Nhóm lie tuyến tính và biểu diễn

ĐẠI HỌC HUẾ
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

NGUYỄN THỊ THANH DIỆU

NHÓM LIE TUYẾN TÍNH VÀ BIỂU DIỄN

Chuyên ngành: HÌNH HỌC VÀ TÔPÔ
Mã số

: 8460105

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
THEO ĐỊNH HƯỚNG NGHIÊN CỨU

Người hướng dẫn khoa học
PGS.TS TRẦN ĐẠO DÕNG

Thừa Thiên Huế, năm 2018
i


LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của
riêng tôi, các số liệu và kết quả nghiên cứu nêu
trong luận văn là trung thực, được các đồng tác
giả cho phép sử dụng và chưa từng được công bố
trong bất kỳ một công trình nghiên cứu nào khác.
Nguyễn Thị Thanh Diệu

iii


LỜI CẢM ƠN

Hoàn thành luận văn tốt nghiệp này, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc
đến PGS.TS TRẦN ĐẠO DÕNG. Thầy đã tận tình hướng dẫn và giúp đỡ tôi
trong suốt quá trình thực hiện luận văn.
Ngoài ra, tôi xin chân thành cảm ơn quý Thầy, Cô giáo trong khoa Toán
học và phòng Đào tạo Sau đại học, Trường Đại học Sư phạm, Đại học Huế; gia
đình cùng các bạn học viên Cao học khóa 25, bạn bè đã động viên, góp ý, giúp
đỡ, tạo điều kiện cho tôi trong quá trình học tập và thực hiện luận văn.
Huế, tháng 9 năm 2018
Tác giả luận văn

Nguyễn Thị Thanh Diệu

v


MỤC LỤC

Trang phụ bìa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

i

Lời cam đoan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

iii

Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

v

Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

Lời mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

Chương 1 NHÓM LIE TUYẾN TÍNH . . . . . . . . . . . . . .

3

1.1

Định nghĩa nhóm Lie tuyến tính và ví dụ . . . . . . . . . . . . .

3

1.1.1

Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.1.2

Ví dụ về nhóm Lie tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . .

4

Đại số Lie của nhóm Lie tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . .

13

1.2.1

Phép toán exponent của ma trận . . . . . . . . . . . . .

13

1.2.2

Đại số Lie của nhóm Lie tuyến tính . . . . . . . . . . . .

14

1.2.3

Ví dụ về đại số Lie của nhóm Lie tuyến tính . . . . . . .

17

Chương 2 BIỂU DIỄN CỦA NHÓM LIE TUYẾN TÍNH . .

22

2.1

Biểu diễn của nhóm Lie tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . .

22

2.1.1

Định nghĩa và tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

2.1.2

Biểu diễn unita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

2.1.3

Biểu diễn bất khả quy . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

32

2.1.4

Biểu diễn liên hợp và đối liên hợp . . . . . . . . . . . . .

36

2.2

Biểu diễn của nhóm SU(2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

42

2.3

Liên hệ giữa nhóm Lie tuyến tính và nhóm Lie . . . . . . . . . .

51

1.2

KẾT LUẬN

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

60

TÀI LIỆU THAM KHẢO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

61

1


LỜI MỞ ĐẦU
Cho nhóm tuyến tính tổng quát GL(n, C) là tập con gồm các phần tử khả
nghịch của M (n, C). Khi đó, mỗi nhóm đẳng cấu với một nhóm con đóng của

GL(n, C) được gọi là nhóm Lie tuyến tính. Các nhóm Lie tuyến tính và đặc
trưng của chúng được khảo sát bởi Ben Said vào năm 2007. Trước đó, các nhóm
loại này đã được Baker A. trình bày trong [3] và Hall B.C. trình bày trong [6].
Cho G là một nhóm Lie tuyến tính và V là không gian vectơ phức hữu hạn
chiều. Một biểu diễn hữu hạn chiều của G trong V là một đồng cấu nhóm liên
tục từ G vào nhóm GL(V ) tập hợp các tự đẳng cấu trên V . Việc khảo sát và
phân lớp các biểu diễn của nhóm Lie tuyến tính là một bài toán thú vị và thu
hút được sự quan tâm của nhiều nhà nghiên cứu.
Được sự gợi ý của thầy giáo hướng dẫn, PGS.TS Trần Đạo Dõng, và với
mong muốn tìm hiểu thêm về nhóm Lie tuyến tính, đại số Lie tương ứng và biểu
diễn của chúng, tôi đã chọn đề tài "Nhóm Lie tuyến tính và biểu diễn" để
làm đề tài nghiên cứu cho luận văn.
Trong luận văn này, chúng tôi tìm hiểu về nhóm Lie tuyến tính, đại số Lie
của nhóm Lie tuyến tính và các biểu diễn của chúng.
Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn được chia thành
hai chương.
Chương 1 trình bày về nhóm Lie tuyến tính, đại số Lie của nhóm Lie tuyến tính
và thể hiện qua một số ví dụ minh họa cụ thể.
Chương 2 trình bày về biểu diễn của nhóm Lie tuyến tính, biểu diễn của đại
số Lie tương ứng. Thể hiện mối quan hệ giữa biểu diễn bất khả quy, biểu diễn
unita, biểu diễn liên hợp và đối liên hợp của nhóm Lie tuyến tính. Từ đó, minh
họa cụ thể cho nhóm unita đặc biệt SU (2).

2


Chương 1
NHÓM LIE TUYẾN TÍNH
Trong chương này, chúng tôi trình bày về nhóm Lie tuyến tính, đại số Lie của
nhóm Lie tuyến tính và thể hiện qua một số ví dụ minh họa cụ thể. Các kiến

thức trình bày dưới đây được tham khảo từ các tài liệu [1], [3], [5], [6], [7], [9].

1.1

Định nghĩa nhóm Lie tuyến tính và ví dụ

1.1.1

Định nghĩa

Xét không gian vectơ M (n, C) các ma trận vuông phức cấp n, mỗi ma trận
X ∈ M (n, C) ứng với n2 số phức a11 , a12 , ..., a1n , a21 , ..., a2n , ..., an1 , ..., ann nên
2

ta có thể đồng nhất M (n, C) với Cn . Qua đó, M (n, C) trở thành một không
2

gian tôpô với tôpô cảm sinh từ Cn . Trong không gian tôpô này, ta có các khái
niệm sau.
Định nghĩa 1.1.1. Cho (Am )m∈N là một dãy các phần tử của M (n, C), Am hội
tụ tới ma trận A nếu lim |(Am )kl − Akl | = 0, ∀ 1 ≤ k, l ≤ n.
m→∞

Trong không gian vectơ M (n, C), tập hợp các ma trận vuông phức cấp n
khả nghịch là một nhóm với phép nhân ma trận (xem [1, p.82]), gọi là nhóm
tuyến tính tổng quát, kí hiệu là GL(n, C).
Định nghĩa 1.1.2. Một nhóm G được gọi là nhóm Lie tuyến tính nếu tồn tại
n ∈ N sao cho G đẳng cấu với một nhóm con đóng của GL(n, C).
Nhận xét 1.1.1. Cho một nhóm con bất kì G của GL(n, C) thỏa mãn tính
chất: Nếu (Am )m∈N là một dãy ma trận trong G và Am hội tụ tới một ma trận

A nào đó của M (n, C) thì A ∈ G hoặc A không khả nghịch. Khi đó, G là một
nhóm con đóng của GL(n, C).

3


Xét nhóm tuyến tính tổng quát phức GL(n, C), (Am )m∈N là một dãy ma
trận trong GL(n, C) hội tụ tới A ∈ M (n, C). Từ định nghĩa của GL(n, C) suy
ra A ∈ GL(n, C) hoặc A không khả nghịch. Vì vậy, GL(n, C) là một nhóm con
đóng của chính nó nên GL(n, C) là một nhóm Lie tuyến tính.
Xét nhóm GL(n, R) gồm các ma trận vuông thực cấp n, (Am )m∈N là một
dãy các ma trận trong GL(n, R) hội tụ tới A. Vì các phần tử của các ma trận
Am là thực nên A ∈ M (n, R). Suy ra, A ∈ GL(n, R) hoặc A không khả nghịch.
Do đó, GL(n, R) là một nhóm con đóng của chính nó. Mà GL(n, R) là nhóm
con của GL(n, C) nên GL(n, R) là nhóm Lie tuyến tính.
Như vậy, nếu nhóm G bất kì đẳng cấu với nhóm con đóng của GL(n, R) thì G
là nhóm Lie tuyến tính.
1.1.2

Ví dụ về nhóm Lie tuyến tính

Từ định nghĩa 1.1.2 ta suy ra rằng các nhóm Lie tuyến tính gồm các nhóm
con đóng của GL(n, C) và các nhóm không chứa trong GL(n, C). Trong mục
này, ta đưa ra một số ví dụ về mỗi loại nhóm Lie tuyến tính.
A. Nhóm Lie tuyến tính chứa trong GL(n, C)
Cho G là một nhóm con hữu hạn của GL(n, C). Khi đó, mọi dãy hội tụ
(Am )m∈N trong G có giới hạn là ma trận A ∈ G sao cho Am = A với m đủ lớn.
Suy ra, G là nhóm con đóng của GL(n, C) hay G là một nhóm Lie tuyến tính.
Kí hiệu C∗ là nhóm nhân các số phức khác 0. Xét đồng cấu nhóm liên tục
det : GL(n, C) −→ C∗

−→ det A.

A

Khi đó, SL(n, C) = {A ∈ GL(n, C) | det A = 1} là hạt nhân của đồng cấu det
nên SL(n, C) là nhóm con đóng của GL(n, C). Suy ra, SL(n, C) là nhóm Lie
tuyến tính, được gọi là nhóm tuyến tính đặc biệt.

4


Chứng minh tương tự suy ra SL(n, R) = {A ∈ GL(n, R) | det A = 1} là
nhóm con đóng của GL(n, R) nên SL(n, R) là nhóm Lie tuyến tính.
Xét tập hợp O(n) = {A ∈ GL(n, R) | AT .A = In }. Ta có:
• In ∈ O(n).
• ∀A, B ∈ O(n), (AB)T (AB) = B T AT AB = B T IB = B T B = In .
• ∀A ∈ O(n), (A−1 )T .A−1 = (AT )−1 .A−1 = (A.AT )−1 = (In )−1 = In .
Vì vậy, O(n) là nhóm con của GL(n, R).
Giả sử (Am )m∈N là một dãy ma trận trong O(n) hội tụ tới A. Vì phép nhân ma
trận là hàm liên tục nên
AT .A = lim ATm . lim Am = lim (ATm .Am ) = lim In = In .
m→∞

m→∞

m→∞

m→∞

Suy ra, A ∈ O(n) nên O(n) là nhóm con đóng của GL(n, R).

Vậy O(n) là nhóm Lie tuyến tính, gọi là nhóm trực giao.
Ta có: SO(n) = SL(n, R) ∩ O(n) là giao của hai nhóm con đóng nên
SO(n) là nhóm con đóng của GL(n, R). Vậy SO(n) là nhóm Lie tuyến tính, gọi
là nhóm trực giao đặc biệt.
Xét tập hợp O(n; k) = {A ∈ GL(n + k, R) | AT .g.A = g} với ma trận
g ∈ GL(n + k, R) được xác định như sau:


In 0
.
g=
0 −Ik
Khi đó, ta có:
• g ∈ O(n; k).
• ∀A, B ∈ O(n; k), (AB)T .g.(AB) = B T AT .g.AB = B T .g.B = g.
• ∀A ∈ O(n; k), (A−1 )T .g.A−1 = (A.g.AT )−1 = g −1 = g.
Vì vậy, O(n; k) là nhóm con của GL(n + k, R).
Giả sử (Am )m∈N là một dãy ma trận trong O(n; k) hội tụ tới A. Khi đó,
AT .g.A = lim ATm .g. lim Am = lim (ATm .g.Am ) = lim g = g.
m→∞

m→∞

m→∞

5

m→∞

Suy ra, A ∈ O(n; k) nên O(n; k) là nhóm con đóng của GL(n + k, R).
Do đó, O(n; k) là nhóm Lie tuyến tính, gọi là nhóm trực giao suy rộng.
Xét tập hợp U (n) = {A ∈ GL(n, C) | A.A∗ = In } với (A∗ )jk = Akj . Ta có:
• In ∈ U (n).
• ∀A, B ∈ U (n), (AB)(AB)∗ = A.B.B ∗ .A∗ = A.A∗ = In .
• ∀A ∈ U (n), A−1 .(A−1 )∗ = A−1 .(A∗ )−1 = (A∗ .A)−1 = In .
Vì vậy, U (n) là nhóm con của GL(n, C).
Giả sử (Am )m∈N là một dãy ma trận trong U (n) hội tụ tới A. Khi đó,
A.A∗ = lim Am . lim A∗m = lim (Am .A∗m ) = lim In = In .
m→∞

m→∞

m→∞

m→∞

Suy ra, A ∈ U (n) hay U (n) là nhóm con đóng của GL(n, C).
Vậy U (n) là nhóm Lie tuyến tính, gọi là nhóm unita.
Ta có: SU (n) = SL(n, C) ∩ U (n) là giao của hai nhóm con đóng nên
SU (n) là nhóm con đóng của GL(n, C). Suy ra, SU (n) là nhóm Lie tuyến tính,
gọi là nhóm unita đặc biệt.
Tiếp theo, ta sẽ trình bày các ví dụ về nhóm Lie tuyến tính không chứa
trong GL(n, C), tức là nhóm đẳng cấu với nhóm con đóng của GL(n, C).
B. Nhóm Lie tuyến tính không chứa trong GL(n, C)
Tập hợp Sn gồm tất cả các phép thế bậc n cùng với phép toán hợp thành
ánh xạ lập thành một nhóm, gọi là nhóm đối xứng bậc n (xem [1, p.113]). Từ
đó, ta có mệnh đề sau.
Mệnh đề 1.1.1. Nhóm đối xứng bậc n là nhóm Lie tuyến tính.
Chứng minh. Xét tương ứng

φ : Sn −→ GL(n, R)
σ −→ Mσ = (Aij )n×n ,
trong đó Aij = δiσ(j) với δij = 1 nếu i = j và δij = 0 nếu i = j.
Với mọi σ ∈ Sn , Mσ .Mσ−1 = Mσ−1 .Mσ = In nên Mσ = (φ(σ))ij ∈ GL(n, R).
6


Với σ, σ ∈ Sn , φ(σ ◦ σ ) = Mσ .Mσ = φ(σ).φ(σ ).
Suy ra, φ là đồng cấu.
Kerφ = {σ ∈ Sn | φ(σ) = In } = {e} với {e} là phép hoán vị đồng nhất của Sn .
Do đó, φ là đơn cấu nên Sn đẳng cấu với Imφ. Kí hiệu là Sn ∼
= Imφ.
Ta có, Imφ = {Mσ | σ ∈ Sn }. Vì Sn có hữu hạn phần tử nên Imφ là nhóm hữu
hạn của GL(n, R). Suy ra, Imφ là một nhóm con đóng của GL(n, R).
Vậy Sn đẳng cấu với một nhóm con đóng của GL(n, R) nên Sn là nhóm Lie
tuyến tính.
Xét nhóm hữu hạn G = {x1 , x2 , .., xn } bất kì. Theo định lý Cayley, mọi
nhóm hữu hạn cấp n đều đẳng cấu với một nhóm con của Sn (xem [7, p.11])
nên G đẳng cấu với một nhóm con đóng của GL(n, R). Ta có nhận xét sau đây.
Nhận xét 1.1.2. Nhóm hữu hạn là nhóm Lie tuyến tính.
Xét Rn = {(x1 , x2 , ..., xn ) | xi ∈ R} là nhóm với phép cộng. Ta có mệnh đề.
Mệnh đề 1.1.2. Rn là một nhóm Lie tuyến tính.
Chứng minh. Xét ánh

ex1


φ(x) =  ...

0

xạ φ : Rn −→ GL(n, R) được xác định như sau:

··· 0

n
. . . .. 
.  , x = (x1 , ..., xn ) ∈ R .

xn
··· e

Với mọi x, y ∈ Rn , ta có:

 
 

ex1 +y1 · · ·
0
ex1 · · · 0
ey1 · · · 0

 
 

 ..





.
.
.
.
.
.
.
.
..
..  =  ..
. . ..  .  ..
. . .. 
φ(x + y) =  .


 
 

0
· · · exn +yn
0 · · · exn
0 · · · eyn
= φ(x).φ(y).
φ(x) = φ(y) ⇐⇒ x = y.

7


n ∼
Do đó, φ là đơn

cấu

 .
 và R = Imφ
x1


e
·
·
·
0








 .. . .
.
n
.
Ta có, Imφ =  .
,
(x
,
x
,

·
·
·
,
x
)
∈
R
.

. .
1
2
n








 0 · · · exn


Xét nhóm K các ma trận chéo có các phần tử trên đường chéo dương.
K = {A = (aij ) ∈ GL(n, R), aii > 0, aij = 0, ∀i = j}.
Với mỗi A = (aij ) ∈ K, tồn tại duy nhất x = {lna11 , ..., lnann } ∈ Rn sao cho
φ(x) = A. Do đó, Imφ = K.
Giả sử (Am )m∈N là dãy các ma trận trong K hội tụ tới A ∈ GL(n, R).



1
a ··· 0
 m



Am =  ... . . . ...  ∈ K.


n
0 · · · am
Khi đó,

lim
m→∞

..
lim Am = 
.

m→∞

0

a1m

···
...

···


0
..
.





1

 a · · · 0 
 . .
 =  ..
. . ... 
 ∈ K.
 


n
n
lim am
0 ··· a

m→∞

Suy ra, K là một nhóm con đóng của GL(n, R).
Vậy Rn đẳng cấu với nhóm K nên Rn là nhóm Lie tuyến tính.

Xét không gian vectơ Euclid Rn với tích vô hướng chính tắc
x, y = x1 y1 + ... + xn yn , ∀x = (x1 , ..., xn ), y = (y1 , ..., yn ).
Chuẩn sinh bởi tích vô hướng được xác định bởi x =

x, x .

Khi đó, tập hợp các phép biến đổi tuyến tính bảo toàn tích vô hướng lập thành
một nhóm với phép hợp thành các ánh xạ, gọi là nhóm biến đổi trực giao của
Rn , kí hiệu O(n) (xem [1, Mệnh đề 2.5]). Ta có mệnh đề sau.
Mệnh đề 1.1.3. Nhóm các phép biến đổi trực giao O(n) của Rn là một nhóm
Lie tuyến tính.
8


Chứng minh. Xét ánh xạ
φ : O(n) −→ GL(n, R)
−→

ϕ

Aϕ

với Aϕ là ma trận của ϕ đối với cơ sở chính tắc của Rn .
Khi đó, φ là một đơn cấu nhóm.
Thật vậy, gọi {e1 , e2 , · · · , en } là cơ sở chính tắc của Rn .
Aϕ là ma trận của ϕ đối với cơ sở chính tắc của Rn nên ϕ(v) = Aϕ (v), ∀v ∈ Rn .
Với mọi u ∈ Rn , ϕ, ψ ∈ O(n), ta có:
ϕ ◦ ψ(u) = ϕ(ψ(u)) = ϕ(Aψ (u)) = Aϕ (Aψ (u)) = (Aϕ Aψ )(u).
Do đó, ϕ ◦ ψ(ei ) là cột thứ i của ma trận Aϕ Aψ . Suy ra, ma trận của ϕ ◦ ψ đối
với cơ sở {e1 , e2 , · · · , en } là Aϕ Aψ .

Vì vậy, φ(ϕ ◦ ψ) = Aϕ Aψ = φ(ϕ).φ(ψ) hay φ là đồng cấu nhóm.
Nếu Aϕ = Aψ thì ma trận của ϕ và ψ đối với cơ sở chính tắc là như nhau. Suy
ra, ϕ = ψ nên φ là đơn cấu. Do đó, O(n) ∼
= Imφ.
Imφ = {Aϕ | ϕ ∈ O(n)}. Với mọi x, y ∈ Rn , A ∈ Imφ, ta có:
n

Ax, Ay =

n

n

(Ax)i (Ay)i =
i=1

xj (AT A)jk yk .

Aij xj Aik yk =
i,j,k = 1

j,k = 1

Do đó, Ax, Ay = x, y ⇐⇒ (AT A)jk = δjk ⇐⇒ A ∈ O(n).
Suy ra, Imφ = O(n).
Vậy O(n) đẳng cấu với nhóm con đóng O(n) của GL(n, R) nên O(n) là một
nhóm Lie tuyến tính.
Xét nhóm các phép biến đổi Euclid của Rn
E(n) = {f : Rn −→ Rn | f (x) − f (y) = x − y , ∀x, y ∈ Rn }.
Các chứng minh sau đây sẽ chỉ ra E(n) là một nhóm Lie tuyến tính.

9


Định nghĩa 1.1.3. Với mỗi v ∈ Rn , ánh xạ Tv : Rn −→ Rn xác định bởi
Tv (x) = x + v, ∀x ∈ Rn được gọi là phép tịnh tiến theo vectơ v.
Mệnh đề 1.1.4. Với mỗi T ∈ E(n), tồn tại duy nhất R ∈ O(n) và v ∈ Rn sao
cho T (x) = R(x) + v, ∀x ∈ Rn .
Chứng minh. Xét T ∈ E(n).
Giả sử T (0) = 0, khi đó:
∀x ∈ Rn , T (x) = T (x) − T (0) = x − 0 = x .
Do đó, T bảo toàn chuẩn.
∀x, y ∈ Rn , x

2

− 2 x, y + y

2

2

= x−y

= T (x) − T (y)
= T (x)
= x

2

2

2

− 2 T (x), T (y) + T (y)

2

− 2 T (x), T (y) + y 2 .

Vì vậy, T (x), T (y) = x, y .
∀x, y ∈ Rn ,

T (x + y) − T (x) − T (y)

= T (x + y)

2

+ T (x)

2

2

+ T (y)

2

− 2 T (x + y), T (x) − 2 T (x + y), T (y) + 2 T (x), T (y)

= x+y

2

+ x

2

= (x + y) − x − y

+ y

2

− 2 x + y, x − 2 x + y, y + 2 x, y

2

= 0.
Vì vậy, T (x + y) = T (x) + T (y).
∀x ∈ Rn , λ ∈ R,

T (λx) − λT (x)

2

= T (λx)

2

− 2 T (λx), λT (x) + λT (x)

= T (λx)

2

− 2λ T (λx), T (x) + λ2 T (x)
10

2
2


= λx
= λ2 x

2

− 2λ λx, x + λ2 x
2

− 2λ2 x

2

+ λ2 x

2
2

= 0.
Vì vậy, T (λx) = λT (x).
Suy ra, T là toán tử tuyến tính. Mặt khác, T bảo toàn chuẩn nên T là trực giao.
Khi đó, T (x) = R(x) + v với v = 0 và R(x) = T (x).
Tổng quát, nếu T (0) = v ∈ Rn .
Với mọi x ∈ Rn ta xác định R(x) = T (x) − v. Khi đó,
R(0) = T (0) − v = v − v = 0 và
R(x) = T (x) − v = T (x) − T (0) = x − 0 = x .
Do đó, R ∈ O(n).
Vậy T (x) = R(x) + v, R ∈ O(n), v ∈ Rn .
Hơn nữa, v = T (0) nên v là duy nhất và do đó R là duy nhất.
Nhận xét 1.1.3. Từ đẳng cấu giữa O(n) với O(n) và mệnh đề 1.1.4 suy ra mỗi
phần tử T của E(n) có thể được biểu thị dưới dạng T = Tv R, R ∈ O(n), v ∈ Rn .
Ta có mệnh đề sau.
Mệnh đề 1.1.5. Nhóm các phép biến đổi Euclid E(n) là nhóm Lie tuyến tính.
Chứng minh. Xét ánh xạ
ϕ : E(n) −→ GL(n + 1, R)


x1 


.. 
 R
.


Tx R −→ 
.


xn 




0 ... 0 1

11


Khi đó, ϕ là một đơn cấu.
Thật vậy, ∀ Tx R, Ty S ∈ E(n), ta có:


n
r1j yj + x1 



j=1




..

 RS
.
 = ϕ(Tx+Ry RS) = ϕ(Tx R.Ty S).
ϕ(Tx R).ϕ(Ty S) = 

n



rnj yj + xn 




j=1


0 ... 0
1
Suy ra, ϕ là đồng cấu.
Hơn nữa, nếu ϕ(Tx R) = ϕ(Ty S) thì R = S, x = y hay Tx R = Ty S.
Do đó, ϕ là đơn cấu và E(n) ∼
= Imϕ.
Đặt F = Imϕ, xét (Am )m∈N là dãy các ma trận trong F hội tụ tới ma trận
A ∈ GL(n + 1, R). Khi đó,





lim Am = lim 
m→∞
m→∞ 









xm
x1 
1 



..  
.. 
Rm
.   R
.

=
 ∈ F.
 

xm
x
n

n
 


0 ... 0 1
0 ... 0 1

Do đó, F là nhóm con đóng của GL(n + 1, R).
Vậy E(n) đẳng cấu với một nhóm con đóng của GL(n + 1, R) nên E(n) là nhóm
Lie tuyến tính.
Với x, y ∈ Rn+1 , ta định nghĩa khoảng cách Lorentz trong Rn+1 bởi:
x−y

2
L

= (x1 − y1 )2 + . . . + (xn − e + f i, δ = g + hi.
Khi đó: a = 0, g = 0, d = f, c = −e. Hơn nữa, trX = 0 nên b = −h.
Do đó, ta thể hiện su(2) dưới dạng như sau:





ib
c + id


su(2) =
, b, c, d ∈ R ∼
= R3 .
 −c + id −ib

Xét Pn là không gian các đa thức hai biến thuần nhất bậc n (n ≥ 0) trên

trường C. Khi đó, đa thức f ∈ Pn có dạng:
f (z) = f (z1 , z2 ) = a0 z1n + a1 z1n−1 z2 + a2 z1n−2 z22 + · · · + an z2n ,
với z = (z1 , z2 ) ∈ C2 và ai là các hằng số phức.
Không gian Pn là không gian vectơ phức (n + 1) chiều với cơ sở {pk | 0 ≤ k ≤ n}
xác định bởi pk (z) = z1n−k z2k .
Với x ∈ SU (2), z = (z1 , z2 ) ∈ C2 , ta xác định một phép biến đổi tuyến tính
Πn (x) trên không gian Pn bởi công thức:
(Πn (x)f )(z) = f (x−1 .z).
Mệnh đề 2.2.1. Πn là một biểu diễn phức hữu hạn chiều của SU (2).
n
2

Chứng minh. Với mọi f ∈ Pn , z ∈ C , f (z) =

ak pk (z).
k=0

Xét x ∈ SU (2), ta có:






α β
αz + βz2
α −β
.
 nên x−1 .z =  1
 , x−1 = 

x=
β α
−β α
−βz1 + αz2
Suy ra, (Πn (x)pk )(z) = pk (x−1 .z) = (αz1 + βz2 )n−k (−βz1 + αz2 )k .
n

ak (αz1 + βz2 )n−k (−βz1 + αz2 )k .

(Πn (x)f )(z) =
k=0

Vì vậy, Πn (x)f là một đa thức hai biến thuần nhất bậc n nên Πn (x) là ánh xạ
liên tục từ Pn vào chính nó.
43


Với mọi x1 , x2 ∈ SU (2), ta có:
Πn (x1 )Πn (x2 )f (z) =Πn (x1 )(Πn (x2 )f )(z)
= (Πn (x2 )f )(x−1
1 .z)
−1
= f (x−1
2 .x1 .z)

= f ((x1 x2 )−1 z)
= Πn (x1 x2 )f (z).
Suy ra, Πn (x1 )Πn (x2 ) = Πn (x1 x2 ) hay Πn là đồng cấu.
Do đó, Πn là một biểu diễn liên tục hữu hạn chiều của SU (2).

.

Từ biểu diễn của nhóm Lie SU (2), ta xác định được biểu diễn của đại số
Lie su(2) tương ứng trong mệnh đề sau.
Mệnh đề 2.2.2. Với biểu diễn Πn của SU (2), tồn tại duy nhất biểu diễn πn
của su(2) được xác định bởi:
∂f
∂f
(X11 z1 + X12 z2 ) −
(X21 z1 + X22 z2 )
∂z1
∂z2


X11 X12
.
với mọi f ∈ Pn , z ∈ C2 , X = 
X21 X22
(πn (X)f )(z) = −

Chứng minh. Ta có, Πn (etX )f (z) = f (e−tX z).
Với mọi z = (z1 , z2 ) ∈ C2 , xét z(t) = e−tX z.
Từ mệnh đề 2.1.1, ta xác định được duy nhất biểu diễn πn của su(2) như sau:
d
f (e−tX z)
dt t=0
d
=
f (z(t))
dt t=0

d
=
f (z1 (t), z2 (t))
dt t=0
∂f dz2
∂f dz1
=
+
∂z1 dt t=0 ∂z2 dt

∀X ∈ su(2), πn (X)f (z) =

44

.
t=0


Mặt khác,

d
dt

e−tX z = −Xz = − 

 


z1
X11 z1 + X12 z2

  = −
.
X22
z2
X21 z1 + X22 z2

X11 X12
X21

t=0

Do đó,
(πn (X)f )(z) = −

∂f
∂f
(X11 z1 + X12 z2 ) −
(X21 z1 + X22 z2 ).
∂z1
∂z2

Bây giờ, ta trang bị cho không gian Pn một tích vô hướng sao cho biểu
diễn Πn trong mệnh đề 2.2.1 là biểu diễn unita của SU (2).
Mệnh đề 2.2.3. Xét ánh xạ
., . : Pn × Pn −→ C
(f, g) −→ f, g
được xác định bởi
n

n

ak z1n−k z2k ,

f (z), g(z) =
k=0
n

bk z1n−k z2k
k=0

k!(n − k)!ak bk .

=
k=0

Khi đó, ., . là một tích vô hướng trên Pn .
Chứng minh. Kiểm tra trực tiếp định nghĩa của một tích vô hướng.
Tiếp theo, ta chứng minh biểu diễn trong mệnh đề 2.2.1 là một biểu diễn
unita của SU (2).
Mệnh đề 2.2.4. Biểu diễn Πn của SU (2) là biểu diễn unita trên Pn .
Chứng minh. Với a ∈ C2 , xét φa là một đa thức trong Pn xác định bởi:
φa (z) = (a−1 .z)n
45


Khi đó, tập hợp A = {φa | a ∈ C2 } chứa một cơ sở của Pn .
Thật vậy, cho ω = e

2πi
n

là một căn bậc n của đơn vị. Xét n + 1 đa thức gồm

(z1 + ω k z2 )n , (1 ≤ k ≤ n) và z2n .
Ma trận biểu diễn của các đa thức trên đối với cơ sở {pk | 0 ≤ k ≤ n} của Pn là


n
n 2
n n
ω
ω ···
ω 
1
1
2
n



n 2
n 4
n 2n 
1
ω
ω ···
ω 


1

2
n



n 3
n 6
n 3n 
1
ω
ω ···
ω 
.
1
2
n
M =



 ..
..
..
..
...

.
.
.
.





n
n
n
n
2n
n.n 
1
ω
ω
·
·
·
ω


1
2
n


0

0

0

···

1

Xét ma trận

1


1



N = 1


 ..
.


1

n
ω
1
n 2
ω
1
n 3
ω

1
..
.

n 2
ω
2
n 4
ω
2
n 6
ω
2
..
.

n n
ω
1

n 2n
ω
···
2

···
···
···
...


n n−1
ω

n

n 2(n−1) 

ω

n

n 3(n−1) 
.
ω

n


..

.

n n.(n−1) 
ω
n

Ta có: det(M ) = (−1)2n+2 . det N = det N .
n
Chia cột thứ k +1 của N bởi

, ta có ma trận Vandermonde (xem [1, p.133]).
k
Suy ra,
n−1
n
det(M ) = det(N ) =
(ω l − ω k ).
k
k=1

1≤k
Vì ω l = ω k với mọi k và l thoả mãn 1 ≤ k < l ≤ n nên det(M ) = 0.
Do đó, n + 1 đa thức gồm (z1 + ω k z2 )n , (1 ≤ k ≤ n) và z2n là độc lập tuyến tính
trong A.

46


Từ định nghĩa tích vô hướng trên Pn , ∀a, b ∈ C2 , ta có:
n

φa , φb =
k=0

n
k!(n − k)!
k
n

= n!
k=0

2

k n−k

ak1 an−k
b1 b2
2

n
(a1 b1 )k (a2 b2 )n−k
k

= n!(a1 b1 + a2 b2 )n
= n! a, b n∗ .
Trong đó, a, b

∗

là tích vô hướng chính tắc trên C2 (xem [1, p.223]).

Vì x ∈ SU (2) là một ma trận unita nên ta có:
xa, xb

∗

= a, b ∗ , ∀a, b ∈ C2 .

Mặt khác, (Πn (x)φa )(z) = φa (x−1 z) = (a−1 x−1 z)n = ((xa)−1 z)n = φxa (z).
Từ đó, ∀x ∈ SU (2), a, b ∈ C2 ta có:
Πn (x)φa , Πn (x)φb = φxa , φxb = n! xa, xb

n
∗

= n! a, b

n
∗

= φa , φb .

Do đó, Πn là một biểu diễn unita.
Chứng minh dưới đây chỉ ra biểu diễn xác định trong mệnh đề 2.2.1 là biểu
diễn bất khả quy của SU (2).
Mệnh đề 2.2.5. Biểu diễn Πn của SU (2) là một biểu diễn bất khả quy.
Chứng minh.
Mệnh đề 2.2.4 chỉ ra tồn tại một tích vô hướng trên Pn để Πn là biểu diễn unita.
Gọi EndSU (2) (Pn ) = {A : Pn −→ Pn | A là SU (2)-đẳng biến}.
Theo tính chất d của bổ đề Schur, Πn bất khả quy nếu mọi A ∈ EndSU (2) (Pn )
đều có dạng A = λidPn , λ ∈ C.
Với φ ∈ R,


iφ
e
0
 ∈ SU (2).

tφ = 
−iφ
0 e
47


Xét cơ sở {pk | 0 ≤ k ≤ n} của Pn . Với mọi z = (z1 , z2 ) ∈ C2 , ta có:
−iφ
Πn (tφ )pk (z) = pk (t−1
z1 , eiφ z2 ) = (e−iφ z1 )n−k (eiφ z2 )k = ei(2k−n)φ pk (z).
φ z) = pk (e

Tức là, Πn (tφ )pk = bk pk với bk = ei(2k−n)φ .
Chọn φ sao cho khi k thay đổi thì bk nhận các giá trị tương ứng khác nhau.
Xét A ∈ EndSU (2) (Pn ), A là SU (2) đẳng biến nên Πn (tφ ) ◦ A = A ◦ Πn (tφ ).
Do đó, Πn (tφ )Apk = AΠn (tφ )pk = A(bk pk ) = bk Apk .
n

Mặt khác, Apk ∈ Pn nên Apk =

λi pi . Ta có:
i=0

Πn (tφ )Apk = bk Apk
n

⇒

n

λi Πn (tφ )pi = bk
i=0

i=0
n

n

⇒

λi p i

λi bi pi =
i=0

⇒

bk λi pi
i=0

= bk λi , ∀i = 0, .., n.

bi λi

Do các bk là khác nhau nên λi = 0, ∀i = k. Suy ra, Apk = λk pk , 0 ≤ k ≤ n.
Với φ ∈ R, ta có:

rφ = 

cosφ −sinφ

sinφ


 ∈ SU (2).

cosφ

Với mọi z = (z1 , z2 ) ∈ C2 , ta có:
Πn (rφ )p0 (z) = p0 (rφ−1 z)
= p0 (z1 cosφ + z2 sinφ, −z1 sinφ + z2 cosφ)
= (z1 cosφ + z2 sinφ)n
n

=
k=0
n

=
k=0

n
(z1 cosφ)n−k (z2 sinφ)k
k
n
cosn−k φsink φpk (z).
k
48


Suy ra:

n

A(Πn (rφ )p0 (z))

n
cosn−k φsink φpk (z)
k

=A
k=0
n

⇐⇒

Πn (rφ )Ap0 (z)

=
k=0
n

⇐⇒

Πn (rφ )λ0 p0 (z)
n

=

n
cosn−k φsink φpk (z) =
k

⇐⇒ λ0
k=0

k=0
n

k=0

n
cosn−k φsink φA(pk (z))
k
n
cosn−k φsink φλk (pk (z))
k
n
cosn−k φsink φλk pk (z).
k

Từ đó: λk = λ0 với mọi 0 ≤ k ≤ n.
n

Với φ(z) ∈ Pn , φ(z) =

ak pk (z), ta có:
k=0

n

n

ak pk (z)

A(φ(z)) = A
k=0

=

n

ak A(pk (z)) =
k=0

n

ak λk pk (z) = λ0
k=0

ak pk (z).
k=0

Do đó, A(φ(z)) = λ0 φ(z), λ0 ∈ C hay A = λidPn , λ ∈ C.
Sử dụng tính chất của nhóm SU (2), ta chứng tỏ một biểu diễn của su(2)
là bất khả quy.
Mệnh đề 2.2.6. Biểu diễn πn của su(2) trong mệnh đề 2.2.2 là biểu diễn bất
khả quy.
Chứng minh. Ta có:


 α −β


SU (2) = 
 β α



2
2
2
(α, β) ∈ C , |α| + |β| = 1 .


Do |α|2 + |β|2 = 1 nên ta có thể viết
α = eia cosθ và β = eib sinθ, a, b, θ ∈ R.
Với α(t) = eiat cosθt, β(t) = eibt sinθt, 0 ≤ t ≤ 1, ta định nghĩa


α(t) −β(t)
.
ϕ(t) = 
β(t) α(t)
49



Khi đó, ϕ(t) liên tục và ϕ(0) = I, ϕ(1) = 

α −β
β


.

α

Hơn nữa, det(A(t)) = (|eiat ||cosθt|)2 + (|eibt ||sinθt|)2 = 1.
Do đó, ϕ(t) ∈ SU (2).
Vậy, SU (2) là liên thông.
Do SU (2) liên thông và Πn là biểu diễn bất khả quy nên theo mệnh đề 2.1.6
suy ra πn cũng là biểu diễn bất khả quy.
Gọi su(2)∗ là không gian vectơ đối ngẫu của su(2). Vì su(2) là không gian
vectơ hữu hạn chiều nên su(2)∗ ∼
= su(2). Từ đó, biểu diễn đối liên hợp của SU (2)
được xác định một cách cụ thể qua mệnh đề sau.
Mệnh đề 2.2.7. Biểu diễn đối liên hợp của SU (2) là ánh xạ
Ad∗ : G −→ GL(su(2)∗ )
g −→ Ad∗ (g) : su(2)∗ ∼
= su(2) −→
F

su(2)∗ ∼
= su(2)

−→ Ad∗ (g)(F ) = gF g −1 .

Chứng minh. Với mọi g ∈ SU (2), F ∈ su(2), ta có: gF g −1 ∈ su(2).
Thật vậy, với g ∈ SU (2), F ∈ su(2), ta có:


α −β

 , (α, β) ∈ C2 , |α|2 + |β|2 = 1
g=
β α


α β
 , (α, β) ∈ C2 , |α|2 + |β|2 = 1
g −1 = 
−β α


ib
c + id
 , b, c, d ∈ R.
F =
−c + id −ib

gF g −1 = 

α −β



ib

c + id



α

β





β
−β α
−ib



αib + βc − βid αc + αid + βib
α β

.
=
βib − αc + αid βc + βid − αib
−β α

α
−c + id

50


Giả sử α = u + iv, β = m + in với u, v, m, n ∈ R và



a
a
11
12
.
gF g −1 = 
a21 a22

Khi đó:

a11 = −a22
= [(u2 + v 2 )b − (un + vm)c − (um − vn)d
− (un + vm)c − (um − vn)d − (m2 + n2 )d]i
a12 = [2(un − vm)b + (m2 − n2 )c − 2mnd + (u2 − v 2 )c − 2uvd]
+ i[2(um + vn)b − 2mnc − (m2 − n2 )d + 2uvc + (u2 − v 2 )d]
= −a21 .

Do đó, gF g −1 ∈ su(2). Áp dụng hệ quả 2.1.3 suy ra psu(2) (gF g −1 ) = gF g −1 .
Vậy Ad∗ (g)(F ) = gF g −1 .
Qua mệnh đề trên, ta thấy rằng biểu diễn đối liên hợp của nhóm unita đặc
biệt SU (2) trùng với biểu diễn liên hợp của nó.

2.3

Liên hệ giữa nhóm Lie tuyến tính và nhóm Lie
Trong phần này, ta sẽ chứng minh rằng nhóm Lie tuyến tính là một nhóm

Lie và điều ngược lại nói chung không đúng. Sau đây là định nghĩa nhóm Lie.
Định nghĩa 2.3.1. Nhóm Lie là một đa tạp khả vi G được trang bị một cấu
trúc nhóm sao cho các ánh xạ

µ : G × G → G, (x, y) → xy và ι : G → G, x → x−1
là khả vi.
Nhận xét 2.3.1. Cho G là một nhóm Lie và H ⊂ G. Nếu H vừa là nhóm con,
vừa là đa tạp con của G thì H là một nhóm Lie.
51


Mệnh đề dưới đây chỉ ra nhóm tuyến tính tổng quát là nhóm Lie.
Mệnh đề 2.3.1. Các nhóm Lie tuyến tính GL(n, R) và GL(n, C) là nhóm Lie.
Chứng minh. Trước hết, ta chỉ ra GL(n, R) là nhóm Lie thực n2 chiều.
Xét không gian vectơ M (n, R) các ma trận vuông thực cấp n, mỗi X ∈ M (n, R)
ứng với n2 số thực a11 , a12 , ..., a1n , a21 , ..., a2n , ..., an1 , ..., ann nên ta có thể đồng
2

nhất M (n, R) với Rn . Xét ánh xạ liên tục
det : M (n, R) → R
và nhóm tuyến tính tổng quát GL(n, R) = {A ∈ M (n, R) | det(A) = 0}.
Ta có, GL(n, R) là tạo ảnh của tập con mở R∗ = R\{0} của R qua ánh xạ det.
Vì det là ánh xạ liên tục nên GL(n, R) là tập con mở của M (n, R). Suy ra,
GL(n, R) là đa tạp khả vi n2 chiều với cấu trúc đa tạp cảm sinh từ M (n, R).
Hơn nữa, phép nhân ma trận và phép lấy nghịch đảo của GL(n, R) là khả vi.
Do đó, GL(n, R) là một nhóm Lie.
Chứng minh tương tự ta có GL(n, C) là một nhóm Lie thực 2n2 chiều.

.

Mệnh đề sau thể hiện mối quan hệ giữa nhóm con đóng và đa tạp con.
Phần chứng minh có thể tham khảo [10].
Mệnh đề 2.3.2. [10, Theorem 2.16] Cho G là một nhóm Lie và H là một nhóm
con của G. Khi đó, các điều sau tương đương:

i. H là đóng theo nghĩa tôpô.
ii. H là một đa tạp con.
Áp dụng mệnh đề trên, ta thu được hệ quả sau.
Hệ quả 2.3.1. Mỗi nhóm con đóng của GL(n, C) là một nhóm Lie. Hơn nữa,
mỗi nhóm Lie tuyến tính là đẳng cấu với một nhóm con đóng của GL(n, C) nên
nhóm Lie tuyến tính là nhóm Lie.
Như vậy, mỗi nhóm Lie tuyến tính là một nhóm Lie nhưng điều ngược lại
nói chung không đúng. Sau đây là một ví dụ.
52


Mệnh đề 2.3.3. Tập hợp G = R2 × S1 = {(x, y, u) | x ∈ R, y ∈ R, u ∈ S1 ⊂ C}
với phép nhân được xác định bởi
(x1 , y1 , u1 ).(x2 , y2 , u2 ) = (x1 + x2 , y1 + y2 , eix1 y2 u1 u2 )
là một nhóm Lie.
Chứng minh. Với mọi (x1 , y1 , u1 ), (x2 , y2 , u2 ), (x3 , y3 , u3 ) ∈ G, ta có:
((x1 , y1 , u1 ).(x2 , y2 , u2 )).(x3 , y3 , u3 )
=(x1 + x2 , y1 + y2 , eix1 y2 u1 u2 ).(x3 , y3 , u3 )
=(x1 + x2 + x3 , y1 + y2 + y3 , ei(x1 y2 +x1 y3 +x2 y3 ) u1 u2 u3 )
=(x1 , y1 , u1 ).((x2 , y2 , u2 ).(x3 , y3 , u3 )).
(x, y, u).(0, 0, 1) =(0, 0, 1).(x, y, u) = (0, 0, 1).
(x, y, u).(−x, −y, eixy u−1 ) = (−x, −y, eixy u−1 ).(x, y, u) = (0, 0, 1).
Vậy G là một nhóm.
Vì R và S1 là các đa tạp nên G là đa tạp.
Hơn nữa, các ánh xạ:
φ:

G×G

−→

G

((x1 , y1 , u1 ), (x2 , y2 , u2 )) −→ (x1 + x2 , y1 + y2 , eix1 y2 u1 u2 ),
ϕ:

G

−→

G

(x, y, u) −→ (−x, −y, eixy u−1 )
là khả vi. Do đó, G là một nhóm Lie.
Rõ ràng, nhóm G không là nhóm con của GL(n; C). Hơn nữa, các chứng minh
dưới đây chỉ ra không tồn tại một đơn cấu liên tục nào từ G vào GL(n; C) nên
G không là nhóm Lie tuyến tính.

53