Công suất hấp thụ và độ rộng phổ phi tuyến trong giếng lượng tử thế bán parabol và bán bậc hai nghịch đảo

ĐẠI HỌC HUẾ
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

NGUYỄN THỊ NHƯ NGUYÊN

CÔNG SUẤT HẤP THỤ VÀ ĐỘ RỘNG PHỔ
TRONG GIẾNG LƯỢNG TỬ THẾ
BÁN PARABOL VÀ BÁN BẬC HAI NGHỊCH ĐẢO

Chuyên ngành: VẬT LÝ LÝ THUYẾT VÀ VẬT LÝ TOÁN
Mã số : 60 44 01 03

LUẬN VĂN THẠC SĨ VẬT LÝ
THEO ĐỊNH HƯỚNG NGHIÊN CỨU

Người hướng dẫn khoa học
PGS. TS. LÊ ĐÌNH

Thừa Thiên Huế, năm 2017
i


LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, các
số liệu và kết quả nghiên cứu nêu trong luận văn là trung thực, được các
đồng tác giả cho phép sử dụng và chưa từng được công bố trong bất kỳ
một công trình nghiên cứu nào khác.
Huế, tháng 9 năm 2017
Tác giả luận văn

Nguyễn Thị Như Nguyên

ii


LỜI CẢM ƠN

Hoàn thành luận văn tốt nghiệp này, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu
sắc đến Thầy giáo PGS.TS.Lê Đình, người đã giảng dạy, định hướng
và động viên tôi trong suốt quá trình thực hiện đề tài của mình.
Tôi cũng xin chân thành cảm ơn các Thầy, Cô trong khoa Vật lý,
phòng Đào tạo sau Đại học Trường Đại học Sư phạm - Đại học Huế đã
giảng dạy, giúp đỡ tôi suốt hai năm học qua.
Cuối cùng tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến gia đình, bạn bè, các
bạn học viên cao học khóa 24 đã luôn động viên, giúp đỡ, góp ý cho tôi
trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn.
Huế, tháng 9 năm 2017
Tác giả luận văn

Nguyễn Thị Như Nguyên

iii


Mục lục

Trang phụ bìa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

i

Lời cam đoan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ii

Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

iii

Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

Danh mục các đồ thị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

Danh mục các bảng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

MỞ ĐẦU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

NỘI DUNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

Chương 1: Tổng quan về giếng lượng tử thế bán parabol
và bán bậc hai nghịch đảo, phương pháp nghiên cứu

9

1.1. Tổng quan về giếng lượng tử thế bán parabol và bán bậc
hai nghịch đảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.1.1. Tổng quan về bán dẫn thấp chiều và giếng lượng tử

9

1.1.2. Hàm sóng và năng lượng của electron trong giếng
lượng tử thế bán parabol và bán bậc hai nghịch đảo

10

1.1.3. Biểu thức thừa số dạng của electron trong giếng lượng
tử thế bán parabol và bán bậc hai nghịch đảo . . . .

12

1.1.4. Hamitonian của hệ electron tương tác với phonon khi
có mặt của điện trường xoay chiều . . . . . . . . . .
1.2. Tổng quan về phương pháp nghiên cứu

15

. . . . . . . . . .

16

1.2.1. Phương pháp toán tử chiếu phụ thuộc trạng thái . .

16

1.2.2. Tổng quan về phương pháp Profile . . . . . . . . . .

17

Chương 2: Biểu thức giải tích của tenxơ độ dẫn và công
suất hấp thụ

19

2.1. Biểu thức giải tích của tenxơ độ dẫn quang trong giếng
lượng tử khi có điện trường ngoài . . . . . . . . . . . . . .
1

19


2.1.1. Biểu thức giải tích của tenxơ độ dẫn tuyến tính . . .

19

2.1.2. Biểu thức giải tích của tenxơ độ dẫn phi tuyến . . .

22

2.2. Biểu thức giải tích của công suất hấp thụ tuyến tính và phi
tuyến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

2.2.1. Công suất hấp thụ tuyến tính . . . . . . . . . . . . .

25

2.2.2. Công suất hấp thụ phi tuyến . . . . . . . . . . . . .

36

Chương 3: Tính số, vẽ đồ thị và thảo luận kết quả

45

3.1. Khảo sát công suất hấp thụ tuyến tính trong giếng lượng
tử thế bán parabol và bán bậc hai nghịch đảo . . . . . . .

45

3.1.1. Sự phụ thuộc của công suất hấp thụ tuyến tính vào
năng lượng photon . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

46

3.1.2. Sự phụ thuộc của công suất hấp thụ tuyến tính vào
nhiệt độ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

47

3.1.3. Khảo sát sự phụ thuộc của độ rộng phổ tuyến tính
vào nhiệt độ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

48

3.1.4. Khảo sát sự phụ thuộc của độ rộng phổ tuyến tính
vào tần số giam giữ . . . . . . . . . . . . . . . . . .

49

3.2. Khảo sát công suất hấp thụ phi tuyến trong giếng lượng tử
thế bán parabol và bán bậc hai nghịch đảo . . . . . . . . .

50

3.2.1. Xác định cộng hưởng công suất hấp thụ phi tuyến .

51

3.2.2. Khảo sát sự phụ thuộc của độ rộng phổ phi tuyến
vào nhiệt độ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

52

3.2.3. Khảo sát sự phụ thuộc của độ rộng phổ phi tuyến
vào tần số giam giữ . . . . . . . . . . . . . . . . . .

53

KẾT LUẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

55

TÀI LIỆU THAM KHẢO . . . . . . . . . . . . . . . . . .

57

2


Danh mục các đồ thị

Hình 1.1

Xác định độ rộng vạch phổ. . . . . . . . . . . . . .

18

Đồ thị 3.1 Sự phụ thuộc của công suất hấp thụ tuyến tính
vào năng lượng photon tại nhiệt độ T = 200 K và
ω0 = 1013 Hz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

47

Đồ thị 3.2 Sự phụ thuộc của công suất hấp thụ tuyến tính
vào nhiệt độ tại ω0 = 5 × 1013 , ứng với các giá trị
năng lượng photon ω = 2 meV (đường màu đen),
ω = 4 meV (đường màu xanh) và ω = 6 meV

(đường màu đỏ). . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

48

Đồ thị 3.3 Sự phụ thuộc của độ rộng phổ tuyến tính vào nhiệt
độ T. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

48

Đồ thị 3.4 (a) Sự phụ thuộc của công suất hấp thụ vào năng
lượng photon tại các giá trị khác nhau của tần số
giam giữ; tại ω0 = 1 × 1013 Hz (đường màu đen),
ω0 = 1.2 × 1013 Hz (đường màu xanh), ω0 = 1.3 ×
1013 Hz (đường màu đỏ). (b) Sự phụ thuộc của độ
rộng vạch phổ của đỉnh ODMPR vào tần số giam
giữ ω0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

50

Đồ thị 3.5 Sự phụ thuộc của công suất hấp thụ phi tuyến vào
năng lượng photon tại nhiệt độ T = 200 K và ω0 =
1013 Hz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

51

Đồ thị 3.6 Sự phụ thuộc của độ rộng phổ phi tuyến vào nhiệt
độ T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

53


Đồ thị 3.7 (a) Sự phụ thuộc của công suất hấp thụ vào năng
lượng photon tại các giá trị khác nhau của tần số
giam giữ; tại ω0 = 1 × 1013 Hz (đường màu xanh),
ω0 = 1.2 × 1013 Hz (đường chấm màu đỏ). (b) Sự
phụ thuộc của độ rộng vạch phổ của đỉnh ODMPR
vào tần số giam giữ. . . . . . . . . . . . . . . . . .

54

Danh mục các bảng

Bảng 3.1

Sự phụ thuộc của độ rộng phổ tuyến tính vào nhiệt
độ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Bảng 3.2

Sự phụ thuộc của độ rộng phổ tuyến tính vào tần
số giam giữ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Bảng 3.3

50

Sự phụ thuộc của độ rộng phổ phi tuyến vào nhiệt
độ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Bảng 3.4

49

53

Sự phụ thuộc của độ rộng phổ phi tuyến vào tần số
giam giữ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

54


MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài
Ngày nay, vật liệu bán dẫn với những đặc điểm vượt trội đã đóng
vai trò quan trọng trong ngành chế tạo vật liệu. Các bán dẫn thấp chiều
như chấm lượng tử, giếng lượng tử hay dây lượng tử là một bước tiến
vượt bậc của con người, hiện nay nó được rất nhiều các nhà khoa học
quan tâm nghiên cứu. Trong vài năm gần đây, các tính chất quang học
phi tuyến liên quan đến việc chuyển tiếp trong các vật liệu bán dẫn đã
thu hút nhiều sự chú ý trong cả mặt lý thuyết và vật lý ứng dụng. Những
đặc tính này đã trở thành nền tảng vật lý quan trọng cho nhiều thiết bị
quang điện như các bộ điều biến quang điện tử tốc độ cao, các bộ điều
chế quang phổ hồng ngoại, các bộ khuếch đại quang học bán dẫn.
Những tiến bộ nhanh chóng trong kỹ thuật chế tạo nano như epitaxy
chùm phân tử và lắng đọng hóa học kim loại hữu cơ đã tạo điều kiện để

nghiên cứu một cách rõ ràng các giếng lượng tử bán dẫn hình chữ nhật
khác nhau như các giếng lượng tử vuông, các giếng lượng tử parabol,
các giếng lượng tử hình chữ V... Mỗi giếng lượng tử có đặc điểm riêng về
tính chất điện, tính chất quang học và tính chất vận chuyển. Việc thay
đổi các thông số của giếng lượng tử lên các trạng thái của hạt mang
điện, hay đặc điểm của các hạt mang điện dưới tác dụng của trường
ngoài trong bán dẫn thấp chiều đem lại nhiều tính chất khác nhau do
đó ngày càng được quan tâm. Luận văn này sẽ nghiên cứu về tính chất
của hạt mang điện dưới tác dụng của trường ngoài trong giếng lượng tử
thế bán parabol và bán bậc hai nghịch đảo.
Để nghiên cứu các hiệu ứng chuyển tải trong hệ bán dẫn thấp chiều
thì có rất nhiều phương pháp được áp dụng trong đó phương pháp toán
tử chiếu tỏ ra ưu việt hơn cả. Bởi vì khi dùng phương pháp này ta có
5


thể tìm thấy biểu thức tường minh của độ dẫn và công suất hấp thụ.
Trong kết quả đó, giải tích có chứa hàm phân bố electron, phonon nên
cho phép giải thích rõ ràng cơ chế phát xạ và hấp thụ trong sự chuyển
mức giữa các trạng thái khác nhau của điện tử. Có khá nhiều nhà khoa
học nghiên cứu về tính chất quang học tuyến tính và phi tuyến. Cho
đến nay có một số đề tài nghiên cứu về công suất hấp thụ và độ rộng
phổ trong bán dẫn thấp chiều. Tuy nhiên, những nghiên cứu này chưa
đề cập đến giếng lượng tử với thế giam giữ có dạng bán parabol và bán
bậc hai nghịch đảo.
Chẳng hạn, ở nước ngoài, vào năm 1993, Guo và Gu nghiên cứu
phương trình quang tuyến phi tuyến trong các giếng lượng tử parabol
dưới tác dụng của điện trường. Vào năm 2012, Hassan đã nghiên cứu về
sự chỉnh lưu quang phi tuyến và phát sóng hài bậc hai trong giếng lượng
tử bán song song và bán nghịch đảo [8]. Ngoài ra, có rất nhiều công trình

nghiên cứu về công suất hấp thụ do tương tác electron – phonon trong
bán dẫn thấp chiều, trong đó đáng chú ý là công trình của nhóm tác giả
S. D. Choi, H. J. Lee và N. L. Kang [10, 11, 12].
Ở trong nước, có luận văn của tác giả Nguyễn Văn Khuyên nghiên
cứu về cộng hưởng electron - phonon trong giếng lượng tử sâu vô hạn
nhờ quá trình hấp thụ hai photon vào năm 2012 [3]. Hay luận văn của
tác giả Thái Phi Phụng đã tính công suất hấp thụ và độ rộng phổ phi
tuyến trong giếng lượng tử với các thế vuông góc bán vô hạn vào năm
2011 [7]. Gần đây nhất, vào năm 2013 tại Đại học Sư phạm Huế, có luận
văn nghiên cứu về công suất hấp thụ và độ rộng phổ trong siêu mạng
chấm lượng tử thế giam giữ parabol của tác giả Nguyễn Thị Ly Na [4];
nghiên cứu về công suất hấp thụ và độ rộng phổ trong dây lượng tử với
các loại thế giam giữ khác nhau của tác giả Đinh Trọng Nghĩa [5] .
Trong các công trình này, các tác giả đã đi tìm thành phần phi tuyến
và thành phần tuyến tính của độ dẫn nhưng chưa xét đến sự ảnh hưởng

6


của phonon giam giữ. Cũng như chưa xét về công suất hấp thụ, độ rộng
phổ phi tuyến trong giếng lượng tử bán parabol và bán bậc hai nghịch
đảo.
Vì những lí do trên tôi chọn đề tài “Công suất hấp thụ và độ rộng
phổ phi tuyến trong giếng lượng tử thế bán parabol và bán bậc
hai nghịch đảo”.
2. Mục tiêu nghiên cứu
Mục tiêu của luận văn là thành lập biểu thức giải tích của công suất
hấp thụ sóng điện từ, từ đó khảo sát hiệu ứng cộng hưởng electronphonon và độ rộng vạch phổ của các đỉnh cộng hưởng trong giếng lượng
tử thế bán parabol và bán bậc hai nghịch đảo.
3. Phương pháp nghiên cứu

- Sử dụng phương pháp toán tử chiếu phụ thuộc trạng thái để thu
được biểu thức giải tích của công suất hấp thụ sóng điện từ.
- Sử dụng chương trình Mathematica để tính số và vẽ đồ thị.
- Sử dụng phương pháp Profile để xác định độ rộng vạch phổ.
4. Giới hạn đề tài
- Đề tài chỉ tập trung nghiên cứu phản ứng của điện tử trong giếng
lượng tử thế bán parabol và bán bậc hai nghịch đảo dưới tác dụng của
điện trường xoay chiều mà không xét đến sự có mặt của từ trường.
- Không xét tương tác giữa các hạt cùng loại (electron – electron, phonon
– phonon).
- Chỉ xét phonon khối, không xét phonon giam giữ.

7


5. Bố cục luận văn
Ngoài mục lục, phụ lục và tài liệu tham khảo, luận văn được chia làm
3 phần:
- Phần mở đầu trình bày lý do chọn đề tài, mục tiêu của đề tài, lịch sử
nghiên cứu của đề tài, phương pháp nghiên cứu, giới hạn đề tài và bố
cục luận văn.
- Phần nội dung gồm 3 chương:
Chương 1: Tổng quan về bán dẫn thấp chiều, giếng lượng tử thế bán
parabol và bán bậc hai nghịch đảo và phương pháp toán tử chiếu.
Chương 2: Trình bày biểu thức giải tích của công suất hấp thụ trong
giếng lượng tử thế bán parabol và bán bậc hai nghịch đảo.
Chương 3: Tính số và vẽ đồ thị, khảo sát cộng hưởng electron-phonon
dò tìm bằng quang học và xác định độ rộng phổ vạch phổ, thảo luận kết
quả.
- Phần kết luận trình bày các kết quả đã đạt được của đề tài.

8


NỘI DUNG
Chương 1
Tổng quan về giếng lượng tử thế bán parabol và
bán bậc hai nghịch đảo, phương pháp nghiên cứu
Chương này trình bày tổng quan về giếng lượng tử thế bán parabol và
bán bậc hai nghịch đảo, hàm sóng, năng lượng, biểu thức thừa số dạng
của giếng lượng tử thế bán parabol và bán bậc hai nghịch đảo. Ngoài
ra, còn trình bày về phương pháp toán tử chiếu phụ thuộc trạng thái và
phương pháp Profile.

1.1.

Tổng quan về giếng lượng tử thế bán parabol
và bán bậc hai nghịch đảo

1.1.1.

Tổng quan về bán dẫn thấp chiều và giếng lượng tử

Bán dẫn thấp chiều được nghiên cứu trên cơ sở lý thuyết liên quan
đến cấu trúc bán dẫn có dạng tinh thể gồm các dao động mạng tinh thể,
các dao động mạng và lượng tử hóa các dao động mạng, lý thuyết vùng
năng lượng, bán dẫn khối. Bán dẫn thấp chiều bao gồm các loại: bán
dẫn hai chiều gồm giếng lượng tử, siêu mạng; bán dẫn một chiều bao
gồm các dây lượng tử và bán dẫn không chiều bao gồm các chấm lượng
tử. Các loại bán dẫn này được phân chia tùy thuộc vào cấu trúc của bán

dẫn. Nếu chuyển động tự do của các hạt tải điện bị giới hạn theo một
chiều thì ta có cấu trúc bán dẫn hai chiều, tương tự nếu các hạt tải bị
giới hạn theo hai chiều thì ta có cấu trúc một chiều và các hạt tải bị giới
hạn theo cả ba chiều thì ta có cấu trúc bán dẫn không chiều.
9


Trong cấu trúc của các hệ thấp chiều, ngoài điện trường của thế tuần
hoàn gây ra bởi các nguyên tử tạo nên tinh thể, còn tồn tại một trường
điện thế phụ biến thiên tuần hoàn và có chu kì lớn hơn rất nhiều lần
so với chu kì của hằng số mạng. Điện thế phụ này sẽ ảnh hưởng đến
sự chuyển động của các hạt tải điện có trong bán dẫn. Các hạt tải điện
chỉ có thể chuyển động tự do theo chiều không có điện thế phụ, do đó
tùy thuộc vào điện thế phụ này mà các bán dẫn phân chia thành một
chiều, hai chiều hay không chiều. Việc nghiên cứu vật liệu có cấu trúc
thấp chiều đã cho thấy cấu trúc của vật liệu ảnh hưởng trực tiếp đến
tính chất của nó và từ đó phát hiện ra nhiều đặc tính ưu việt mà vật
liệu cấu trúc ba chiều không có.
Giếng lượng tử là cấu trúc trong đó một lớp mỏng chất bán dẫn này
được đặt giữa hai lớp bán dẫn khác. Sự khác biệt của các cực tiểu vùng
dẫn của hai chất bán dẫn đó tạo nên một giếng lượng tử. Các hạt tải
điện nằm trong mỗi lớp bán dẫn này không thể xuyên qua mặt phân
cách để đi đến lớp bán dẫn bên cạnh. Do đó trong cấu trúc giếng lượng
tử, các hạt tải điện bị định xứ mạnh, chúng bị cách ly lẫn nhau bởi các
hàng rào thế. Đặc điểm chung của hệ điện tử trong cấu trúc giếng lượng
tử là chuyển động của điện tử theo một hướng nào đó bị giới hạn rất
mạnh và tự do trong hai hướng còn lại.
1.1.2.

Hàm sóng và năng lượng của electron trong giếng lượng

tử thế bán parabol và bán bậc hai nghịch đảo

Ta xét một electron giới hạn trong giếng lượng tử bán parabol và
bán bậc hai nghịch đảo, khi đó ta có Hamiltonian của hệ được cho bởi:
2

H=−

2m∗

∂2
∂2
∂2
+
+
∂x2 ∂y 2 ∂z 2

10

+ U (z) ,

(1.1)


với:

 1 m∗ ω0 2 z 2 +
2
U (z) =
∞

2

β0
2m∗ z 2

z≥0

z < 0,

(1.2)

trong đó z thể hiện hướng phát triển của giếng lượng tử, m∗ là khối
lượng hiệu dụng của điện tử,

là hằng số Plank, ω0 là tần số giam giữ

và đại lượng dương β0 là thông số đặc trưng cho thế bán bậc hai nghịch
đảo.
Khi đó phương trình Schrodinger được cho bởi:
Hψn,k (r) = En,k ψn,k (r),

(1.3)

ở đây, hàm riêng và giá trị năng lượng riêng được xác định qua các biểu
thức sau:
ψn,k (k) = φn (z)uc (r⊥ )eik⊥ r⊥ ,
2

En,k = En +

2m∗

k⊥ 2 ,

(1.4)
(1.5)

trong đó, k⊥ , r⊥ là những vectơ sóng và vectơ tọa độ trong mặt phẳng
(x, y), uc (r) là phần tuần hoàn của hàm Bloch trong vùng dẫn tại k = 0.
Hàm φn (z), năng lượng En là các nghiệm của phương trình Schrodinger
một chiều:
Hz φn (z) = En φn (z),

(1.6)

trong đó Hz là thành phần Hamiltonian theo trục z cho bởi biểu thức:
2

∂2
Hz = −
+ U (z).
2m∗ ∂z 2
Thay biểu thức (1.7) vào biểu thức (1.6) ta được:
d2 φn (z)
2m∗ En m∗ 2ω0 2 β0
+
−
z − 2 φn (z) = 0.
2

2
dz 2
z
Để đơn giản ta chọn

(1.7)

(1.8)

= m∗ = ω0 = 1 và định nghĩa biến số mới ξ = z 2

khi đó phương trình (1.8) có thể được viết lại như sau:
d2 φn (ξ)
1 dφn (z)
1
β0
E
+
−
+
−
φn (z) = 0.
dξ 2
2ξ dξ
4 4ξ 2 2ξ
11

(1.9)

Từ các trạng thái của hàm sóng tại gốc ban đầu và tại vô cực, chúng
ta có thể suy ra biểu thức của hàm sóng:
φn (ξ) = ξ s e−ξ/2 u(ξ),
√
với s =

1/4+β0 +1/2
.
2

(1.10)

Thay biểu thức hàm sóng ở phương trình (1.10) vào

phương trình (1.9) ta thu được:
d2 u
du
ξ 2 + (γ + 1 − ξ)
+ nu = 0.
dξ
dξ

(1.11)

Phương trình này được giải theo phương trình Laguerre. Tham số
γ = 2s −

1
2

và n = (E/2) − s −

1
4

là các số nguyên không âm. Vì vậy,

hàm sóng theo phương z của hệ trở thành:
φn (z) = Nn z 2s e−z
tại đó Nn =

2

/2

Ln γ (z 2 ),

(1.12)

2n!/Γ(2s + n + 1/2) , Ln γ (z 2 ) là đa thức Laguerre liên

kết. Bằng cách sử dụng n = (En /2) − s − 14 và kết hợp với các đơn vị cơ
bản ta có thể tìm được phổ năng lượng có dạng:
En = 2n + 1 +

β0 + 1/4

ω0 .

(1.13)

Vậy ta có biểu thức năng lượng, biểu thức hàm sóng của electron
trong giếng thế bán parabol và bán bậc hai nghịch đảo là:
2

Enk = 2n + 1 +

β0 + 1/4

ψn,k (r) = Nn z 2s e−z
1.1.3.

2

ω0 +
/2

2m∗

kx2 + ky2 ,

Ln γ (z 2 )uc (r)eik⊥ r⊥ .

(1.14)
(1.15)

Biểu thức thừa số dạng của electron trong giếng lượng
tử thế bán parabol và bán bậc hai nghịch đảo

Thừa số dạng G là đại lượng đặc trưng cho tương tác electronphonon trong vật liệu bán dẫn. Nó phụ thuộc vào kích thước, dạng thế

giam giữ của giếng, phụ thuộc vào vectơ sóng q của phonon, vào trạng
12


thái đầu và trạng thái cuối của điện tử. Tính chất tương tác electronphonon được thể hiện ở thừa số dạng. Thừa số dạng G của giếng lượng
tử được thể hiện qua tích phân bao phủ J theo hệ thức:
|J|2 = G × δkx +qx ,kx δky +qy ,ky ,
ở đây x,y là hai phương tự do còn phương z là phương giam giữ và J
được tính theo công thức:
J = ψn ,k | ei(qx x+qy y+qz z) |ψn,k
= φk (x, y)| ei(qx x+qy y) |φk (x, y) φn (z)| eiqz z |φn (z) = J1 J2 .
Ta lần lượt tính các giá trị như sau:
J1 = φk (x, y)| ei(qx x+qy y) |φk (x, y)
∞∞

= √1

Lx Ly

∞

=
0

e

−i kx x+ky y

0 0
i kx +qx −kx x

√1 e
Lx

ei(qx x+qy y) ei(kx x+ky y) dxdy
∞

dx

√1 ei

0

ky +qy −ky y

Ly

dy

= δkx +qx ,kx δky +qy ,ky
∞

J2 = φn (z)| e
∞

= Nn Nn

iqz z

|φn (z) =

φ∗n (z)eiqz z φn (z) dz

0

z 4s eiqz z−z Lγn z 2 Lγn z 2 dz.
2

0

Như vậy G = |J2 |2 và G phụ thuộc vào n, n , qz nên ta có thể viết lại
G ≡ Gn,n (qz ). Ta xét các trường hợp cụ thể để tính giá trị của G.
∗ Trường hợp n = 0, n = 1, khi đó Lγ0 (z 2 ) = 1, Lγ1 (z 2 ) = 1 + γ − z 2 , thay
vào biểu thức J2 ta được:
∞

z 4s eiqz z−z

J01 = N0 N1

2

1 + γ − z 2 dz = N0 N1 (1 + γ) H0 − N0 N1 H2 ,

0

13


ở đây ta đã đặt [9]:

H0 =

1
2

2s −

2

!1 F1 2s + 12 ; 12 ; −q4 z

1
2

2

+ iqz s (2s − 1)!1 F1 2s + 1; 32 ; −q4 z ,
H2 =

1
2

2s +

2

!1 F1 2s + 32 ; 21 ; −q4 z

1
2

2

+ iqz Γ (2s + 1)!1 F1 2s + 2; 32 ; −q4 z .
Suy ra biểu thức thừa số dạng G sẽ là G01 = |J01 |2 .
∗ Trường hợp n = 1, n = 2, khi đó Lγ1 (z 2 ) = 1 + γ − z 2 , Lγ2 (z 2 ) =
1
2

2 − 4z 2 + z 4 + 3γ − 2z 2 γ + γ 2 , thay vào tích phân trong J2 ta được:
J12 =

− 21 N1 N2

∞

z

4s+6 iqz z−z 2

e

0

+ 21 −6 − 9γ − 3γ 2 N1 N2

0

∞

2

z 4s+2 eiqz z−z dz
0

∞

2

z 4s eiqz z−z dz
0

3γ) N1 N2 H4 +

1
2

−6 − 9γ − 3γ 2 N1 N2 H2

N1 N2 H0 ,

trong đó ta đã đặt [9]:
2

H4 = 21 ((2s + 32 )!F1 (2s + 52 ; 12 ; −q4 z )
2

+iqz (2s + 2)!F1 (2s + 3; 23 ; −q4 z )),
H6 =

1
2

2

z 4s+4 eiqz z−z dz

dz + (5 + 3γ) N1 N2

+ 21 2 + 5γ + 4γ 2 + γ 3 N1 N2
= − 21 N1 N2 H6 + 12 (5 +
+ 21 2 + 5γ + 4γ 2 + γ 3

∞

1
2

2s +

5
2

2

! 1 F1 2s + 72 ; 12 ; −q4 z
2

+ iqz (2s + 3)!1 F1 2s + 4; 32 ; −q4 z

với hàm siêu bội 1 F1 có dạng tổng quát như sau:
∞
1 F 1 (a; b; x)

=
i=0

suy ra ta được:
G12 = |J12 |2 .

14

(a)i xi
,
(b)i n!

,


1.1.4.

Hamitonian của hệ electron tương tác với phonon khi
có mặt của điện trường xoay chiều

Xét hệ electron và phonon của bán dẫn đặt trong từ trường ngoài
biến thiên theo thời gian:
3

Ej ej eiωt ,

E(t) =
j=1

với ej là vectơ đơn vị theo phương j, Ej và ω là biên độ theo phương
j và tần số của trường ngoài. Hamiltonian toàn phần của hệ lúc này
sẽ gồm Hamiltonian cân bằng của hệ electron-phonon và Hamiltonian
không cân bằng do tương tác của hệ với trường ngoài, được viết như
sau:
H(t) = Heq + Hint (t).
Giả sử mật độ electron trong bán dẫn đủ bé để ta có thể bỏ qua
tương tác electron-electron, Hamiltonian cân bằng Heq của hệ sẽ bao
gồm Hamiltonian của hệ electron-phonon tự do có dạng chéo Hd và
Hamiltonian tương tác electron-phonon không chéo Hv ≡ V :
Heq = Hd + V,
ε α aα + aα +

Hd = He + Hp =
α

+

V =

Cα,µ (q)aα aµ (bq +

ωq bq + bq ,

α
b−q + ),

q α,µ

trong các biểu thức trên, He và Hp là Hamiltonian của hệ electron và hệ
phonon không tương tác, aα + và aα lần lượt là các toán tử sinh và toán
tử hủy electron ở trạng thái |α với năng lượng là εα = α| he |α và He
là Hamiltonian của một electron, bq + và bq là các toán tử sinh và toán
tử hủy của phonon trong trạng thái |q = |q, s ,q là vectơ sóng phonon,
s là chỉ số phân cực, ωq là năng lượng của phonon. Đại lượng Cα,µ (q)
là yếu tố ma trận tương tác electron-phonon, có biểu thức như sau:
Cα,µ (q) = Vq α| exp(iqr) |µ ,
15


với r là vectơ vị trí của electron,Vq là hằng số tương tác electron-phonon
phụ thuộc vào loại phonon, phần còn lại của biểu thức là hệ số dạng phụ
thuộc vào các trạng thái của electron.
Hamiltonian tương tác phụ thuộc vào trường ngoài biến thiên tuần
hoàn theo thời gian có dạng:
3

(rj )αβ aα + aβ Ej exp(iωt),

Hint (t) = e
j=1 α,β

trong đó (X)αβ ≡ α| X |β đối với toán tử X bất kì. Nếu xét đến giả
thuyết đoạn nhiệt, nghĩa là tại thời điểm t → −∞, trường ngoài bắt đầu
được đưa vào thì biểu thức Hamiltonian tương tác lúc này có thêm thừa
số e∆t (∆ → 0+ ), lúc này biểu thức trở thành:
3

ω t),
(rj )αβ aα + aβ Ej exp(i¯

Hint (t) = lim+ e
∆→0

j=1 α,β

với ω
¯ = ω − i∆, Ta có thể đặt Ej exp(i¯
ω t) = Ej (¯
ω ), vậy Hamitonian của
hệ electron tương tác với phonon khi có mặt của điện trường xoay chiều
là:
ωq b q + b q +

ε α aα + aα +

H(t) =
α

α
3

+ lim+ e
∆→0

j=1 α,β

Cα,µ (q)aα + aµ (bq + b−q + )
q α,µ

(rj )αβ aα + aβ Ej (¯
ω ).

1.2.

Tổng quan về phương pháp nghiên cứu

1.2.1.

Phương pháp toán tử chiếu phụ thuộc trạng thái

Phương pháp toán tử chiếu lần đầu tiên được Hazime Mori đưa ra
vào năm 1965 khi nghiên cứu chuyển tải hệ nhiều hạt, gọi là kĩ thuật
toán tử chiếu Mori. Về sau, qua các quá trình nghiên cứu, kĩ thuật chiếu
toán tử Mori được phát triển với nhiều cách định nghĩa toán tử chiếu
khác nhau, tùy thuộc vào mục đích tính toán. Badjou S. và Argypres P.
16


N. là nhóm tác giả đầu tiên đưa ra kỹ thuật chiếu phụ thuộc trạng thái
trong tính toán công suất hấp thụ của dịch chuyển cyclotron trong bán
dẫn. Nhóm tác giả này đã định nghĩa kỹ thuật chiếu phụ thuộc trạng
thái như sau:
Pαβ (k) X ≡
Qαβ (k) ≡ 1
trong đó, X

αβ

X αβ Jk
Jk αβ ,
− Pαβ (k) ,

≡ TR {ρeq (Heq ) [X, aα + aβ ]}, Jk là thành phần thứ k

của toán tử dòng của hệ. Kỹ thuật chiếu này phụ thuộc vào trạng thái
|α , |β , toán tử Pαβ (k) tác dụng lên toán tử X sẽ chiếu X lên phương
toán tử Jk . Kỹ thuật chiếu này được gọi là kỹ thuật chiếu phụ thuộc
trạng thái loại I.
Kỹ thuật chiếu phụ thuộc trạng thái loại II được nhóm tác giả N. L.
Kang, S. D. Choi định nghĩa như sau:
Pαβ γδ X ≡

X γδ aγ + aδ
aα + aβ γδ ,

Qαβ γδ ≡ 1 − Pαβ γδ ,
trong đó X

γδ

≡ TR {ρeq (Heq ) [X, aγ + aδ ]}. Kỹ thuật chiếu này phụ

thuộc vào các trạng thái |α , |β , |γ , |δ , toán tử Pαβ γδ tác dụng lên
toán tử X sẽ chiếu lên phương của toán tử aα + aβ .
1.2.2.

Tổng quan về phương pháp Profile

Độ rộng vạch phổ được xác định bởi khoảng cách giữa hai giá trị
của biến phụ thuộc là tần số và năng lượng photon, mà tại đó giá trị
của công suất hấp thụ bằng một nữa giá trị cực đại của nó. Độ rộng
vạch phổ liên quan đến tốc độ hồi phục, chúng phụ thuộc vào tính chất
cụ thể của cơ chế tán xạ của hạt tải chất rắn. Do đó nghiên cứu về độ
rộng vạch phổ sẽ giúp chúng ta thu thập các thông tin về cơ chế tán xạ
này của chất rắn. Theo nguyên tắc thì độ rộng vạch phổ chỉ thu được
từ đồ thị của công suất hấp thụ như một hàm năng lượng của photon.
17


Ý tưởng của phương pháp tìm độ rộng vạch phổ là đầu tiên tìm giá trị
cực đại của công suất hấp thụ từ đó kẻ đường thẳng P = Pmax /2 song
song với trục hoành cắt đồ thị của công suất hấp thụ tại hai điểm.

Hình 1.1: Xác định độ rộng vạch phổ.

Khi đó khoảng cách giữa hai điểm là độ rộng vạch phổ. Như vậy, để
tìm sự phụ thuộc của độ rộng vạch phổ vào một đại lượng x nào đó,
trước hết ta vẽ đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc của công suất hấp thụ
vào năng lượng của photon theo các giá trị khác nhau của x. Sau đó
xác định giá trị công suất cực đại Pm ax bằng lệnh FindMaxValue, sau
đó dùng lệnh F indRoot [Pmax ( ω) /2] để tìm hai giá trị của năng lượng
photon ω1 và ω2 ứng với một nửa giá trị của công suất hấp thụ và
tính ∆ ω = ω1 − ω2 , đây chính là độ rộng vạch phổ. Mỗi cặp giá trị
(x, ∆ ω) ứng với một điểm trên đồ thị. Cuối cùng nối các điểm này với
nhau ta có độ rộng vạch phổ theo đại lượng x.

18


Chương 2
Biểu thức giải tích của tenxơ độ dẫn và công suất hấp thụ
Chương này trình bày biểu thức tổng quát của tenxơ độ dẫn tuyến tính
và phi tuyến, từ đó áp dụng để tính toán giải tích và thu được biểu thức
cụ thể của công suất hấp thụ tuyến tính và phi tuyến trong giếng lượng
tử thế bán parabol và bán bậc hai nghịch đảo.

2.1.

Biểu thức giải tích của tenxơ độ dẫn quang
trong giếng lượng tử khi có điện trường ngoài

2.1.1.

Biểu thức giải tích của tenxơ độ dẫn tuyến tính
Khi bán dẫn đặt trong điện trường biến thiên theo thời gian
3

có dạng E(t) =

Ek eiωt ek thì trong hệ xuất hiện dòng điện có thành

k=1

phần độ dẫn tuyến tính được xác định bởi biểu thức sau:
σij (ω) = −e lim+
∆→0

(rj )αβ (ji )γδ Aαβ (ω),

(2.1)

α,β γ,δ

trong đó rj là ký hiệu thành phần thứ j của vectơ vị trí của electron,
(X)αβ ≡ α| X |β là yếu tố ma trận đối với toán tử X bất kỳ. Để xác
định biểu thức cụ thể của tenxơ độ dẫn tuyến tính trên, ta cần xác định
biểu thức của Aαβ (ω). Ta có:
+
Aαβ (ω) = TR ρeq ( ω
¯ − Leq )−1 a+
γ aδ , aγ aβ

= ( ω
¯ − Leq )−1 a+
γ aδ

,
αβ

(2.2)
tức là tính vết của các toán tử sau khi thực hiện các giao hoán tử. Để
thực hiện điều đó, ta định nghĩa các toán tử chiếu P0 và Q0 như sau:
P0 X ≡

X

αβ
a+
aδ ,
+
aγ aδ αβ γ

19

(2.3)


Q0 ≡ 1 − P0 ,
trong đó, kí hiệu X

αβ

X

(2.4)

được định nghĩa như sau:
≡ TR ρeq X, a+
γ aβ

αβ

,

có giá trị phụ thuộc vào hai trạng thái |α , |β , biểu thức (2.3) và (2.4) mô
tả hình chiếu của toán tử X qua phép chiếu P0 , Q0 , với P0 X + Q0 X = X.

Như vậy hình chiếu của toán tử X có thể phân tích thành hai thành phần
vuông góc nhau. Phép chiếu này chính là phép chiếu phụ thuộc trạng
thái vì toán tử P0 tác dụng lên toán tử X bất kì sẽ chiếu toán tử đó lên
“phương” tích hai toán tử aγ + aδ , trong đó γ và δ là hai trạng thái khác
nhau.
Trong trường hợp khi X = a+
γ aδ , ta có:
P 0 a+
γ aδ ≡
Q0 a+
γ aδ

a+
γ aδ
a+
γ aδ

αβ

+
a+
γ aδ = aγ aδ ,

αβ

≡ (1 − P0 )a+
γ aδ = 0.

Áp dụng tính chất P0 +Q0 = 1 cho toán tử Liouville ở vế phải của phương
trình (2.2) với Leq = Leq (P0 + Q0 ) và sử dụng đẳng thức (A − B)−1 =

A−1 + A−1 B(A − B)−1 cho ( ω
¯ − Leq )−1 rồi cho ( ω
¯ − Leq Q0 )−1 ta thu
được:
Aαβ (¯
ω) =

a+
γ aδ

αβ

ω
¯ − εγδ − Ωαβ − Γαβ
ω)
0 (¯

,

(2.5)

trong đó ta đã đặt:
Ωαβ ≡

ω) ≡
Γαβ
0 (¯

L υ a+
γ aδ

a+
γ aδ

αβ

,

(2.6)

αβ

Leq Q0 ( ω
¯ − Leq Q0 )−1 Lυ a+
γ aδ
a+
γ aδ

Trong biểu thức trên, do Lυ aγ + aδ
20

αβ

αβ

.

(2.7)

αβ

= 0 nên Ωαβ = 0. Khi đó biểu


thức (2.5) trở thành:
Aαβ (¯
ω) =

a+
γ aδ
ω
¯ − εγδ −

αβ
Γαβ
0

(¯
ω)

.

(2.8)

Hàm Γ0 αβ (¯
ω ) được gọi là hàm dạng phổ hay hàm suy giảm cho trường
hợp tuyến tính. Hàm này được tính trong phép gần đúng bậc hai của
thế tán xạ có dạng:
Γαβ
ω) ≈
0 (¯

¯ − Ld )−1 Lυ a+
TR ρeq Lυ a+
γ aδ , ( ω
γ aδ
a+
γ aδ

.

(2.9)

αβ

Tiếp theo ta tìm biểu thức tường minh cho các đại lượng aγ + aδ
và

Γαβ
0

αβ

(¯
ω ). Sử dụng các biểu thức của trị trung bình thống kê sau:

- Trường hợp các toán tử sinh, hủy electron:
TR {ρeq a+
α aα } = fα δαα ,
TR ρeq aα a+
= TR ρeq

α

aα a+
α

+

− a+
α aα

= (1 − fα ) δαα .

- Trường hợp các toán tử sinh, hủy phonon:
TR ρeq b+
q bq

= Nq δq,q ,

= TR ρeq
TR ρeq bq b+
q

bq b+
q

+

+ b+
q bq

= (1 + Nq ) δq,q ,

trong đó, fα = 1/ [1 + exp ((Eα − EF ) /kB T )] là hàm phân bố FermiDirac của khí electron suy biến ở trạng thái |α ,
Nq = 1/ [exp ( ωq /kB T ) − 1] là hàm phân bố Bose-Einstein của phonon
có năng lượng ωq . Quá trình tính toán cho ta kết quả:
aγ + aδ

αβ

= TR {ρeq [aγ + aδ , aα + aβ ]}

= TR {ρeq (aγ + aβ δδα − aα + aδ δγβ )}

(2.10)

= (fβ − fα ) δδα δγβ .
Thay biểu thức (2.10) và (2.8) vào biểu thức (2.1), sau đó lấy tổng theo
γ và δ ta được:
σij (ω) = −e lim+
∆→0

(rj )αβ (ji )βα
α,β

21

fβ − fα
ω
¯ − Eβα − Γαβ
ω)

0 (¯

.

(2.11)


Đây là biểu thức của độ dẫn tuyến tính xuất hiện trong bán dẫn khi có
mặt trường ngoài.
2.1.2.

Biểu thức giải tích của tenxơ độ dẫn phi tuyến

Biểu thức của tenxơ độ dẫn phi tuyến bậc nhất có dạng:
γδ
(¯
ω1 , ω
¯ 2 ) , (2.12)
(rj )αβ (rk )γδ (ji )ξ Uαβ

σijk (ω1 , ω2 ) = e2 lim+
∆→0

α,β γ,δ

ξ,

trong đó:
γδ
+

+
(¯
ω1 , ω
¯ 2 ) ≡ TR ρeq ( ω
¯ 2 − Leq )−1 ( ω
¯ 12 Leq )−1 a+
Uαβ
ξ a , aγ aδ , aα aβ

,

(2.13)
tại đây, ω
¯ 12 ≡ ω
¯1 + ω
¯2, ω
¯ 1 ≡ ω1 − ib (b → 0+ ) , ω
¯ 2 ≡ ω2 − ic (c → 0+ ).
Để tính toán độ dẫn phi tuyến bậc nhất, ta sử dụng phương pháp
toán tử chiếu loại 2 có dạng như sau:
P1 X ≡

γβ

X

αβ

a+
ξa

a+ a
γβ ξ

,

(2.14)

αβ

Q1 ≡ 1 − P1 ,

(2.15)

với
X

γδ
αβ

+
≡ TR ρeq ( ω
¯ 2 − Leq )−1 X, a+
γ aδ , aγ aβ

.

(2.16)

Áp dụng tính chất P1 + Q1 = 1 cho toán tử Liouville ở vế phải

của phương trình (2.2) với Leq = Leq (P1 + Q1 ) và sử dụng tính chất
(A − B)−1 = A−1 + A−1 B(A − B)−1 ta có:
γδ
Uαβ
(¯
ω1 , ω
¯2) =

a+
ξa
ω
¯ 12 −

trong đó:
22

ω
¯ 12
a+
ξ a

γδ
αβ

γδ
αβ
γδ
Wαβ

(¯

ω1 , ω
¯2)

,

(2.17)