Khảo sát các tính chất phi cổ điển của photon trong hệ tương tác nguyên tử ba mức với hai photon ban đầu ở trạng thái kết hợp và kết hợp lẻ
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.07 MB, 88 trang )
ĐẠI HỌC HUẾ
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
ĐÀO THỊ LÝ
KHẢO SÁT CÁC TÍNH CHẤT PHI CỔ ĐIỂN CỦA
PHOTON TRONG HỆ TƯƠNG TÁC NGUYÊN TỬ
BA MỨC VỚI HAI PHOTON BAN ĐẦU Ở
TRẠNG THÁI KẾT HỢP VÀ KẾT HỢP LẺ
LUẬN VĂN THẠC SĨ VẬT LÝ
THEO ĐỊNH HƯỚNG NGHIÊN CỨU
Thừa Thiên Huế, năm 2017
ĐẠI HỌC HUẾ
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
ĐÀO THỊ LÝ
KHẢO SÁT CÁC TÍNH CHẤT PHI CỔ ĐIỂN CỦA
PHOTON TRONG HỆ TƯƠNG TÁC NGUYÊN TỬ
BA MỨC VỚI HAI PHOTON BAN ĐẦU Ở
TRẠNG THÁI KẾT HỢP VÀ KẾT HỢP LẺ
Chuyên ngành: VẬT LÝ LÝ THUYẾT VÀ VẬT LÝ TOÁN
Mã số : 60 44 01 03
LUẬN VĂN THẠC SĨ VẬT LÝ
THEO ĐỊNH HƯỚNG NGHIÊN CỨU
Người hướng dẫn khoa học
TS. VÕ TÌNH
Thừa Thiên Huế, năm 2017
i
LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng
tôi, các số liệu và kết quả nghiên cứu ghi trong luận văn là
trung thực, được các đồng tác giả cho phép sử dụng và chưa
từng được công bố trong bất kỳ một công trình nghiên cứu nào
khác.
Huế, tháng 09 năm 2017
Tác giả luận văn
Đào Thị Lý
ii
LỜI CẢM ƠN
Tôi xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy giáo TS.
Võ Tình đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ và tạo điều kiện tốt nhất cho
tôi trong suốt quá trình nghiên cứu và thực hiện luận văn.
Tôi xin cảm ơn quý Thầy, Cô giáo trong khoa Vật Lý và phòng
Đào tạo sau đại học trường Đại học Sư Phạm, Đại Học Huế đã tận tình
giảng dạy và giúp đỡ tôi trong quá trình học tập tại trường Đại học Sư
Phạm, Đại học Huế.
Xin gửi lời cảm ơn đến gia đình thân thương của tôi. Cảm ơn các
anh (chị) học viên Cao học chuyên ngành Vật lý lý thuyết và Vật lý toán
khóa 23 Trường Đại học Sư Phạm - Đại học Huế, cùng bạn bè đã nhiệt
tình giúp đỡ, tạo điều kiện cho tôi trong quá trình học tập và thực hiện
luận văn này.
Huế, tháng 09 năm 2017
Tác giả luận văn
Đào Thị Lý
iii
MỤC LỤC
Trang
Trang bìa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Trang phụ bìa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
i
Lời cam đoan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ii
Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
iii
Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
Danh mục các kí hiệu toán học . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
MỞ ĐẦU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
NỘI DUNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
CHƯƠNG 1: MỘT SỐ KIẾN THỨC TỔNG QUAN .
13
1.1 Trạng thái kết hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
1.1.1
Định nghĩa phương sai . . . . . . . . . . . . . . .
13
1.1.2
Trạng thái Fock
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
1.1.3
Trạng thái kết hợp và toán tử số hạt . . . . . . .
18
1.1.4
Các tính chất của trạng thái kết hợp . . . . . . .
20
1.2 Trạng thái kết hợp chẵn và lẻ . . . . . . . . . . . . . . .
22
1.2.1
Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
1.2.2
Tính chất của trạng thái kết hợp chẵn, lẻ . . . . .
24
1.3 Nguyên tử ba mức cấu hình V tương tác với hai photon
1
26
1.4 Các tính chất nén, thống kê Sub-Poisson của photon . .
28
1.4.1
Tính chất nén . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
1.4.2
Thống kê Sub-Poisson . . . . . . . . . . . . . . .
29
CHƯƠNG 2: HAMILTONIAN TƯƠNG TÁC CỦA HỆ
TƯƠNG TÁC NGUYÊN TỬ BA MỨC CẤU HÌNH
V VỚI HAI PHOTON . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
2.1 Xây dựng Hamiltonian của hệ tương tác nguyên tử ba
mức cấu hình V với hai photon . . . . . . . . . . . . . .
32
2.2 Thiết lập ma trận mật độ của hệ tương tác . . . . . . . .
37
2.3 Tính biểu thức trung bình của các toán tử cần khảo sát .
39
CHƯƠNG 3: KHẢO SÁT TÍNH CHẤT PHI CỔ ĐIỂN
CỦA PHOTON THEO HAI PHOTON BAN ĐẦU
Ở TRẠNG THÁI KẾT HỢP VÀ KẾT HỢP LẺ .
43
3.1 Khảo sát tính chất nén . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
43
3.1.1
Nén biên độ trực giao thông thường của photon .
43
3.1.2
Nén Hillery bậc hai của photon . . . . . . . . . .
45
3.1.3
Khảo sát tham số nén biên độ trực giao S1 , S1
(1)
(2)
của photon tại thời điểm t (t > 0) sau tương tác
3.1.4
(1)
46
(2)
Khảo sát tham số nén Hillery bậc hai S2 , S2 của
photon tại thời điểm t (t > 0) sau tương tác . . .
53
3.2 Khảo sát tính thống kê Sub-Poisson . . . . . . . . . . . .
59
3.2.1
(1)
(2)
Khảo sát tham số Q1 , Q1 của các photon mode
1 và mode 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
59
3.2.2
(1)
(2)
Khảo sát tham số Qp , Qp của photon ở mode 1
và 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
65
KẾT LUẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
70
TÀI LIỆU THAM KHẢO . . . . . . . . . . . . . . . . . .
71
PHỤ LỤC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . P.1
3
DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU TOÁN HỌC VÀ TỪ VIẾT TẮT
Kí hiệu
aˆ† , aˆ
n
ˆ
V A, V B
n
ˆ ,ω
ˆ a(α)
D
Tên gọi
toán tử sinh, hủy boson
toán tử số hạt boson
phương sai của đại lượng X
trung bình số hạt, tần số góc
toán tử dịch chuyển của ˆa với độ dịch chuyển α
r1
biên độ của trạng thái kết hợp chẵn
r2
biên độ của trạng thái kết hợp
θ1
pha của trạng thái kết hợp chẵn
θ2
pha của trạng thái kết hợp
Jˆx , Jˆy , Jˆz vectơ riêng của toán tử spin-1
Uˆ (t)
toán tử thời gian tiến hóa
Cch
hệ số trạng thái kết hợp chẵn
Cl
hệ số trạng thái kết hợp lẻ
ρˆ (t)
ρˆgr (0)
σαβ
ma trận mật độ
ma trận mật độ ở trạng thái cơ bản, lúc t = 0
giá trị trung bình của toán tử aˆ†αaˆβ
KHC
kết hợp chẵn
KHL
kết hợp lẻ
4
Danh sách hình vẽ
1.1 Mô tả hệ thống nguyên tử ba mức cấu hình V . . . . . . .
(1)
3.1 Đồ thị khảo sát sự phụ thuộc của S1
26
theo thời gian t.
Chọn r1 = 1.8, r2 = 0.2, θ1 = 0, λ1 = 4, λ2 = 5, Ω1 = 15,
Ω2 = 10. (a) t nằm trong khoảng từ 0 đến 0.9, (b) t nằm
trong khoảng từ 0 đến 0.4. . . . . . . . . . . . . . . . . .
(2)
3.2 Đồ thị khảo sát sự phụ thuộc của S1
48
theo thời gian t.
Chọn r1 = 1.8, r2 = 0.4, θ1 = 0, λ1 = 4, λ2 = 5, Ω1 = 15,
Ω2 = 10. (a) t nằm trong khoảng từ 0 đến 0.6 trên toàn
(2)
bộ miền giá trị S1 , (b) t nằm trong khoảng từ 0 đến 0.6
(2)
và xét giá trị của S1 trong khoảng từ -10 đến 10.
. . .
48
(1)
3.3 Đồ thị khảo sát sự phụ thuộc của S1 theo r1 và r2 với r1
trong khoảng từ 0 đến 1.8 và r2 trong khoảng từ 0 đến 4.
Chọn t = 0.21, θ1 = 0, λ1 = 4, λ2 = 5, Ω1 = 15, Ω2 = 10.
49
(1)
3.4 Đồ thị khảo sát sự phụ thuộc của S1 theo r1 và r2 với r1
trong khoảng từ 1.6 đến 1.8 và r2 trong khoảng từ 0 đến
4. Chọn t = 0.21, θ1 = 0, λ1 = 4, λ2 = 5, Ω1 = 15, Ω2 = 10. 50
5
(1)
3.5 Đồ thị khảo sát sự phụ thuộc của S1 theo r1 và r2 . Chọn
t = 0.21, θ1 = 0, λ1 = 4, λ2 = 5, Ω1 = 15, Ω2 = 10. (a) r1
trong khoảng từ 1.6 đến 1.8 và r2 trong khoảng từ 0 đến
4 thể hiện sự phụ thuộc vào r1 và (b) r1 trong khoảng từ
1.6 đến 1.8 và r2 trong khoảng từ 0 đến 4 thể hiện sự phụ
thuộc vào r2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
50
(2)
3.6 Đồ thị khảo sát sự phụ thuộc của S1 theo r1 và r2 . Chọn
t = 0.21, θ2 = 0, λ1 = 4, λ2 = 5, Ω1 = 15, Ω2 = 10. (a) r1
trong khoảng từ 1.2 đến 1.5 và r2 trong khoảng từ 0 đến
8, (b) r1 trong khoảng từ 1.3 đến 1.5 và r2 trong khoảng
từ 0 đến 1.5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
51
(2)
3.7 Đồ thị khảo sát sự phụ thuộc của S1 theo r1 và r2 . Chọn
t = 0.21, θ2 = 0, λ1 = 4, λ2 = 5, Ω1 = 15, Ω2 = 10. (a) r1
trong khoảng từ 1.3 đến 1.5 và r2 trong khoảng từ 0 đến
1.5 thể hiện sự phụ thuộc vào r1 , (b) r1 trong khoảng từ
1.3 đến 1.5 và r2 trong khoảng từ 0 đến 1.5 thể hiện sự
phụ thuộc vào r2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
51
(1)
3.8 Đồ thị khảo sát sự phụ thuộc của S1 theo λ1 và λ2 . Chọn
r1 = 1.8, r2 = 0.2, t = 0.21, θ1 = 0, Ω1 = 15, Ω2 = 10. (a)
λ1 trong khoảng từ 0 đến 20 và λ2 trong khoảng từ 0 đến
40, (b) λ1 thay đổi, λ1 = 10.5 (màu xanh), λ1 = 11 (màu
đỏ), λ1 = 11.5 (màu đen) và λ2 trong khoảng từ 0 đến 40.
(1)
3.9 Đồ thị khảo sát sự phụ thuộc của S2
52
theo thời gian t
khi r1 thay đổi, r1 = 1.9 (màu đỏ) và r1 = 2 (màu xanh).
Chọn r2 = 0.2, θ1 = 0, λ1 = 4, λ2 = 5, Ω1 = 15, Ω2 = 10.
6
54
(1)
3.10 Đồ thị khảo sát sự phụ thuộc của S2 theo Ω1 , Ω2 . Chọn
t = 0.21, r1 = 2, r2 = 0.5, θ1 = 0, λ1 = 4, λ2 = 5. (a) Ω1 ,
Ω2 nằm trong khoảng từ 0 đến 50, (b) Ω1 nằm trong
khoảng từ 0 đến 20 và Ω2 nằm trong khoảng từ 0 đến
30. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(2)
3.11 (a) Đồ thị khảo sát sự phụ thuộc của S2
55
theo r1 khi
(2)
r2 = 0.5. (b) Đồ thị khảo sát sự phụ thuộc của S2 theo
r2 khi r1 = 1.5. Chọn t = 0.21, θ2 = 0, λ1 = 4, λ2 = 5,
Ω1 = 15, Ω2 = 10.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
57
(2)
3.12 Đồ thị khảo sát sự phụ thuộc của S2 theo λ1 , λ2 . Chọn
t = 0.21, θ2 = 0, r1 = 2, r2 = 0.5, Ω1 = 18, Ω2 = 32. (a)
λ1 , λ2 trong khoảng từ 0 đến 100 và (b) λ1 trong khoảng
từ 0 đến 30, λ2 trong khoảng từ 0 đến 20 . . . . . . . . .
58
(2)
3.13 Đồ thị khảo sát sự phụ thuộc của S2 theo λ1 , λ2 . Chọn
t = 0.21, θ2 = 0, r1 = 2, r2 = 0.5, Ω1 = 18, Ω2 = 32. (a)
thể hiện sự phụ thuộc vào λ2 , (b) thể hiện sự phụ thuộc
vào λ1 ,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
58
(1)
3.14 Đồ thị khảo sát sự phụ thuộc của Q1 theo thời gian t khi
t nằm trong khoảng từ 0 đến 2. Chọn r1 = 1.8, r2 = 0.6,
λ1 = 1, λ2 = 2, Ω1 = 15, Ω2 = 10. . . . . . . . . . . . . .
60
(1)
3.15 Đồ thị khảo sát sự phụ thuộc của Q1 theo r1 , r2 . Chọn
t = 1.3, λ1 = 1, λ2 = 2, Ω1 = 15, Ω2 = 10. (a) r1 nằm trong
khoảng từ 0 đến 1 và r2 nằm trong khoảng 0 đến 15, (b) r1
nằm trong khoảng từ 0.9 đến 1.6 và r2 nằm trong khoảng
0 đến 4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
61
(1)
3.16 Đồ thị khảo sát sự phụ thuộc của Q1 theo λ1 , λ2 . Chọn
t = 0.21, r1 = 1.1, r2 = 0.6 , Ω1 = 15, Ω2 = 20. (a) λ1 nằm
trong khoảng từ 0 đến 50 và λ2 nằm trong khoảng 0 đến
150, (b) λ1 nằm trong khoảng từ 0 đến 15 và λ2 nằm trong
khoảng 0 đến 30. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
62
(1)
3.17 Đồ thị khảo sát sự phụ thuộc của Q1 theo λ1 , λ2 . Chọn
t = 0.21, r1 = 1.1, r2 = 0.6 , Ω1 = 15, Ω2 = 20. (a) thể
hiện sự phụ thuộc vào λ1 , (a) thể hiện sự phụ thuộc vào
λ2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(2)
3.18 (a) Đồ thị khảo sát sự phụ thuộc của Q1
62
theo r1 khi
(2)
r2 = 0.2. (b) Đồ thị khảo sát sự phụ thuộc của Q1 theo
r2 khi r1 = 0.6. Chọn λ1 = 1, λ2 = 2, Ω1 = 15, Ω2 = 10. .
63
(2)
3.19 Đồ thị khảo sát sự phụ thuộc của Q1 theo r1 và r2 . Chọn
λ1 = 1, λ2 = 2, Ω1 = 15, Ω2 = 10. . . . . . . . . . . . . .
64
(2)
3.20 Đồ thị khảo sát sự phụ thuộc của Q1 theo Ω2 khi Ω1 thay
đổi, Ω2 = 3(màu đỏ), Ω1 = 10(màu xanh), Ω1 = 15 (màu
đen). Chọn t = 0.21, r1 = 1.1, r2 = 0.1, λ1 = 1, λ2 = 2. .
(1)
3.21 (a) Đồ thị khảo sát sự phụ thuộc của Qp
65
theo r1 khi
(1)
r2 = 0.3. (b) Đồ thị khảo sát sự phụ thuộc của Qp theo r2
khi r1 = 1. Chọn p = 5, t = 0.21, λ1 = 1, λ2 = 2,Ω1 = 15,
Ω1 = 10. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
66
(1)
3.22 Đồ thị khảo sát sự phụ thuộc của Qp theo t. Chọn p = 5,
r1 = 1, r2 = 0.6, t = 0.2, 1, λ1 = 12.5, λ2 = 23,Ω1 = 15, Ω1 = 10 67
(2)
3.23 Đồ thị khảo sát sự phụ thuộc của Qp theo p khi. Chọn
t = 0.21, r1 = 1.3, r2 = 0.3, λ1 = 3.5, λ2 = 44, Ω1 = 15,
Ω1 = 10. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
68
MỞ ĐẦU
1.
Lý do chọn đề tài đề tài
Bước vào thế kỷ XX, trên đà phát triển của cuộc cách mạng công
nghiệp, nhân loại tiếp tục đạt được những thành tựu rực rỡ về khoa
học-kỹ thuật, tạo ra hàng loạt sự thay đổi quan trọng trong các lĩnh vực
đời sống xã hội. Cùng với sự phát triển mạnh mẽ của khoa học kỹ thuật
thì việc nghiên cứu các tính chất của một số trạng thái phi cổ điển có
ý nghĩa hết sức quan trọng và được các nhà khoa học quan tâm, nghiên
cứu và phát triển [1, 2, 4 - 7, 11, 14, 20]. Các tính chất của các trạng
thái này là tiên đề cơ sở cho việc ứng dụng chúng vào trong thực tiễn
như các lĩnh vực quang lượng tử, máy tính lượng tử,... [13], [18], [21-23].
Năm 1970, trạng thái phi cổ điển đầu tiên được đưa ra bởi Stoler
và được Hollenhorst đặt tên là trạng thái nén. Trạng thái nén đã được
Slusher khẳng định bằng thực nghiệm vào năm 1985, đây là trạng thái
mở đầu cho các trạng thái phi cổ điển.
Năm 1985, trạng thái nén bậc cao được đưa ra bởi C.K.Hong và
L.Mandel [12]. Năm 1987, một loại nén đơn mode bậc cao khác được
Hillrey đưa ra và chính ông cũng đưa ra trạng thái nén bậc cao đa mode
vào năm 1989 khi khảo sát hai trạng thái nén tổng và nén hiệu đơn giản
cho hai mode. Sau đó, Kumar và Gupta nâng trường hợp khảo sát lên ba
mode. Cho đến năm 1999, Nguyễn Bá Ân và Võ Tình đã hoàn thiện hơn
với nén tổng hợp và hiệu đa mode tổng quát cho số mode bất kỳ [15-17].
Bên cạnh tính chất nén các đại lượng vật lý, tính chất phi cổ điển còn
thể hiện nổi bậc ở tính chất Sub-Poisson, tính chất Anti-bunching và sự
vi phạm bất đẳng thức Cauchy-Schwarz [3], [19]. Việc tìm hiểu nghiên
cứu các tính chất phi cổ điển của trạng thái hứa hẹn rất nhiều trong
9
việc tìm ra con đường để có thể áp dụng vào thực tế, phục vụ đắc lực
cho ngành công nghệ mới, công nghệ nano, máy tính lượng tử,...
Năm 2016, Nguyễn Viết Minh Trí đã khảo sát các tính chất phi
cổ điển của photon trong hệ tương tác nguyên tử ba mức với hai photon
ban đầu ở trạng thái kết hợp và kết hợp thêm photon [8]. Cũng trong
thời gian này, Huỳnh Thị Thùy Trâm đã khảo sát các tính chất phi cổ
điển của photon trong hệ tương tác nguyên tử ba mức với hai photon
ban đầu ở trạng thái kết hợp và kết hợp chẵn [9]. Tuy nhiên, Huỳnh Thị
Thùy Trâm chỉ khảo sát tính chất nén biên độ trực giao thông thường,
nén Hillery bậc hai, tính thống kê Sub-Poisson bậc một của các photon ở
thời điểm t > 0 trong hệ tương tác nguyên tử ba mức cấu hình V (ở điều
kiện cộng hưởng) với hai photon ban đầu (t = 0) ở trạng thái kết hợp và
kết hợp chẵn, chưa khảo được tính chất nén, tính thống kê Sub-Poisson
bậc cao. Nếu thay đổi trạng thái của hai photon ban đầu thì các tính
chất phi cổ điển sẽ có sự thay đổi như thế nào. Để giải quyết các vấn đề
trên, kế thừa và mở rộng kết quả nghiên cứu của các đề tài trước, chúng
tôi chọn đề tài "Khảo sát các tính chất phi cổ điển của photon
trong hệ tương tác nguyên tử ba mức với hai photon ban đầu
ở trạng thái kết hợp và kết hợp lẻ" làm đề tài nghiên cứu cho luận
văn tốt nghiệp thạc sĩ.
2.
Mục tiêu của đề tài
Khảo sát tính chất nén, tính thống kê Sub-Poisson bậc cao của
hai photon ở thời điểm t > 0 trong hệ tương tác nguyên tử ba mức cấu
hình V (ở điều kiện cộng hưởng) với hai photon đó ban đầu (t = 0) ở
trạng thái kết hợp và kết hợp lẻ.
3.
Nhiệm vụ nghiên cứu
10
- Xây dựng Hamiltonian của hệ tương tác nguyên tử ba mức cấu
hình V với hai photon dựa trên hệ vectơ cơ sở là các vectơ riêng của
toán tử Spin-1 Jˆz .
- Thiết lập ma trận mật độ của hệ tương tác hai photon nguyên
tử ba mức ở trạng thái cơ bản và tìm biểu thức trung bình của các toán
tử cần khảo sát.
- Khảo sát tính chất nén, tính thống kê Sub-Poisson bậc cao của
photon trong hệ tương tác nguyên tử ba mức với hai photon ban đầu ở
trạng thái kết hợp và kết hợp lẻ.
4.
Phương pháp nghiên cứu
- Sử dụng lý thuyết lượng tử hoá lần hai trong trường điện từ vào
hệ tương tác phi tuyến hoàn toàn lượng tử giữa trường với môi trường
quang phi tuyến.
- Phương pháp nghiên cứu lý thuyết hoàn toàn lượng tử của hệ
tương tác nguyên tử ba mức với hai photon.
- Sử dụng toán tử mật độ với hệ vectơ cơ sở của nguyên tử ba mức
là các vectơ riêng của toán tử Spin-1 Jˆz để tính trị trung bình của các
đại lượng cần khảo sát.
- Phương pháp tính số với phần mềm Mathematica để tính toán
và vẽ đồ thị.
5.
Giới hạn đề tài
Đề tài này chỉ khảo sát tính chất nén biên độ trực giao, nén Hillery,
tính thống kê Sub-Poisson bậc cao của các photon ở thời điểm t > 0 trong
hệ tương tác nguyên tử ba mức cấu hình V (ở điều kiện cộng hưởng) với
hai photon ban đầu (t = 0) ở trạng thái cơ bản là trạng thái kết hợp và
11
kết hợp lẻ.
Ngoài mục lục, phụ lục và tài liệu tham khảo, luận văn được chia
làm 3 phần:
Phần mở đầu: Trình bày lý do chọn đề tài, mục tiêu của đề tài,
nhiệm vụ nghiên cứu, phương pháp nghiên cứu, giới hạn đề tài và bố
cục luận văn.
Phần nội dung: Bao gồm 3 chương:
- Chương 1: Một số kiến thức tổng quan.
- Chương 2: Xây dựng Hamiltonian tương tác của hệ tương tác
nguyên tử ba mức cấu hình V với hai photon và tìm lời giải bằng phương
pháp ma trận mật độ với giả thiết nguyên tử và hai photon không có
tương quan với nhau.
- Chương 3: Khảo sát tính chất nén, tính thống kê Sub-Poisson
bậc cao của hai photon ở thời điểm t > 0 mà ban đầu (t = 0) chúng ở
trạng thái kết hợp và kết hợp lẻ. Đồng thời tiến hành thảo luận, đánh
giá kết quả đã tính toán được.
Phần kết luận: Trình bày các kết quả đạt được, hạn chế của đề
tài, đề xuất hướng phát triển của đề tài.
12
NỘI DUNG
CHƯƠNG 1
MỘT SỐ KIẾN THỨC TỔNG QUAN
Trong chương này, chúng tôi giới thiệu lại một số kiến thức tổng
quan như định nghĩa và tính chất của trạng thái kết hợp, trạng thái kết
hợp chẵn, lẻ; giới thiệu về nguyên tử ba mức cấu hình V; tính chất nén,
tính thống kê Sub-Poisson của photon.
1.1
Trạng thái kết hợp
1.1.1
Định nghĩa phương sai
ˆ theo thứ tự biểu diễn cho hai đại
Cho hai toán tử Hermitic Aˆ và B
lượng vật lý A và B. Theo cơ học lượng tử, nếu hai đại lượng vật lý này
ˆ Bˆ cũng
không đo được đồng thời thì về mặt toán học, hai toán tử A,
không giao hoán với nhau, nghĩa là giao hoán tử
ˆ B]
ˆ = AˆB
ˆ −B
ˆ Aˆ = 0.
[A,
(1.1)
Với trường hợp này ta có được hệ thức bất định trong trạng thái lượng
tử bất kỳ |ψ của hệ
1 ˆ ˆ 2
V AV B ≥ | [A,
B] | 0,
4
(1.2)
trong đó đại lượng đặc trưng cho mức độ thăng giáng của giá trị đo được
ˆ của đại lượng X = A, B là
X quanh giá trị trung bình lượng tử X
phương sai V X được định nghĩa như sau:
ˆ− X
ˆ )2 = X
ˆ2 − X
ˆ 2,
V X ≡ (X
13
(1.3)
với giá trị kỳ vọng của đại lượng X ở trạng thái |ψ
ˆ = ψ|X|ψ
ˆ
X
=
ˆ
ψ ∗ (x)Xψ(x)dx,
(1.4)
được lấy trên toàn bộ giá trị có thể có của các biến độc lập x của hệ
lượng tử.
1.1.2
Trạng thái Fock
Trong mục này, trước tiên chúng ta giới hạn chỉ khảo sát đơn mode
của trường với tần số ν theo thứ tự có toán tử hủy và toán tử sinh ˆak
và aˆ† tương ứng. Gọi | n là trạng thái năng lượng riêng tương ứng với
k
giá trị năng lượng riêng En nghĩa là [9]:
1
ˆ | n = ν(ˆ
H
a†aˆ + ) | n = En | n .
2
(1.5)
Nếu chúng ta tác dụng toán tử aˆ từ bên trái, sau khi sử dụng mối
quan hệ tương ứng [ˆ
a, aˆ†] = 1 và một số biến đổi, ta thu được:
ˆ a | n = (En − ν)ˆ
Hˆ
a|n .
ˆ | n − 1 = En−1 | n − 1 , aˆ | n = αn | n − 1 .
H
(1.6)
Vậy trạng thái
|n−1 =
aˆ
|n
αn
(1.7)
cũng là một trạng thái riêng nhưng với trị riêng giảm,
En−1 = En − ν.
(1.8)
Trong phương trình (1.7), αn là lượng không đổi định nghĩa từ điều
kiện chuẩn hóa,
n − 1 | n − 1 = 1.
14
(1.9)
Nếu lập lại kết quả này n lần tức là dịch chuyển xuống thang năng
lượng từng bậc ν cho đến khi ta nhận được :
ˆ a | 0 = (E0 − ν)ˆ
Hˆ
a|0 ,
(1.10)
E0 là trạng thái năng lượng nền (cơ bản = năng lượng thấp nhất),
(E0 − ν) tương ứng một giá trị năng lượng nhỏ hơn E0 . Vì ta không
thừa nhận những năng lượng nhỏ hơn E0 cho dao động tử nên:
(1.11)
aˆ | 0 = 0.
Trạng thái | 0 được xem như trạng thái chân không. Sử dụng mối
quan hệ này, chúng ta có thể tìm giá trị của E0 từ phương trình trị riêng:
ˆ | 0 = 1 ν | 0 = E0 | 0 ,
H
2
(1.12)
với:
1
ν.
2
Vậy trị riêng En được xác định:
(1.13)
E0 =
1
En = (n + ) ν.
2
(1.14)
ˆ | n = ν(ˆ
Từ phương trình (1.5) là H
a†aˆ + 12 ) | n = En | n , (1.10)
ta thu được :
aˆ† ˆa | n = n | n
nghĩa là trạng thái | n cũng là một trạng thái riêng của toán tử số hạt
(1.15)
n
ˆ = aˆ†aˆ
αn trong phương trình (1.7)| n − 1 =
nghĩa:
n−1|n−1 =
1
| αn |
2
ˆ
a
| n bây giờ có thể được định
αn
n | aˆ† ˆa | n =
15
n
| αn |2
n|n
=
n
=1
| αn |2
(1.16)
Nếu cho pha của hằng số chuẩn hoá αn bằng không thì αn =
√
n.
Phương trình (1.7) giờ trở thành :
aˆ | n =
√
(1.17)
n |n−1
Ta có thể tiến hành tương tự với toán tử aˆ†.
1
ˆ | n = ν(ˆ
H
aaˆ† − ) | n = En | n
2
Nếu chúng ta tác dụng toán tử aˆ† từ bên trái, sau khi sử dụng mối
quan hệ tương ứng [ˆ
a, aˆ†] = 1 và một số biến đổi, ta thu được:
ˆ a | n = (En + ν)ˆ
Hˆ
a|n
ˆ | n + 1 = En+1 | n + 1 ;
H
(a)
aˆ | n = βn | n + 1
Từ kết quả này ta thấy rằng ˆa† | n hàm riêng ứng với trị riêng (En + ν):
aˆ† | n = βn | n + 1
En+1 = En + ν
Với βn là một lượng không đổi cũng được xác định từ điều kiện chuẩn
hóa;
n+1|n+1 =1
Trạng thái | 0 ứng với năng lượng nhỏ nhất E0 ứng với n = 0 từ phương
trình trị riêng ta có
ˆ | 0 = 1 ν | 0 = E0 | 0
H
2
Vậy ta có
E0 =
1
ν.
2
16
Suy ra
1
En = (n + ) ν.
2
Với trạng thái | n + 1 =
aˆ†
| n , từ điều kiện chuẩn hóa, ta có:
βn
n+1|n+1 =
1
n+1
†
n
|
a
ˆ
a
ˆ
|
n
=
n|n
| βn |2
| βn |2
=
Phương trình thu được là :
n+1
= 1.
| βn |2
aˆ† | n =
√
n+1|n+1 .
(1.18)
Lặp lại việc sử dụng phương trình này với:
n = 0 thì
ψ1 = √
1
1
ˆa†ψ0 = √ (ˆ
a†)1ψ0 ,
0+1
1!
ψ2 = √
1
1
ˆa†ψ1 = √ (ˆ
a†)2ψ0 ,
1+1
2!
ψ3 = √
1
1
ˆa†ψ2 = √ (ˆ
a†)3ψ0 ,
2+1
3!
...
n=1
n=2
...
n=n
ψn = √
Hay ta có:
1
1
aˆ†ψn−1 = √ (ˆ
a†)n ψ0 .
n+1
n!
(ˆ
a† )n
|n = √ |0 .
n!
17
(1.19)
Điều này rất hữu ích khi dùng để giải thích những giá trị năng lượng
riêng (1.10) ứng với sự hiện diện của n lượng tử hoặc photon có năng
lượng ν. Trạng thái riêng | n được gọi là trạng thái Fock hay trạng
thái số photon. Chúng tạo thành một tập hợp đủ các trạng thái, nghĩa
là:
∞
n=0
| n n |= 1.
(1.20)
Và do đó có thể khai triển bất kỳ một vectơ nào trong hệ cơ sở
này.
1.1.3
Trạng thái kết hợp và toán tử số hạt
Bây giờ ta xét hệ hạt boson có toán tử sinh hạt aˆ† và toán tử hủy
hạt aˆ, n
ˆ=a
ˆ†aˆ có vectơ riêng là trạng thái số hạt trong trạng thái Fock
|n , nghĩa là:
n
ˆ |n = n |n .
(1.21)
Ta có:
aˆ |n =
ˆ† |n =
a
√
√
n |n − 1 ,
(1.22)
n + 1 |n + 1
(1.23)
và các hệ thức giao hoán:
[ˆ
a, aˆ† ] = a
ˆaˆ† − ˆa†aˆ = 1,
(1.24)
[ˆ
a, aˆ] = [ˆ
a† , aˆ†] = 0,
(1.25)
[ˆ
a, n
ˆ ] = aˆ, aˆ†aˆ = aˆ† [ˆ
a, aˆ] + aˆ, aˆ† aˆ = aˆ,
18
(1.26)
n
ˆ , aˆ† = aˆ†aˆ, aˆ† = aˆ† aˆ, aˆ† + aˆ† , aˆ† aˆ = aˆ† .
(1.27)
Ta định nghĩa trạng thái |α như sau:
∞
1
|α = exp − |α|2
2
trong đó:
n=0
αn
√ |n ,
n!
aˆ†n
|n = √ |0 ,
n!
(1.28)
(1.29)
là vectơ trạng thái chứa n hạt boson có toán tử sinh hạt aˆ† và toán tử
hủy hạt aˆ (còn gọi là trạng thái Fock) và |0 là vectơ trạng thái chân
không của hệ hạt. Kết hợp (1.28) với (1.29) ta có:
1
a† |0 .
|α = exp − |α|2 exp αˆ
2
(1.30)
Thật vậy, thay (1.29) vào (1.28) ta thu được:
∞
αn aˆ†n
1 2
√ √ |0
|α = exp (− |α| )
2
n! n!
n=0
∞
1 2
(αˆ
a† )n
= exp (− |α| )
|0
2
n!
n=0
αˆ
a†n (αˆ
1 2
a†n )2
= exp (− |α| ) 1 +
+
+ ... |0
2
1!
2!
1
= exp (− |α|2 ) exp(αˆ
a† )|0 .
2
Theo đó, dễ dàng suy ra được trạng thái |α là trạng thái riêng của toán
tử huỷ hạt boson aˆ với trị riêng α,
aˆ|α = α|α .
Chứng minh (1.31):
19
(1.31)
Từ (1.28) ta có:
1
ˆa |α =ˆ
a exp − |α|2
2
1
= exp − |α|2
2
1
= exp − |α|2
2
1
= exp − |α|2
2
1
=α exp − |α|2
2
∞
n=0
∞
n=0
∞
n=0
∞
αn
√ |n
n!
αn
√ aˆ |n
n!
αn √
√
n |n − 1
n!
ααn−1
(n − 1)!
n=0
∞
|n − 1
αn−1
n=0
(n − 1)!
|n − 1 = α |α .
Vì ˆa không phải là toán tử Hermitic nên α nói chung là một số phức,
α = r exp(iθ) với r, θ là số thực. Lưu ý rằng do
∗
exp (−α aˆ)|0 =
∞
n=0
(−1)n α∗n n
α∗2 2
∗
aˆ |0 = 1 − α ˆa +
ˆ + ... |0 = |0
a
n!
2!
nên biểu thức (1.30) có thể viết dưới dạng:
ˆ a (α) |0 ,
|α = D
(1.32)
ˆ a (α) ≡ exp − 1 |α|2 exp αˆ
a† exp (−α∗ aˆ) ,
D
2
(1.33)
trong đó:
được gọi là toán tử dịch chuyển của ˆa với độ dịch chuyển α. Trạng thái
|α được xác định bởi (1.28), (1.31) hay (1.32) và (1.33) được gọi là trạng
thái kết hợp có tham số kết hợp α = r exp(iθ), trong đó các số thực r và
θ theo thứ tự được gọi là biên độ kết hợp và pha kết hợp.
1.1.4
Các tính chất của trạng thái kết hợp
Để làm sáng tỏ ý nghĩa "kết hợp" của trạng thái |α ta sẽ tìm hiểu
một số tính chất của trạng thái này.
20
a) Số hạt boson trung bình ở trạng thái kết hợp |α
n
ˆ ≡ α|ˆ
n|α = α|ˆ
a† aˆ|α = |α|2.
Lưu ý:
aˆ |α = α |α ⇒ α| aˆ† = α| α∗ .
Xác suất p(n) để tìm n hạt boson ở trạng thái |α chính là phân bố
Poisson
|α|2n exp −|α|2
n
p(n) = n|α α|n =
=
n!
n
exp (− n
ˆ )
.
n!
(1.34)
b) Phương sai của toán tử số hạt trong trạng thái |α
Vn= α |n
ˆ2 | α − α | n
ˆ|α
2
= |α|2.
(1.35)
Đối với trạng thái Fock:
V n = n|ˆ
n2|n − n|ˆ
n|n
2
= 0.
(1.36)
Biểu thức (1.36) và (1.37) cho thấy rằng, trong trạng thái Fock số
hạt có thể đo được một cách chính xác nhưng trong trạng thái |α phép
đo này phải chịu một sai số tỷ lệ với trung bình của số hạt. Với các hệ
có số hạt lớn như hệ photon trong các chùm laser, hệ exciton ở mật độ
cao,... việc xác định chính xác số hạt là không thể làm được. Bù vào đó,
theo nguyên lý bất định, với độ bất định tối thiểu trong trạng thái |α ,
sự thăng giáng theo pha của hệ hạt là rất nhỏ; các hạt trong trạng thái
|α hầu như có cùng một pha, trái ngược với sự hoàn toàn không xác
định về pha của các hạt trong trạng thái Fock. Với ý nghĩa đó |α được
gọi là trạng thái kết hợp.
c) Tập hợp tất cả các trạng thái |α là một tập hợp đủ.
1
π
|α α|d2 α = 1.
21
(1.37)
