Ảnh hưởng của sự giam giữ phonon lên hệ số hấp thụ phi tuyến sóng điện từ trong dây lượng tử hình trụ

ĐẠI HỌC HUẾ
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

TRẦN THỊ HẠNH PHƯỚC

ẢNH HƯỞNG CỦA SỰ GIAM GIỮ PHONON
LÊN HỆ SỐ HẤP THỤ PHI TUYẾN SÓNG ĐIỆN TỪ
TRONG DÂY LƯỢNG TỬ HÌNH TRỤ

Chuyên ngành: VẬT LÝ LÝ THUYẾT VÀ VẬT LÝ TOÁN
Mã số: 60 44 01 03

LUẬN VĂN THẠC SĨ VẬT LÝ
THEO ĐỊNH HƯỚNG NGHIÊN CỨU

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
TS. LÊ THỊ THU PHƯƠNG

Thừa Thiên Huế, năm 2017


LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi,
các số liệu và kết quả nghiên cứu nêu trong luận văn là trung thực, được
các đồng tác giả cho phép sử dụng và chưa từng được công bố trong bất
kỳ một công trình nghiên cứu nào khác.
Huế, tháng 9 năm 2017
Tác giả luận văn

Trần Thị Hạnh Phước

LỜI CẢM ƠN

Hoàn thành luận văn tốt nghiệp này, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn
sâu sắc đến cô giáo Lê Thị Thu Phương đã tận tình hướng dẫn và giúp
đỡ tôi trong suốt quá trình thực hiện.
Qua đây, tôi xin chân thành cảm ơn quý Thầy, Cô giáo trong
khoa Vật lý và phòng Đào tạo Sau đại học, Trường Đại học Sư phạm,
Đại học Huế, các bạn học viên Cao học khóa 24 cùng gia đình, bạn bè
đã động viên, góp ý, giúp đỡ, tạo điều kiện cho tôi trong quá trình học
tập và thực hiện luận văn.
Huế, tháng 9 năm 2017
Tác giả luận văn

Trần Thị Hạnh Phước


MỤC LỤC

Trang phụ bìa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Lời cam đoan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

Danh sách các hình vẽ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

MỞ ĐẦU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

NỘI DUNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

Chương 1. MỘT SỐ VẤN ĐỀ TỔNG QUAN . . . . . .

10

1.1. Tổng quan về hệ bán dẫn thấp chiều. Dây lượng tử bán dẫn 10
1.1.1. Hệ bán dẫn thấp chiều . . . . . . . . . . . . . . .

10

1.1.2. Dây lượng tử bán dẫn . . . . . . . . . . . . . . .

11

1.2. Hàm sóng và phổ năng lượng của electron trong dây lượng
tử hình trụ dưới tác dụng của trường sóng điện từ ngoài

12

1.3. Lý thuyết hấp thụ phi tuyến sóng điện từ mạnh bởi electron giam giữ trong dây lượng tử hình trụ thế vuông góc
cao vô hạn trong trường hợp phonon khối . . . . . . . .

15

Chương 2. LÝ THUYẾT HẤP THỤ PHI TUYẾN SÓNG
ĐIỆN TỪ BỞI ELECTRON GIAM GIỮ TRONG
DÂY LƯỢNG TỬ HÌNH TRỤ KHI XÉT ĐẾN
ẢNH HƯỞNG CỦA SỰ GIAM GIỮ PHONON

25

2.1. Hamiltonian của hệ electron - phonon bị giam giữ trong
dây lượng tử hình trụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

2.2. Phương trình động lượng tử cho electron trong dây lượng
tử hình trụ khi xét đến sự giam giữ của phonon . . . . .

1

27


Chương 3. ẢNH HƯỞNG CỦA PHONON GIAM GIỮ
LÊN HỆ SỐ HẤP THỤ PHI TUYẾN SÓNG ĐIỆN
TỪ BỞI ELECTRON GIAM GIỮ TRONG DÂY
LƯỢNG TỬ HÌNH TRỤ THẾ VUÔNG GÓC CAO
VÔ HẠN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

44

3.1. Hệ số hấp thụ phi tuyến sóng điện từ bởi electron giam
giữ trong dây lượng tử hình trụ thế vuông góc cao vô hạn

44

3.2. Đánh giá kết quả tính toán số cho dây lượng tử hình trụ
GaAs/AlAs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

57

KẾT LUẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

62

TÀI LIỆU THAM KHẢO . . . . . . . . . . . . . . . . . .

64

2


DANH SÁCH CÁC HÌNH VẼ

1.1

Mô hình dây lượng tử hình trụ. . . . . . . . . . . . . . .

3.1

Sự phụ thuộc của hệ số hấp thụ phi tuyến sóng điện từ

14

α vào năng lượng photon Ω trong dây lượng tử hình trụ
tại nhiệt độ T = 250 K, E0 = 105 V/m, R = 30 nm đối
với trường hợp phonon khối (đường gạch gạch) và trường
hợp phonon giam giữ (đường liền nét). . . . . . . . . . .
3.2

58

Sự phụ thuộc của hệ số hấp thụ phi tuyến sóng điện từ
α vào năng lượng photon Ω tại nhiệt độ T = 250 K,
E0 = 105 V/m với các giá trị khác nhau của bán kính R:
R = 30 nm (đường gạch gạch), R = 35 nm (đường liền nét). 59

3.3

Sự phụ thuộc của hệ số hấp thụ phi tuyến sóng điện từ
vào bán kính dây tại E0 = 105 V/m, Ω = 3 × 1013 s−1 với
các giá trị khác nhau của nhiệt độ T = 200 K (đường gạch
gạch), T = 250 K (đường liền nét). . . . . . . . . . . . .

3.4

60

Sự phụ thuộc của hệ số hấp thụ phi tuyến phi tuyến sóng
điện từ trong dây lượng tử hình trụ vào biên độ sóng điện
từ tại T = 200 K, R = 30 nm với các giá trị khác nhau

của tần số sóng điện từ Ω = 3 × 1013 s−1 (đường gạch
gạch), Ω = 3.5 × 1013 s−1 (đường liền nét) . . . . . . . . .

3

61


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Bán dẫn thấp chiều được tìm ra từ những năm 70 của thế kỉ XX,
cấu trúc thấp chiều gồm: Hệ chuẩn hai chiều như giếng lượng tử, siêu
mạng, hệ một chiều như dây lượng tử, hệ không chiều như chấm lượng
tử [2]. Kể từ đó, bán dẫn thấp chiều đã được nhiều nhà vật lý trong
nước và trên thế giới quan tâm nghiên cứu vì nó giúp tạo ra các thiết bị
hiện đại không những có tính cách mạng về khoa học mà còn được ứng
dụng rộng rãi trong cuộc sống của con người vì những tính năng vượt
trội như: Kích thước nhỏ, ít tốn năng lượng. . . Dây lượng tử là cấu trúc
vật liệu trong đó chuyển động của điện tử bị giới hạn theo hai chiều, chỉ
có thể chuyển động tự do dọc theo chiều dài của dây. Phổ năng lượng
của điện tử gián đoạn theo hai chiều không gian. Sự hấp thụ sóng điện
từ bởi điện tử trong hệ thay đổi rõ rệt so với hệ khí điện tử ba chiều
và hai chiều. Kết quả là gây ra một số hiện tượng mới liên quan đến
sự giảm kích thước của mẫu. Các hiện tượng quang học bao gồm các
quá trình vật lý xảy ra do sự tương tác giữa các tinh thể với sóng điện
từ. Khi sóng điện từ được truyền vào vật rắn thì có thể xảy ra các hiện
tượng phản xạ, nhiễu xạ, hấp thụ hoặc truyền qua. . . Như vậy, hấp thụ
là một trong những tính chất quang cực kì quan trọng của vật liệu và
tính toán hệ số hấp thụ phi tuyến sóng điện từ của vật liệu luôn là bài
toán đặt ra hàng đầu khi xem xét một vật liệu.

Các nhà khoa học đã sử dụng rất nhiều phương pháp để nghiên cứu
các tính chất của bán dẫn thấp chiều, một trong các phương pháp nổi
bật là phương pháp phương trình động lượng tử [1]. Bằng cách sử dụng
phương pháp này, các biểu thức tính toán đại số đã được tìm ra ở dạng
4


tường minh như biểu thức của mật độ dòng, hệ số hấp thụ sóng điện từ
phi tuyến. Đây cũng là một trong những phương pháp thuận tiện nhất
để nghiên cứu ảnh hưởng của sự giam giữ phonon lên hệ số hấp thụ phi
tuyến sóng điện từ trong dây lượng tử hình trụ.
Độ dẫn điện và sự hấp thụ sóng điện từ trong bán dẫn thấp chiều
dưới tác dụng của trường laser cao tần xảy ra do sự tương tác của
electron – phonon. Vì tương tác electron – phonon trong dây lượng tử
xảy ra khác biệt so với trong bán dẫn khối và bán dẫn thấp chiều khác
nên hiệu ứng này mang lại các đặc tính mới. Hệ số hấp thụ sóng điện từ
yếu trong bán dẫn khối, trong giếng lượng tử, trong siêu mạng đã được
nghiên cứu bằng phương pháp Kubo – Mori. Hệ số hấp thụ sóng điện từ
mạnh cũng đã được nghiên cứu bằng phương pháp phương trình động
lượng tử [15], [14]. Tuy nhiên trong trường hợp phonon bị giam giữ thì
vấn đề này còn đang được nghiên cứu. Bên cạnh sự giam giữ electron thì
sự giam giữ phonon do hiệu ứng giảm kích thước cũng đóng vai trò quan
trọng trong bài toán tương tác electron – phonon. Sự giam giữ phonon
làm tăng tốc độ tán xạ electron – phonon và làm thay đổi mật độ trạng
thái phonon [19]. Do vậy, sự giam giữ phonon cần phải được đưa vào
tính toán để mô hình vật lý gần với thực tế. Từ những lý do trên, tôi
chọn đề tài “Ảnh hưởng của sự giam giữ phonon lên hệ số hấp
thụ phi tuyến sóng điện từ trong dây lượng tử hình trụ” làm
đề tài luận văn của mình.
2. Mục tiêu của đề tài

Nghiên cứu và khảo sát ảnh hưởng của sự giam giữ phonon lên hệ
số hấp thụ phi tuyến sóng điện từ trong dây lượng tử hình trụ. Cụ thể,
thiết lập biểu thức giải tích của hệ số hấp thụ sóng điện từ phi tuyến
trong trường hợp phonon giam giữ, khảo sát và vẽ đồ thị sự phụ thuộc
5


của hệ số hấp thụ phi tuyến với các đại lượng liên quan.
3. Lịch sử nghiên cứu của đề tài
a, Ở ngoài nước
Về hiện tượng chuyển tải trong các hệ bán dẫn thấp chiều đã nhận
được độ dẫn điện gây ra khi có mặt trường ngoài do tương tác với
phonon. Ảnh hưởng của sự giam giữ phono trong cấu trúc nano đã được
nhiều nhà khoa học trên thế giới nghiên cứu.
• Nhóm tác giả Singh và Tanatar [6], khảo sát dịch chuyển quang
từ phonon trong các hệ hai chiều đối với bán dẫn loại p khi có mặt từ
trường. Trong đó, nhóm tác giả đã nghiên cứu lý thuyết chuyển tải lượng
tử cho hệ nhiều hạt. Nhóm tác giả đã sử dụng phương pháp LuttingerKohn và đã thu được hệ số hấp thụ cộng hưởng cyclotron-phonon bằng
lý thuyết phản ứng tuyến tính. Kết quả thu được có giá trị giới hạn liên
kết yếu đối với trường hợp hấp thụ một phonon.
• Tác giả Bhat và cộng sự [7] đã sử dụng mô hình Huang và Zhu,
Fuchs-Kliewer đối với slab mode và mô hình của Ridley đối với guide
mode để nghiên cứu phổ hấp thụ do sự dịch chuyển của electron giữa
các mức Landau kèm theo phát xạ phonon giam giữ và phonon bề mặt.
b, Ở trong nước
Hiện tượng chuyển tải nói chung và hệ số hấp thụ sóng điện từ nói
riêng trong bán dẫn thấp chiều dưới tác dụng của trường điện từ cao tần
đã được các nhà vật lý Việt Nam nghiên cứu kể từ năm 1995. Nghiên
cứu về hiện tượng chuyển tải trong hệ bán dẫn 2 chiều, 1 chiều thuộc
về nhóm của GS Nguyễn Quang Báu, trong đó có luận án tiến sĩ của

Hoàng Đình Triển (năm 2012), nghiên cứu về sự hấp thụ phi tuyến sóng
điện từ bởi điện tử giam giữ trong dây lượng tử. Kết quả mà các tác giả
của nhóm nghiên cứu trên đã thu được có thể tóm tắt như sau
6


- Thu được biểu thức giải tích của hệ số hấp sóng điện từ trong cách
điều kiện khác nhau.
- Biểu thức tính số và đồ thị của hệ số hấp thụ phụ thuộc vào tần
số của trường ngoài, nhiệt độ.
• Nhóm tác giả Huỳnh Vĩnh Phúc, Lê Đình, Trần Công Phong đã
khảo sát cộng hưởng cyclotron – phonon trong cấu trúc hố lượng tử
[12], trong dây lượng tử [4], [5], [11]. Trong đó, nhóm tác giả đã sử dụng
phương pháp nhiễu loạn để thu được biểu thức giải tích cho công suất
hấp thụ tuyến tính và phi tuyến. Kết quả thu được chỉ ra được độ cao
của các đỉnh cộng hưởng không phụ thuộc vào nhiệt độ mà chỉ phụ thuộc
vào từ trường.
• Nhóm tác giả Trần Công Phong, Lê Thị Thu Phương [18] đã
nghiên cứu ảnh hưởng của sự giam giữ phonon lên cộng hưởng từ phonon
trong trong giếng lượng tử bằng quang học bằng phương pháp toán tử
chiếu. Cũng như trên, nhóm tác giả đã nghiên cứu ảnh hưởng của phonon
giam cầm về mặt quang học, dò tìm cộng hưởng, khảo sát sự phụ thuộc
của hệ số hấp thụ vào nhiệt độ của hệ, cường độ của sóng điện từ vào
năng lượng photon trong giếng lượng tử.
• Nhóm tác giả Lê Thị Thu Phương, Bùi Đình Hợi, Trần Công
Phong đã tính toán hệ số hấp thụ phi tuyến sóng điện từ mạnh bởi
điện tử giam giữ trong dây lượng tử [13], siêu mạng pha tạp [17], bằng
phương pháp phương trình động lượng tử. Các tác giả đã nghiên cứu và
thu được sự phụ thuộc của hệ số hấp thụ vào nhiệt độ của hệ, cường độ
của sóng điện từ vào năng lượng photon trong các vật liệu. Để từ đó có

thể áp dụng để tính toán cho hiệu năng lượng giữa hai mức của electron
và khối lượng hiệu dụng của electron.
Tuy nhiên các tác giả chỉ dừng lại ở việc khảo sát phonon khối và
bỏ qua giam giữ.
7


4. Phương pháp nghiên cứu
- Sử dụng các phương pháp lý thuyết trường lượng tử cho hệ nhiều
hạt trong Vật lý thống kê trong đó sẽ tập trung nhiều vào phương pháp
phương trình động lượng tử cho điện tử.
- Sử dụng phần mềm Matlab để tính số và vẽ đồ thị.
5. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Nghiên cứu một số vấn đề tổng quan về bán dẫn thấp chiều trong
đó đặc biệt là dây lượng tử hình trụ và phương pháp phương trình động
lượng tử cho electron.
- Thiết lập biểu thức giải tích của hệ số hấp thụ sóng điện từ phi
tuyến trong trường hợp phonon giam giữ.
- Khảo sát và vẽ đồ thị sự phụ thuộc của hệ số hấp thụ phi tuyến
với các đại lượng liên quan.
6. Giới hạn đề tài
- Đề tài tập trung nghiên cứu sự ảnh hưởng của sự giam giữ phonon
lên hệ số hấp thụ phi tuyến sóng điện từ trong dây lượng tử hình trụ.
- Không xét các tương tác của các hạt cùng loại và không xét đến
từ trường ngoài.
- Chỉ sử dụng lý thuyết phi tuyến bậc một.
7. Bố cục luận văn
Ngoài mục lục, phụ lục và tài liệu tham khảo, luận văn được chia
làm 3 phần
• Phần mở đầu: Trình bày lý do chọn đề tài, mục tiêu của đề tài,

lịch sử nghiên cứu của đề tài, phương pháp nghiên cứu, nhiệm vụ nghiên
8


cứu, giới hạn đề tài và bố cục luận văn.
• Phần nội dung: Bao gồm 3 nội dung
Nội dung 1: Giới thiệu tổng quan về dây lượng tử. Hàm sóng và
phổ năng lượng của electron giam giữ trong dây lượng tử. Lý thuyết
hấp thụ phi tuyến sóng điện từ bởi electron trong dây lượng tử hình trụ
thế vuông góc cao vô hạn trong trường hợp chưa kể đến ảnh hưởng của
phonon giam giữ.
Nội dung 2: Nghiên cứu lý thuyết hấp thụ phi tuyến sóng điện từ
mạnh bởi electron giam giữ trong dây lượng tử hình trụ khi xét đến ảnh
hưởng của sự giam giữ phonon.
Nội dung 3: Tính toán biểu thức giải tích cho ảnh hưởng của phonon
giam giữ lên hệ số hấp thụ phi tuyến sóng điện từ bởi electron giam giữ
trong dây lượng tử hình trụ. Đánh giá kết quả tính toán số cho dây lượng
tử hình trụ GaAs/AlAs.
• Phần kết luận: Trình bày tóm tắt các kết quả đạt được, hạn chế
của đề tài, đề xuất hướng phát triển của đề tài.

9


NỘI DUNG
Chương 1
MỘT SỐ VẤN ĐỀ TỔNG QUAN
Chương này trình bày tổng quan về dây lượng tử. Hàm sóng và
phổ năng lượng của electron giam giữ trong dây lượng tử. Lý
thuyết hấp thụ phi tuyến sóng điện từ bởi electron trong dây

lượng tử hình trụ thế vuông góc cao vô hạn trong trường hợp
phonon khối.

1.1.

Tổng quan về hệ bán dẫn thấp chiều. Dây lượng
tử bán dẫn

1.1.1.

Hệ bán dẫn thấp chiều

Hệ bán dẫn thấp chiều được tạo ra từ phòng thí nghiệm bằng các
phương pháp khác nhau. Trong thời gian gần đây, các nhà khoa học
thường áp dụng phương pháp Epitaxy hiện đại như Epitaxy chùm phần
tử MBE (Molecular Beam Epitaxy) [8], Epitaxy từ các hợp chất kim loại
hữu cơ MOVPE (Metalorganic Chemical Vapor Deposition) [16] trong
đó các lớp của hai hay nhiều chất bán dẫn có cùng cấu trúc có thể lần
lượt được tạo ra, tức là thực hiện nhiều lần dị tiếp xúc ở dạng đơn tinh
thể và các lớp mỏng chất bán dẫn có độ rộng vùng cấm khác nhau được
đan xen kẽ nhau.
Một hệ bán dẫn thấp chiều là một hệ lượng tử trong đó các hạt mang
điện dịch chuyển tự do theo hai chiều, một chiều hoặc không chiều. Kích
thước trong hệ này cỡ bậc cho bước sóng De Broglie của hạt mang điện
nên tính chất vật lý của điện tử thay đổi, khi đó các quy luật cơ học
10


lượng tử bắt đầu có hiệu lực.
Việc phân loại hệ bán dẫn thấp chiều dựa trên số hướng không gian

mà hạt mang điện chuyển động tự do [3]. Từ đó, ta có các hệ bán dẫn
thấp chiều sau:
Hệ giếng lượng tử và siêu mạng (2 chiều): Trong hệ này cac hạt
mang điện bị giam giữ theo một hướng và chuyển động tự do theo hai
hướng khác nhau.
Hệ dây lượng tử (1 chiều): Trong hệ này các hạt mang điện bị giam
giữ theo hai hướng và chuyển động tự do theo một hướng khác.
Hệ chấm lượng tử (0 chiều): Trong hệ này các hạt mang điện bị
giam giữ theo cả ba hướng và không thể chuyển động tự do theo hướng
nào khác.
1.1.2.

Dây lượng tử bán dẫn

Dây lượng tử là cấu trúc bán dẫn mà chuyển động của điện tử trong
hệ bị giới hạn theo hai chiều và chuyển động tự do theo chiều còn lại
trong không gian mạng tinh thể. Sự giam giữ điện tử trong các dây
lượng tử làm thay đổi đáng kể các tính chất vật lý của hệ, các hiệu ứng
vật lý bên trong có nhiều sự khác biệt so với cấu trúc ba chiều và hai
chiều. Do tính chất bị giam giữ nên hàm sóng và năng lượng của electron
theo hai chiều bị lượng tử hóa và có dạng tùy thuộc vào dạng thế giam
giữ electron. Hàm sóng của electron theo chiều tự do là sóng phẳng De
Broglie ứng với năng lượng có giá trị liên tục.
Dây lượng tử có thể được chế tạo nhờ kĩ thuật lithography (điêu
khắc) và photething (quang khắc) từ các lớp giếng lượng tử. Bằng kỹ
thuật này, các dây lượng tử có hình dạng khác nhau đã được tạo thành
như: dây lượng tử hình trụ, dây lượng tử hình chữ nhật. Cũng nhờ các
kĩ thuật này mà người ta đã chế tạo ra các dây lượng tử có hình dạng
11

ứng với các thế giam giữ điện tử khác nhau.

1.2.

Hàm sóng và phổ năng lượng của electron trong
dây lượng tử hình trụ dưới tác dụng của trường
sóng điện từ ngoài

Phổ năng lượng và hàm sóng của electron trong dây lượng tử thu
được bằng cách giải phương trình Schrodinger cho electron
2me
−
−
−
∆ψ (→
r ) + 2 [E − U (→
r )] ψ (→
r ) = 0,

(1.1)

−
trong đó me là khối lượng hiệu dụng của electron, U (→
r ) là thế năng
giam giữ do hiệu ứng giảm kích thước gây ra. Thông thường, ta giả sử
electron chuyển động tự do theo phương z và bị giam giữ trong mặt
−
phẳng (x, y) của hệ tọa độ Descartes. Từ đó, thế năng U (→
r ) được phân

tích thành hai thành phần
−
U (→
r ) = U (x, y, z) = U (x, y) + U (z) ,
−
trong đó U (→
r ) = 0 do giả thiết hiệu ứng giảm kích thước xảy ra đối
với hai chiều x và y; electron tự do theo phương z. Vì chuyển động của
electron theo phương z độc lập với chuyển động trong mặt phẳng (x, y)
nên phương trình (1.1) có thể tách ra làm hai phương trình
∆Ψ (z) +

∆Φ (x, y) +

2me
2

2me
2

Ez Ψ (z) = 0,

[Ex,y − U (x, y)] Φ (x, y) = 0,

(1.2)

(1.3)

trong đó Ψ (z) và Ez trong phương trình (1.2) lần lượt là hàm sóng và
năng lượng của electron ứng với chuyển động theo trục z; Ex,y và Φ (x, y)

trong phương trình (1.3) lần lượt là năng lượng và hàm sóng của electron
12


trong mặt phẳng (x,y). Phương trình (1.2) có nghiệm
E=

2 2
kz

2me

,

1
Ψ (z) = √ eikz z ,
Lz
→
−
trong đó kz là thành phần véctơ sóng k theo trục z, Lz là kích thước
của dây theo phương z. Phương trình (1.3) cho nghiệm Ex,y và Φ (x, y)
với dạng cụ thể phụ thuộc vào dạng của thế năng U(x,y). Do đó, hàm
sóng và phổ năng lượng toàn phần của electron trong dây lượng tử dưới
dạng
eikz z
ψ (x, y, z) = √ Φ (x, y) ,
Lz
ε (kz ) = Ex,y +

2 2

kz

2me

(1.4)

.

(1.5)

Sau đây, ta xét loại dây bán dẫn đó là loại dây lượng tử hình trụ
với thế cao vô hạn.
Xét dây lượng tử hình trụ có bán kính tiết diện R, chiều dài Lz
(Lz

R). Chọn hệ tọa độ trụ (r, ϕ, z) sao cho trục của dây hướng dọc

theo trục z. Giả thiết thế năng giam giữ electron trong dây này có dạng

 0 khi r ≤ R
U (x, y) = U (r, ϕ) =
.
 ∞ khi r > R
Hàm riêng và trị riêng tương ứng với phương trình (1.3) có dạng
Φl,i (r, ϕ) = √

1
πRJl+1 (xl,j )

Jl xl,j

r ilϕ
e ,
R

(1.6)

2 2

El,j =

x l,j
,
2me R2
13

(1.7)


Hình 1.1: Mô hình dây lượng tử hình trụ.

trong đó x ,j là nghiệm thứ j của hàm Bessel đối số thực cấp ( = 0, ±1, ±2...) ,
j = 0, 1, 2, 3... thỏa mãn J (x ,j ) = 0 do điều kiện liên tục của hàm sóng
ψ (r) = 0 tại r = R.
Hàm sóng toàn phần của electron bị giam giữ trong dây lượng tử
hình trụ có thế sâu vô hạn tương ứng với phương trình (1.1) có dạng
[20]
eikz z
ψ ,j,kz (r, ϕ, z) = √ C ,j J
Lz

x ,j

r iϕ
e ,
R

(1.8)

với phổ năng lượng toàn phần tương ứng
(x ,j )2
+
,
(1.9)
ε ,j (kz ) =
2me
2me R2
√
= 1/ ( πy ,j R) là hệ số chuẩn hóa và y ,j = J +1 (x ,j ) .
2 2
kz

trong đó C ,j

2

Thừa số dạng [23] được cho bởi công thức
R

I ,j,

,j

2
−
(→
q)= 2
R

J| − | (qR) ψ ∗ ,j (r) ψ ,j (r) rdr.

(1.10)

0

Vì hàm sóng ψ ,j (r, ϕ) chứa hàm Bessel nên ta không thể thu được
biểu thức giải tích cho thừa số dạng. Tuy nhiên, ta dùng biểu thức gần
14


đúng cho hai vùng năng lượng đầu tiên. Khi đó, ta có biểu thức của hàm
sóng thừa số dạng [9], [23] tương ứng là
√
r2
24J3 (qR)
,
ψ0,1 = 3 1 − 2 ⇒ I0,1,0,1 (q) =
R
(qR)3
ψ±1,1 =

1.3.

√

r3
r
12
−
R R3

⇒ I±1,1,0,1 (q) =

48J3 (qR)
.
(qR)3

(1.11)

(1.12)

Lý thuyết hấp thụ phi tuyến sóng điện từ mạnh
bởi electron giam giữ trong dây lượng tử hình
trụ thế vuông góc cao vô hạn trong trường hợp
phonon khối

Trong phần này, ta thiết lập phương trình động lượng tử cho electron
trong hình trụ thế vuông góc cao vô hạn. Ta khảo sát tương tác của hệ
electron – phonon trong dây lượng tử hình trụ thế vuông góc cao vô
hạn đặt trong trường laser (sóng điện từ mạnh) có vectơ cường độ điện

→
−
−
→
trường E (t) = E0 sin Ωt , trong đó E0 và Ω lần lượt là biên độ và tần số
→
−
−
→
của sóng điện từ. Thế vectơ tương ứng là A (t) = Ωc E0 cosΩt với c là vận
tốc ánh sáng trong chân không. Nếu bỏ qua tương tác của các hạt cùng
loại (tương tác electron – electron, phonon – phonon) thì Hamiltonian
của hệ electron- phonon trong dây lượng tử hình trụ thế vuông góc cao
vô hạn được cho bởi
H = He + Hp + He−p
→
−
−
e→
− +
=
ε ,j kz − A (t) a+ →
−a →
,j,kz ,j,kz
c
→
−
,j,kz

+

D ,j,

,j

−
(→
q ) a+

−
→
− − a ,j,→
kz
,j ,kz +→
q

− →
,j, ,j →
kz ,−
q

→
−
q

+ →
−
ω→
b−
−

q b→
q q

+
−
b→
,
−
q + b−→
q

kí hiệu các số lượng tử ( , j) và ( , j ) bằng γ và γ biểu diễn các trạng
thái của electron trong dây lượng tử trước và sau tương tác với một
15


phonon.
H = He + Hp + He−p
→
−
−
e→
− +
=
εγ kz − A (t) a+ →
−a →
γ,kz γ,kz
c
→
−

γ,kz

−
Dγ,γ (→
q ) a+ →
−

+

−
a →
−
γ ,kz +→
qz γ,kz

− →
γ,γ →
kz ,−
qz

→
−
q

+ →
−
b−
ω→
−
q b→

q q

+
−
+ b−→
b→
−
q
q

(1.13)

→
− −
−
trong đó kz , →
q lần lượt là vectơ sóng của electron và phonon, a+ →
− aγ,→
kz
γ,kz
→
−
là toán tử sinh (hủy) của một electron bị giam giữ ở trạng thái γ, kz ,
+
−
b→
b→
−
q là toán tử sinh (hủy) của một phonon ở trạng thái cho bởi vectơ
q

−
−
− là năng lượng của phonon, D
(→
q ) là yếu tố ma trận
sóng →
q , ω→
q

γ,γ

tương tác giữa electron - phonon được xác định bởi công thức
−
→
−
−
Dγ,γ (→
q ) = C→
q .Iγ,γ ( q ) ,

(1.14)

−
trong đó Iγ,γ (→
q ) là thừa số dạng phụ thuộc vào đặc trưng của dây lượng
−
tử, C→
q là hằng số tương tác giữa electron - phonon được cho bởi công

thức

−
C→
q

2

πe2 ω0
=
×
2
2V0 Jm+1
(xm,n )

1
1
−
χ∞ χ0

×

1
,
q2

(1.15)

trong đó χ∞ , χ0 lần lượt là độ thẩm điện môi cao tần và độ thẩm điện
môi tĩnh, ω0 là tần số phonon quang không tán sắc.
Sử dụng phương pháp phương trình động lượng tử, ta xây dựng
phương trình động lượng tử cho electron áp dụng với toán tử số hạt của

− (t) = a+ →
−
electron nγ,→
− aγ,→
kz
kz
γ,kz

i

− (t)
∂nγ,→
kz

∂t

như sau
t

=

−,H
a+ →
− aγ,→
kz

=

− , He
a+ →

−a →
γ,kz γ,kz

γ,kz

t

+
t

− , Hp
a+ →
− aγ,→
kz
γ,kz

+
t

− , Hp−e
a+ →
− aγ,→
kz
γ,kz

.
t

(1.16)
16

Sử dụng các giao hoán tử sau
− , a+ →
a+ →
−
− aγ,→
− aγ ,→
kz
k
γ,kz

γ , kz

z

+
− δγγ δ→
= a+ →
− δγγ δ→
−→
− −a →
−→
− ,
−a →
− aγ,→
kz
γ ,k
k k
k k

γ,kz

z

z z

γ , kz

z z

+
+ →
+ →
+ →
− = 0.
−
−
− , b→
a
−
b
b
b
a+ →
b − = a+ →
− b→
→
−
−a →
−

− aγ,→
→
− aγ,→
q
q
q
q
q q
kz
kz −
γ ,k
γ,kz

γ,kz

γ ,kz

z

Thực hiện các phép biến đổi đại số toán tử, ta được


→
−
− +
e→
− , He = a+ →
→
−
a+ →

a
ε
k
−
A a →
− 
− aγ,→
−
γ
z
− aγ ,→
kz
kz
γ,kz
γ,kz γ,kz
γ
,
k
c
z
→
−
γ,kz

=
→
−
γ ,kz

→

−
−
e→
εγ kz − A
c

− , a+ →
a+ →
−
− aγ,→
− aγ ,→
kz
k
γ,kz

γ ,kz

= 0,


− , Hp
a+ →
− aγ,→
kz



−
= a+ →
− aγ,→

kz

γ,kz

(1.17)

z

γ,kz

→
−
q

+ →
−
ω→
b− 
−
q b→
q q

+
+ →
−
− , b→
ω→
b− = 0.
− aγ,→
q a →

q q
kz −

=

(1.18)

γ,kz

→
−
q

Mặt khác ta có giao hoán tử sau
− , a+
a+ →
− aγ,→
kz

+
−
b→
−
q + b−→
q

→
−→ − aγ ,−
γ2 ,kz1 +→
qz 1 kz1

γ,kz

− −→ →
= a+ →
δγ1 ,γ2 δ→
− a+
−
kz ,kz +−
q
γ,kz

−a+

−
−→ − aγ,→
kz
γ2 ,kz1 +→
q

1

−→ −
γ2 ,kz1 +→
qz

+
→ b→
−
aγ 1 , −

−
q + b−→
q
kz
1

+
− −→ − a+ →
→ a →
− b→
−
δγ,γ1 δ→
,
− aγ ,−
−
q + b−→
q
kz ,kz
γ,kz
1 kz
γ,kz

1

1

ta được
− , Hp−e
a+ →
− aγ,→

kz
γ,kz

→
−
−
C→
q Iγ,γ ( q )

=
−
γ,γ ,→
q

∗

− →
− + a+ →
× a+ →
b→
− aγ ,→
−
kz −−
q q

γ , kz − q

γ,kz

−a+ →

−

− b−→
−
q
→
− aγ,→
kz

− b→
− − a+ →
− →
−
b →
− aγ ,→
→
− aγ,→
kz q
kz −−
q −q

γ , kz + q

γ,kz

∗

.(1.19)

Đặt hàm trung gian

→
−→ − (t) =
Fγ1 ,−
kz ,γ2 ,kz ,→
q
1

a+

−
−→ a −→ b→
γ1 ,kz1 γ2 ,kz2 q

2

17

.
t

(1.20)


Từ các biểu thức (1.17),(1.18),(1.20) ta viết lại phương trình động lượng
tử cho toán tử số cho electron là
i

− (t)
∂nγ,→
kz

=

∂t

−
γ ,→
q

→
−
−
→
− − →
−
C→
+ Fγ∗ ,→
(t)
− →
→
−
−
q Iγ,γ ( q ) Fγ,→
kz ,γ ,kz −→
q ,, −
q
k −−
q ,γ,k , −→
q
z

z ,

− →
→
− − (t) + F ∗ →
+Fγ ,→
(t) .
−
→
− −
−
k z +−
q ,γ,kz ,→
q
γ,k ,γ ,k +→
q , −→
q
z

z

a+

−
−→ .a −→ .b→
γ1 ,kz1 γ2 ,kz2 q

→
−→ − (t) =

Tiếp theo ta thiết lập hàm trung gian Fγ1 ,−
kz ,γ2 ,kz ,, →
q
1

(1.21)

,

2

và tìm biểu thức tường minh cho hàm này
i

→
−→ − (t)
∂Fγ1 ,−
kz ,γ2 ,kz ,, →
q
1

2

∂t

a+

−,H
−→ a −→ b→
γ1 ,kz1 γ2 ,kz2 q

=

.

(1.22)

t

Thực hiện phép biến đổi toán tử cho số hạng vế phải của phương
trình (1.22) ta thu được phương trình vi phân đạo hàm riêng đối với
→
−→ − (t) như sau
hàm Fγ1 ,−
kz ,γ2 ,kz ,, →
q
1

2

→ b→
− , He
a+ −→ aγ2 ,−
kz2 q
γ1 ,kz1



→ b→
−

= a+ −→ aγ2 ,−
kz q
γ ,k
1

z1

2



→
−
−
e→

→
εγ3 kz − A (t) a+ −→ aγ3 ,−
k
z3
γ3 ,kz3
c
−→

γ3 ,kz3

=

→
−

−
e→
εγ3 kz − A (t)
c
−→

γ3 ,kz3

×

a+

− δγ ,γ δ−→ −→
−→ a −→ b→
γ1 ,kz1 γ3 ,kz3 q 2 3 kz2 ,kz3

− a+

− δγ ,γ δ−→ −→
−→ a −→ b→
γ3 ,kz3 γ2 ,kz2 q 1 3 kz2 ,kz3

−
→
−
→
−
−
e→
e→

+
→ b→
−
−
−
ε
k
−
A
(t)
a
= εγ2 kz2 − A (t) a+ −→ aγ2 ,−
−→ a −→ b→
z
γ
q
1
1
k
z2
γ1 ,kz1
γ1 ,kz1 γ2 ,kz2 q
c
c
−
→
−
→
−
−

e→
e→
→ b→
−
= εγ2 kz2 − A (t) − εγ1 kz1 − A (t) a+ −→ aγ2 ,−
kz2 q
γ1 ,kz1
c
c
−
→
−
→
→ −
→ →
−
e −
→ b→
−,
= − εγ1 kz1 − εγ2 kz2 −
kz1 − kz2 A (t) a+ −→ aγ2 ,−
kz2 q
γ1 ,kz1
me c
(1.23)

a+

− , Hp
−→ a −→ b→

γ1 ,kz1 γ2 ,kz2 q



= a+

−,
−→ a −→ b→
γ1 ,kz1 γ2 ,kz2 q

18

→
−
q1

+ →
−
ω→
b− 
−
q1 b→
q1 q1


+
−
ω→
q1 a

−,
−→ a −→ b→
γ1 ,kz1 γ2 ,kz2 q

=

(1.24)

→ b→
− , Hp−e
a+ −→ aγ2 ,−
kz2 q
γ1 ,kz1



= a+

−,
−→ a −→ b→
γ1 ,kz1 γ2 ,kz2 q


−
Dγ3 ,γ3 (→
q 1 ) a+

→
−→ − aγ ,−
γ3 ,kz3 +→

q1 3 kz3

−→ →
kz3 ,−
q1 γ3 ,γ3

−
Dγ3 ,γ3 (→
q 1 ) a+

=

+
−
→ −→ −
b→
δγ2 ,γ3 δ−
−
q1 + b−→
q1
kz ,kz +→
q1

−
−→ a −→ b→
γ1 ,kz1 γ3 ,kz3 q

−→ →
kz3 ,−
q1 γ3 ,γ3

2

−
Dγ3 ,γ3 (→
q1 )a+

−

−
Dγ2 ,γ3 (→
q 1 ) a+

=

−
−→ a −→ →
− b→
γ1 ,kz1 γ3 ,kz2 − q1 q

−
γ3 ,→
q1

−
−Dγ3 ,γ1 (→
q 1 ) a+

1

3

+
−
b→
−
q1 + b−→
q1

+
−
b→
−
q1 + b−→
q1

→ b→
−
−→ − aγ ,−
γ3 ,kz1 +→
q1 2 kz2 q

3

+
−
→ −→
b→
δγ1 ,γ3 δ−
−

q1 + b−→
q1
kz ,kz

→ b→
−
−→ − aγ ,−
γ3 ,kz3 +→
q1 2 kz2 q

−→ →
kz3 ,−
q1 γ3 ,γ3


+
−
b→
−
q1 + b−→
q1 

.

(1.25)

→ −→ − như sau
Phương trình vi phân đạo hàm riêng đối với hàm Fγ1, −
kz ,γ2, kz ,→
q

1

i

→ −→ − (t)
∂Fγ1, −
kz ,γ2, kz ,→
q
1

2

=

∂t

→ −→ − +
×Fγ1, −
kz ,γ2, kz ,→
q
1

i

→ − ε −→ − ω→
−
εγ1, −
q −
kz
γ2, kz

1

i

2

−
γ3 ,→
q1

−Iγ2 ,γ3 a+

−→ a −→ →
−
γ1 ,kz1 γ3 ,kz2 − q1

2

+
−
C→
q 1 Iγ1 ,γ3 a

→ −
→ →
−
e −
kz1 − kz2 A (t)
me c

→
−→ − aγ ,−
γ3 ,kz1 +→
q1 2 kz2

+
−
−
b→
b→
−
q1 + b−→
q
q1

.

2

+
−
−
b→
b→
−
q1 + b−→
q
q1

t

(1.26)

t

Giải phương trình vi phân không thuần nhất của (1.26), sau đó thực
hiện phương pháp biến thiên hằng số ta thu được nghiệm của phương
trình vi phân không thuần nhất
t
→ −→ − (t) =
Fγ1, −
kz1 ,γ2, kz2 ,→
q

i
−
γ3 ,→
q1

× Iγ1 ,γ3 Iγ1 ,γ3 a+

−
C→
q1

dt2
−∞

→
−→ − aγ ,−

γ3 ,kz1 +→
q1 2 kz2

−Iγ2 ,γ3 a+

−→ a −→ →
−
γ1 ,kz1 γ3 ,kz2 − q1

+
−
−
b→
b→
−
q1 + b−→
q
q1

+
−
−
b→
b→
−
q1 + b−→
q
q1

19

t2

t2



× exp 



t

i

→ − ε −→ − ω→
−
εγ1, −
q (t − t2 ) −
kz1
γ2, kz2

−
→ −
→ →
−
kz1 − kz2 A (t) dt1  .

ie
me c

t2

(1.27)
Thay kết quả (1.27) vào (1.21) ta thu được
− (t)
∂nγ, →
kz

×

∂t



1

=

2

−
C→
q Iγ,γ
−
γ ,→
q

t
−
C→

q1

−
γ ,→
q1



a+

→
− − →
,kz −→
q −−
q1

+
−
−
−
b→
−
q1 + b→
q b−→
q b→
q1

− →
→
− − aγ ,→

kz −−
q
γ ,kz +→
q1

+
−
−
−
b→
b→
−
q1 b→
q + b−→
q1 q

γ,kz

t2


× exp 

t2

−∞

a+ →
− aγ

− Iγ ,γ

dt2 Iγ,γ



t

i

− −ε
ε γ, →
kz
γ

→
− →
−
, kz − q

−
− ω→
q (t − t2 ) −

→
−
→
−
q A (t1 ) dt1 

ie
me c
t2

t

+

−
C→
q1
−
γ ,→
q1

a+ →
− aγ

dt2 Iγ ,γ

γ,kz

→
− − →
,kz −→
q +−
q1

−
b+

b+
+ b+
b →
−
−
−
−→
q →
q1
−→
q − q1

t2

−∞

a+

− Iγ,γ

− →
→
− − aγ ,→
kz −−
q
γ ,kz −→
q1

+ +
+

−
b→
b −q + b−→
−
−
q1 b−→
q1 −→
q

t2



t

i

× exp −

εγ

→
− →
−
, kz − q

− − ω−→
−
− ε γ, →
q (t − t2 ) −

kz

ie
me c



→
−
→
−
q A (t1 ) dt1 

t2
t

−

a+

dt2 Iγ ,γ

−
C→
q1
−
γ ,→
q1

−∞

− Iγ,γ

a+ →
−

−
a →
→
− − →
γ ,kz +→
q +−
q1 γ,kz

− →
a →
−
−
γ ,kz +→
q γ ,kz − q1

+
−
−
−
b→
q b→
q1 + b→
q b−−
q→

1

+ →
−
−
b→
b−
q1 b→
q + b−−
q→ q
1

t2


× exp 

t

i

εγ

→
− →
−
, kz + q

t2

− − ω→
−
− ε γ, →
q (t − t2 ) −
kz

ie
me c



→
−
→
−
q A (t1 ) dt1 

t2
t

+

−
C→
q1
−
γ ,→
q1

dt2 Iγ,γ

a+ →
−

− →
a →
−
−
γ ,kz +→
q γ ,kz + q1

−∞

20

−
b+
b+
+ b+
b →
−
−
−
−→
q →
q1
−→
q − q1

t2

a+ →
−

− Iγ,γ

+
−
−
−
b→
q b→
q1 + b→
q b −−
q→

− →
a →
−
−
γ ,kz +→
q γ ,kz − q1

1

t2


× exp −

t

i

εγ

→
− →
−
, kz + q

− − ω→
−
− ε γ, →
q (t − t2 ) −
kz

ie
me c
t2



→
−
→
−
q A (t1 ) dt1  .


(1.28)

Khi đó, ta có thể viết lại phương trình động lượng tử cho electron
trong dây lượng tử hình trụ như sau
− (t)
∂nγ,→
kz

∂t
×

t

=

1
2

2

2
−
C→
q |Iγ,γ (q⊥ )| ×
−
γ ,→
q

a+ →
−

dt2
−∞

− →
a →
−
−
γ ,kz −→
q γ ,kz − q

+ →
−
−
b−→
b−
−
q b→
q + b→
q q

t2

+
− b→
−
−
−
− a+ →
−a →

−
q b−→
q + b→
q b→
q
γ,kz γ,kz
t2

ie
i
− −ε →
− →
→
−
(t
−
t
)
−
−
ω
× exp  εγ, →
−
2
q
kz
γ , kz − q
me c

t



→
−
→
−
q A (t1 ) dt1 

t2

−

− b+→
−
a+ →
b+
+ b+
b →
− aγ,→
−
−
−−
q →
q
−→
q −q
kz
γ,kz

t2

+ +
− →
−
− a+ →
aγ ,→
b→
b−→
+ b−→
b+
−
−
−
− →
−
q
−
q
q
−→
q
k
−
q
z
γ ,kz − q
t2

i

ie
− →
→
− − ω−→
−
× exp − εγ →
−
ε
(t
−
t
)
−
−
2
q
γ, kz
, kz − q
me c

t



→
−
→
−
q A (t1 ) dt1 

t2

−

+ →
− b−→
−
−
a+ →
b−
− aγ,→
−
q b→
q + b→
q q
kz
γ,kz

t2

+
− →
→
−
→
−
→
−
aγ ,→
b

b
+
b
b
− a+ →
− →
→
−
−
q
−
q
q
−
q
k
+
q
z
γ ,kz + q
t2

i
ie
− →
→
− − ω→
−
× exp  εγ →
−

ε
(t
−
t
)
−
−
2
q
γ, kz
, kz + q
me c

t

t2

−

a+ →
−

− →
a →
−
−
γ ,kz +→
q γ , kz + q

−

− a+ →
− aγ,→
kz
γ,kz

−
b+
b+
+ b+
b →
−
−
−
−→
q →
q
−→
q −q

+ +
+
−
b→
b −q + b−→
−
−
q b−→
q −→
q

21

t2

t2



→
−
→
−
q A (t1 ) dt1 



× exp −

t

i

− −ε
εγ, →
kz
γ

→
− →
−

, kz + q

−
− ω−→
q (t − t2 ) −

ie
me c
t2



→
−
→
−

q A (t1 ) dt1
.

(1.29)

Toán tử số hạt của electron và phonon
− →
nγ ,→
(t) = a+ →
−
k z ±−
q

− →
,
a →
−
−
γ ,kz ±→
q γ ,kz ± q t

− (t) = a+ →
−
nγ,→
,
− aγ,→
kz
kz
−
N→
q (t) =
−
N→
q (t) + 1

γ,kz
t
+ →
b− ,
b→
−
q q t
+

−
= b→
.
−
q b→
q t

−
−
Tần số dao động của phonon ω→
q = ω−→
q . Từ biểu thức (1.29) ta

được
− (t)
∂nγ,→
kz

∂t

t

=

1
2

2

2

−
C→
q |Iγ,γ (q⊥ )| ×
−
γ ,→
q

dt2
−∞

×

−
− (t2 ) N→
−
nγ ,→
(t2 ) N→
− →
q − nγ,→
q +1
kz
kz −−
q

i
ie
− −ε →
− →
→
−

× exp  εγ, →
(t
−
t
)
−
−
ω
−
2
q
kz
γ , kz − q
me c

t



→
−
→
−
q A (t1 ) dt1 

t2
−
− (t2 ) N→
−
+ nγ ,→

(t2 ) N→
− →
q + 1 − nγ,→
q
kz
k z −−
q

ie
i
− −ε →
− →
→
−
+
ω
× exp  εγ, →
(t
−
t
)
−
−
2
q
kz
γ , kz − q
me c

t



→
−
→
−
q A (t1 ) dt1 

t2
− →
−
−
− nγ,→
(t2 ) N→
− (t2 ) N→
q +1
q − nγ ,→
k z +−
q
kz

ie
i
− →
→
− − ω→
−
× exp  εγ →
−

ε
(t
−
t
)
−
−
2
q
k
+
q
γ
k
, z
, z
me c

t



→
−
→
−
q A (t1 ) dt1 

t2
−

− →
−
− nγ,→
(t2 ) N→
− (t2 ) N→
q + 1 − nγ ,→
q
kz +−
q
kz

i
ie
− →
→
− + ω→
−
× exp  εγ →
−
ε
(t
−
t
)
−
−
2
q
k
+

q
γ
k
, z
, z
me c

t

t2



→
−
→
−

q A (t1 ) dt1
.

(1.30)

22