Giáo án dạy thêm Toán 9 (2020-2021)

Giáo án dạy thêm Toán 9

Năm học 20202021



LUYỆN TẬP
CĂN THỨC BẬC HAI VÀ HẰNG ĐẲNG THỨC
A./ KIẾN THỨC CƠ BẢN:
1. Căn bậc hai
- Định nghĩa: Căn bậc hai của số thực a là số x sao cho x2 = a
- Chú ý:
+ Mỗi số thực a > 0, có 2 căn bậc hai là 2 số đối nhau số dương
+ Số 0 có căn bậc hai là chính nó:

A2  A

a , số âm  a

0 0

+ Số thực a < 0 không có căn bậc hai (tức a không có nghĩa khi a < 0)
2. Căn bậc hai số học
- Định nghĩa: Với a �0 thì số x  a được gọi là căn bậc hai số học của a. Số 0 cũng
được gọi là căn bậc hai số học của 0
- Chú ý: Việc tìm căn bậc hai số học của 1 số không âm được gọi là phép khai phương
- Định lý: Với a, b > 0, ta có:
+ Nếu a < b � a  b
+ Nếu a  b � a < b
3. Căn thức bậc hai
- Cho A là 1 biểu thức thì biểu thức A được gọi là căn thức bậc hai của A ; A được gọi

là biểu thức lấy căn hay biểu thức dưới dấu căn
- A có nghĩa (hay xác định hay tồn tại) ۳ A 0
4. Hằng đẳng thức

A2  A

- Định lý : Với mọi số thực a, ta có :

a2  a

- Tổng quát : Với A là biểu thức, ta có :

�A nêu A �0
A2  A  �
-A nêu A<0
�

B./ BÀI TẬP ÁP DỤNG
Dạng 1 : Tìm căn bậc hai, căn bậc hai số học
* Phương pháp :
- Viết số đã cho dưới dạng bình phương của một số
- Tìm căn bậc hai số học của số đã cho
- Xác định căn bậc hai của số đã cho
Bài 1 : Tìm căn bậc hai của các số sau : 121 ; 144 ; 324 ;

1
; 3 2 2
64

G

+ Ta có CBHSH của 121 là : 121  112  11 nên CBH của 121 là 11 và -11
+ CBHSH của 144 là : 144  122  12 nên CBH của 121 là 12 và -12
+ CBHSH của 324 là : 324  182  18 nên CBH của 324 là 18 và -18
Page 1


Giáo án dạy thêm Toán 9

Năm học 20202021



+ CBHSH của

1
là :
64

2
1
1
1
1
�1 � 1
là và 
 � �  nên CBH của
64
8
8
64

�8 � 8

+ Ta có : 3  2 2  2  2 2  1 





2

2  1  2  1(vi

2  1  0) nên CBH của 3  2 2 là

2 1

và  2  1
Dạng 2 : So sánh các căn bậc hai số học
* Phương pháp :
- Xác định bình phương của hai số
- So sánh các bình phương của hai số
- So sánh giá trị các CBHSH của các bình phương của hai số
Bài 2 : So sánh
a) 2 và 3
b) 7 và 47
c) 2 33 và 10
d) 1 và 3  1

e) 3 và 5- 8

g)

2  11 và

3 5

G
a) Vì 4 > 3 nên

4  3� 2  3
49  47 � 7  47

b) Vì 49 > 47 nên

c) Vì 33 > 25 nên 33  25 � 33  5 � 2 33  10
d) Vì 4 > 3 nên

4  3 � 2  3 � 2 1  3 1 �1  3 1

e) * Cách 1: Ta có:

3  2�
�
�� 3  8  5 � 3  5  8
8  3�

* Cách 2: Giả sử 3  5  8 � 3  8  5 �



3 8



2

 52 � 3  2 24  8  25

� 2 24  14 � 24  7 � 24  49

Bất đẳng thức cuối cùng đúng do đó bất đẳng thức đầu tiên đúng
g) Ta có:

2  3�
�
�� 2  11  3  5
11  5 �

Dạng 3: Tìm điều kiện để căn thức xác định:
Bài 3: Tìm điều kiện của x để các biểu thức sau xác định
a)

2
1
x
3
5

b) x 2  2

c)

A xác định ۳ A 0

1 x
2x  3

d ) 3x  5 

G
Để các căn thức trên có nghĩa thì
a)

2
1
x �۳۳0
3
5

2
x
3

1
5

x

3
10

b) Ta có: x 2  2  0, x � x 2  2 xác định với mọi x
c)

1  x �0
1  x �0
�
�
1 x
�0 � �
hoặc �
2x  3
�2 x  3  0
�2 x  3  0
Page 2

2
x4


Giáo án dạy thêm Toán 9

Năm học 20202021



�x �1
1  x �0
�
3

�
�
+ Với �
� 3 �x
2x  3  0
2
x
�
�
� 2
�x �1
1  x �0
�
�
�� 3

+ Với �
x
�2 x  3  0
�
� 2

x

Vậy căn thức xác định nếu x 

3
hoặc x �1
2

1

3 x  5 �0
�
� 5
3 x  5 �0
�
�
�x �
��
�� 3� x4
d) � 2
�0
�x  4  0
�
�
�x  4
�x  4

Dạng 4 : Rút gọn biểu thức
Bài 4: Rút gọn các biểu thức sau:
a) A  4  2 3  4  2 3

c) C  9 x 2  2 x ( x  0)

b) B  6  2 5  6  2 5

d) D  x  4  16  8 x  x 2 ( x  4)
LG



a) Cách 1 : A 
Cách 2 :





2

3 1 



3 1

2

 3  1 3 1  2 3

A2  4  2 3  4  2 3  2 (4  2 3).(4  2 3)  8  2 16  12  8  2.2  12
� A2 3

b) B 



c) C 

 3x 



2

5 1 
2





5 1

2

 5 1 5 1  2 5

 2 x  3x  2 x  3x  2 x  5 x (vi x  0)

d) D  x  4  16  8 x  x 2  x  4  (4  x) 2  x  4  4  x  x  4  x  4  2( x  4) (vi x  4)
Dạng 5 : Tìm Min, Max
Bài 5 : Tìm Min
a) y  x 2  2 x  5

b) y 

x2 x
 1

4 6

G
a) Ta có : x 2  2 x  5  ( x  1) 2  4 �4 � x 2  2 x  5 � 4  2
Vậy Miny = 2. dấu ‘‘ = ’’ xảy ra khi và chỉ khi x – 1 = 0 => x = 1
2

x2 x
�x 1 � 35 35
  1  �  �
� �y
b) Ta có :
4 6
�2 6 � 36 36

vậy Miny =

x2 x
35
35
 1 �

4 6
36
6

x 1
x 1
1
35

. Dấu « = » xảy ra khi và chỉ khi   0 �  � x 
2 6
2 6
3
6

Page 3


Giáo án dạy thêm Toán 9

Năm học 20202021



LUYỆN TẬP
HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ ĐƯỜNG CAO TRONG TAM GIÁC VUÔNG
A./ KIẾN THỨC CƠ BẢN
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH sao cho ta có :
AH  h, BC  a, AB  c, AC  b, BH  c ' , CH  b ' khi đó :
1) b 2  a.b' ;

c 2  a.c '

A

2) h  b .c
3) b.c  a.h
1
1 1

4) 2  2  2
h
b c
2
5) a  b 2  c 2 ( Pitago)
2

'

'

b
c

B

h

c'

b'
C

H
a

B./ BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1 : Tìm x, y trong các hình vẽ sau
a)

+ Ta có :
BC  AB 2  AC 2 ( Pitago)

A

4

x

B

� BC  42  6 2  52 �7, 21

6

+ Áp dụng định lý 1 :

y
C

H

42

52.x

x

2, 22

AC 2  BC
�.CH

62

52. y

y

4,99

Hay y = BC – x = 7,21 – 2,22 = 4,99
- Xét tam giác ABC vuông tại A. áp dụng định
lý 1 ta có :

b)
A

AC 2  BC.CH � 122  18. y � y  8
� x  BC  y  18  8  10

12

x

B

AB 2 BC
�.BH

y
C

H
18

c)

* Cách 1 :
AH2 = BH.CH = 4.9 = 36 => AH = 6
Theo Pitago cho các tam giác vuông AHB;
AHC ta có:

A

y

x

x  BH 2  AH 2  42  62  52
B

4

9
H

C

y  CH 2  AH 2  62  92  117

* Cách 2: Áp dụng định lý 1 ta có:

Page 4


Giáo án dạy thêm Toán 9

Năm học 20202021



AB 2  BC.BH  ( BH  CH ).BH  (4  9).4  52
� AB  52 � x  52
AC 2  BC.CH  ( BH  CH ).CH  (4  9).9  117
� AC  117 � y  117

d)

Áp dụng định lý 2, ta có:
AH 2  BH .CH � x 2  3.7  21 � x  21

A

Áp dụng định lý 1. ta có :
AC 2  BC.CH  ( BH  CH ).CH

y
x

� y 2  (3  7).7  70 � y  70
3

B

7
C

H

e)

( y  x 2  CH 2  21  49  70)

Theo Pitago, ta có :
BC  AB 2  AC 2 � y  132  17 2  458

A

Áp dụng định lý 3, ta có :
13

AB. AC  BC. AH

17

x

� 13.17  458.x � x 
B

221
�10,33
458

C

H
y

g)

Áp dụng định lý 2, ta có :
A

AH 2  BH .CH � 52  4.x � x 

Theo Pitago cho tam giác AHC vuông tại H, ta
có :

y
5

B

y  AH 2  CH 2  52  6, 252 �8

x

4

52
 6, 25
4

H



C

 ( DL
1: y 2 BC.x

(4 6, 25).6, 25

y 8)

Bài 2 : Cho ABC vuông tại A, có các cạnh góc vuông AB = 15cm, AC = 20cm. Từ C kẻ
đường vuông góc với cạnh huyền, đường này cắt đường thẳng AB tại D. Tính AD và CD
D

�  900 , CA  BD . Theo định lý
BCD, C
2
2
có : CA  AB. AD � 20  15. AD � AD 

x

3, ta
80
3

Theo Pitago trong tgiác ACD vuông tại A, ta
y
A
15
B

2

80 �
100
2
có : CD  AD  CA  �
� � 20 
3
�3 �
2

20

2

C

Bài 3: Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 60cm, AD = 32cm. Từ D kẻ đường thẳng vuông
góc với đường chéo AC, đường thẳng này cắt AC tại E và AB tại F. Tính độ dài EA, EC, ED,
FB, FD

Page 5


Giáo án dạy thêm Toán 9

Năm học 20202021



LG
Xét tam giác ADC vuông tại D, ta có: AC  AD 2  CD 2  322  602  68
AD 2 322 256


Theo định lý 1: AD  AC. AE � AE 
AC
68
17
2

F

A

60

B

Theo định lý 1, ta có:
CD 2  AC.CE � CE 

E
32

CD 2 602 900


AC
68
17

Theo định lý 2, ta có:

480
17
2
AD
544
 ... 
Xét tam giác DAF, theo định lý 1: AD 2  DF .DE � DF 
DE
15
256
256 644
� FB  AB  AF  60 

Theo Pitago: AF  DF 2  AD 2  .... 
15
15
15

C

D

DE  AE.EC  ... 

Bài 4: Cho hình vuông ABCD. Gọi E là một điểm nằm giữa A, B. Tia DE và tia CB cắt nhau
ở F. Kẻ đường thẳng qua D vuông góc với DE, cắt đường thẳng BC tại G. Chứng minh rằng:
a) Tam giác DEG cân
b) Tổng

1
1

không đổi khi E chuyển động trên AB
2
DE
DF 2
� D
� (cùng phụ với D
� )
F
a) Ta có: D
1
3
2

xét ADE và CDG ta có :
A

1
D

E

2
3

AD  DC ( gt )

B

�
�
�D1  �D3  cmt  �� ADE  CDG  g .c.g 
�
�A  �C  900 �
� DE  DG � DEG cân tại D

C

b) vì DE = DG �

G

xét tam giác DGF vuông tại D, ta có :

1
1


2
DE
DG 2
1
1
1
1



ta có :
2
2
2
DE
DF
DG
DF 2
1
1
1


(định lý 4)
2
2
CD
DG
DF 2
1

Vì
không đổi khi E chuyển động trên AB, suy
CD 2

ra tổng

1
1
1
1



không đổi khi E
2
2
2
DE
DF
DG
DF 2

thay đổi trên AB

LUYỆN TẬP
CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI CĂN THỨC BẬC HAI
Page 6


Giáo án dạy thêm Toán 9

Năm học 20202021



A./ KIẾN THỨC CƠ BẢN :
1. Khai phương một tích. Nhân các căn bậc hai
a) Định lý : a; b �0, ta có: a.b = a. b
b) Quy tắc khai phương một tích : Muốn khai phương một tích các số không âm, ta có
thể khai phương từng thừa số rồi nhân các kết quả với nhau ( a; b �0, ta có: a.b = a. b )
c) Quy tắc nhân các căn bậc hai : Muốn nhân các CBH của các số không âm, ta có thể
nhân các số dưới dấu căn với nhau rồi khai phương kết quả đó ( a; b �0: a. b = a.b )
d) Chú ý :
- Với A > 0 ta có :

 A

2

 A2  A

- Nếu A, B là các biểu thức : A; B �0 ta có: A.B  A . B
- Mở rộng :

A.B.C  A. B . C ( A, B, C �0)

2. Khai phương một thương. Chia các căn bậc hai
a) Định lý : a �0, b  0 ta có:

a

a
=
.
b
b
a
, trong đó số a
b

b) Quy tắc khai phương một thương : Muốn khai phương một thương

không âm và số b dương, ta có thể lần lượt khai phương số a và số b, rồi lấy kết quả thứ nhất
a
a
=
.)
b
b

chia cho kết quả thứ hai ( a �0, b  0 ta có:

c) Quy tắc chia hai CBH : Muốn chia CBH của số a không âm cho số b dương, ta có
a
a
=
)
b
b

thể chia số a cho số b rồi khai phương kết quả đó ( a �0, b  0 :

d) Chú ý : Nếu A, B là biểu thức : A �0, B  0 :

A
A
=
B
B

3. Đưa thừa số ra ngoài, vào trong dấu căn
�
�A B ( A �0; B �0)
A2 B  A B  �
 A B ( A  0; B �0)
�

 A �0; B �0 : A B  A2 B
 A  0; B �0 : A B   A2 B

4. Khử mẫu của biểu thức lấy căn : A.B �0; B �0 :

A

B

A.B
B

5. Trục căn thức ở mẫu
a) B  0 :

A
A B

B
B

c) A, B �0; A �B :

C
C

A� B

b) A �0; A �B 2 :



Am B





C A mB
C

A  B2
A �B

A B

B./ BÀI TẬP ÁP DỤNG :
Dạng 1 : Tính
Page 7




Giáo án dạy thêm Toán 9

Năm học 20202021



Bài 1 : Thực hiện phép tính
2

2

2

24 1
49 81 1
63
�7 � �9 � �1 � 7 9 1
a ) 1 .5 .0, 01 
. .
 � �. � �. � �  . . 
25 16
25 16 100

10 � 5 4 10 200
�5 � �4 � �
b) 2, 25.1, 46  2, 25.0,02  2, 25(1, 46  0, 02)  2, 25.1, 44  (1,5.1, 2) 2  1,5.1, 2  1,8
25 169
(5.13) 2 5.13 13
.



10 10
10 2
10
2

c) 2,5.16,9 

d ) 117,52  26,52  1440  (117,5  26,5).(117,5  26,5)  1440  144.91  144.10
 144(91  10)  144.81  (12.9) 2  108

Dạng 2 : Rút gọn các biểu thức
Bài 2 : Tính giá trị các biểu thức
a ) A  0,1  0,9  6, 4  0, 4  44,1 


1
9
64
4
441





10
10
10
10
10

1
3
8
2
2
35 35 10 7 10







10
2
10
10
10
10
10
10

b) B 



c) C 








2 3 7
2 3 7
6  14
2



2
2 3  28
2 32 7
2( 3  7)





 




3 5 4 3  3 5 4 3
3 5 3 5


4 3 4 3
4 3 4 3







12  3 3  4 5  15  12  3 3  4 5  15 24  2 15

16  3
13

Bài 3 : Rút gọn các biểu thức
a) 9  x  5 

2

b)

x2 . x  2

c)

108 x 3
12 x

d)

 x �5 
2

 x  0

 x  0

13 x 4 y 6
208 x 6 y 6

 3 x  5  3  x  5



 x . x  2  x  2  x   x  x  2

108 x 3
 9 x 2  3 x  3x
12 x

 x  0; y �0 



13 x 4 y 6
1
1
1
1




6 6
2
208 x y
16 x
4 x 4 x 4 x

Dạng 3 : Chứng minh
Bài 4 : Chứng minh các biểu thức sau
a)

6  35 . 6  35  1

VT 

b)

(6  35).(6  35)  36  35  1  VP

9  17 . 9  17  8

VT 

(9  17 ).(9  17 )  81  17  64  8  VP

Page 8


Giáo án dạy thêm Toán 9

c)





Năm học 20202021


2

2 1  9  8

d)



 



2

4 3



2

 49  48

VT  4  2 12  3  7  2 22.3  7  4 3 �
�
�� VT  VP
VP  7  42.3  7  4 3
�
�

VT  2  2 2  1  3  2 2 �
�
�� VT  VP
VP  3  22.2  3  2 2 �
e) 2 2 2  3 3  1  2 2



6 6 9

VT  4 2  6 6  1  4 2  8  6 6  9  VP

g ) 8  2 15  8  2 15  2 3

 5  2.

VT 

  5  2. 5. 3  3   5  3   
3   5  3  5  3  2 3  VP
2

5. 3  3 



 5 3

5

5 3



2

Dạng 4: Đưa nhân tử ra ngoài, vào trong dấu căn
Bài 5: Đưa nhân tử ra ngoài dấu căn
a ) 125 x  x  0 

 4y 

2 2



b) 80 y 4



c) 5 1  2



2



d ) 27 2  5
e)

g)

 3

2
10





5 1 3

 5x 



.5 x  5 x 5 x

.5  4 y 2 5

 1 2 . 5 



2



2

2



2

4







2 1

 2  5 . 3.32 
2
3  10



5 1 3
2



2

10  3



5




2



10  3



10  3 .



2 0

2

5  2 .3. 3

3 1
2

1

5



10  3

1



5 0
2



30






10  3

10  9





Bài 6: Đưa thừa số vào trong dấu căn và so sánh
a) 3 5 và 5 3
3 5  32.5  45 �
�
�do 75  45 � 75  45 � 5 3  3 5
5 3  52.3  75 �
�

b) 4 3 và 3 5

4 3  42.3  48 �
�
�do 48  45 � 48  45 � 4 3  3 5
2
3 5  3 .5  45 �
�

c) 7 2 và 72
Ta có: 7 2  7 2.2  98 do 98  72 � 98  72 � 7 2  72
d) 5 7 và 4 8
Bài 7: Đưa nhân tử vào trong dấu căn và rút gọn
Page 9

2



10  3




Giáo án dạy thêm Toán 9

Năm học 20202021



2a  a  2 

2

a)  2  a 

2a
 a  2
a2

b)  x  5 

x
 0  x  5  
25  x 2

c)  a  b 

3a  a  b 
3a
0  a  b  

2
2 
b a
b2  a 2



a2

  2a  a  2 

x  5  x

2

 5  x  . 5  x 



 2  a  0

x  5  x
3a  b  a 

2

 x  5  0

 5  x

2

 b  a  . b  a 



3a  b  a 

 b  a

Dạng 5: Thực hiện phép tính và rút gọn biểu thức
Bài 8: Thực hiện phép tính
a ) 125  4 45  3 20  80  ...  5 5  12 5  6 5  4 5  5 5
b) 2

27
48 2 75
3
4
2 5
7


 ...  2.
3
3 .
3  ... 
3
4
9 5 16
2
3
5 4
6

c) 2

9
49
25

3 1
1 5 1
7 1
7 2


 ...  2. .
 7.
 .
 ... 
.

8
2
18
2 2
3
6
2 3 2
2
1
 4 27 
5

d ) 5 20  3 12  15

52  4 2  5.2 5  3.2 3  15.

 10 5  6 3  3 5  12 3 

 5  4 . 5  4

9  13 5  18 3  3  13 5  17 3

 2  3

e) 7  4 3  28  10 3 

1
5  4.3 3 
5

2



 5 3

2

 2 3 5 3  7

Bài 9: Rút gọn biểu thức với giả thiết các biểu thức chữ đều có nghĩa
a)

x xy y



b)

c)

x y



 x  0; y  0 

 xy



x  y . x  xy  y
x y

a  ab
b  ab

x

 a; b �0 



yy x .

x



y



xy  x  xy  y  xy  x  2 xy  y 


b
a


a

a b
b



xy .



x



x

y .



y

xy



 x  2  2  x  2 .







2





a
b





x

y .

x

d ) A  x  2 2  x  2  x  2 2  x  2  x  2

x2  2

x y

 x  0; y  0 

xy






22



y  x y

 x  2 .

 x  2  2  x  2 .

x2  2



2

 x2  2

2  x2

 x  2 .

22
x2  2

- Nếu

x �
2 ��
2  x 2 2

- Nếu

x2  2 � x2 2� x  4 � A x2  2  x2  2  2 2

x

2

4 � A x2  2  x2  2  2 x2

Page 10

2


Giáo án dạy thêm Toán 9

Năm học 20202021



Dạng 6: Trục căn thức ở mẫu
Bài 10: Trục căn thức ở mẫu









12. 3  3
12. 3  3
12


 2. 3  3
93
3 3

3 3 . 3 3

a)





8.

b)

8

52

c)

14

10  3







14.





5 2

52 .



5 2





8.








5 2
54

10  3

10  3 .





10  3



2  . 2
2  . 2







  8.

14.





52

10  3

10  3




  2.



10  3






7 3  5 11 . 8 3  7 11 168  49 33  40 33  385 9 33  217
7 3  5 11



d)
192  539
337
8 3  7 11
8 3  7 11 . 8 3  7 11




3 5 2
3 5 2 2

2 5 3 2
2 5 3

e)

  30  9
2

5 3 2
5 3

10  4 10  12 18  5 10

20  18
2

Bài 11: Trục căn thức ở mẫu và thực hiện phép tính
a)

5
4  11





1

6
7 5


2
3 7
7 2

5. 4  11





3 7



6.





7 2



7 5
2



 4  11 .  4  11   3  7  .  3  7   7  2  .  7  2 
5.  4  11  3  7 6.  7  2 
7  5 5.  4  11  3 







7

16  11



6.



7 2



97
74
2

5
2
3
3 7  7  5
 4  11 
 2 7  2  4  11  4  7  2 7  4  4  11  3 7
2










4
3
2
3 1



6
5 2
5 2
3 2

b)

4


4
8



5 2





5
5 2





2.



3 2





5  2  18.

54





3 4

5  2  12.

6
26 5  8 2  13 3  59

6





6

3  2  3 1

3



3 1
6



  5  2   5  2 . 5  2  3  2 . 3  2
2  3  . 5  2  2.  3  2 
3 1 4  5  2 




 3.

5 2 .





3 . 5 2



7 5
2





5  2  2.





32 

3 1
6

8 5  8 2  18 5  36  12 3  24  3  1
6

Dạng 7 : Giải phương trình
Bài 12 : Giải các phương trình sau
Page 11


Giáo án dạy thêm Toán 9

Năm học 20202021



a) 2 2 x  5 8 x  7 18 x  28

 1 � 2

 1

dk : x �0

2 x  5.2. 2 x  7.3. 2 x  28 � 13 2 x  28 � 2 x 

28
784
392
� 2x 
� x
 tm 
13
169
169

1
9 x  45  4  2 
3
1
4( x 5)�۳ x 5
9( x 5) 4
dk : x 5 0
x 5
 2  �
3
1
� 2 x  5  x  5  .3 x  5  4 � 2 x  5  4 � x  5  2 � x  5  4 � x  9  tm 
3

b)

c)

4 x  20  x  5 

3x  2
3
x 1

Ta có (3) �
d)

�
� 2
�x �
�
�
3 x  2 �0
�
� 3
�
�
�
� 2
�
x�
�
3x  2
�x  1  0

�x  1 �
�
�0 �
��
�
3
(3) đk :
�
�
x 1
3 x  2 �0
2
�
�
�
x  1
�
�x �
�
�
�
3
x

1

0
�
�
�

�
�
�
�x  1
�

3x  2
11
 9 � ... � 6 x  11 � x 
x 1
6

� 4
5 x  4 �0
�
�x �
5x  4
�۳� 5
 2 (4) đk : �
x2
�x  2  0
�
�x  2

thỏa mãn
x

4
5

(4) � 5 x  4  2 x  2 � 5 x  4  4  x  2  � ..... � x  12 thỏa mãn
Bài tập : (bất đẳng thức Cauchy) : Cho 2 số a và b không âm. Chứng minh rằng
Dấu đẳng thức xảy ra khi nào ?
LG
* Cách 1 :
+ vì a �0; b �0 � a ; b xác định
+ ta có :





2

a ��
b 0��a�۳
2 ab b 0

a b

2 ab

ab
2

ab

+ dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b
* Cách 2 : ta có

 a  b

2

�0 � a 2  2ab  b 2 �0 � a 2  b 2 �2ab � a 2  2ab  b 2 �4ab

� ��
a b
 �۳4ab
2

a b

2 ab

ab
2

ab

LUYỆN TẬP
TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC NHỌN
Page 12

ab
� ab .
2


Giáo án dạy thêm Toán 9

Năm học 20202021



A. KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. Định nghĩa : Cho �ABC   (00    900 ) ta định nghĩa các tỉ số giữa các cạnh AB, BC,
CA của tam giác ABC vuông tại A như sau :
AC
;
BC
AC
tg 
;
AB
Đối

AB
BC
AB
cot g Huyền
AC

sin  

C

cos  





A

B

Kề

* Nhận xét : từ định nghĩa ta thấy :

+ tỉ số lượng giác của 1 góc nhọn luôn dương
+ cot g 

+ 0 < sin, cos < 1

1
; tg .cot g  1
tg

2. Tỉ số lượng giác của 2 góc phụ nhau
- Định lý : nếu 2 góc phụ nhau thì sin góc này bằng cosin góc kia, tg góc này bằng cotg góc
sin   cos  ;
�
tg  cot g  ;
�

cos   sin 
cot g  tg 

kia. Tức : nếu     900 thì ta có : �

- Chú ý : Nếu 00    900 thì :
+ sin và tg đồng biến với góc 
+ cosin và cotg nghịch biến với góc 
3. Các hệ thức cơ bản
sin
;
cos
cos
 2  cotg  ;
sin

 1

 3

tg .cot g  1;

 4

sin 2  cos 2  1

tg 

B. Bài tập áp dụng
Bài 1 : Cho biết sin = 0,6. Tính cos, tg và cotg
+ Ta có: sin 2   cos2   1 � cos   1  sin 2   1  0, 62  0,8
+ tg 

sin  0, 6 3

 ;
cos  0,8 4

cotg 

cos  0,8 4


sin  0, 6 3

Bài 2:
1. Chứng minh rằng:
a) tg 2  1 

1
1
; b) cotg 2  1 
; c) cos 4   sin 4   2cos 2   1
2
2
cos 
sin 

2. Áp dụng: tính sin, cos  , cotg  , biết tg  = 2
1. a) Ta có: tg 
� tg 2  1 

sin 

sin 2 
sin 2 
2
� tg 2 
�
tg


1

1
cos 
cos 2 
cos 2 

sin 2   cos 2 
1

2
cos 
cos 2 
Page 13


Giáo án dạy thêm Toán 9

Năm học 20202021



b) VT  cot g 2  1 

cos2 
cos 2   sin 2 
1

1


 VP
2
2
sin 
sin 
sin 2 

4
4
2
2
2
2
2
2
c) VT  cos   sin    cos   sin   .  cos   sin    cos   sin 





 cos 2   1  cos 2   cos 2   1  cos 2   2 cos 2   1  VP

2. Ta có: tg  2 nên  a  � 22  1 

1
1
1
� cos 2   � cos 
;
2
cos 
5
5

1
 tg  2 � cotg  ;
2
2

1
1
5
4
2 5
�1 �
  b  � � � 1 
� 2  � sin 2   � sin 
2
sin 
sin  4

5
5
�2 �

Bài 3: Biết tg = 4/3. Tính sin, cos, cotg
LG
+ ta có: tg = 4/3 nên cotg = ¾
+ mà tg 2  1 

1
9
3
� cos 2  
� cos   ;
2
cos 
25
5
2

3� 4
+ mặt khác: sin   cos   1 � sin   1  co s   1  �
� �
�5 � 5
Bài 4: Dựng góc  trong các trường hợp sau:
2

1
a ) sin   ;
2

2

2

2
b) cos   ;
3

c) tg  3;

d ) cot g  4

LG
a)* Cách dựng
- dựng góc xOy = 900 . Lấy đoạn thẳng làm
đơn vị
- trên Oy lấy điểm B sao cho OB = 1
- vẽ cung tròn tâm B, bán kính bằng 2, cung
này cắt Ox tại A
- nối A với B � �BAO   cần dựng
* Chứng minh:
- ta có: sin   sin �BAO 

y

B
1

2


A

O

OB 1

đpcm
AB 2

Bài 5: Cho tam giác ABC có AB = 5; BC = 12; AC = 13
a) CMR tam giác ABC vuông
b) Tìm tỉ số lượng giác của góc A và góc C
LG
2
2
2
2
2
a) Ta có: AB  BC  12  5  169  13  AC 2 � AB 2  BC 2  AC 2
theo định lý Pytago đảo, suy ra tam giác ABC vuông tại B

BÀI TẬP
TỔNG HỢP VỀ CĂN BẬC HAI
Page 14

x


Giáo án dạy thêm Toán 9

Năm học 20202021



Bài 1: Tính



a) 3  2 2  6  4 2 



5  3  29  12 5 

b)


5  62 5 

 2 2

2

2 1 



5

2

5  3



5 1

2



2





 2 1 2  2  2 2 1

5 3



2



5  3 2 5  3

5  5 1  1

c ) 6  2 5  29  12 5  6  2 5  2 5  3  9  3
d ) 2  5  13  48  2  5  13  4 3  2  5 
 2 42 3  2





3 1

2

2



3 1

2

 2  5  2 3 1

 2  3 1  1  3

Bài 2: Thực hiện phép tính, rút gọn kết quả
a) 2 20  45  3 18  3 32  50  4 5  3 5  9 2  12 2  5 2  5  16 2
b) 32  0,5  2
c)

1
1
1
2
1
17
10

 48  4 2 
2
3
2  4 3  ... 
2
3
3
8
2
3
4
4
3

1
1
 4,5  12,5  0,5 200  242  6 1  24,5
2
8
1
3

5
3
7
13

2
2
2  5 2  11 2  6.
2
2
2
2
2
2
4
2
2

�3
�
2
3 �� 2
d) �
6

2

4
.
3


12

6
�
�
�
�2
�
�
3
2�
�
�� 3
�
2
1
�3
�
� 6 
6 2 6�
. 6 2 3 6 
6. 2 3   3
3
6
�2
�









Bài 3: Chứng minh đẳng thức
a)

a b
a b
2b
2 b



2 a 2 b 2 a 2 b ba
a b

Biến đổi vế trái ta được:
a b
a b
2b
a b
a b






2 a 2 b 2 a 2 b ba 2 a  b
2 a b

VT 





a b
2





2

a b

4 b
2

 



a b



a b

a b







2

a b



a b





 4b





 

 

a  2 ab  b  a  2 ab  b  4b
2



a b



2b

a b





a b .


2

2 b
 VP
a b

�2 3  6

216 � 1
3
b) �
.

� 8 2  3 �
�
2
�
� 6
Page 15



a b



4 ab  4b
a b



a b




Giáo án dạy thêm Toán 9

Năm học 20202021



Biến đổi vế trái ta được:





�
�
�2 3  6
216 � 1 � 6 2  1 6 6 � 1
VT  �
.


.
� 82  3 �
�
3 � 6
2 2 1
�
� 6 �
�
�
�6
�1
3

1
3
�
.

6.

 VP
�2  2 6 �
�
2
2
6
�
� 6



Bài 4: Cho biểu thức A  

a b



2



 4 ab

a b



a b b a
ab

a) Tìm điều kiện để A có nghĩa
b) Chửng tỏ rằng giá trị của biểu thức A không phụ thuộc vào a
LG
a) ĐKXĐ : a > 0; b > 0; a khác b
b) Ta có:


A


a b



2

 4 ab



a b

a  2 ab  b


a b



ab
a b  b a a  2 ab  b  4 ab


ab
a b



a b 



a b



a b



a b



ab

2







a  b  a  b  a  b  2 b

�2 x  x
1 � x 1

:
�
�
x
x

1
x

1
�
�x  x 1

Bài 5: Cho biểu thức B  �
�

a) Tìm đk xác định
b) Rút gọn biểu thức B

LG
a) ĐKXĐ: x �0; x �1
b) Ta có:
�
�
�2 x  x
1 � x 1
2 xx
1 � x 1
�
B�
:
�x x  1  x  1 �
�: x  x  1  � x  1 x  x  1  x  1 �
x  x 1
�
�
�
�





2 x  x  x  x 1 x  x  1
.


x 1
x 1 x  x  1











x 1 1
1
.

x 1 x 1 x 1

� x  3 x �� x  3

x 2

9 x

�

1
:



Bài 6: Cho biểu thức C  �
��
�
�
��
�
� x  9 ��2  x 3  x x  x  6 �

a) Tìm ĐK để C có nghĩa
b) Rút gọn C

c) Tìm x để C = 4
LG

a) ĐKXĐ: x �0; x �4; x �9
b) Ta có:

Page 16


Giáo án dạy thêm Toán 9

Năm học 20202021



� x  3 x �� x  3
x 2
9 x �

C �
1
:


��
�
�
��
�
� x  9 ��2  x 3  x x  x  6 �
�
�
1
�
�
�
�
1
�
�




x 3







x 2









3
.
x 3





��
�
3 x
x 2
9 x
��
�
:



��
x 2
x 3
x 3
x 3
x 2
x 3 �
��
�
2
2
�
��
x ��3  x 3  x  x  2  9  x � x  3  x 9  x  x  2  9  x
:
:
�
x 3
x  3 ��
x 2
x 3
x 2
x 3
�
�
��
�
x





x 3

x 2



2

 























3
x 2

3
3
11
121
 4 � x 2  � x  � x 
4
4
16
x 2

c) C = 4 �

� x
x  9 ��3 x  1 1 �

:

��
�
��
9


x
3

x
x

3
x
x�
�
��
�

Bài 7: Cho biểu thức D  �
�
a) Tìm ĐKXĐ
c) Tìm x sao cho D < -1

b) Rút gọn
LG

a) ĐKXĐ : x > 0; x khác 9
b) Ta có:
�
��
�
� x
x  9 ��3 x  1 1 � � x
x 9

3 x 1
1 �
��
D�
:


:

�
�3  x  9  x ��
��
x�
3 x
x�
3  x 3  x �� x x  3
�
��x  3 x
��
�
��
�























x 3  x  x  9 3 x 1 x  3
2 x 2
3 x 9
:

:
3 x 3 x
x x 3
3 x 3 x
x x 3
3





x 3





.

x

 3 x   3 x  2

c) D  1 �





x 3
x 2

















3 x
2 x 4

3 x
 1 � 3 x  2 x  4 �
2 x 4

x  4 � x  16

2

x 40

Bài 8. Giải các PT sau:
1) x 2  4 x  4  3 ;
x  x;
x 2  12  2 ;
x2  6 x  9  3 ;
2)
x 2  2 x  1  x  1 ; x 2  10 x  25  x  3 .
3) x  5  5  x  1 ( Xét ĐK  � pt vô nghiệm);
�A �0( B �0)

A B��
).
�A  B
�A  0
5) x 2  9  x 2  6 x  9  0 (áp dụng: A  B  0 � �
).
�B  0

4)



x 2  2 x  1  x  1 ( áp dụng:

6) x 2  4  x 2  4  0 ( ĐK, chuyển vế, bình phương 2 vế).
Page 17






Giáo án dạy thêm Toán 9

Năm học 20202021



7) x 2  4 x  5  x 2  4 x  8  x 2  4 x  9  0
8) 9 x 2  6 x  2  45 x 2  30 x  9  6 x  9 x 2  8

Biến đổi thành

(3 x  1) 2  1  5(3 x  1) 2  4  9  (3 x  1) 2 (VT �3; VP �3 � x = 1/3) .

9) 2 x 2  4 x  3  3x 2  6 x  7  2  x 2  2 x (đánh giá tương tự).
10) x 2  4 x  5  9 y 2  6 y  1  1 (x =2; y=1/3);
11) 6 y  y 2  5  x 2  6 x  10  1 (x=3; y=3).
�x x  1 x x  1 �� 3  x �

: 1
��
�
��
x

x
x

x
x 1 �
�
��
�

Bài 9. Cho biểu thức: A  �
�

kq:

x 1

x 1

1) Tìm ĐK XĐ của biểu thức A.
2) Rút gọn A.
3) Tính giá trị của biểu thức A khi x 

1
62 5

4) Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức A nhận giá trị nguyên.
5) Tìm giá trị của x để giá trị biểu thức A bằng -3.
6) Tìm giá trị của x để giá trị biểu thức A nhỏ hơn -1.
7) Tìm giá trị của x để giá trị biểu thức A lớn hơn

2
x 1

8) Tìm giá trị của x để giá trị biểu thức A - 1 Max
9) So sánh A với  x  1
Bài 10. Cho biểu thức:

� 4 x
1 �x  2 x
B�
1

�:
�
x 1 �
� x 1

� x 1

kq:

x 3
x 2

1) Tìm x để biểu thức B xác định.
2) Rút gọn B.
3) Tính giá trị của biểu thức B khi x = 11  6 2
4) Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức B nhận giá trị nguyên.
5) Tìm giá trị của x để giá trị biểu thức B bằng -2.
6) Tìm giá trị của x để giá trị biểu thức B âm.
7) Tìm giá trị của x để giá trị biểu thức B nhỏ hơn -2.
8) Tìm giá trị của x để giá trị biểu thức B lớn hơn x  1
�
�
�2 x  1
�
x
1  x3
C



x
�
�
Bài 11. Cho biểu thức:
�

�
� x3  1 x  x  1 �
�1  x
�
�
�
�
�

1) Biểu thức C xác định với những giá trị nào của x?
2) Rút gọn C.
3) Tính giá trị của biểu thức C khi x = 8  2 7
4) Tìm giá trị của x để giá trị biểu thức C bằng -3.
1
3

5) Tìm giá trị của x để giá trị biểu thức C lớn hơn  .
6) Tìm giá trị của x để giá trị biểu thức C nhỏ hơn 2 x  3 .
7) Tìm giá trị của x để giá trị biểu thức C nhỏ nhất.
8) So sánh C với 

2
.
x
Page 18

kq: x  1


Giáo án dạy thêm Toán 9

Năm học 20202021



�x  2 x

�� 4  x

x 2

x 3�

:


Bài 12. Cho biểu thức: D  �
�
� x  4  1��
��
x 2�
�
��x  x  6 3  x
�
1) Tìm ĐK XĐ của biểu thức D.
2) Rút gọn D.
3) Tính giá trị của biểu thức D khi x = 13  48 .
4) Tìm giá trị của x để giá trị biểu thức D bằng 1.
5) Tìm giá trị của x để giá trị biểu thức D âm.
6) Tìm giá trị của x để giá trị biểu thức D nhỏ hơn -2 .

7) Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức D nhận giá trị nguyên.
8) Tìm giá trị của x để giá trị biểu thức D lớn nhất.

9) Tìm x để D nhỏ hơn

2
x 3

1
.
x

� a 1

a  1 8 a �� a  a  3

1

�

:

Bài 13. Cho biểu thức: E  �
�
� a  1  a  1  a  1 ��
��
a 1 �
�
�� a  1
�

1) Tìm a để biểu thức E có nghĩa.
2) Rút gọn E.
3) Tính giá trị của biểu thức E khi a = 24  8 5
4) Tìm giá trị của a để giá trị biểu thức E bằng -1.
5) Tìm giá trị của a để giá trị biểu thức E dương.
6) Tìm giá trị của a để giá trị biểu thức E nhỏ hơn a  3 .
7) Tìm giá trị của a để giá trị biểu thức E nhỏ nhất.
8) So sánh E với 1 .
� a 1

Bài 14. Cho biểu thức: F  �
�

kq:

� a 1



�
a 1
1 �
�
4 a�
a

�
�
�
a 1

a�
�
�

kq:

kq:

4a

1) Tìm ĐKXĐ rồi rút gọn biểu thức F.
2) Tính giá trị của biểu thức F khi a =

6
2 6

3) Tìm giá trị của a để giá trị biểu thức F bằng -1.
4) Tìm giá trị của a để giá trị biểu thức E nhỏ hơn a  1 .
5) Tìm giá trị của a để giá trị biểu thức E nhỏ nhất.
6) Tìm giá trị của a để
7) So sánh E với

F F .

1
4

( F  F 2  0 � 0  a  ).

1

.
a
� x 2

x 2

�x 2  2 x  1

Bài 15. Cho biểu thức: M  �
kq:  x  x
� x 1  x  2 x 1 �
� 2
�
�
1) Tìm x để M tồn tại.
2) Rút gọn M.
3) CMR nếu 0 4) Tính giá trị của biểu thức M khi x = 4/25.
4, Tìm giá trị của x để M = -1; M < 0; M >0; M > -2
5) Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức M nhận giá trị nguyên.
6) Tìm giá trị của x để giá trị biểu thức M lớn nhất.
7) Tìm x để M nhỏ hơn -2x ; M lớn hơn 2 x .
Page 19


Giáo án dạy thêm Toán 9

Năm học 20202021



LUYỆN TẬP
HỆ THỨC GIỮA CẠNH VÀ GÓC TRONG TAM GIÁC VUÔNG
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. Các hệ thức

* Định lý: Trong 1 tam giác vuông, mỗi cạnh góc vuông
bằng:
- Cạnh huyền nhân Sin góc đối hoặc Cosin góc kề
- Cạnh góc vuông kia nhân tang góc đối hoặc cotg góc kề
(ABC vuông tại A, BC = a; AB = c; AC = b, ta có:

C

a

b

A

B

c

 1

b  a.sin B  a.cos C
�
�
c  a.sin C  a.cos B

�

 2

b  c.tgB  c.cot gC
�
�
c  b.tgC  b.cot gB
�

2. Áp dụng giải tam giác vuông
* Giải tam giác vuông: là tìm tất cả các yếu tố của một tam giác vuông (các cạnh, các góc)
nếu biết trước 2 yếu tố trong đó có ít nhất 1 yếu tố về cạnh và không kể góc vuông
* Một số trường hợp giải tam giác vuông thường gặp
a) Biết 2 cạnh góc vuông
- Tính cạnh huyền (theo Pi-ta-go)
- Tính một góc nhọn (tg hoặc cotg)
- Tính góc nhọn còn lại (2 góc phụ nhau)
b) Biết cạnh huyền và 1 góc nhọn
- Tính góc nhọn còn lại (2 góc phụ nhau)
- Tính các cạnh góc vuông (hệ thức về cạnh và góc – hệ thức (1))
c) Biết cạnh góc vuông và góc nhọn kề
- Tính góc nhọn còn lại
- Tính cạnh góc vuông còn lại và cạnh huyền
B. BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1: Cho tam giác ABC vuông tại A, biết tgB 
4
3

B

- tgB �л
10

B

4
và BC = 10. Tính AB; AC
3

530 07'

- theo hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông
AB  BC cos B  10.cos 53007 '  6
C

A

AC  BC.sin B  10.sin 530 07 '  8

Bài 2: Cho tam giác ABC cân tại A; AB = AC = 17; BC = 16. Tính đường cao AH và góc A,
góc B của tam giác ABC
�A  �A2
�
� 1
+ tam giác ABC cân, có AH  BC � �
BC
BH  CH 
8
�

2
�

A
12
17

17

+ xét tam giác AHC, vuông tại H
B

C
16

Page 20


Giáo án dạy thêm Toán 9

Năm học 20202021



- ta có: AH  AC 2  CH 2  17 2  82  15
- mặt khác: sin A2 

CH 8
 � �A2  �A1  28004' � �A  2�A2  560 08'
AC 17

+ xét tam giác AHB vuông tại H, ta có:
�B  900  �A1  900  280 04'  61056'

Bài 3: Cho tam giác ABC có AB = 11, �ABC  380 ; �ACB  300 . Gọi N là chân đường vuông
góc kẻ từ A đến BC. Tính AN; AC
- xét tam giác ANB vuông tại N, theo hệ thức về cạnh và
góc trong tam giác vuông ta có:
A
AN  AB.sin B  11.sin 380 �6, 77

11
300

C

380
N

- xét tam giác ANC vuông tại N, theo hệ thức về cạnh và
góc trong tam giác vuông ta có:

B

AN  AC.sin C � AC 

AN
6, 77

�13,54

sin C sin 300

Bài 4: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Biết BH = 9; HC = 16. Tính B, C?
- xét tam giác ABC vuông tại A, theo hệ thức về cạnh
A
và đường cao trong tam giác vuông , ta có:
AH 2  BH .CH  9.16  144 � AH  12

- xét tam giác AHB, vuông tại H, ta có:
tgB 
9

B

H

16

AH 12
 � �B  5307 '
BH
9

C

- mà �B  �C  900 � �C  36053'
Bài 5: Cho tam giác ABC có �B  600 , các hình chiếu vuông góc của AB và AC lên BC theo
thứ tự bằng 12 và 18. Tính các góc và đường cao của tam giác ABC
- xét tam giác AHB vuông tại H
A

�B  600 � �A  300 � BH 

1 2

1
AB
2

� AB  2 BH  2.12  24
� AH  AB 2  BH 2  24 2  12 2  20,8
600
B

12

H

18

C

- xét tam giác AHC, theo hệ thức lượng…
AH 20,8

� �C  490 06'
HC
18
0
� �A  180   �B  �C   70054'
tgC 

- theo hệ thức về cạnh và góc, ta có:
HC  AC.cos C � AC 

HC
18

�27,5
cos C cos 49006'

Bài 6: Cho hình thang ABCD, có �A  �D  900 , đáy nhỏ AB = 4, đáy lớn CD = 8,
AD = 3. Tính BC, �B, �C ?
Bài 7: Giải các tam giác vuông sau, tam giác ABC vuông tại A biết:
Page 21


Giáo án dạy thêm Toán 9

Năm học 20202021



LUYỆN TẬP
HÀM SỐ  GIÁ TRỊ CỦA HÀM SỐ
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN
1) Tính giá trị của hàm số biết giá trị của biến số:
Để giải quyết bài toán này ta cần thay đúng giá trị của biến số vào trong công thức
hàm số rồi thực hiện đúng thứ tự thực hiện phép tính.
2) Tìm giá trị của biến số biết giá trị của hàm số:
Để giải quyết bài toán này ta cần cho công thức của hàm số bằng giá trị đã cho rồi giải

phương trình tìm giá trị của biến số.
B. BÀI TẬP VẬN DỤNG
Bài 1 : Cho hàm số y  f  x  

1
x  3 . Tính f(0) ; f(1) ; f(-1) ; f(2) ; f(-2) ; f(8)
2

LG
- Lập bảng giá trị tương ứng của x và f(x)
-2
-1
x
1
7
-4
f  x 

2

x3

0

1

2

8

3

5
2

2

-1

2

Bài 2 : Cho hàm số bậc nhất y  f (x) 

4
x4
3

�3 �
�4 �

;f  f  6  
a) Tính f  2  ; f � �

b) Tìm giá trị của x để y  2
LG
4
4
a) Ta có f  2   .  2   4 
3
3

�3 � 4 3
f � � .  4  5
�4 � 3 4
4
4
f  6   .6  4  12 � f  f  6    f  12   .12  4  20
3
3
4 �3 �
Vậy f  2   ; f � � 5; f  f  6    20
3 �4 �
4
4
9
b) Ta có y  2 � x  4  2 � x  6 � x 
3
3
2
9
Vậy để y  2 thì x 
2

Bài 3 : Cho hàm số y  f (x) 





2 1 x  3

a) Tính giá trị của hàm số khi x  3; x  2  1 .
b) Tìm x để f  x   1  2
c) Tìm giá trị của x để hàm số đã cho nhận giá trị bằng 2
LG
a) Thay x  3 vào hàm số đã cho ta được y  2  1 .3  3  3 2





Page 22


Giáo án dạy thêm Toán 9

Năm học 20202021



Vậy khi x  3 thì y  3 2
Thay x  2  1 vào hàm số đã cho ta được y 







2 1 .

2 1  3  2 1  3  4

Vậy khi x  2  1 thì y = 4
b) Ta có f  x   1  2 � 2  1 x  3  1  2



�







2 1 x  2  2 � x 

2 2
�x 2
2 1

Vậy để f  x   1  2 thì x   2

c) Hàm số đã cho nhận giá trị bằng 2 �
�x





2 1 x  3  2 �





2  1 x  1

1
� x  1  2
2 1

Vậy để hàm số nhận giá trị bằng 2 thì x  1  2
* Nhận xét:
- Với hàm số y = f(x). Khi bài toán yêu cầu tính f(a) hay tính giá trị của hàm số tại x = a ta
chỉ cần thay x = a vào hàm số rồi thực hiện phép tính.
- Với bài toán tìm x để hàm số nhận giá trị bằng a hay tìm x để f  x   a , cần phân biệt rõ giá
trị của hàm số để tránh trường hợp học sinh lại tính f(a).
Bài 4: Cho hàm số y  f (x)  3.x  2





a) Tính f  3 ; f( 4 - 2 3 )
b) Tìm x để y  1  3





Bài 5: Cho hàm số y  2  2 x  4
a) Tính giá trị của hàm số khi x  2; x  2  2 .
b) Tìm giá trị của biến x để hàm số đã cho nhận giá trị là

8

Page 23


Giáo án dạy thêm Toán 9

Năm học 20202021



LUYỆN TẬP
HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ ĐỒ THỊ
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN
1) Định nghĩa : Hàm số bậc nhất được cho bởi công thức y  ax  b  a �0  , trong đó a, b là
các số cho trước
2) Tính chất : Hàm số bậc nhất y  ax  b  a �0  xác định  x  R và có tính chất sau :
a) Đồng biến trên R, khi a > 0
b) Nghịch biến trên R, khi a < 0
3) Đồ thị
- Đồ thị của hàm số y  ax là 1 đường thẳng đi qua gốc tọa độ O
- Đồ thị của hàm số y  ax  b  a �0  là 1 đường thẳng
+ Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng b
+ Song song với đg thẳng y = ax nếu b khác 0; trùng với đường thẳng y = ax nếu b = 0
Chú ý : Đồ thị của hàm số y  ax  b  a �0  còn được gọi là đường thẳng y  ax  b  a �0 

b được gọi là tung độ gốc của đường thẳng
B. VÍ DỤ
Ví dụ 1: a) Với những giá trị nào của m thì hàm số bậc nhất y   m  1 x  3 đồng biến?
b) Với những giá trị nào của k thì hàm số bậc nhất y   5  k  x  1 nghịch biến?
Giải
a) Hàm số bậc nhất y   m  1 x  3 đồng biến khi m  1  0 � m  1
b) Hàm số bậc nhất y   5  k  x  1 nghịch biến khi 5  k  0 � k  5
Ví dụ 2 Cho hàm số bậc nhất y = (m2 + 3m + 5) x + m – 1
Chứng minh rằng hàm số đã cho đồng biến với mọi giá trị của m.
Giải
2
Hàm số bậc nhất đã cho có hệ số a = m + 3m + 5.
Ta có: m2 + 3m + 5 = m2 + 2m.

3
9 9
3
11
+ - + 5 = (m + )2 +
> 0 với mọi m
2
4 4
2
4

Do đó hàm số y = (m2 + 3m + 5) x + m – 1 đồng biến với mọi m
m +5
x + 2015
Ví dụ 3 : Cho hàm số y =
m -5

a) Với điều kiện nào của m thì hàm số đã cho là hàm số bậc nhất?
b) Tìm các giá trị của m để hàm số đã cho là hàm số bậc nhất nghịch biến trên R?
Giải
m �0
�
m �0
�
��
a) Hàm số đã cho là hàm số bậc nhất khi �
(*)
m �25
�
� m  5 �0
Vậy với m �0;m �25 thì hàm số đã cho là hàm số bậc nhất.
b) Với m �0; m �25 thì m  5 > 0. Hàm số đã cho là hàm số bậc nhất nghịch biến trên R thì
m  5  0 � m  5 � m  25 . Kết hợp với điều kiện (*) ta được 0 �m < 25
Vậy với 0 �m  25 thì hàm số đã cho là hàm số bậc nhất nghịch biến trên R
B. BÀI TẬP VẬN DỤNG
Page 24


Giáo án dạy thêm Toán 9

Năm học 20202021



Bài 1: Xác định giá trị của m để:
a) Hàm số bậc nhất y = ( 1 + 2m)x + 5 là hàm số nghịch biến.
b) Hàm số bậc nhất y = (1 – 2m)x + m là hàm số đồng biến.

Bài 2: Chứng minh rằng hàm số bậc nhất y = (m 2 - m + 2) x + m – 2012 luôn đồng biến với
mọi giá trị của tham số m.
2 a
.x + 2a
Bài 3: Cho hàm số y =
a  a 1
a) Tìm điều kiện của a để hàm số đã cho là hàm số bậc nhất.
b) Với giá trị nào của a thì hàm số đã cho là hàm số bậc nhất nghịch biến trên R
Bài 4: Tìm m để hàm số sau là hàm số bậc nhất?
a ) y   m  4  x  2009
c) y 

b)  2m  3  x  2m  1

m2
x4
m2

d ) y  3  m .x  5 3  m

Bài 5: Cho hàm số y = (m – 5)x + 2010. Tìm m để hàm số trên là
a) Hàm số bậc nhất
b) Hàm số đồng biến, nghịch biến
2
Bài 6 : Cho hàm số y   m  5m  6  x  2 . Tìm m để

a) Hàm số trên là hàm số bậc nhất
b) Hàm số đồng biến, nghịch biến
c) Đồ thị hàm số đi qua điểm A(1 ; 4)
LG

m  2 �0
�
m  3 �0
�

2
a) hàm số đã cho là hàm số bậc nhất � m  5m  6 �0 �  m  2   m  3 �0 � �

�
�
m2 0
m2
�
�
�
�
�
�
m3 0
m3
m3
�
�
�
2
�
��
��
b) hàm số đồng biến � m  5m  6  0 �  m  2   m  3  0 � �
�

m2
m20
m2
�
�
�
�
�
�
�
m3 0
m3
�
�
�
�

c) vì đồ thị hàm số đi qua A(1 ; 4) nên :
m 1
�m  1  0
�
4  m 2  5m  6 .1  2 �  m  1  m  4   0 � �
��
m4
�m  4  0
�





Bài 7: Cho hàm số y = (m-1).x + m
a) Xác định m để đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2
b) Xác định m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng -3
c) Vẽ đồ thị của 2 hàm số ứng với giá trị của m vừa tìm được ở câu a) và b) trên cùng
mặt phẳng tọa độ Oxy
Bài 8 : Cho các hàm số : y = x + 4 ; y = -2x + 4
a) Vẽ 2 đồ thị hàm số trên cùng mặt phẳng tọa độ
b) 2 đường thẳng y = x + 4 ; y = -2x + 4 cắt nhau tại C và cắt trục hoành theo thứ tự tại
A và B. Tính chu vi và diện tích của tam giác ABC
Page 25