Công suất hấp thụ và độ rộng phổ cộng hưởng từ phonon trong giếng lượng tử thế pöschl teller

ĐẠI HỌC HUẾ
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

TRẦN THỊ THU NGUYỆT

CÔNG SUẤT HẤP THỤ VÀ ĐỘ RỘNG PHỔ
CỘNG HƯỞNG TỪ - PHONON TRONG GIẾNG
¨
LƯỢNG TỬ THẾ POSCHL–TELLER

Chuyên ngành: VẬT LÝ LÝ THUYẾT VÀ VẬT LÝ TOÁN
Mã số : 60 44 01 03

LUẬN VĂN THẠC SĨ VẬT LÝ
THEO ĐỊNH HƯỚNG NGHIÊN CỨU

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
PGS.TS. LÊ ĐÌNH

Thừa Thiên Huế, năm 2017


ĐẠI HỌC HUẾ
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

TRẦN THỊ THU NGUYỆT

CÔNG SUẤT HẤP THỤ VÀ ĐỘ RỘNG PHỔ
CỘNG HƯỞNG TỪ - PHONON TRONG GIẾNG
¨
LƯỢNG TỬ THẾ POSCHL–TELLER

Chuyên ngành: VẬT LÝ LÝ THUYẾT VÀ VẬT LÝ TOÁN
Mã số : 60 44 01 03

LUẬN VĂN THẠC SĨ VẬT LÝ
THEO ĐỊNH HƯỚNG NGHIÊN CỨU

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
PGS.TS. LÊ ĐÌNH

Thừa Thiên Huế, năm 2017

i


LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, các số liệu và
kết quả nghiên cứu nêu trong luận văn là trung thực, được các đồng tác giả cho
phép sử dụng và chưa từng được công bố trong bất kỳ một công trình nghiên
cứu nào khác.
Huế, tháng 10 năm 2017
Tác giả luận văn

Trần Thị Thu Nguyệt

ii


LỜI CẢM ƠN

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn đến quý thầy cô giáo đã tham gia giảng
dạy lớp Vật lý lý thuyết và vật lý toán khóa 24, cảm ơn khoa Vật lý, phòng Đào
tạo sau đại học, trường ĐHSP Huế đã quan tâm giúp đỡ, tạo điều kiện cho tôi
trong thời gian học tập và làm luận văn.
Với lòng biết ơn sâu sắc, tôi xin chân thành cảm ơn thầy giáo PGS.TS
Lê Đình đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tôi trong quá trình học tập, nghiên
cứu và hoàn thành luận văn này.
Qua đây, tôi cũng xin cảm ơn các bạn học viên cao học lớp Vật lý lý thuyết
và vật lý toán khóa 24 cùng những người thân trong gia đình, bạn bè đã động
viên, khích lệ, góp ý, giúp đỡ, tạo điều kiện cho tôi trong quá trình học tập và
thực hiện luận văn.
Mặc dù, đã có nhiều cố gắng để hoàn thiện luận văn bằng tất cả sự nhiệt
tình và năng lực của mình, song không thể tránh khỏi những thiếu sót, tôi rất
mong nhận được những chỉ dẫn, góp ý quý báu của quý thầy cô giáo và các bạn.
Xin cảm ơn !
Huế, tháng 10 năm 2017
Tác giả luận văn

Trần Thị Thu Nguyệt

iii


MỤC LỤC

Trang phụ bìa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

i

Lời cam đoan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ii

Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

iii

Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

Danh sách các hình vẽ và đồ thị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

Danh sách các bảng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

MỞ ĐẦU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
NỘI DUNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
Chương 1. MỘT SỐ VẤN ĐỀ TỔNG QUAN . . . . . . . . . 10
1.1. Tổng quan về giếng lượng tử thế P¨oschl-Teller . . . . . . . . . . . . 10
1.1.1. Mô hình giếng lượng tử với thế giam giữ bất kỳ . . . . . . . 10
1.1.2. Năng lượng, hàm sóng của electron trong giếng lượng tử
thế P¨oschl-Teller khi có mặt của từ trường và điện trường
ngoài . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.1.3. Thừa số dạng của electron trong giếng lượng tử thế P¨oschl–Teller
khi có mặt của từ trường và điện trường ngoài . . . . . . . . 18

1.1.4. Hamiltonian của hệ electron tương tác với phonon . . . . . 22
1.2. Tổng quan về phương pháp nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.2.1. Lý thuyết phản ứng tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.2.2. Phương pháp toán tử chiếu độc lập trạng thái . . . . . . . . 28
Chương 2. BIỂU THỨC GIẢI TÍCH CỦA CÔNG SUẤT

HẤP THỤ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.1. Biểu thức giải tích của công suất hấp thụ sóng điện từ bởi electron
bị giam giữ trong giếng lượng tử thế P¨oschl–Teller khi có mặt của
từ trường và điện trường ngoài . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.2. Khảo sát điều kiện cộng hưởng từ - phonon . . . . . . . . . . . . . 38
Chương 3. TÍNH SỐ VÀ VẼ ĐỒ THỊ . . . . . . . . . . . . . . 39
3.1. Khảo sát số và vẽ đồ thị sự phụ thuộc công suất hấp thụ vào năng
lượng photon và biện luận các điều kiện cộng hưởng từ-phonon . . 39

1


3.2. Độ rộng vạch phổ của đỉnh ODMPR . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.2.1. Sự phụ thuộc của độ rộng vạch phổ của đỉnh ODMPR vào
nhiệt độ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.2.2. Sự phụ thuộc độ rộng vạch phổ của đỉnh ODMPR vào cường
độ từ trường . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.2.3. Sự phụ thuộc độ rộng vạch phổ của đỉnh ODMPR vào thông
số của giếng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

KẾT LUẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
TÀI LIỆU THAM KHẢO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
PHỤ LỤC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . P.1

2


DANH SÁCH CÁC HÌNH VẼ VÀ ĐỒ THỊ

Hình 1.1

Cấu trúc giếng lượng tử GaAs/AlGaAs, lớp GaAs đóng
vai trò là hố thế, lớp AlGaAs đóng vai trò là hàng rào thế
đối với electron, đường nét đứt mô tả năng lượng của hạt
giam. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

Đồ thị 3.1

Sự phụ thuộc của công suất hấp thụ vào năng lượng photon ứng với T = 300 K,B = 30 T, α = 2.2 × 108 m−1 . . . . 40

Đồ thị 3.2

(a)Sự phụ thuộc của công suất hấp thụ vào năng lượng
photon tại các giá trị khác nhau của nhiệt độ T; tại T =
300 K (đường màu đen),T = 200 K (đường màu xanh), T
= 100 K (đường màu đỏ). (b) Sự phụ thuộc của độ rộng
vạch phổ của đỉnh ODMPR vào nhiệt độ T. . . . . . . . . 41

Đồ thị 3.3

(a)Sự phụ thuộc của công suất hấp thụ vào năng lượng
photon tại các giá trị khác nhau của từ trường B; tại B
= 30 T (đường màu đen),T = 28 T (đường màu xanh), T
= 25 T (đường màu đỏ).. (b) Sự phụ thuộc của độ rộng

vạch phổ của đỉnh ODMPR vào từ trường B. . . . . . . . 42

Đồ thị 3.4

(a)Sự phụ thuộc của công suất hấp thụ vào năng lượng
photon tại các giá trị khác nhau của thông số giếng α; tại
α = 2.2 × 108 m−1 (đường màu đen), α = 2.3 × 108 m−1

(đường màu xanh), α = 2.4 × 108 m−1 (đường màu đỏ).
(b)Sự phụ thuộc của độ rộng vạch phổ của đỉnh ODMPR
vào thông số giếng α. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

DANH SÁCH CÁC BẢNG

Bảng 3.1

Sự phụ thuộc của độ rộng phổ vào nhiệt độ. . . . . . . . . 40

Bảng 3.2

Sự phụ thuộc của độ rộng phổ vào cường độ từ trường. . . 41
3


Bảng 3.3

Sự phụ thuộc của độ rộng phổ vào thông số giếng α. . . . 42

4

MỞ ĐẦU
I. Lý do chọn đề tài
Trong những năm gần đây, những nghiên cứu về các hệ vật lý bán dẫn
thấp chiều đã không ngừng phát triển và thu được nhiều thành tựu đáng kể.
Cấu trúc thấp chiều hình thành khi ta hạn chế chuyển động của hạt tải trong
một mặt phẳng, một đường thẳng hay một điểm, tức là chuyển động của hạt
dẫn bị giới hạn nghiêm ngặt dọc theo các trục tọa độ với kích thước đặc trưng
vào cỡ bậc của bước sóng De Broglie. Cấu trúc thấp chiều gồm: Hệ hai chiều
(2D) hay giếng lượng tử: các hạt tải bị giới hạn theo một chiều trong khi chúng
tự do theo hai chiều còn lại. Phổ năng lượng bị gián đoạn theo chiều bị giới
hạn. Hệ một chiều (1D) hay dây lượng tử: các hạt tải bị giới hạn theo hai chiều,
chúng chuyển động tự do dọc theo chiều dài của dây. Phổ năng lượng bị gián
đoạn theo hai chiều không gian. Hệ không chiều (0D) hay chấm lượng tử: các
hạt bị giới hạn theo cả ba chiều trong không gian và không thể chuyển động tự
do. Các mức năng lượng bị gián đoạn theo cả ba chiều trong không gian.
Khi nghiên cứu các cấu trúc thấp chiều, các nhà khoa học đã phát hiện ra
nhiều tính chất kỳ lạ và ưu việt của nó so với bán dẫn khối (3D) truyền thống.
Có thể nói bán dẫn thấp chiều là một vật liệu có tính chất đặc trưng, các linh
kiện quang điện tử hoạt động dựa trên các cấu trúc mới này có nhiều tính năng
vượt trội như tiêu tốn ít năng lượng, tốc độ hoạt động nhanh và kích thước nhỏ.
Đó là lý do tại sao các bán dẫn có cấu trúc thấp chiều đã, đang và sẽ được nhiều
nhà vật lý quan tâm nghiên cứu.
Để nghiên cứu các tính chất của hệ thấp chiều đã có nhiều phương pháp
được đề xuất như: phương pháp gần đúng tích phân đường Feyman, kỹ thuật
giản đồ Feyman, phương pháp hàm Green, phương pháp phương trình động
lượng tử, phương pháp chiếu toán tử. Trong đó phương pháp chiếu toán tử là
phương pháp được sử dụng nhiều nhất. Sử dụng phương pháp chiếu toán tử ta
có thể thu được công thức độ dẫn, hàm suy giảm trong độ dẫn.
Kỹ thuật toán tử chiếu lần đầu tiên được Hazime Mori đưa ra năm 1965 ,

khi nghiên cứu chuyển tải của hệ nhiều hạt, gọi là kỹ thuật toán tử chiếu Mori
[4]. Đến nay thì có nhiều kỹ thuật chiếu toán tử được giới thiệu như: kỹ thuật
chiếu – cô lập, kỹ thuật chiếu trung bình tập hợp, kỹ thuật chiếu tổ hợp, kỹ
thuật chiếu trung bình cân bằng. Mỗi kỹ thuật chiếu đều có ưu nhược điểm
5


riêng của nó nhưng đều đạt được mục đích trong tính toán lý thuyết.
Phép chiếu phụ thuộc trạng thái trong phép chiếu hệ nhiều hạt được chia
ra làm nhiều loại khác nhau, trong đó phép chiếu phụ thuộc trạng thái loại I
và loại II được sử dụng nhiều nhất. Lý thuyết của Cho và Choi [10], [11], [12]
dùng để tính tốc độ hồi phục bỏ qua tán xạ biến dạng bằng cách sử dụng toán
tử chiếu phụ thuộc trạng thái loại I, được định nghĩa bởi Badjou và Argyres [9].
Tuy nhiên trong lý thuyết này sự phát xạ (hấp thụ) phonon không được giải
thích chặt chẽ. Trong khi đó, phương pháp toán tử chiếu phụ thuộc trạng thái
loại II do nhóm nghiên cứu của Kang N. L., Lee Y. J. và Choi S. D. đưa ra khắc
phục được sự phân kỳ của thế tán xạ, chứa tường minh các hàm dạng phổ và
sẽ đưa ra được tất cả các dịch chuyển có thể có của electron, khi đó biểu thức
của tenxơ độ dẫn được diễn tả tường minh hơn [16], [17].
Với những ưu điểm trên của phương pháp chiếu toán tử, tôi hy vọng áp
dụng kỹ thuật này vào khảo sát hiện tượng cộng hưởng từ - phonon với kết quả
tốt nhất.
Trong vài thập kỷ qua, hiệu ứng cộng hưởng từ - phonon (MPR) trong hệ
khí electron thấp chiều đã nhận được nhiều sự chú ý từ cả thực nghiệm và lý
thuyết vì chúng có thể được sử dụng như một công cụ thay thế chuyển tải từ để
đo khối lượng hiệu dụng electron chuẩn 2 chiều (Q2D) và để xác định sự chênh
lệch năng lượng giữa các mức con liền kề trong hệ electron chuẩn 1 chiều (Q1D).
Hiệu ứng MPR là sự tán xạ điện tử gây bởi sự hấp thụ và phát xạ các
phonon khi khoảng cách giữa hai mức năng lượng liên tiếp bằng năng lượng của
phonon. Hiệu ứng này phụ thuộc vào tần số photon tới, cường độ từ trường,

nhiệt độ và qua nghiên cứu nó giúp chúng ta xác định được các thông số của
các chất bán dẫn.
MPR được Gurevich và Firsov tiên đoán bằng lý thuyết lần đầu tiên vào
năm 1961, được Puri, Geballe, Firsov và những người khác quan sát bằng thực
nghiệm vào cùng năm đó.
G.Q.Hai và F.M Peeters chứng minh về lý thuyết rằng các hiệu ứng MPR có
thể được quan sát trực tiếp thông qua việc nghiên cứu dò tìm bằng quang
học cộng hưởng từ - phonon (Optically detected magnetophonon resonanceODMPR) trong hệ bán dẫn khối GaAs [14].
Vasilopoulos và cộng sự đã nghiên cứu cấu trúc MPR trong dây lượng tử với thế
giam giữ parabol của tần số [26]. Vào năm 1992, Mori, Momose và Hamaguchi
trình bày một lý thuyết về hiệu ứng MPR cho các mô hình tương tự bằng cách
6


sử dụng công thức Kubo và phương pháp hàm Green [24]. Đến năm 1994, nhóm
nghiên cứu của J.Y. Ryu đã khảo sát cộng hưởng từ - phonnon của dây lượng
tử trong từ trường xiên [25]. S. C. Lee cùng các đồng nghiệp đã khảo sát chi tiết
các hiệu ứng ODMPR trong chất bán dẫn và siêu mạng bán dẫn [21]]
Tuy nhiên các tính toán chưa được thực hiện một cách rõ ràng. Nói chung, cuộc
điều tra đó mới chỉ ở giai đoạn ban đầu về cả thực nghiệm và lý thuyết.
Đã có nhiều công trình nghiên cứu về cộng hưởng từ phonon ở trong nước.
Riêng ở Trường ĐHSP – Đại học Huế nhóm tác giả Trần Công Phong, Lê Đình,
Huỳnh Vĩnh Phúc, Lê Thị Thu Phương đã có một số công trình nghiên cứu về
hiện tượng này chẳng hạn như dò tìm cộng hưởng từ - phonon trong dây lượng
tử, độ rộng vạch phổ cộng hưởng electron - phonon trong siêu mạng bán dẫn
pha tạp [15], [18].
Nhiều luận văn thạc sĩ do nhóm trên hướng dẫn cũng đề cập đến vấn đề này như
: Luận văn thạc sĩ của Lê Thị Cẩm Trang nghiên cứu lý thuyết để phát hiện cộng
hưởng từ phonon trong dây lượng tử hình chữ nhật bằng quang học [7]. Luận
văn thạc sĩ của Hồ Võ Thị Ánh Tuyết nghiên cứu cộng hưởng từ phonon dò tìm

bằng quang học trong bán dẫn khối và siêu mạng [8]. Luận văn thạc sĩ của Trần
Văn Thiện Ngọc nghiên cứu lý thuyết để phát hiện cộng hưởng từ phonon trong
giếng lượng tử bằng quang học [3]. Luận văn thạc sĩ của Nguyễn Văn Cường
nghiên cứu ảnh hưởng của sự giam giữ phonon lên cộng hưởng từ-phonon trong
giếng lượng tử với thế parabol [2]. Luận văn thạc sĩ của Nguyễn Thị Lan Anh
khảo sát cộng hưởng từ - phonon trong giếng lượng tử đặt trong từ trường xiên
[1]. Gần đây nhất là luận văn thạc sĩ của Nguyễn Thị Hồng Sen áp dụng phương
pháp toán tử chiếu độc lập trạng thái để khảo sát cộng hưởng từ - phonon trong
siêu mạng bán dẫn [6].
Tuy nhiên chưa có công trình nào đề cập đến Công suất hấp thụ và độ rộng phổ
cộng hưởng từ-phonon trong giếng lượng tử thế P¨oschl–Teller.
Từ những lý do trên, tôi chọn đề tài “Công suất hấp thụ và độ rộng
phổ cộng hưởng từ-phonon trong giếng lượng tử thế P¨
oschl–Teller ”
làm đề tài luận văn cho mình.

II. Mục tiêu của đề tài
Mục tiêu của đề tài là thiết lập biểu thức của công suất hấp thụ giếng lượng
tử thế P¨oschl–Teller khi có mặt của từ trường, từ đó khảo sát hiện tượng cộng

7


hưởng từ - phonon và độ rộng vạch phổ tương ứng với các đỉnh cộng hưởng.

III. Phương pháp nghiên cứu
Luận văn sử dụng các phương pháp sau
- Sử dụng các phương pháp toán tử chiếu độc lập trạng thái để thu được
biểu thức giải tích của công suất hấp thụ sóng điện từ.
- Sử dụng chương trình Mathematica để tính số và vẽ đồ thị.

- Sử dụng phương pháp Profile để xác định độ rộng vạch phổ.

IV. Nội dung nghiên cứu
Đề tài chủ yếu tập trung vào các nội dung sau:
- Thiết lập biểu thức giải tích của công suất hấp thụ sóng điện từ bởi
electron bị giam giữ trong giếng lượng tử thế P¨oschl–Teller khi có mặt của từ
trường tĩnh và điện trường xoay chiều.
– Khảo sát số và vẽ đồ thị sự phụ thuộc công suất hấp thụ vào năng lượng
photon và biện luận các điều kiện cộng hưởng từ-phonon.
- Áp dụng phương pháp profile để xác định độ rộng vạch phổ cộng hưởng
từ - phonon và khảo sát sự phụ thuộc của độ rộng vạch phổ vào từ trường, nhiệt
độ và thông số của giếng.

V. Giới hạn đề tài
Đề tài tập trung nghiên cứu độ dẫn trong giếng lượng tử với các giới hạn
sau:
- Chỉ khảo sát trong giếng thế P¨oschl–Teller.
- Chỉ xét đến tương tác electron - phonon, bỏ qua tương tác cùng loại
(electron-electron, phonon-phonon).
- Chỉ xét thành phần tuyến tính của độ dẫn.
- Chỉ xét phonon khối mà không xét phonon bị giam giữ.

VI. Bố cục luận văn
Ngoài mục lục, phụ lục và tài liệu tham khảo, luận văn được chia làm 3
phần:

8


- Phần mở đầu trình bày lý do chọn đề tài, mục tiêu của đề tài, lịch sử

nghiên cứu của đề tài, phương pháp nghiên cứu, giới hạn đề tài và bố cục luận
văn.
- Phần nội dung gồm 3 chương:
Chương 1: Tổng quan về giếng lượng tử thế P¨oschl–Teller và phương pháp
toán tử chiếu độc lập trạng thái
Chương 2: Trình bày biểu thức giải tích của công suất hấp thụ
Chương 3: Trình bày kết quả tính số, vẽ đồ thị và thảo luận
- Phần kết luận trình bày các kết quả đạt được của đề tài.

9


NỘI DUNG
Chương 1
MỘT SỐ VẤN ĐỀ TỔNG QUAN
Chương này trình bày tổng quan về giếng lượng tử, hàm sóng và phổ
năng lượng của electron trong giếng lượng tử chịu tác dụng của từ
trường và điện trường, Hamiltonian của hệ electron-phonon khi có
mặt trường ngoài.

1.1.

Tổng quan về giếng lượng tử thế P¨
oschl-Teller

1.1.1.

Mô hình giếng lượng tử với thế giam giữ bất kỳ
Giếng lượng tử là các cấu trúc nano trong đó chuyển động của electron

bị giam giữ theo một chiều và tự do theo 2 chiều còn lại. Giếng lượng tử được
tạo ra bằng cách tạo một lớp bán dẫn mỏng phẳng kẹp giữa hai lớp bán dẫn
khác có độ rộng vùng cấm lớn hơn. Các electron bị giam trong lớp mỏng ở giữa
và chuyển động của chúng theo hướng nào đó bị giới hạn rất mạnh. Trong luận
văn này, tinh thể được cho lớn lên theo trục z thì electron bị nhốt theo trục z
và chuyển động tự do trong mặt phẳng (x,y).
Hình 1.1 là cấu trúc giếng lượng tử GaAs/AlGaAs được nuôi lớn trên đế
GaAs là bán dẫn giếng lượng tử đơn giản nhất có thể nuôi cấy. Lớp bán dẫn
GaAs được đặt xen kẽ giữa hai lớp bán dẫn AlGaAs có bề dày, độ rộng vùng
cấm lớn hơn so với GaAs.
Các khảo sát lý thuyết chủ yếu dựa trên hàm sóng, phổ năng lượng thu
được nhờ giải phương trình Schrodinger với các mô hình thế giam giữ khác
nhau. Các mô hình thường được sử dụng như giếng lượng tử với thế chữ nhật
vô hạn, thế chữ nhậ tbán vô hạn, thế hyperbol bán vô hạn, thế parabol đối
xứng,...Trong giới hạn đề tài này, chúng tôi khảo sát dây lượng tử với thế giam
giữ P¨oschl-Teller khi có mặt của từ trường và điện trường ngoài.

10


Hình 1.1: Cấu trúc giếng lượng tử GaAs/AlGaAs, lớp GaAs đóng vai trò là hố thế, lớp
AlGaAs đóng vai trò là hàng rào thế đối với electron, đường nét đứt mô tả năng lượng
của hạt giam.

1.1.2.

Năng lượng, hàm sóng của electron trong giếng lượng
tử thế P¨
oschl-Teller khi có mặt của từ trường và điện
trường ngoài

Phương pháp Nikiforov-Uvarov (NU)
Phương pháp NU dựa trên các việc giải phương trình vi phân tuyến tính
bậc hai tổng quát với các hàm đặc trưng. Phương pháp NU đưa phương trình
vi phân bậc hai về dạng :
Ψ (u) +

τ˜ (u)
σ
˜ (u)
Ψ (u) + 2
Ψ (u) = 0,
σ (u)
σ (u)

(1.1)

trong đó σ (u) và σ˜ (u) là các đa thức bậc hai và τ˜ (u) là đa thức bậc một.
Đưa phương trình (1.1) về dạng đơn giản bằng cách sử dụng công thức
(1.2)

Ψn (u) = φn (u) yn (u) .

Thay phương trình này vào phương trình (1.1), ta có
yn (u) +

2

φ
τ˜

+
φ
σ

yn (u) +

φ
φ τ˜
σ
˜
+
+ 2
φ
φσ σ

yn (u) = 0.

Để phương trình đơn giản hơn phương trình (1.1) ban đầu thì hệ số của đạo
hàm yn (u) phải có dạng

τ (u)
σ(u)

. Từ đó, ta có
φn (u)
π (u)
=
,
φn (u)
σ (u)

11

(1.3)


trong đó
π (u) =

1
[τ (u) − τ˜ (u)] ,
2

là một đa thức bậc 1.
Vì
φ
=
φ

φ
φ

+

φ
φ

2

=

π
σ

π
σ

+

2

,

nên phương trình (1.3) có dạng của phương trình vi phân thuần nhất
σ (u) yn (u) + τ (u) yn (u) +

σ
¯
yn (z) = 0,
σ

(1.4)

trong đó
σ
¯=σ
˜ (u) + π 2 (u) + π (u) τ˜ (u) − σ (u) + π (u) σ (u) .

Có thể viết σ¯ (u) = λσ (u) , do đó, phương trình (1.4) trở thành
σ (u) yn (u) + τ (u) yn (u) + λyn (u) = 0,

trong đó λ được cho bởi
λ = λn = −nτ (u) −

n (n − 1)
σ (u)
2

n = 0, 1, 2, ...

(1.5)

Khi đó yn (z) thỏa mãn hệ thức Rodrigues
An dn n
[σ (u) ρ (u)] ,
yn (u) =
ρ (u) dz n

(1.6)

trong đó An là hệ số chuẩn hóa và hàm ρ (u) phải thỏa mãn
d
[σ (u) ρ (u)] = τ (u) ρ (u) .
du

Hàm π (u) và tham số λ được định nghĩa như sau
σ (u) − τ˜ (u)
π (u) =
±
2

σ (u) − τ˜ (u)
2

2

−σ
˜ (u) + kσ (u).

(1.7)

Để xác định k ta cho biệt thức của biểu thức trong dấu căn bậc hai của phương
trình (1.7) bằng 0, từ đó π (u) trở thành một đa thức.
Bây giờ chúng ta sẽ sử dụng phương pháp NU để tìm hàm sóng và năng
lượng của electron trong giếng lượng tử thế P¨oschl-Teller
Xét mô hình giếng lượng tử với thế giam giữ P¨oschl-Teller, trong đó điện
tử chuyển động tự do trong mặt phẳng (x, y) và bị giam giữ theo trục z . Ta xét
12


hệ chuẩn hai chiều với từ trường tĩnh hướng theo trục z : B = (0, 0, B). Trong
trường hợp này thế vectơ thỏa mãn hệ thức
∇ × A = B,

và chọn chuẩn Landau, A = (0, Bx, 0) . Lúc đó Hamiltonian của electron có dạng
2
1
− 2 ∂2
+
(−i ∇r + q A) + V (z) Ψ (r⊥ , z) = EΨ (r⊥ , z) ,
2

2mz ∂z
2m⊥

(1.8)

trong đó mz và m⊥ lần lượt là khối lượng hiệu dụng của electron theo phương z
và trong mặt phẳng của khí electron hai chiều. Hàm sóng có thể viết dưới dạng
tích của hai hàm Ψ (r⊥ , z) = χ (x, y) ϕ (z) , r⊥ = xi + y j, trong đó ϕ (z) thỏa mãn
phương trình :
2

−

∂ 1 ∂
+ V (z) ϕ (z) = Eϕ (z) .
2 ∂z m∗ ∂z

Hàm χ (x, y) thỏa mãn phương trình :
m∗ ωc2
∂2
+
(x − x0 )2 χ (x, y) = Eχ (x, y) ,
∗
2
2m ∂x
2
2

−

trong đó x0 =

1
eB (−i

(1.9)

∂
) ∂y
, E là năng lượng ứng với chuyển động ngang trong mặt

phẳng (x, y). Giả sử nghiệm χ (x, y) có dạng
χ (x, y) = χ (x) eiky y ,

(1.10)

trong đó x0 có thể viết dưới dạng x0 = ky /eB được gọi là tâm tọa độ. Lúc này
phương trình (1.9) trở thành phương trình của dao động tử điều hòa đối với
χ (x) có dạng
√
χ (x) = 2N N ! πlm

− 1 /2

exp −

(x − x0 )
x − x0
HN
,

2
2lm
lm

N = 0, 1, 2, ... (1.11)
1

trong đó HN (z) là đa thức Hermite bậc N, lm = ( /eB)

/2

là độ dài từ, chính là

bán kính cyclotron ở trạng thái cơ bản. Năng lượng tương ứng cho bởi hệ thức
quen thuộc của dao động điều hòa
EN = N +

1
2

ωc ,

N = 0, 1, 2, ...

(1.12)

Vận tốc của hạt trên quỹ đạo tròn bán kính rN là v = rN ωc , từ đó động năng là
m∗ v 2 /2. Cân bằng với (1.12), ta được
rN

2
=
(N + 1/2 )
eB
13

1/2

.


Đối với N = 0, ta được r0 = lB =

/eB chính là bán kính từ. Năng lượng toàn

phần trong hệ hai chiều là
(1.13)

E = En + (N + 1/2) ωc ,

trong đó En là năng lượng tương ứng với thế giam giữ theo trục z.
Bây giờ ta sẽ tìm hàm ϕ (z) và năng lượng En tương ứng với thế giam giữ
P¨oschl- Teller. Phương trình Schr¨odinger cho electron có khối lượng m trong
giếng thế theo trục z là
2

−

d2
ϕ (z) + V (z) ϕ (z) = Eϕ (z)

2mz dz 2

Để đơn giản ta đặt mz =
−

= 1 , khi đó ta được
1 d2
ϕ(z) + V (z)ϕ(z) = Eϕ(z),
2 dz 2

với
V (z) =

V1 + V2 cosh(αz)
,
sinh2 (αz)

trong đó V1, V2 , α là các hằng số được định nghĩa
u = tanh2

αz
2

(1.14)

√
−2E
ε=
α

(1.15)

Ta có phương trình vi phân thuần nhất
3u − 1 d
d2
ϕ(u) +
ϕ(u)
2
du
2u(u − 1) du
(u − 1) [V1 + V2 + (V2 − V1 )u]
ε2
+
−
2α2 u2 (u − 1)2
u(u − 1)2

(1.16)
ϕ(u) = 0.

Đối chiếu (1.1) với (1.16), ta có :



σ (u) = 2u(1 − u),



(1.17)

τ˜ (u) = 1 − 3u,




 σ˜ (u) =

2
α2

[(u − 1) (V1 + V2 + (V2 − V1 ) u)] − 4uε2 .

Thay phương trình (1.17) vào phương trình (1.7), ta được
π (u) =

1
1
(1 − u) ±
{u2 [8 (V1 − V2 ) + (1 − 8k) α2 ]
2
2α
14


− 2u[8V1 + (1 − 4k) α2 − 8ε2 α2 ] + 8 (V1 + V2 ) + α2 }

1

/2

.

Theo phương pháp NU, ta phải đặt sao cho biểu thức trong căn bậc hai của
hàm π (u) phải bằng 0, bậc được xác định bằng hệ số k. Tính toán ta tìm được
k=−

1
2
V2 + ε2 α2 ± α2 εµ , µ =
2
α
2α

8 (V1 + V2 ) + α2 ,

với điều này, ta thu được 4 nghiệm của π (u)

2

 (2ε − µ) u + µ ⇔ k = − 2 V2 + ε2 α2 − εα2 µ ,
1
π (u) =

2

(1 + u) ±

α



 (2ε + µ) u − µ ⇔ k = − 2 V2 + ε2 α2 + εα2 µ .
2
α

Ỏ đây ta chọn π (u) = 12 (1 + u) − [(2ε + µ) u − µ] với k = − α22 V2 + ε2 α2 + εα2 µ ,
ta được
τ (u) = τ˜ (u) + 2π (u) = 2 + 2µ − 2u (2ε + µ + 2) ,

với đạo hàm
d
τ (u) = −2 [2 + 2ε + µ] < 0.
du

Bây giờ, ta viết giá trị của λ, λn theo phương trình (1.5) như sau
λ=−

1
4V2 + α2 (1 + 2ε)(1 + 2ε + 2µ) ,
2
2α

λn = 2n [n + 2ε + µ + 1] ,

(1.18)

n = 0, 1, 2, ....

Sử dụng điều kiện λ = λn và giải ε, ta được
εn =

1
[− (1 + 2n) + ν − µ] ,
2

ν=

1
2α

8(V1 − V2 ) + α2 .

Từ đó, ta thu được biểu thức năng lượng theo mức của electron
En = −

α2
1
[ν − µ − (1 + 2n)]2 , n = 0, 1, 2, ...,
(ν − µ − 1) ,
8
2

(1.19)

trong đó dấu [...] nghĩa là chỉ lấy phần nguyên của biểu thức trong [...]. Trạng
thái liên kết En < 0 chỉ tồn tại khi (V1 + V2 ) > 0 và V2 < 0 , với z > 0.
Để tìm các hàm sóng, ta giải phương trình (1.3) và sử dụng các phương
trình (1.15) và (1.18), ta được
1

µ

φ (u) = u 4 + 2 (1 − u)ε ,
ρ (u) = uµ (1 − 2u)2ε .
15

(1.20)


Từ 2 phương trình trên và hệ thức Rodrigues (1.6), ta được
yn (u) = An 2n u−µ (1 − u)−2ε

dn
un+µ (1 − u)n+2ε .
dun

Đây là hàm biểu diễn đa thức Jacobi. Từ định nghĩa các đa thức Jacobi
(α,β)
Pn
(z)

(−1)n
dn
= n (1 − z)−α (1 + z)−β n (1 − z)n+α (1 + z)n+β ,
2 n!
dz

đặt z = 1 − 2u , ta có yn (u) ≈ Pn(µ,2ε) . Các hàm sóng có thể tìm thấy bằng cách
thay yn (u) và phương trình (1.20) vào biểu thức (1.2) như sau
1+µ
2

ϕn (u) = Cu 4

(1 − u)ε Pn (µ,2ε) (1 − 2u) ,

trong đó C là hệ số chuẩn hóa.
Dựa vào mối liên hệ giữa các hàm siêu bội và đa thức Jacobi
(α,β)

Pn

(z) =

Γ (n + 1 + α)
n!Γ(1 + α)

2

F1 −n, n + α + β + 1; 1 + α;

1−z
,
2

ta viết được hàm sóng như sau:
ϕn (u) = Cuδ (1 − u)ε 2 F1 [−n, n + 2 (δ + ε + 1/4) ; 2δ + 1/2; u] ,

(1.21)

trong đó

δ=

1 µ
+ .
4 2

Bây giờ ta tìm hệ số chuẩn hóa C. Áp dụng điều kiện chuẩn hóa
∞

1

Ψn (u)2 dz =
0

Ψn (u)2
√ du = 1,
(1 − u) uα

0

hay
1

C2
α

1

(1−u)2ε−1 u2δ− 2 2 F1 [−n, n + 2(δ + ε + 1/4); 2δ + 1/2; u ]2 du = 1.

(1.22)

0

Để tính tích phân trên trước tiên ta phải tính cho các giá trị đặc biệt của nó với

16


n = 1, 2, 3, 4, 5, ...,
n = 0,
n = 1;
n = 2,
n = 3,
n = 4,
n = 5,

π csc(2πε)Γ(1/2 + 2δ)
;
Γ(1 − 2ε)Γ(1/2 + 2δ + 2ε)
4(1 + 2ε)Γ(3/2 + 2δ)Γ(2ε)
;
(1 + 4δ)2 Γ [3/2 + 2δ + 2ε )
32(2 + 2ε)(1 + 2ε)Γ(5/2 + 2δ)Γ(2ε)

;
(1 + 4δ)2 (3 + 4δ)2 Γ(5/2 + 2δ + 2ε)
384(2 + 2ε)(1 + 2ε)(3 + 2ε)Γ(7/2 + 2δ)Γ(2ε)

;

(1 + 4δ)2 (3 + 4δ)2 (5 + 4δ)2 Γ(7/2 + 2δ + 2ε)
6144(1 + 2ε)(2 + 2ε)(3 + 2ε)(4 + 2ε)Γ(9/2 + 2δ)Γ(2ε)

;
(1 + 4ε)2 (3 + 4ε)2 (5 + 4ε)2 (7 + 4ε)2 Γ(9/2 + 2δ + 2ε)
122880(1 + 2ε)(2 + 2ε)(3 + 2ε)(4 + 2ε)(5 + 2ε)Γ(11/2 + 2δ)Γ(2ε)
(1 + 4δ)2 (3 + 4δ)2 (5 + 4δ)2 (7 + 4δ)2 (9 + 4δ)2 Γ [11/2 + 2δ + 2ε )

;

..., .....

Nếu chúng ta sắp xếp lại các công thức trong phương trình trên, ta thấy rằng
có một dạng chung cho bất kì giá trị n,
22(2n+1) n!((2δ)n+1 )2 (1 + 2ε)n Γ(1/2 + n + 2δ)Γ(2ε)
((4δ)2n+1 )2 Γ(1/2 + n + 2δ + 2ε)

hoặc

22(2n−1) n!((2δ + 1)n−1 )2 (1 + 2ε)n Γ(1/2 + n + 2δ)Γ(2ε)
((4δ + 1)2n−1 )2 Γ(1/2 + n + 2δ + 2ε)

(1.23)

,

.

(1.24)

Sử dụng tính chất của hàm gamma và hàm siêu bội, ta biến đổi phương trình
(1.23) và (1.24) thành
1
1

(1 − u)2ε−1 u2δ− 2 2 F1 [−n, n + 2(δ + ε + 1/4), 2δ + 1/2, u ]2 du

(1.25)

0
2

=

n!Γ(1/2 + 2δ) Γ(1 + n + 2ε)
.
2εΓ(1/2 + n + 2δ)Γ(1/2 + n + 2δ + 2ε)

Từ phương trình (1.22) và (1.25), ta có
C2
n!Γ(1/2 + 2δ)2 Γ (1 + n + 2ε)
= 1.
α 2εΓ (1/2 + n + 2δ) Γ (1/2 + n + 2δ + 2ε)

Suy ra
C=

2αεΓ (1/2 + n + 2δ) Γ (1/2 + n + 2δ + 2ε)
n!Γ(1/2 + 2δ)2 Γ (1 + n + 2ε)
17

(1.26)


2αεΓ (n + µ + 1) Γ (n + µ + 2ε + 1)

=

n!Γ(µ + 1)2 Γ (n + 2ε + 1)

,

trong đó µ = 2δ − 12 (được suy ra từ phương trình (1.22)).
Như vậy hàm sóng và năng lượng tổng quát của electron trong giếng lượng
tử thế P¨oschl–Teller là :
Hàm sóng của electron
Từ các phương trình (1.10), (1.11) và (1.21), ta viết được hàm sóng của
electron
√
ΨN,n,ky (x, y, z) = exp (iky y) 2N N ! πlm
× exp −

−1/2

(x − x0 )
x − x0
HN
Cuδ (1 − u)ε
2
2lm

lm

×2 F1 [−n, n + 2 (δ + ε + 1/4 ) ; 2δ + 1/2; u ] ,
1
(ν − µ − 1) ;
N = 0, 1, 2, ...
n = 0, 1, 2, ...,
2

(1.27)

trong đó u được định nghĩa theo z bởi phương trình (1.14)
Năng lượng của electron
Từ phương trình (1.13) và (1.19), ta có năng lượng của electron
1
α2
ωc − [ν − µ − (1 + 2n)]2 ,
2
8
1
n = 0, 1, 2, ...,
(ν − µ − 1) ;
N = 0, 1, 2, ...
2
EN,n = N +

1.1.3.

(1.28)

Thừa số dạng của electron trong giếng lượng tử thế
P¨
oschl–Teller khi có mặt của từ trường và điện trường
ngoài

Tích phân bao phủ được tính theo công thức
J = ΨN,n,ky eiqr ΨN,n,ky ,

hay

(1.29)

∞

Ψ∗N,n,ky exp (iqr) ΨN,n,ky dV.

J=
0

18

(1.30)


Suy ra
2

|J|2 =

n , N , kz |exp (iqr)| n, N, ky

2

2

n |exp(iqz z)| n

N |exp(iqx x)| N

=

(1.31)

δky +qy ,ky

= |I1 |2 × |I2 |2 × δky +qy ,ky .

Bây giờ, ta sẽ tính I1 và I2 trong phương trình (1.31)
•Tính I1
I1 = N |exp(iqx x)| N
−1/2

√
2N N ! πlm

=

√
× 2N N ! πlm

exp −

−1/2

−1/2

√
2N N ! πlm

=

exp −

(x − x0 )2
HN
2
2lm

x − x0
exp (iqx x)
lm

x − x0
(x − x0 )2
HN
dx
2
2lm
lm

√

2N N ! πlm

−1/2

exp iqx x −

(x − x0 )2
2
lm

x − x0
x − x0
HN
dx.
lm
lm

× HN

2

0)
Ta xét thành phần exp iqx x − (x−x
2
lm

(x − x0 )2
exp iqx x −
2
lm

= exp −

x
x2
−2
2
lm
lm

= exp −

x − x0 ilm qx
−
lm
2

x0 ilm qx
+
lm
2

= exp −X 2 exp iqx x0 −

Với X =

x−x0
lm

−

ilm qx
2

xx0 x0 2
x2
−
2
+ 2
2
2
lm
lm
lm

= exp −

x0 ilm qx
+
lm
2

+

2

+ iqx x0 −
2 q2
lm
x
4

⇒ dX =

+ iqx x
2

+

x0 ilm qx
+
lm
2

2 q2
lm
x
4

,

1
lm dx

và

x−x0
lm

=X+

ilm qx
2

Thay vào I1
N

I1 = 2
×

√
N ! πlm

−1 /2

√
2 N ! πlm
N

exp −X 2 HN X +

−1 /2

ilm qx
HN
2

2 q2
lm
x
lm exp iqx x0 −

4

X+

ilm qx
dX.
2

Tích phân này có dạng
√
2
(−2ab) ,
e−x Hm (x + a) Hn (x + b) dx = 2n πm!bn−m Ln−m
m
19

2

x20
− 2
lm


với m ≤ n và Lαn (x) là đa thức Laguerre liên kết, có dạng
Lαn (x) =

x−α ex dn
e−x xn+α .
n! dxn

Áp dụng cho I1
−1 /2

√
I1 = 2N N ! πlm
N

×2

√

I1 =

−1 /2

N −N

ilm qx
πN !
2

N !2N −N
N!

√
2N N ! πlm
−N
LN
N

1/2

ilm qx
2

lm exp iqx x0 −
2

ilm qx
−2
2

N −N

exp iqx x0 −

2 q2
lm
x
4

.

2 q2
lm
x
4

LN
N

2 q2
lm
x
2

−N

,

nên
2

|I1 | =
×

N !2N −N
N!
−N
LN
N

2 q2
lm
x
−
4

2 q2
lm

x
2

N!
l2 q 2
=
−m x
N!
2
2 q2
N< ! lm
x
G1 = |I1 | =
N> !
2
2

trong đó N> = max N, N

N −N

2

2 q2
lm
x
exp iqx x0 −
4

2

N −N

∆N

l2 q 2
exp − m x
2

2 q2
lm
x
exp −
2

, N< = min N, N

N −N
LN

L∆N
N<

2

2 q2
lm
x
2

2 q2
lm
x
2

.
2

,

(1.32)

, ∆N = N> − N< và Lαn (x) là đa

thức Laguerre liên kết.
•Tính I2
I2 = n |exp (iqz z)| n
∞

(−1)n

= Cn Cn
n=0
∞

(−1)n

×
n=0
∞

Γ 2n + 2δ + 2ε + 1/2
Γ (2δ + 1/2 )
Γ (n + 2δ + 2ε + 1/2 ) Γ (n + 2δ + 1/2 )

Γ (2n + 2δ + 2ε + 1/2 ) Γ (2δ + 1/2 )
Γ (n + 2δ + 2ε + 1/2 ) Γ (n + 2δ + 1/2 )

un exp (iqz z) un u2δ (1 − u)2ε dz,

×
0

trong đó u là hàm theo biến z đã được định nghĩa ở biểu thức (1.14)
u = tanh2

αz
.
2
20

(1.33)


Suy ra
αz
2
⇒ z = arctanh(u1/2 ),
2
α

2
1
1 cosh
αz
dz
⇒
dz
=
du = α tanh
2 cosh2 αz
α tanh
2
u = tanh2

∞

Trước hết ta tính tích phân I3 =

αz
2
αz
2

du.

un exp (iqz z) un u2δ (1 − u)2ε dz.

0
∞

un exp (iqz z) un u2δ (1 − u)2ε dz

I3 =
0

∞

1
=
α

n +n+2δ

u
0
∞

=

1
α

2 αz
2
1/2 cosh ( 2 )
du
(1 − u) exp [iqz arctanh(u )]
α
tanh( αz
2 )

2ε

un +n+2δ (1 − u)2ε exp [iqz

2
cosh2 [arctanh(u1/2 )]
du.
arctanh(u1/2 )]
α
u1/2

0

Thực hiện tính toán, ta được
∞

un exp (iqz z) un u2δ (1 − u)2ε dz =

I3 =

i(1 − u)2ε u1+2δ
,
qz

0

nên

∞

(−1)n

I2 = Cn Cn
n=0
∞

(−1)n

×
n=0

Γ 2n + 2δ + 2ε + 1/2
Γ (2δ + 1/2 )
Γ (n + 2δ + 2ε + 1/2 ) Γ (n + 2δ + 1/2 )

Γ (2n + 2δ + 2ε + 1/2 ) Γ (2δ + 1/2 )
Γ (n + 2δ + 2ε + 1/2 ) Γ (n + 2δ + 1/2 )

i(1 − u)2ε u1+2δ
×
.
qz

Suy ra
∞
2

|I2 | =

2

Cn Cn2

(−1)

2n

(−1)2n

×
n=0

2

[Γ(2δ + 1/2 )]

2

2

[Γ(n + 2δ + 2ε + 1/2 )] [Γ(n + 2δ + 1/2 ]

n=0
∞

[Γ(2n + 2δ + 2ε + 1/2 ]

[Γ(2n + 2δ + 2ε + 1/2 )]2 [Γ(2δ + 1/2 )]2
[Γ(n + 2δ + 2ε + 1/2 )] [Γ(n + 2δ + 1/2 )]2
2

i(1 − u)2ε u1+2δ
×[
] ;
qz

21

2