Khảo sát các tính chất phi cổ điển của trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon tích SU(1,1) chẵn
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (25.46 MB, 94 trang )
ĐẠI HỌC HUẾ
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
TRẦN DIỆP TUẤN
KHẢO SÁT CÁC TÍNH CHẤT PHI CỔ ĐIỂN
CỦA TRẠNG THÁI HAI MODE KẾT HỢP
THÊM HAI PHOTON TÍCH SU(1,1) CHẴN
Chuyên ngành: VẬT LÝ LÝ THUYẾT VÀ VẬT LÝ TOÁN
Mã số
: 60 44 01 03
LUẬN VĂN THẠC SĨ VẬT LÝ
Người hướng dẫn khoa học
PGS.TS. TRƯƠNG MINH ĐỨC
Thừa Thiên Huế, năm 2017
i
LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi,
các số liệu và kết quả nghiên cứu nêu trong Luận văn là trung thực, được
các đồng tác giả cho phép sử dụng và chưa từng được công bố trong bất
kỳ một công trình nghiên cứu nào khác.
Huế, tháng 9 năm 2017
Tác giả Luận văn
Trần Diệp Tuấn
ii
LỜI CẢM ƠN
Hoàn thành Luận văn tốt nghiệp này, tôi xin bày tỏ lòng biết
ơn sâu sắc đến thầy giáo PGS.TS. Trương Minh Đức đã tận tình hướng
dẫn và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu và thực hiện
Luận văn.
Qua đây, tôi xin chân thành cảm ơn quý Thầy, Cô giáo trong
khoa Vật Lý và phòng Đào tạo Sau đại học, Trường Đại học Sư phạm,
Đại học Huế; các bạn học viên Cao học khóa 24 cùng gia đình, bạn bè
đã động viên, góp ý, giúp đỡ, tạo điều kiện cho tôi trong quá trình học
tập và thực hiện Luận văn.
Huế, tháng 9 năm 2017
Tác giả Luận văn
Trần Diệp Tuấn
iii
MỤC LỤC
Trang phụ bìa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
i
Lời cam đoan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ii
Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
iii
Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
Danh sách các hình vẽ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
MỞ ĐẦU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
NỘI DUNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
Chương 1. CƠ SỞ LÝ THUYẾT . . . . . . . . . . . . . .
11
1.1. Trạng thái kết hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
1.1.1. Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
1.1.2. Các tính chất của trạng thái kết hợp . . . . . . .
16
1.2. Trạng thái nén . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
1.3. Các tính chất phi cổ điển . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
1.3.1. Tính chất nén tổng . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
1.3.2. Tính chất nén hiệu . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
1.3.3. Tính chất nén Hillery bậc cao . . . . . . . . . . .
26
1.3.4. Tính chất phản kết chùm
. . . . . . . . . . . . .
26
1.3.5. Sự vi phạm bất đẳng thức Cauchy-Schwarz . . . .
29
1.4. Một số tiêu chuẩn đan rối . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
1.4.1. Tiêu chuẩn đan rối Hillery – Zubairy . . . . . . .
29
1.4.2. Tiêu chuẩn entropy von Newmann . . . . . . . .
31
Chương 2. KHẢO SÁT CÁC TÍNH CHẤT NÉN CỦA
TRẠNG THÁI HAI MODE KẾT HỢP THÊM
HAI PHOTON TÍCH SU(1,1) CHẴN . . . . . . .
1
33
2.1. Trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon tích SU(1,1)
chẵn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
2.1.1. Trạng thái hai mode kết hợp SU(1,1) . . . . . . .
33
2.1.2. Trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon tích
SU(1,1) chẵn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38
2.2. Khảo sát tính chất nén tổng của trạng thái hai mode kết
hợp thêm hai photon tích SU(1,1) chẵn . . . . . . . . . .
40
2.3. Khảo sát tính chất nén hiệu của trạng thái hai mode kết
hợp thêm hai photon tích SU(1,1) chẵn . . . . . . . . . .
45
2.4. Khảo sát tính chất nén Hillery bậc cao của trạng thái hai
mode kết hợp thêm hai photon tích SU(1,1) chẵn . . . .
48
Chương 3. KHẢO SÁT TÍNH CHẤT PHẢN KẾT CHÙM
VÀ SỰ VI PHẠM BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHYSCHWARZ CỦA TRẠNG THÁI HAI MODE KẾT
HỢP THÊM HAI PHOTON TÍCH SU(1,1) CHẴN
55
3.1. Khảo sát tính phản kết chùm của trạng thái hai mode kết
hợp thêm hai photon tích SU(1,1) chẵn . . . . . . . . . .
55
3.1.1. Trường hợp tổng quát . . . . . . . . . . . . . . .
55
3.1.2. Trường hợp l = 1, p = 1 . . . . . . . . . . . . . .
58
3.1.3. Trường hợp l = 2, p = 1 . . . . . . . . . . . . . .
58
3.1.4. Trường hợp l = 2, p = 2 . . . . . . . . . . . . . .
59
3.1.5. Trường hợp l = 3, p = 1 . . . . . . . . . . . . . .
60
3.1.6. Trường hợp l = 3, p = 2 . . . . . . . . . . . . . .
62
3.1.7. Trường hợp l = 3, p = 3 . . . . . . . . . . . . . .
63
3.1.8. Trường hợp l = 4, p = 3 . . . . . . . . . . . . . .
64
2
3.2. Khảo sát sự vi phạm bất đẳng thức Cauchy-Schwarz của
trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon tích SU(1,1)
chẵn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
67
Chương 4. KHẢO SÁT TÍNH CHẤT ĐAN RỐI CỦA
TRẠNG THÁI HAI MODE KẾT HỢP THÊM
HAI PHOTON TÍCH SU(1,1) CHẴN . . . . . . .
72
4.1. Nghiên cứu tính chất đan rối của trạng thái hai mode kết
hợp thêm hai photon tích SU(1,1) bằng tiêu chuẩn đan
rối Hillery – Zubairy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
72
4.2. Nghiên cứu tính chất đan rối của trạng thái hai mode
kết hợp thêm hai photon tích SU(1,1) bằng tiêu chuẩn
entropy von Newmann . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
75
KẾT LUẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
78
TÀI LIỆU THAM KHẢO . . . . . . . . . . . . . . . . . .
80
PHỤ LỤC
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . P.1
3
DANH SÁCH CÁC HÌNH VẼ
2.1
Sự phụ thuộc của S vào r và q với q = 1, 2, 3 , cố định
2(ϕ + φ) = −1. (Đường biểu diễn các tham số được chọn
theo thứ tự tương ứng với màu đen, màu đỏ, màu xanh
lam.) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2
43
Sự phụ thuộc của S vào r với q = 1 của trạng thái hai
mode SU(1,1) thêm một photon chẵn (đường màu xanh
lam) và trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon tích
SU(1,1) chẵn (đường màu đỏ). . . . . . . . . . . . . . . .
2.3
44
Sự phụ thuộc của H2 (φ) vào r với q = 1, 2, 3. (Đường
biểu diễn các tham số được chọn theo thứ tự tương ứng
với màu đen, màu đỏ, màu xanh lam.) . . . . . . . . . .
3.1
51
Sự phụ thuộc của R(1, 1) vào r với q = 0, 1, 2. (Đường
biểu diễn các tham số được chọn theo thứ tự tương ứng
với màu đen, màu đỏ, màu xanh lam.) . . . . . . . . . .
3.2
58
Sự phụ thuộc của R(2, 1) vào r với q = 0, 1, 2. (Đường
biểu diễn các tham số được chọn theo thứ tự tương ứng
với màu đen, màu đỏ, màu xanh lam.) . . . . . . . . . .
3.3
59
Sự phụ thuộc của R(2, 2) vào r với q = 0, 1, 2. (Đường
biểu diễn các tham số được chọn theo thứ tự tương ứng
với màu đen, màu đỏ, màu xanh lam.) . . . . . . . . . .
3.4
60
Sự phụ thuộc của R(3, 1) vào r với q = 0, 2, 3. (Đường
biểu diễn các tham số được chọn theo thứ tự tương ứng
với màu đen, màu đỏ, màu xanh lam.) . . . . . . . . . .
4
61
3.5
Sự phụ thuộc của R(3, 2) vào r với q = 0, 1, 2. (Đường
biểu diễn các tham số được chọn theo thứ tự tương ứng
với màu đen, màu đỏ, màu xanh lam.) . . . . . . . . . .
3.6
62
Sự phụ thuộc của R(3, 3) vào r với q = 1, 2, 3. (Đường
biểu diễn các tham số được chọn theo thứ tự tương ứng
với màu đen, màu đỏ, màu xanh lam.) . . . . . . . . . .
3.7
63
Sự phụ thuộc của R(4, 3) vào r với q = 1, 2, 3. (Đường
biểu diễn các tham số được chọn theo thứ tự tương ứng
với màu đen, màu đỏ, màu xanh lam.) . . . . . . . . . .
3.8
64
Sự phụ thuộc của R(1, 1), R(2, 2), R(4, 4) vào r với q = 2.
(Đường biểu diễn các tham số được chọn theo thứ tự tương
ứng với màu đen, màu đỏ, màu xanh lam.)
3.9
. . . . . . .
65
Sự phụ thuộc của R(1, 1), R(2, 1), R(3, 1) vào r với q = 2.
(Đường biểu diễn các tham số được chọn theo thứ tự tương
ứng với màu đen, màu đỏ, màu xanh lam.)
. . . . . . .
66
3.10 Sự phụ thuộc của R(3, 2) vào r với q = 1 của trạng thái hai
mode SU(1,1) thêm một photon chẵn (đường màu xanh
lam) và trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon tích
SU(1,1) chẵn (đường màu đỏ) . . . . . . . . . . . . . . .
66
3.11 Sự phụ thuộc của I vào r với q = 1, 2, 3. (Đường biểu diễn
các tham số được chọn theo thứ tự tương ứng với màu
đen, màu đỏ, màu xanh lam.) . . . . . . . . . . . . . . .
69
3.12 Sự phụ thuộc của I vào r với q = 2 của trạng thái hai
mode SU(1,1) thêm một photon chẵn (đường màu xanh
lam) và trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon tích
SU(1,1) chẵn (đường màu đỏ). . . . . . . . . . . . . . . .
5
70
4.1
Sự phụ thuộc của RH vào r với các giá trị q khác nhau
(Đường biểu diễn các tham số được chọn theo thứ tự tương
ứng với màu đen, màu đỏ, màu xanh lam.) . . . . . . . .
4.2
75
Sự phụ thuộc của tham số E vào biên độ r với các giá
trị q khác nhau (Đường biểu diễn các tham số được chọn
theo thứ tự tương ứng với màu đen, màu đỏ, màu xanh
lam.) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
76
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Ngày nay, khoa học công nghệ phát triển rất mạnh mẽ, trong đó
thông tin liên lạc là một nhu cầu rất được qua tâm trong cuộc sống của
con người. Trong lĩnh vực xử lý thông tin và truyền thông, các trạng
thái phi cổ điển đang được tập trung nghiên cứu vì chúng có rất nhiều
lợi ích như tăng tốc độ truyền tin, tính bảo mật cao và giảm nhiễu. Bên
cạnh đó, các trạng thái này là cơ sở để nghiên cứu và áp dụng vào các
lĩnh vực như: lý thuyết chất rắn, quang lượng tử, thông tin lượng tử và
máy tính lượng tử. Điển hình mới nhất là công nghệ truyền tin quang
học, công nghệ laze với mục đích làm cho tốc độ truyền và xử lý dữ liệu
ngày càng nhanh chóng, chính xác và hiệu quả [15]. Thế nhưng, phải
làm thế nào để cho tín hiệu truyền đi có tính lọc lựa cao và giảm thiểu
được tối đa tính nhiễu. Vào những năm 60 của thế kỉ XX, vật lý học rộ
lên những nghiên cứu về các trạng thái mới mà xuất phát điểm là hệ
thức bất định Heisenberg. Nó cho rằng hạt vi mô không thể xác định
được đồng thời cả tọa độ và xung lượng. Trạng thái vật lý được nghiên
cứu đầu tiên là trạng thái kết hợp. Nó được bắt nguồn từ sự nghiên cứu
của Shrodinger vào năm 1926 [26] khi khảo sát dao động tử điều hòa,
ông cho rằng: “Các trạng thái kết hợp như là các bó sóng có tính chất
động lực học tương tự như một hạt cổ điển chuyển động trong thế năng
bậc hai”. Sau đó trạng thái kết hợp còn được Krard và Darwin đưa ra
năm 1927 trong các nghiên cứu của mình. Tuy nhiên trạng thái kết hợp
cho đến năm 1963 mới được Glauber [15] và Sudarshan [28] đưa ra chính
thức là: Trạng thái kết hợp là trạng thái ứng với giá trị thăng giáng
nhỏ nhất suy ra từ hệ thức bất định Heisenberg. Và xuất phát từ những
7
nghiên cứu của Glauber và Sudarshan đã dẫn đến sự xuất hiện của giới
hạn quang lượng tử. Sau đó khái niệm trạng thái nén được đưa ra bởi
Stoler [29] vào năm 1970 và đã được Hollenhorst [19] đặt tên. Trạng thái
nén đã được thực nghiệm khẳng định vào năm 1987. Theo thời gian, các
khái niệm về trạng thái nén đã được các nhà vật lý lý thuyết phát triển
không ngừng và đạt những thành tựu nhất định. Tuy nhiên, trạng thái
SU(1,1) đã được Perelomov [27] tìm ra vào năm 1972. Khi q=0 trạng
thái này trở thành trạng thái nén chân không hai mode. Như vậy có
thể nói trạng thái hai mode SU(1,1) là sự mở rộng của trạng thái nén
chân không hai mode. Trong thực nghiệm, trạng thái hai mode SU(1,1)
đã được tạo ra bởi công nghệ trạng thái lượng tử. Các tính chất phi cổ
điển của trạng thái hai mode SU(1,1) đã được khảo sát trong nghiên
cứu của Lê Đình Nhân [3]. Các nghiên cứu đã cho thấy trạng thái hai
mode SU(1,1) thêm một photon chẵn có thể được ứng dụng trong thông
tin lượng tử và máy tính lượng tử. Tuy nhiên, các tính chất phi cổ điển
của trạng thái này chưa được xem xét một cách cụ thể. Với mong muốn
rằng các tính chất phi cổ điển của trạng thái hai mode kết hợp thêm hai
photon tích SU(1,1) chẵn sẽ góp phần làm rõ ứng dụng của trạng thái
hai mode kết hợp thêm hai SU(1,1) photon chẵn trong công nghệ thông
tin lượng tử cũng như các ứng dụng sau này. Dựa trên cơ sở đó, tôi chọn
đề tài “Khảo sát các tính chất phi cổ điển của trạng thái hai mode kết
hợp thêm hai photon tích SU(1,1) chẵn” làm Luận văn Thạc sĩ
2. Mục tiêu nghiên cứu
Mục tiêu của đề tài là nghiên cứu các tính chất nén tổng, nén hiệu,
tính phản kết chùm, sự vi phạm bất đẳng thức Cauchy-Schwarz và tính
chất đan rối của trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon tích
8
SU(1,1) chẵn.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Trên cơ sở mục tiêu nghiên cứu của đề tài, tôi đặt ra một số nhiệm
vụ nghiên cứu như sau:
- Đưa ra trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon tích SU(1,1) chẵn;
- Nghiên cứu các tính chất nén tổng, nén hiệu và nén Hillery bậc cao
của trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon tích SU(1,1) chẵn;
- Nghiên cứu tính chất phản kết chùm bậc cao của trạng thái hai mode
kết hợp thêm hai photon tích SU(1,1) chẵn;
- Nghiên cứu sự vi phạm bất đẳng thức Cauchy-Schwarz của trạng thái
hai mode kết hợp thêm hai photon tích SU(1,1) chẵn;
- Nghiên cứu tính đan rối của trạng thái hai mode kết hợp thêm hai
photon tích SU(1,1) chẵn
- Nghiên cứu ngôn ngữ lập trình Mathematica để vẽ đồ thị.
4. Phạm vi nghiên cứu
Trong khuôn khổ luận văn, tôi chỉ nghiên các tính chất phi cổ điển
của trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon tích SU(1,1) chẵn.
5. Phương pháp nghiên cứu
Trong quá trình nghiên cứu, chúng tôi sử dụng một số phương pháp
nghiên cứu sau:
- Phương pháp phân tích, tổng hợp tài liệu
- Phương pháp lý thuyết trường lượng tử
- Phương pháp quang lượng tử
- Sử dụng ngôn ngữ lập trình Mathematica để tính số và vẽ đồ thị
9
6. Bố cục luận văn
Ngoài mục lục, phụ lục và tài liệu tham khảo, luận văn được chia
làm ba phần chính
Phần Mở đầu: Nêu rõ tính cấp thiết của đề tài, mục tiêu, nhiệm vụ,
phạm vi, phương pháp nghiên cứu và bố cục của Luận văn.
Phần Nội dung: Bao gồm ba chương
Chương 1: Cơ sở lý thuyết
Chương 2: Khảo sát các chất tính chất nén của trạng thái hai mode kết
hợp thêm hai photon tích SU(1,1) chẵn
Chương 3: Khảo sát tính chất phản kết chùm và sự vi phạm bất đẳng
thức Cauchy-Schwarz của trạng thái hai mode thêm hai photon tích
SU(1,1) chẵn
Chương 4: Khảo sát tính chất đan rối của trạng thái hai mode kết hợp
thêm hai photon tích SU(1,1) chẵn
Phần Kết luận: Nêu lên kết quả đạt được của Luận văn và đề xuất hướng
mở rộng nghiên cứu.
10
NỘI DUNG
Chương 1
CƠ SỞ LÝ THUYẾT
Chương này trình bày tổng quan các kiến thức cơ bản về trạng
thái kết hợp và trạng thái nén. Tiếp theo, chúng tôi trình bày
chi tiết các tính chất phi cổ điển cụ thể như tính chất nén
tổng, nén hiệu, nén Hillery bậc cao, tính chất phản kết chùm,
sự vi phạm bất đẳng thức Cauchy-Schwarz và khảo sát tính chất
đan rối của trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon tích
SU(1,1) chẵn.
1.1.
Trạng thái kết hợp
1.1.1.
Định nghĩa
Trạng thái kết hợp là trạng thái ứng với giá trị thăng giáng nhỏ nhất
suy ra từ hệ thức bất định Heisenberg do Glauber [15] và Sudarshan [28]
đã đưa ra khái niệm này vào năm 1963.
Trạng thái Fock là trạng thái riêng của toán tử số hạt nghĩa là
n
ˆ |n = a
ˆ† a
ˆ |n ,
2
a
ˆ†
|n = √ |0 .
n!
(1.1)
Trạng thái Fock |n là trạng thái có số hạt xác định và được khái quát
hóa lên từ trạng thái chân không. Trong đó, trạng thái chân không là
trạng thái mà tại đó không có hạt nào được kích thích và được kí hiệu
11
|0 , với
a
ˆ |0 = 0,
√
a
ˆ |n = n |n − 1 ,
√
a
ˆ† |n = n + 1 |n + 1 .
(1.2)
Các trạng thái Fock tạo nên một hệ cơ sở đủ, do đó có thể khai triển
một trạng thái bất kỳ trong hệ cơ sở này, hay
∞
|n n| = 1.
(1.3)
n=0
Trạng thái kết hợp có thể tạo ra bằng cách tác dụng toán tử dịch chuyển
ˆ (α) lên trạng thái chân không |0 của trường điện từ
D
ˆ (α) |0 ,
|α = D
(1.4)
ˆ (α) là toán tử dịch chuyển
trong đó D
ˆ (α) = exp(αˆ
D
a† − α ∗ a
ˆ),
(1.5)
với α = r exp (iϕ) là tham số kết hợp, r và ϕ lần lượt là biên độ và pha
kết hợp; toán tử a
ˆ† , a
ˆ lần lượt là toán tử sinh, hủy photon của trường
điện từ và chúng tuân theo hệ thức giao hoán
a
ˆ† , a
ˆ =a
ˆa
ˆ† − a
ˆ† a
ˆ = 1,
[ˆ
a, a
ˆ] = a
ˆ† , a
ˆ† = 0.
(1.6)
ˆ ta có
Sử dụng đồng nhất thức Backer-Hausdorff cho hai toán tử Aˆ và B,
ˆ + B)
ˆ = exp(A)
ˆ exp(B)
ˆ exp(− 1 [A,
ˆ B]),
ˆ
exp(A
2
(1.7)
ˆ B
ˆ không giao hoán với nhau hay giao hoán tử
trong đó các toán tử A,
ˆ B
ˆ là toán tử Cˆ nào đó, tức là
A,
ˆ B
ˆ ,A
ˆ =
A,
ˆ B
ˆ ,B
ˆ = 0.
A,
12
Ta được
ˆ
D(α)
= exp(αˆ
a† − α ∗ a
ˆ)
= exp(αˆ
a† ) exp(−α∗ a
ˆ) exp − 21 αˆ
a† , −α∗ a
ˆ
(1.8)
.
Mặt khác
αˆ
a† , −α∗ a
ˆ = −|α|2 , a
ˆ† , a
ˆ = |α|2 , a
ˆ, a
ˆ† = |α|2 ,
(1.9)
1
ˆ
D(α)
= exp(αˆ
a† ) exp(−α∗ a
ˆ) exp(− |α|2 ).
2
(1.10)
nên
Áp dụng khai triển chuỗi Taylor cho hai thừa số đầu exp(αˆ
a† ) và exp(−α∗ a
ˆ)
của hàm dạng ex ta được
2
3
(αˆ
a† ) (αˆ
a† )
(αˆ
a† )
†
exp(αˆ
a )=1+
+
+
+ ...
1!
2!
3!
n
∞
(αˆ
a† )
=
,
n!
n=0
(−α∗ a
ˆ) (−α∗ a
ˆ)2 (−α∗ a
ˆ)3
exp(−α a
ˆ) = 1 +
+
+
+ ...
1!
2!
3!
∞
(−α∗ a
ˆ)n
=
.
n!
n=0
(1.11)
∗
(1.12)
ˆ
Bằng cách tác dụng toán tử dịch chuyển D(α)
lên trạng thái chân không
|0 của trường điện từ và sử dụng (1.11), (1.12) chúng tôi được
1
ˆ
D(α)
|0 = exp(αˆ
a† ) exp(−α∗ a
ˆ) exp(− |α|2 ) |0
2
∞
1 2
(−α∗ a
ˆ)n
†
= exp(αˆ
a ) exp(− |α| )
|0 .
2
n!
n=0
(1.13)
Do
∞
n=0
∞
(−α∗ a
ˆ)n
(−α∗ )n a
ˆn
|0 =
|0 = |0 ,
n!
n!
n=0
√
n! |n = (ˆ
a† )n |0
13
(1.14)
nên
1
ˆ
D(α)
|0 = exp(αˆ
a† ) exp(− |α|2 ) |0
2
n
∞
1 2
(αˆ
a† )
= exp(− |α| )
|0
2
n!
n=0
∞
1
αn † n
= exp(− |α|2 )
(ˆ
a ) |0
2
n!
n=0
√
∞
1 2
αn n!
= exp(− |α| )
|n
2
n!
n=0
∞
1
αn
√ |n ,
= exp(− |α|2 )
2
n!
n=0
(1.15)
n
trong đó |n =
(ˆ
a† )
√
n!
|0 là vectơ trạng thái chứa n hạt boson hay còn gọi
là trạng thái Fock.
Do các trạng thái Fock là một hệ cơ sở đủ nên khai triển trạng thái kết
hợp |α theo trạng thái Fock |n được
∞
1 2
αn
√ |n .
|α = exp(− |α| )
2
n!
n=0
(1.16)
Vì trạng thái kết hợp |α là hàm riêng bên phải của toán tử hủy a
ˆ ứng
với giá trị riêng α hay |α là trạng thái riêng của toán tử hủy photon
với giá trị riêng là α,
a
ˆ |α = α |α .
(1.17)
Lấy liên hợp Hermite (1.17) được
(ˆ
a |α )∗ = α| α∗ = α| a
ˆ† ,
và (1.17) có thể được chứng minh tường minh như sau
14
(1.18)
∞
1 2
αn
√ |n
a
ˆ |α = a
ˆ exp(− |α| )
2
n!
n=0
∞
1
αn
√ a
= exp(− |α|2 )
ˆ |n
2
n!
n=0
∞
αn √
1 2
√
n |n − 1
= exp(− |α| )
2
n!
n=0
∞
1
= exp(− |α|2 )
2
n=0
α.αn−1
(n − 1)!
|n − 1
= α |α .
Để làm rõ sự khác biệt giữa trạng thái Fock và trạng thái kết hợp, chúng
tôi xét đến phương sai của trạng thái Fock
(∆ˆ
n)2 = 0,
(1.19)
(∆ˆ
n)2 = |α|2 .
(1.20)
còn đối với trạng thái kết hợp
Chúng tôi thấy rằng trạng thái Fock |n số hạt có thể đo một cách chính
xác nhưng đối với trạng thái kết hợp |α thì có sai số khi đo, cụ thể là
sai số tỉ lệ với trung bình số hạt.
Trạng thái kết hợp khác trạng thái Fock là vì trạng thái kết hợp chứa
một số photon không xác định và toán tử hủy không làm thay đổi trạng
thái này
a
ˆ |n =
√
n |n − 1 ,
a
ˆ |α = α |α .
Như vậy, trạng thái kết hợp là trạng thái riêng của toán tử hủy thỏa
mãn (1.17) và toán tử hủy không làm thay đổi trạng thái này
1
|α = exp − |α|2
2
15
∞
n=0
αn
√ |n ,
n!
với α là số phức và exp − 12 là hệ số chuẩn hóa.
1.1.2.
Các tính chất của trạng thái kết hợp
Trạng thái kết hợp có một số tính chất sau đây:
Tính chất 1: Phân bố số hạt ở trạng thái kết hợp tuân theo phân bố
Poisson.
Do số hạt trung bình ở trạng thái kết hợp |α là
n
ˆ = α |ˆ
n| α
(1.21)
= α a
ˆ† a
ˆ α = |α|2
và phương sai của toán tử số hạt trong trạng thái kết hợp như trong
(1.20) là
n− n
ˆ )2
(∆ˆ
n)2 = (ˆ
= n
ˆ2 − n
ˆ
2
= α| n
ˆ 2 |α − ( α| n
ˆ |α )2
= α| a
ˆ† a
ˆa
ˆ† a
ˆ |α −
α| a
ˆ† a
ˆ |α
2
= |α|2 α| a
ˆ† (ˆ
a† a
ˆ + 1)ˆ
a |α − |α|4
= |α|4 + |α|2 − |α|4
= |α|2 ,
nên
n
ˆ = (∆n)2 ,
hay trạng thái kết hợp tuân theo phân bố Poisson.
Mặt khác, xác suất tìm hạt ở trạng thái kết hợp |α là
P (n) = | n | α |2
|α|2n
=
exp −|α|2 .
n!
16
(1.22)
Thật vậy, từ (1.16) ta thấy
|α|n
√
n!
2
n | α = exp −|α|
nên
P (n) =| n | α |2
=( n | α )∗ n | α
|α|2n
=
exp −|α|2 ,
(1.23)
n!
trong đó P (n) là hàm phân bố Poisson, hàm phân bố Poisson là hàm
phân bố tương ứng với giới hạn lượng tử chuẩn. Trạng thái kết hợp là
trạng thái cổ điển.
Tính chất 2: Tập hợp tất cả các trạng thái kết hợp |α là một tập hợp
đủ
1
π
|α α|d2 α = 1.
(1.24)
Chứng minh (1.24), ta được
∞
2
|α α|d α =
e
αn
√ |n
n!
2
−|α|
n=0
∞
(α∗ )m
√
m| d2 α,
m!
m=0
(1.25)
trong đó α = r exp(iϕ) là số phức bất kỳ. Chuyển sang tọa độ cực ta
được d2 α = rdrdϕ, sau
ˆ+2k a
ˆ2k ˆb+2kˆb2k .
|a
ˆ2kˆb2k |2 > a
(4.3)
ˆ2kˆb2k |2
RH = a
ˆ+2k a
ˆ2k ˆb+2kˆb2k − | a
(4.4)
Đặt
Trạng thái đan rối nếu RH < 0. Kết quả tính toán cho trạng thái hai
mode kết hợp thêm hai photon tích SU(1,1) có dạng như sau ( k = 1 )
Từ (4.4) chúng tôi viết lại như sau
RH = a
ˆ+2 a
ˆ2 ˆb+2ˆb2 − | a
ˆ2ˆb2 |2 < 0.
(4.5)
Tính trị trung bình trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon tích
SU(1,1) chẵn trong (4.1) chúng tôi có các kết quả sau
a
ˆ†2 a
ˆ2 = ba ψ| a
ˆ†2 a
ˆ2 |ψ
= |N |2 1 − |ξ|2
1+q
ab
∞
m=0
(m + q)!
m!q!
1
2
∞
[1 + (−1)m ] ξ ∗m
n=0
× [1 + (−1)n ] ξ n ba m, m + q| a
ˆˆbˆ
a† a
ˆ† a
ˆa
ˆa
ˆ†ˆb† |n + q, n
= |N |2 1 − |ξ|2
1+q
∞
m=0
× [1 + (−1)n ] ξ n
(m + q)!
m!q!
1
2
(n + q)!
n!q!
1
2
ab
∞
[1 + (−1)m ] ξ ∗m
n=0
(n + q)!
n!q!
1
2
(n + q + 1)4 (n + q)2 (n + 1)2
× δm+q,n+q δm,n
2
2
= |N | 1 − |ξ|
1+q
∞
n=0
∞
= |N |2 2(1 − |ξ|)1+q
n=0
(n + q)!
2
[1 + (−1)n ] |ξ|2n (n + q + 1)2 (n + q)(n + 1)
n!q!
(n + q)!
[1 + (−1)n ] |ξ|2n (n + q + 1)2 (n + q)(n + 1).
n!q!
(4.6)
73
Tương tự
ˆb†2ˆb2 = ba ψ| ˆb†2ˆb2 |ψ
ab
∞
(n + q + 1)!
[1 + (−1)n ] |ξ|2n (n + 1)2 n.
n!q!
= |N |2 2(1 − |ξ|)1+q
n=0
ˆ2ˆb2 |ψ
a
ˆ2ˆb2 = ba ψ| a
ab
∞
2
(4.7)
1+q
= |N | 2(1 − |ξ|)
n=0
(n + q + 3)!
[1 + (−1)n ] |ξ|2n ξ 2 (n + 3).
n!q!
(4.8)
Thay các trị trung bình đã tính vào (4.4) chúng tôi tính được tham số
RH =
∞
n=0
(n+q)!
n!q! [1
+ (−1)n ]|ξ|2n (n + q + 1)2 (n + q) (n + 1)
∞
(n+q+1)!
n!q! [1
n=0
∞
×
n=0
(n+q)!
n!q! [1
∞
n=0
∞
−
n=0
∞
+ (−1)n ]|ξ|2n [ (n + q + 1) (n + 1)2 n]
(n+q+1)!
n!q! [1
(n+q+3)!
n!q! [1
n=0
+ (−1)n ]|ξ|2n (n + 1)
+ (−1)n ]|ξ|2n (n + 1)
+ (−1)n ]|ξ|2n ξ 2 (n + 3)
2
,
(n+q+1)!
n!q! [1
n
(4.9)
2n
+ (−1) ]|ξ| (n + 1)
Đồ thị (hình 4.1) Sự phụ thuộc của RH vào r với các giá trị q khác
nhau: Đường màu đen ứng với q = 0, đường màu đỏ ứng với q = 3, đường
màu xanh ứng với q = 5. Các đường biểu diễn này cho thấy RH < 0 với
các giá trị q khác nhau nghĩa là thỏa mãn điều kiện đan rối của Hillery
M. and Zubairy M. S.
74
0
10
RH
20
30
40
50
60
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
r
Hình 4.1: Sự phụ thuộc của RH vào r với các giá trị q khác nhau (Đường biểu diễn các
tham số được chọn theo thứ tự tương ứng với màu đen, màu đỏ, màu xanh lam.)
4.2.
Nghiên cứu tính chất đan rối của trạng thái hai
mode kết hợp thêm hai photon tích SU(1,1)
bằng tiêu chuẩn entropy von Newmann
Hàm entropy về rối không những có tác dụng giúp chúng ta phát
hiện sự đan rối trong các trạng thái đa mode mà nó còn đánh giá được
mức độ đan rối trong trạng thái đó. Có hai tiêu chuẩn entropy thường
dùng là entropy tuyến tính và entropy von Newmann. Trong chương này
chúng tôi sử dụng tiêu chuẩn entropy thứ hai. Theo [10], một trạng thái
đan rối nếu thỏa mãn
E = −Trx (ˆ
ρx lnˆ
ρx ) > 0,
(4.10)
trong đó Trx (ˆ
ρx ) là lấy vết của toán tử mật độ ρˆx theo mode x, ln là
hàm logarit cơ số e. Nếu một trạng thái hai mode trong không gian Fock
có dạng
∞
|Ψ
ab
cn |n + p, n + q
=
n=0
75
ab ,
(4.11)
trong đó cn là hệ số khai triển thỏa mãn
2
n |cn |
= 1, p, q là những số
nguyên không âm, hàm entropy von Newmann có dạng
∞
|cn |2 ln(|cn |2 ).
E=−
(4.12)
n=0
Với trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon tích SU(1,1) chẵn thì
∞
|ψ
ab
cn |n + q + 1, n + 1
=
ab ,
(4.13)
n=0
trong đó
(n + q)!
(1 + (−1)n )ξ n
n!q!
cn = N (1 − |ξ|2 )(1+q)/2
(n + q + 1)(n + 1).
(4.14)
Vậy, entropy von Newmann của trạng thái này được xác định là
∞
2
2 1+q
E = − 2N (1 − |ξ| )
n=0
(n + q)!(1 + (−1)n )|ξ|2n (n + q + 1)(n + 1)
n!q!
2 1+q (n
2
× ln 2N (1 − |ξ| )
+ q)!(1 + (−1)n )|ξ|2n (n + q + 1)(n + 1)
.
n!q!
1.2
E
1.0
0.8
0.6
0.4
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
r
Hình 4.2: Sự phụ thuộc của tham số E vào biên độ r với các giá trị q khác nhau (Đường
biểu diễn các tham số được chọn theo thứ tự tương ứng với màu đen, màu đỏ, màu
xanh lam.)
76
Kết quả ở hình 4.2 cho thấy trạng thái kết hợp thêm hai photon
tích SU(1,1) chẵn bị đan rối hoàn toàn. Mức độ đan rối càng cao nếu r
và q càng lớn. Điều này phù hợp với các kết quả được khảo sát trong
tiêu chuẩn Hillery-Zubairy. Như vậy, điều này một lần nữa khẳng định
việc thêm photon vẫn làm cho trạng thái mới mang tính chất đan rối
mạnh. theo tiêu chuẩn đan rối entropy von Newmann.
Tóm lại, trong chương này chúng tôi đã tiến hành khảo sát tính đan
rối bằng tiêu chuẩn Hillery-Zubairy và tiêu chuẩn entropy von Newmann
của trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon tích SU(1,1) chẵn. Kết
quả cho thấy rằng trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon tích
SU(1,1) chẵn thể hiện tính đan rối mạnh.
77
KẾT LUẬN
Trong Luận văn này, chúng tôi đã tiến hành khảo sát tính chất nén
tổng, nén hiệu hai mode và nén kiểu Hillery, tính phản kết chùm, sự
vi phạm bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, nghiên cứu cứu tính chất đan
rối bằng tiêu chuẩn đan rối Hillery – Zubairy và tiêu chuẩn entropy von
Newmann của trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon tích SU(1,1)
chẵn. Các kết quả chính của Luận văn có thể tóm tắt như sau:
Thứ nhất là bằng cách sử dụng các điều kiện nén tổng, nén hiệu
hai mode và nén Hillery, chúng tôi đã đưa ra các tham số nén tổng, nén
hiệu hai mode và nén Hillery. Qua khảo sát, chúng tôi thu được trạng
thái hai mode kết hợp thêm hai photon tích SU(1,1) chẵn thể hiện tính
chất nén tổng nhưng lại không thể hiện tính chất nén hiệu hai mode.
Đối với trường hợp nén tổng hai mode, mức độ nén tổng càng tăng khi
biên độ kết hợp r và sự chênh lệch photon q giữa hai mode càng tăng.
Kết quả khảo sát cho thấy trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon
tích SU(1,1) chẵn thể hiện tính chất nén tổng yếu hơn trạng thái hai
mode SU(1,1) thêm một photon chẵn.
Thứ hai là chúng tôi áp dụng tiêu chuẩn phản kết chùm cho trường
hợp hai mode để tiến hành khảo sát tính chất phản kết chùm của trạng
thái hai mode kết hợp thêm hai photon tích SU(1,1) chẵn. Kết quả khảo
sát cho thấy rằng trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon tích
SU(1,1) chẵn thể hiện tính phản kết chùm với mức độ mạnh, yếu phụ
thuộc vào biên độ kết hợp r. So với trạng thái hai mode SU(1,1) thêm
một photon chẵn thì trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon tích
SU(1,1) chẵn thể hiện tính phản kết chùm mạnh hơn.
Thứ ba là chúng tôi sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz để khảo
78
