iµΩ (t − t2 )] .

(1.24)

Phương trình động lượng tử cho điện tử giam giữ trong dây lượng tử được
cho bởi
1
∂nα,kz (t)
= 2
∂t

+∞
2

2

|γ| |Iα,α (q⊥ )|

Jµ (
µ,µ =−∞

α ,q

eE0 q
eE0 q
)J
(
)
µ
me Ω2
me Ω2

t

× exp[i(µ − µ )Ωt]

dt2

−∞

× [nα ,kz −q (t2 )Nq − nα,kz (t2 )(Nq + 1)]

i
× exp[ (εα,kz − εα ,kz −q − ωq − µΩ)(t − t2 )]
+ [nα ,kz −q (t2 )(Nq + 1) − nα,kz (t2 )Nq ]
i
× exp[ (εα,kz − εα ,kz −q + ωq − µΩ)(t − t2 )]
− [nα,kz (t2 )Nq − nα ,kz +q (t2 )(Nq + 1)]
i
× exp[ (εα ,kz +q − εα,kz − ωq − µΩ)(t − t2 )]
− [nα,kz (t2 )(Nq + 1) − nα ,kz +q (t2 )Nq ]
i
× exp[ (εα ,kz +q − εα,kz + ωq − µΩ)(t − t2 )] .

(1.25)

Ta thêm thừa số e−δ(t−t2 ) (với δ → +0), tham số xuất hiện do giả thiết
đoạn nhiệt của tương tác điện tử - phonon. Khi đó (1.24) được viết lại

20


như sau
∂nα,kz (t)
1
= 2
∂t

+∞
2

2

|γ| |Iα,α (q⊥ )|
α ,q

Jµ
µ,µ =−∞

eE0 q
me Ω2

eE0 q
me Ω2

Jµ

t

× exp [(µ − µ ) Ωt]

dt2

−∞

× {[nα ,kz −rrightarrowq (t2 ) Nq − nα,kz (t2 ) (Nq + 1)]
× exp

i

(εα,kz − εα ,kz −q − ωq − µΩ + iδ) (t − t2 )

+ [nα ,kz −q (t2 ) (Nq + 1) − nα,kz (t2 ) Nq ]
× exp

i

(εα,kz − εα ,kz −q + ωq − µΩ + iδ) (t − t2 )

− [nα,kz (t2 ) Nq − nα ,kz +q (t2 ) (Nq + 1)]
× exp

i

(εα ,kz +q − εα,kz − ωq − µΩ + iδ) (t − t2 )

− [nα,kz (t2 ) (Nq + 1) − nα ,kz +q (t2 ) Nq ]
× exp

i

(εα ,kz +q − εα,kz + ωq − µΩ + iδ) (t − t2 )

.

(1.26)

Phương trình (1.26) là phương trình động lượng tử cho điện tử bị giam
giữ trong dây lượng tử hình chữ nhật thế vuông góc cao vô hạn trong
trường hợp chưa kể đến ảnh hưởng của phonon giam giữ.

21

Chương 2
LÝ THUYẾT HẤP THỤ PHI TUYẾN SÓNG
ĐIỆN TỪ MẠNH BỞI ĐIỆN TỬ BỊ GIAM GIỮ
TRONG DÂY LƯỢNG TỬ HÌNH CHỮ NHẬT
KHI XÉT ĐẾN ẢNH HƯỞNG CỦA SỰ GIAM
GIỮ PHONON
Chương này sẽ tập trung giới thiệu Hamiltonian của hệ điện tử
- phonon bị giam giữ trong dây lượng tử hình chữ nhật và xây
dựng phương trình động lượng tử cho điện tử bị giam giữ trong
dây lượng tử hình chữ nhật thế vuông góc cao vô hạn khi xét
đến ảnh hưởng của sự giam giữ phonon.

2.1.

Hamiltonian của hệ điện tử - phonon bị giam
giữ trong dây lượng tử hình chữ nhật

Chúng ta khảo sát sự tương tác của electron – phonon bị giam giữ
trong dây lượng tử hình chữ nhật đặt trong trường laser có vectơ cường độ
→
−
→
−
điện trường E = E 0 sin Ωt vuông góc với phương truyền sóng. Thế vectơ
→
−
−
c→

tương ứng A (t) = E 0 cos (Ωt). Nếu bỏ qua tương tác của các hạt cùng
Ω
loại (tương tác electron – electron, phonon – phonon) thì Hamiltonian
của hệ điện tử - phonon bị giam giữ trong dây lượng tử hình chữ nhật có
dạng [3]
H = He + Hph + He−ph
e
=
εα,kz kz − A (t) c+
α,kz cα,kz +
c
m,n,q
α,kz

ωm,n,qz a+
m,n,qz am,n,qz
z

+
γI1D (qz ) c+
α ,kz +qz cα,kz am,n,qz + am,n,−qz .

+
α,α m,n,kz ,qz

22

(2.1)