Xấp xỉ không gian sobolev wm,p (ω) bằng các hàm trơn trên ω

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐẠI HỌC HUẾ
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

NGUYỄN CÔNG HỮU

XẤP XỈ KHÔNG GIAN SOBOLEV Wm,p (Ω)
BẰNG CÁC HÀM TRƠN TRÊN Ω

Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:

PGS.TS. LÊ VIẾT NGƯ

Huế, 2016


LỜI CẢM ƠN
Luận văn này được hoành thành không chỉ là kết quả của sự cố gắng,
nổ lực của bản thân mà trước hết là nhờ sự giúp đỡ và hướng dẫn tận tình, chu
đáo của thầy giáo PGS.TS. Lê Viết Ngư. Em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành
và sâu sắc đến thầy.
Em xin chân thành cảm ơn quý thầy cô đã hết lòng dạy dỗ, giúp đỡ em
trong suốt những năm qua.
Em xin gửi đến gia đình, những người thân yêu và những người bạn của
em lời biết ơn chân thành sâu lắng, những người luôn sát cánh bên em, động
viên và tạo mọi điều kiện cho em được học tập cũng như trong suốt quá trình

hoàn thành luận văn này.
Huế, tháng 10 năm 2016
Học viên

Nguyễn Công Hữu

i


LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi. Các số liệu, kết
quả nêu trong luận văn là trung thực, được sự đồng ý sử dụng của các đồng tác
giả và chưa từng được ai công bố trong bất kỳ công trình nào khác.
Tác giả luận văn

Nguyễn Công Hữu

ii


MỤC LỤC
Trang phụ bìa

1

Lời cảm ơn

i

Lời cam đoan

ii

Mục lục

1

Lời mở đầu

3

1

Các kiến thức liên quan
1.1 Không gian Lp (Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Hàm suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Các không gian D(Ω), D (Ω), E (Ω), S (Rn ) và S (Rn )
1.2.2 Đạo hàm của hàm suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.3 Tích chập của hàm suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Phép biến đổi Fourier trong không gian các hàm suy rộng . . .
1.3.1 Biến đổi Fourier trong S(Rn ) . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.2 Biến đổi Fourier trong S (Rn ) . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.3 Biến đổi Fourier của tích chập . . . . . . . . . . . . . .

2 Không gian Sobolev Wm,p (Ω)
2.1 Định nghĩa và một số tính chất . . . . . . . . .
2.1.1 Không gian Sobolev cấp nguyên dương
2.1.2 Không gian Sobolev cấp thực . . . . . .
2.1.3 Định lý nhúng . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.4 Đối ngẫu của không gian Wl (Rn ) . . .

2.2 Không gian Sobolev Wm,p (Ω) . . . . . . . . . .
2.2.1 Một số kí hiệu và khái niệm . . . . . . .
1

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

5
5
6
6
15
18
21
21
25
25

.
.
.
.
.

.
.

27
27
27
30
31
33
37
37


2.2.2
3

Đối ngẫu của không gian Sobolev Wm,p (Ω) . . . . . . . . . 39

Xấp xỉ không gian Sobolev Wm,p (Ω) bằng
3.1 Xấp xỉ bởi các hàm C m (Ω) . . . . . . . . .
3.1.1 Định lý phân hoạch đơn vị . . . .
3.1.2 Định lý Meyers-Serrin . . . . . . .
3.2 Xấp xỉ bởi các hàm C m Ω . . . . . . . .
3.3 Xấp xỉ bởi các hàm C0∞ (Ω) . . . . . . . .

các hàm
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .

. . . . . .

trơn trên Ω
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .

46
46
46
47
49
52

Kết luận

60

Tài liệu tham khảo

61

2


LỜI MỞ ĐẦU
Không gian Sobolev là một không gian vectơ của các hàm số với một chuẩn
là tổng của chuẩn Lp của hàm số đó cùng với các đạo hàm cho tới một bậc nào

đó. Các đạo hàm được hiểu theo một nghĩa yếu thích hợp để làm không gian trở
thành đầy đủ và do vậy là một không gian Banach. Nó được đặt theo tên của
nhà toán học Nga L. Sobolev. Sự quan trọng của các không gian Sobolev nằm ở
sự kiện là nghiệm của phương trình vi phân thường nằm trong các không gian
Sobolev hơn là các không gian thông thường của các hàm số liên tục với các đạo
hàm được hiểu theo nghĩa thông thường. Hàm suy rộng (hay còn gọi là phân
bố), được giới thiệu bởi Sobolev lần đầu tiên vào năm 1935 cho các nghiệm yếu
và được phát triển thêm bởi Laurent Schwartz, bằng cách định nghĩa lại khái
niệm đạo hàm. Cả hai phát triển này phát sinh trực tiếp từ các công trình của
Sobolev về các phương trình đạo hàm riêng.
Hiện nay trong một số tài liệu khi trình bày không gian Sobolev chủ yếu sử
dụng phép biến đổi Fourier như một công cụ chính nên thường dừng lại ở không
gian L2 . Tuy nhiên không gian Sobolev cũng có thể được định nghĩa thông qua
đạo hàm suy rộng. Khi đó, chúng ta sẽ có không gian Sobolev tổng quát hơn,
đó là không gian Wm,p (Ω).
Ngoài việc nghiên cứu các tính chất của không gian Wm,p (Ω), các nhà toán
học cũng rất quan tâm đến xấp xỉ không gian Wm,p (Ω) bằng các hàm trơn trên
Ω. Nó góp phần hổ trợ đắc lực cho các ngành toán học và vật lý, và mở rộng
khả năng phân tích toán học cổ điển. Tìm hiểu nội dung này là một vấn đề rất
thú vị và bổ ích. Đó là lý do chúng tôi chọn đề tài: "Xấp xỉ không gian Sobolev
Wm,p (Ω) bằng các hàm trơn trên Ω" làm đề tài nghiên cứu cho luận văn.
Mục tiêu của luận văn là tìm hiểu và trình bày một cách tổng hợp về không
gian Sobolev Wm,p (Ω) và xấp xỉ không gian Sobolev Wm,p (Ω) bằng các hàm trơn
trên Ω.
Nội dung của luận văn bao gồm ba chương:

3


• Chương 1: Trình bày về không gian Lp (Ω), hàm suy rộng, phép biến đổi

Fourier trong không gian các hàm suy rộng. Trong chương này tác giả trích
dẫn một số kết quả đã đạt được từ các tài liệu [1], [2], [3], [4], [5].
• Chương 2: Trình bày không gian Sobolev cấp thực, định lý nhúng, đối

ngẫu của không gian Wl (Rn ) và đối ngẫu của không gian Sobolev Wm,p (Ω)
. Trong chương này, chủ yếu dựa trên cơ sở các tài liệu tham khảo [1], [4],
[5].
• Chương 3: Trong chương này trình bày về xấp xỉ không gian Sobolev
Wm,p (Ω) bằng các hàm trơn trên Ω, bao gồm xấp xỉ bởi các hàm C m (Ω) ,
C m Ω , C0∞ (Ω) . Trong chương này, chủ yếu dựa trên cơ sở các tài liệu

tham khảo [4], [5], [6], [7].
Tuy đã có nhiều cố gắng, song do hạn chế về thời gian và năng lực bản thân
nên luận văn không tránh khỏi những sai sót, rất mong được sự quan tâm góp
ý của thầy cô và các bạn.
Em xin chân thành cảm ơn!
Huế, tháng 10 năm 2016
Học viên
Nguyễn Công Hữu

4


Chương 1
Các kiến thức liên quan
1.1

Không gian Lp (Ω)

Trong mục này ta xét (Ω, A, µ) là một không gian độ đo, trong đó Ω là một
tập con mở của Rn , A là σ−đại số trên tập đo được Lebesgue và µ là độ đo
Lebesgue.
Với 1 ≤ p < ∞, kí hiệu
Lp (Ω) := {f : Ω → R| f đo được và

Ω

|f |p dµ < ∞

Định lý 1.1.1. Tập hợp Lp (Ω) là một không gian vectơ.
Định lý 1.1.2. ([1]). Lp (Ω) là một không gian định chuẩn, với chuẩn của một
phần tử f ∈ Lp (Ω) được cho bởi
f

Lp (Ω)

1
p

p

|f | dµ

=
Ω

Định lý 1.1.3. ([1]). Lp (Ω) là một không gian Banach.
Định lý 1.1.4. ([8]). Tập Co∞ (Ω) trù mật trong Lp (Ω) với 1 ≤ p < ∞.
Nhận xét 1.1.1. Xét không gian vectơ L2 (Ω). Với mỗi f, g ∈ L2 (Ω) , đặt

f, g

L2 (Ω)

=

f.gdµ
Ω

thì dễ dàng kiểm chứng ., . xác định một tích vô hướng trên L2 (Ω), hơn nữa
ta có
1
f, f

L2 (Ω)

|f |2 dµ

=
Ω

5

2

= f

L2 (Ω) .

Theo trên thì ta có L2 (Ω) là một không gian Banach với chuẩn
f

|f |2 dµ

=

L2 (Ω)

1
2

, f ∈ L2 (Ω)

Ω

nên ta có kết luận sau:
Định lý 1.1.5. Không gian L2 (Ω) với tích vô hướng cho bởi
f, g

L2 (Ω)

f.gdµ với f, g ∈ L2 (Ω)

=
Ω

là một không gian Hilbert.

1.2

1.2.1

Hàm suy rộng
Các không gian D(Ω), D (Ω), E (Ω), S (Rn ) và S (Rn )

Với mỗi n ∈ N, ta kí hiệu các tập
Nn = {α = (α1 , ..., αn )| αi ∈ N, i = 1, ..., n} ,
mỗi α = (α1 , ..., αn ) ∈ Nn gọi là một đa chỉ số, kí hiệu |α| = α1 + ... + αn .
Nếu không có gì đặc biệt, ta kí hiệu Ω là một tập mở của Rn và f : Ω → C.
Khi đó, ta gọi giá của f , là tập suppf := {x ∈ Rn | f (x) = 0}.
Với mỗi k ∈ N, ta kí hiệu các tập như sau:
C k (Ω) = {f : Ω → C| f khả vi liên tục đến cấp k},
C (Ω) = C o (Ω) = {f : Ω → C| f liên tục } , C ∞ (Ω) =

∞

C k (Ω),

k=1

C0k (Ω) = {f : Ω → R| f ∈ C k (Ω) , supp f là tập compact } ,
∞

C0 (Ω) =

C0∞ (Ω) , C0∞

C0k (Ω)

=

k=1

Với mỗi đa chỉ số α = (α1 , ..., αn ) , mỗi f ∈ C k (Ω) , ta kí hiệu
∂ α f = ∂ α f (x) =

∂ |α|
α,
∂xα
1 ...∂xn

với mọi x = (x1 , ..., xn ) ∈ Ω.

6


Nếu ϕ, ψ ∈ C ∞ (Ω) , mọi α = (α1 , ..., αn ) ∈ Nn , theo công thức Leibnitz ta có
∂ α (ϕψ) (x) =
β≤α

α!
∂ β ϕ (x) ∂ α−β ψ (x)
β! (α − β)!

trong đó β = (β1 , ..., βn ) ∈ Nn , β ≤ α nghĩa là βi ≤ αi với mọi i = 1, ..., n và
α!
β!(α−β)!

n

=

i=1

αi !
.
βi !(αi −β1 )!

Kí hiệu ω ⊂⊂ Ω nghĩa là ω ⊂ Ω và ω là tập compact trong Ω. Với mỗi 1 ≤ p < ∞,
kí hiệu
Lploc (Ω) = {f : Ω → C| f ∈ Lp (ω) với mọi ω ⊂⊂ Ω}

Đặt biệt mỗi hàm f ∈ L1loc (Ω) gọi là một hàm khả tích địa phương trên Ω. Ta có
Lqloc (Ω) ⊂ Lploc (Ω) ⊂ L1loc (Ω)

với mọi 1 ≤ p ≤ q.
Trước hết, nhờ vào tính chất của các hàm thuộc không gian C0∞ (Ω) ta hoàn
toàn xác định trên C0∞ (Ω) một cấu trúc tuyến tính.
Mệnh đề 1.2.1. Cho ϕ, ψ ∈ C0∞ (Ω) và α là một số phức. Khi đó ϕ + ψ ∈ C0∞ (Ω)
và αϕ ∈ C0∞ (Ω) .
Chứng minh. Giả sử ϕ, ψ ∈ C0∞ (Ω) và α là một số phức. Khi đó
supp (ϕ + ψ) = {x ∈ Ω| ϕ (x) + ψ (x) = 0} ⊂ suppϕ ∪ suppψ.

Vì suppϕ, suppψ là các tập compact nên suppϕ ∪ suppψ cũng là tập compact, và
supp (ϕ + ψ) là tập con đóng của tập compact nên nó cũng là tập compact. Tất
nhiên là ϕ + ψ ∈ C k (Ω) , vì vậy ϕ + ψ ∈ C0∞ (Ω) .
Nếu α ∈ C và ϕ ∈ C0∞ (Ω) thì supp (αϕ) = {x ∈ Ω| αϕ (x) = 0} ⊂ suppϕ, suy
ra supp (αϕ) là một tập compact. Hiển nhiên là αϕ ∈ C0∞ (Ω) , do đó αϕ ∈
C0∞ (Ω).
Hệ quả 1.2.1. C0∞ (Ω) là các không gian tuyến tính trên C. Do đó C0∞ (Ω) là
một không gian định chuẩn con của không gian C0 (Ω) với chuẩn
ϕ = sup |ϕ (x)| , với mọi ϕ ∈ C0∞ (Ω).

x∈Ω

Định nghĩa 1.2.1. C0∞ (Ω) gọi là các không gian các hàm cơ bản, mỗi hàm
ϕ ∈ C0∞ (Ω) được gọi là hàm cơ bản, hay hàm cơ sở, hàm thử (trên Ω).
7


Mệnh đề 1.2.2. Nếu ϕ ∈ C0∞ (Ω) và ψ ∈ C ∞ (Ω) thì ϕψ ∈ C0∞ (Ω) .
Chứng minh. Giả sử ϕ ∈ C0∞ (Ω) và ψ ∈ C ∞ (Ω). Khi đó, rõ ràng ϕψ ∈ C ∞ (Ω) ,
hơn nữa
(ϕψ) (x) = ϕ (x) .ψ (x) = 0 ⇒ ϕ (x) = 0

nên supp (ϕψ) ⊂ suppϕ, do đó supp (ϕψ) là tập compact. Vậy ϕψ ∈ C0∞ (Ω) .
Định nghĩa 1.2.2. (Không gian D (Ω)). Không gian D (Ω) là không gian các
hàm ϕ ∈ C0∞ (Ω) với khái niệm sự hội tụ sau: dãy (ϕn )n các hàm trong C0∞ (Ω)
gọi là hội tụ về hàm ϕ ∈ C0∞ (Ω) trong D (Ω) nếu
(i) Tồn tại tập compact K ⊂ Ω sao cho suppϕn ⊂ K với mọi n ∈ N,
(ii) Dãy (∂ α ϕn )n hội tụ về ∂ α ϕ trong không gian C0 (Ω) với mọi đa chỉ số α,
nghĩa là lim sup |∂ α ϕn (x) − ∂ α ϕ (x)| = 0 với mọi α ∈ Nn .
n→∞ x∈Ω

Khi đó, ta viết D_ lim ϕn = ϕ.
n→∞

Định nghĩa 1.2.3. (Không gian E (Ω)). Không gian E (Ω) là không gian các
hàm ϕ ∈ C ∞ (Ω) với khái niệm sự hội tụ sau: dãy (ϕn )n các hàm trong C ∞ (Ω)
gọi là hội tụ về hàm ϕ ∈ C ∞ (Ω) trong E (Ω) nếu
lim sup |∂ α ϕn (x) − ∂ α ϕ (x)| = 0 với mọi α ∈ Nn , K ⊂⊂ Ω.

n→∞ x∈K

Khi đó, ta viết E _ lim ϕn = ϕ.
n→∞

Ví dụ 1.2.1. Xét hàm cơ sở ϕ : Rn → R xác định bởi
− 1− 1x

ϕ (x) =

e

trong đó x =

, x <1
, x ≥1

0
n

2

,

1
2

x21

, x = (x1 , ..., xn ) ∈ Rn . Với mỗi k ∈ N, đặt

i=1

ϕk (x) = k1 ϕ (x) với mọi x ∈ Rn ,

khi đó ϕk ∈ C ∞ (R) và suppϕk = B (0; 1) , do đó ϕk là hàm cơ sở với mọi k ∈ N.
Với mỗi k ∈ N, mỗi x ∈ R mà x < 1 thì
sup |∂ α ϕk (x)| =
x∈Rn

1
1
sup |∂ α ϕ (x)| ≤ → 0 khi k → ∞
k x∈Rn
k

do đó D_ lim ϕk = 0.
k→∞

8


Ví dụ 1.2.2. Với hàm cơ sở ϕ xác định như ở Ví dụ 1.2.1, đặt ψk (x) = k1 ϕ xk
với x ∈ Rn và k ∈ N. Rõ ràng Dα ψk hội tụ đều về 0 trong không gian C0∞ (Rn ).
Tuy nhiên suppψk = B (0; k) , vì B (0; k) không bị chặn khi k → ∞ nên không
tồn tại tập compact K ⊂ Rn sao cho suppψk ⊂ K. Vì vậy ψk không hội tụ về 0
trong không gian Rn .
Nhận xét 1.2.1.

1. Nếu D_ lim ϕn = ϕ, suppϕn ⊂ K với K là tập compact
n→∞

thì suppϕ ⊂ K . Thật vậy, vì ϕn (x) = 0 và do đó ϕ (x) = 0 với mọi x ∈
/ Ω\K
nên suy ra {x ∈ Ω| ϕ (x) = 0} ⊂ K, do đó suppϕ ⊂ K = K (vì K là tập
compact).
2. Sự hội tụ mới này hoàn toàn tương thích với cấu trúc tuyến tính trên
không gian C0∞ (Ω) và C ∞ (Ω) . Nghĩa là, chẳng hạn, với mọi λ, µ ∈ C, mọi
(ϕn )n , (ψn )n ⊂ C0∞ (Ω) sao cho D_ lim ϕn = ϕ và D_ lim ψn = ψ thì
n→∞

n→∞

D_ lim (λϕn − µψn ) = λϕ − µψ,
n→∞

xem ở [4], mục 1.2.1, trang 6 và mục 1.3.1, trang 20.
Mệnh đề 1.2.3. ([4]). Cho ψ ∈ C ∞ (Ω) , (ϕn ) ⊂ C0∞ (Ω) và ϕ ∈ C0∞ (Ω) . Khi đó,
nếu D_ lim ϕk = ϕ thì D_ lim ψϕk = ψϕ.
k→∞

k→∞

Định nghĩa 1.2.4. 1. Dãy (ϕk )k ⊂ D (Ω) gọi là dãy Cauchy trong không gian
D (Ω) nếu
(i) Tồn tại tập compact K ⊂ Rn sao cho suppϕk ⊂ K với mọi k ∈ N;
(ii) lim sup |∂ α ϕk (x) − ∂ α ϕi (x)| = 0 với mọi đa chỉ số α ∈ Nn .
k,i→∞ x∈K

2. Dãy (ϕk )k ⊂ E (Ω) gọi là dãy Cauchy trong không gian E (Ω) nếu
lim sup |∂ α ϕk (x) − ∂ α ϕi (x)| = 0, ∀α ∈ Nn , K ⊂⊂ Ω

k,i→∞ x∈K

Định lý 1.2.1. ([4]). D (Ω) là không gian đầy đủ.
Định lý 1.2.2. ([4]). E (Ω) là không gian đầy đủ.
Định nghĩa 1.2.5. (Hàm suy rộng). Một hàm suy rộng trên Ω là một phiếm
hàm tuyến tính liên tục f : D (Ω) → C.
• Hàm suy rộng f tác động vào ϕ ∈ D (Ω) kí hiệu là f, ϕ .
9


• Hai hàm suy rộng f và g gọi là bằng nhau nếu
f, ϕ = g, ϕ với mọi ϕ ∈ D (Ω)

Nhận xét 1.2.2. ([4]). Kí hiệu D (Ω) là tập các hàm suy rộng trên Ω. Khi đó
D (Ω) là một không gian vectơ với các phép toán tuyến tính được định nghĩa
như sau
(i) Phép cộng: với f, g ∈ D (Ω) , tổng f + g được xác định như sau
f + g : D (Ω) ϕ → f + g, ϕ = f, ϕ + g, ϕ .

(ii) Phép nhân vô hướng: với λ ∈ C, f ∈ D (Ω) , tích λf được xác định như sau
λf : D (Ω) ϕ → λf, ϕ = λ f, ϕ

Hơn nữa, ta còn có thể định nghĩa phép nhân với một hàm trong C ∞ (Ω) . Với
φ ∈ C ∞ (Ω) , f ∈ D (Ω) , tích φf ∈ D (Ω) được xác định như sau
φf : D (Ω) ϕ → φf, ϕ = f, φϕ

Định lý 1.2.3. ([5]). Cho ánh xạ tuyến tính f : D (Ω) → C. Khi đó f ∈ D (Ω)
khi và chỉ khi với mỗi K ⊂ Ω, K là tập compact, tồn tại số thực C > 0 và m ∈ N
sao cho

sup |∂ α ϕ (x)| ∀ϕ ∈ D (K) .

| f, ϕ | ≤ C
|α|≤m

x∈K

Ví dụ 1.2.3. (Một số hàm suy rộng quan trọng). 1. Mỗi hàm liên tục là một
hàm suy rộng:
Cho f ∈ C (Ω) và định nghĩa phiếm hàm tuyến tính trên D (Ω), cũng kí hiệu là
f như sau: f : D (Ω) → C xác định bởi
f, ϕ =

f (x) ϕ (x) dx.
Ω

Hiển nhiên f là ánh xạ tuyến tính. Với mỗi tập compact K ⊂ Ω, ϕ ∈ D (K) , ta
có
| f, ϕ | ≤

|f (x)| . |ϕ (x)| dx ≤
Ω

|f (x)| . |ϕ (x)| dx
K

≤ sup |ϕ (x)| .
x∈K

|f (x)| dx = f

K

10

L1 (K) .

sup |ϕ (x)| .
x∈K


Do đó f thỏa mãn Định lí 1.2.3 với C = f L1 (K) và m = 0, suy ra f là một hàm
suy rộng.
Hơn nữa, với mỗi hàm f ∈ L1loc (Ω) , xét ánh xạ tuyến tính sau đây, vẫn kí hiệu
là f :
f : ϕ → f, ϕ =

f (x) .ϕ (x) dµ (ϕ ∈ D (Ω)) .
Ω

Với mỗi tập đo được compact K ⊂ Ω và ϕ ∈ D (K) , ta có
f, ϕ ≤

|f (x)| . |ϕ (x)| dµ ≤ f

L1 (K) .

K

sup |ϕ (x)|
x∈K

suy ra f thỏa mãn Định lí 1.2.3 với C = f L1 (K) và m = 0, do đó f ∈ D (Ω) .
2. Hàm Heaviside: Xét hàm Heaviside H : R → R cho bởi
H (x) =

0

,x < 0

1

,x ≥ 0

Ta định nghĩa phiếm hàm tuyến tính trên D (R) sau đây và cũng kí hiệu là H ,
cho bởi
+∞
H, ϕ =

ϕ (x) dx
0

với mọi ϕ ∈ D (R) . Khi đó hiển nhiên H là ánh xạ tuyến tính. Với mỗi tập
compact K ⊂ R và ϕ ∈ D (K), ta có
+∞

| H, ϕ | ≤

|ϕ (x)| dx ≤
0

dx. sup |ϕ (x)|
K

x∈K

suy ra H thỏa mãn Định lí 1.2.3 với C = K dx và m = 0, do đó H ∈ D (R) .
3. Hàm Dirac: Cho x0 ∈ Ω, hàm Dirac tại x0 là hàm số δx0 xác định trên D (Ω)
cho bởi
δx0 , ϕ = ϕ (x0 ) ∀ϕ ∈ D (Ω) .

Khi đó hiển nhiên δx0 là một phiếm hàm tuyến tính. Với mỗi tập compact K ⊂ K
và ϕ ∈ D (Ω), ta có
| δx0 , ϕ | = |ϕ (x0 ) | ≤ sup |ϕ (x) |
x∈K

suy ra δx0 thỏa mãn Định lí 1.2.3 với C = 1 và m = 0, do đó δx0 ∈ D (Ω) .
Nếu 0 ∈ Ω, hàm Dirac tại 0 kí hiệu là δ , tất nhiên là δ ∈ D (Ω) .
4. Phép lấy đạo hàm: Với α ∈ Nn , |α| = m, xét ánh xạ tuyến tính sau:
∂ α : ϕ → ∂ α , ϕ = ∂ α ϕ (ϕ ∈ D (Ω)) .
11


Với mỗi tập compact K ⊂ Ω và ϕ ∈ D (Ω) , ta có
| ∂ α , ϕ | = |∂ α ϕ (x)| ≤

sup ∂ k ϕ (x) .
|k|≤m

x∈K

suy ra ∂ α thỏa mãn Định lí 1.2.3 với C = 1 và m = |α| , do đó ∂ α ∈ D (Ω) .
Định nghĩa 1.2.6. (Sự hội tụ trong không gian D (Ω)). Cho dãy (un )n ⊂
D (Ω) và u ∈ D (Ω)
1. Dãy (un )n gọi là hội tụ về u trong D (Ω), kí hiệu D _ lim un = u, nếu với
mọi ϕ ∈ D (Ω) thì
lim un , ϕ = u, ϕ .

2. Dãy (un )n gọi là dãy Cauchy trong D (Ω) nếu ( un , ϕ )n là dãy Cauchy trong
C với mọi ϕ ∈ D (Ω).
Nhận xét 1.2.3. ([4]). Sự hội tụ trong không gian D (Ω) hoàn toàn tương thích
với cấu trúc tuyến tính trên D (Ω). Nghĩa là, với các dãy (un )n , (vn )n ⊂ D (Ω)
sao cho D _ lim un = u và D _ lim vn = v và với mọi α, β ∈ C, ta có
D _ lim (αun + βvn ) = αu + βv.

Định lý 1.2.4. ([4]). D (Ω) là một không gian đầy đủ.
Nhận xét 1.2.4. Cho tập mở U ⊂ Ω, thì mỗi hàm ϕ ∈ C0∞ (U ) ta xét nó như là
một hàm thuộc C0∞ (Ω) bằng cách sau
ϕΩ (x) =

ϕ (x)

,x ∈ U

0

, x ∈ Ω\U

Khi đó mỗi hàm suy rộng f ∈ D (Ω) ta xem như là một hàm suy rộng thuộc
D (U ) bằng cách sau
fU , ϕ = f, ϕΩ , ϕ ∈ D (U ) ,

tức là ta có thể xem D (U ) là một không gian con của D (Ω). Vì vậy, hàm suy
rộng không có giá trị tại mỗi x ∈ Ω. Như thế, ta không thể nói hàm suy rộng
f bằng không tại x ∈ Ω. Tuy nhiên, nhờ vào việc nhúng D (U ) vào D (Ω), ta có
thể định nghĩa hàm suy rộng f bằng không trong lân cận U ⊂ Ω của điểm x ∈ Ω
như sau.
12


Định nghĩa 1.2.7. (Không gian E (Ω)). Hàm suy rộng f ∈ D (Ω) gọi là bằng
không trong lân cận U ⊂ Ω của điểm x0 ∈ Ω nếu với mọi ϕ ∈ D (U ) ta có
f, ϕ = fU , ϕ = 0.

Hàm suy rộng f ∈ D (Ω) gọi là bằng không trong miền mở Ω nếu f bằng không
trong lân cận U ⊂ Ω nào đó của mỗi điểm thuộc Ω.
Hàm suy rộng f ∈ D (Ω) gọi là khác không tại x0 ∈ Ω nếu f khác không trong
mọi lân cận U ⊂ Ω của x0 , tức là với mỗi lân cận U ⊂ Ω của x0 , tồn tại ϕ ∈ D (U )
sao cho f, ϕ = 0.
Với mỗi f ∈ D (Ω), tập
suppf := {x ∈ Ω| f khác không tại x}

gọi là giá của hàm suy rộng f . Kí hiệu
E (Ω) := {f ∈ D (Ω)| suppf là tập compact }.

Định lý 1.2.5. ([4]). E (Ω) là một không gian con của D (Ω) và cùng với sự hội
tụ trong D (Ω) là một không gian đầy đủ.
Định nghĩa 1.2.8. (Không gian S (Rn )). Không gian S (Rn ) là tập hợp
S (Rn ) =

ϕ ∈ C ∞ (Rn )| sup xα ∂ β ϕ (x) < ∞, ∀x ∈ Rn , ∀α, β ∈ Nn

x∈Rn

với khái niệm sự hội tụ được định nghĩa như sau: dãy (ϕk )k trong S (Rn ) gọi là
hội tụ đến ϕ ∈ S (Rn ) trong S (Rn ) nếu
lim sup xα ∂ β ϕk (x) − xα ∂ β ϕ (x) = 0, ∀α, β ∈ Nn .

k→∞ x∈Rn

Khi đó ta viết S _ lim ϕk = ϕ.
Nhận xét 1.2.5. 1. Tập hợp S (Rn ) đóng kín với các phép toán cộng và nhân
vô hướng trong C ∞ (Rn ) , do đó dễ dàng kiểm chứng S (Rn ) với các phép
cộng và nhân vô hướng C ∞ (Rn ) là một không gian vectơ.
2. Khái niệm sự hội tụ trong không gian S (Rn ) là phù hợp với cấu trúc
tuyến tính trên đó, nghĩa là với mọi dãy (ϕk )n , (ψk )k trong S (Rn ), nếu
S _ lim ϕk = ϕ và S _ lim ψk = ψ thì với mọi λ, µ ∈ C, ta có
S _ lim (λϕk + µψk ) = λϕ + µψ.

Xem [4], mục 1.4.1, trang 29.
13


Mệnh đề 1.2.4. ([4]). Cho hàm ϕ ∈ C ∞ (Rn ) . Khi đó ϕ ∈ S (Rn ) khi và chỉ khi
một trong các khẳng định sau thỏa mãn
(a) Với mọi m ∈ N, α ∈ Nn , tồn tại C > 0 sao cho |∂ α ϕ (x)| < 1+ Cx 2 m với mọi
(
)
x ∈ Rn .
∂ β ϕ (x) ≤

(b) Với mọi m ∈ N tồn tại C > 0 sao cho

|β|≤m

(1+

C
x

2 m

)

với mọi

x ∈ Rn .

Hệ quả 1.2.2. Cho ϕk , ϕ ∈ S (Rn ) với k ∈ N. Khi đó S _ lim ϕk = ϕ khi và chỉ
khi với mọi m ∈ N, ta có
lim sup 1 + x

2 m

k→∞ x∈Rn

|∂ α (ϕk (x) − ϕ (x))| = 0

với mọi α ∈ Nn , hoặc
lim sup 1 + x

2 m

k→∞ x∈Rn

|∂ α (ϕk (x) − ϕ (x))| = 0.
|β|≤m

Dễ thấy D (Rn ) ⊂ S (Rn ) , tuy nhiên D (Rn ) = S (Rn ) , ta xét ví dụ sau:
Ví dụ 1.2.4. Xét hàm ϕ ∈ S (R) cho bởi
1

ϕ (x) =

e |x|2 −1

, |x| < 1

0

, |x| ≥ 1

ϕ(x−k)

∞
k , k ∈ N thì ϕ, ϕk ∈ C0 (R) và S _ lim ϕk = ϕ. Tuy nhiên không
(1+|x|2 )
tồn tại D_ lim ϕk (Xem [4], mục 1.4.1, trang 30).

và ϕk (x) =

Kí hiệu S (Rn ) là không gian các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên S (Rn ) .
Nhận xét 1.2.6. Ta có S (Rn ) ⊂ Lp (Rn ) ⊂ S (Rn ) với mọi 1 ≤ p < ∞. Thật

vậy, với ϕ ∈ S (Rn ) thì với α = 0 ∈ Nn , chọn số m ∈ N sao cho m.p > n, thì tồn
tại C > 0 sao cho
C

|ϕ (x)|p ≤

1+ x

với mọi x ∈ Rn . Mà hàm số x →

(1+

C
m.p
x 2)

2 m.p

(x ∈ Rn ) là hàm khả tích trên Rn

nên suy ra ϕ ∈ Lp (Rn ) .
Với mỗi f ∈ Lp (Rn ), xét ánh xạ tuyến tính, kí hiệu là f được xác định như sau:
f (x) ϕ (x) dx ∈ C, (ϕ ∈ S(Rn )).

f : ϕ → f (ϕ) = f, ϕ =
Rn

14

gọi q là số thực liên hợp với p, tức là p1 + 1q = 1. Với dãy (ϕk )k ∈ S (Rn ) sao cho
ϕk → 0 trong S (Rn ), suy ra ϕk → 0 trong Lq (Rn ) . Khi đó vì
| f, ϕk | ≤ f

Lp (Rn ) .

ϕ

Lq (Ω)

nên suy ra f, ϕk → 0. Vậy f ∈ S (Rn ) .
Định lý 1.2.6. ([4]). Hàm suy rộng f ∈ D (Rn ) thuộc S (Rn ) khi và chỉ khi tồn
tại số tự nhiên m và số dương c sao cho
| f, ϕ | ≤ c. sup 1 + x

2 m

x∈Rn

1.2.2

|∂ α ϕ (x)| , ∀ϕ ∈ D (Ω).
|α|≤m

Đạo hàm của hàm suy rộng

Định nghĩa 1.2.9. Cho f ∈ D (Ω) và α ∈ Nn . Đạo hàm suy rộng cấp α của hàm
suy rộng f trong Ω, kí hiệu là Dα f, là một hàm số cho bởi
Dα f : ϕ → Dα f, ϕ := (−1)|α| f, ∂ α ϕ ∈, (ϕ ∈ D (Ω)) .

Trong đó Dα f, ϕ là tác động của hàm Dα f lên hàm ϕ ∈ D (Ω).
Nếu α ∈ N thì vẫn kí hiệu Dα f = f (α) .
Mệnh đề 1.2.5. ([4]). Đạo hàm suy rộng Dα f cấp α của hàm suy rộng f là một
hàm suy rộng, nghĩa là hàm số
Dα f : ϕ → Dα f, ϕ := (−1)|α| f, ∂ α ϕ ∈ C, (ϕ ∈ D (Ω)) .

là một phiếm hàm tuyến tính liên tục.
Mệnh đề 1.2.6. ([5]). Cho các hàm suy rộng f, g ∈ D (Ω) và dãy (un )n ⊂ D (Ω).
Khi đó:
(i) Dα (u + v) = Dα u + Dα v;
(ii) Dα (au) = aDα u với mọi a ∈ C;
(iii) Dα+β u = Dα Dβ u = Dβ (Dα u) ;
(iv) Nếu un → u trong D (Ω) thì Dα un → Dα u trong D (Ω).

15


Định lý 1.2.7. (Công thức Leibnitz, [5]). Cho hàm suy rộng u ∈ D (Ω) và
f ∈ C ∞ (Ω) . Ta có
Dα (f u) =
β≤α

α!
Dβ f Dα−β u.
(α − β)!

Ví dụ 1.2.5. 1. Lấy Ω = (0; 2) , xét hàm số
u (x) =

x

,0 < x ≤ 1

1

,1 < x < 2

Khi đó u là một hàm khả tích trên Ω, có đạo hàm cổ điển trên các khoảng (0; 1)
và (1; 2) với u (x) = 1 với x ∈ (0; 1) , và u (x) = 0 với x ∈ (0; 2) , nhưng u không
có đaọ hàm (cổ điển) tại x = 1, hay nói cách khác u không có đạo hàm trên Ω.
Bây giờ ta sẽ đi tìm đạo hàm suy rộng cấp 1 của u trên Ω. Xét hàm số
v (x) =

1

,0 < x ≤ 1

0

,1 < x < 2

thì v cũng là hàm khả tích trên Ω, với mọi ϕ ∈ C0∞ (Ω) , ta có
2

D1 u, ϕ = − u, ϕ = −
1

=−

u (x) .ϕ (x) dx

0

2

xϕ (x) dx −
0

ϕ (x) dx
1

1

= − (1.ϕ (1) − 0.ϕ (0)) +

ϕ (x) dx − (ϕ (2) − ϕ (1))
0

1

=

ϕ (x) dx
0

=

1

2

v (x) .ϕ (x) dx +
0

2

v (x) .ϕ (x) dx =
1

v (x) .ϕ (x) dx = v, ϕ
0

do đó Dα u = v.
2. Lấy Ω = (0; 2) , xét hàm số
u (x) =

x

,0 < x ≤ 1

2

,1 < x < 2

Khi đó u là một hàm khả tích trên Ω và u (x) = 1 với x ∈ (0; 1) , và u (x) = 0 với
x ∈ (0; 2) , tất nhiên u không có đạo hàm hàm cổ điển trên Ω. Hơn nữa, không
tồn tại đạo hàm suy rộng cấp 1 của u. Thật vậy, nếu tồn tại D1 u thì tương tự
như ví dụ trên D1 u = v là một hàm khả tích trên Ω và với mọi v ∈ C0∞ (Ω) , ta có
2

D1 u, ϕ = −

2

u (x) .ϕ (x) dx =
0

v (x) .ϕ (x) dx.
0

16


Ta có
2

2

v (x) .ϕ (x) dx = −
0

u (x) .ϕ (x) dx
0
1

=−

2

u (x) .ϕ (x) dx −
0

1

u (x) .ϕ (x) dx =
1

ϕ (x) dx + ϕ (1) .
0

Lấy dãy hàm (ϕk )k ⊂ C0∞ (Ω) thỏa mãn
0 ≤ ϕk ≤ 1, ϕk (1) = 1, ϕk (x) → 0 (x = 1) .

Khi đó ta có
2

1

v (x) .ϕk (x) dx −

1 = limϕk (1) = lim

ϕk (x) dx

0

=0

0

mâu thuẫn này chứng tỏ không tồn tại D1 u.

Ví dụ 1.2.6. 1. Hàm khả vi thông thường: Cho f ∈ C 1 (Ω) , khi đó với mọi
ϕ ∈ D (Ω) , áp dụng công thức tích phân từng phần ta có
D1 f, ϕ = − f, ϕ

=−

f (x) .ϕ (x) dx =
Ω

ϕ (x) .f (x) dx = f , ϕ
Ω

suy ra D1 f = f = ∂ 1 f.
Hơn nữa, nếu f ∈ C k (Ω) thì Dk f = f (k) = ∂ k f.
2. Hàm Heaviside: Với mọi ϕ ∈ D (R) , ta có
+∞

H , ϕ = − H, ϕ

=−

ϕ (x) dx = ϕ (0) = δ, ϕ
0

suy ra H = δ.
3. Với mỗi hàm f ∈ C ∞ (R) thì f.H là một hàm khả tích địa phương (H là hàm
Heaviside), và do đó là một hàm suy rộng (xem Ví dụ 1.2.3). Với mỗi ϕ ∈ D (R),
ta có
+∞

(f.H) , ϕ = − f.H, ϕ = −

f (x) .ϕ (x) dx

0
+∞

= f (0) ϕ (0) +

f (x) .ϕ (x) dx
0

+∞

H (x) f (x) ϕ (x) dx = f (0) δ + H.f , ϕ

= f (0) δ, ϕ +
−∞

suy ra (f.H) = f (0) δ + f H.
17


1.2.3

Tích chập của hàm suy rộng

Định nghĩa 1.2.10. Cho f (x) và g(x) là các hàm số xác định trên Rn . Ký hiệu
f (x − y)g(y)dy, với x ∈ Rn .

(f ∗ g)(x) =
Rn
y

Nếu tích phân vế phải tồn tại thì (f ∗ g) (x) là một hàm xác định trên Rn và
được gọi là tích chập của hai hàm f (x) và g(x).
Định lý 1.2.8. Nếu f, g ∈ L1 (Rn ) thì f ∗ g tồn tại và f ∗ g ∈ L1 (Rn ), đồng thời
ta có bất đẳng thức
f ∗g

1

≤ f

1

g 1.

Dấu bằng xảy ra nếu f, g ≥ 0, ∀x ∈ Rn .
Chứng minh. +) Trước hết ta giả sử f, g ≥ 0.
Đặt
f (x − y)g(y)dy, ∀x ∈ Rn .

h(x) = (f ∗ g) (x) =
Rn
y

Ta thấy
h

1

|f ∗ g(x)| dx =

=
Rn

=

f (x − y)g(y)dy)dx

n
Rn
x Ry

(g(y)
Rn
y

(

f (x − y)dx)dy = f

1

g 1.

Rn
x

+) Nếu f, g ∈ L1 (Rn ) thì |f | ∗ |g| tồn tại và |f ∗ g| ≤ |f | ∗ |g|. Hơn thế
|f ∗ g|1 ≤ |f |1 ∗ |g|1 .

Từ định lý trên ta thấy tích chập có tính chất kết hợp.
Nhận xét 1.2.7. Nếu f là hàm số liên tục trên Rn và g là hàm khả tích địa
phương có giá compac thì f ∗ g xác định.
Định nghĩa 1.2.11. (Tích chập của hàm suy rộng thuộc D và D)
Cho f ∈ D (Rn ) và ϕ(x) ∈ D(Rn ) ta xác định tích chập (f ∗ g)(x) là một hàm số
trên Rnx theo công thức
(f ∗ g)(x) = f (y), ϕ(x − y) , ∀x ∈ Rnx .
18


Chú ý 1.2.1. Với mỗi x cố định thì ϕ(x − y) ∈ D(Rny ).
Định lý 1.2.9. Nếu f ∈ D (Rn ) và ϕ(x) ∈ D(Rn ) thì (f ∗ g)(x) ∈ C ∞ (Rn ) hơn
nữa supp(f ∗ g)⊂suppf +suppg .
Chứng minh. Ta sử dụng kết quả A đóng, B compact thì A + B đóng và nếu
A, B compact thì A + B là compact
Đặt
h(x) = f ∗ g(x) = f (y), ϕ(x − y) .

Nếu {xk } là dãy hội tụ về x thì hiển nhiên h(xk ) = f (y), ϕ(xk − y) hội tụ về
h(x) = f (y), ϕ(x − y) . Hay nói cách khác, h(x) là hàm liên tục.
Kí hiệu, (e1 , e2 , ..., en ) với ei là véctơ đơn vị trên xi . Xét

lim
l→0

h(x + lei )
ϕ(x + lei − y) − ϕ(x − y)

= lim f (y),
l
l
l→0
=

f (y), lim

=

f (y),

l→0

ϕ(x + lei − y) − ϕ(x − y)
l

∂ϕ(x − y)
∂xi

.

∂h
Điều này chứng tỏ tồn tại đạo hàm riêng ∂x
. Làm tương tự ta chứng minh được
i
∞
n
rằng h(x) ∈ C (R ). Ta chú ý rằng, với mỗi x cố định, nếu

suppf ∩ supp ϕ(x − y)
thì h(x) = f ∗ g(x) = f (y), ϕ(x − y) = 0. Do đó nếu h(x) = 0 thì tồn tại y ∈suppf
sao cho x − y ∈suppϕ. Hay nói cách khác ta có
supp(f ∗ g) ⊂ suppf +suppg.

Hệ quả 1.2.3. Nếu f ∈ D mà suppf compact thì với mọi ϕ ∈ D (Rn ) ta sẽ có
f ∗ g ∈ D (Rn ).
Định nghĩa 1.2.12. (Tích chập của hàm suy rộng)
∗ Giả sử f, g ∈ D , suppg compact. Khi đó tích chập f ∗ g là một hàm suy rộng
xác định theo công thức
f ∗ g, ϕ = f, g ∗ ϕ .

19


∗ Nếu g là hàm suy rộng tùy ý, f là hàm suy rộng có giá compact. Xét α(x) ∈ C0∞

sao cho α(x) = 1, ∀x ∈ suppf . Ta xác định tích chập như sau
f ∗ g, ϕ = f, α(x).f ∗ g(x) .

Định nghĩa 1.2.13. (Đạo hàm của tích chập)
Ta có
∂
(f ∗ g)(x) =
∂xi

f (y),

∂ϕ(x − y)
∂xi

= (f ∗

∂ϕ
)(x).
∂xi

Do đó
Dα (f ∗ g) = f ∗ Dα ϕ

Mặt khác
∂ϕ(x − y)
∂ϕ(x − y)
=−
∂xi
∂yi

Do đó
Dxα (f ∗ g) = f (y), (−1)α Dyα ϕ(x − y) = Dyα f, ϕ(x − y) = Dyα ∗ ϕ.

Vậy ta có
Dα (f ∗ g) = Dα f ∗ ϕ = f ∗ Dα ϕ.

Ta cũng có: Nếu f, g ∈ D , một trong hai hàm đó có giá compact, thì f ∗ g = g ∗ f .
Hơn nữa,
Dα (f ∗ g) = Dα f ∗ g = f ∗ Dα g.

Thật vậy, ta có thể xem suppf hoặc suppg là compact, khi đó Dα (f ∗ g) là một
hàm suy rộng. Mặt khác
Dα (f ∗ g), ϕ

=

f ∗ g, (−1)α Dα ϕ

= (−1)α f ∗ g, Dα ϕ
= (−1)α f, g ∗ Dα ϕ
= (−1)α f, Dα (g ∗ ϕ)
=

Dα f, g ∗ ϕ

=

Dα f ∗ g, ϕ
20


Tương tự ta cũng có
Dα (f ∗ g) = Dα f ∗ g = f ∗ Dα g.

Ví dụ 1.2.7. (Các trường hợp riêng)
∗ f ∈ D ta có f ∗ δ = f và δ, ϕ = ϕ(0).
∀ϕ ∈ D(Rn ): δ ∗ ϕ = ϕ(x).
Thật vậy,
f ∗ δ, ϕ = f, δ ∗ ϕ = f, ϕ .

Tương tự
Dα (f ∗ δ) = Dα f ∗ δ = Dα f.

∗ P (D) là toán tử vi phân tuyến tính với hệ số hằng k . Giả sử ω(x) là nghiệm cơ

bản của toán tử vi phân P (D)ω = δ . Khi đó nghiệm của phương trình P (D)u = f
được xác định u = f ∗ ω . Thật vậy:
P (D)u = P (D)(f ∗ ω) = (P (D)ω ∗ f ) = δ ∗ f = f.

1.3
1.3.1

Phép biến đổi Fourier trong không gian các
hàm suy rộng
Biến đổi Fourier trong S(Rn )

Định nghĩa 1.3.1. Với ϕ ∈ S(Rn ), biến đổi Fourier của hàm ϕ kí hiệu là: F[ϕ]
hay ϕ(ξ)
ˆ
được xác định bởi:
e−i(x,ξ) ϕ(x)dx.

ϕ(ξ)
ˆ
=
Rn

Biến đổi Fourier ngược của hàm ϕ kí hiệu là: F −1 [ϕ] hay ϕ(ξ)
ˇ
được xác định
bởi:
ϕ(ξ)
ˇ

=

1
(2π)n

ei(x,ξ) ϕ(x)dx.
Rn

Trong đó :ϕ ∈ S(Rn ), (ξ, x) =

n

ξj xj , x = (x1 , x2 , ..., xn ) ∈ Rn ,

j=1

ξ = (ξ1 , ξ2 , ..., ξn ), dx = dx1 , dx2 , ..., dxn .
21


Định lý 1.3.1. Phép biến đổi Fourier F là một ánh xạ
F : S(Rn ) → S(Rn )

và
Dj ϕ(x) = ξj ϕ(ξ),
xj ϕ(x) = −Dj ϕ(ξ).

Chứng minh. Lấy ϕ ∈ S(Rn ), ta phải chứng minh ϕ(ξ) ∈ S . Ta có
e−i(x,ξ) ϕ (x)dx.

ϕ(ξ)
ˆ
=
Rn

e−i(x,ξ) (−x)α ϕ(x)dx hội tụ đều trong Rn .

Mặt khác
Rn

Do đó, khi lấy đạo hàm tới cấp k ta có
e−i(x,ξ) (−x)α ϕ(x)dx

Dα ϕ(ξ)
ˆ
=
Rn

tồn tại. Hơn thế,
(−x)α ϕ(x) = Dα ϕ(ξ)
ˆ
và xj ϕ(x) = −Dj ϕ(ξ).
ˆ

Mặt khác từ công thức
e−i(x,ξ) (−x)α ϕ(x)dx.

Dα ϕ(ξ)
ˆ
=

Rn

lấy tích phân từng phần |β| lần, chú ý Dk (−x)α ϕ(x) → 0 khi x → 0, ta có
ξ −β e−i(x,ξ) Dβ (−x)α ϕ(x) dx.

Dα ϕ(ξ)
ˆ
=
Rn

Từ đó ta suy ra
e−i(x,ξ) Dβ (−x)α ϕ(x) dx

ξ β Dα ϕ(ξ)
ˆ
=
Rn

hay ϕ(ξ)
ˆ
∈ S (do ϕ ∈ S ).
Vậy F : S(Rn ) → S(Rn ) là một ánh xạ.
Cho α = 0 ta có
Dβ ϕ(x) = ξ β ϕ(ξ).
ˆ

22