Về tính ổn định của mặt f cực tiểu kiểu đồ thị trong không gian r × ω g2

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐẠI HỌC HUẾ
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

NGUYỄN QUỐC HOÀNG

VỀ TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA MẶT
f -CỰC TIỂU KIỂU ĐỒ THỊ
TRONG KHÔNG GIAN R ×w G2
Chuyên ngành: HÌNH HỌC VÀ TÔPÔ
Mã số: 60460105

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Huế, Năm 2016
i


LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, các số liệu và
kết quả nghiên cứu ghi trong luận văn là trung thực, được các đồng tác giả cho
phép sử dụng và chưa từng công bố trong một công trình nghiên cứu nào khác.
Nguyễn Quốc Hoàng

ii


LỜI CẢM ƠN

Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình và chu đáo của

thầy giáo PGS. TS Đoàn Thế Hiếu. Lời đầu tiên của luận văn này, tôi xin phép
được gửi đến thầy sự kính trọng và lòng biết ơn sâu sắc đối với thầy trong thời
gian hướng dẫn tôi thực hiện luận văn.
Nhân dịp này, tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới các thầy cô
giáo đã tham gia giảng dạy khoá cao học K23, những người đã giúp tôi trang bị
những kiến thức cần thiết trong hơn 2 năm học vừa qua.
Đồng thời, tôi cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Ban Giám Hiệu, Phòng
Đào tạo Sau đại học và Khoa Toán, trường Đại học Sư phạm Huế đã tạo điều
kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và thực hiện luận văn của mình.
Sau cùng, tôi xin được gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè, và đặc biệt là các
anh chị trong lớp ‘Hình học và Tôpô’ khoá K23 (2014-2016) đã nhiệt tình giúp
đỡ tôi trong suốt thời gian thực hiện luận văn cũng như trong suốt quá trình
học tập.

iii


Mục lục
Mục lục

1

Phần mở đầu

2

Phần nội dung

3

1 KHÔNG GIAN R ×w R2

3

1.1

Không gian R ×w R2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.2

Biến phân thứ nhất của phiếm hàm diện tích . . . . . . . . . . .

6

1.2.1

Diện tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.2.2

Biến phân thứ nhất của phiếm hàm diện tích . . . . . .

7

Mặt cực tiểu kiểu đồ thị ổn định . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

1.3.1

Phương trình Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

1.3.2

Biến phân thứ hai của phiếm hàm diện tích . . . . . . .

15

1.3.3

Tính ổn định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

1.3.4

Tính cực tiểu diện tích của mặt tham số kiểu đồ thị trong

1.3

không gian R ×w R2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2 KHÔNG GIAN R ×w G2

17

21

2.1

Không gian với mật độ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

2.2

Không gian Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

2.3

Mặt f -cực tiểu kiểu đồ thị trong không gian R ×w G2 . . . . . .

24

2.3.1

f -độ cong trung bình trong không gian R ×w G2 . . . . .

24

2.3.2

Phương trình Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

2.3.3

Xét độ cong của các ‘fiber’ . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

2.3.4

Ý nghĩa của đại lượng

f, N

iv

w

. . . . . . . . . . . . . .

28


2.3.5

Tính cực tiểu của mặt tịnh tiến trong R ×w G2 . . . . .

2.3.6

Xét tính cực tiểu diện tích của các mặt cực tiểu kiểu đồ

2.3.7

29

thị trong không gian R ×w G2 . . . . . . . . . . . . . . .

30

Xét định lý kiểu Bernstein . . . . . . . . . . . . . . . . .

35

Kết luận

39

Tài liệu tham khảo

40

1


LỜI MỞ ĐẦU
Hình học vi phân là một nhánh của toán học sử dụng các công cụ và phương
pháp của phép tính vi phân và tích phân cũng như đại số tuyến tính và đại số đa
tuyến để nghiên cứu các vấn đề của hình học. Đặc biệt, lĩnh vực đa tạp với mật
độ hiện đang được quan tâm bởi nhiều nhà toán học trên thế giới. Và một trong
số những vấn đề được chú trọng nghiên cứu là mặt cực tiểu. Không gian với mật

độ, tức là không gian với một hàm dương, gọi là mật độ dùng để làm trọng số
n

cho cả thể tích và chu vi. Không gian Gauss với mật độ Gauss 2π

− n2

ei=1

−x2
i
2

là

một ví dụ của không gian với mật độ được nghiên cứu trong xác suất. Mặt cực
tiểu trong không gian với mật độ e−f , gọi tắt là mặt f -cực tiểu, là mặt có độ
cong trung bình với mật độ bằng không. Từ đó, các nhà toán học nghiên cứu
các mặt f -cực tiểu trong các không gian với các mật độ khác nhau.
Xuất phát từ vấn đề này, được sự gợi ý của PGS. TS Đoàn Thế Hiếu, tôi đã
chọn đề tài “Tính ổn định của mặt f -cực tiểu kiểu đồ thị trong không
gian R ×w G2 ” làm đề tài nghiên cứu của luận văn. Ngoài phần mở đầu và kết
luận, nội dung luận văn được trình bày theo hai chương:
Chương I: Không gian R ×w R2 . Chương này trình bày các kiến thức
về mặt trong không gian R ×w R2 mà đặc biệt là mặt cực tiểu và các tính chất
của mặt cực tiểu.
Chương II: Không gian R ×w G2 . Chương II chia làm ba phần: Phần
thứ nhất giới thiệu về không gian Gauss. Phần thứ hai giới thiệu về không gian
R ×w G2 . Phần thứ ba nghiên cứu về tính ổn định của mặt f -cực tiểu kiểu đồ
thị trong không gian R ×w G2 .

2


Chương 1
KHÔNG GIAN R ×w R2
Mục này giới thiệu về không gian R ×w R2 và các tính chất đặc trưng. Nhưng
trước tiên, ta sẽ có khái niệm về đa tạp tích cong [1] như sau:
Cho B và F là hai đa tạp Riemann cùng với các metric Riemann tương ứng
trên đó là gB và gF . Cho w là một hàm trơn, dương xác định trên B. Xét đa
tạp tích B × F và các phép chiếu π : B × F → B và η : B × F → F .
Đa tạp tích cong M = B ×w F là đa tạp B × F với metric Riemann sau:
g := π∗ (gB ) + (w ◦ π)2 η∗ (gF ).
Tức là với mọi vector tiếp xúc X ∈ Tx M , ta có:
||X||2 = ||π∗ (X)||2 + w2 (π(x)).||η∗ (X)||2 .
Ta có thể viết gọn:
g := gB + ω 2 gF .
Hàm w được gọi là hàm warping (trong luận văn này, ta sẽ gọi w là hàm
‘tích cong’ ). Metric ở đây không chỉ phụ thuộc vào X mà còn phụ thuộc vào vị
trí điểm đặt x. Bây giờ chúng ta xét trường hợp đặc biệt khi B = R và F = R2 .

1.1

Không gian R ×w R2
Không gian R ×w R2 (được gọi là không gian tích cong) là không gian

R × R2 trong đó ta sẽ định nghĩa metric trên nó như sau:

3

Định nghĩa 1.1.1. Không gian tích cong R ×w R2 là không gian tích R × R2
với tích vô hướng xác định như sau:
a, b

w

= a1 b1 + w2 (xp )(a2 b2 + a3 b3 ),

với mọi vector a = (a1 , a2 , a3 ); b = (b1 , b2 , b3 ) đặt tại điểm p = (xp , yp , zp ) ∈
R × R2 .
Ta có metric tương ứng là:
g := dx2 + w2 (xp )(dy 2 + dz 2 ),
trong đó w > 0 là một hàm khả vi, dương xác định trên R.
* Trường hợp w = 1, ta có không gian tích quen thuộc là R × R2 ≡ R3 .
Trong không gian tích cong R ×w R2 , R được gọi là nền “base” và R2 được
gọi là thớ “f iber”. Ngoài ra, ta cũng gọi các không gian con {t} ×w R2 là các
“f iber”; R ×w {p} là “leaf ”.
Trong luận văn này, ta sẽ xem không gian R ×w R2 với R2 (“f iber”) là mặt
phẳng yz còn R (“base”) là trục Ox. Các “f iber”: {t} ×w R2 ta sẽ gọi là các ‘
thớ cong’, các “leaf ”: R ×w {p} ta sẽ gọi là ‘lá’.
Định nghĩa 1.1.2. Trong không gian R ×w R2 cho 2 vector a = (a1 , a2 , a3 ); b =
(b1 , b2 , b3 ) cùng đặt tại điểm p. Khi đó, tích cong của vector a và b được tính như
sau:

w2 (xp ).e1 e2 e3
a ∧w b =

a1

a2 a3 ,

b1

b2 b3

trong đó {e1 , e2 , e3 } là cơ sở chính tắc của R3 .
Định nghĩa 1.1.3. Trong không gian R ×w R2 cho vector a = (a1 , a2 , a3 ) đặt
tại điểm p. Khi đó môđun của a được định nghĩa như sau:
||a||w =

a, a

w

a21 + w2 (xp )(a22 + a23 ).

=
4


Tính chất 1.1.4. Trong không gian R ×w R2 , ta có:
1. a ∧w b, a

w

a ∧w b, b

= 0,

w

= 0;

2. det(a, b, a ∧w b) ≥ 0;
2
w

3. ||a ∧w b||2w + a, b

= ||a||2w .||b||2w ;

Với mọi vector a = (a1 , a2 , a3 ); b = (b1 , b2 , b3 ) cùng đặt tại điểm p.
4. Cho hai trường vector X = (X1 , X2 , X3 ); Y = (Y1 , Y2 , Y3 ), ta có:
X, Y

w

= X1 Y1 + w2 (X2 Y2 + X3 Y3 ).

Khi đó:
∂
X, Y
∂y

∂
∂
∂xp
X
.Y

+
X
.
Y
+
2ww
.
.(X2 .Y2 + X3 Y3 )
1
1
1
1
w
∂y
∂y
∂y
∂
∂
∂
∂
+ w2 ( X2 .Y2 + X2 . Y2 + X3 .Y3 + X3 . Y3 )
∂y
∂y
∂y
∂y
∂
∂xp
∂
X, Y
+ X, Y

+ 2ww .
.(X2 .Y2 + X3 .Y3 ).
=
∂y
∂y
∂y
w
w
=

Chứng minh. Ta có:
1. Đặt a ∧w b = (x, y, z). Ta có:
w2 (xp ) 0
x=

0

1

0

a1

2
a2 a3 = w (xp )(a2 b3 − a3 b2 ) ;

b1

b2 b3

0

0

0

1

y = a1 a2 a3 = a3 b1 − a1 b3 ; z = a1 a2 a3 = a1 b2 − a2 b1 .
b1 b2 b3

b1 b2 b3

Do đó: a ∧w b = (w2 (xp )(a2 b3 − a3 b2 ); a3 b1 − a1 b3 ; a1 b2 − a2 b1 ).
⇒ a ∧w b, a

w

= w2 (xp )a1 (a2 b3 − a3 b2 ) + w2 (xp )(a2 a3 b1 − a1 a2 b3 + a1 a3 b2 − a2 a3 b1 )
= w2 (xp )(a1 a2 b3 − a1 a3 b2 ) + w2 (xp )(a1 a3 b2 − a1 a2 b3 ) = 0.

Tương tự: a ∧w b, b

w

= 0.

5

2. Ta có:
a1 b1 w2 (xp )(a2 b3 − a3 b2 )
det(a, b, a ∧ b) = a2 b2

a3 b1 − a1 b3

a3 b3

a1 b2 − a2 b1

= a1 b2 (a1 b2 − a2 b1 ) + a3 b1 (a3 b1 − a1 b3 ) + a2 b3 w2 (xp )(a2 b3 − a3 b2 )
− a3 b2 w2 (xp )(a2 b3 − a3 b2 ) − a2 b1 (a1 b2 − a2 b1 ) − a1 b3 (a3 b1 − a1 b3 )
= (a1 b2 − a2 b1 )2 + (a3 b1 − a1 b3 )2 + w2 (xp )(a2 b3 − a3 b2 )2 ≥ 0.
Vậy det(a, b, a ∧w b) ≥ 0.
3. Ta có:
||a||2w = a, a

w

= a21 + w2 (xp )(a22 + a23 );

||b||2w = b, b

w

= b21 + w2 (xp )(b22 + b23 );

⇒ ||a||2w .||b||2w = a21 b21 +w2 (xp )(a21 b22 +a21 b23 +a22 b21 +a23 b21 )+w4 (xp )(a22 +a23 )(b22 +b23 ); (1)
a, b

2
w

= a1 b1 + w2 (xp )(a2 b2 + a3 b3 )

2

= a21 b21 + w4 (xp )(a22 b22 + a23 b23 + 2a2 a3 b2 b3 ) + w2 (xp )(2a1 a2 b1 b2 + 2a1 a3 b1 b3 ); (2)
||a ∧w b||2w = a ∧w b, a ∧w b

w

= w4 (xp )(a2 b3 − a3 b2 )2 + w2 (xp ) (a3 b1 − a1 b3 )2 + (a1 b2 − a2 b1 )2
= w4 (xp )(a22 b22 + a23 b23 − 2a2 a3 b2 b3 )
+ w2 (xp )(a21 b22 + a21 b23 + a22 b21 + a23 b21 − 2a1 a2 b1 b2 − 2a1 a3 b1 b3 ); (3)
Từ (1), (2), (3) ta có: ||a ∧w b||2w + a, b

1.2

2
w

= ||a||2w .||b||2w .

Biến phân thứ nhất của phiếm hàm diện tích
Mục này sẽ giới thiệu về khái niệm diện tích, biến phân và từ đó đưa ra

định nghĩa biến phân thứ nhất của phiếm hàm diện tích.

6

1.2.1

Diện tích

Định nghĩa 1.2.1. Trong không gian R3 , cho S là một mặt chính quy, R ⊂ S
là một miền bị chặn chứa trong lân cận tọa độ xác định bởi tham số hóa:
X : U ⊂ R2 → S
(u, v) −→ X(u, v).
Khi đó, số dương:
|Xu ∧ Xv |dudv,

A(R) =

Q = X −1 (R),

Q

được gọi là diện tích của R.
Vì ta có:
|Xu ∧ Xv |2 + Xu , Xv

2

= |Xu |2 .|Xv |2

nên:
|Xu ∧ Xv |2 = |Xu |2 .|Xv |2 − Xu , Xv

2

.

Công thức diện tích được viết lại thành:
2

|Xu |2 .|Xv |2 − Xu , Xv dudv.

A(R) =
Q

Ta gọi

2

|Xu |2 .|Xv |2 − Xu , Xv dudv là phần tử diện tích của mặt tham số

S.
Từ định nghĩa này, ta xây dựng biến phân thứ nhất của phiếm hàm diện tích
như sau:

1.2.2

Biến phân thứ nhất của phiếm hàm diện tích

Định nghĩa 1.2.2. Xét mặt tham số kiểu đồ thị sau:
Γu = (x, y, u(x, y)).
Khi đó ta có phiếm hàm sau đây:
J[u] =

L(x, y, u, ux , uy )dxdy,
D

7


với L là một hàm khả vi theo các biến x, y, u, ux , uy .
Một biến phân của phiếm hàm J[u] được xác định là hàm:
h(ε) = J[u + εv],
với v = v(x, y) và ∀x, y ∈ ∂D, v(x, y) = 0.
Trường hợp L(x, y, u, ux , uy )dxdy là phần tử diện tích của mặt tham số kiểu
đồ thị Γu = (x, y, u(x, y)), ta có J[u] gọi là phiếm hàm diện tích và h(ε) gọi là
biến phân của phiếm hàm diện tích.
Ví dụ: Ta có thể hình dung biến phân của phiếm hàm diện tích theo cách
mô tả hình học sau đây:
Giả sử ta có một màng bong bóng xà phòng cố định, ở trạng thái ban đầu
có thể xem nó là 1 mặt phẳng. Khi ta thổi vào màng bong bóng này, nó sẽ rung
lên liên tục và cho ta một họ màng bong bóng có hình dạng khác so với ban
đầu. Lúc này, tại mỗi thời điểm cố định, ta có một màng bong bóng xà phòng
mới. Khi đó, họ tất cả các màng bong bóng này có thể xem là một biến phân
của màng bong bóng xà phòng ban đầu.
Vì tại mỗi thời điểm, ta có 1 một màng bong bóng xà phòng (mỗi màng bong
bóng xà phòng lại cho ta một diện tích tương ứng), do đó biến phân ở trên sẽ
cho ta một biến phân của phiếm hàm diện tích.

Hình 1.1: Mô tả biến phân

8

Quay trở lại biến phân của phiếm hàm diện tích, ta có:
h(ε) =

L(x, y, u + εv, ux + εvx , uy + εvy )dxdy =
D

Lε dxdy.
D

Đặt p = ux , q = uy , ta có:
h (ε) =

d
dε

L(x, y, u + εv, ux + εvx , uy + εvy )dxdy
D

v

=

∂Lε
∂Lε
∂Lε
+ vx
+ vy
∂u
∂p

∂q

dxdy.

D

Tại thời điểm ε = 0, ta có:
d
J[u + εv]|ε=0
dε
∂L
∂L
∂L
=
v
+ vx
+ vy
dxdy.
∂u
∂p
∂q

h (0) =

D

Đặt w1 =

∂L
∂L

, w2 =
, ta có:
∂p
∂q
h (0) =

v

∂L
+ vx w1 + vy w2 dxdy.
∂u

Ta có:
−vy w2 − v

d(−vw2 dx + vw1 dy) =

∂w2
∂y

dydx + vx w1 + v

= (vx w1 + vy w2 )dxdy + v

∂w1
∂x

∂w2
∂w1
+v

∂x
∂y

dxdy.

Mặt khác, theo định lý Stokes, ta có:
d(−vw2 dx + vw1 dy) =

(−vw2 dx + vw1 dy) = 0,

D

∂D

⇒

(vx w1 + vy w2 )dxdy = −
D

v

∂w1
∂w2
+v
∂x
∂y

D

Vậy:

v

h (0) =

∂L
∂w1
∂w2
−v
−v
∂u
∂x
∂y

D

9

dxdy

dxdy

dxdy.


Định nghĩa 1.2.3. Biến phân thứ nhất của phiếm hàm diện tích được định
nghĩa là:
v

h (0) =

∂w1
∂w2
∂L
−v
−v
∂u
∂x
∂y

dxdy

D

=

v

∂
∂L
−
∂u ∂x

∂L
∂p

−

∂
∂y

∂L
∂q

dxdy.

D

Khi đó:
h (0) = −

2vHdxdy,
D

với H là độ cong trung bình của mặt tham số kiểu đồ thị Γu = (x, y, u(x, y)).
Ví dụ.
Trong không gian R3 , xét mặt tham số kiểu đồ thị Γu = (x, y, u(x, y)) có
phần tử diện tích là:
1 + u2x + u2y

L(x, y, u, ux , uy ) =

Khi đó ta có một biến phân của phiếm hàm diện tích là:
1 + u2x + u2y dxdy,

J[u] =
D

Đặt p = ux , q = uy , khi đó ta có:
∂L
∂L

∂
= 0;
=
∂u
∂p
∂ux
∂L
∂
=
∂q
∂uy

∂L
∂p

=

∂ 
∂x
uxx

=
=

;

1 + u2x + u2y
uy

1 + u2x + u2y =



∂
∂x

ux

1 + u2x + u2y =

1+

u2x

;
+

u2y


ux
1+

u2x

+

u2y



1 + u2x + u2y − ux .

ux uxx + uy uxy
1 + u2x + u2y

1 + u2x + u2y
uxx (1 + u2x + u2y ) − u2x uxx − ux uy uxy
3

1+
10

u2x

+

u2y

.


Tương tự, ta có:

∂
∂y

∂L
∂q

=

=

∂ 
∂y


uy
1+

u2x

+

u2y



uyy (1 + u2x + u2y ) − u2y uyy − ux uy uxy
3

1+

u2x

+

.

u2y

Vậy độ cong trung bình của mặt tham số kiểu đồ thị Γu là:
1 ∂L
∂ ∂L
∂ ∂L
−
−
2 ∂u ∂x ∂p
∂y ∂q
1 uxx (1 + u2y ) + uyy (1 + u2x ) − 2ux uy uxy
.
=
3
2
2
2
1 + ux + uy

H=−

Khi đó:
H = 0 ⇔ uxx (1 + u2y ) + uyy (1 + u2x ) − 2ux uy uxy = 0.
Đây chính là phương trình Lagrange cổ điển trong không gian R3 .
Nhận thấy rằng, khi H = 0 thì h (0) cũng bằng 0. Do đó, ta có mối quan hệ
giữa biến phân thứ nhất của phiếm hàm diện tích và tính cực tiểu của một mặt
tham số kiểu đồ thị.
Định lý 1.2.4. Cho mặt tham số kiểu đồ thị Γ : Ω → R3 và D ⊂ Ω là miền bị
chặn. Mặt tham số Γ là cực tiểu khi và chỉ khi h (0) = 0 với mọi miền bị chặn
¯
D và với mọi biến phân của Γ(D).

Chứng minh. Ta có:
h (0) = −

2vHdxdy.
D

Nếu Γ là mặt cực tiểu thì H = 0 và do đó h (0) = 0.
Ngược lại giả sử h (0) = 0 và tồn tại p ∈ D sao cho H(p) = 0. Không mất
¯ → R sao cho v(p) = H(p) và v
tính tổng quát ta giả sử H(p) > 0. Chọn v : D
đồng nhất bằng không ngoài một lân cận đủ nhỏ của p. Khi đó h (0) > 0 với
biến phân xác định bởi v (mâu thuẫn).
Vậy H = 0.
11


1.3

Mặt cực tiểu kiểu đồ thị ổn định
Một mặt tham số được gọi là cực tiểu khi và chỉ khi độ cong trung bình

bằng 0, tức là H = 0. Khi H = 0 ta sẽ có một phương trình, trong trường hợp
mặt tham số đã cho có kiểu đồ thị ta sẽ gọi phương trình này là phương trình
Lagrange.

1.3.1

Phương trình Lagrange

Trong không gian R ×w R2 , xét mặt tham số kiểu đồ thị sau:

Γu = X(y, z) = (u(y, z), y, z).
L(y, z, u, uy , uz )dydz với L(y, z, u, uy , uz )

Khi đó, diện tích của mặt Γu là: J[u] =
D

được xác định như sau:
Xy = (uy , 1, 0) ; Xz = (uz , 0, 1);
Xu ∧w Xv = (w2 , −uy , −uz ) ⇒ ||Xu ∧w Xv ||2w = w4 + w2 (u2y + u2z ).
Suy ra:
L(y, z, u, uy , uz ) =

w4 + w2 (u2y + u2z ) = w

w2 + u2y + u2z .

Ta có:
∂
∂L
=
w
∂u
∂u
=

w2 + u2y + u2z = wu

wu (w2 + u2y + u2z ) + w2 wu

=

w2 + u2y + u2z

2w2 wu + wu (u2y + u2z )

w2 + u2y + u2z
∂L
∂L
∂
=
=
w
∂p
∂uy
∂uy

wwu

w2 + u2y + u2z + w.

;

w2 + u2y + u2z
w2 + u2y + u2z =

12

wuy
w2

+

u2y

;
+

u2z



∂
∂y

∂L
∂p

=


wuy

∂ 
∂y

w2

+

u2y

+

u2z



(wu u2y + wuyy ) w + u2y + u2z − wuy .
=
=

wwu uy + uy uyy + uz uyz
w2 + u2y + u2z

w2 + u2y + u2z
(wu u2y + wuyy )(w + u2y + u2z ) − w2 wu u2y − wu2y uyy − wuy uz uyz
3

w2 + u2y + u2z
=

wu u2y (u2y + u2z ) + wuyy (w + u2z ) − wuy uz uyz
3

w2

+

u2y

+

.

u2z

Tương tự ta có:
∂L
∂L
∂
=
w
=
∂q
∂uz
∂uz

w2 + u2y + u2z =

∂L
∂q

=

=

;

w2 + u2y + u2z




∂
∂y

wuz

∂ 
∂z

wuy
w2

+

u2y

+

u2z



wu u2z (u2y + u2z ) + wuzz (w + u2y ) − wuy uz uyz
3

w2

+

u2y

+

.

u2z

Trong không gian R ×w R2 ta có độ cong trung bình của mặt Γu là:
H=−

1
2

∂L
∂
−
∂u ∂x


∂L
∂p

−

∂
∂y

∂L

∂q


1  2w2 wu + wu (u2y + u2z )
=− 
−
2
w2 + u2y + u2z
+

1
2

w
3

1
2

w2 + u2y + u2z



3

uyy (w2 + u2z ) + uzz (w2 + u2y ) − 2uy uz uyz

w2 + u2y + u2z


1
=− 
2
+

wu (u2y + u2z )2



2w2 wu

+

w2 + u2y + u2z
w
3

w

2

wu (u2y

+

u2z )

w2 + u2y + u2z



3

(w2 + u2z )uyy + (w2 + u2y )uzz − 2uy uz uyz

w2 + u2y + u2z

13


w

=
2

w2

+

u2

+

ww (u2 + u2 )

u2

3 [(w

2

+ u2 )u

+ (w2 + u2 )u

2u u u

2ww (w2 + u2 + u2 )].

H=0
(w2 +u2 )u +(w2 +u2 )u

ww (u2 +u2 ) 2ww (w2 +u2 +u2 ) = 0. ( )

2u u u

2

Γ = (u(y, z), y, z)

w = a = const; a = 0
(a2 + u2 )u

+ (a2 + u2 )u

2u u u

2

= 0.

w = a = const; a = 0

Γ = (u(y, z), y, z) = (a1 y + a2 z, y, z) .
u

=u

=u

=0

H=0

Γ
w

2

t

2

x = u(y, z) = 0

Γ = (u(y, z), y, z) = (t, y, z) .
u = u = u
H = const.

= u

t

= 0

w(t) = const., w (t) = const.
2


1.3.2

Biến phân thứ hai của phiếm hàm diện tích

Xét mặt tham số kiểu đồ thị sau:
Γu = (x, y, u(x, y)).
Ta có:
h (ε) =

d
dε

L(x, y, u + εv, ux + εvx , uy + εvy )dxdy
D

=

v

∂Lε
∂Lε
∂Lε

+ vx
+ vy
∂u
∂p
∂q

dxdy.

D

Khi đó:
h (ε) =

d
dε

v

∂Lε
∂Lε
∂Lε
+ vx
+ vy
∂u
∂p
∂q

dxdy

D

∂ 2 Lε
∂ 2 Lε
∂ 2 Lε
+
v
+
v
x
y
∂u2
∂u∂p
∂u∂q

dxdy+

vx v

∂ 2 Lε
∂ 2 Lε
∂ 2 Lε
+ vx 2 + vy
∂p∂u
∂p
∂p∂q

dxdy+

vy v

∂ 2 Lε
∂ 2 Lε
∂ 2 Lε
+ vx
+ vy 2
∂q∂u
∂q∂p
∂q

dxdy

∂ 2 Lε
∂ 2 Lε
∂ 2 Lε
+
v
+
v
x
y
∂u2
∂p∂u
∂q∂u

+ vx v

=

v v
D

+
D

+
D

=

v v

∂ 2 Lε
∂ 2 Lε
∂ 2 Lε
+ vx 2 + vy
dxdy
∂u∂p
∂p
∂q∂p

D

vy

+

∂ 2 Lε
∂ 2 Lε
∂ 2 Lε
v

+ vx
+ vy 2
∂u∂q
∂p∂q
∂q

dxdy

D

=v

v

∂ 2 Lε
∂ 2 Lε
∂ 2 Lε
+
v
+
v
x
y
∂u2
∂p∂u
∂q∂u

−

∂

∂ 2 Lε
∂ 2 Lε
∂ 2 Lε
v
+ vx 2 + vy
dxdy
∂x
∂u∂p
∂p
∂q∂p

D

∂
∂y

−v

∂ 2 Lε
∂ 2 Lε
∂ 2 Lε
v
+ vx
+ vy 2
∂u∂q
∂p∂q
∂q

dxdy.

D

Tương tự như định nghĩa về biến phân thứ nhất của phiếm hàm diện tích,
ta có định nghĩa sau đây:
Định nghĩa 1.3.3. Biến phân thứ hai của phiếm hàm diện tích được định nghĩa

15


là:
v

h (0) = v

∂ 2L
∂ 2L
∂ 2L
+
v
+
v
x
y
∂u2
∂p∂u
∂q∂u

−

∂

∂ 2L
∂ 2L
∂ 2L
v
+ vx 2 + vy
dxdy
∂x
∂u∂p
∂p
∂q∂p

D

∂
∂y

−v

v

∂ 2L
∂ 2L
∂ 2L
+ vx
+ vy 2 dxdy.
∂u∂q
∂p∂q
∂q

D

Như vậy ta có thể thấy rằng biến phân thứ nhất và biến phân thứ hai của
phiếm hàm diện tích chính là đạo hàm cấp một và đạo hàm cấp hai của phiếm
hàm diện tích tại thời điểm ε = 0. Khi đạo hàm cấp một bằng 0 ta có phiếm
hàm diện tích đạt cực trị, hơn nữa nếu có đạo hàm cấp hai lớn hơn hoặc bằng 0
thì phiếm hàm diện tích đạt cực tiểu. Ta gọi một mặt tham số thoả mãn cả hai
điều kiện này là ‘mặt ổn định’.

1.3.3

Tính ổn định

Định nghĩa 1.3.4. Mặt tham số kiểu đồ thị Γu = (x, y, u(x, y)) được gọi là mặt
ổn định nếu thoả mãn hai điều kiện sau:
i, Biến phân thứ nhất của phiếm hàm diện tích bằng 0 (h (0) = 0);
ii, Biến phân thứ hai của phiếm hàm diện tích lớn hơn hoặc bằng 0 (h (0) ≥
0).
Tức là:
i,

∂
∂L
−
∂u ∂x

∂L
∂p

−

∂
∂y

∂L
∂q

= 0;

∂ 2L
∂ 2L
∂ 2L
∂
∂ 2L
∂ 2L
∂ 2L
+
v
+
v
−
v
v
+
v
+
v
x
y
x
y

∂u2
∂p∂u
∂q∂u
∂x
∂u∂p
∂p2
∂q∂p
2
2
2
∂
∂ L
∂ L
∂ L
−v
v
+ vx
+ vy 2 ≥ 0.
∂y
∂u∂q
∂p∂q
∂q

ii, v v

Tính chất 1.3.5. Một mặt tham số kiểu đồ thị ổn định thì cực tiểu diện tích
địa phương.
Công cụ biến phân cho phép ta kiểm tra một mặt bất kì có phải là mặt ổn
định hay không rồi từ đó có thể suy ra tính cực tiểu diện tích của mặt đó. Tuy
nhiên công cụ này chỉ sử dụng khi ta biết được một mặt cực tiểu cụ thể. Sau

đây ta có một công cụ khác dùng để chứng minh một mặt là cực tiểu diện tích.
16


1.3.4

Tính cực tiểu diện tích của mặt tham số kiểu đồ thị
trong không gian R ×w R2 .

Định lý 1.3.6. (Định lý cơ bản của hình học định cỡ)
Cho ϕ là k−dạng vi phân đóng, và ξ là k−covector (k−dạng vi phân hệ số
hằng); ||ϕ||∗ = 1, tương ứng ϕx (ξ) ≤ 1 (dấu "=" có tồn tại). Khi đó ϕ được gọi
là một dạng cỡ.
Cho X là 1 đa tạp và M là đa tạp con k−chiều, compact sao cho ϕx (Tx M ) =
1. Khi đó M được gọi là đa tạp con định cỡ bởi ϕ và (X, ϕ) được gọi là đa tạp
định cỡ.
Cho M là đa tạp con định cỡ bởi dạng cỡ ϕ. Khi đó M là cực tiểu diện tích
k−chiều trong lớp các đa tạp con cùng biên đồng điều với M .
Ta sẽ sử dụng kết quả này để chứng minh định lý sau đây:
Định lý 1.3.7. Trong không gian R ×w R2 , với w = a = const, a = 0, mặt cực
tiểu là cực tiểu diện tích địa phương.
Chứng minh. Xét S là mặt cực tiểu. Khi đó, ∀p ∈ S, ∃Up

p là lân cận mở sao

cho Up có tham số hoá kiểu đồ thị:
X : Ω −→ R ×w R2
(y, z) −→ (u(x, y), y, z),
với Up = X(Ω).
Gọi N là trường vector pháp đơn vị thác triển song song theo phương Ox

trên Up , ta có:
Xy = (uy , 1, 0), Xz = (uz , 0, 1);
1

N=

a a2 + u2y + u2z

a2 , −uy , −uz .

Với mọi X, Y là các vector đơn vị trong R×w R2 , đặt: ϕ(X, Y ) = X ∧w Y, N
là 2-dạng vi phân. Giả sử ϕ =

P e∗12

+

Qe∗13

+

Re∗23 ,

ta có:

P = ϕ(e1 , e2 ) = e1 ∧w e2 , N
17

w

.

w


Hình 1.2: Thác triển song song trường pháp vector đơn vị N theo phương Ox

Ta có: e1 ∧w e2 = (0, 0, 1) nên:
−a2 uz

P =
a

a2

+

u2y

.
+

u2z

Tương tự, ta có:
Q = ϕ(e1 , e3 ) = e1 ∧w e3 , N

w

;

a2 uy

e1 ∧w e3 = (0, −1, 0) ⇒ Q =
a

.

a2 + u2y + u2z

Và:
R = ϕ(e2 , e3 ) = e2 ∧w e3 , N
a

a2

Suy ra: dϕ = Ae∗123 , trong đó:
∂P
∂Q ∂R
−
+
.
∂z
∂y
∂x

18

;

a

e2 ∧w e3 = (a2 , 0, 0) ⇒ R =

A=

w
4

+

.
u2y

+

u2z


Ta có:
∂P
= −a.
∂z
= −a.

uy uyz + uz uzz

a2 + u2y + u2z − uz

uzz

a2 + u2y + u2z

a2 + u2y + u2z
uzz (a2 + u2y + u2z ) − uy uz uyz − u2z uzz
3

a2 + u2y + u2z
= −a.

uzz (a2 + u2y ) − uy uz uyz
3

a2

+

u2y

+

.

u2z

Tương tự:
∂Q
uyy (a2 + u2z ) − uy uz uyz ∂R
= a.
= 0.

;
3
∂y
∂x
2
2
2
a + uy + uz
Như vậy ta có:
A=

−a
3

a2 + u2y uzz + a2 + u2z uyy − 2uy uz uyz = −2H = 0.

a2 + u2y + u2z
(do S là mặt cực tiểu nên ta có: H = 0).
Suy ra dϕ = 0 hay ϕ đóng.
Hơn nữa, ∀X, Y đơn vị, ta có:
|ϕ(X, Y )| = | X ∧w Y, N
(do ||X ∧w Y ||2w + X, Y

2
w

w

| ≤ |X ∧w Y |w .|N |w ≤ |X|w .|Y |w .|N |w = 1.

= ||X||2w .||Y ||2w ).

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi:


X ∧w Y = N

 X, Y

w

=0

Hay X, Y là cơ sở trực chuẩn của T Up . Do đó, Up thoả mãn các điều kiện
của định lý cơ bản của hình học định cỡ.
Vậy Up là cực tiểu diện tích.
Định nghĩa 1.3.8. Trong không gian R ×w R2 ta sẽ có ‘divergence’ của một
trường vector F , kí hiệu là divF với F = (P, Q, R) được xác định như sau:
divF =

∂ ∂ ∂
, ,
∂x ∂y ∂z

, (P, Q, R)

=
w

19

∂P
∂Q
∂R
+ w2
+ w2
.
∂x
∂y
∂z


Bổ đề 1.3.9. Trong không gian R ×w R2 , với w = a = const., a = 0, xét mặt
tham số kiểu đồ thị Γu = (u(y, z), y, z) ta có:
div(N ) = −2H.
Chứng minh. Ta có:
(a2 , −uy , −uz )

N=

(a2

a

+

u2y

+

.

u2z )

Suy ra:




2





a
−uy
∂ 
 + a2 ∂ 

∂x a a2 + u2 + u2
∂y a a2 + u2 + u2
y
z
y
z


∂
−uz


+ a2 
∂z a a2 + u2 + u2
y
z




∂
−uy
−uz
 + a2 ∂ 
.
= a2 
∂y a a2 + u2 + u2
∂z a a2 + u2 + u2

div(N ) =

y

z

y

z

Ta lại có:
∂P

∂Q ∂R
−
+
∂z
∂y
∂x





∂ 
−a2 uz
a2 uy
− ∂ 
+ ∂ 
=
∂z a a2 + u2 + u2
∂y a a2 + u2 + u2
∂x a
y
z
y
z




∂
−uy

−uz
 + a2 ∂ 
.
= a2 
∂y a a2 + u2 + u2
∂z a a2 + u2 + u2
y
z
y
z

A=

Vậy:
div(N ) = A = −2H.

20



a4
a2

+

u2y

+

u2z




Chương 2
KHÔNG GIAN R ×w G2
2.1

Không gian với mật độ

Định nghĩa 2.1.1. Không gian với mật độ là một không gian trên đó có trang
bị một hàm dương dùng để làm trọng số cho cả thể tích và chu vi. Hàm dương
này thường được kí hiệu là e−f .
e−f : Rn −→ R
(x1 , . . . , xn ) −→ e−f (x1 ,...,xn )
Nếu dV, dA là phần tử thể tích và phần tử chu vi trong Rn thì phần tử thể
tích và phần tử chu vi trong Rn với mật độ e−f được cho bởi công thức:
dVf = e−f dV , dAf = e−f dA
Do đó:
V =

Ω

Ω

e−f dV =

dA ⇒ Vf =

dV, A =

Ω

e−f dA =

dVf , Af =
Ω

Ω

dAf
Ω

* Trường hợp f = 0 thì ta có (Rn , e−f ) ≡ Rn .
Ví dụ. Ta sẽ xét không gian Rn với các mật độ quen thuộc sau đây.
n

- Với f =

ai x + a0 thì (Rn , e−f ) được gọi là không gian với mật độ tuyến

i=1

tính.
- Với f = ϕ(r), r2 = x21 + . . . + x2n thì (Rn , e−f ) được gọi là không gian với
mật độ cầu.
Tương tự như trong không gian Rn ta cũng có khái niệm về độ cong trung
21