Khảo sát các tính chất phi cổ điển của trạng thái hai mode kết hợp SU(1,1) thêm một và bớt một photon

ĐẠI HỌC HUẾ
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

NGUYỄN TIẾN VŨ

KHẢO SÁT CÁC TÍNH CHẤT PHI CỔ ĐIỂN CỦA
TRẠNG THÁI HAI MODE KẾT HỢP SU(1,1)
THÊM MỘT VÀ BỚT MỘT PHOTON

Chuyên ngành: VẬT LÝ LÝ THUYẾT VÀ VẬT LÝ TOÁN
Mã số

: 8 44 01 03

LUẬN VĂN THẠC SĨ VẬT LÝ

Người hướng dẫn khoa học
PGS.TS. TRƯƠNG MINH ĐỨC

Huế, năm 2018

i


LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, các số
liệu và kết quả nghiên cứu ghi trong luận văn là trung thực, được các
đồng tác giả cho phép sử dụng và chưa từng được công bố trong bất kỳ
một công trình nghiên cứu nào khác.
Huế, tháng 9 năm 2018

Tác giả luận văn

Nguyễn Tiến Vũ

ii


LỜI CẢM ƠN

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc đến thầy
giáo PGS.TS. Trương Minh Đức đã tận tình giúp đỡ, hướng dẫn tôi
trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu và thực hiện luận văn.
Tôi xin chân thành cảm ơn các Thầy Cô trong khoa Vật lý, phòng
Đào tạo sau Đại học và các Thầy giáo của Đại học Huế đã tận tình giảng
dạy, giúp đỡ tôi trong quá trình học tập tại trường Đại học Sư phạm,
Đại học Huế.
Tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến gia đình cùng bạn bè, các anh
chị học viên cao học khóa 25 - Trường Đại học Sư phạm Huế, đã luôn
động viên, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và thực hiện đề tài.
Huế, tháng 9 năm 2018
Tác giả luận văn

Nguyễn Tiến Vũ

iii


MỤC LỤC

Trang phụ bìa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

i

Lời cam đoan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ii

Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

iii

Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

Danh sách hình vẽ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

NỘI DUNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

Chương 1. CƠ SỞ LÝ THUYẾT . . . . . . . . . . . . . .

10

1.1. Trạng thái kết hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

1.1.1. Khái niệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

1.1.2. Các tính chất của trạng thái kết hợp . . . . . . . . .

13

1.2. Trạng thái nén . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

1.3. Một số tính chất phi cổ điển . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

1.3.1. Nén tổng hai mode . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

1.3.2. Nén hiệu hai mode . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

1.3.3. Nén Hillery bậc cao . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

1.3.4. Tính phản kết chùm . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

1.3.5. Sự vi phạm bất đẳng thức Cauchy-Schwarz . . . . .

23

1.4. Tiêu chuẩn đan rối Hillery-Zubairy . . . . . . . . . . . . .

24

Chương 2. KHẢO SÁT CÁC TÍNH CHẤT NÉN CỦA
TRẠNG THÁI KẾT HỢP HAI MODE SU (1, 1) THÊM
MỘT VÀ BỚT MỘT PHOTON . . . . . . . . . . . .

26

2.1. Trạng thái hai mode kết hợp SU(1,1) thêm một và bớt một
photon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26

2.1.1. Trạng thái hai mode kết hợp SU (1, 1) . . . . . . . .

26

1


2.1.2. Trạng thái hai mode kết hợp SU(1,1) thêm một và

bớt một photon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

30

2.2. Khảo sát tính chất nén tổng của trạng thái hai mode kết
hợp SU(1,1) thêm một và bớt một photon . . . . . . . . .

31

2.3. Khảo sát tính chất nén hiệu của trạng thái hai mode kết
hợp SU(1,1) thêm một và bớt một photon . . . . . . . . .

38

2.4. Khảo sát tính chất nén Hillery bậc cao của trạng thái kết
hợp SU(1,1) thêm một và bớt một photon . . . . . . . . .
Chương 3.

42

KHẢO SÁT TÍNH CHẤT PHẢN KẾT

CHÙM, SỰ VI PHẠM BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHYSCHWARZ VÀ TÍNH CHẤT ĐAN RỐI THEO
TIÊU CHUẨN HILLERY-ZUBAIRY CỦA TRẠNG
THÁI HAI MODE KẾT HỢP SU (1, 1) THÊM MỘT
VÀ BỚT MỘT PHOTON . . . . . . . . . . . . . . . .

50

3.1. Khảo sát các tính chất phản kết chùm của trạng thái hai

mode kết hợp SU(1,1) thêm một và bớt một photon . . . .

50

3.1.1. Trường hợp l = 1, p = 1 . . . . . . . . . . . . . . . .

53

3.1.2. Trường hợp l = 2, p = 1 . . . . . . . . . . . . . . . .

54

3.1.3. Trường hợp l = 3, p = 1 . . . . . . . . . . . . . . . .

55

3.1.4. Trường hợp l = 3, p = 2 . . . . . . . . . . . . . . . .

57

3.1.5. Trường hợp l = 4, p = 2 . . . . . . . . . . . . . . . .

58

3.1.6. Trường hợp l = 4, p = 3 . . . . . . . . . . . . . . . .

59

3.2. Khảo sát sự vi phạm bất đẳng thức Cauchy-Schwarz của
trạng thái hai mode kết hợp SU (1, 1) thêm một và bớt một

photon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

61


3.3. Khảo sát tính chất đan rối của trạng thái hai mode kết hợp
SU (1, 1) thêm một và bớt một photon theo tiêu chuẩn đan
rối Hillery-Zubairy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

63

3.3.1. Trường hợp m = n chẵn . . . . . . . . . . . . . . . .

64

3.3.2. Trường hợp m = n lẻ . . . . . . . . . . . . . . . . .

66

TÀI LIỆU THAM KHẢO

. . . . . . . . . . . . . .

71

PHỤ LỤC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . P.1

3

DANH SÁCH HÌNH VẼ
Hình 2.1

Sự phụ thuộc của S vào r và q = 1, 2, 3 cố định
cos 2(ϕ + φ) = −1. Đường biểu diễn các tham số
theo thứ tự tương ứng với đường màu đỏ, đường màu
xanh, màu đen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Hình 2.2

37

Sự phụ thuộc của D vào r và q = 1, 2, 3 cố định
cos(ϕ) = −1. Đường biểu diễn các tham số theo thứ
tự tương ứng với đường màu đỏ, đường màu xanh,
màu đen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Hình 2.3

42

Sự phụ thuộc của H vào r và q = 1, 2, 3 cố định.
Đường biểu diễn các tham số theo thứ tự tương ứng
với đường màu đỏ, đường màu xanh, màu đen. . .

Hình 3.4

49

Sự phụ thuộc của R(1,1) vào r và q = 1, 5, 9 cố định.
Đường biểu diễn các tham số theo thứ tự tương ứng
với đường màu đỏ, đường màu xanh, màu đen. . .

Hình 3.5

54

Sự phụ thuộc của R(2,1) vào r và q = 0, 1, 2 . Đường
biểu diễn các tham số theo thứ tự tương ứng với
đường màu đỏ, đường màu xanh, màu đen. . . . .

Hình 3.6

55

Sự phụ thuộc của R(3,1) vào r và q = 0, 1, 2, .
Đường biểu diễn các tham số theo thứ tự tương ứng
với đường màu đỏ, đường màu xanh, màu đen. . .

4

56


Hình 3.7

Sự phụ thuộc của R(3,2) vào r và q = 0, 1, 2 . Đường
biểu diễn các tham số theo thứ tự tương ứng với

đường màu đỏ, đường màu xanh, màu đen. . . . .

Hình 3.8

58

Sự phụ thuộc của R(4,2) vào r và q = 0, 1, 2 . Đường
biểu diễn các tham số theo thứ tự tương ứng với
đường màu đỏ, đường màu xanh, màu đen. . . . .

Hình 3.9

59

Sự phụ thuộc của R(4,3) vào r và q = 1, 2, 3 . Đường
biểu diễn các tham số theo thứ tự tương ứng với
đường màu đỏ, đường màu xanh, màu đen. . . . .

60

Hình 3.10 Sự phụ thuộc của I vào r và q = 1, 2, 3 . Đường biểu
diễn các tham số theo thứ tự tương ứng với đường
màu đỏ, đường màu xanh, màu đen. . . . . . . . .

63

Hình 3.11 Sự phụ thuộc của RH vào r và q = 1, 3, 5 . Đường
biểu diễn các tham số theo thứ tự tương ứng với
đường màu đỏ, đường màu xanh, màu đen. . . . .

66

Hình 3.12 Sự phụ thuộc của RH vào r và q = 1, 3, 5 . Đường
biểu diễn các tham số theo thứ tự tương ứng với
đường màu đỏ, màu xanh, màu đen. . . . . . . . .

5

69


MỞ ĐẦU
I. Lý do chọn đề tài
Công nghệ thông tin ngày càng trở nên quan trọng và có ý nghĩa
to lớn đối với đời sống con người. Sự phát triển không ngừng của khoa
học công nghệ, các nhà khoa học nghiên cứu trong lĩnh vực quang lượng
tử đã và đang tiếp cận với giới hạn quang lượng tử chuẩn hay còn gọi là
giới hạn đóng góp của tạp âm cùng với sự phát triển vượt bậc của công
nghệ truyền tin quang học đã giúp con người có thể truyền tín hiệu đi
một cách chính xác, hiệu quả. Nhưng con người vẫn chưa muốn dừng lại
ở đó mà mong muốn vươn tới giảm tối đa hơn nữa các tạp âm hay các
thăng giáng lượng tử trong quá trình truyền tin quang học. Vì lí do này
mà các nhà khoa học đã tìm các phương pháp tạo ra các trạng thái vật
lý mà ở đó các thăng giáng lượng tử được hạn chế đến mức tối đa có thể
và sau đó áp dụng vào thực nghiệm để chế tạo các dụng cụ quang học
đảm bảo tính lọc lựa và độ chính xác cao. Khái niệm về quá trình viễn
tải lượng tử lần đầu tiên được đưa ra vào năm 1993 do Bennett. Từ đó
đến nay, có rất nhiều mô hình viễn tải lượng tử được đề xuất và gần đây
có một mô hình viễn tải sử dụng trạng thái phi cổ điển hai mode kết
hợp cặp đã được đưa ra. Trong quá trình viễn tải lượng tử, nguồn tài

nguyên đan rối dùng cho việc viễn tải là một phần không thể thiếu và
mức độ đan rối của nguồn tài nguyên này ảnh hưởng đến mức độ thành
công của quá trình viễn tải lượng tử. Vì vậy, việc tìm kiếm các nguồn
tài nguyên đa rối là các trạng thái phi cổ điển có mức độ đan rối mạnh
để thực hiện quá trình viễn tải với độ trung thực cao có ý nghĩa rất lớn
trong lĩnh vực thông tin lượng tử và máy tính lượng tử. Vào những năm
60 của thế kỷ XX, Glauber [11] và Saudarshan [20] đã đưa ra khái niệm
6


về trạng thái kết hợp vào năm 1963. Đây là trạng thái ứng với giá trị
thăng giáng nhỏ nhất được suy ra từ hệ thức bất định Heisenberg. Sau
đó khái niệm trạng thái nén được đưa ra bởi Stoler [21] vào năm 1970 và
được Hollenhorst [13] đặt tên. Việt tạo ra các trạng thái phi cổ điển của
trường điện từ đang được các nhà khoa học tiếp tục nghiên cứu. Điển
hình là các trạng thái nén, đây là các trạng thái phi cổ điển vì chúng
tuân theo các tính chất phi cổ điển như tính antibunching tính phản kết
chùm. Nén đơn mode bậc cao đã được đưa ra bởi Hong và Mandel [14].
Trạng thái nén đa mode bậc cao đã được Hillery [12] đưa ra vào năm
1989. Trạng thái SU(1,1) đã được Perelomov [19] tìm ra vào năm 1972.
Khi q=0 trạng thái này trở thành trạng thái nén chân không hai mode
[2]. Như vậy có thể nói trạng thái hai mode SU(1,1) là sự mở rộng của
trạng thái nén chân không hai mode [3]. Trong thực nghiệm, trạng thái
hai mode SU(1,1) đã được tạo ra bởi công nghệ trạng thái lượng tử. Các
tính chất phi cổ điển của trạng thái hai mode SU(1,1) đã được khảo sát
trong nghiên cứu của Lê Đình Nhân [2]. Các nghiên cứu đã cho thấy
trạng thái hai mode SU(1,1) thêm/bớt photon có thể được ứng dụng
trong thông tin lượng tử và máy tính lượng tử. Tuy nhiên, các tính chất
phi cổ điển của trạng thái này chưa được xem xét một cách cụ thể. Với
mong muốn rằng các tính chất phi cổ điển của trạng thái hai mode kết

hợp SU(1,1) thêm một và bớt một photon sẽ góp phần làm rõ ứng dụng
của trạng thái hai mode kết hợp SU(1,1) thêm một và bớt một photon
trong công nghệ thông tin lượng tử cũng như các ứng dụng sau này. Từ
những lí do trên, tôi chọn đề tài "Khảo sát các tính chất phi cổ điển của
trạng thái hai mode kết hợp SU(1,1) thêm một và bớt một photon" làm
luận văn cho mình.

7


II. Mục tiêu của đề tài
Mục tiêu của đề tài là nghiên cứu tính chất nén tổng, nén hiệu, tính
chất phản kết chùm,sự vi phạm bất đẳng thức Cauchy - Schwarz và tính
chất đan rối của trạng thái hai mode kết hợp SU(1,1) thêm một và bớt
một photon.
III. Nội dung nghiên cứu
Trên cơ sở mục tiêu nghiên cứu của đề tài, tôi xác định các nội dung
nghiên cứu như sau:
+ Hệ thống các kiến thức liên quan về trạng thái kết hợp, trạng
thái nén và các tính chất phi cổ điển;
Nghiên cứu các tính chất nén tổng hai mode, nén hiệu hai mode,
nén bậc cao của trạng thái hai mode SU(1,1) thêm một và bớt một
photon;
Nghiên cứu tính phản kết chùm của trạng thái hai mode SU(1,1)
thêm một và bớt một photon;
+ Nghiên cứu sự vi phạm bất đẳng thức Cauchy–Schwarz của
trạng thái hai mode kết hợp SU (1, 1) thêm một và bớt một photon.
+ Nghiên cứu tính chất đan rối của trạng thái hai mode kết hợp
SU (1, 1) thêm một và bớt một photon theo tiêu chuẩn Hillery-Zubairy.
IV. Phương pháp nghiên cứu

Trong quá trình nghiên cứu đề tài này, tôi đã sử dụng các
phương pháp sau:
+ Phương pháp so sánh giữa lý thuyết với thực nghiệm;
+ Phương pháp lý thuyết trường lượng tử và các phương pháp
8


quang lượng tử;
+ Phương pháp nghiên cứu kiểm chứng;
+ Dùng phần mềm Methamatica để tính số và vẽ đồ thị.
V. Phạm vi nghiên cứu
Luận văn tập trung nghiên cứu một số tính chất phi cổ điển
của trạng thái hai mode kết hợp SU(1,1) thêm một và bớt một photon,
đó là tính chất nén tổng, tính chất nén hiệu, nén bậc cao tính phản kết
chùm hai mode và sự vi phạm bất đẳng thức Cauchy–Schwarz của trạng
thái kết hợp hai mode SU(1,1) thêm một và bớt một photon.
VI. Bố cục luận văn
Ngoài mục lục, phụ lục và tài liệu tham khảo, luận văn được
chia làm 2 phần:
+ Mở đầu chúng tôi trình bày về lí do chọn đề tài, mục tiêu
nghiên cứu, nhiệm vụ nghiên cứu, phương pháp nghiên cứu, giới hạn
nghiên cứu của đế tài.
+ Nội dung được thể hiện thành bốn chương:
Chương I. Cơ sở lý thuyết.
Chương II. Khảo sát các tính chất nén của trạng thái hai mode
kết hợp SU(1,1) thêm một và bớt một photon.
Chương III. Khảo sát tính chất phản kết chùm, sự vi phạm bất
đẳng thức Cauchy-Schwarz và tính chất đan rối theo tiêu chuẩn HilleryZubairy của trạng thái hai mode kết hợp SU(1,1) thêm một và bớt một
photon.
Phần kết luận trình bày các kết quả đạt được của đề tài.

9


NỘI DUNG
Chương 1
CƠ SỞ LÝ THUYẾT
Trong nội dung của chương này chúng tôi sẽ trình bày một số
kiến thức về trạng thái kết hợp, trạng thái nén và một số tính
chất phi cổ điển cụ thể như nén tổng, nén hiệu, tính chất phản
kết chùm và sự vi phạm bất đẳng thức Cauchy – Schwarz của
trạng thái hai mode kết hợp SU(1,1) thêm một, bớt một photon.

1.1.

Trạng thái kết hợp
Khái niệm trạng thái kết hợp đã được Glauber và Sudar –

Shan đưa ra vào những năm 60 của thế kỷ XX. Trạng thái kết hợp vẫn
còn là một trạng thái cổ điển vì nó tuân theo phân bố Poisson.
1.1.1.

Khái niệm

Trạng thái kết hợp có thể được tạo ra bằng cách tác dụng toán
ˆ
tử dịch chuyển D(α)
lên trạng thái chân không |0 của trường điện từ
∧

α| = D (α) |0 ,

(1.1)

ˆ
trong đó toán tử dịch chuyển được định nghĩa D(α)
= exp(αˆ
a† − α ∗ a
ˆ)
với α = r exp(iϕ) là tham số kết hợp, r và ϕ lần lượt là biên độ kết hợp
và pha kết hợp; a
ˆ† , a
ˆ tương ứng là toán tử sinh hủy hạt boson và chúng
tuân theo hệ thức giao hoán
a
ˆ, a
ˆ† = a
ˆa
ˆ† − a
ˆ† a
ˆ = 1; [ˆ
a, a
ˆ] = a
ˆ† , a
ˆ† = 0.
10


Sử dụng đồng nhất thức Baker-Hausdorff ta có
ˆ B
ˆ

ˆ = exp(A)
ˆ exp(B)
ˆ exp − 1 A,
exp(Aˆ + B)
2

,

(1.2)

ˆ B
ˆ là các toán tử không giao hoán. Khai triển trạng thái kết hợp
với A,
|α theo trạng thái Fork |n thì
1
|α = exp − |α|2
2
với |n =

n

(ˆ
a)
√
n!

∞

n=0

αn
√ |n ,
n!

(1.3)

|0 là vectơ trạng thái chứa n hạt boson hay còn được gọi

là các trạng thái Fock. |n là trạng thái riêng của toán tử số hạt n
ˆ=a
ˆ† a
ˆ
nghĩa là
n
ˆ |n = a
ˆ† a
ˆ |n = n |n .
Ta có
ˆ
|α = D(α)
|0 = exp(αˆ
a† − α ∗ a
ˆ) |0
= exp(αˆ
a† ) exp(−α∗ a
ˆ) exp −

1
αˆ
a† , −α ∗ a

ˆ
2

|0 .

Mặt khác ta lại có
1 2 †
|α| a
ˆ ,a
ˆ
2
1
= exp − |α|2 ,
2

1
αˆ
a† , −α ∗ a
ˆ
2
1
= exp − |α|2 a
ˆ, a
ˆ†
2

exp −

= exp

do vậy ta có
1
a† ) exp(−α∗ a
ˆ) |0 .
|α = exp − |α|2 exp(αˆ
2

(1.4)

Áp dụng khai triển chuỗi Taylor của hàm dạng ex cho hai thừa số đầu
tiên trong biểu thức (1.4)
(−α∗ a
ˆ) (−α ∗ a
ˆ)2 (−α ∗ a
ˆ)3
exp(−α a
ˆ) = 1 +
+
+
+ ... =
1!
2!
3!

∞

∗

11

n=0

n

(−αˆ
a† )
,
n!
(1.5)


2

∞

3

a† )
(αˆ
a† )
(αˆ
a† ) (αˆ
+
+
+ .... =
exp(αˆ
a )=1+
1!
2!
3!

†

n=0

n

(αˆ
a† )
,
n!

(1.6)

ˆ
bằng cách sử dụng toán tử dịch chuyển D(α)
tác dụng lên trạng thái
chân không |0 của trường điện từ chúng tôi có được biểu thức
1
ˆ
D(α)
|0 = exp(αˆ
a† ) exp(−α∗ a
ˆ) exp(− |α|2 |0 .
2
Thay (1.5) vào (1.7) ta có
ˆ
D(α)
|0 = exp(αˆ
a† ) exp(− 1 |α|2 )
2

∞
n=0

n

(−α∗ a
ˆ)
n!

(1.7)

|0 .

Mặt khác
∞

n=0

(−α∗ a
ˆ)n
(α∗ a
ˆ) (α∗ a
ˆ)2 (α∗ a
ˆ)3
|0 = (1 −
+
−
+ .....) |0 = |0 ,
n!

1!
2!
3!

do đó
1
ˆ
D(α)
|0 = exp(− |α|2 ) exp(αˆ
a† ) |0 .
2
Thay (1.6) vào (1.8) ta được
1
ˆ
D(α)
|0 = exp − |α|2
2
1
= exp − |α|2
2
1
= exp − |α|2
2

∞

n=0
∞

n=0

∞

n=0

(1.8)

n

(αˆ
a† )
|0
n!
n

αn (ˆ
a† )
√ √ |0
n! n!

(1.9)

αn
√ |0 .
n!

Trong đó trạng thái kết hợp |α là hàm riêng của toán tử hủy photon
với trị riêng là α
a
ˆ |α = α |α .

(1.10)

Chúng ta có thể chứng minh (1.10) một cách tường minh như sau:
1
a
ˆ |α = exp − |α|2
2
1
= exp − |α|2
2

∞

n=0
∞

n=0

∞

αn
1
αn √
√ a
√
ˆ |n = exp − |α|2
n |n − 1
2
n!
n!

n=0
√
αn−1 α
n
√ |n − 1 = α |α ,
(n − 1)! n
12


và lấy liên hợp Hermite của (1.10) ta được
(ˆ
a |α )∗ = α| a
ˆ† = α| α∗ .
Mặt khác phương sai của toán tử số hạt trong trạng thái kết hợp |α là
ˆ2 − n
(∆ˆ
n)2 = n

2

= α n
ˆ 2 α − ( α |ˆ
n| α )2

= α a
ˆ† a
ˆa
ˆ† a
ˆ α −

α a
ˆ† a
ˆ α

2

ˆ† a
ˆ + 1 α − |α|4 = |α|4 + |α|2 − |α|4 = |α|2 .
= |α|2 α a
Trong khi đó, đối với trạng thái Fock
(∆ˆ
n)2 = n
ˆ2 − n

2

ˆ 2 n − ( n |ˆ
n| n )2
= n n

ˆ† a
ˆa
ˆ† a
ˆ n −
= n a
1.1.2.

ˆ† a
ˆ n
n a

2

= n2 − n2 = 0.

Các tính chất của trạng thái kết hợp
Trạng thái kết hợp là một trạng thái vật lý nên nó cũng mang

những tính chất thể hiện bản chất vật lý của mình cụ thể như sau
Tính chất 1: Phân bố số hạt ở trạng thái kết hợp |α tuân theo
phân bố Poisson. Như vậy số hạt trung bình ở trạng thái kết hợp |α là
n
ˆ = α |ˆ
n| α = α a
ˆ† a
ˆ α = |α|2 .

(1.11)

Như ở trên ta đã chứng minh phương sai của toán tử số hạt trong trạng
thái kết hợp |α là
(∆ˆ
n)2 = n
ˆ2 − n

2

= |α|4 + |α|2 − |α|4 = |α|2 .

(1.12)

Từ (1.11) và (1.12) ta có n
ˆ = (∆n)2 , điều đó chứng tỏ trạng thái
kết hợp tuân theo phân bố Poisson.
Xác suất p (n) để tìm n hạt boson ở trạng thái |α chính là phân bố
Poisson
|α|2n exp −|α|2
p (n) = n| α α| n =
13

n!

,

(1.13)


Biểu thức (1.13) cho thấy xác suất để tìm n photon ở trạng thái |α
tuân theo phân bố Poisson có cực đại ứng với giá trị trung bình của số
photon n
ˆ = |α|2 . Do đó, trạng thái |α là trạng thái có phân bố số
hạt tuân theo phân bố Poisson.
Tính chất 2: Tập hợp tất cả các trạng thái kết hợp |α là một
tập hợp đủ.
1
π

|α α| d2 α = 1.

(1.14)

Thật vậy
∞
2

|α α| d α =

∞

e

2

−|α|

n=0

0

αn
√ |n
n!

∞

α∗ m
√
m| d2 α,
m!
m=0

(1.15)

với α là số phức bất kỳ trong không gian phức nên ta chọn và chuyển
qua tọa độ cực ta được d2 α = rdrdϕ,
suy ra
∞
2

|α α| d α =

2π

rdr

∞

dϕe

0

−r2

0

rn+m ei(n−m)ϕ
√ √
|n m|.
n!
m!

n,m=0

(1.16)

∞

ei(m−n)ϕ dϕ = 2πδnm nên

Mặt khác
0

∞
2

|α α| d α = 2π

∞

e−r

rdr
0

n,m=0

|n n|
n=0

∞

Ta thấy I =

r2n ei(n−m)ϕ
|n n|
n!
(1.17)

∞

∞

=

2

2π
n!

2

e−r r2n+1 dr.
0

2

e−r r2n+1 dr là tích phân Poisson nên

0

1

π

|α α| d2 α =

|n n| = 1.

(1.18)

n

Tính chất 3: Mặc dù các trạng thái kết hợp là chuẩn hóa,
14


α | α = 1, nhưng chúng lại không trực giao với nhau, nghĩa là với
α | β không triệt tiêu.
Thật vậy,
∞

∞

∞

∞

∞

∞

1

β m α∗n
1
√ √ n|m
α | β = exp(− |α|2 )exp(− |β|2 )
2
2
m! n!
n=0 m=0
1 2
1 2
β m α∗n
√ √ δnm
= exp(− |α| )exp(− |β| )
2
2
m! n!
n=0 m=0
1 2
1 2
(α∗ β)n
√
= exp(− |α| )exp(− |β| )
2
2
n!
n=0 m=0
1
1
= exp(− |α|2 )exp(− |β|2 )exp(α∗ β)
2

2
1
1
= exp − |α|2 − |β|2 + α∗ β .
2
2
Hệ quả của sự không trực giao là bất kỳ một trạng thái kết hợp nào
cũng được khai triển theo các trạng thái kết hợp khác
1
π
1
=
π

|α =

|α α | α d2 α
1
1 2
d α |α exp(− |α|2 + α∗ β − |α | ).
2
2

(1.19)

2

Điều này cho thấy rằng tập hợp tất cả các trạng thái kết hợp tạo thành
hệ đủ.
Tính chất 4: Trạng thái kết hợp là trạng thái có độ bất định

nhỏ nhất, nghĩa là
α| (∆X)2 |α α| (∆P )2 |α =

1
.
16

(1.20)

Để chứng tỏ trạng thái kết hợp là trạng thái có độ bất định tối thiểu ta
đưa vào hai đại lượng không thứ nguyên X, P và được biểu diễn thông
ˆ Pˆ được định nghĩa
qua hai toán tử tương ứng là X,
ˆ=
X

1
2

a
ˆ† + a
ˆ ; Pˆ =

i
2

a
ˆ† − a
ˆ .

Ta có
15


ˆ =
X

1
2

α| a
ˆ† + a
ˆ |α =

1
2

α| a
ˆ† |α + α |ˆ
a| α

= 21 (α∗ + α) α|α

i
2

α| a
ˆ† |α − α |ˆ
a| α

= 2i (α∗ − α) α|α

= 12 (α∗ + α)
và
Pˆ =

i
2

α| a
ˆ† − a
ˆ |α =

= 2i (α∗ − α) ,
ˆ và Pˆ là các toán tử Hermite nên chúng tương ứng với các đại
với X
lượng vật lí đo được. Do đó, ta có thể tính được phương sai của mỗi đại
lượng.
ˆ
Phương sai của X
ˆ 2 |α −
α| (∆X)2 |α = α| X

ˆ |α
α| X

2

1
1

2
2
α| (ˆ
a† + a
ˆ) |α
α| a
ˆ† + a
ˆ |α −
4
4
1 ∗2
1 2
1
2
=
α + α2 + 2|α|2 + 1 −
α + α∗ + 2αα∗ = .
4
4
4
=

(1.21)

Tương tự ta tính được phương sai đối với Pˆ
α| (∆P )2 |α = α| Pˆ 2 |α −

α Pˆ α

2

1
1
2
α| a
ˆ† − a
ˆ |α +
α| a
ˆ† − a
ˆ |α
4
4
1 ∗2
1
1 2
2
= − α + α2 − 2|α|2 − 1 +
α + α∗ − 2αα∗ = .
4
4
4
(1.22)
=−

Từ (1.21) và (1.22) ta thu được
α| (∆X)2 |α α| (∆P )2 |α =

1
.
16

(1.23)

Đây chính là giá trị nhỏ nhất ứng với hệ thức bất định Heisenberg. Như
vậy, trạng thái kết hợp là trạng thái có độ bất định tối thiểu, có nghĩa
là ta có thể đo được đồng thời hai đại lượng X và P với sai số ít nhất
ứng với giới hạn lượng tử chuẩn.

16


1.2.

Trạng thái nén

Theo cơ học lượng tử nếu hai đại lượng vật lý này không đo
ˆ cũng không giao
được đồng thời thì về mặt toán học hai toán tử Aˆ , B
hoán với nhau, nghĩa là giao hoán tử
ˆ B]
ˆ = AˆB
ˆ −B
ˆ Aˆ = Cˆ = 0
[A,

(1.24)

Với trường hợp này ta có được hệ thức bất định trong trạng thái lượng
tử bất kỳ |ψ của hệ
V AV B ≥

1 ˆ ˆ
[A, B]
4

2

0,

(1.25)

trong đó, đại lượng đặc trưng cho mức độ thăng giáng của giá trị đo được
A quanh giá trị trung bình lượng tử Aˆ của đại lương gọi là phương sai,
phương sai V Aˆ được định nghĩa như sau
V Aˆ ≡ (Aˆ − Aˆ )2 = Aˆ2 − Aˆ 2 .

(1.26)

ˆ và B
ˆ = Pˆ thì ta được
Nếu ta cụ thể hóa Aˆ = X
i †
ˆ Pˆ = 1 a
Cˆ = X,
ˆ† + a
ˆ , a
ˆ −a
ˆ
2
2

i
= .
2

Với trạng thái Fock ta có
ˆ = X
ˆ2 − X
ˆ
VX
1
1
2
n| a
ˆ† + a
ˆ |n −
n|
4
4
1
=
n| a
ˆ†2 |n + n| a
ˆ2 |n +
4
1
2
=
n| a
ˆ† |n + n| a

ˆ |n
=
4
Tương tự ta cũng có

a
ˆ† + a
ˆ |n

=

V Pˆ = Pˆ 2 − Pˆ
17

2

2

n| a
ˆ† a
ˆ |n + n| a
ˆa
ˆ† |n
1
(2n + 1) .
4
2

=

1
(2n + 1) ,
4


khi đó ta có
ˆ
VX

1
1
=
V Pˆ = (2n + 1)2 ≥
16
16

Cˆ
4

2

.

(1.27)

Đối với trạng thái kết hợp ta có

α

ˆ

VX

α

α

V Pˆ

α =

1
=
16

Cˆ
4

2

.

(1.28)

Trong các trạng thái nén chúng ta có thể đo một đại lượng A nào đó với
độ chính xác tuyệt đối nhưng không vi phạm hệ thức bất định Heisenberg
thì sai số khi đo đại lượng B là vô cùng. Từ (1.32) và (1.33) ta thấy nếu
ở trạng thái kích thích thì trạng thái Fock luôn thỏa mãn hệ thức bất
định Heisenberg, còn đối với trạng thái kết hợp thì dấu bằng luôn xảy
ra. Do vậy, các trạng thái kết hợp là các trạng thái có độ bất định tối
thiểu. Bên cạnh đó với các trạng thái lượng tử, thông thường các phương

ˆ
ˆ VB
ˆ đều đồng thời lớn hơn giới hạn lượng tử chuẩn | C | . Điều
sai V A,
2

đó có nghĩa là nếu một trạng thái có một thăng giáng lượng tử nhỏ hơn
giới hạn lượng tử chuẩn thì trạng thái đó được gọi là trạng thái nén
ˆ bé hơn giới hạn lượng tử chuẩn và dũy nhiên V B
ˆ
khi V Aˆ (hoặc V B)
ˆ phải lớn hơn giới hạn đó, sao cho nguyên lý bất định không
(hoặc V A)
vi phạm thì gọi là trạng thái nén đối với trạng thái A (hoặc B). Trong
trường hợp đặc biệt nếu trạng thái nén của A (hoặc B) thỏa mãn điều
ˆ
ˆ = | C | thì được gọi là trạng thái nén lý tưởng.
kiện V Aˆ = V B
2

1.3.

Một số tính chất phi cổ điển
Một trạng thái được gọi là phi cổ điển là trạng thái thể hiện

tính chất nén, tính phản kết chùm và sự vi phạm bất đẳng thức CauchySchwarz. Một trạng thái đang xem xét có thể biểu hiện các tính chất phi
18


cổ điển ở mức độ khác nhau, có thể nó chỉ có một trong các tính chất

trên, nhưng cũng có thể thể hiện đủ các tính chất này. Trong nội dung
nghiên cứu của luận văn này, chúng tôi chỉ xét cho trường hợp hai mode
bậc hai được đưa ra bởi Hillery [12] và được gọi là nén tổng và nén hiệu
hai mode.
1.3.1.

Nén tổng hai mode
Nén tổng được Hillery [12] đưa ra vào năm 1989. Xét hai

photon, một có tần số góc ωa và một photon có tần số góc ωb (ωa = ωb ),
kết hợp thành một photon có tần số ωc = ωa + ωb . Toán tử nén tổng
được định nghĩa như sau
π
1 i(φ+ π ) †ˆ†
1 iφ †ˆ†
2 a
e a
ˆ b + e−iφ a
ˆˆb ; Vˆ(φ+ π2 ) =
e
ˆ b + e−i(φ+ 2) a
ˆˆb ,
Vˆφ =
2
2
(1.29)

trong đó a
ˆ† và a
ˆ tương ứng là toán tử sinh hủy photon của mode thứ

nhất, ˆb† và ˆb là toán tử sinh hủy của mode thứ hai. Các toán tử này thỏa
mãn hệ thức giao hoán
π
1 i(φ+ π ) †ˆ†
2 a
Vˆ(φ+ π2 ) =
e
ˆ b + e−i(φ+ 2) a
ˆˆb ,
2

(1.30)

trong đó n
ˆa = a
ˆ† a
ˆ, n
ˆ b = ˆb†ˆb lần lượt là toán tử số hạt của mode a và
mode b.
Thật vậy
Vˆφ , Vˆ(φ+ π2 ) =Vˆφ Vˆ(φ+ π2 ) − Vˆ(φ+ π2 ) Vˆφ
π
π
1
= (eiφ a
ˆ†ˆb† + e−iφ a
ˆˆb) ei(φ+ 2 ) a
ˆ†ˆb† + e−i(φ+ 2 ) a
ˆˆb
4

π
1 i(φ+ π ) †ˆ†
2 a
−
e
ˆ b + e−i(φ+ 2 ) a
ˆˆb (eiφ a
ˆ†ˆb† + e−iφ a
ˆˆb)
4

19


π
π
π
1 i(2φ+ π ) †ˆ† †ˆ†
2 a
e
ˆ b + e−(2φ+ 2 ) a
ˆˆb + ei 2 a
ˆba
ˆˆbˆ
aˆb + e−i 2 a
ˆ†ˆb† a
ˆˆbˆ
a†ˆb†
4
π

π
π
1 i(2φ+ π ) †ˆ† †ˆ†
2 a
ˆba
ˆ b + e−(2φ+ 2 ) a
ˆˆbˆ
aˆb + ei 2 a
ˆ†ˆb† a
ˆˆb + e−i 2 a
ˆˆbˆ
a†ˆb†
−
e
4
π
π
π
π
1
= (e−i 2 − ei 2 )ˆ
ˆˆb + (ei 2 − e−i 2 )ˆ
a†ˆb† a
aˆbˆ
a†ˆb†
4
1
i
= −2iˆ
a†ˆb† a

ˆˆb + 2i(ˆ
a† a
ˆ + 1)(ˆb†ˆb + 1) = (ˆ
na + n
ˆ b + 1) .
4
2
Hệ thức bất định cho hai toán tử ∆Vˆφ và ∆Vˆ(φ+ π ) là,

=

2

1
∆Vˆφ ∆Vˆ(φ+ π2 ) ≥ n
ˆa + n
ˆb + 1 .
4

(1.31)

Một trạng thái được gọi là nén tổng hai mode nếu trung bình trạng thái
này thỏa mãn bất đẳng thức sau
2

(∆Vˆφ )

<

1

n
ˆa + n
ˆb + 1 ,
4
2

với mọi giá trị của φ và trong đó (∆Vˆφ )

= Vˆφ2 − Vˆφ

(1.32)
2

. Đây chính

là điều kiện để chúng tôi khảo sát tính chất nén tổng hai mode của trạng
thái kết hợp SU (1, 1) thêm một và bớt một photon trong phần sau.
1.3.2.

Nén hiệu hai mode
Nén hiệu được Hillery [12] đưa ra vào năm 1989. Xét hai

photon, một có tần số góc ωa và một photon có tần số góc ωb (ωa = ωb ),
tương tác với nhau sinh ra photon có tần số hiệu ωc = ωa − ωb . Giả sử
rằng ωa > ωb . Toán tử nén hiệu được định nghĩa như sau
ˆb† + e−i(φ+ 2)π a
ˆ φ = 1 eiφ a
ˆ (φ+ π ) = 1 ei(φ+ π2 ) a
ˆˆb† + e−iφ a
ˆ†ˆb ; W

ˆ
ˆ†ˆb ,
W
2
2
2
(1.33)
các toán tử này thỏa mãn hệ thức giao hoán
ˆ φ, W
ˆ (φ+ π ) = i (ˆ
W
na − n
ˆ b ),
2
2

20

(1.34)


trong đó n
ˆa = a
ˆ† a
ˆ, n
ˆ b = ˆb†ˆb lần lượt là toán tử số hạt của mode a và
mode b.
Thật vậy,
ˆ φ, W
ˆ

ˆ ˆ
ˆ
ˆ
W
(φ+ π ) =Wφ W(φ+ π ) − W(φ+ π ) Wφ
2

2

2

π
π
1
ˆˆb† + e−iφ a
ˆ†ˆb) ei(φ+ 2 ) a
= (eiφ a
ˆˆb† + e−i(φ+ 2 ) a
ˆ†ˆb
4
π
1 i(φ+ π ) ˆ†
2 a
ˆˆb† + e−iφ a
ˆ†ˆb)
−
e
ˆb + e−i(φ+ 2 ) a
ˆ†ˆb (eiφ a
4

π
π
π
1 i(2φ+ π ) ˆ† ˆ†
2 a
= e
ˆb a
ˆb + e−i(2φ+ 2 ) a
ˆ†ˆbˆ
a†ˆb + e−i 2 a
ˆˆb† a
ˆ†ˆb + ei 2 a
ˆ†ˆbˆ
aˆb†
4
π
π
π
1 i(2φ+ π ) ˆ† ˆ†
2 a
e
a†ˆb + ei 2 a
aˆb†
−
ˆb a
ˆb + e−i(2φ+ 2 ) a
ˆ†ˆbˆ
ˆˆb† a
ˆ†ˆb + e−i 2 a
ˆ†ˆbˆ

4
π
π
π
π
1
= (e−i 2 − ei 2 )ˆ
aˆb† a
a†ˆbˆ
ˆ†ˆb + (ei 2 − e−i 2 )ˆ
aˆb†
4
i
1
aˆb† a
ˆ†ˆb + 2iˆ
a†ˆbˆ
aˆb† = (ˆ
na − n
ˆ b ).
= −2iˆ
4
2

ˆ φ và ∆W
ˆ
Hệ thức bất định cho hai toán tử W
(φ+ π2 ) là
ˆ φ ∆W
ˆ (φ+ π ) ≥ 1 n

ˆa − n
ˆb .
∆W
2
4

(1.35)

Một trạng thái được gọi là nén hiệu hai mode nếu trung bình trạng thái
này thỏa mãn bất đẳng thức sau
1
n
ˆa − n
ˆb ,
4

(∆Wφ )2 <
với mọi giá trị của φ và trong đó

(∆Wφ )2

=

(1.36)
ˆ2 − W
ˆφ
W
φ

2

. Đây

cũng chính là điều kiện mà chúng tôi sử dụng để khảo sát tính chất nén
hiệu hai mode của trạng thái hai mode kết hợp SU (1, 1) thêm một và
bớt một photon.
1.3.3.

Nén Hillery bậc cao

Vào năm 1985, Hong và Mandel đã đưa ra các trạng thái nén đơn
mode bậc cao gọi là nén Hong-Mandel. Một kiểu nén đơn mode khác
21


cũng được HIllery đưa ra vaò năm 1987 (bậc hai) và sau đó bậc ba, bậc
k được gọi chung là nén Hillery.
Toán tử biên độ lũy thừa k được định nghĩa như sau
ˆ a,k (φ) = 1 e−iφ a
ˆk + eiφ a
ˆ+k ,
X
2
π
ˆ a,k (φ + π ) = 1 e−i(φ+ π2 ) a
X
ˆk + ei(φ+ 2 ) a
ˆ+k .
2
2

ˆ a,k (φ) và X
ˆ a,k (φ + π ) là
Giao giữa toán tử X
2

ˆ a,k (φ), X
ˆ a,k (φ + π ) = i Fˆa (k),
X
2
2
Với

k

Fˆa (k) = a
ˆ ,a
ˆ
k

+k

=
q=1

k!k 4
a
ˆ+(k−q) a
ˆ(k−q) ,
(k − q)!q!

(1.37)

(1.38)

(1.39)

Trong đók q = k(k − 1)(k − 2)...(k − q + 1).
Từ (1.38) rút ra được hệ thức bất định đối với phương sai
2
π
1 ˆ
V Xa,k (φ).V Xa,k (φ + ) ≥
Fa,k (k) .
2
16

(1.40)

Điều kiện để có nén biên độ lũy thừa k kiểu Hillery theo phương φ là
V Xa,k (φ) <
1.3.4.

1 ˆ
Fa (k) .
4

(1.41)

Tính phản kết chùm
Tính phản kết chùm còn có nghĩa là phản kết hợp, hay chúng

ta có thể hiểu rằng các photon phản kết chùm là các photon độc lập,
cách xa nhau và chúng không thể kết hợp với nhau. Các photon phản
kết chùm tuân theo thống kê sub-Poisson nên trạng thái có phân bố số
photon loại này cũng tuân theo thống kê này. Điều này có nghĩa là hàm
phân bố xác suất tương ứng với trạng thái đó là âm điều này là không
phù hợp với lý thuyết cổ điển. Do đó, trạng thái náy không còn là hàm
22