Về môđun và vành n nội xạ

ĐẠI HỌC HUẾ
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
∗∗∗∗∗∗

∗∗∗∗∗∗

LÊ THỊ MAI

VỀ MÔĐUN VÀ VÀNH n-NỘI XẠ
Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ
Mã số: 60460104

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
THEO ĐỊNH HƯỚNG NGHIÊN CỨU

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
GS. TS. LÊ VĂN THUYẾT

Thừa Thiên Huế, năm 2017


LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của
riêng tôi, các số liệu và kết quả nghiên cứu ghi trong
luận văn là trung thực, được các đồng tác giả cho
phép sử dụng và chưa từng được công bố trong bất
kì một công trình nào khác.
Lê Thị Mai

ii

LỜI CẢM ƠN
Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của Thầy giáo, GS. TS.
Lê Văn Thuyết. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc và sự kính trọng đối với
Thầy. Thầy đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tôi trong quá trình học tập cũng
như hoàn thành luận văn này.

Tôi xin gửi lời cảm ơn đến quý Thầy cô Khoa Toán, các Thầy ở Đại học Huế
và Viện Toán học đã dạy dỗ và truyền đạt kiến thức cho tôi trong suốt quá trình
học tập.

Tôi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu trường ĐHSP Huế, phòng Đào tạo
sau Đại học, khoa Toán trường ĐHSP Huế đã tạo điều kiện cho tôi trong suốt
khóa học.

Cuối cùng, tôi xin cảm ơn gia đình, bạn bè, các anh chị Cao học Toán khóa
XXIII trường ĐHSP Huế chuyên ngành Đại số và Lý thuyết số vì sự động viên,
giúp đỡ trong quá trình học tập vừa qua.
Ngày 5 tháng 10 năm 2017.
Học viên thực hiện
Lê Thị Mai

iii


Mục lục
Trang phụ bìa

i

Lời cam đoan

ii

Lời cảm ơn

iii

Mục lục

1

Lời nói đầu

3

1

5

Kiến thức chuẩn bị
1.1

Môđun con cốt yếu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.2

Dãy khớp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.3

Linh hóa tử - Môđun trung thành . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.4

Môđun tự do, môđun chia được, môđun xoắn tự do, môđun đơn

8

1.5

Môđun xạ ảnh và môđun Nơte . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

1.6

Môđun và vành nội xạ-Bao nội xạ . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

2 Môđun và vành n-nội xạ

16

2.1

Môđun và vành n-nội xạ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

2.2

Tính chất cơ bản của môđun và vành n-nội xạ . . . . . . . . . .

19

2.3

Mối quan hệ giữa n-nội xạ và nội xạ . . . . . . . . . . . . . . .

30

2.4

Các lớp vành liên quan

31

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Kết luận

42

Tài liệu tham khảo

43
1


BẢNG KÝ HIỆU

Ký hiệu

: Nghĩa của ký hiệu

Z

: vành các số nguyên

Q

: vành các số hữu tỷ

MR

: môđun phải trên vành R

A⊆B

: A là tập con của B

A⊂B

: A là tập con thực sự của B

A≤M

: A là môđun con của M

A
: A là môđun con thực sự của M

A ≤e M

: A là môđun con cốt yếu của M

⊕ Mi

: tổng trực tiếp của họ các môđun Mi

Mi

: tích trực tiếp của họ các môđun Mi

i∈I

i∈I

A∼
=B

: A đẳng cấu với B

annR (X)

: linh hóa tử của X trong R

E(M )

: bao nội xạ của môđun M

ACC

: điều kiện đây chuyền tăng.

2


LỜI NÓI ĐẦU
Lý thuyết vành nói chung và lý thuyết vành kết hợp nói riêng đã xuất
hiện khoảng 120 năm nay và đang được các nhà toán học tiếp tục quan tâm
nghiên cứu. Để nghiên cứu cấu trúc vành, chúng ta có thể đi theo hai hướng
chính. Hướng thứ nhất là nghiên cứu cấu trúc của vành thông qua các điều kiện
bên trong (tức là nghiên cứu các iđêan) và hướng thứ hai là đặc trưng vành
bằng các điều kiện bên ngoài (nghiên cứu các môđun trên chúng). Trong luận
văn này chúng tôi nghiên cứu theo hướng thứ hai.
Khái niệm môđun nội xạ được Baer đề xuất vào năm 1940. Theo đó, một
môđun M đươc gọi là N -nội xạ nếu với mỗi môđun con A của N thì mọi đồng
cấu f : A → M đều mở rộng được đến một đồng cấu g : N → M . Môđun M
được gọi là nội xạ nếu M là N -nội xạ với mọi môđun N . Không chỉ đưa ra
khái niệm môđun nội xạ, Baer còn đưa ra một tiêu chuẩn quan trọng để kiểm

tra một R-môđun M khi nào là nội xạ. Tiêu chuẩn đó mang tên ”Tiêu chuẩn
Baer” và được phát biểu như sau: Môđun MR được gọi là nội xạ nếu với mọi
iđêan phải I của R, mọi đồng cấu f : IR → MR đều mở rộng được đến đồng cấu
g : RR → MR .
Một lớp môđun mở rộng của môđun nội xạ là môđun n-nội xạ, được F.Smith
định nghĩa như sau; cho n là số nguyên dương, R-môđun phải X được gọi là
n-nội xạ nếu với mỗi iđêan phải n-sinh A của R, mỗi đồng cấu θ : A → X mở
rộng đến R. Chú ý rằng, môđun 1-nội xạ được gọi là nội xạ chính hay P -nội
xạ. Ngoài ra, một R-môđun phải X được gọi là F -nội xạ nếu mỗi iđêan phải
hữu hạn sinh B của R, mỗi đồng cấu χ : B → X mở rộng đến R. Rõ ràng một
môđun là F -nội xạ nếu và chỉ nếu nó là n-nội xạ, với mọi số nguyên dương n.
Một R-môđun phải X được gọi là C-nội xạ nếu mỗi iđêan phải đếm được sinh
C của R, mỗi đồng cấu µ : C → X có thể mở rộng đến R. Đối với các khái niệm
mở rộng này, ta có:
X là nội xạ ⇒ X là C-nội xạ ⇒ X là F -nội xạ ⇒ X là n-nội xạ.
Ngoài ra, với mỗi số nguyên dương n, ta có: X là (n+1)-nội xạ ⇒ X là n-nội

3


xạ.
Một vành R được gọi là nửa di truyền phải nếu mỗi iđêan phải hữu hạn sinh
là xạ ảnh. Một mở rộng của vành nửa di truyền được Xiaoxiang Zhang and
Jianlong Chen đưa ra vào năm 2007 [xem [15]]: Cho n là số nguyên dương, vành
R được gọi là n-nửa di truyền phải nếu mỗi iđêan phải n-sinh là xạ ảnh. Vành
R là nửa di truyền phải nếu và chỉ nếu R là n-nửa di truyền phải, với mỗi số
nguyên n. Tương tự như môđun n-nội xạ thì mỗi vành (n + 1)-nửa di truyền
phải là n-nửa di truyền phải, với mỗi số nguyên dương n. Tuy nhiên n-nửa di
truyền phải không phải là (n + 1)-nửa di truyền phải, chẳng hạn, ta có kết quả
sau:

Cho F là một trường và n là số nguyên dương. Cho T là một đại số trên F
sao cho T là n-nửa di truyền phải nhưng không (n + 1)-nửa di truyền phải và P
là môđun con bất kì của T -môđun phải tự do. Khi đó F -đại số R = [F, P : 0, T ]
là n-nửa di truyền phải nhưng không là (n + 1)-nửa di truyền phải.
Với mong muốn được nghiên cứu sâu hơn về các tính chất của môđun và vành
n-nội xạ, về mối quan hệ giữa nội xạ và n-nội xạ với các vành khác, và được sự
định hướng của thầy hướng dẫn GS.TS Lê Văn Thuyết, tôi đã chọn đề tài “Về
Môđun và vành n-nội xạ” cho luận văn thạc sĩ thuộc chuyên ngành Đại số và
Lý thuyết số.
Bây giờ, chúng tôi đi vào chi tiết của từng chương. Ngoài phần mở đầu và kết
luận, luận văn chia làm hai chương. Trong chương 1, chúng tôi trình bày một số
kiến thức cơ bản của Đại số nhằm mục đích hỗ trợ cho chương 2. Chương 2 là
chương chính của luận văn, gồm 4 mục. Mục 2.1, chúng tôi trình bày về môđun
và vành n-nội xạ. Tiếp theo, mục 2.2 trình bày các tính chất cơ bản của môđun
và vành n-nội xạ. Trong mục 2.3, chúng tôi đưa ra mối quan hệ giữa n-nội xạ
và nội xạ. Và cuối cùng, mục 2.4, chúng tôi chỉ ra các lớp vành có liên quan.

4


Chương 1

Kiến thức chuẩn bị
Trong chương này, chúng tôi trình bày một số kiến thức cơ bản của Lý thuyết
vành và môđun, vành với điều kiện hữu hạn. Các kiến thức này được trình bày
nhằm tham khảo cho các nội dung của chương sau. Một số kết quả trong chương
này là khá kinh điển, vì vậy chúng tôi chỉ trình bày nội dung mà không trình
bày phần chứng minh (phần chứng minh có thể tham khảo trong các tài liệu [1],
[2], [5]).
Trong suốt luận văn này, chúng tôi luôn giả sử R là một vành có đơn vị 1 = 0.

Ta quy ước các R-môđun hay môđun có nghĩa là R-môđun phải unitary, nếu có
gì thay đổi chúng tôi sẽ đề cập ngay.
Trước hết, chúng tôi trình bày khái niệm môđun con cốt yếu.

1.1

Môđun con cốt yếu

Định nghĩa 1.1.1. Một môđun con K của M là cốt yếu (lớn) trong M , kí hiệu:
K≤e M , nếu với mọi môđun con L ≤ M , K ∩ L = 0 thì L = 0.
Ví dụ 1.1.2. Mọi iđêan khác không trong Z đều là cốt yếu vì cho hai iđêan
khác không tùy ý aZ, bZ thì 0 = ab ∈ aZ ∩ bZ.
Định nghĩa 1.1.3. Đơn cấu f : K → M được gọi là cốt yếu nếu Im(f )≤e M.
Mệnh đề 1.1.4. Các mệnh đề sau là tương đương đối với môđun con K của
M:
(i) K≤e M ,
5


(ii) Đồng cấu nhúng i : K → M là đơn cấu cốt yếu,
(iii) Với mọi môđun N và mọi h ∈ Hom(M, N ) mà Ker(h) ∩ K = 0 suy ra
Ker(h) = 0.

1.2

Dãy khớp

Định nghĩa 1.2.1. Cho dãy các R-môđun phải và các R-đồng cấu môđun
ϕn−1

ϕn

· · · → Mn−1 → Mn → Mn+1 → · · · (1).
(1) được gọi là khớp, nếu tại mọi Mn (không kể hai đầu mút, nếu có) thỏa điều
kiện
Im(ϕn−1 ) = Ker(ϕn ).
Dãy khớp các R-môđun phải
ϕ

ξ

0 → X →Y →Z → 0

(2)

được gọi là dãy khớp ngắn.
Chú ý 1.2.2. Để kiểm tra tính khớp của dãy (2) ta cần kiểm tra ϕ là đơn cấu,
ξ là toàn cấu và Im(ϕ) = Ker(ξ).
Sau đây là một vài ví dụ về dãy khớp.
Ví dụ 1.2.3.

(i) Cho ϕ là một đồng cấu từ nhóm aben X vào nhóm aben Y

thì ta có dãy khớp các Z-môđun là
j

ϕ

p

0 → Ker(ϕ) → X → Y → Y /Im(ϕ) → 0
trong đó j là phép nhúng chính tắc còn p là toàn cấu chính tắc.
(ii) Cho A ≤ MR . Lúc đó ta có dãy khớp ngắn các R-môđun phải là:
j

p

0 → A → M → M/A → 0
trong đó j là phép nhúng chính tắc còn p là toàn cấu chính tắc.

6


1.3

Linh hóa tử - Môđun trung thành

Linh hóa tử
Định nghĩa 1.3.1. Cho A là một môđun phải trên vành R, tập con X ⊆ A.
Khi đó linh hóa tử của X (trong R) là iđêan phải:
annR (X) = {r ∈ R|xr = 0, ∀x ∈ X}.
Linh hóa tử của tập đơn X = {x} trong R được kí hiệu là annR (x). Khi
không sợ nhầm lẫn về vành R ta có thể viết ann(X) thay cho annR (X).
Các trường hợp đặc biệt:
Khi XR là môđun con của AR thì ann(X) là một iđêan (2 phía) của R.
Khi X ⊆ A = R thì ta có linh hóa tử phải của X trong R là
r.annR (X) = {r ∈ R | xr = 0, ∀x ∈ X}
và linh hóa tử trái của X là
l.annR (X) = {r ∈ R | rx = 0, ∀x ∈ X}.
Ngoài khái niệm về linh hóa tử ta có các định nghĩa sau:

Định nghĩa 1.3.2. Cho T là tập con khác rỗng của vành R, khi đó
M a = {ma|m ∈ M },
r(T ) = {r ∈ R|tr = 0, ∀t ∈ T }.
Nếu T = {t} với mọi t ∈ T ta kí hiệu r(T ) là r(t).
Chú ý 1.3.3. r(T ) là iđêan phải của R với mỗi tập con khác rỗng T của R.
Phần tử lũy đẳng, ước của không, phần tử chính quy
Trước tiên chúng tôi trình bày định nghĩa phần tử lũy đẳng
Định nghĩa 1.3.4. Một phần tử e thuộc vành R được gọi là lũy đẳng nếu
e2 = e.

7


Định nghĩa 1.3.5. (Ước của 0) Trong vành R, nếu tồn tại a = 0, b = 0 : ab = 0
thì a, b được gọi là ước của 0.
Trong vành R, a, b không phải là ước của không nếu ab = 0 suy ra a = 0 hoặc
b = 0.
Tiếp theo chúng tôi định nghĩa về phần tử chính quy:
Định nghĩa 1.3.6. Một phần tử x của R được gọi là phần tử chính quy nếu
∃a ∈ R sao cho x = xax.
Chú ý 1.3.7. Phần tử chính quy không là ước của 0.
Môđun trung thành
Định nghĩa 1.3.8. Một môđun phải A trên vành R được gọi là R-môđun trung
thành nếu annR (A) = 0.

1.4

Môđun tự do, môđun chia được, môđun xoắn tự do, môđun
đơn

Môđun tự do
Bổ đề 1.4.1. Cho FR là R-môđun phải. Khi đó các điều kiện sau là tương
đương:
(i) F có một cơ sở.
(ii) F = ⊕ Ai và với mọi i ∈ I, RR

A.

i∈I

Định nghĩa 1.4.2. R-môđun phải F thỏa một trong các định nghĩa trên của
bổ đề 1.4.1 được gọi là tự do.
Ví dụ 1.4.3.

(i) Vành R là R-môđun phải tự do với cơ sở là {1}.

(ii) Mọi không gian vectơ đều là môđun tự do vì chúng luôn có cơ sở.
(iii) F = Rn xem là R-môđun. Xét X = {e1 = (1, 0, ..., 0), ..., en = (0, ..., 0, 1)}.
Khi đó F = X . Vậy X là cơ sở của F . Hay F là R-môđun tự do với cơ
sở có n phần tử.
8


(iv) Q là Z-môđun không tự do vì Q là Z-môđun vô hạn sinh và không độc lập
tuyến tính.
Mệnh đề 1.4.4. I = ∅, F = R(I) là R-môđun tự do.
Định lý 1.4.5. Mọi R-môđun tự do F đều có dạng F = R(I) , với I là tập nào
đó.
Sau đây là mối quan hệ giữa R-môđun tự do và R-môđun.
Định lý 1.4.6. Mỗi R-môđun phải M là ảnh toàn cấu của một R-môđun phải

tự do nào đó. Nếu MR hữu hạn sinh thì MR là ảnh toàn cấu của một R-môđun
phải tự do với cơ sở hữu hạn.
Định lý 1.4.7. Nếu ϕ : AR → FR là một toàn cấu từ R-môđun phải A vào
môđun tự do F thì tồn tại đồng cấu ϕ : FR → AR sao cho ϕϕ = 1F .
Môđun chia được
Tiếp theo chúng tôi khảo sát về môđun chia được:
Định nghĩa 1.4.8. Một A-môđun phải trên vành R được gọi là chia được nếu
Ax = A với mọi phần tử chính quy x ∈ R.
Ví dụ 1.4.9. Mọi môđun nội xạ là chia được. Tuy nhiên trên một miền bất
kì thì môđun chia được không nhất thiết là nội xạ. Chẳng hạn: R = K[x, y] là
vành các đa thức của hai ẩn x, y lấy hệ tử trên trường K và F = K[x, y] là
trường các thương của R. Khi đó F/(xR + yR) là R-môđun chia được nhưng
không nội xạ.
Vậy trong trường hợp nào thì một R-môđun chia được và nội xạ là như nhau.
Để trả lời câu hỏi này ta đi tìm hiểu trong các mục sau.

Môđun xoắn tự do
Trước hết ta định nghĩa về phần tử xoắn tự do.
Định nghĩa 1.4.10. Phần tử m của R-môđun phải là xoắn tự do nếu md = 0
với d là phần tử chính quy của R.

9


Định nghĩa 1.4.11. Môđun con xoắn của một R-môđun phải A là tập t(A) =
{a ∈ A|ax = 0} với x là phần tử chính quy nào đó của R. Ta gọi A là xoắn tự
do nếu t(A) = 0.
Sau đây chúng tôi sẽ định nghĩa về vành Goldie phải nửa nguyên tố. Trước
hết ta tìm hiểu về vành các thương cổ điển.
Định nghĩa 1.4.12. Vành các thương phải cổ điển của một vành R là một vành

các thương phải của R tương ứng với tập tất cả các phần tử chính quy của R.
Mệnh đề 1.4.13. Giả sử vành R có một vành các thương phải cổ điển, Nơte
phải Q. Khi đó RR có hạng hữu hạn và RR thỏa mãn điều kiện ACC trên các
linh hóa tử phải. Hơn nửa nếu Q là nửa đơn thì R là vành phải nửa nguyên tố.
Định lý 1.4.14. Nếu R có một vành các thương cổ điển phải nửa đơn khi và
chỉ khi R là vành Goldie phải nửa nguyên tố.
Mệnh đề 1.4.15. Cho A là môđun phải xoắn tự do trên vành Goldie phải nửa
nguyên tố R. Khi đó A chia được nếu và chỉ nếu A nội xạ.
Môđun đơn và nửa đơn
Trong mục này chúng tôi sẽ trình bày về khái niệm và đặc trưng của môđun
đơn và nhắc lại môđun nửa đơn. Trước tiên chúng tôi trình bày về môđun đơn.
Định nghĩa 1.4.16. Một môđun khác không TR là môđun đơn nếu nó không
có môđun con không tầm thường nào. Tức là T = 0 và chỉ có đúng hai môđun
con là 0 và T .
Môđun đơn có đặc trưng sau:
Môđun T (khác không) là đơn nếu và chỉ nếu mọi đồng cấu khác không T → N
(N → T ) trong Mod-R đều là đơn cấu (toàn cấu). Ngoài ra môđun đơn có tính
chất quan trọng sau:
Mệnh đề 1.4.17. Một R-môđun phải T là đơn nếu và chỉ nếu T

R/M với

iđêan phải cực đại M nào đó của R.
Nhận xét 1.4.18.

(i) T đơn nếu và chỉ nếu T = xR, với mọi x khác 0 trong

T (annR (x) = R).
10

(ii) Khi T = xR thì T

R/annR (x).

(iii) Môđun R/annR (x) đơn khi và chỉ khi annR (x) là iđêan phải cực đại của
R.
Định nghĩa 1.4.19. (Môđun nửa đơn)
(i) Một môđun M được gọi là nửa đơn nếu nó là tổng trực tiếp của các môđun
đơn.
(ii) Vành R được gọi là nửa đơn phải (trái) nếu môđun RR (R R) nửa đơn.
Mệnh đề sau nêu lên tính chất đặc trưng của môđun nửa đơn:
Mệnh đề 1.4.20. Môđun MR là nửa đơn nếu và chỉ nếu mọi môđun con của
M đều là một hạng tử trực tiếp của M .
Hệ quả 1.4.21. Môđun con của môđun nửa đơn là nửa đơn.

1.5

Môđun xạ ảnh và môđun Nơte

Môđun xạ ảnh
Định nghĩa 1.5.1. Cho P là R-môđun phải. Khi đó P được gọi là xạ ảnh nếu
với mọi toàn cấu β : B → C và mỗi đồng cấu ψ : P → C tồn tại một đồng cấu
λ : P → B sao cho ψ = βλ, nghĩa là, biểu đồ sau giao hoán:
By
λ

β

G

bC

G

0.

ψ

P
Môđun xạ ảnh có tính chất sau đây.
Hệ quả 1.5.2. Nếu P là xạ ảnh và P

C thì C là xạ ảnh.

Định lý 1.5.3. Cho P = ⊕Pi . Lúc đó P xạ ảnh nếu và chỉ nếu Pi xạ ảnh với
i∈I

mọi i ∈ I.
Định lý sau nêu lên mối quan hệ giữa môđun xạ ảnh và môđun tự do.
Định lý 1.5.4. Môđun P là xạ ảnh nếu và chỉ nếu P đẳng cấu với hạng tử trực
tiếp của môđun tự do nào đó.
11


Ví dụ 1.5.5. Với R = Z6 . Khi đó Z6

Z2 ⊕ Z3 như là Z6 -môđun, ta biết Z6 là

Z6 -môđun xạ ảnh. Do Z6 -môđun Z2 là một hạng tử trực tiếp của Z6 nên Z2 là

Z6 -môđun xạ ảnh. Nhưng Z2 không phải là Z6 -môđun tự do.
Trong trường hợp nào thì môđun xạ ảnh và môđun tự dó là như nhau? Ta
xem định lý sau.
Định lý 1.5.6. Đối với Z-môđun thì hai khái niệm xạ ảnh và tự do là như nhau.
Tiếp theo chúng tôi trình bày về môđun con thuần túy như sau:
Định nghĩa 1.5.7. Cho R là một vành và A là R−môđun phải, A là môđun
con của A. Khi đó A được gọi là môđun con thuần túy cúa A nếu A ∩ Aa = A a
với a ∈ R.
Nhận xét 1.5.8. Mỗi hạng tử trực tiếp của A là môđun con thuần túy của A.
Mệnh đề 1.5.9. Nếu môđun MR là xạ ảnh đối với mỗi R-môđun phải nội xạ
thì M là môđun xạ ảnh.
Môđun Nơte
Định nghĩa 1.5.10. Một R-môđun phải M được gọi là Nơte nếu mọi tập khác
rỗng các môđun con của nó đều có phần tử tối đại.
Vành R được gọi là Nơte phải nếu môđun RR là Nơte phải.
Ví dụ 1.5.11. Vành Z là miền nguyên chính nên Z Nơte.
Mệnh đề 1.5.12. Giả sử A là môđun con của môđun M. Các điều kiện sau là
tương đương
(i) M là Nơte.
(ii) A và M/A là Nơte.
(iii) Mọi dãy tăng A1 ≤ A2 ≤ A2 ≤ ..... những môđun con của M đều dừng, tức
là tồn tại n sao cho: An = An+1 = ... (M được gọi là thỏa điều kiện dây
chuyền tăng (ACC)).

12


Mệnh đề 1.5.13. Cho dãy gồm hữu hạn các môđun con của M
(0) = M0 ≤ M1 ≤ M2 ≤ ... ≤ Ms = M.
Khi đó M là Nơte khi và chỉ khi các môđun thương Mj+1 /Mj là Nơte, với mọi

j = 0, ..., s − 1.
Hệ quả 1.5.14. Nếu M là tổng hữu hạn của những môđun con Nơte thì M là
Nơte.
Điều kiện hữu hạn sinh
Định nghĩa 1.5.15. Một MR được gọi là hữu hạn sinh nếu tồn tại tập hữu hạn
{a1 , ..., an } ⊂ M sao cho M = a1 R + ... + an R (tức là M là tập sinh hữu hạn).
Mệnh đề 1.5.16. Nếu R là vành Nơte phải và M là R-môđun phải hữu hạn
sinh thì M là Nơte.
Ngoài ra chúng tôi cũng nhắc lại một số kiến thức về iđêan hữu hạn sinh và
iđêan cực đại.
Định nghĩa 1.5.17. Nếu iđêan phải I của R có tập con hữu hạn F sao cho I
là iđêan phải được sinh bởi F thì iđêan phải I được gọi là hữu hạn sinh.
Nếu X là tập con bất kì của R, giao của tất cả các iđêan phải I của R chứa
X thì I được gọi là iđêan phải sinh bởi X.
Nếu X = a thì I = aR và I được gọi là iđêan chính.
Nhận xét 1.5.18. Mỗi iđêan hữu hạn sinh là n-sinh.
Nếu B là iđêan đếm được sinh chứa trong A thì tồn tại một iđêan đếm được
sinh chứa B và được chứa trong A, tức là tồn tại C sao cho B < C < A.
Định nghĩa 1.5.19. Cho R là vành và I là 
iđêan của R. Khi đó iđêan I được
J =I
gọi là cực đại nếu với mọi iđêan J, J ≤ I ⇒ 
J = R.
Mệnh đề 1.5.20. I là iđêan cực đại khi và chỉ khi R/I là một trường.
Nhận xét 1.5.21. Mọi vành R = 0 có ít nhất một iđêan cực đại.

13


1.6

Môđun và vành nội xạ-Bao nội xạ

Trong mục này, chúng tôi sẽ trình bày về các tính chất và tiêu chuẩn để xác
định một môđun nôi xạ của các R−môđun phải, về khái niệm và tính duy nhất
của bao nội xạ của một môđun. Ngoài ra chúng tôi cũng trình bày về vành nội
xạ và vành con. Trước tiên, chúng tôi trình bày khái niệm môđun nội xạ.
Môđun nội xạ
Định nghĩa 1.6.1. Một môđun MR được gọi là N -nội xạ nếu với mỗi môđun
con A của N thì mọi đồng cấu f : A −→ M đều mở rộng được đến đồng cấu
g : N −→ M , nghĩa là biểu đồ sau giao hoán
G

0

G

A

f

N

g

 }

M.

Môđun M được gọi là nội xạ nếu M là N −nội xạ với mọi môđun N .

Từ định nghĩa trên ta khai triển chi tiết ra như sau:
Định nghĩa 1.6.2. Cho QR là một môđun. Lúc đó Q được gọi là nội xạ trong
trường hợp với mọi đơn cấu f : KR → MR , với mọi KR , MR và mỗi đồng cấu
ϕ : KR → QR tồn tại một R−đồng cấu θ : M → Q sao cho θf = ϕ, nghĩa là,
biểu đồ sau giao hoán

0

G

K

ϕ

 ~

f

GM
θ

Q.
Ví dụ 1.6.3. Q/Z là Z-môđun nội xạ.

Bây giờ, chúng tôi sẽ trình bày một tiêu chuẩn để xác định một môđun là nội
xạ, tiêu chuẩn đó mang tên Tiêu chuẩn Baer.
Định nghĩa 1.6.4. (Tiêu chuẩn Baer) Cho A là môđun phải trên vành R.
Khi đó A là nội xạ ⇔ Với mọi iđêan phải I của R và mọi f ∈ HomR (I, A), đều
có thể mở rộng f thành g : R → A.
14

Hệ quả 1.6.5. Nếu Q là nội xạ và Q
Định lý 1.6.6.

A thì A là nội xạ.

(i) Mọi hạng tử trực tiếp của môđun nội xạ là nội xạ.
Qi . Lúc đó Q nội xạ nếu và chỉ nếu Qi nội xạ với mọi i ∈ I.

(ii) Cho Q =
i∈I

Định lý 1.6.7. Mỗi môđun là môđun con của một môđun nội xạ nào đó.
Mệnh đề 1.6.8. Đối với mỗi môđun, tồn tại đơn cấu vào môđun nội xạ.
Hệ quả 1.6.9. Môđun M là nội xạ nếu và chỉ nếu M là hạng tử trực tiếp của
mọi môđun chứa nó.
Mệnh đề 1.6.10. Cho f : MR −→ NR là đơn cấu. Khi đó, tìm được môđun N
thỏa mãn điều kiện:
(i) M ≤ N .
(ii) Có đẳng cấu g : N −→ N sao cho f = gι, trong đó ι là phép nhúng M vào
N.
Tiếp theo chúng tôi trình bày về bao nội xạ của một môđun.

Bao nội xạ
Định nghĩa 1.6.11. Cho M là R-môđun phải, đơn cấu µ : M → Q được gọi
là bao nội xạ đối với M nếu Q là môđun nội xạ còn µ là đơn cấu cốt yếu.
Kí hiệu: E(M ) là bao nội xạ của M .
ι

Ví dụ 1.6.12. ZZ → QZ là bao nội xạ đối với ZZ vì ι là đơn cấu còn QZ là nội
xạ.
Tính duy nhất của bao nội xạ được nêu trong mệnh đề sau:
Mệnh đề 1.6.13. Mọi môđun đều có một bao nội xạ. Nó duy nhất sai khác một
đẳng cấu.
Vành nội xạ
Định nghĩa 1.6.14. Vành R được gọi là nội xạ nếu RR là nội xạ.

15


Chương 2

Môđun và vành n-nội xạ
Nội dung của chương này là nghiên cứu về môđun và vành n-nội xạ, trình
bày về các tính chất của môđun và vành n-nội xạ, đặc biệt là môđun 1-nội xạ,
trên cơ sở đó định ra tiêu chuẩn để kiểm tra một môđun phải là n-nội xạ. Từ
đó thiết lập về mối quan hệ giữa nội xạ và n-nội xạ, sau đó chúng tôi chỉ ra
các vành R là n-nội xạ nhưng không phải là (n + 1)-nội xạ. Cuối cùng chúng
tôi trình bày về mối quan hệ giữa các lớp môđun và các lớp vành liên quan tiêu
biểu là vành n-nửa di truyền.
Trước tiên, chúng tôi trình bày định nghĩa và một số tính chất của môđun và
vành n-nội xạ.

2.1

Môđun và vành n-nội xạ

Trong suốt mục này, ta giả sử tất cả các vành có phần tử đơn vị và tât cả các
môđun là môđun phải đơn nhất (unitary).

Một XR được gọi là môđun phải đơn nhất (unitary) nếu ∀x ∈ X, x1 = x.
Môđun n-nội xạ

Định nghĩa 2.1.1. [4](n-nội xạ)
(i) Cho n là số nguyên dương, R-môđun X được gọi là n-nội xạ nếu mỗi iđêan
phải n-sinh I của R, mỗi đồng cấu ϕ : I → X có thể mở rộng đến R, nghĩa
là với mọi đồng cấu ϕ : I → X tồn tại đồng cấu θ : R → X thỏa ϕ = θι,
tức là biểu đồ sau giao hoán:
16


G

0

I

ϕ

 ~

G

ι

R

θ

X.

(ii) Đặc biệt n = 1 thì 1-nội xạ được gọi là nội xạ chính hay P -nội xạ.
Ngoài ra ta có các khái niệm mở rộng sau:
Định nghĩa 2.1.2. [4]
(i) R-môđun X được gọi là F -nội xạ nếu mỗi iđêan phải hữu hạn sinh I của
R, mỗi đồng cấu ϕ : I → X có thể mở rộng đến R.
(ii) R-môđun X được gọi là C-nội xạ nếu mỗi iđêan phải đếm được sinh C của
R, mỗi đồng cấu ϕ : C → X có thể mở rộng đến R.
Từ định nghĩa trên ta có nhận xét sau.
Nhận xét 2.1.3. Một môđun X là F -nội xạ ⇔ X là n-nội xạ, với mọi số nguyên
dương n.
Định nghĩa 2.1.4. [4](Biểu diễn hữu hạn)
Cho R là vành, một môđun M trên R được gọi là biểu diễn hữu hạn nếu tồn tại
một R-môđun tự do hữu hạn sinh F và môđun con hữu hạn sinh K của F sao
cho M ∼
= F/K.
Sau đây là nhận xét về mối quan hệ giữa nội xạ, n-nội xạ, F -nội xạ, C-nội
xạ.
Nhận xét 2.1.5.

(i) X là nội xạ ⇒ X là C-nội xạ ⇒ F -nội xạ ⇒ n-nội xạ.

(ii) X là (n + 1)-nội xạ ⇒ X là n-nội xạ, với mọi số nguyên dương n.
Điều ngược lại nói chung không đúng, chẳng hạn ta xét các ví dụ sau:
Ví dụ 2.1.6.

(i) Cho R là vành không phải Nơte phải. Khi đó tồn tại tổng

trực tiếp X các R-môđun nội xạ mà không phải là C-nội xạ (theo bổ đề
2.4.17), nhưng X là F P -nội xạ, do đó X là F -nội xạ. Chẳng hạn: Z-môđun

Q không phải là Nơte vì ta có dãy tăng vô hạn Z ⊂ ( 12 )Z ⊂ ( 14 )Z ⊂ ....
Với mọi số nguyên dương n, an ∈ An+1 \An với An = ( 21n )Q (n ≥ 0),
17


đặt I = a1 Q + a2 Q + .... Ánh xạ ϕ : I → ⊕ E(Q/An ) xác định bởi
n≥1

ϕ(r) = (r + A1 , r + A2 , ...) (r ∈ Q). Khi đó ⊕ E(Q/An ) không là C-nội
n≥1

xạ và theo chú ý 2.1.9 thì ⊕ E(Q/An ) là F P -nội xạ nên ⊕ E(Q/An ) là
n≥1

n≥1

F -nội xạ.
(ii) R-môđun X là 1-nội xạ phải nhưng không phải là 2-nội xạ phải. Thật vậy:
_

_

_

Cho F là một trường và F là trường con của F , F = F , X = Y là F -không
gian con 1-chiều của F và xét Xt, Y t là các iđêan phải (đơn). Khi đó,
γ : Xt ⊕ Y t −→ Xt
xt + yt −→ γ(xt + yt) = xt
là R-tuyến tính phải. Nếu a, b ∈ F sao cho γ = (a + bt)., khi đó với mọi
x ∈ X, y ∈ Y ta có (a + bt)(xt + yt) = γ(xt + yt) = xt suy ra ax = x và

ay = 0. Điều này mâu thuẫn. Vậy X không phải là 2-nội xạ phải.
(iii) Cho R là miền giao hoán nhưng không là nửa di truyền thì tồn tại R−môđun
1-nội xạ nhưng không phải là 2-nội xạ (theo [14]).
Định nghĩa 2.1.7. [4](F P -nội xạ, nP -nội xạ)
(i) R-môđun X được gọi là F P -nội xạ nếu mỗi R-môđun tự do F và môđun
con hữu hạn sinh K của F , mỗi đồng cấu ϕ : K → X có thể mở rộng đến
F.
(ii) R-môđun X được gọi là nP -nội xạ nếu mỗi R-môđun tự do F và môđun
con n-sinh G của F , mỗi đồng cấu ϕ : G → X có thể mở rộng đến F .
Sau đây là nhận xét về mối quan hệ giữa F P -nội xạ, nP -nội xạ, n-nội xạ,
nội xạ.
Nhận xét 2.1.8.

(i) X là F P -nội xạ ⇒ X là (n + 1)-nội xạ ⇒ X là nP -nội

xạ.
(ii) X là nội xạ ⇒ X là F P -nội xạ ⇒ X là F -nội xạ.
(iii) X là nP -nội xạ ⇒ X là n-nội xạ.
18


Điều ngược lại nói chung không đúng, nếu X là F -nội xạ ⇒ X là F P -nội xạ
chỉ đúng trong trường hợp R là vành nửa di truyền phải và X là n-nội xạ ⇒ X
là nP -nội xạ chỉ đúng trong trường hợp R là vành n-nửa di truyền phải (phần
chứng minh được trình bày trong mục 2.4).
Chú ý 2.1.9. Cho R là vành bất kì, mỗi tổng trực tiếp ⊕ Xi của R-môđun nội
i∈I

xạ là F P -nội xạ và do đó cũng là F -nội xạ.
Nếu N là môđun con hữu hạn sinh bất kì của R-môđun M bất kì thì mỗi

đồng cấu ϕ : N → X có thể mở rộng đến M , với X = ⊕ Xi . Trong trường hợp
i∈I

này, tồn tại tập con hữu hạn sinh J của I sao cho ϕ(N ) ⊆ ⊕ Xj là một môđun
j∈J

nội xạ. Do đó ϕ có thể mở rộng đến M .
Vành n-nội xạ
Định nghĩa 2.1.10. Cho số nguyên dương n ≥ 1, một vành R được gọi là n-nội
xạ phải nếu RR là n-nội xạ.
_

Ví dụ 2.1.11. Cho F là một trường sao cho tồn tại đẳng cấu a → a từ F vào
_

trường con thực sự F của F . Cho n là số nguyên với n ≥ 2, R là không gian
véctơ trái trên F với cơ sở {1, t, ..., tn−1 } và làm R trở thành F -đại số xác định
_

a t (a ∈ 
F ). Kí hiệu A là vành các ma trận vuông cấp n × n
bởi tn = 0 và ta = 
trong R. Nếu e = 

1

0

0

0

 thì e là lũy đẳng trong A sao cho A = AeA. Hơn


nữa B = eAe là vành con của A chứa tất cả các ma trận có dạng 

r

0

0

0


 với

mọi r ∈ R và B ∼
= R. Khi đó B là B-môđun phải 1-nội xạ.

2.2

Tính chất cơ bản của môđun và vành n-nội xạ

Mệnh đề 2.2.1. [4, Proposition 1.2] Cho R là vành bất kì và n là số nguyên
dương bất kì. Khi đó
(i) Mỗi hạng tử trực tiếp của một R-môđun n-nội xạ là n-nội xạ.
(ii) Mỗi tích trực tiếp của các R-môđun n-nội xạ là n-nội xạ.
19

(iii) Mỗi tổng trực tiếp của các R-môđun n-nội xạ là n-nội xạ.
Chứng minh. (i) Giả sử X là R-môđun n-nội xạ và X1 là hạng tử trực tiếp của
X, tức là ∃X2 : X = X1 ⊕ X2 , cần chứng minh X1 là n-nội xạ.
Giả sử I là iđêan phải n-sinh của R, f : I → R, π : X → X1 là phép chiếu,
ι : X1 → X là đồng cấu bao hàm, suy ra ιβ : I → X là đồng cấu, với β : I → X1
là đồng cấu.
Vì X là n-nội xạ nên với mọi đồng cấu ιβ : I → X, tồn tại đồng cấu
k : R → X thỏa kf = ιβ, ta có sơ đồ sau:
G

0

I

f

G

R

α

β

 ~

X1
ι

k

 Ö

X.
Đặt α = πk : R → X1 , ta có αf = πkf = πιβ = idX1 β = β. Suy ra αf = β.
Vậy X1 là n-nội xạ.
(ii) X =

Xi , Xi là R-môđun n-nội xạ, cần chứng minh X là n-nội xạ.
i∈I

Giả sử I là iđêan phải n-sinh của R. Vì Xi là R-môđun n-nội xạ của R với
mọi i ∈ I nên tồn tại đồng cấu αi : R → Xi thỏa αi f = πi β, với πi β : I → Xi
là đồng cấu, ta có biểu đồ giao hoán sau:
0

G

I

β

GR

α

 }

X
πi

f

αi

 Ö

Xi .
Xi nên với mọi đồng cấu αi : R → Xi tồn tại đồng cấu α : R → X

Vì X =
i∈I

thỏa πi α = αi . Suy ra πi β = αi f = πi αf , do đó β = αf . Vậy X là R-môđun
n-nội xạ.
(iii) X = ⊕ Xi , Xi là R-môđun n-nội xạ, cần chứng minh X là R-môđun
i∈I

n-nội xạ. Giả sử I là iđêan phải n-sinh của R, β : I → X = ⊕ Xi là đồng cấu,
i∈I

πi : X → Xi là phép chiếu lên thành phần thứ i, di : Xi → X là phép nhúng.
20


Vì Xi là n-nội xạ, ∀i ∈ I nên với mọi đồng cấu πi β : I → Xi tồn tại đồng cấu
αi : R → Xi sao cho αi f = πi β, tức là biểu đồ sau giao hoán:
G

0

f

I

GR

α

β



z

X = ⊕ Xi
i∈I

αi

πi

 Ô

Xi .
Đặt α = di αi : R → X = ⊕ Xi , ta có αf = di αi f = di πi β = 1X β = β hay
i∈I

αf = β. Do đó β có thể mở rộng đến R. Vậy X là n-nội xạ.
Nhận xét 2.2.2. Kết quả trên cũng đúng cho R-môđun C-nội xạ, F P -nội xạ,
nP -nội xạ, F -nội xạ.
Hệ quả 2.2.3. [4, Corollary 1.3] Cho R là vành và n là số nguyên dương, khi
đó R là n-nội xạ nếu và chỉ nếu mọi R-môđun phải xạ ảnh là n-nội xạ.
Chứng minh. (⇐). Giả sử mỗi R-môđun phải xạ ảnh F là n-nội xạ.
Với F là xạ ảnh, K là R-môđun phải tự do và ϕ : K → F là toàn cấu, khi đó
K = Ker(ϕ) ⊕ F0 nên F0

F suy ra F0 là n-nội xạ do đó K là n-nội xạ (theo

Mệnh đề 2.2.1). Mà K tự do nên K = R(X) = ⊕ R. Do đó theo Mệnh đề 2.2.1
X

(i) ta có R là n-nội xạ.
(⇒). Giả sử R là n-nội xạ, mỗi R-môđun phải xạ ảnh G có dạng F/K với F là
tự do, K là môđun con thuần túy của F . Nếu F là n-nội xạ ⇒ G là n-nội xạ.
Thật vậy, G = F/K là xạ ảnh nên F = G ⊕ K, khi đó G là hạng tử trực tiếp
của F mà F là n-nội xạ do đó G là n-nội xạ (theo Mệnh đề 2.2.1).
Nhận xét 2.2.4. Kết quả trên cũng đúng cho R-môđun nP -nội xạ, F -nội xạ.
Bổ đề 2.2.5. [4, Lemma 1.4] Cho R là vành và n là số nguyên dương bất kì, khi
đó: Một R-môđun X là n-nội xạ ⇔ Với mỗi R-môđun n-sinh M sao cho tồn tại
đơn cấu α : M → R và mỗi đồng cấu ϕ : M → X, tồn tại đồng cấu θ : R → X
thỏa ϕ = θα.

21


Chứng minh. (⇒). Giả sử X là R-môđun n-nội xạ, α : MR → R là đơn cấu.
Khi đó, f : MR → α(M ) là đẳng cấu. Vì α(M ) ⊂ R nên i : α(M ) → R là

phép nhúng và α = if . Vì X là n-nội xạ nên tồn tại đồng cấu θ : R → X thỏa
ϕ = θα, tức là sơ đồ sau giao hoán:
G

0

f

MR
ϕ



X.

G

α(M )

i

G

R

θ

{u

(⇐). Với I = M thì X là n-nội xạ (theo định nghĩa).

Nhận xét 2.2.6. Kết quả trên cũng đúng cho R-môđun nP -nội xạ.
Bổ đề 2.2.7. [4, Lemma 1.5] Cho R là một vành và X là một R-môđun. Khi
đó X là n-nội xạ, với n là số nguyên dương ⇔ Với mọi ai ∈ R (1 ≤ i ≤ n)
n

ai R → X tồn tại x ∈ X sao cho: ϕ(ai ) = xai (1 ≤ i ≤ n).

và mỗi đồng cấu ϕ :
i=1

n

Chứng minh. (⇒). Giả sử X là n-nội xạ và

ai R là iđêan phải n-sinh của R.
i=1

n

Khi đó, tồn tại đồng cấu θ : R → X sao cho θi = ϕ với i :

ai R → R là phép
i=1

nhúng. Đặt x = θ(1). Ta có: ϕ(ai ) = θi(ai ) = θ(ai ) = θ(1.ai ) = θ(1).ai = xai .
n

ai R → X , tồn tại x ∈ X : ϕ(ai ) = xai và đồng

(⇐). ∀ai ∈ R, đồng cấu ϕ :

i=1

cấu

θ : R −→ X
1 −→ x.
Ta có θ(r) = θ(1.r) = θ(1).r = xr. Suy ra θ = ϕ|

n

ai R

. Do đó θ có thể mở

i=1

rộng đến R. Vậy X là n-nội xạ.
Tiếp theo ta có các định nghĩa sau:
Định nghĩa 2.2.8. Cho n là số nguyên dương và ai ∈ R (1 ≤ i ≤ n) ta có:
X(a1 , ..., an ) = {(xa1 , ..., xan )|x ∈ X}
22