Siêu mặt tịnh tiến trong không gian rn+1

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐẠI HỌC HUẾ
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

ĐẶNG THỊ THI THÙY

SIÊU MẶT TỊNH TIẾN
TRONG KHÔNG GIAN Rn+1

Chuyên ngành: HÌNH HỌC VÀ TÔPÔ
Mã số:60.46.01.05

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Cán bộ hướng dẫn khoa học
PGS. TS. TRẦN ĐẠO DÕNG

Huế, năm 2017
i


LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, các số liệu và
kết quả nghiên cứu trong luận văn là trung thực, được các đồng tác giả cho phép
sử dụng và chưa từng được công bố trong bất kì một công trình nào khác.

Đặng Thị Thi Thùy

ii

LỜI CẢM ƠN
Trước hết, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc và xin gửi lời cảm ơn chân
thành đến PGS. TS. Trần Đạo Dõng, người Thầy đã hướng dẫn tôi trong suốt
thời gian thực hiện luận văn và tạo điều kiện để tôi được tìm hiểu, hoàn thành
đề tài của bản thân.
Tôi cũng xin chân thành cảm ơn quý thầy cô, đặc biệt là quý thầy cô Khoa
Toán Trường Đại học Sư phạm, Đại học Huế đã nhiệt tình giảng dạy và truyền
thụ kiến thức cho tôi trong những năm vừa qua.
Cuối cùng, tôi xin gửi lời cảm ơn đến gia đình và bạn bè đã quan tâm giúp
đỡ, động viên tôi trong suốt chặng đường học tập vừa qua.
Xin trân trọng và chân thành cảm ơn !

Đặng Thị Thi Thùy

iii


Mục lục
Trang phụ bìa

i

Lời cam đoan

ii

Lời cảm ơn

iii

Mục lục

1

Lời nói đầu

2

1 Một số kiến thức chuẩn bị

4

1.1 Siêu mặt chính qui trong không gian Rn+1 . . . . . . . . . . . . . .

4

1.1.1 Các định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.1.2 Dạng cơ bản I, II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.2 Siêu mặt cực tiểu trong không gian Rn+1 . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.2.1 Độ cong trung bình, độ cong Gauss . . . . . . . . . . . . . .

7

1.2.2 Phương trình Lagrange cho siêu mặt . . . . . . . . . . . . . 10
1.3 Mặt tịnh tiến với độ cong hằng trong không gian R3 . . . . . . . . 13
2 Siêu mặt tịnh tiến với độ cong hằng

16

2.1 Siêu mặt tịnh tiến trong không gian Rn+1 . . . . . . . . . . . . . . 16
2.2 Siêu mặt tịnh tiến cực tiểu trong không gian Rn+1 . . . . . . . . . 17
2.3 Siêu mặt tịnh tiến với độ cong hằng trong không gian Rn+1 . . . . 26
2.4 Siêu mặt tịnh tiến với độ cong hằng trong không gian Ln+1 . . . . 30
2.4.1 Không gian Lorentz - Minkowski Ln+1 . . . . . . . . . . . . 30
2.4.2 Siêu mặt tịnh tiến với độ cong hằng trong không gian Ln+1

31

Kết luận

41

Tài Liệu Tham Khảo

42

1


LỜI NÓI ĐẦU
Trong R3 , một mặt được gọi là mặt tịnh tiến nếu được xác định bởi tham số

hóa sau:
X:

U

−→ R3

(x, y) −→ X(x, y) = (x, y, z),

trong đó U là một miền mở chứa trong R2 và z = f (x) + g(y), với f, g là các hàm
trơn. Năm 1835, Scherk đã chứng minh rằng, ngoài mặt phẳng thì mặt tịnh tiến
cực tiểu duy nhất là mặt được xác định bởi
1 cosax
z = ln
,
a cosay

trong đó a là hằng số khác không. Mặt này được gọi là mặt tịnh tiến cực tiểu
Scherk. Năm 1991, Dillen, Verstraelen và Zafindratafa đã mở rộng mặt tịnh tiến
trong không gian Euclide 3-chiều R3 lên các siêu mặt tịnh tiến trong không gian
Euclide (n + 1)-chiều Rn+1 . Một siêu mặt tịnh tiến S trong không gian Euclide
Rn+1 là đồ thị của một hàm
f:

Rn

−→ R

(x1 , · · · , xn ) −→ f (x1 , · · · , xn ) = f1 (x1 ) + · · · + fn (xn ),

với f1 , f2 , · · · , fn là các hàm một biến số thực trơn.
Hơn nữa, nhiều tính chất thú vị về siêu mặt tịnh tiến cực tiểu, siêu mặt tịnh
tiến với độ cong trung bình hằng, độ cong Gauss hằng trong không gian Euclide
nhiều chiều đã được khảo sát và đang tiếp tục mở rộng trong một số không gian
khác liên quan như không gian Lorentz-Minkowski, không gian Hyperbolic,. . . .
Với mong muốn tìm hiểu về nội dung này và được sự định hướng của Thầy
giáo hướng dẫn, PGS. TS Trần Đạo Dõng, tôi đã chọn đề tài “Siêu mặt tịnh
tiến trong không gian Rn+1 ” làm đề tài nghiên cứu cho luận văn.

2


Nội dung của luận văn gồm hai chương như sau:
Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị. Chương này nhằm giới thiệu một số
khái niệm cơ bản về siêu mặt trong không gian Rn+1 như siêu mặt chính qui,
công thức tính độ cong Gauss, độ cong trung bình, phương trình Lagrange.
Ngoài ra, chúng tôi giới thiệu một số kết quả của mặt tịnh tiến, mặt tịnh tiến
cực tiểu, mặt tịnh tiến có độ cong hằng trong không gian R3 .
Chương 2: Siêu mặt tịnh tiến với độ cong hằng. Trong chương này, chúng
tôi khảo sát siêu mặt tịnh tiến trong không gian Rn+1 và các tính chất của siêu
mặt tịnh tiến cực tiểu, siêu mặt tịnh tiến với độ cong trung bình hằng, độ cong
Gauss hằng trong không gian Rn+1 . Hơn nữa, chúng tôi đã mở rộng các kết quả
tương tự cho không gian Lorentz - Minkowski (n + 1)-chiều.
Tuy đã cố gắng rất nhiều, nhưng do hạn chế về mặt thời gian và năng lực
bản thân, luận văn này không tránh khỏi những sai sót. Tôi rất mong nhận được
những ý kiến đóng góp của quý Thầy Cô và các bạn để luận văn được hoàn thiện
hơn.

Huế, tháng 9 năm 2017.
Đặng Thị Thi Thùy

3


Chương 1
Một số kiến thức chuẩn bị
Trong chương này, chúng tôi giới thiệu các khái niệm cơ bản về siêu mặt
trong không gian Rn+1 như siêu mặt chính qui, độ cong Gauss, độ cong trung
bình, phương trình Lagrange. Ngoài ra, chúng tôi giới thiệu một số kết quả của
mặt tịnh tiến, mặt tịnh tiến cực tiểu, mặt tịnh tiến có độ cong hằng trong không
gian R3 . Các kiến thức trong chương này được tham khảo từ tài liệu [1], [2], [5].

Siêu mặt chính qui trong không gian Rn+1

1.1
1.1.1

Các định nghĩa

Siêu mặt tham số n-chiều S trong không gian Rn+1 là một ánh xạ khả vi:
X:

U

−→ Rn+1

(u1 , . . . , un ) −→ X(u1 , . . . , un ),

với U là một miền mở chứa trong Rn . Kí hiệu S = X(u1 , . . . , un ).
Ánh xạ X được gọi là một tham số hóa của S và X(U) là lân cận tọa độ của S.

Tập con S ⊂ Rn+1 được gọi là siêu mặt chính qui nếu với mỗi điểm p ∈ S tồn
tại lân cận V ⊂ Rn+1 của p và một tham số hóa:
X:

U ⊂ Rn

−→ Rn+1

(u1 , . . . , un ) −→ X(u1 , . . . , un ),

trong đó X(u1 , . . . , un ) = (x1 (u1 , . . . , un ), . . . , xn+1 (u1 , . . . , un )) thỏa mãn ba điều
kiện sau:
1. Ánh xạ X là khả vi, nghĩa là xi , với mọi i = 1, . . . , n + 1 là các hàm có đạo
hàm riêng mọi cấp.
2. Ánh xạ X là một đồng phôi từ U lên V ∩ S , nghĩa là X có ánh xạ ngược và
X −1 : V ∩ S −→ U liên tục.

4


3. Ánh xạ X là chính qui, nghĩa là rank
của X.


∂xi
∂uj

∂xi
= n với
∂uj

∂x1
∂u1
∂x2
∂u1

∂x1
∂u2
∂x2
∂u2

∂u1

∂u2

...




...

=
..
 ...
.
...

 ∂xn+1 ∂xn+1
...

∂xi
∂uj
∂x1
∂un
∂x2
∂un

là ma trận Jacobi







.
.. 

. 
∂xn+1 
∂un

Cho S là siêu mặt tham số chính qui trong Rn+1 và Xui (p) =

∂x1
∂xn
,...,
(p),
∂ui

∂ui

∀i = 1, . . . , n . Không gian vectơ sinh bởi hệ các vectơ độc lập tuyến tính
{Xui (p), i = 1, . . . , n} được gọi là không gian tiếp xúc của S tại p. Ký hiệu:
Tp S .

Rõ ràng, dimTp S = n. Ta có thể xem Tp S như là một phẳng n-chiều đi qua p và
sinh bởi các {Xui (p)}.
Không gian vectơ trực giao với Tp S được gọi là không gian pháp của S tại p. Ký
hiệu: Np S .
Mỗi vectơ N = 0 của Np S được gọi là một vectơ pháp của S tại p. Với S là siêu
mặt n-chiều thì Np S là một đường thẳng (dimNp S = 1) và trực giao với Tp S tại
p.
Nhận xét 1.1.1. Nếu siêu mặt chính qui S có tham số hóa X(u1 , . . . , un ) thì
một vectơ pháp đơn vị của S là
N=

1.1.2

Xu 1 ∧ · · · ∧ Xu n
.
|Xu1 ∧ · · · ∧ Xun |

Dạng cơ bản I, II

Định nghĩa 1.1.1. Tích vô hướng thông thường trong không gian Rn+1 sẽ cảm
sinh tích vô hướng lên các không gian tiếp xúc Tp S . Do đó, với hai vectơ tiếp
n

xúc a =

n

bj Xuj ∈ Tp S ta có:

ai X u i , b =
i=1

j=1
n

a, b

p

n

=

Xui , Xuj ai bj .
i=1 j=1

5


Định nghĩa 1.1.2. Với mỗi không gian tiếp xúc Tp S , ánh xạ
Ip : Tp S × Tp S −→ R
n

−→ Ip (a, b) = a, b

(a, b)

p

Xui , Xuj ai bj

=
i,j=1

là dạng song tuyến tính, xác định dương. Ánh xạ Ip được gọi là dạng cơ bản thứ
nhất của siêu mặt S tại p.
Các hệ số gij := Xui , Xuj được gọi là hệ số của dạng cơ bản thứ nhất và ma
trận (gij ) là ma trận của dạng cơ bản thứ nhất.
Định nghĩa 1.1.3. Một trường vectơ trên siêu mặt S là một ánh xạ
F : S −→ Rn+1 . Trường vectơ F được gọi là liên tục, khả vi nếu ánh xạ F là liên

tục, khả vi.
• Nếu F (p) ∈ Tp S, ∀p ∈ S thì F được gọi là trường vectơ tiếp xúc của S.
• Nếu F (p) ∈ Np S, ∀p ∈ S thì F được gọi là trường vectơ pháp của S.

Định nghĩa 1.1.4. Một siêu mặt chính qui S được gọi là định hướng được nếu
có một trường pháp vectơ đơn vị liên tục N xác định trên toàn bộ S. Khi đó
trường pháp vectơ N được gọi là một định hướng của S. Ta gọi S cùng với trường
pháp vectơ đơn vị N là siêu mặt chính qui định hướng. Kí hiệu: (S, N ).
Nhận xét 1.1.2. Do trên mỗi lân cận tọa độ X(U ) đều có trường pháp vectơ
đơn vị khả vi N (p) =

Xu 1 ∧ · · · ∧ Xu n
nên chúng ta có thể nói mọi siêu mặt

|Xu1 ∧ · · · ∧ Xun |

chính qui đều định hướng được một cách địa phương.
Định nghĩa 1.1.5. Cho (S, N ) là siêu mặt chính qui định hướng. Ta có thể chọn
các pháp vectơ đơn vị tại mỗi p ∈ S là:
N (p) =

Xu 1 ∧ · · · ∧ Xu n
(p).
|Xu1 ∧ · · · ∧ Xun |

Vì |N (p)| = 1, ∀p ∈ S nên có thể xem N là ánh xạ khả vi từ siêu mặt chính qui S
vào siêu cầu đơn vị S n . Ánh xạ N : S −→ S n được gọi là ánh xạ Gauss của siêu
mặt định hướng S.
Nhận xét 1.1.3.

i) Theo định nghĩa, ánh xạ Gauss là khả vi. Khi đó, đạo

hàm của N tại điểm p ∈ S là ánh xạ tuyến tính
DNp : Tp S −→ TN (p)S n .
6


Mặt khác, do Tp S⊥N (p) mà TN (p)⊥S n nên Tp S ≡ TN (p)S n , ∀p ∈ S . Vì vậy,
ánh xạ DNp là một tự đồng cấu tuyến tính của Tp S và được gọi là ánh xạ
Weingarten của S tại p.
ii) Ánh xạ DNp : Tp S −→ Tp S là ánh xạ tự liên hợp, tức là
DNp (V ), W = V, DNp (W ) , ∀V, W ∈ Tp S,
n

n

với V =

bj X u j .

ai X u i , W =
j=1

i=1

Định nghĩa 1.1.6. Ánh xạ
IIp : Tp S × Tp S −→ R
(V, W )

−→ IIp (V, W ) = − DNp (V ), W ,

với , là tích vô hướng trên Tp S cảm sinh từ tích vô hướng chính tắc trong Rn+1 ,
là dạng song tuyến tính, đối xứng. Ánh xạ IIp được gọi là dạng cơ bản thứ hai
của siêu mặt S tại p.
Các hệ số bij := IIp (Xui , Xuj ) = − DNp (Xui ), Xuj = − Nui , Xuj = N, Xui uj
được gọi là hệ số của dạng cơ bản thứ hai. Ma trận (bij ) được gọi là ma trận
của dạng cơ bản thứ hai.

1.2
1.2.1

Siêu mặt cực tiểu trong không gian Rn+1
Độ cong trung bình, độ cong Gauss

Trong mục này, ta tìm hiểu về các độ cong của siêu mặt tham số chính qui
S ⊂ Rn+1 . Hai độ cong quan trọng của siêu mặt S chính là độ cong trung bình

và độ cong Gauss.
Do ánh xạ tuyến tính DNp là ánh xạ tự liên hợp nên tồn tại một cơ sở trực
chuẩn {ei , i = 1, . . . , n} sao cho DNp (ei ) = −ki ei , ∀i = 1, . . . , n. Khi đó, các giá trị
−k1 , . . . , −kn là các giá trị riêng, còn e1 , . . . , en là các vectơ riêng đơn vị lần lượt

ứng với các giá trị riêng −k1 , . . . , −kn của DNp .
Định nghĩa 1.2.1. Các giá trị k1 , . . . , kn được gọi là các độ cong chính, còn các
vectơ riêng e1 , . . . , en xác định các phương được gọi là các phương chính của siêu
mặt S tại p.
Định nghĩa 1.2.2. Cho (S, N ) là siêu mặt chính qui định hướng, p ∈ S và DNp
là đạo hàm của ánh xạ Gauss N tại điểm p. Ta sẽ gọi
7


• detDNp là độ cong Gauss của siêu mặt S tại p. Kí hiệu K(p).
1
• − trDNp là độ cong trung bình của siêu mặt S tại p. Kí hiệu H(p).
n

Nhận xét 1.2.1. Ma trận DNp trong cơ sở trực chuẩn {ei , i = 1, . . . , n} có dạng


−k1



DNp = 




0

...

−k2 . . .

0

..
.

..
.

...

0

0

...

0



..  .

. 

0 
−kn

Do đó, theo định nghĩa thì độ cong Gauss và độ cong trung bình được tính bởi
công thức:

n
n

ki

K = (−1)

i=1

H=

1
n

n

ki .
i=1

Tiếp theo, chúng ta sẽ đi tìm công thức tính độ cong trung bình, độ cong
Gauss cho siêu mặt tham số hóa chính qui X(u1 , . . . , un ).
Gọi N là pháp vectơ đơn vị của S tại mọi p.

Ta có: |N | = 1, ∀p ∈ S ⇒ N, Nui = 0, ∀i = 1, . . . , n, ∀p ∈ S . Nên Nui ∈ Tp S . Do
n

aik Xuk , ∀i = 1, . . . , n.

đó: Nui =
k=1

Vậy ma trận của ánh xạ đạo hàm DNp đối với cơ sở {Xui } là


a11 a21 . . .

an1



 a12 a22 . . . an2 

DNp = 
..
..  .
 ..
. ... . 
 .
a1n a2n . . .

ann

Các hệ số của dạng cơ bản thứ nhất là gij = Xui , Xuj và ma trận của dạng cơ

bản thứ nhất là


g11 g12 . . .

g1n





 g21 g22 . . . g2n 

(gij )n×n = 
..
..  .
 ..
.
.
.
.
.
.


gn1 gn2 . . .

8

gnn

Các hệ số của dạng cơ bản thứ hai là bij = − Nui , Xuj và ma trận của dạng cơ
bản thứ hai là


b11 b12 . . .

b1n





 b21 b22 . . . b2n 

(bij )n×n = 
..
..  .
 ..
.
.
.
.
.
.


bn1 bn2 . . .

bnn

Ta thấy rằng:
bij = − Nui , Xuj
n

=−

aik Xuk , Xuj
k=1
n

=−

aik Xuk , Xuj
k=1
n

=−

aik gkj .
k=1

Từ đó, ta có đẳng thức ma trận sau:

 
b11 b12 . . .

b1n

a11 a21 . . .



an1

g11 g12 . . .

g1n




 


 b21 b22 . . . b2n   a12 a22 . . . an2   g21 g22 . . . g2n 
 


−
..
..  =  ..
..
..   ..
..
..  .
 ..
. ... .   .
. ... .  .

. ... . 
 .
bn1 bn2 . . .

Do đó


a11 a21 . . .

a1n a2n . . .

bnn

an1





b11 b12 . . .

ann

b1n

gn1 gn2 . . .



g11 g12 . . .

gnn

g1n

−1






 a12 a22 . . . an2 
 b21 b22 . . . b2n   g21 g22 . . . g2n 





..
..  = −  ..
..
..   ..
..
.. 
 ..
. ... . 
. ... .  .
. ... . 
 .

 .
a1n a2n . . .

ann

Gọi (g ij )n×n = (gij )−1
n×n ta có:


a11 a21 . . .

an1

bn1 bn2 . . .



b11 b12 . . .

bnn

b1n

gn1 gn2 . . .



g 11 g 12 . . .

gnn

g 1n








 a12 a22 . . . an2 
 b21 b22 . . . b2n   g 21 g 22 . . . g 2n 





..
..  = −  ..
..
..   ..
..
..  .
 ..
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.





a1n a2n . . .

ann

bn1 bn2 . . .

Như vậy

bnn

n

bik g ki .

aii = −
k=1

9

g n1 g n2 . . .

g nn

.


DNp = −(bij )n×n (g ij )n×n .

Do đó:
1
H=
n

n

i=1

1
aii =
n

bik g ki .
i=1 k=1

G = detDNp = (−1)n

1.2.2

n

n

det(bij )n×n
.
det(gij )n×n

Phương trình Lagrange cho siêu mặt

Xét siêu mặt S được xác định bởi một tham số hóa
X:

U

−→ Rn+1

(u1 , . . . , un ) −→ X(u1 , . . . , un ) = (u1 , . . . , un , f (u1 , . . . , un )),

với U là một miền mở trong Rn và f : U −→ R là hàm trơn.
Ta có
Xui = (0, . . . , 1, . . . , fui ), 1 ở vị trí thứ i với mọi i = 1, . . . , n;
Xui uj = (0, . . . , 0, fui uj ), với mọi i, j = 1, . . . , n.

Hệ số của dạng cơ bản thứ nhất là

gij = Xui , Xuj = δij + fui fuj


1 nếu i = j
trong đó δij =
.
0 nếu i = j

Ma trận của dạng cơ bản thứ nhất là


g11 g12 . . .



g1n

1 + fu21


 
 g21 g22 . . . g2n   fu2 fu1
 
(gij )n×n = 
..
..  =  ..
 ..
.
.
.

.
.
.

  .
gn1 gn2 . . .

gnn

f un f u1

f u1 f u2

...

1 + fu22 . . .

fu1 fun

1 + fu21


 f u2 f u1
det(gij )n×n = det 
 ..
 .
f un f u1

f u1 f u2

...

..
.

...

..
.

f un f u2

...

1 + fu2n

fu1 fun

1 + fu22 . . .

..
.

f un f u2



=1+



n

fu2 fun 

...

..
.

...

1 + fu2n

fu2i .
i=1

Ma trận (gij )n×n có ma trận nghịch đảo là (g ij )n×n = (gij )−1
n×n với
1
g = δij − 2 fui fuj trong đó λ =
λ
ij

10

n

fu2i .

1+
i=1






fu2 fun 

và





Gọi (e1 , . . . , en+1 ) là các vectơ đơn vị dọc các trục tọa độ của Rn+1 . Ta có:


e1 e2 . . .

X u1 ∧ · · · ∧ X un

Suy ra N =


1
= det 
 ..
.

0

...

..
.

...

0

0

...

en+1


n

..  = (−1) (−fu1 e1 − · · · − fun en + en+1 ).
. 

f u1 
fun

(−1)n
(−fu1 , . . . , −fun , 1).
λ

Hệ số của dạng cơ bản thứ hai là
bij = N, Xui uj =

Ma trận của dạng cơ bản thứ hai là


b11 b12 . . .

b1n

(−1)n
f ui uj .
λ





 b21 b22 . . . b2n 

(bij )n×n = 
..
.. 
 ..
.
.
.
.
.

.


bn1 bn2 . . .
(−1)n
f
 λ u1 u1


0

bnn



=


..
.




0

...

(−1)n
f u2 u2 . . .

λ
..
.
...

0

0

...



0
0

..
.
(−1)n
f un un
λ









và
(−1)n
f
 λ u1 u1


0



det(bij )n×n = det 


0
(−1)n
λ

..
.




0
2

(−1)n
f u1 u1 · · · f un un .
=
λn

11

...

0

f u2 u2 . . .

0

..
.

...

..
.

0

...

(−1)n
f un un
λ












Độ cong trung bình của siêu mặt S là
1
H=
n

n

bij g ij
i,j=1

1 (−1)n
=
n λ
(−1)n
=
n.λ3

n

fui uj (δij −
i,j=1
n

1
fu fu )
λ2 i j
n

n

fu2j

f ui ui 1 +

−2
i,j=1
i
j=1
j=i

i=1

f ui uj f ui f uj .

Độ cong Gauss của siêu mặt S là
K = (−1)n
=

det(bij )n×n
det(gij )n×n

n2

n (−1) fu1 u1 · · · fun un
(−1)
λn+2
2

= (−1)n+n

f u1 u1 · · · f un un
n

fu2i

1+

n+2
2

.

i=1

Định nghĩa 1.2.3. Siêu mặt S được gọi là siêu mặt cực tiểu nếu độ cong trung
bình H bằng không tại mọi điểm.
Nhận xét 1.2.2. Siêu mặt S là siêu mặt cực tiểu tương đương với hàm f thỏa
mãn phương trình
n

n

f ui ui 1 +

i=1

n

fu2j

−2

j=1
j=i

fui uj fui fuj = 0.
i,j=1
i
Phương trình trên được gọi là phương trình Lagrange.
Ví dụ 1.2.1. Trong không gian Rn+1 , siêu phẳng a1 x1 + . . . + an xn = 0 là siêu
mặt cực tiểu.
Trước khi tìm hiểu về siêu mặt tịnh tiến với độ cong hằng trong không gian
Rn+1 , chúng tôi trình bày một số kết quả của mặt tịnh tiến với độ cong hằng
trong không gian R3 .

12


1.3

Mặt tịnh tiến với độ cong hằng trong không gian R3

Định nghĩa 1.3.1. Trong không gian R3 , M được gọi là mặt tịnh tiến nếu M

được xác định bởi tham số hóa sau:
X:

U

−→ R3

(x, y) −→ X(x, y) = (x, y, z),

trong đó U là một miền mở chứa trong R2 và z = f (x) + g(y) với f, g là các hàm
trơn.
Ví dụ 1.3.1. Mặt phẳng trong không gian R3 là một mặt tịnh tiến.
Ví dụ 1.3.2. Mặt Scherk được xác định bởi tham số hóa:
X:

U

−→ R3

1 cosax
(x, y) −→ X(x, y) = x, y, ln
a cosay

,

trong đó U là một miền mở chứa trong R2 và 0 = a ∈ R là mặt tịnh tiến trong
R3 .
Định nghĩa 1.3.2. Một mặt M trong không gian R3 được gọi là mặt cực tiểu
nếu M có độ cong trung bình H bằng không tại mọi điểm.
Sau đây là một số ví dụ về mặt cực tiểu trong không gian R3 .

Ví dụ 1.3.3. Mặt phẳng trong không gian R3 là một mặt tịnh tiến cực tiểu.
Ví dụ 1.3.4. Mặt Scherk được xác định bởi tham số hóa:
X:

U

−→ R3

1 cosax
(x, y) −→ X(x, y) = x, y, ln
a cosay

,

trong đó U là một miền mở chứa trong R2 và 0 = a ∈ R là mặt cực tiểu trong
R3 .

13


Hình 1.1: Mặt Scherk

Ví dụ 1.3.5. Mặt Helicoid được xác định bởi tham số hóa:
X:

U

−→ R3

(x, y) −→ X(x, y) = x, y, tan−1

y
x

,

trong đó U là một miền mở chứa trong R2 là mặt cực tiểu trong R3 .

Hình 1.2: Mặt Helicoid

Ví dụ 1.3.6. Mặt Catenoid được xác định bởi tham số hóa:
X:

U

−→ R3

(x, y) −→ X(x, y) = (x, y, cosh−1

x2 + y 2 ),

trong đó U là một miền mở chứa trong R2 là mặt cực tiểu trong R3 .
14


Hình 1.3: Mặt Catenoid

Định lý sau đây sẽ chỉ ra ngoài mặt phẳng thì mặt Scherk là mặt tịnh tiến
cực tiểu duy nhất.
Định lý 1.3.1. ([5], Theorem 3) Cho M là một mặt tịnh tiến cực tiểu khác mặt

phẳng trong không gian R3 . Khi đó, M là một mặt (hoặc một phần của mặt)
trong R3 được xác định bởi tham số hóa sau:
X(x, y) = x, y,

1
cos(ax)
ln
a
cos(ay)

, 0 = a ∈ R.

Các định lý sau sẽ chỉ ra sự tồn tại của mặt tịnh tiến có độ cong trung bình
hằng khác không và độ cong Gauss hằng trong không gian R3 .
Định lý 1.3.2. ([5], Theorem 2) Cho M là một mặt tịnh tiến có độ cong trung
bình hằng H = 0 trong không gian R3 . Khi đó, M là một mặt (hoặc một phần
của mặt) trong R3 được xác định bởi tham số hóa sau:
√
− 1 + a2
X(x, y) = x, y,
2H

1 − 4H 2 x2 − ay , a ∈ R.

Định lý 1.3.3. ([5], Theorem 1) Cho M là mặt tịnh tiến với độ cong Gauss K là
hằng trong không gian R3 . Khi đó, M là một mặt trụ. Suy ra K = 0.

15

Chương 2
Siêu mặt tịnh tiến với độ cong hằng
Trong chương này, chúng tôi khảo sát siêu mặt tịnh tiến, siêu mặt tịnh tiến
cực tiểu, siêu mặt tịnh tiến với độ cong trung bình hằng, siêu mặt tịnh tiến với
độ cong Gauss hằng trong không gian Rn+1 và mở rộngc các kết quả đó trong
không gian Lorentz-Minkowski (n + 1)-chiều. Các kiến thức sau được tham khảo
từ tài liệu [3], [7].

2.1

Siêu mặt tịnh tiến trong không gian Rn+1

Định nghĩa 2.1.1. Một siêu mặt S ⊂ Rn+1 được gọi là một siêu mặt tịnh tiến
nếu S là đồ thị của hàm số
f:

Rn

−→ R

(x1 , . . . , xn ) −→ f (x1 , . . . , xn ) = f1 (x1 ) + · · · + fn (xn ),

với f1 , . . . , fn là các hàm một biến số thực trơn.
Nhận xét 2.1.1. Khi n = 2 thì S chính là mặt tịnh tiến trong R3 .
Ví dụ 2.1.1. Siêu phẳng S trong không gian Rn+1 là một siêu mặt tịnh tiến.
Thật vậy, S = {(x1 , . . . , xn , a1 x1 + · · · + an xn ) ∈ Rn+1 |x1 , . . . , xn ∈ R}.
Hay siêu phẳng S là đồ thị của hàm số
f:

Rn

−→ R

(x1 , . . . , xn ) −→ f (x1 , . . . , xn ) = a1 x1 + · · · + an xn .

Xét các hàm f1 , . . . , fn có dạng
fi : R −→ R, ∀i = 1, . . . , n
xi −→ ai xi .

Khi đó, f (x1 , . . . , xn ) = f1 (x1 ) + · · · + fn (xn ) với f1 , . . . , fn là các hàm một biến số
thực trơn . Vậy siêu phẳng S là siêu mặt tịnh tiến.

16


Ví dụ 2.1.2. Siêu mặt S ⊂ Rn+1 có dạng S =
tiến trong Rn+1 , trong đó

×Rn−2 là một siêu mặt tịnh

là mặt Scherk trong R3 .

Thật vậy,
S=

1 cos ax1
x1 , x2 , x3 , . . . , xn , ln
a cos ax2

∈ Rn+1 x1 , . . . , xn , a ∈ R, a = 0

Hay S là đồ thị của hàm số
f:

Rn

−→ R

(x1 , . . . , xn ) −→ f (x1 , · · · , xn ) =

1
cos ax1
ln
,
a
cos ax2

với 0 = a ∈ R.
Xét các hàm f1 , . . . , fn có dạng
f1 : R −→ R
1
x1 −→
ln | cos ax1 |,
a
f2 : R −→ R
1
x2 −→ − ln | cos ax2 |,
a
fi : R −→ R, ∀i = 3, . . . , n
xi −→ 0.

Khi đó, f (x1 , . . . , xn ) = f1 (x1 ) + · · · + fn (xn ) với f1 , . . . , fn là các hàm một biến
số thực trơn. Vậy siêu mặt S =
trong đó

2.2

×Rn−2 là một siêu mặt tịnh tiến trong Rn+1 ,

là mặt Scherk trong R3 .

Siêu mặt tịnh tiến cực tiểu trong không gian Rn+1

Định nghĩa 2.2.1. Siêu mặt tịnh tiến S trong không gian Rn+1 được gọi là siêu
mặt tịnh tiến cực tiểu nếu độ cong trung bình H bằng không tại mọi điểm.
Ví dụ 2.2.1. Siêu phẳng S trong không gian Rn+1 là một siêu mặt tịnh tiến
cực tiểu.
Chứng minh. Siêu phẳng S được xác định bởi tham số hóa sau:
X:

U

−→ Rn+1

(x1 , . . . , xn ) −→ X(x1 , . . . , xn ) = (x1 , . . . , xn , a1 x1 + · · · + an xn ),

17


trong đó U là một miền mở chứa trong Rn .

Ta có
Xxi = (0, . . . , 1, . . . , ai ), 1 ở vị trí thứ i với mọi i = 1, . . . , n;
Xxi xj = (0, . . . , 0, 0), với mọi i, j = 1, . . . , n.
(−1)n
Pháp vectơ đơn vị của siêu phẳng S là N =

(−a1 , . . . , −an , 1).

n

a2i

1+
i=1

Hệ số của dạng cơ bản thứ nhất là
gij = Xxi , Xxj


1 nếu i = j
.
= δij + ai aj trong đó δij =
0 nếu i = j

Ma trận của dạng cơ bản thứ nhất là (gij )n×n có ma trận nghịch đảo là
(g ij )n×n = (gij )−1
n×n với

1

g ij = δij −

ai aj .

n

a2i

1+
i=1

Hệ số của dạng cơ bản thứ hai là
bij = N, Xxi xj = 0 với mọi i, j = 1, . . . , n.

Độ cong trung bình của siêu phẳng S là
1
H=
n

n

bij g ij = 0.
i,j=1

Vậy siêu phẳng S là siêu mặt tịnh tiến cực tiểu trong không gian Rn+1 .
Ví dụ 2.2.2. Siêu mặt S ⊂ Rn+1 có dạng S =
tiến cực tiểu trong Rn+1 , trong đó

×Rn−2 là một siêu mặt tịnh

là mặt tịnh tiến cực tiểu Scherk trong R3 .

Chứng minh. Siêu mặt S được xác định bởi tham số hóa sau:
X:

U

−→ Rn+1

1 cos ax1
(x1 , . . . , xn ) −→ X(x1 , . . . , xn ) = x1 , x2 , x3 , . . . , xn , ln
a cos ax2

trong đó U là một miền mở chứa trong Rn và 0 = a ∈ R.
Ta có
Xx1 = (1, 0, 0, . . . , 0, − tan ax1 ).
Xx2 = (0, 1, 0, . . . , 0, tan ax2 ).
Xxi = (0, . . . , 1, . . . , 0), 1 ở vị trí thứ i với mọi i = 3, . . . , n.
18

,


và
Xx1 x1 = 0, . . . , 0, −a(1 + tan2 ax1 ) .
Xx2 x2 = 0, . . . , 0, a(1 + tan2 ax2 ) .
Xx1 xi = (0, . . . , 0, 0), với mọi i = 2, . . . , n.
Xx2 xi = (0, . . . , 0, 0), với mọi i = 3, . . . , n.
Xxi xj = (0, . . . , 0, 0), với mọi i, j = 3, . . . , n.

Pháp vectơ đơn vị của siêu mặt S là
N=

(−1)n
1 + tan2 ax1 + tan2 ax2

(tan ax1 , − tan ax2 , 0, . . . , 0, 1).

Hệ số của dạng cơ bản thứ nhất là
g11 = Xx1 , Xx1 = 1 + tan2 ax1 .
g22 = Xx2 , Xx2 = 1 + tan2 ax2 .
g12 = Xx1 , Xx2 = − tan ax1 . tan ax2 .
g1i = Xx1 , Xxi = 0, với mọi i = 3, . . . , n.
g2i = Xx2 , Xxi = 0, với mọi i = 3, . . . , n.
gij = Xxi , Xxj


1 nếu i = j
= δij , với mọi i, j = 3, . . . , n trong đó δij =
.
0 nếu i = j

Ma trận của dạng cơ bản thứ nhất là (gij )n×n có ma trận nghịch đảo là
(g ij )n×n = (gij )−1
n×n với

tan2 ax1
1 + tan2 ax2
=
.

1 + tan2 ax1 + tan2 ax2
1 + tan2 ax1 + tan2 ax2
1 + tan2 ax1
tan2 ax2
=
.
g 22 = 1 −
1 + tan2 ax1 + tan2 ax2
1 + tan2 ax1 + tan2 ax2
tan ax1 . tan ax2
g 12 =
.
1 + tan2 ax1 + tan2 ax2
g 1i = 0, với mọi i = 3, . . . , n.
g 11 = 1 −

g 2i = 0, với mọi i = 3, . . . , n.


1 nếu i = j
ij
g = δij , với mọi i, j = 3, . . . , n trong đó δij =
.
0 nếu i = j
Hệ số của dạng cơ bản thứ hai là
b11 = N, Xx1 x1
b22 = N, Xx2 x2
b1i = N, Xx1 xi

−a(1 + tan2 ax1 )

=
.
1 + tan2 ax1 + tan2 ax2
a(1 + tan2 ax2 )
= (−1)n
.
1 + tan2 ax1 + tan2 ax2
= 0, với mọi i = 2, . . . , n.
(−1)n

b2i = N, Xx2 xi = 0, với mọi i = 3, . . . , n.
bij = N, Xxi xj = 0, với mọi i, j = 3, . . . , n.
19


Độ cong trung bình của siêu mặt S là
1
H=
n
=

n

bij g ij
i,j=1

1
(b11 g 11 + b22 g 22 )
n

= 0.

Vậy siêu mặt S có dạng S =

×Rn−2 là siêu mặt tịnh tiến cực tiểu trong không

gian Rn+1 .
Định lý sau đây sẽ chỉ ra ngoài siêu phẳng thì siêu mặt có dạng
là siêu mặt tịnh tiến cực tiểu duy nhất, trong đó

×Rn−2

là mặt tịnh tiến cực tiểu

Scherk trong R3 .
Trước khi phát biểu và chứng minh định lý ta có nhận xét sau.
Nhận xét 2.2.1. Cho S là siêu mặt tịnh tiến trong Rn+1 . Giả sử S là đồ thị
của hàm số có dạng:
xn+1 = f (x1 , . . . , xn ) = cxn + f (x1 , . . . , xn−1 ),

với c là hằng số. Khi đó, bằng cách chọn một hệ tọa độ Descartes (y1 , . . . , yn , yn+1 )
xác định bởi:


y 1 = x1








...





yn−1 = xn−1

1


(xn + cxn+1 )
yn =


2

1
+
c



1


(−cxn + xn+1 )
yn+1 =

1 + c2

ta thu được biểu thức của hàm xn+1 = f (x1 , . . . , xn ) trong hệ tọa độ mới có dạng:
1
yn+1 = √
f (y1 , . . . , yn−1 ).
1 + c2

Đặc biệt, có thể xét S như một siêu mặt trong siêu phẳng yn = 0.
Định lý 2.2.1. [3] Cho S là một siêu mặt tịnh tiến trong không gian Rn+1 . Khi
đó, S là siêu mặt tịnh tiến cực tiểu nếu và chỉ nếu S là một siêu phẳng hoặc
S=

×Rn−2 , trong đó

là mặt tịnh tiến cực tiểu Scherk trong R3 .
20


Chứng minh. Cho S là siêu mặt tịnh tiến được xác định bởi tham số hóa sau:
X:

U

−→ Rn+1

(x1 , . . . , xn ) −→ X(x1 , . . . , xn ) = (x1 , . . . , xn , f (x1 , . . . , xn )),

trong đó U là một miền mở chứa trong Rn và f (x1 , . . . , xn ) = f1 (x1 ) + · · · + fn (xn ),
với f1 , . . . , fn là các hàm một biến số thực trơn.

Ta có
Xxi = (0, . . . , 1, . . . , fi ), 1 ở vị trí thứ i với mọi i = 1, . . . , n.
Xxi xi = (0, . . . , 0, fi ), với mọi i = 1, . . . , n.
Xxi xj = (0, . . . , 0, 0), với mọi i = j = 1, . . . , n.

Hệ số của dạng cơ bản thứ nhất là
gij = Xxi , Xxj


1 nếu i = j
.
= δij + fi fj trong đó δij =
0 nếu i = j

Ma trận (gij )n×n có ma trận nghịch đảo là (g ij )n×n = (gij )−1
n×n với
g ij

1
= δij − 2 fi fj trong đó λ =
λ

n

fi 2 .

1+
i=1

Gọi (e1 , . . . , en+1 ) là các vectơ đơn vị dọc các trục tọa độ của Rn+1 . Ta có:



e1 e2 . . .

Xx1 ∧ · · · ∧ Xxn

Suy ra N =


1
= det 
 ..
.

0

...

..
.

...

0

0

...

en+1


n

..  = (−1) (−f1 e1 − · · · − fn en + en+1 ).
. 

f1 
fn

(−1)n
(−f1 , . . . , −fn , 1).
λ

Hệ số của dạng cơ bản thứ hai là

(−1)n
fi , với mọi i = 1, . . . , n;
λ
= 0, với mọi i = j = 1, . . . , n.

bii = N, Xxi xi =
bij = N, Xxi xj

21


Độ cong trung bình của siêu mặt S là
1
H=

n
1
n

=

n

bij g ij
i,j=1
n

bii g ii
i=1

1 (−1)n
=
n λ
(−1)n

=

n.λ3

n

fi (1 −
i=1
n

1 2
f )
λ2 i
n

fj 2 .

fi 1 +
j=1
j=i

i=1

Siêu mặt S là cực tiểu khi và chỉ khi H = 0 .
Điều kiện này tương đương với
n

n

fj2 = 0.

fi 1 +
i=1

(2.1)

j=1
j=i

Xét trường hợp S không là siêu phẳng. Áp dụng nhận xét trên, ta có thể giả sử

tồn tại t (1 ≤ t ≤ n) sao cho f1 , . . . , ft không là tuyến tính và ft+1 = · · · = fn = 0.
Khi đó, công thức (2.1) trở thành:
t

t

fj2 = 0.

fi 1 +

(2.2)

j=1
j=i

i=1

Đạo hàm (2.2) theo biến xk với mọi k = 1, . . . , t, ta có:
t

fk 1 +

t

fj

2

+2.fk .fk .

j=1
j=k

fj = 0.
j=1
j=k

Suy ra
t

fj
j=1
j=k

fk + 2.fk .fk .

= 0.

t

fj 2

1+
j=1
j=k

22

(2.3)