Khảo sát các tính chất phi cổ điển của trạng thái hai mode kết hợp SU(1,1) thêm một và bớt một photon lẻ

✣❸■ ❍➴❈ ❍❯➌
❚❘×❮◆● ✣❸■ ❍➴❈ ❙× P❍❸▼

P❍❆◆ ❚❍➚ ❚❹▼
❑❍❷❖ ❙⑩❚ ❈⑩❈ ❚➑◆❍ ❈❍❻❚ P❍■ ❈✃ ✣■➎◆ ❈Õ❆
❚❘❸◆● ❚❍⑩■ ❍❆■ ▼❖❉❊ ❑➌❚ ❍ÑP ❙❯✭✶✱✶✮ ❚❍➊▼ ▼❐❚
❱⑨ ❇❰❚ ▼❐❚ P❍❖❚❖◆ ▲➈
❈❤✉②➯♥ ♥❣➔♥❤✿ ❱❾❚ ▲Þ ▲Þ ❚❍❯❨➌❚ ❱⑨ ❱❾❚ ▲Þ ❚❖⑩◆
▼➣ sè ✿ ✻✵ ✹✹ ✵✶ ✵✸

▲❯❾◆ ❱❿◆ ❚❍❸❈ ❙➒ ❱❾❚ ▲Þ
◆❣÷í✐ ❤÷î♥❣ ❞➝♥ ❦❤♦❛ ❤å❝
P●❙✳❚❙✳ ❚❘×❒◆● ▼■◆❍ ✣Ù❈

❍✉➳✱ ♥➠♠ ✷✵✶✽

✐




ổ ổ tr ự ừ r tổ số
t q ự tr tr tỹ ữủ
ỗ t sỷ ử ữ tứ ữủ ổ ố tr t ý
ởt ổ tr ự

t


P

▲❮■ ❈❷▼ ❒◆
❍♦➔♥ t❤➔♥❤ ❧✉➟♥ ✈➠♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ♥➔②✱ tæ✐ ①✐♥ ❜➔② tä ❧á♥❣ ❜✐➳t
ì♥ s➙✉ s➢❝ ✤➳♥ t❤➛② ❣✐→♦ P●❙✳❚❙ ❚r÷ì♥❣ ▼✐♥❤ ✣ù❝ ✤➣ t➟♥ t➻♥❤ ❤÷î♥❣
❞➝♥ ✈➔ ❣✐ó♣ ✤ï tæ✐ tr♦♥❣ s✉èt q✉→ tr➻♥❤ t❤ü❝ ❤✐➺♥✳
◗✉❛ ✤➙②✱ tæ✐ ①✐♥ ❝❤➙♥ t❤➔♥❤ ❝↔♠ ì♥ q✉þ ❚❤➛②✱ ❈æ ❣✐→♦ tr♦♥❣ ❦❤♦❛
❱➟t ▲þ ✈➔ ♣❤á♥❣ ✣➔♦ t↕♦ ❙❛✉ ✤↕✐ ❤å❝✱ ❚r÷í♥❣ ✣↕✐ ❤å❝ ❙÷ ♣❤↕♠✱ ✣↕✐
❤å❝ ❍✉➳❀ ❝→❝ ❜↕♥ ❤å❝ ✈✐➯♥ ❈❛♦ ❤å❝ ❦❤â❛ ✷✺ ❝ò♥❣ ❣✐❛ ✤➻♥❤✱ ❜↕♥ ❜➧ ✤➣
✤ë♥❣ ✈✐➯♥✱ ❣â♣ þ✱ ❣✐ó♣ ✤ï✱ t↕♦ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❝❤♦ tæ✐ tr♦♥❣ q✉→ tr➻♥❤ ❤å❝ t➟♣
✈➔ t❤ü❝ ❤✐➺♥ ❧✉➟♥ ✈➠♥✳

❍✉➳✱ t❤→♥❣ ✶✵ ♥➠♠ ✷✵✶✽
❚→❝ ❣✐↔ ❧✉➟♥ ✈➠♥

P❤❛♥ ❚❤à ❚➙♠

✐✐✐


▼Ö❈ ▲Ö❈
❚r❛♥❣ ♣❤ö ❜➻❛

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✐

▲í✐ ❝❛♠ ✤♦❛♥

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✐✐

▲í✐ ❝↔♠ ì♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✐✐✐

▼ö❝ ❧ö❝

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✶

❉❛♥❤ s→❝❤ ❤➻♥❤ ✈➩ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✻

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✶✶

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✶✶

✶✳✶✳ ❚r↕♥❣ t❤→✐ ❦➳t ❤ñ♣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✶✶

◆❐■ ❉❯◆●
❈❤÷ì♥❣ ✶✳ ❈❒ ❙Ð ▲Þ ❚❍❯❨➌❚
✶✳✶✳✶✳ ❑❤→✐ ♥✐➺♠

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✶✶

✶✳✶✳✷✳ ❈→❝ t➼♥❤ ❝❤➜t ❝õ❛ tr↕♥❣ t❤→✐ ❦➳t ❤ñ♣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✶✷

✶✳✷✳ ❚r↕♥❣ t❤→✐ ♥➨♥ ❝❤♦ ❤❛✐ t♦→♥ tû ❍❡r♠✐t✐❝

Aˆ

✈➔

ˆ
B

t❤❡♦ t❤ù

tü ❜✐➸✉ ❞✐➵♥ ❝❤♦ ❤❛✐ ✤↕✐ ❧÷ñ♥❣ ✈➟t ❧þ ❆ ✈➔ ❇ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✶✻

✶✳✸✳ ▼ët sè t➼♥❤ ❝❤➜t ♣❤✐ ❝ê ✤✐➸♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✶✼

✶✳✸✳✶✳ ◆➨♥ tê♥❣ ✈➔ ♥➨♥ ❤✐➺✉ ❤❛✐ ♠♦❞❡ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✶✽

✶✳✸✳✷✳ ◆➨♥ ❍✐❧❧❡r② ❜➟❝ ❝❛♦

✷✵

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✶✳✸✳✸✳ ❙ü ✈✐ ♣❤↕♠ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❈❛✉❝❤②✲❙❝❤✇❛r③

✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✷✶

✶✳✸✳✹✳ ❚➼♥❤ ♣❤↔♥ ❦➳t ❝❤ò♠ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✷✷

✶✳✹✳ ▼ët sè t✐➯✉ ❝❤✉➞♥ ✤❛♥ rè✐

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✷✸

✶✳✹✳✶✳ ❚✐➯✉ ❝❤✉➞♥ ✤❛♥ rè✐ ❍✐❧❧❡r②✲❩✉❜❛✐r② ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✷✸

✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✷✺

❈❤÷ì♥❣ ✷✳ ❑❍❷❖ ❙⑩❚ ❈⑩❈ ❚➑◆❍ ❈❍❻❚ ◆➆◆ ❈Õ❆
❚❘❸◆● ❚❍⑩■ ❍❆■ ▼❖❉❊ ❑➌❚ ❍ÑP ❙❯✭✶✱✶✮
❚❍➊▼ ▼❐❚ ❱⑨ ❇❰❚ ▼❐❚ P❍❖❚❖◆ ▲➈

✷✳✶✳ ❚r↕♥❣ t❤→✐ ❤❛✐ ♠♦❞❡ ❦➳t ❤ñ♣ ❙❯✭✶✱✶✮ t❤➯♠ ♠ët ✈➔ ❜ît ♠ët
♣❤♦t♦♥ ❧➫

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✷✺

✷✳✶✳✶✳ ❚r↕♥❣ t❤→✐ ❤❛✐ ♠♦❞❡ ❦➳t ❤ñ♣ ❙❯✭✶✱✶ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✷✺

✶


✷✳✶✳✷✳ ❚r↕♥❣ t❤→✐ ❤❛✐ ♠♦❞❡ ❦➳t ❤ñ♣ ❙❯✭✶✱✶✮ t❤➯♠ ♠ët ✈➔
❜ît ♠ët ♣❤♦t♦♥ ❧➫ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✷✾

✷✳✷✳ ❑❤↔♦ s→t t➼♥❤ ❝❤➜t ♥➨♥ tê♥❣ ❝õ❛ tr↕♥❣ t❤→✐ ❤❛✐ ♠♦❞❡ ❦➳t
❤ñ♣ ❙❯✭✶✱✶✮ t❤➯♠ ♠ët ✈➔ ❜ît ♠ët ♣❤♦t♦♥ ❧➫ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✸✶

✷✳✸✳ ❑❤↔♦ s→t t➼♥❤ ❝❤➜t ♥➨♥ ❤✐➺✉ ❝õ❛ tr↕♥❣ t❤→✐ ❤❛✐ ♠♦❞❡ ❦➳t
❤ñ♣ ❙❯✭✶✱✶✮ t❤➯♠ ♠ët ✈➔ ❜ît ♠ët ♣❤♦t♦♥ ❧➫ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✸✼

✷✳✹✳ ❑❤↔♦ s→t t➼♥❤ ❝❤➜t ♥➨♥ ❍✐❧❧❡r② ❜➟❝ ❝❛♦ ❝õ❛ tr↕♥❣ t❤→✐ ❦➳t
❤ñ♣ ❙❯✭✶✱✶✮ t❤➯♠ ♠ët ✈➔ ❜ît ♠ët ♣❤♦t♦♥ ❧➫ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✹✵

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✺✻

❈❤÷ì♥❣ ✸✳ ❑❍❷❖ ❙⑩❚ ❈⑩❈ ❚➑◆❍ ❈❍❻❚ P❍❷◆ ❑➌❚
❈❍Ò▼✱ ❙Ü ❱■ P❍❸▼ ❇❻❚ ✣➃◆● ❚❍Ù❈ ❈❆❯❈❍❨✲
❙❈❍❲❆❘❩✱ ❚➑◆❍ ❈❍❻❚ ✣❆◆ ❘➮■ ❈Õ❆ ❚❘❸◆●
❚❍⑩■ ❍❆■ ▼❖❉❊ ❑➌❚ ❍ÑP ❙❯✭✶✱✶✮ ❚❍➊▼ ▼❐❚
❱⑨ ❇❰❚ ▼❐❚ P❍❖❚❖◆ ▲➈
✸✳✶✳ ❑❤↔♦ s→t ❝→❝ t➼♥❤ ❝❤➜t ♣❤↔♥ ❦➳t ❝❤ò♠ ❝õ❛ tr↕♥❣ t❤→✐ ❤❛✐
♠♦❞❡ ❦➳t ❤ñ♣ ❙❯✭✶✱✶✮ t❤➯♠ ♠ët ✈➔ ❜ît ♠ët ♣❤♦t♦♥ ❧➫

✳ ✳

✺✻

✸✳✶✳✶✳ ❚r÷í♥❣ ❤ñ♣ tê♥❣ q✉→t ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✺✻

✸✳✶✳✷✳ ❚r÷í♥❣ ❤ñ♣

l = 1✱ p = 1

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✻✵

✸✳✶✳✸✳ ❚r÷í♥❣ ❤ñ♣

l = 2✱ p = 1

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✻✶

✸✳✶✳✹✳ ❚r÷í♥❣ ❤ñ♣

l = 2✱ p = 2

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✻✷

✸✳✶✳✺✳ ❚r÷í♥❣ ❤ñ♣

l = 3✱ p = 1

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✻✸

✸✳✶✳✻✳ ❚r÷í♥❣ ❤ñ♣

l = 3✱ p = 2

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✻✹

✸✳✶✳✼✳ ❚r÷í♥❣ ❤ñ♣

l = 3✱ p = 3

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✻✺

✸✳✶✳✽✳ ❚r÷í♥❣ ❤ñ♣

l = 4✱ p = 1

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✻✻

✸✳✶✳✾✳ ❚r÷í♥❣ ❤ñ♣

l = 4✱ p = 2

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✻✽

✸✳✶✳✶✵✳❚r÷í♥❣ ❤ñ♣

l = 4✱ p = 3

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✻✾

✷


✸✳✷✳ ❑❤↔♦ s→t sü ✈✐ ♣❤↕♠ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❈❛✉❝❤②✲❙❝❤✇❛r③ ❝õ❛
tr↕♥❣ t❤→✐ ❤❛✐ ♠♦❞❡ ❦➳t ❤ñ♣ ❙❯✭✶✱✶✮ t❤➯♠ ♠ët ✈➔ ❜ît ♠ët
♣❤♦t♦♥ ❧➫

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✼✶

✸✳✸✳ ❑❤↔♦ s→t t➼♥❤ ❝❤➜t ✤❛♥ rè✐ ❝õ❛ tr↕♥❣ t❤→✐ ❤❛✐ ♠♦❞❡ ❦➳t ❤ñ♣
❙❯✭✶✱✶✮ t❤➯♠ ♠ët ✈➔ ❜ît ♠ët ♣❤♦t♦♥ ❧➫ ❜➡♥❣ t✐➯✉ ❝❤✉➞♥
✤❛♥ rè✐ ❍✐❧❧❡r②✲❩✉❜❛✐r②

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✼✸

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✼✾

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

P✳✶

❚⑨■ ▲■➏❯ ❚❍❆▼ ❑❍❷❖
P❍Ö ▲Ö❈

✸


❉❆◆❍ ❙⑩❈❍ ❍➐◆❍ ❱➇
❍➻♥❤ ✷✳✶

❍➻♥❤ ✷✳✷

❍➻♥❤ ✷✳✸

❍➻♥❤ ✷✳✹

❍➻♥❤ ✸✳✺

❙ü ♣❤ö t❤✉ë❝ ❝õ❛

✈➔♦ r ✈➔ q = 1, 2, 3 ❝è ✤à♥❤
cos 2(ϕ + φ) = −1✳ ✣÷í♥❣ ❜✐➸✉ ❞✐➵♥ ❝→❝ t❤❛♠ sè
t❤❡♦ t❤ù tü t÷ì♥❣ ù♥❣ ✈î✐ ✤÷í♥❣ ♠➔✉ ✤ä✱ ✤÷í♥❣ ♠➔✉
①❛♥❤✱ ♠➔✉ ✤❡♥✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
❙ü ♣❤ö t❤✉ë❝ ❝õ❛ D ✈➔♦ r ✈➔ q = 1, 2, 3 ❝è ✤à♥❤
cos 2(ϕ + φ) = −1✳ ✣÷í♥❣ ❜✐➸✉ ❞✐➵♥ ❝→❝ t❤❛♠ sè
t❤❡♦ t❤ù tü t÷ì♥❣ ù♥❣ ✈î✐ ✤÷í♥❣ ♠➔✉ ✤ä✱ ✤÷í♥❣ ♠➔✉
①❛♥❤✱ ♠➔✉ ✤❡♥✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
❙ü ♣❤ö t❤✉ë❝ ❝õ❛ H2(φ) ✈➔♦ r ✈➔ q = 1, 2, 3 ❝è
✤à♥❤ cos 2(ϕ + φ) = −1✳ ✣÷í♥❣ ❜✐➸✉ ❞✐➵♥ ❝→❝ t❤❛♠
sè t❤❡♦ t❤ù tü t÷ì♥❣ ù♥❣ ✈î✐ ✤÷í♥❣ ♠➔✉ ✤ä✱ ✤÷í♥❣
♠➔✉ ①❛♥❤✱ ♠➔✉ ✤❡♥✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
❙ü ♣❤ö t❤✉ë❝ ❝õ❛ H3(φ) ✈➔♦ r ✈➔ q = 1, 2, 3 ❝è
✤à♥❤ cos 2(ϕ + φ) = −1✳ ✣÷í♥❣ ❜✐➸✉ ❞✐➵♥ ❝→❝ t❤❛♠
sè t❤❡♦ t❤ù tü t÷ì♥❣ ù♥❣ ✈î✐ ✤÷í♥❣ ♠➔✉ ✤ä✱ ✤÷í♥❣
♠➔✉ ①❛♥❤✱ ♠➔✉ ✤❡♥✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
❙ü ♣❤ö t❤✉ë❝ ❝õ❛ R(1, 1) ✈➔♦ r ✈➔ q = 0, 1, 2 ❝è
✤à♥❤✳ ✣÷í♥❣ ❜✐➸✉ ❞✐➵♥ ❝→❝ t❤❛♠ sè t❤❡♦ t❤ù tü t÷ì♥❣
ù♥❣ ✈î✐ ✤÷í♥❣ ♠➔✉ ✤ä✱ ✤÷í♥❣ ♠➔✉ ①❛♥❤✱ ♠➔✉ ✤❡♥✳
S

✹

✸✻

✹✵

✹✻

✺✺

✻✶


❍➻♥❤ ✸✳✻

❍➻♥❤ ✸✳✼

❍➻♥❤ ✸✳✽

❍➻♥❤ ✸✳✾

❍➻♥❤ ✸✳✶✵

❍➻♥❤ ✸✳✶✶

❍➻♥❤ ✸✳✶✷

❍➻♥❤ ✸✳✶✸

❍➻♥❤ ✸✳✶✹

❙ü ♣❤ö t❤✉ë❝ ❝õ❛ R(2, 1) ✈➔♦ r ✈➔ q = 0, 1, 2 ✳✣÷í♥❣
❜✐➸✉ ❞✐➵♥ ❝→❝ t❤❛♠ sè t❤❡♦ t❤ù tü t÷ì♥❣ ù♥❣ ✈î✐
✤÷í♥❣ ♠➔✉ ✤ä✱ ✤÷í♥❣ ♠➔✉ ①❛♥❤✱ ♠➔✉ ✤❡♥✳ ✳ ✳ ✳ ✳
❙ü ♣❤ö t❤✉ë❝ ❝õ❛ R(2, 2) ✈➔♦ r ✈➔ q = 1, 2, 3 ✳✣÷í♥❣
❜✐➸✉ ❞✐➵♥ ❝→❝ t❤❛♠ sè t❤❡♦ t❤ù tü t÷ì♥❣ ù♥❣ ✈î✐
✤÷í♥❣ ♠➔✉ ✤ä✱ ✤÷í♥❣ ♠➔✉ ①❛♥❤✱ ♠➔✉ ✤❡♥✳ ✳ ✳ ✳ ✳
❙ü ♣❤ö t❤✉ë❝ ❝õ❛ R(3, 1) ✈➔♦ r ✈➔ q = 0, 1, 2, ✳✣÷í♥❣

❜✐➸✉ ❞✐➵♥ ❝→❝ t❤❛♠ sè t❤❡♦ t❤ù tü t÷ì♥❣ ù♥❣ ✈î✐
✤÷í♥❣ ♠➔✉ ✤ä✱ ✤÷í♥❣ ♠➔✉ ①❛♥❤✱ ♠➔✉ ✤❡♥✳ ✳ ✳ ✳ ✳
❙ü ♣❤ö t❤✉ë❝ ❝õ❛ R(3, 2) ✈➔♦ r ✈➔ q = 0, 1, 2 ✳✣÷í♥❣
❜✐➸✉ ❞✐➵♥ ❝→❝ t❤❛♠ sè t❤❡♦ t❤ù tü t÷ì♥❣ ù♥❣ ✈î✐
✤÷í♥❣ ♠➔✉ ✤ä✱ ✤÷í♥❣ ♠➔✉ ①❛♥❤✱ ♠➔✉ ✤❡♥✳ ✳ ✳ ✳ ✳
❙ü ♣❤ö t❤✉ë❝ ❝õ❛ R(3, 3) ✈➔♦ r ✈➔ q = 0, 1, 2 ✳✣÷í♥❣
❜✐➸✉ ❞✐➵♥ ❝→❝ t❤❛♠ sè t❤❡♦ t❤ù tü t÷ì♥❣ ù♥❣ ✈î✐
✤÷í♥❣ ♠➔✉ ✤ä✱ ✤÷í♥❣ ♠➔✉ ①❛♥❤✱ ♠➔✉ ✤❡♥✳ ✳ ✳ ✳ ✳
❙ü ♣❤ö t❤✉ë❝ ❝õ❛ R(4, 1) ✈➔♦ r ✈➔ q = 0, 1, 2 ✳✣÷í♥❣
❜✐➸✉ ❞✐➵♥ ❝→❝ t❤❛♠ sè t❤❡♦ t❤ù tü t÷ì♥❣ ù♥❣ ✈î✐
✤÷í♥❣ ♠➔✉ ✤ä✱ ✤÷í♥❣ ♠➔✉ ①❛♥❤✱ ♠➔✉ ✤❡♥✳ ✳ ✳ ✳ ✳
❙ü ♣❤ö t❤✉ë❝ ❝õ❛ R(4, 2) ✈➔♦ r ✈➔ q = 0, 1, 2✳ ✣÷í♥❣
❜✐➸✉ ❞✐➵♥ ❝→❝ t❤❛♠ sè t❤❡♦ t❤ù tü t÷ì♥❣ ù♥❣ ✈î✐
✤÷í♥❣ ♠➔✉ ✤ä✱ ✤÷í♥❣ ♠➔✉ ①❛♥❤✱ ♠➔✉ ✤❡♥✳ ✳ ✳ ✳ ✳
❙ü ♣❤ö t❤✉ë❝ ❝õ❛ R(4, 3) ✈➔♦ r ✈➔ q = 1, 2, 3✳ ✣÷í♥❣
❜✐➸✉ ❞✐➵♥ ❝→❝ t❤❛♠ sè t❤❡♦ t❤ù tü t÷ì♥❣ ù♥❣ ✈î✐
✤÷í♥❣ ♠➔✉ ✤ä✱ ✤÷í♥❣ ♠➔✉ ①❛♥❤✱ ♠➔✉ ✤❡♥✳ ✳ ✳ ✳ ✳
❙ü ♣❤ö t❤✉ë❝ ❝õ❛ I ✈➔♦ r ✈➔ q = 1, 2, 3✳ ✣÷í♥❣ ❜✐➸✉
❞✐➵♥ ❝→❝ t❤❛♠ sè t❤❡♦ t❤ù tü t÷ì♥❣ ù♥❣ ✈î✐ ✤÷í♥❣
♠➔✉ ✤ä✱ ✤÷í♥❣ ♠➔✉ ①❛♥❤✱ ♠➔✉ ✤❡♥✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✺

✻✷

✻✸

✻✹

✻✺

✻✻

✻✼

✻✾

✼✵

✼✸


❍➻♥❤ ✸✳✶✺

❍➻♥❤ ✸✳✶✻

❙ü ♣❤ö t❤✉ë❝ ❝õ❛ RH ✈➔♦ r ✈➔ q = 1, 3, 5✳ ✣÷í♥❣
❜✐➸✉ ❞✐➵♥ ❝→❝ t❤❛♠ sè t❤❡♦ t❤ù tü t÷ì♥❣ ù♥❣ ✈î✐
✤÷í♥❣ ♠➔✉ ✤ä✱ ✤÷í♥❣ ♠➔✉ ①❛♥❤✱ ♠➔✉ ✤❡♥✳ ✳ ✳ ✳ ✳
❙ü ♣❤ö t❤✉ë❝ ❝õ❛ RH ✈➔♦ r ✈➔ q = 1, 3, 5✳ ✣÷í♥❣
❜✐➸✉ ❞✐➵♥ ❝→❝ t❤❛♠ sè t❤❡♦ t❤ù tü t÷ì♥❣ ù♥❣ ✈î✐
✤÷í♥❣ ♠➔✉ ✤ä✱ ♠➔✉ ①❛♥❤✱ ♠➔✉ ✤❡♥✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✻

✼✺

✼✼


é

ỵ ồ t
ồ ổ t tr tr õ tổ
t ởt rt ữủ q t tr ở số r
ỹ ỷ tổ t tr tổ tr t ờ
ữủ t tr ự ú õ rt ủ ữ t tố
ở tr t t t ố õ tr
t ỡ s ự ử ỹ ữ ỵ tt
t r q ữủ tỷ tổ t ữủ tỷ t ữủ tỷ
ợ t ổ tr t q ồ ổ ợ
ử ổ tr t ỷ ỳ
õ q

[13]

ữ t t

tr t õ t ồ ỹ t ữủ tố t
ỳ ừ t tự t ồ rở sỹ ự
tr t ợ t t tự t sr
õ r tr t ổ ổ t ỗ tớ ữủ
tồ ở r t t ữủ ự t tr t t
ủ õ ữủ t ỗ tứ sỹ ự ừ r

[16]

st ở tỷ ỏ ổ r tr t

t ủ ữ õ sõ õ t t ở ỹ ồ tữỡ tỹ ữ ởt t
ờ ở tr t õ ỏ ữủ rr
r ữ r t tr t t ủ

ợ ữủ r

[18]

rs


[23]

ữ r tự r


t❤→✐ ❦➳t ❤ñ♣ ❧➔ tr↕♥❣ t❤→✐ ù♥❣ ✈î✐ ❣✐→ trà t❤➠♥❣ ❣✐→♥❣ ♥❤ä ♥❤➜t s✉② r❛
tø ❤➺ t❤ù❝ ❜➜t ✤à♥❤ ❍❡✐s❡♥❜❡r❣✳ ❱➔ ①✉➜t ♣❤→t tø ♥❤ú♥❣ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❝õ❛
●❧❛✉❜❡r ✈➔ ❙✉❞❛rs❤❛♥ ✤➣ ❞➝♥ ✤➳♥ sü ①✉➜t ❤✐➺♥ ❝õ❛ ❣✐î✐ ❤↕♥ q✉❛♥❣ ❧÷ñ♥❣
tû✳ ❙❛✉ ✤â ❝→❝ tr↕♥❣ t❤→✐ ♥➨♥ ✤÷ñ❝ ✤÷❛ r❛ ❜ð✐ ❙t♦❧❡r
✤➣ ✤÷ñ❝ ❍♦❧❧❡♥❤♦rst

[15]

[24]

✈➔♦ ✶✾✼✵ ✈➔

✤➦t t➯♥✳ ❚r↕♥❣ t❤→✐ ♥➨♥ ✤➣ ✤÷ñ❝ t❤ü❝ ♥❣❤✐➺♠

❦❤➥♥❣ ✤à♥❤ ✈➔♦ ✶✾✽✼✳ ❚❤❡♦ t❤í✐ ❣✐❛♥ ❝→❝ tr↕♥❣ t❤→✐ ♥➨♥ ✤➣ ✤÷ñ❝ ❝→❝
♥❤➔ ✈➟t ❧➼ ❧➼ t❤✉②➳t ♣❤→t tr✐➸♥ ❦❤æ♥❣ ♥❣ø♥❣ ✈➔ ✤↕t ✤÷ñ❝ t❤➔♥❤ tü✉ ♥❤➜t
✤à♥❤✳ ❚✉② ♥❤✐➯♥✱ tr↕♥❣ t❤→✐ ❙❯✭✶✱✶✮ ✤➣ ✤÷ñ❝ Pr❡❧♦♠♦✈
✶✾✼✷✳ ❑❤✐

q=0

[22] t➻♠ ✤÷ñ❝ ✈➔♦

tr↕♥❣ t❤→✐ ♥➔② trð t❤➔♥❤ tr↕♥❣ t❤→✐ ♥➨♥ ❝❤➙♥ ❦❤æ♥❣ ❤❛✐

♠♦❞❡✳ ❚r♦♥❣ t❤ü❝ ♥❣❤✐➺♠ tr↕♥❣ t❤→✐ ❤❛✐ ♠♦❞❡ ❙❯✭✶✱✶✮ ✤➣ ✤÷ñ❝ t↕♦ r❛
❜ð✐ ❝æ♥❣ ♥❣❤➺ tr↕♥❣ t❤→✐ ❧÷ñ♥❣ tû✳ ❈→❝ t➼♥❤ ❝❤➜t ♣❤✐ ❝ê ✤✐➸♥ ❝õ❛ tr↕♥❣
t❤→✐ ❤❛✐ ♠♦❞❡ ❙❯✭✶✱✶✮ ✤➣ ✤÷ñ❝ ❦❤↔♦ s→t tr♦♥❣ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❝õ❛ ▲➯ ✣➻♥❤
◆❤➙♥

[3]✱

❚r➛♥ ❉✐➺♣ ❚✉➜♥

[8]

♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ tr↕♥❣ t❤→✐ ❤❛✐ ♠♦❞❡ ❦➳t ❤ñ♣

t❤➯♠ ❤❛✐ ♣❤♦tt♦♥ t➼❝❤ ❙❯✭✶✱✶✮ ❝❤➤♥✳ ❈→❝ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❝❤♦ t❤➜② tr↕♥❣ t❤→✐
❤❛✐ ♠♦❞❡ ❦➳t ❤ñ♣ ❙❯✭✶✱✶✮ t❤➯♠ ♠ët ✈➔ ❜ît ♠ët ♣❤♦t♦♥ ❧➫ ❝â t❤➸ ✤÷ñ❝
ù♥❣ ❞ö♥❣ tr♦♥❣ t❤æ♥❣ t✐♥ ✈➔ ♠→② t➼♥❤ ❧÷ñ♥❣ tû✳ ❱î✐ ♠♦♥❣ ♠✉è♥ ❝→❝ t➼♥❤
❝❤➜t ♣❤✐ ❝ê ✤✐➸♥ ❝õ❛ tr↕♥❣ t❤→✐ ❤❛✐ ♠♦❞❡ ❦➳t ❤ñ♣ ❙❯✭✶✱✶✮ s➩ ❣â♣ ♣❤➛♥
❧➔♠ rã ù♥❣ ❞ö♥❣ ❝õ❛ ♥â tr♦♥❣ t❤æ♥❣ t✐♥ ❧÷ñ♥❣ tû✳ ❚ø ♥❤ú♥❣ ❧➼ ❞♦ tr➯♥
tæ✐ q✉②➳t ✤à♥❤ ❝❤å♥ ✤➲ t➔✐✿ ✏❑❤↔♦ s→t ❝→❝ t➼♥❤ ❝❤➜t ♣❤✐ ❝ê ✤✐➸♥ ❝õ❛ tr↕♥❣
t❤→✐ ❤❛✐ ♠♦❞❡ ❦➳t ❤ñ♣ ❙❯✭✶✱✶✮ t❤➯♠ ♠ët ✈➔ ❜ît ♠ët ♣❤♦t♦♥ ❧➫ ✑ ✤➸ ❧➔♠
✤➲ t➔✐ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ❝❤♦ ♠➻♥❤✳

■■✳ ▼ö❝ t✐➯✉ ❝õ❛ ✤➲ t➔✐

▼ö❝ t✐➯✉ ❝õ❛ ✤➲ t➔✐ ❧➔ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❝→❝ t➼♥❤ ❝❤➜t ♥➨♥ tê♥❣ ❤❛✐ ♠♦❞❡✱
♥➨♥ ❤✐➺✉ ❤❛✐ ♠♦❞❡✱ t➼♥❤ ♣❤↔♥ ❦➳t ❝❤ò♠ ❜➟❝ ❝❛♦✱ sü ✈✐ ♣❤↕♠ ❜➜t ✤➥♥❣
t❤ù❝ ❈❛✉❝❤②✲❙❝❤✇❛r③ ✈➔ t➼♥❤ ❝❤➜t ✤❛♥ rè✐ ❝õ❛ tr↕♥❣ t❤→✐ ❤❛✐ ♠♦❞❡ ❦➳t
❤ñ♣ t❤➯♠ ♠ët ✈➔ ❜ît ♠ët ♣❤♦t♦♥ ❧➫✳

✽


P ự
r ổ ờ tổ ự t t
tờ t t ũ sỹ t tự
r t t rố ừ tr t t ủ
t ởt ợt ởt t

ử ự
t ừ t tr ở s
t tự tr t t ủ t
ởt ợt ởt t
st t t tờ r t t
t ũ ừ tr t t ủ t
ởt ợt ởt t
st sỹ t tự r ừ tr
t t ủ t ởt ợt ởt t
st t rố ừ tr t t ủ
t ởt ợt ởt t
ỷ ử tr tt st t t tr
ỗ t

Pữỡ ự
ởt số ữỡ ữủ ú tổ sỷ ử ữ s

Pữỡ ỗ ự ỵ tt t tờ
ủ tự q
ỷ ử tự ỵ tt trữớ ữủ tỷ ữỡ
q ữủ tỷ t t q
t ự



Pữỡ t số sỷ ử tt
ỗ t
Pữỡ s s ự

ố ử
ử ử ử ử t t ữủ

P tr ỵ ồ t ử t ừ t
sỷ ự ừ t ữỡ ự ử
ự ợ t ố ử
P ở ỗ ữỡ
ữỡ ỡ s ỵ tt
ữỡ st t t ừ tr t t
ủ t ởt ợt ởt t
ữỡ st t t t ũ sỹ t
tự r t rố ừ tr t t ủ
t ởt ợt ởt t
P t tr t q t ữủ ừ t

ữỡ
é ị
r ữỡ ú tổ s tr tờ q
tự ỡ tr t t ủ tr t t
ú tổ tr t t ờ ử t ữ t
t tờ r t t
t ũ sỹ t tự r
st t t rố ừ tr t t ủ
t ởt ợt ởt t

r t t ủ

r t t ủ tr t ự ợ tr t ọ
t s r tứ tự t sr ữủ ữ r
r

[18]

rs

[23]

ỵ

|

ợ

ởt số ự

õ tr t ữủ t r t ử t tỷ

()
D

tr t ổ tr t t õ ổ õ t

ữủ t ữủ

|0

ừ trữớ tứ

() |0 ,
| = D
ợ

() = exp
D
a a


= r exp (i)
ủ

a
, a

t tỷ ừ t tỷ

t số t ủ r





a
,

ợ

ữủt ở t

ữủt t tỷ s ừ t s ừ trữớ tứ




❚r↕♥❣ t❤→✐ ❦➳t ❤ñ♣ ❝â t❤➸ ✤÷ñ❝ ❜✐➸✉ ❞✐➵♥

|α = exp αˆ
a† − α ∗ a
ˆ |0 .

✭✶✳✷✮

❚❛ ❝â

|α = D (α) |0
=
n

αˆ
a†
n!

n

1
exp − |α|2 |0
2
n

=
n

ˆ†
αn a
1
√ √ exp − |α|2 |0 ,
2
n! n!

✭✶✳✸✮

n

tr♦♥❣ ✤â

|n =

a
ˆ† )
(√

n!

|0

❧➔ tr↕♥❣ t❤→✐ ❋♦❝❦ ✈➔

❧➔ ✈❡❝tì tr↕♥❣ t❤→✐ ❝❤ù❛ ♥ ❤↕t ❜♦s♦♥ ❤❛② ❝á♥ ❣å✐

|0

❧➔ ✈❡❝tì tr↕♥❣ t❤→✐ ❝❤➙♥ ❦❤æ♥❣ ❝õ❛ ❤➺ ❤↕t✳ ◆➯♥

tr↕♥❣ t❤→✐ ❦➳t ❤ñ♣ ❝â t❤➸ ✤÷ñ❝ ❜✐➸✉ ❞✐➵♥

1
|α = exp − |α|2
2

∞

n=0

αn
√ |n .
n!

✭✶✳✹✮

✶✳✶✳✷✳ ❈→❝ t➼♥❤ ❝❤➜t ❝õ❛ tr↕♥❣ t❤→✐ ❦➳t ❤ñ♣
❚➼♥❤ ❝❤➜t ✶
|α
✿ ❚r↕♥❣ t❤→✐ ❦➳t ❤ñ♣

❝â ♣❤➙♥ ❜è sè ❤↕t t✉➙♥

t❤❡♦ ♣❤➙♥ ❜è P♦✐ss♦♥✱ ♥❣❤➽❛ ❧➔ sè ❤↕t tr✉♥❣ ❜➻♥❤ ❝õ❛ tr↕♥❣ t❤→✐ ❦➳t ❤ñ♣

|α

❝❤➼♥❤ ❜➡♥❣ ❜➻♥❤ ♣❤÷ì♥❣ ❜✐➯♥ ✤ë ❦➳t ❤ñ♣ r✱ ♥❣❤➽❛ ❧➔

n
ˆ = r2.
❚❤➟t ✈➟②

n
ˆ = α |ˆ
n| α = α a
ˆ† a
ˆ α .
◆❣♦➔✐ r❛

a
ˆ |α = α |α ,
α| a
ˆ† = α| α∗ ,
α = r exp (iϕ) .
✶✷

✭✶✳✺✮


❉♦ ✤â

n
ˆ = α|α∗ α|α = |α|2 = r2 .
❳→❝ s✉➜t

p (n)

✤➸ t➻♠ ♥ ❤↕t ❜♦s♦♥ ð tr↕♥❣ t❤→✐

|α

❝❤➼♥❤ ❧➔ ♣❤➙♥ ❜è

P♦✐ss♦♥

p (n) = n| α α| n
|α|2n exp −|α|2
=

n

=

n!
exp (− n
ˆ )
n!

n

❚➼♥❤ ❝❤➜t ✷

✭✶✳✻✮

✿ ❚➟♣ ❤ñ♣ t➜t ❝↔ ❝→❝ tr↕♥❣ t❤→✐

1
π
❚❤➟t ✈➟②

2

e−|α|

❝❤✉②➸♥ s❛♥❣ tå❛ ✤ë ❝ü❝ t❛ ✤÷ñ❝

∞

|α α| d α =

❧➔ ♠ët t➟♣ ❤ñ♣ ✤õ

|α α| d2 α = 1.

|α α| d2 α =

2

|α

∞

n=0
2

αn
√
n!

0

m

m=0

(α∗ )
√
m!

m| d2 α, α = reiϕ

❞♦ ✤â

∞

rn+m ei(n−m)ϕ
√ √
|n m| ,
n!
m!
n,m=0

−r2

rdr

∞

|n

d α = rdrdϕ✱

2π

✭✶✳✼✮

dϕ e
0

2π

ei(n−m)ϕ dϕ = 2πδmn

✈î✐

♥➯♥ s✉② r❛

0
∞
2

|α α| d α = 2π
∞

∞

rdr
n=0

0

|n

=
n=0
∞
❚➼❝❤ ♣❤➙♥ P♦✐s♦♥

I=

2

n| 2π
n!

e−r r2n+1 dr =

0

e−r
∞

2 r 2n

n!

|n n|

2

e−r r2n+1 dr.

0

n!
2 ♥➯♥

|α α| d2 α = π,
❤❛② t❛ ❝â

1
π

∞
2

|α α| d α =

|n n| = 1.
n=0

✶✸


❚➼♥❤ ❝❤➜t ✸

✿ ❈→❝ tr↕♥❣ t❤→✐ ❦➳t ❤ñ♣ t❤ä❛ ♠➣♥ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❝❤✉➞♥ ❤â❛

α|α = 1
t❤➻

✱ ♥❤÷♥❣ ❝❤ó♥❣ ❧↕✐ ❦❤æ♥❣ trü❝ ❣✐❛♦ ✈î✐ ♥❤❛✉✱ ♥❣❤➽❛ ❧➔

α=β

α|β = 0.
❚❤➟t ✈➟② tø ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ tr↕♥❣ t❤→✐ ❦➳t ❤ñ♣

∞

1
α| = exp − |α|2
2
1
|β = exp − |β|2
2

n=0

|α

✱ t❛ ❝â

(α∗ )n
√
n| ,
n!

∞

βm
√ |m ,
m!
m=0

♥➯♥ t❛ ❝â

α|β = exp(− 21 |α|2 ) exp(− 21 |β|2 )

∞ ∞
n=0 m
∞ ∞

= exp(− 21 |α|2 ) exp(− 12 |β|2 )
2

2

= exp(− 21 |α| − 12 |β| )
=

exp(− 21 |α|2

−

∞

n=0 m
n
(α∗ ) β n
n!

n=0
2
1
∗
2 |β| ) exp α β

n

(α∗ ) β m
√ √
n! m!

n|.m

n

(α∗ ) β m
√ √ δnm
n! m!

= exp(− 12 |α|2 − 21 |β|2 + α∗ β) = 0.

❍➺ q✉↔ ❝õ❛ sü ❦❤æ♥❣ trü❝ ❣✐❛♦ ♥❤❛✉ ❧➔ ❜➜t ❦➻ tr↕♥❣ t❤→✐ ❦➳t ❤ñ♣ ♥➔♦
❝ô♥❣ ❝â t❤➸ ❦❤❛✐ tr✐➸♥ t❤❡♦ ❝→❝ tr↕♥❣ t❤→✐ ❦➳t ❤ñ♣ ❦❤→❝✱ ♥❣❤➽❛ ❧➔

|α, =
=

1
π
1
π

|α α|α, d2 α
d2 α |α exp − 12 |α|2 + α, α∗ − 12 |α, |2 .

✭✶✳✽✮

✣✐➲✉ ♥➔② ❝❤♦ t❤➜② r➡♥❣ t➟♣ ❤ñ♣ t➜t ❝↔ ❝→❝ tr↕♥❣ t❤→✐ ❦➳t ❤ñ♣ t↕♦ t❤➔♥❤
❤➺ q✉→ ✤õ✳

❚➼♥❤ ❝❤➜t ✹

✿ ❚r↕♥❣ t❤→✐ ❦➳t ❤ñ♣ ❧➔ tr↕♥❣ t❤→✐ t÷ì♥❣ ù♥❣ ✈î✐ ✤ë

❜➜t ✤à♥❤ ♥❤ä ♥❤➜t✱ ✤÷ñ❝ s✉② r❛ tø ❤➺ t❤ù❝ ❜➜t ✤à♥❤ ❍❡✐s❡♥❜❡r❣✳
✣➸ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ tr↕♥❣ t❤→✐ ❦➳t ❤ñ♣ ❧➔ tr↕♥❣ t❤→✐ ❝â ✤ë ❜➜t ✤à♥❤ ❝ü❝
t✐➸✉✱ ❝❤ó♥❣ tæ✐ ✤÷❛ ✈➔♦ ❤❛✐ ✤↕✐ ❧÷ñ♥❣

X, P

❦❤æ♥❣ t❤ù ♥❣✉②➯♥ ✈➔ ✤÷ñ❝

❜✐➸✉ ❞✐➵♥ t❤æ♥❣ q✉❛ ❤❛✐ t♦→♥ tû t÷ì♥❣ ù♥❣ ❧➔

ˆ
X

♥❤÷ s❛✉

ˆ=
X

mω

xˆ, Pˆ =
✶✹

mω

pˆ,

✈➔

Pˆ

✤÷ñ❝ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛


tr õ ữủ õ tự tữỡ ự ợ tồ ở
ữủ t tỷ


X

P



ữủ tổ q t tỷ

s ừ t ừ trữớ tứ ữợ

x =
t

X

P



i
1
a
+a
, p =
a
a
.
2
2

t tỷ rt ú tữỡ ự ợ

ữủ t ỵ ữủ õ t õ t t ữủ ữỡ s ừ ộ
ữủ
Pữỡ s ừ


X

2
|(X)2 | = X
2

2


X

=

1
4

a
+ a


=

1
4

2 + 2 + 2||2 + 1

Pữỡ s ừ



a
+ a


1

4

2

2 + 2 + 2 = 14 .

1
4

P

|(P )2 | = P 2

P

a

= 14 a

2

+

1
4

2

a
a

= 41 2 + 2 2||2 1 +

1
4

2

2 + 2 2 = 41 .

t õ

|(X)2 |

|(P )2 | =

1
.
16



tr ọ t tữỡ ự ợ tự t sr
tr t t ủ tr t tỹ
ỗ tớ t tỷ


X

P

ợ s số ọ t

tự ồ ợ ữủ tỷ ụ
t t q trồ t ừ tr t t ủ




r t t tỷ rt A
B t tự tỹ ữủ t
ỵ
ỡ ồ ữủ tỷ ữủ t ỵ ổ
ữủ ỗ tớ t t t ồ t tỷ


A B

ụ ổ

ợ tỷ

B]
= AB
B
A = C = 0
[A,

ợ trữớ ủ t õ ữủ tự t tr tr t ữủ
tỷ t ý

|

ừ

V AV B

1
[A, B]
4

2

0,



tr õ ữủ trữ ự ở t ừ tr ữủ
q tr tr ữủ tỷ
ữỡ s

V A

A

ừ ữỡ ồ ữỡ s

ữủ ữ s

V A (A A )2 = A2 A 2 .
t ử t õ


A = X



= P
B



t t ữủ

i
P = 1 a
C = X,
+ a
, a
a

2
2

i

= .
2

ợ tr t t õ


VX

1
1
V P = (2n + 1)2
=
16
16

C
4

2

.



ố ợ tr t t ủ t õ




VX

V P


=

1
=
16

C
4

2

.




r tr t ú t õ t ởt ữủ õ ợ
ở tt ố ữ ổ tự t sr
t s số ữủ ổ ũ t tr t
t t tr t ổ tọ tự t sr
ỏ ố ợ tr t t ủ t ổ r
tr t t ủ tr t õ ở t tố t

õ ợ tr t ữủ tỷ tổ tữớ ữỡ s
ỗ tớ ợ ỡ ợ ữủ tỷ

|

C
2

|

VB

V A,



õ õ

ởt tr t õ ởt t ữủ tỷ ọ ỡ ợ ữủ tỷ
t tr t õ ữủ ồ tr t
ỡ ợ ữủ tỷ ụ


VB




V A V B
V A ợ ỡ

ợ õ s ỵ t ổ t ồ tr
t ố ợ tr t r trữớ ủ t
tr t ừ tọ

= |
V A = V B

C
2

|

t ữủ ồ tr t ỵ tữ

ởt số t t ờ
ởt tr t ữủ ồ ờ tr t t
t t t t ũ sỹ t tự
r ởt tr t t õ t t t
ờ ự ở õ t õ õ ởt tr t t
tr ữ ụ õ t t ừ t t r ở
ự ừ ú tổ t trữớ ủ
ữủ ữ r r

[19]

ữủ ồ tờ

✶✳✸✳✶✳ ◆➨♥ tê♥❣ ✈➔ ♥➨♥ ❤✐➺✉ ❤❛✐ ♠♦❞❡
✶✳✸✳✶✳✶ ◆➨♥ tê♥❣ ❤❛✐ ♠♦❞❡

◆➨♥ tê♥❣ ✤÷ñ❝ ❍✐❧❧❡r②
♣❤♦t♦♥✱ ♠ët ❝â t➛♥ sè ❣â❝

ωa

[19]

✤÷❛ r❛ ✈➔♦ ♥➠♠ ✶✾✽✾✳ ❳➨t ❤❛✐

✈➔ ♠ët ♣❤♦t♦♥ ❝â t➛♥ sè ❣â❝

❦➳t ❤ñ♣ t❤➔♥❤ ♠ët ♣❤♦t♦♥ ❝â t➛♥ sè

ω c = ω a + ωb ✳

ωb (ωa = ωb )✱

❚♦→♥ tû ♥➨♥ tê♥❣

✤÷ñ❝ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ♥❤÷ s❛✉

1 iφ †ˆ†
ˆˆb ;
Vˆφ =

e a
ˆ b + e−iφ a
2
π
1 i(φ+ π ) †ˆ†
2 a
Vˆ(φ+ π2 ) =
e
ˆ b + e−i(φ+ 2) a
ˆˆb ,
2

✭✶✳✶✺✮

a
ˆ† ✈➔ a
ˆ t÷ì♥❣ ù♥❣ ❧➔ t♦→♥ tû s✐♥❤ ❤õ② ♣❤♦t♦♥ ❝õ❛ ♠♦❞❡ t❤ù
♥❤➜t✱ ˆ
b† ✈➔ ˆb ❧➔ t♦→♥ tû s✐♥❤ ❤õ② ❝õ❛ ♠♦❞❡ t❤ù ❤❛✐✳ ❈→❝ t♦→♥ tû ♥➔② t❤ä❛
tr♦♥❣ ✤â

♠➣♥ ❤➺ t❤ù❝ ❣✐❛♦ ❤♦→♥
π
1 i(φ+ π ) †ˆ†
2 a
e
ˆ b + e−i(φ+ 2) a
Vˆ(φ+ π2 ) =
ˆˆb ,
2

tr♦♥❣ ✤â

n
ˆa = a
ˆ† a
ˆ✱ n
ˆ b = ˆb†ˆb

✭✶✳✶✻✮

❧➛♥ ❧÷ñt ❧➔ t♦→♥ tû sè ❤↕t ❝õ❛ ♠♦❞❡ ❛ ✈➔

♠♦❞❡ ❜✳
❚❤➟t ✈➟②

Vˆφ , Vˆ(φ+ π2 ) = Vˆφ Vˆ(φ+ π2 ) − Vˆ(φ+ π2 ) Vˆφ
π
π
1
= (eiφ a
ˆ†ˆb† + e−iφ a
ˆˆb) ei(φ+ 2 ) a
ˆ†ˆb† + e−i(φ+ 2 ) a
ˆˆb
4
π
1 i(φ+ π ) †ˆ†
2 a
−

e
ˆ b + e−i(φ+ 2 ) a
ˆˆb (eiφ a
ˆ†ˆb† + e−iφ a
ˆˆb)
4
π
π
π
π
1
=
(e−i 2 − ei 2 )ˆ
a†ˆb† a
ˆˆb + (ei 2 − e−i 2 )ˆ
aˆbˆ
a†ˆb†
4
1
i
=
−2iˆ
a†ˆb† a
ˆˆb + 2i(ˆ
a† a
ˆ + 1)(ˆb†ˆb + 1) = (ˆ
na + n
ˆ b + 1) .
4
2

❍➺ t❤ù❝ ❜➜t ✤à♥❤ ❝❤♦ ❤❛✐ t♦→♥ tû

∆Vˆφ

✈➔

∆Vˆ(φ+ π )

❧➔✱

2

1
∆Vˆφ ∆Vˆ(φ+ π2 ) ≥ n
ˆa + n
ˆb + 1 .
4
✶✽

✭✶✳✶✼✮


▼ët tr↕♥❣ t❤→✐ ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ♥➨♥ tê♥❣ ❤❛✐ ♠♦❞❡ ♥➳✉ tr✉♥❣ ❜➻♥❤ tr↕♥❣ t❤→✐
♥➔② t❤ä❛ ♠➣♥ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ s❛✉

2

(∆Vˆφ )
✈î✐ ♠å✐ ❣✐→ trà ❝õ❛

<

1
n
ˆa + n
ˆb + 1 ,
4
2

φ ✈➔ tr♦♥❣ ✤â (∆Vˆφ )

✭✶✳✶✽✮

= Vˆφ2 − Vˆφ

2
✳ ✣➙② ❝❤➼♥❤

❧➔ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ✤➸ ❝❤ó♥❣ tæ✐ ❦❤↔♦ s→t t➼♥❤ ❝❤➜t ♥➨♥ tê♥❣ ❤❛✐ ♠♦❞❡ ❝õ❛ tr↕♥❣
t❤→✐

SU (1, 1)

❧➫ tr♦♥❣ ♣❤➛♥ s❛✉✳

✶✳✸✳✶✳✷ ◆➨♥ ❤✐➺✉ ❤❛✐ ♠♦❞❡

◆➨♥ ❤✐➺✉ ✤÷ñ❝ ❍✐❧❧❡r②
♣❤♦t♦♥✱ ♠ët ❝â t➛♥ sè ❣â❝

ωa

[19]

✤÷❛ r❛ ✈➔♦ ♥➠♠ ✶✾✽✾✳ ❳➨t ❤❛✐

✈➔ ♠ët ♣❤♦t♦♥ ❝â t➛♥ sè ❣â❝

t÷ì♥❣ t→❝ ✈î✐ ♥❤❛✉ s✐♥❤ r❛ ♣❤♦t♦♥ ❝â t➛♥ sè ❤✐➺✉
r➡♥❣

ωa > ωb ✳

ωb (ωa = ωb )✱

ωc = ωa − ω b ✳

●✐↔ sû

❚♦→♥ tû ♥➨♥ ❤✐➺✉ ✤÷ñ❝ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ♥❤÷ s❛✉

ˆ φ = 1 eiφ a
W
ˆˆb† + e−iφ a
ˆ†ˆb ;
2
ˆb† + e−i(φ+ 2)π a
ˆ (φ+ π ) = 1 ei(φ+ π2 ) a
ˆ

ˆ†ˆb ,
W
2
2

✭✶✳✶✾✮

✭✶✳✷✵✮

❝→❝ t♦→♥ tû ♥➔② t❤ä❛ ♠➣♥ ❤➺ t❤ù❝ ❣✐❛♦ ❤♦→♥

tr♦♥❣ ✤â

ˆ φ, W
ˆ (φ+ π ) = i (ˆ
W
na − n
ˆ b ),
2
2
n
ˆa = a
ˆ† a
ˆ✱ n
ˆ b = ˆb†ˆb ❧➛♥ ❧÷ñt ❧➔ t♦→♥ tû sè

✭✶✳✷✶✮
❤↕t ❝õ❛ ♠♦❞❡ ❛ ✈➔

♠♦❞❡ ❜✳

❚❤➟t ✈➟②✱

ˆ φ, W
ˆ
ˆ ˆ
ˆ
ˆ
W
(φ+ π ) = Wφ W(φ+ π ) − W(φ+ π ) Wφ
2

2

2

π
π
1
ˆˆb† + e−iφ a
ˆ†ˆb) ei(φ+ 2 ) a
ˆˆb† + e−i(φ+ 2 ) a
ˆ†ˆb
= (eiφ a
4
π
1 i(φ+ π ) ˆ†
2 a
−
ˆb + e−i(φ+ 2 ) a
ˆ†ˆb (eiφ a

ˆˆb† + e−iφ a
ˆ†ˆb)
e
4
π
π
π
π
1
(e−i 2 − ei 2 )ˆ
aˆb† a
ˆ†ˆb + (ei 2 − e−i 2 )ˆ
a†ˆbˆ
aˆb†
=
4
1
i
=
−2iˆ
aˆb† a
ˆ†ˆb + 2iˆ
a†ˆbˆ
aˆb† = (ˆ
na − n
ˆ b ).
4
2
✶✾

❍➺ t❤ù❝ ❜➜t ✤à♥❤ ❝❤♦ ❤❛✐ t♦→♥ tû

ˆφ
W

✈➔

ˆ
∆W
(φ+ π )

❧➔

2

ˆ φ ∆W
ˆ (φ+ π ) ≥ 1 n
∆W
ˆa − n
ˆb .
2
4

✭✶✳✷✷✮

▼ët tr↕♥❣ t❤→✐ ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ♥➨♥ ❤✐➺✉ ❤❛✐ ♠♦❞❡ ♥➳✉ tr✉♥❣ ❜➻♥❤ tr↕♥❣ t❤→✐
♥➔② t❤ä❛ ♠➣♥ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ s❛✉

1

n
ˆa − n
ˆb ,
4

(∆Wφ )2 <
✈î✐ ♠å✐ ❣✐→ trà ❝õ❛

φ

(∆Wφ )2

✈➔ tr♦♥❣ ✤â

✭✶✳✷✸✮

ˆφ
ˆ2 − W
W
φ

=

2
✳ ✣➙②

❝ô♥❣ ❝❤➼♥❤ ❧➔ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ♠➔ ❝❤ó♥❣ tæ✐ sû ❞ö♥❣ ✤➸ ❦❤↔♦ s→t t➼♥❤ ❝❤➜t ♥➨♥
❤✐➺✉ ❤❛✐ ♠♦❞❡ ❝õ❛ tr↕♥❣ t❤→✐ ❤❛✐ ♠♦❞❡

SU (1, 1)

❧➫✳

✶✳✸✳✷✳ ◆➨♥ ❍✐❧❧❡r② ❜➟❝ ❝❛♦
❱➔♦ ♥➠♠ ✶✾✽✺✱ ❍♦♥❣ ✈➔ ▼❛♥❞❡❧ ✤➣ ✤÷❛ r❛ ❝→❝ tr↕♥❣ t❤→✐ ♥➨♥ ✤ì♥
♠♦❞❡ ❜➟❝ ❝❛♦ ❣å✐ ❧➔ ♥➨♥ ❍♦♥❣✲▼❛♥❞❡❧✳ ▼ët ❦✐➸✉ ♥➨♥ ✤ì♥ ♠♦❞❡ ❦❤→❝
❝ô♥❣ ✤÷ñ❝ ❍✐❧❧❡r② ✤÷❛ r❛ ✈❛á ♥➠♠ ✶✾✽✼ ✭❜➟❝ ❤❛✐✮ ✈➔ s❛✉ ✤â ❜➟❝ ❜❛✱ ❜➟❝
❦ ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❝❤✉♥❣ ❧➔ ♥➨♥ ❍✐❧❧❡r②✳
❚♦→♥ tû ❜✐➯♥ ✤ë ❧ô② t❤ø❛ ❦ ✤÷ñ❝ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ♥❤÷ s❛✉

ˆ a,k (φ) = 1 e−iφ a
X
ˆk + eiφ a
ˆ†k ,
2

●✐❛♦ ❣✐ú❛

ˆ a,k (φ + π ) =
X
2
ˆ a,k (φ) ✈➔
t♦→♥ tû X

π
1 −i(φ+ π ) k
2 a
e
ˆ + ei(φ+ 2 ) a
ˆ†k .

2
ˆ a,k (φ + π ) ❧➔
X

2

ˆ a,k (φ), X
ˆ a,k (φ + π ) = i Fˆa (k),
X
2
2
❱î✐

k

Fˆa (k) = a
ˆ ,a
ˆ
k

†k

✭✶✳✷✹✮

=
q=1

k!k 4
a
ˆ†(k−q) a

ˆ(k−q) ,
(k − q)!q!

✷✵

✭✶✳✷✺✮

✭✶✳✷✻✮


tr õ
ứ

k q = k(k 1)(k 2)...(k q + 1).

(1.25)

rút r ữủ tự t ố ợ ữỡ s

2

1
Fa,k (k) .
V Xa,k ().V Xa,k ( + )
2
16
õ ở ụ tứ r t ữỡ

1
Fa (k) .

4

V Xa,k () <









ỹ t tự r
t t tố ừ ữủ trữ

Gxy = Gyx

x y yx
=
.
x x y y



ố ợ trữớ ờ t t tự r õ

Gxx Gyy G2xy 0,


x2 x2

Gxx Gyy =
Gyy =

x x
y2 y2
y y

2

2



,



.



t tự r õ t t ữ s

I=

x2 x2 y2 y2
| x y yx |

1

2

1 0.



ữ ố ợ ú t õ t t ố q
ỳ ỳ õ tỗ t ố q ữủ tỷ
tr t ự ợ tr t ờ t
t tự r



I < 0


t ũ
t ũ ỏ õ t ủ ú t õ
t r t t ũ t ở
ú ổ t t ủ ợ t t ũ
t t tố sPss tr t õ ố số t
ụ t t tố õ ố
st tữỡ ự ợ tr t õ ổ ũ ủ
ợ ỵ tt ờ õ tr t ổ ỏ ờ
ỳ ờ t t t t ũ
ởt t t ổ ợ t ờ

t ũ
ồ

n
a = a
a
, n
b = bb

t tỷ số t ự ợ

tr trữớ ự õ

(m1)

n
(l+1)
n
b
a
1
2

(l+1)

+ n
a(m1) n
b

(m)

n
(l)

b
a n

(l)

n
(m)
b
a n

d2 d2
P (, )
2



ì ||2l+2 ||2m2 ||2l+2 ||2l ||2m ||2m ||2l .
sỹ tỗ t t t ũ tr t
tr trữớ ủ ự t q t số

(l+1) (m1)
n
b

n
a
R(l, m) =

(l) (m)

n
a n
b

R(l, m)

(m1) (l+1)
n
b

1
2

d2 d2
2 P (, )

+ n
a

(m) (l)

1 < 0.



+ n
a n
b

ữ ởt tr t t ý t t t ũ t

số

R(l, m) < 0

t số

R(l, m)

t t t ũ

ừ tr t t t t t t ũ