Các không gian lồi địa phương các hàm và các dãy

Khoa toán
Trờng đại học Vinh
...*****..
Khoa toán
nguyễn
thị
..
.*****hồng
..
thị hồng
Trờngnguyễn
đại học
Vinh
Khoa toán

...*****..

Các không gian lồi địa phơng
Các hàm
và lồi
cácđịa
dÃyphơng
Các không
gian
Các hàm và các dÃy
Tên đề tài:

KHOá LUậN TốT NGHIệP
KHOá LUậN TốT NGHIệP
Các không gian lồi địa phơng
Các hàm và các dÃy

NGàNH Cử NHÂN KHOA HọC TOáN

Cán bộ hớng dẫn khoa học :PGS.TS.Đinh Huy Hoàng
Sinh viên thực hiện
Lớp

: Nguyễn Thị Hồng
:41E4-Toán
Vinh 2005 2005
Vinh - 2005
Vinh – 2005 2005

Vinh - 2005
1


mục lục
Trang
Lời nói đầu

2

Đ1. Các kiến thức chuẩn bị........................................................................ 4
Đ2. Một số ví dụ về không gian lồi địa phơng.
2.1. Không gian hữu hạn chiều Rn............................................................ 9
2.2. Không gian các hàm liên tục............................................................. 11
2.3. Không gian các hàm khả vi vô hạn X.................................................17
2.4. Không gian các hàm chỉnh hình....................................................... 21
2

2.5. Không gian các dÃy.......................................................................... 23
Kết luận

29

Tài liệu tham khảo

30

lời nói đầu
Trong giáo trình Giải tích hàm dành cho sinh viên, chúng ta đà đợc học
khá kỹ về không gian định chuẩn. Có một lớp không gian rộng hơn mà không
gian định chuẩn là một trờng hợp riêng của nó đó là lớp các không gian lồi địa
phơng. Lớp các không gian này có vai trò quan trọng trong Giải tích hàm và
trong nhiều nghành Toán học khác. Trong chuyên đề không gian vectơ tôpô , bớc đầu chúng ta cũng đà đợc biết các khái niệm và tính chất cơ bản của các
không gian lồi địa phơng .
Để tìm hiểu sâu hơn về lý thuyết các không gian lồi địa phơng, khóa luận
này nhằm nghiên cứu một số không gian lồi địa phơng mà chúng ta thờng đợc
gặp trong Giải tích hàm , Giải tích phức ,đó là không gian các hàm và không
gian các dÃy.
Nh đà biết, có hai phơng pháp cơ bản để trang bị tôpô lồi địa phơng cho
một không gian véctơ, đó là dựa vào họ các nửa chuẩn hoặc họ các tập con tuyệt
đối lồi và hút. Trong các tài liệu Giải tích hàm, ngời ta thờng dựa vào họ các nửa
chuẩn để trang bị tôpô lồi địa phơng cho không gian các hàm và không gian các
dÃy. Trong khoá luận này, sẽ trang bị tôpô lồi địa phơng cho các không gian đó
bằng cách dựa vào họ các tập con tuyệt đối lồi và hút. Sau đó, nghiên cứu các
tính chất khả mêtric, khả định chuẩn và tính chất đầy đủ của các không gian này.
Với mục đích đó, khoá luận đợc viết thành hai phần.
3

Phần đầu nhằm nhắc lại một số khái niệm và kết quả đà biết cần dùng
trong khoá luận .
Phần thứ hai trình bày không gian hữu hạn chiều, không gian các hàm liên
tục, không gian các hàm khả vi, không gian các hàm chỉnh hình và không gian
các dÃy. Đối với mỗi không gian này, các tính chất khả mêtric, khả định chuẩn,
đầy đủ cũng đợc chú ý tới. Trong mệnh đề 2.2.2.1 ,trình bày một ví dụ về không
gian khả mêtric nhng không khả định chuẩn. Khoá luận cũng đa ra
một ví dụ về không gian véctơ tôpô không phải là không gian lồi địa phơng đó là
không gian lp với 0 p 1.
Vì kiến thức còn hạn chế và thời gian không cho phép nên khoá luận cả
về nội dung và hình thức sẽ có nhiều thiếu sót, tác giả rất mong đợc sự góp ý
của các thầy, cô giáo và các bạn.
Khoá luận đợc thực hiện tại Trờng Đại Học Vinh dới sự hớng dẫn của
thầy giáo,PGS, TS Đinh Huy Hoàng. Nhân dịp này tác giả xin chân thành cảm
ơn PGS,TS Đinh Huy Hoàng, ngời đà tận tình hớng dẫn tác giả trong suốt quá
trình làm khoá luận .
Cuối cùng tác giả xin chân thành cảm ơn ban chủ nhiệm khoa Toán, các
thầy, cô giáo trong khoa và tổ Giải tích đà tạo mọi điều kiện giúp đỡ tác giả
trong quá trình học tập và hoàn thành khoá luận này.
Vinh, ngày 1 tháng 5 năm 2005.
Tác giả
Nguyễn ThÞ Hång

4


Đ1.CáC KIếN THứC CHUẩN Bị
Phần này dành cho việc nhắc lại một số khái niệm và kết quả cần dùng

cho các phần sau.
1.1. Không gian véc tơ. Một không gian véc tơ E trên trờng số thực là một
tập hợp, trong đó có phép cộng (hai phần tử bất kì x,y của E đều có tổng x + y,
đó là một phần tử của E) và phép nhân với lợng vô hớng ( với mỗi x thuộc E và
mỗi thuộc , tích x đợc xác định là một phần tử của E ), với các tính chÊt
sau:
(1) x + y = y + x;
(2) x + (y+z) = (x+y) + z;
(3) Trong E cã phÇn tư không,hay điểm gốc, kí hiệu bởi 0 sao cho
0 + x = x víi mäi x thuéc E;
(4) Víi mäi x thuộc E, đều tồn tại phần tử 2005x sao cho x + (-x) = 0;
(5) (   )x =  (  x) ;
(6) (  +  )x =  x +  x;
(7)  (x+y) =  x +  y .
1.2. Kh«ng gian t«p«. Một tôpô trên X là một họ các tập con mở thoả mÃn
các điều kiện sau:
+) ,X  ;
+) Víi mäi A,B   th× A  B   ;
+) NÕu Ai   ,  i I thì A

i

iI



.

1.3. Lân cận của một điểm. TËp con U cđa kh«ng gian t«p« (X,  ) đợc gọi là
một lân cận của một điểm x X khi vµ chØ khi trong U cã tËp më chøa x.

5


1.4. Cơ sở lân cận của một điểm. Giả sử ò là họ tất cả các lân cận của điểm x
(X,

). Họ u ò đợc gọi là cơ sở lân cận của điểm x nếu với mỗi B ò đều tồn

tại U u sao cho U B.
1.5. Không gian vectơ tôpô. Giả sử E là không gian vectơ trên trờng K. Một
tôpô trên E đợc gọi là tơng thích với cấu trúc đại số của E nếu:
+) ánh xạ (x,y) x + y của E x E E liên tục;
+) ánh xạ (  ,x)   x cña K x E E liên tục.
Một không gian vectơ tôpô trên K là một không gian vectơ trên K cùng với
một tôpô tơng thích.
1.6. Tập hợp lồi. Tập con A của không gian véctơ E đợc gọi là tập hợp lồi nếu
x,y  A ta ®Ịu cã  x +  y

 A víi

 ,   0 vµ  + =1.

1.7. Tập hợp cân. Tập con A của không gian vectơ E đợc gọi là cân nếu x 
A ta ®Ịu cã  x  A khi  1.
1.8. Tập hợp tuyệt đối lồi. Tập con A của không gian vectơ E đợc gọi là tuyệt
đối lồi nếu A đồng thời lồi và cân, nghĩa là với  x,y  A ta ®Ịu cã  x +  y  A
víi  +  1.
1.9. TËp bÞ chặn. Cho E là không gian vectơ tôpô, một tập con A E gọi là tập
bị chặn nếu đối với mỗi lân cận U của 0 E, tồn t¹i sè  > 0 sao cho tA U,  t

: t>.
1.10. TËp hót. TËp con A cđa kh«ng gian vectơ E đợc gọi là hút nếu với x
E đều tồn tại số > 0 sao cho x   A,   :    .
1.11. Tập compact. Cho E là vectơ không gian tôpô vµ tËp A E. Ta nãi r»ng A
lµ tËp compact nếu A là không gian compact với tôpô cảm sinh bởi tôpô của E.
1.12. Không gian mêtric. Một hàm d có giá trị thực đợc xác định với mọi cặp
phần tử x,y của tập hợp E, đợc gọi là một mêtric nếu nó thoả mÃn các điều kiện:
+) d(x,y) 0 , d(x,x) = 0 vµ d(x,y) > 0 nÕu x  y;
+) d(x,y) = d(y,x);
+) d(x,z)  d(x,y) + d(y,z).
Một tập hợp E cùng với mêtric đợc gọi là không gian mêtric.
1.13.
Không gian Hausdorff. Không gian tôpô E đợc gọi là không gian Hausdorff
nếu với mọi x,y E mà x y đều tồn tại lân cận VX cña x , Vy cña y sao cho Vx
 VY =  .
1.14. D·y suy réng. a) TËp thø tù từng phần (I, ) là một tập hợp không rỗng
mà giữa các phần tử của nó có thể xác định quan hƯ  sao cho:
i, NÕu a  b vµ b c th× a c  a,b,c  I;
6


ii, a a ,  a  I .
TËp thø tự từng phần I đợc gọi là định hớng nếu i,j I tìm đợc k I sao
cho k i vµ k  j .
b) Mét d·y suy réng trong một tập X là một ánh xạ f:I X , trong đó I là một tập
định hớng .
Ta thờng viÕt { xi } thay cho {f(i)} .
1.15. D·y suy rộng Cauchy . Cho E là một không gian véctơ tôpô, một dÃy suy
rộng{ xi }iI gọi là dÃy suy rộng Cauchy nếu với mọi lân cận U của điểm gèc , tån
t¹i i0  I sao cho khi i,j I mà i,j i0 thì xi 2005 x U.

1.16. Không gian đầy đủ. Cho E là một không gian vectơ tôpô, không gian E
đợc gọi là ®Çy ®đ nÕu víi mäi d·y suy réng Cauchy trong E đều hội tụ tới một
điểm thuộc E .
1.17. Không gian lồi địa phơng. Giả sử E là một không gian vectơ tôpô , E đợc
gọi là không gian lồi địa phơng nếu điểm gốc 0 E có một cơ sở lân cận đợc
tạo nên từ các tập lồi, nghĩa là mọi lân cận U của 0 E bao hàm một lân cận
lồi .
1.18. Cơ sở lân cận của không gian lồi địa phơng .
a) Mệnh đề. Nếu u là cơ sở lân cận ( của điểm gốc ) thì ta có với mỗi U
u thì :
i, U là hút ;
ii, Tồn tại V u sao cho V + V U;
iii, Tồn tại lân cận cân w U.
b) Định lý. Một không gian lồi địa phơng E có một cơ sở u những lân cận
của điểm gốc có các tính chất:
c1, Nếu U u, V u thì tồn tại W u víi W  U  V ;
c2, NÕu U  u,   K ,  0 th×  U u;
c3, Mỗi U u là lồi , cân , hút và đóng.
Ngợc lại, cho mỗi tập hợp (khác rỗng ) u những tập con của một không
gian tuyến tính E với các tính chất c 1- c3 thì tồn tại một tôpô làm cho E trở thành
một không gian lồi địa phơng với u là một cơ sở lân cận của điểm 0E.
1.19. Tôpô địa phơng sinh bởi các tập tuyệt đối lồi và hút.
Mệnh đề. Giả sử V là một họ tuỳ ý các tập con tuyệt đối lồi và hút của
không gian tuyến tính E. Khi đó tồn tại trên E một tôpô lồi địa phơng yếu nhất tơng thích với cấu trúc đại số của E sao cho mỗi tập của V là một lân cận của
điểm gốc . Một cơ sở lân cận trong tôpô ấy đợc tạo nên bởi các tập có dạng :

 V ,  > 0 , Vi  V víi i=1, 2, 3,…,n.,n.
i

1

i
n

7


1.20. Nửa chuẩn. Cho E là một không gian vectơ trên K. Một hàm p xác định
trên E, có giá trị thực và không âm (hữu hạn) đợc gọi là nưa chn nÕu:
i, Víi mäi x  E th× p(x)  0;
ii,Víi mäi   k , x  E th× p(  x) =    p(x);
iii, Víi mäi x,y  E th× p( x+y)  p(x) + p(y).
1.21. Mệnh đề . i, Giả sử p là một nửa chuẩn trên E. Khi đó với mọi >0, các
tập x:p(x) < và x:p(x) là lồi, cân và hút.
ii, Với mỗi tập con A E lồi, cân và hút đều tơng ứng với nửa chuẩn P, xác
định bởi:
p x = inf0,

x



A,

có tính chất

x: p(x)<1 A x: p(x) 1 .
1.22. Tôpô lồi địa phơng sinh bởi các họ chuẩn. Cho một tập hợp Q những
nửa chuẩn trên một không gian tuyến tính E. Tồn tại một tôpô lồi địa phơng yếu
nhất trên E tơng thích với cấu trúc đại số trong đó mỗi nửa chuẩn p Q là liên
tục.

Một cơ sở lân cận đóng đợc thành lập từ các tập .
x:

sup
1i n

pi(x)  

( > 0, pi Q ) .

1.23. MƯnh ®Ị. Nếu u là một cơ sở lân cận trong không gian vectơ tôpô E thì E
U = 0 .

là tách khi và chỉ khi U
u

1.24. Định lý . Không gian lồi địa phơng E là khả mêtric khi và chỉ khi nó là
tách và nó có một cơ sở lân cận ( của điểm gốc) đếm đợc. Tôpô của một không
gian khả mêtric luôn luôn có thể xác định bởi một mêtric, bất biến đối với các
phép tịnh tiến.

8


Đ2. MộT Số Ví Dụ Về CáC KHÔNG GIAN LồI
ĐịA PHƯƠNG
Trong mục này, ta sẽ trang bị tôpô lồi địa phơng cho các không gian thờng
gặp trong Giải tích nh không gian hữu hạn chiều, không gian các hàm, không
gian các dÃy, ... . Nh đà biết, thông thờng có hai phơng pháp trang bị tôpô lồi địa
phơng cho một không gian tuyến tính, một là dựa vào họ các nửa chuẩn, hai là

dựa vào họ các tập con tuyệt đối lồi và hút. Các không gian ở đây, đà đợc trình
bày trong các tài liệu tham khảo, chúng đà đợc trang bị tôpô nhờ họ các nửa
chuẩn. Chúng tôi sẽ trang bị tôpô cho các không gian này nhờ họ các tập con
tuyệt đối lồi và hút. Sau khi trang bị tôpô lồi địa phơng cho các không gian,
chúng tôi sẽ xem xét các tôpô đó có mêtric hoá hay chuẩn hoá đợc hay không?
2.1. Không gian hữu hạn chiều Rn.
Không gian Rn với các điểm x = (x1,x2,,n.,xn), xi R trở thành một không
gian lồi đia phơng nếu đợc trang bị bởi tôpô đợc sinh ra từ họ tùy ý các tập hợp
con v =v 1n

n N

víi
V 1n =x =(x1, ..., xn)  Rn :

n

x
i 1

2
i

< 1 .
n

Thực vậy, không gian Rn là không gian tuyến tính. Ta chỉ cần chứng minh
V1/n là tập tuyệt đối lồi và hút đối với mỗi n N.
1) Với mäi x,y  V 1 cÇn chøng minh  x +  y  V 1 víi
n

n
1.

9



+






n

x = (x1,x2,,n.,xn) V 1 nên

Thật vậy, vì

x

n

2
i

<1;
n

i 1

y = (y1,y2,,n.,yn) V 1 nên
n

n

y

2
i

<1.
n

i 1

Khi đó, x +  y = (  x1 +  y1,  x2 +  y2,..,  xn +  yn)  Rn vµ
n

 xi  yi
i 1

n

2

 2  xi

2

n

 2  yi

+

i 1

2

< 

i 1

1
1 1
  .
n
n n

Tõ ®ã ta cã  x+  y  V 1 .Vậy V 1 là tập tuyệt đối lồi .
n
n
2)Với mọi x Rn, tån t¹i  > 0 sao cho x   V 1 , víi mäi  :
n



 .

ThËt vËy, víi mäi x = (x1,x2,…,n.,xn)  Rn ta cã :
n

0 

2

x

= k <.

1

i 1

Chän  > kn . Khi ®ã víi mäi  :    th×
n



xi



1



x



i 1

Tõ ®ã suy ra

n

=1

2
i

= k.

i 1

1





k



<1.
n

x  V 1 hay x   V 1 .
n

n

VËy V1/n lµ tËp hót. Theo mệnh đề 1.19, tồn tại trên Rn một tôpô yếu nhất
và tơng thích với cấu trúc đại số mà v ; n =1,2, là một cơ sở lân cận của
điểm 0, với tôpô này R n là một không gian lồi địa phơng. Không gian Rn là khả
định chuẩn vì tôpô của nó có thể xác định bởi một chuẩn :
x =

n

2

x .
i

i 1

Tôpô đợc sinh ra bởi chuẩn này (tôpô thông thờng trên Rn) trùng với tôpô ở
trên . Dĩ nhiên không gian Rn cũng khả mêtric vì d(x,y) = x-y là một mêtric
(mêtric thông thờng) và mêtric này sinh ra tôpô trùng với tôpô đà trình bày .
2.2. Không gian các hàm liên tục.
10


2.2.1. Không gian các hàm liên tục trên một đoạn. Giả sử C[a,b] là tập
hợp tất cả các hàm liên tục trên một khoảng đóng và bị chặn [a,b], có giá trị

thực ( hay phức ). C[a,b] là một không gian tun tÝnh víi c¸c phÐp to¸n :
+) (f + g)(t) = f(t) + g(t), t  [a,b] , f,g  C[a,b] ;
+) (f)(t) = f(t) , t  [a,b] , R.
Nếu đặt
sup x t

V = { x  C[a,b] :

a t b

<  } (  > 0 ),

thì V là tập tuyệt đối lồi và hút. Thật vậy, với mọi x,y V thì
và

sup y t 

< . Ta cÇn chøng minh x +y  V víi

a t b

  

sup x  t 

a t b

<

1.Vì C[a,b] là

một không gian tuyến tính nên x + y  C[a,b] . Ta cã
sup
a t b

=
Nh vËy

sup
a t b

x(t) + y(t) 

sup
a t b

x(t)+ 

sup

x(t)+

a t b

sup
a t b

sup
a t b

y(t)  +   .

x(t) + y(t)<  . Do ®ã x + y  V , hay V là tuyệt đối lồi.

Với x C[a,b], đặt

sup
a t b

x(t)= m <+.Chọn > m .Khi ®ã víi mäi : th×


sup x(t )  1 sup x(t )  m  m

a t b

Do ®ã

x



 V

y(t)=





a t b





< .

hay x  V . VËy V lµ tËp hót. Khi ®ã, hä v ={ V:  >0}sinh ra

tôpô lồi địa phơng trên C[a,b]. Một cơ sở lân cận trong tôpô ấy đợc tạo nên bởi các
tập có d¹ng
 V ,  > 0 , Vi v , n N.
i

i
1, n

2.2.2. Không gian các hàm liên tục trªn R.

11


Giả sử CR là tập hợp tất cả các hàm liên tục trên R, có giá trị thực hay
phức , CR trở thành một không gian lồi địa phơng, với tôpô đợc sinh ra bởi họ v
= Vn , , trong ®ã
Vn, = { f CR :

sup
 n t n

f t 

< } ( > 0 ,n= 1,2,3,…).

Chøng minh .
+) Ta biết CR là một không gian tuyến tính với các phép toán nh trong C[a,b].
+) Vn, là tập tuyệt đối lồi và hút (Chứng minh tơng tự trong 2. 2.1).
Theo mệnh đề 1.19, tồn tại trên CR một tôpô yếu nhất và tơng thích với cấu trúc
đại số, sao cho mỗi Vn, là một lân cận .Với tôpô ấy , C R là một không gian lồi
địa phơng , và một cơ sở lân cận đợc tạo thành bởi các tập hợp
V , ( > 0 , Vi  v , n  N).
i

i
1, n

2.2.2.1. MƯnh ®Ị . Không gian CR với tôpô lồi địa phơng nói trên là khả
mêtric nhng không khả định chuẩn.
Chứng minh. Đầu tiên ta chứng minh CR khả mêtric. Muốn vậy , ta chỉ
cần chứng tỏ CR là Hausdorff và có một cơ sở lân cận của điểm 0 gồm một số
đếm đợc các phân tử ( xem định lí 1.24).
Giả sử x(t) CR , x(t) 0 khi đó ắt tån t¹i t oR sao cho x(to) = o  0.
LÊy sè tù nhiªn no sao cho to  [ -n0,n0] và Vn 0, . Hiển nhiên Vn 0, v và
0

2

0

2

Vi = {0} . Vì vậy, theo mệnh đề 1.23 thì

x(t) Vn 0, . Từ đó suy ra i
1, n
0

2

0

CR là không gian Hausdorff . Đặt

u=V
Rõ ràng

n,

1
m

: n= 1,2,; m = 1,2.

u là họ con đếm đợc của . Giả sử V là mét l©n cËn tïy ý cđa 0 C

R

.

Vi ,vi  , 0 > 0 sao cho w  V. V× Vi v (i =
Khi đó tồn tại w = 0 i
1, n
0

1, n 0

12

) nên các Vi có d¹ng Vi = Vn , (i = 1, n ).
i

0


§Ỉt n = maxni : i=
cho

1

m

1, n 0

,  = 0 mini: i =

. Ta thÊy U 

1, n 0

 vµ U = Vn,

1
m

víi m  N sao

u vµ U W V . Điều này chứng tỏ u là cơ sở lân

cận đếm đợc của 0. Do đó theo định lý 1.24 thì không gian CR là khả mêtric .
Bây giờ , ta chứng minh CR không khả định chuẩn.
Thật vậy , giả sử CR khả định chuẩnKhi đó tồn tại . trên CR sao cho
tôpô sinh ra bởi nó trùng với tôpô đà nói ở trên . Do đó, hình cầu đơn vị
U = {x CR : x < 1},
chøa tËp
Vn ,

sup

= x  CR :

nµo đó. Đặt Pn(x) =

sup
t n . n

t n . n 

x(t) <  , n  N vµ  > 0

x(t), x  CR . Tõ bao hµm thøc

Vn ,

 U suy ra r»ng

nÕu x  CR mà -1.Pn(x) < 1 thì x <1. Do đó , ta cã :
x < -1.Pn(x)

x  CR .

(1)

Bëi v× nÕu tồn tại x0 CR mà xo > -1.Pn(x0) thì ta tìm đợc số sao cho
xo > > -1.Pn(x0)  0.
Khi ®ã
-1.Pn(

1



.x 0 )

= -1.

1



. Pn(x0) < 1.

Nhng
1



x0

=

1



x0

> 1.

Đặt
x(t) =
13







t

t


n
0
n

nếu
nếu
nếu

t - , - n
t - n, n 
t   n,  




.


Râ rµng x(t)  CR , x(t)  0 . Theo (1) ta cã x  -1.Pn(x) = 0 , do đó
x = 0 và vì thế x = 0 . Điều này mâu thuẫn với x(t) 0. Vậy CR không khả
định chuẩn .
Nhận xét. Một vấn đề đợc đặt ra một cách tự nhiên ở đây là nếu ta thay R
bëi mét kh«ng gian t«p« X bÊt kú và [-n, n] bởi tập compact K trong X thì kết
quả trên đây còn đúng nữa hay không ?. Điều này sẽ đợc giải quyết trong mục
tiếp theo .
2.2.3. Không gian các hàm liên tục trên không gian tôpô X .
Giả sử X là không gian tôpô , ký hiệu C X là tập tất cả các hàm số liên

tụctrên X . Ta đà biết CX là không gian tuyến tính . Với mỗi tập compact K X
và với mỗi > 0, đặt
VK,. = x CX :

sup x(t)
tK

<  .

Chøng minh t¬ng tù nh 2.2.1, ta thấy VK,. là tập tuyệt đối lồi và hút nên hä

V = Vk. :k compact trong X,  > 0 ,
sinh ra tôpô lồi địa phơng trên CX. Tôpô này có một cơ sở lân cận của điểm 0
gồm các tËp cã d¹ng :
V=

Vi , Vi  V ,  >0 , n  N .

1i n

2.2.3.1. MƯnh ®Ị. NÕu X là không gian tách compact địa phơng và là hợp
của đếm đợc các tập compact thì CX là khả mêtric .
Chứng minh. Giả sử X là không gian Hausdorff, compact địa phơng và


X = An , An là tËp con compact cđa X víi mäi n .
n 1

Kh«ng mất tính tổng quát , có thể giả thiết An là dÃy tăng vì nếu không nh thế
thì ta cã thĨ thay An bëi Bn , trong ®ã :

n

Bn = Ak , n=1,2,3.
k 1

Hơn nữa , do An phủ X nên có thể giả thiết An
14

An01

n .


LÊy bÊt kú x0  Cx , x0  0. Khi đó tồn tại t0 X sao cho x0(t0) 0. Đặt 0=
x0(t0) và
V= x Cx : sup
x(t) < 0 ,
tK
0

trong đó K0 là lân cận compact của t0 (K0 tồn tại do X compact địa phơng ).
Rõ ràng V = VK

0

, 0

là lân cận của 0 và nó không chứa x0. Do đó CX làT2 2005không

gian.

Bây giờ ta chứng minh tôpô trên CX có cơ sở lân cận đếm đợc của điểm 0. Đặt

u = V
Rõ ràng

1

An

, m : n=1,2,; m=1,2, .

u là đếm đợc. Giả sử U là một lân cận bất kì của 0.

Khi đó, ắt tồn tại

> 0 và V1, V2, ..., Vn V sao cho
n



Vi U.

i
1

Vì các Vi V nên tồn tại các tập compact Ki trong X và các sè  i > 0 víi
i=1,2,..., n sao cho Vi = VK



i

, i

. Tõ  An = X vµ An  A0n+1, suy ra tån t¹i Aj
n 1

n

sao cho  Ki  Aj . Chän m  N sao cho
i 1

1
m

< . min 1 ,  2 ,...,  n .

Ta cã
n

V

Aj ,

1
m



Vi  U.

i 1

(1)
ThËt vËy, víi mäi x 

V

Aj ,

1
m

ta cã

sup x (t )
tA j

<

1
m

< min 1 , 2 ,..., n .

Do đó
sup
tK i

và vì thế

15

1

1



x (t )

n

x 

i
1

1

x (t ) <  i  i =
 sup
t A 
j

n

Vi hay x   
i
1

Vi  U.

1, n

,


Từ (1) suy ra

u là cơ sở lân cận của 0. Theo 1.24, C

là mêtric hoá đợc.

X

2.3. Không gian các hàm khả vi vô hạn X.
2.3.1. Không gian các hàm khả vi trên một đoạn.
Giả sử X là tập hợp tất cả các hàm khả vi vô hạn trên đoạn đóng và bị chặn
có giá trị thực ( hay phức ). X là một không gian tuyến tính với các phÐp to¸n:
ta,b , f,g  X;

+) (f+g)(t) = f(t) + g(t)
+) (f)(t) = f(t)

R .

Với mỗi m = 0,1,2, với mỗi n =

1

n

; n =1,2,. Đặt

Um,n =xX : t sup
a,b

x ( m ) (t )

<

1
n

.

Um,n là tập tuyệt đối lồi và hút.
sup

Thật vậy, với mọi x,y Um,n thì

t  a , b 

 x(m) (t) 

1
n

sup

;

t  a , b

y(m)(t)

1
n

.

Ta cần chứng minh x +ày Um,n với + 1. Vì X là không gian tuyến
tính nên x + ày X. Ta có:
sup
t a , b 





(x(m) + µy(m)) (t)| 

sup
t  a , b 

x(m)(t) +

sup x(m)(t) +  µ  sup y(m) (t) <
t  a , b 

t a ,b 



sup
t  a , b 

1
n

µy(m)(t) 
1
n

+  µ 



1
n

.

Do ®ã, x+µy  Um,n víi  + µ  1.
VËy Um,n - tËp tut ®èi låi .

.) Víi x  X vµ n = 1, 2,... do

sup
t  a , b

x(m)(t) = k + nên chọn đợc k n.

Khi đó với mọi à sao cho |à| thì

Do đó ,

x



sup

x ( m)

t a ,b



U m ,n

(t )

=

1



sup

x(m)(t) =
t a ,b 

k





k





1
n

.

hay x  Um,n . Vì thế Um,n là tập hút. Đặt

u = U

m,n

: m=a,1,2,...;n=1,2.......

Khi đó, theo định lý 1.19, tồn tại tôpô u trên X sao cho (X, u) là không gian lồi

địa phơng. Các tập dạng

Ui ,  0, Ui  u,
n

 i = 1, ..., n .

i
1

Lập thành một cơ sở lân cận tại điểm 0X ®èi víi t«p« u.
16


2.3.1.1.Mệnh đề. Không gian (X, u ) nói trên là khả mêtric.
Chứng minh. Muốn chứng minh (X, u ) là khả mêtric ta cần chứng minh

u

u

(X, u ) là T2 không gian và họ là đếm đợc. Rõ ràng
là đếm đợc.
U m ,n . Khi đó
Giả sử x là một phÇn tư thc giao nN
; mN
*

sup
t  a .b 

x ( m ) (t )

<

1
n

n , m .

Suy ra  x(m)(t) = 0 m, t  [a,b]. Do ®ã x = 0 vµ ta cã
U m ,n
nN * ; mN



=.

2.3.2. Không gian các hàm khả vi trên R.
Giả sử CR là tập hợp tất cả các các hàm khả vi vô hạn trên R có giá trị
thực (hay phức). CR trở thành không gian lồi địa phơng với tôpô sinh bëi hä.
b
b
= U m,n,k : m  N; n, k  N * ,

u

trong ®ã
sup
b

U m,n,k = x CR : t  n , n   x(m)(t) <

1
k

.

Chøng minh. Ta nhËn thÊy CR víi hai phÐp to¸n nh trong X thì CR là một
b
không gian tuyến tính. Hơn nữa U m,n,k là tập tuyệt đối lồi và hút. Chứng minh

tơng tự nh trong (2.3.1).
Theo mệnh đề 1.19, tồn tại trên CR một tôpô yếu nhất và tơng thích với cấu
b
trúc đại số, sao cho mỗi U m,n,k là một lân cận. Với tôpô ấy CR là một không
gian lồi địa phơng và một cơ sở lân cận đợc tạo thành bởi các tập hợp


Ta kí hiệu tôpô này là

U i

1i l

(ε  0, Ui

ub, ℓ N ).
*

 .

ub

2.3.2.1. MÖnh đề. Không gian CR với tôpô lồi địa phơng nói trên là khả
mêtric.
Chứng minh tơng tự nh mệnh đề 2.3.1.1.
2.3.3. Không gian các hàm giảm nhanh.
Giả sử là không gian các hàm khả vi vô hạn trên R có giá trị thực (hay
phức) sao cho với mọi m và n  N ®Ịu cã
m = 0,1,2,…; n = 0,1,…; k = 1,2, đặt
17

t n

x(m)(t) 0 khi

t

. Với mỗi


Ucm,n,k = x :

sup
  t  

 ( 1 +  t n ) x(m)(t)  

1
k

.

Ucm,n,k lµ tËp tuyệt đối lồi và hút. Thật vậy, với mọi x,y  Ucm,n,k th×
sup
  t  

1
k

 ( 1 +  t n ) x(m)(t)  

1
k

sup

;

  t  

 ( 1 +  t n ) y(m)(t)  

.

Víi bÊt kú  vµ  mµ  + µ  1 ta cã
sup 
tR

(1+tn) [  x(m)(t) +µ y(m)(t)]  | sup
1 + tn) x(m) (t) + |µ| sup

 (1
tR
tR

+ |t|n)ym(t)|< (| +à|)

1
k



1
k

.

Do đó x + y Ucm,n,k víi  +   1. VËy Ucm,n,k lµ tËp tuyệt đối lồi.
Với mỗi Ucm,n,k và x , do t(sup
1+tn)x(m)(t) = + nên chọn đợc sao
, )
cho k. Khi đó với mỗi mà    ta cã:
sup

1  t x
n

  t  

(m)

(t )

=



1



sup

 (1 +  t n ) x(m)(t)  =
  t  





1

< .
  
k

Tõ ®ã suy ra x Ucm,n,k . Do đó Ucm,n,k là tập tuyệt đối lồi và hút. Đặt :

uc = U

c

m,n,k

: m = 0, 1, 2…; n = 0, 1,…..; k = 0, 1, 2,…...

Khi ®ã, theo mƯnh ®Ị 1.19, tồn tại trên một tôpô yếu nhất và tơng thích với cấu
trúc đại số, sao cho mỗi Ucm,n,k là một lân cận. Với tôpô ấy là một không gian
lồi địa phơng và một cơ sở lân cận đợc tạo thành bởi các tập hợp



U i

1
i
k

( 0, Ui

uc, k N ).
*

Ta ký hiệu tôpô này là u c .
2.3.3.1. Mệnh đề . Không gian (, u c ) là khả mêtric.
Mệnh đề này cũng đợc chứng minh tơng tự nh Mệnh đề 2.3.1.1.
Ta thấy - Kh«ng gian tuyÕn tÝnh con trong C R. Theo 2.3.2.1, (CR , u b ) là
không gian lồi địa phơng khả vi mêtric. Gọi

là tôpô trên đợc sinh bëi  u b .

Nh vËy trªn  cã hai tôpô là u c và .Vấn đề đặt ra là so sánh hai tôpô u c và .
2.3.3.2. Mệnh đề . Tôpô
18



yếu hơn tôpô u c .


Chứng minh. Để chứng minh mệnh đề ta chỉ cần chứng minh rằng với
mọi Ubm,,n.k

ub đều tồn tại U

c



m,n,k

uc sao cho U

c

m,n,k

 Ubm,n,k.

ThËt vËy, víi mäi x  Ucm,n,k ta cã:
sup
t  ,  

Do ®ã

sup
t  n ,n 

 x(m) (t) 

1
k

(1 + tn) x(m) (t)  

1
k

.

.Tõ đó x Ubm,n,k và ta có đpcm .

2.4. Không gian các hàm chỉnh hình.
Giả sử D là một miền trong cn. Ta kí hiệu H(D) là tập tất cả các hàm chỉnh
hình trên D. Khi đó H(D) là không gian tuyến tính với phép cộng hai hàm và
nhân vô hớng với hàm thông thờng. Với mỗi tập compact K trong D và với mỗi
> 0 đặt:
sup

UK, = f  H(D) :

Z K

< .

f ( z)

UK, lµ tËp tuyệt đối lồi và hút. Thật vậy, với bất kì f, g UK, , còn và là các
số thực sao cho 1 ta cã:
sup (f

 g )( z )

Z K

=

sup (f ( z )  g ( z ))
Z K

 sup



f ( z)

Z K

+

 sup g ( z )
Z K

<



+    .
Do ®ã f + g  UK , . . Nh vậy UK , là tuyệt đối lồi.
Với bất kỳ f H(D), đặt
cho >

M



sup
Z K

f ( z)

. Giả sö   R sao cho

1



. Ta cã

 

sup 1 f ( z )
Z K

Do đó

= M. Vì M < nên chọn đợc R sao

=

M





M



< .

f  UK ,  hay f  UK ,  . Vì thế UK , là tập hút. Đặt

u =U

K,

: K lµ tËp compact  D,  > 0 .

Vì mỗi UK , là tuyệt đối lồi và hút nên họ

u sinh ra một Tôpô lồi địa phơng trên

H(D). Với tôpô này, họ các tập dạng
n


i
1

19

Vi ,  > 0 , Vi 

u , i=

1, n

,


tạo thành một cơ sở lân cận tại điểm 0 H(D) .
2.4.1. Mệnh đề. Không gian H(D) với tôpô nói trên là mêtric hóa đợc.
Chứng minh: Giả sử f H(D), f 0. Khi đó tồn tại z0 D sao cho f(z0) 0.
Đặt K = z0, =

1
f (z 0 )

2

sup

.Ta cã

Z K

f ( z)

 2. Do ®ã f  UK,  .Tõ ®ã suy

ra


U : U

u = 0 và do đó H(D) là T

2

2005 không gian.

Bây giờ, để hoàn thành chứng minh Mệnh đề, ta chỉ cần chứng tỏ tồn tại
một cơ sở lân cận đếm đợc tại điểm 0 H(D). Với mỗi n = 1, 2, ... đặt
An = z cn :
V× z  D : d(z, D ) 

n 

z

1
n

z D : d(z, D )

là tập đóng vµ  z  cn :

z

1
n

.

 n  lµ tËp compact


nên An là tập compact với mọi n. Hơn nữa An là dÃy tăng và An= D.
n 1

Giả sử K là tập compact trong D. Khi đó d(K, D ) > 0. Do đó tồn tại n
N sao cho K An .
Với mỗi > 0 và V1, V2,..., Vn 

u víi V =

U K i , i

i

n

, đặt K = K .
i

i 1

Khi đó K là tập compact trong D nên tồn tại An sao cho K  An . LÊy m N
0

sao cho m >  mini : i = 1, ..., n . Với mỗi f 
sup
Z  An 0

1
m

f(z) <

U

0

An 0 ,

1
m

ta cã

.

Do ®ã
1 sup



f(z) <

Z An 0

Bất dẳng thức này chứng tỏ

n

,

20

n

f 

i
1

1
m

Vi hay f   

Vi. . V× thÕ

i
1

n

An 0 ,

1
m

 

Vi. .

i
1

: n, m  N *  còng là một cơ sở lân cận tại 0 đối

với tôpô trên H(D) đợc sinh ra bởi
mêtric hoá đợc.

< min i : i = 1, ..., n .

n

1

U

Tõ ®ã suy ra họ V = U A

1
m

u.

Rõ ràng V là đếm đợc. Vậy H(D) là