tốc độ tạo phonon trong giếng lượng tử do tương tác electron-phonon bị giam giữ

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (294.81 KB, 67 trang )

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐẠI HỌC HUẾ
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
NGUYỄN THỊ THANH TÚ
TỐC ĐỘ TẠO PHONON TRONG GIẾNG LƯỢNG TỬ
DO TƯƠNG TÁC ELECTRON-PHONON
BỊ GIAM GIỮ
Chuyên ngành: VẬT LÝ LÝ THUYẾT VÀ VẬT LÝ TOÁN
Mã số : 60 44 01
LUẬN VĂN THẠC SĨ VẬT LÝ
Người hướng dẫn khoa học
TS. LÊ ĐÌNH
Huế, Năm 2012
i
LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng
tôi, các số liệu và kết quả nghiên cứu ghi trong luận văn là
trung thực, được các đồng tác giả cho phép sử dụng và chưa
từng được công bố trong bất kỳ một công trình nghiên cứu nào
khác.
Tác giả luận văn
Nguyễn Thị Thanh Tú
ii
LỜI CẢM ƠN
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy giáo TS. Lê Đình đã
tận tình giúp đỡ và hướng dẫn tôi trong suốt quá trình nghiên cứu và
thực hiện luận văn.
Tôi xin cảm ơn quý Thầy giáo, Cô giáo trong khoa Vật lý, phòng
Đào tạo Sau đại học đã tận tình giảng dạy và giúp đỡ tôi trong quá trình
học tập tại trường Đại học Sư phạm, Đại học Huế.
Xin gửi lời cảm ơn đến các bạn học viên Cao học chuyên ngành Vật

lý lý thuyết và Vật lý toán khóa 19–trường Đại học Sư phạm, Đại học
Huế, bạn bè và gia đình đã giúp đỡ, tạo điều kiện cho tôi trong suốt quá
trình học tập và thực hiện luận văn.
Huế, tháng 10 năm 2012
Tác giả luận văn
Nguyễn Thị Thanh Tú
iii
MỤC LỤC
Trang phụ bìa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i
Lời cam đoan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii
Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii
Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
Danh sách các hình vẽ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
MỞ ĐẦU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
Chương 1: Một số vấn đề tổng quan 9
1.1. Tổng quan về giếng lượng tử . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2. Phổ năng lượng, hàm sóng của electron trong giếng lượng
tử thế vuông góc sâu vô hạn . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3. Thừa số dạng của electron trong giếng lượng tử thế vuông
góc sâu vô hạn khi xét đối với phonon bị giam cầm lượng
tử . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.4. Hamiltonian của hệ electron-phonon trong giếng lượng
tử thế vuông góc sâu vô hạn khi xét đến tính giam giữ
phonon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
Chương 2: Biểu thức giải tích của tốc độ tạo phonon 20
2.1. Phương trình động lượng tử cho phonon bị giam giữ trong
giếng lượng tử thế vuông góc sâu vô hạn . . . . . . . . . 20
1
2.2. Tốc độ tạo phonon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.2.1. Tán xạ electron-phonon âm . . . . . . . . . . . . 46

2.2.2. Tán xạ electron-phonon quang . . . . . . . . . . 47
Chương 3: Kết quả tính số và thảo luận 49
3.1. Tán xạ electron-phonon âm . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.2. Tán xạ electron-phonon quang . . . . . . . . . . . . . . 52
KẾT LUẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
TÀI LIỆU THAM KHẢO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
PHỤ LỤC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . P.1
2
DANH SÁCH CÁC HÌNH VẼ
3.1 Đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc của tốc độ thay đổi phonon
âm vào tần số trường laser Ω ứng với giá trị biên độ điện
trường E
0
= 4.0 × 10
6
V/m, nhiệt độ của hệ là 101 K,
chiều rộng giếng lượng tử theo trục z là L
z
= 10 × 10
−9
m. Hình bên trái ứng với trường hợp phonon giam giữ,
hình bên phải ứng với trường hợp phonon khối (phonon
không bị giam giữ). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.2 Đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc của tốc độ thay đổi phonon
âm vào biên độ điện trường E
0
ứng với giá trị tần số
trường laser là Ω = 10
13
Hz, nhiệt độ của hệ là 101 K,

chiều rộng giếng lượng tử theo trục z là L
z
= 10 × 10
−9
m. Hình bên trái ứng với trường hợp phonon giam giữ,
hình bên phải ứng với trường hợp phonon khối. . . . . . 51
3.3 Đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc của tốc độ thay đổi phonon
âm vào chiều rộng giếng lượng tử L
z
ứng với giá trị tần số
trường laser là Ω = 10
13
Hz, biên độ điện trường E
0
= 10
6
V/m, nhiệt độ của hệ là 101 K. Hình bên trái ứng với
trường hợp phonon giam giữ, hình bên phải ứng với trường
hợp phonon khối. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3
3.4 Đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc của tốc độ thay đổi phonon
quang vào tần số trường laser Ω ứng với giá trị biên độ
điện trường E
0
= 4.0×10
6
V/m, nhiệt độ của hệ là 101 K,
chiều rộng giếng lượng tử theo trục z là L
z
= 10 × 10

−9
m. Hình bên trái ứng với trường hợp phonon giam giữ,
hình bên phải ứng với trường hợp phonon khối. . . . . . 52
3.5 Đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc của tốc độ thay đổi phonon
quang vào biên độ điện trường E
0
ứng với giá trị tần số
trường laser là Ω = 10
13
Hz, nhiệt độ của hệ là 101 K,
chiều rộng giếng lượng tử theo trục z là L
z
= 10 × 10
−9
m. Hình bên trái ứng với trường hợp phonon giam giữ,
hình bên phải ứng với trường hợp phonon khối. . . . . . 53
4
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Khi bán dẫn thấp chiều được tìm ra vào những năm bảy mươi của
thế kỉ hai mươi, thì ngay sau đó đã có sự chuyển hướng đối tượng nghiên
cứu chính từ bán dẫn khối (3D) sang bán dẫn thấp chiều (D<3). Trong
các cấu trúc có kích thước nhỏ và thấp chiều, các quy luật lượng tử bắt
đầu có hiệu lực, thể hiện ở sự biến đổi đặc trưng phổ năng lượng làm
thay đổi đáng kể nhiều đặc tính của vật liệu, đồng thời xuất hiện thêm
nhiều đặc tính mới ưu việt hơn mà bán dẫn khối không có. Những thay
đổi này có vai trò rất lớn trong khoa học, công nghệ đặc biệt là lĩnh vực
chế tạo các linh kiện bán dẫn mới đáp ứng nhu cầu trong lĩnh vực quang
điện tử.
Bằng cách hấp thụ năng lượng của trường laser và tương tác với

electron, các dao động mạng có thể được kích thích lên mức cao hơn,
từ đó tạo ra sự gia tăng nồng độ phonon. Hiệu ứng tạo ra và gia tăng
phonon có nhiều ứng dụng như: biến điệu tín hiệu quang học, biến điệu
dòng điện, điều khiển dịch chuyển electron nhờ các phonon, điều khiển
nhiệt qua phonon phát xạ, kiểm tra các khuyết tật có kích thước cỡ
10nm trong vật liệu. Nghiên cứu sự tạo ra và thay đổi số phonon trong
giếng lượng tử sẽ giúp hiểu rõ hơn về cơ chế tương tác electron-phonon.
Để nghiên cứu tính chất của bán dẫn thấp chiều có khá nhiều
phương pháp như phương pháp chiếu toán tử, phương pháp nhiễu loạn,
phương pháp phương trình động lượng tử, phương pháp hàm Green. Mỗi
phương pháp đều có những ưu nhược điểm riêng tùy vào từng bài toán
5
cụ thể. Để nghiên cứu điều kiện tạo ra và tốc độ tạo phonon thì ta buộc
phải sử dụng phương trình động lượng tử cho phonon.
Hiệu ứng gia tăng phonon trong bán dẫn khi được đặt trong trường
laser là một vấn đề đang được chú ý nghiên cứu trong bán dẫn khối và
trong một số bán dẫn thấp chiều như giếng lượng tử, dây lượng tử. Tuy
nhiên, các công trình đó chỉ xét trường hợp phonon khối (phonon không
bị giam giữ) mà không xét đến tính giam giữ phonon. Để hiểu rõ hơn sự
thay đổi số phonon trong bán dẫn thấp chiều nói chung và trong giếng
lượng tử nói riêng khi xét đến tương tác electron-phonon bị giam giữ,
tôi chọn đề tài nghiên cứu: "Tốc độ tạo phonon trong giếng lượng
tử do tương tác electron-phonon bị giam giữ".
2. Mục tiêu của đề tài
Mục tiêu của đề tài là khảo sát tốc độ tạo phonon trong giếng lượng
tử thế vuông góc sâu vô hạn có xét đến sự giam giữ phonon.
3. Lịch sử nghiên cứu của đề tài
Ở trong nước, đã có một số nhóm nghiên cứu tốc độ gia tăng phonon
trong bán dẫn khối [2],[5], trong giếng lượng tử [2], trong dây lượng tử [3],
[4], [6], [10], [14]. Tuy nhiên các nghiên cứu trên chỉ xét trong trường hợp

phonon khối (phonon không bị giam giữ). Gần đây, trong luận văn Thạc
sĩ của Huỳnh Thị Thanh Tuyền (2010) nghiên cứu tốc độ tạo phonon
trong dây lượng tử hình trụ có xét đến tính giam giữ phonon [8].
Ở ngoài nước, lý thuyết gia tăng phonon đã được chú ý từ lâu nhưng
các nhóm nghiên cứu chủ yếu tập trung vào bán dẫn khối [16], giếng lượng
tử và siêu mạng [12],[13],[17] chỉ xét trong trường hợp phonon khối.
Tóm lại, sự gia tăng phonon do hấp thụ năng lượng trường laser
6
trong vật liệu bán dẫn đang được nghiên cứu ráo riết bởi nhiều nhóm
nghiên cứu trong và ngoài nước. Hiện tượng gia tăng phonon đã được
nghiên cứu trong bán dẫn khối, trong bán dẫn hai chiều (giếng lượng tử
và siêu mạng), trong dây lượng tử. Các nghiên cứu trên chỉ xét trường
hợp phonon khối (phonon không bị giam giữ) mà chưa xét đến trường
hợp phonon bị giam giữ. Gần đây, đã có một số công trình nghiên cứu
tốc độ tạo phonon có xét đến sự giam giữ phonon trong dây lượng tử
hình chữ nhật [9], dây lượng tử hình trụ [8], ở đây phonon bị giam giữ
theo hai chiều. Tuy nhiên chưa có nghiên cứu nào đề cập đến bài toán
tốc độ tạo phonon trong giếng lượng tử xét trường hợp phonon bị giam
giữ theo một chiều.
4. Phương pháp nghiên cứu
- Sử dụng các phương pháp lý thuyết trường lượng tử cho hệ nhiều
hạt trong vật lí thống kê trong đó tập trung vào phương trình động lượng
tử cho phonon.
- Các phương pháp tính số và vẽ đồ thị.
5. Nội dung nghiên cứu
- Sử dụng phương pháp phương trình động lượng tử đối với phonon
để tìm biểu thức giải tích cho tốc độ kích thích phonon do hấp thụ năng
lượng của trường laser, tìm điều kiện và tốc độ gia tăng phonon.
- Khảo sát số và vẽ đồ thị các biểu thức giải tích về tốc độ thay
đổi phonon khi xét đến sự giam giữ phonon, tìm sự phụ thuộc của tốc

độ tạo phonon vào các tham số. Các nghiên cứu trên được nghiên cứu
cho trường hợp hấp thụ một photon với hai loại phonon là phonon âm,
phonon quang.
7
6. Giới hạn đề tài
- Không xét tương tác các hạt cùng loại (bỏ qua tương tác electron-
electron, phonon-phonon).
- Khí electron được giả sử là không suy biến.
7. Bố cục luận văn
Ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục tài liệu tham khảo, phụ lục,
luận văn gồm ba phần chính được trình bày trong ba chương. Chương 1
trình bày những vấn đề tổng quan. Chương 2 trình bày phần tính toán
giải tích tốc độ tạo phonon trong giếng lượng tử thế vuông góc sâu vô
hạn khi xét đến sự giam giữ tương tác electron-phonon. Chương 3 trình
bày kết quả tính số và thảo luận.
8
Chương 1
MỘT SỐ VẤN ĐỀ TỔNG QUAN
Chương này trình bày tổng quan về bán dẫn giếng lượng tử thế
vuông góc sâu vô hạn, về Hamiltonian của hệ electron-phonon
khi xét đến sự giam giữ phonon và có mặt trường ngoài, trình
bày biểu thức giải tích của hàm sóng, phổ năng lượng và thừa
số dạng của electron trong giếng lượng tử vuông góc sâu vô hạn
khi phonon bị giam giữ.
1.1. Tổng quan về giếng lượng tử
Từ năm 1963, khi hiệu ứng Gunn được phát hiện trong các chất
bán dẫn siêu mỏng, người ta đã chế tạo ra nhiều vật liệu có ứng dụng
quan trọng trong kỹ thuật. Sự phát triển của kỹ thuật mới về "nuôi"
tinh thể đã tạo ra một hướng mới trong việc tạo nên các bán dẫn dị cấu
trúc gồm nhiều lớp mỏng xen kẽ nhau. Độ dày của mỗi lớp cỡ nanômét

nên gọi là bán dẫn có cấu trúc nano. Vật lý nghiên cứu bán dẫn có cấu
trúc nano gọi là vật lý hệ thấp chiều.
Bán dẫn giếng lượng tử là một trong những ví dụ của các tinh thể
dị cấu trúc. Khi đặt một lớp mỏng bán dẫn có vùng cấm hẹp giữa hai
lớp chất bán dẫn khác có có vùng cấm rộng hơn ta được một cấu trúc
gọi là giếng lượng tử. Đó là các tinh thể nhân tạo gồm các vật liệu khác
nhau được "nuôi" cấy trên bề mặt của một đế tinh thể dày hơn. Bề dày
của lớp tinh thể được "nuôi" cấy có thể điều chỉnh với độ chính xác cỡ
nguyên tử. Khi đó, ta có thể dễ dàng đạt được kích thước phù hợp để
có thể dễ dàng quan sát được hiệu ứng giam giữ lượng tử với electron.
9
Bán dẫn giếng lượng tử đơn giản nhất có thể nuôi cấy được là trường
hợp cấu trúc GaAs/GaAlAs đượ c "nuôi" lớn trên đế GaAs. Khi đó, một
lớp bán dẫn GaAs có bề dày cỡ 10 nm được đặt xen kẽ giữa hai lớp
bán dẫn GaAlAs có bề dày lớn hơn, độ rộng vùng cấm của GaAlAs lớn
hơn so với GaAs. Vì vậy các hàng rào thế được sinh ra tại các biên tiếp
xúc, giữa các lớp bán dẫn hình thành nên một hố thế ở lớp GaAs gọi
là giếng lượng tử. Khi đó, các electron bị "giam nhốt" trong các hố thế
này, chúng có đặc điểm chung là chuyển động theo một phương nào đó
bị giới hạn mạnh. Lúc này, chuyển động của electron theo trục đó bị
lượng tử hóa, electron chỉ còn chuyển động tự do trong mặt phẳng của
hai trục còn lại. Vì vậy cấu trúc giếng lượng tử được gọi là các bán dẫn
hai chiều và hệ electron trong cấu trúc này được gọi là các hệ electron
hai chiều.
Có nhiều loại giếng lượng tử với các thế khác nhau, ví dụ giếng
lượng tử thế hữu hạn, giếng lượng tử thế vô hạn, giếng lượng tử thế
parabol Trong giới hạn luận văn này chúng tôi chỉ đề cập đến giếng
lượng tử thế vuông góc sâu vô hạn.
1.2. Phổ năng lượng, hàm sóng của electron trong
giếng lượng tử thế vuông góc sâu vô hạn

Để mô tả năng lượng và hàm sóng của electron, ta xét phương trình
Sch¨odinger
ˆ
Hψ(x, y, z) = E(x, y, z)ψ(x, y, z), (1.1)
10
với

H là Hamiltonian của electron
ˆ
H = −

2
∇
2
2m
e
+ U(x, y) + V (z), (1.2)
trong đó: m
e
là khối lượng hiệu dụng của electron
U(x, y) là thế năng của electron trong mặt phẳng (x, y)
V (z) là thế giam giữ electron theo trục z có dạng
V (z) =



0, với 0 ≤ z ≤ L
z
∞, với z < 0 và z > L
z

.
(1.3)
Vì chuyển động của electron trong mặt phẳng (x, y) độc lập với chuyển
động theo trục z nên phổ năng lượng và hàm sóng của electron có thể
viết lại
E
x,y,z
= E
x,y
+ E
z
, (1.4)
ψ(x, y, z) = ψ(x, y)ψ(z). (1.5)
Do electron chuyển động tự do trong mặt phẳng (x, y) nên ta có
E
x
=

2
k
2
x
2m
e
, ψ(x) =
1
√
L
x
e

ik
x
x
, (1.6)
E
y
=

2
k
2
y
2m
e
, ψ(y) =
1

L
y
e
ik
y
y
. (1.7)
Suy ra
E
x,y
=

2

(k
2
x
+ k
2
y
)
2m
e
=

2
⃗
k
2
⊥
2m
e
, (1.8)
ψ(x, y) = ψ(x)ψ(y) =
1

L
x
L
y
e
i
⃗
k

⊥
⃗r
⊥
, (1.9)
ở đây L
x
, L
y
là độ dài của giếng lượng tử theo hướng x và y, k
x
, k
y
là thành phần của vectơ sóng
⃗
k theo các hướng x và y;
⃗
k
⊥
, ⃗r
⊥
tương
11
ứng là vectơ sóng và vectơ vị trí của electron trong mặt phẳng (x, y),
⃗
k
⊥
= k
x
⃗
i + k

y
⃗
j, ⃗r
⊥
= x
⃗
i + y
⃗
j.
Bây giờ ta giải phương trình Sch¨odinger để tìm năng lượng và hàm
sóng của electron theo trục z. Phương trình Sch¨odinger có dạng
ˆ
Hψ(z) = E
z
ψ(z), (1.10)
trong đó
ˆ
H = −

2
2m
e
∂
2
∂z
2
.
Phương trình vi phân
d
2

ψ(z)
dz
2
+
2m
e

2
E
z
ψ(z) = 0, (1.11)
có nghiệm
ψ(z) = A sin K
1
z + B cos K
1
z, (1.12)
với
K
2
1
=
2m
e

2
E
z
.
Do điều kiện liên tục của hàm sóng tại tâm các điểm biên

ψ(0) = ψ(L
z
) = 0,
ta thu đượ c biểu thức của năng lượng
ε
n
= n
2
z
π
2

2
2m
e
L
2
z
(n
z
= 1, 2, 3 ). (1.13)
Và hàm sóng được viết lại
ψ
n
z
(z) = A sin

n
z
πz

L
z

,
trong đó hệ số A được xác định từ điều kiện chuẩn hóa
A
2

L
z
0
sin
2

n
z
πz
L
z

dz = 1 ⇒ A =

2
L
z
. (1.14)
12
Suy ra
ψ
n

z
(z) =

2
L
z
sin

n
z
πz
L
z

=

2
L
z
sin (k
n
z
z) , (1.15)
trong đó k
n
z
= nπ/L
z
là các giá trị của vectơ sóng của electron theo
phương z, L

z
là độ dài giếng lượng tử theo phương z.
Do đó, biểu thức năng lượng và hàm sóng của electron trong giếng
lượng tử thế vuông góc sâu vô hạn được viết dưới dạng
ε
n
(
⃗
k
⊥
) = n
2
z
π
2

2
2m
e
L
2
z
+

2
⃗
k
2
⊥
2m

e
, (1.16)
ψ(x, y, z) =

1
L
x
L
y
e
i
⃗
k
⊥
⃗r
⊥

2
L
z
sin

n
z
πz
L
z

. (1.17)
1.3. Thừa số dạng của electron trong giếng lượng

tử thế vuông gó c sâu vô hạn khi xét đối với
phonon bị giam cầm lượng tử
Để thu được biểu thức thừa số dạng của electron trong giếng lượng
tử thế vuông góc sâu vô hạn khi xét đến tính giam giữ phonon ta phải
áp dụng phương pháp của Lebburton và Fasol [15]. Với phương pháp
này, ta xây dựng Hamiltonian Frohlich của hệ electron-phonon có tính
đến tính chất giam giữ phonon. Để thu được Hamiltonian Frohlich mô tả
tương tác của phonon quang dọc (LO-phonon) và electron 2D, chúng tôi
xuất phát từ Hamiltonian Frohlich 3D, H
3D
F r
, và áp đặt thêm điều kiện
biên là thế LO-phonon theo hướng z triệt tiêu. Toán tử H
3D
F r
có dạng:
H
3D
F r
=

⃗
Q
V
Q
e
−i
⃗
Q⃗r
(a

⃗
Q
+ a
+
−
⃗
Q
), (1.18)
13
trong đó
⃗
Q = ( ⃗q
⊥
, q
z
) là vectơ sóng của phonon và V
Q
là hằng số tương
tác electron-phonon
V
Q
=

2πe
2
ω
V
⃗
Q
2


1
ϵ
∞
−
1
ϵ
0

1/2
. (1.19)
Để tìm Hamiltonian Frohlich 2D, H
2D
F r
, cho phonon bị giam giữ theo
chiều z, ta viết tổng theo
⃗
Q thành tổng theo ⃗q
⊥
= (q
x
, q
y
) và tổng theo
giá trị dương của q
z
.
Hamiltonian Frohlich đối với phonon bị giam giữ theo phương z
H
2D

F r
=

2πe
2
ω
V

1
ϵ
∞
−
1
ϵ
0

1/2

q
x
,q
y
,q
z
1
q
e
−iq
x
x

e
−iq
y
y
e
−iq
z
z
(a
⃗q
+ a
†
−⃗q
).
(1.20)
Khi lấy theo giá trị dương của q
z
H
2D
F r
=

2πe
2
ω
V

1
ϵ
∞

−
1
ϵ
0

1/2

q
x
,q
y
,q
z
1
q
e
−iq
x
x
e
−iq
y
y
e
−iq
z
z
× (a
q
x

,q
y
,q
z
+ a
†
−q
x
,−q
y
,−q
z
)
=

2πe
2
ω
V

1
ϵ
∞
−
1
ϵ
0

1/2


q
x
,q
y
,q
z
>0
1
q
e
−iq
x
x
e
−iq
y
y
×

e
−iq
z
z
(a
q
x
,q
y
,q
z

+ a
†
−q
x
,−q
y
,−q
z
) + e
iq
z
z
(a
q
x
,q
y
,−q
z
+ a
†
−q
x
,−q
y
,q
z
)

.

(1.21)
Đặt
γ =

2πe
2
ω
V

1
ϵ
∞
−
1
ϵ
0

1/2
,
λ
m
=
1
q
=
1

q
2
x

+ q
2
y
+

mπ
L
z

2
. (1.22)
Phương trình (1.21) trở thành
H
2D
F r
= γ

q
x
,q
y
,q
z
>0
λ
m
e
−iq
x
x

e
−iq
y
y
14
×

(cos q
z
z − i sin q
z
z)(a
q
x
,q
y
,q
z
+ a
†
−q
x
,−q
y
,−q
z
)
+(cos q
z
z + i sin q

z
z)(a
q
x
,q
y
,−q
z
+ a
†
−q
x
,−q
y
,q
z
)

= γ

q
x
,q
y
,q
z
>0
λ
m
e

−iq
x
x
e
−iq
y
y
×

cos q
z
z(a
q
x
,q
y
,q
z
+ a
†
−q
x
,−q
y
,−q
z
+ a
q
x
,q

y
,−q
z
+ a
†
−q
x
,−q
y
,q
z
)
− i sin q
z
z(a
q
x
,q
y
,q
z
+ a
†
−q
x
,−q
y
,−q
z
− a

q
x
,q
y
,−q
z
− a
†
−q
x
,−q
y
,q
z
)

= γ

q
x
,q
y
,q
z
>0
λ
m
e
−iq
x

x
e
−iq
y
y
×

cos q
z
z

(a
q
x
,q
y
,q
z
+ a
q
x
,q
y
,−q
z
) + (a
†
−q
x
,−q

y
,−q
z
+ a
†
−q
x
,−q
y
,q
z
)

+ sin q
z
z

−i(a
q
x
,q
y
,q
z
− a
q
x
,q
y
,−q

z
) − i(a
†
−q
x
,−q
y
,−q
z
− a
†
−q
x
,−q
y
,q
z
)


.
(1.23)
Với định nghĩa
a
+
(q
x
, q
y
) =

1
√
2
[a
q
x
,q
y
,q
z
+ a
q
x
,q
y
,−q
z
],
a
−
(q
x
, q
y
) =
−i
√
2
[a
q

x
,q
y
,q
z
− a
q
x
,q
y
,−q
z
]. (1.24)
Hai toán tử a
†
+
(−q
x
, −q
y
) và a
†
−
(−q
x
, −q
y
) tương ứng là liên hợp của hai
toán tử a
+

(−q
x
, −q
y
) và a
−
(−q
x
, −q
y
). Vận dụng định nghĩa (1.24) vào
(1.23) ta được
H
2D
F r
= γ

q
x
,q
y
,q
z
>0
λ
m
e
−iq
x
x

e
−iq
y
y

√
2 cos q
z
z

a
+
(q
x
, q
y
) + a
†
+
(−q
x
, −q
y
)

+
√
2 sin q
z
z


a
−
(q
x
, q
y
) + a
†
−
(−q
x
, −q
y
)


=
√
2γ

q
x
,q
y
,q
z
>0
λ
m

e
−iq
x
x
e
−iq
y
y

cos q
z
z

a
+
(q
x
, q
y
) + a
†
+
(−q
x
, −q
y
)

+ sin q
z

z

a
−
(q
x
, q
y
) + a
†
−
(−q
x
, −q
y
)


. (1.25)
15
Khi phonon bị giam cầm, năng lượng phonon bị lượng tử hóa theo
phương z, nên xung lượng bị lượng tử hóa
q
z
=
mπ
L
z
,
ở đây q

z
lớn hơn 0 nên m là số nguyên dương. Chú ý điều kiện: hàm sóng
sẽ triệt tiêu tại z = ±L
z
/2, cos
mπz
L
z
= cos
mπ
2
nên m phải nhận giá trị
là 1, 3, 5, , 2n + 1. Tương tự, đối với hàm sin
mπz
L
z
= sin
mπ
2
nên m phải
nhận giá trị là 2, 4, 6, , 2n. Cuối cùng ta có
H
2D
F r
=
√
2γ

q
x

,q
y
e
−iq
x
x
e
−iq
y
y
×


m=1,3,5
λ
m
cos
mπz
L
z

a
+
(q
x
, q
y
) + a
†
+

(−q
x
, −q
y
)

+

m=2,4,6
λ
m
sin
mπz
L
z

a
−
(q
x
, q
y
) + a
†
−
(−q
x
, −q
y
)



.
(1.26)
Khi ta chọn cạnh của giếng lượng tử −L
z
/2 → L
z
/2 thì hàm sóng có
dạng là hàm cos
|ϕ
k
⟩ =
1
√
L
x
e
ik
x
x
1

L
y
e
ik
y
y


2
L
z
cos

n
z
πz
L
z

. (1.27)
Giả sử rằng quy tắc vàng Fermi [15] cho một giá trị chính xác của
xác suất làm cho một quá trình chuyển đổi từ trạng thái ban đầu với
vectơ sóng electron
⃗
k đến trạng thái cuối với vectơ sóng electron là
⃗
k
′
,
xác suất quá trình là
W
±
(
⃗
k,
⃗
k
′

) =

2π


|M
±
|
2
δ(ε
⃗
k
′
− ε
⃗
k
± ω), (1.28)
trong đó dấu cộng (trừ) tương đương sự phát xạ (hấp thụ), ε
⃗
k
′
là năng
lượng của electron ở trạng thái cuối, ε
⃗
k
là năng lượng của electron ở
16
trạng thái đầu.
Và yếu tố ma trận cho tương tác electron-phonon
M

±
= ⟨ϕ
k
′
, N
⃗
Q
+
1
2
±
1
2
|H
2D
F r
|ϕ
k
, N
⃗
Q
+
1
2
±
1
2
⟩, (1.29)
trong đó số phonon giam giữ là N
⃗

Q
+ 1 hay bằng N
⃗
Q
phụ thuộc vào
liệu quá trình xem xét là phát xạ hay hấp thụ và trạng thái xem xét là
trạng thái đầu hay trạng thái cuối; ⟨N
⃗
Q
+ 1| − a
⃗
Q
|N
⃗
Q
⟩ = −(N
⃗
Q
+ 1)
1/2
và ⟨N
⃗
Q
− 1|a
⃗
Q
|N
⃗
Q
⟩ = (N

⃗
Q
)
1/2
. Đồng thời ta có
1
L
x

L
x
0
e
ik
x
x
e
−ik
′
x
x
e
−iq
x
x
dx = δ
k
x
−k
′

x
−q
x
,
1
L
y

L
y
0
e
ik
y
y
e
−ik
′
y
y
e
−iq
y
y
dy = δ
k
y
−k
′
y

−q
y
. (1.30)
Thay phương trình (1.27) và (1.30) vào (1.29) ta được
M
±
m
= ∓γ
δ
k
x
−k
′
x
−q
x
× δ
k
y
−k
′
y
−q
y

q
2
x
+ q
2

y
+

mπ
L
z

2
× 2P
m

q
x
,q
y
(N
⃗
Q
+
1
2
±
1
2
)
1/2
,
(1.31)
với
P

m
=

L
z
/2
−L
z
/2
dz
L
z
/2
cos

n
z
πz
L
z

cos

n
′
z
πz
L
z


cos

mπz
L
z

. (1.32)
Thay phương trình (1.31) vào (1.28) đồng thời nhân cả tử và mẫu vế
phải phương trình (1.28) với thể tích V của giếng lượng tử ta được
W
±
(
⃗
k,
⃗
k
′
) =
γ
2
V

(N
⃗
Q
+
1
2
±
1

2
) ×

+∞
−∞
dq
x

+∞
−∞
dq
y
I
2D
(q
x
, q
y
, L
z
)
× δ(ε(k
x
± q
x
) − ε(k
x
) ± ω)δ(ε(k
y
± q

y
) − ε(k
y
) ± ω),
(1.33)
17
trong đó thừa số dạng
I
2D
(q
x
, q
y
, L
z
) =

2π
L
z












m=1,3,5,
2P
m

q
2
x
+ q
2
y
+

mπ
L
z

2









2
. (1.34)
1.4. Hamiltonian của hệ electron-phonon trong giếng

lượng tử thế vuông góc sâu vô hạn khi xét đến
tính giam giữ phonon
Ta khảo sát tương tác của hệ electron-phonon trong bán dẫn giếng
lượng tử đặt trong trường laser có vectơ điện trường
⃗
E =
⃗
E
0
sin Ωt vuông
góc với phương truyền sóng. Nếu bỏ qua tương tác của các hạt cùng loại
(tương tác của electron-electron, phonon-phonon) thì Hamiltonian của
hệ electron-phonon trong giếng lượng tử có dạng
H = H
e
+ H
ph
+ H
e−ph
, (1.35)
trong đó số hạng thứ nhất và thứ hai trong phương trình (1.35) lần lượt
là Hamiltonian của electron và Hamiltonian của phonon, có dạng
H
e
=

n,
⃗
k
ε

n
(
⃗
k −
e
c
⃗
A(t))a
+
n,
⃗
k
a
n,
⃗
k
, (1.36)
H
ph
=

m,⃗q
ω
⃗q
b
+
m,⃗q
b
m,⃗q
, (1.37)

với a
+
n,
⃗
k
, a
n,
⃗
k
lần lượt là toán tử sinh và hủy của electron ở trạng thái
|
⃗
k, n⟩; b
+
m,⃗q
, b
m,⃗q
lần lượt là toán tử sinh và hủy của phonon ở trạng thái
|⃗q, m⟩; ε
n
là phổ năng lượng của electron;
⃗
A(t) là thế vectơ được xác
định bởi công thức
⃗
A(t) =
c
Ω
⃗
E

0
cos Ωt =
⃗
A
0
cos Ωt.
18
Hamiltonian Frohlich trong số hạng thứ ba của phương trình (1.35) mô
tả tương tác giữa electron và phonon và có dạng
H
e−ph
=

⃗
k,⃗q

n,n
′
,m
M
n,n
′
(⃗q)a
+
n
′
,
⃗
k+⃗q
a

n,
⃗
k
(b
m,⃗q
+ b
+
m,−⃗q
), (1.38)
trong đó M
n,n
′
(⃗q) là yếu tố ma trận tương tác electron-phonon trong
giếng lượng tử và được tính bằng biểu thức
M
n,n
′
(⃗q) = γI
2D
(q
x
, q
y
, L
z
), (1.39)
với γ là hệ số tương tác (phụ thuộc vào cơ chế tán xạ), I
2D
(q
x

, q
y
, L
z
) là
thừa số dạng của electron trong giếng lượng tử và có tính đến sự giam
giữ phonon.
Ta xét electron và phonon chuyển động tự do theo hai chiều x và
y, bị giam giữ theo chiều z nên ta viết:
⃗
k →
⃗
k
⊥
, ⃗q → ⃗q
⊥
. Hamiltonian
(1.35) được viết lại
H(t) =

n,
⃗
k
⊥
ε
n
(
⃗
k
⊥

−
e
c
⃗
A(t))a
+
n,
⃗
k
⊥
a
n,
⃗
k
⊥
+

m, ⃗q
⊥
ω
⃗q
b
+
m, ⃗q
⊥
b
m, ⃗q
⊥
+


⃗
k
⊥
, ⃗q
⊥

n,n
′
,m
γI
2D
(q
x
, q
y
, L
z
)a
+
n
′
,
⃗
k
⊥
+ ⃗q
⊥
a
n,
⃗

k
⊥
(b
m, ⃗q
⊥
+ b
+
m,− ⃗q
⊥
).
(1.40)
19
Chương 2
BIỂU THỨC GIẢI TÍCH
CỦA TỐC ĐỘ TẠO PHONON
Chương này trình bày về tính toán giải tích để thu được dạng
tường minh của phương trình động lượng tử cho phonon bị giam
giữ trong giếng lượng tử thế vuông góc sâu vô hạn; thu được biểu
thức giải tích của tốc độ tạo phonon của phonon âm và phonon
quang bị giam giữ trong giếng lượng tử.
2.1. Phương trình động lượng tử cho phonon bị
giam giữ trong giếng lượng tử thế vuông góc
sâu vô hạn
Hamiltonian của hệ electron-phonon trong giếng lượng tử thế vuông
góc sâu vô hạn có xét tính giam giữ phonon có dạng
H(t) =

n,
⃗
k

⊥
ε
n
[
⃗
k
⊥
−
e
c
⃗
A(t)]a
+
n,
⃗
k
⊥
a
n,
⃗
k
⊥
+

m,⃗q
⊥
ω
⃗q
⊥
b

+
m,⃗q
⊥
b
m,⃗q
⊥
+

n,n
′
,m

⃗
k
⊥
,⃗q
⊥
M
n,n
′
(⃗q
⊥
)a
+
n
′
,
⃗
k
⊥

+⃗q
⊥
a
n,
⃗
k
⊥
(b
m,⃗q
⊥
+ b
+
m,−⃗q
⊥
), (2.1)
trong đó ε
n
là phổ năng lượng của electron; n là số lượng tử tương ứng
với trục z,
⃗
k
⊥
là vectơ sóng của chuyển động tự do của electron theo
phương x, y; a
+
n,
⃗
k
⊥
và a

n,
⃗
k
⊥
là toán tử sinh và hủy electron, b
+
m,⃗q
⊥
và b
m,⃗q
⊥
là toán tử sinh và hủy phonon, ω
⃗q
⊥
là tần số của phonon ứng với vectơ
sóng ⃗q
⊥
, M
n,n
′
(⃗q
⊥
) là hệ số tương tác electron-phonon trong giếng lượng
tử.
20
Đặt N
m,⃗q
⊥
(t) = ⟨b
+

m,⃗q
⊥
b
m,⃗q
⊥
⟩
t
là số phonon trung bình tại thời điểm
t, phương trình chuyển động có dạng [1]
i
∂N
m,⃗q
⊥
(t)
∂t
= ⟨[b
+
m,⃗q
⊥
b
m,⃗q
⊥
, H(t)]⟩
t
= ⟨[b
+
m,⃗q
⊥
b
m,⃗q

⊥
, H
e
(t)]⟩
t
(2.2)
+⟨[b
+
m,⃗q
⊥
b
m,⃗q
⊥
, H
ph
(t)]⟩
t
+ ⟨[b
+
m,⃗q
⊥
b
m,⃗q
⊥
, H
e−ph
(t)]⟩
t
.
Thực hiện phép biến đổi toán tử ta được

⟨[b
+
m,⃗q
⊥
b
m,⃗q
⊥
, H
e
(t)]⟩
t
= 0,
⟨[b
+
m,⃗q
⊥
b
m,⃗q
⊥
, H
ph
(t)]⟩
t
= 0. (2.3)
⟨[b
+
m,⃗q
⊥
b
m,⃗q

⊥
, H
e−ph
(t)]⟩
t
= ⟨[b
+
m,⃗q
⊥
b
m,⃗q
⊥
,

n
1
,n
′
1
,m
′

⃗
k
′
⊥
,
⃗
q
′

⊥
M
n
1
,n
′
1
(
⃗
q
′
⊥
)
×a
+
n
′
1
,
⃗
k
′
⊥
+
⃗
q
′
⊥
a
n

1
,
⃗
k
′
⊥
(b
m
′
,
⃗
q
′
⊥
+ b
+
m
′
,−
⃗
q
′
⊥
)]⟩
t
. (2.4)
Với chú ý các toán tử sinh, hủy phonon ta có các hệ thức giao hoán
[b
+
⃗q

, b
+
⃗
q
′
] = [b
⃗q
, b
⃗
q
′
] = 0; [b
⃗q
, b
+
⃗
q
′
] = δ
⃗q,
⃗
q
′
,
[AB, C] = A[B, C] + [A, C]B; [C, AB] = A[C, B] + [C, A]B, (2.5)
nên
⟨[b
+
m,⃗q
⊥