Tối ưu hệ động lực phi tuyến và bài toán chuyển tiếp trong lò phản ứng : Luận án PTS. Toán học: 01 01 02

, ( " • !

' v:-

m
^*v^


TRUÒNG DAI HOC TONO H O P H À NÓI

LE CHf DtJNG

TÓI UV HE D O N G L V C P H I TUYÉN

VA BÀI TOAN CHUYÉN TlÉP TRONO LO PHÀN I?NG

I

Chuyén ngành : Phadng trình vi phàn
va phUdng trình tìch phàn

[OAI -r-C"

]mi[,-'

Ma so: 010102

PHÓ TIEN Si TOÀN LY

Nguòi huóng dàn :

7TU

^^

Ha npi, 1991

PTS toàn 1;^,
GiàosuVU TUAN

•

,:.'\h.
•

V.-

LUANAN

! f-?i'^v,r..

f'\ ;

.••

•

"

U4|

,

.m!

t'J


MVCLVC

Trang

MÒ dàu

3

Chuong I - Tóì Uu h$ dOng lire

11

LI. Dièu khién duce
1.2. Dièu kién tdi uu
L3. Dieu kién ndi tdi uu

Chuong II - Nguyén 15^ tòi Uu tua

11
16
21

24

II.L He khóng co ràng buóc pha

24

11.2. He co ràng buòc pha

33

11.3. Bài toàn tàc dóng nhanh

38

ChUdng III - Phuong phàp tua

42

IILl. Bài toàn tua

42

III.2. Cài tua Clic tri

48

Chuong IV - Tòi Uu qua trình chuyen tiép trong lo phàn ùng

53

IV.l. Bài toàn tdi uu

53

IV.2. Bài toàn cuc tiéu thòi gian chuyén tiép

55

IV.3. Vi du sd giài bài toàn tàc dóng nhanh

58

Tài liéu tham kbào

64


MODAU
Trong ky thuàt, nguòi ta thuòng ed gang dieu khién càc qua trình v|t ly theo mong mudn
cùa mình, tue là de co dupc qua trình tdi uu theo mot nghia nào dò. Vi du, làm sao de dat duce
muc tiéu sau thòi gian ngàn nhàt, it tdn nàng luong nhàt...
Vói su ra dòi cùa nguyén ly tdi uu Pontriagin (1956), ly thuyét dièu khién tdi uu phàt trién
nhanh va trò thành mot ngành toàn hoc dpc I^p. Càc phuong phàp tdi uu dua trén co so nguyén
ly Pontriagin dà giài quyét duoc nhièu bài toàn thuc té : chuyén dóng trong vu tru, dieu khién
lo phàn ùng hat nhàn ... Tuy nhién, nguyén ly Pontriagin chi giùp kiém nghiém tinh tdi uu cùa
mot dièu khién cho truóc, ma khóng chi ra duoc thuàt toàn xày dung dièu khién tdi uu.
R. Gabasov va F.M. Kirillova dà dua ra khài niém cài tua, chùng minh nguyén ly tdi uu
tua (dang kién thiét cùa nguyén ly Pontriagin) cho he dóng lue. Nhò dò, càc tàc già dà xày dung
duoc thujt toàn giài càc bài toàn tdi uu tuyén tinh, mot sd bài toàn phi tuyén dang dàc biét.
Càc khài niém co bàn (cài tua, nguyén ly tua,...) dà duòc xày dung cho he phi tuyén dang
i = AoX + a^,fl(x) + bu,

(1)

trong dò A^j là ma tran hàng, a^, b là càc véc to hàng, phàn phi tuyén f j (x) duOc già thiét là hàm
vó huòng [56].
Trong luan àn này, chùng tòi sé phàt trién phuong phàp Gabasov - Kirillova cho he dóng
lue phi tuyén dang
i = fl(x) + f2(x)u.

•

(2)

Ngoài muc dich thuàn tùy toàn hoc là mò róng lóp càc bài toàn giài duce bang phuong
phàp Gabasov - Kirillova, chùng tòi con co nhièm vu ùng dung là giài quyét bài toàn tdi uu qua
trình chuyén tiép trong lo phàn ùng hat nhàn. Càc nghién cùu trình bay trong luàn àn duoe
phàt trién tu de tài nghién cùu khoa hoc 50.01.09.01, trong chuong trình càp nhà nuòc "Su dung
nàng luòng nguyén tu trong càc linh vuc cùa nèn kinh té qudc dàn".
Khi thay ddi cóng suàt lo phàn ùng (tàt lo), su càn bang giùa mat dò 1-135 va Xe-135 bi
phà vò. M|t dò Xe-135 tàng lén, dat già tri cuc dai sau - 5 -10 giò. Sau dò, nò bàt dàu giàm,
trò lai già tri ban dàu sau 24 - 36 giò. Dò phàn ùng àm do Xe-135 sinh ra vuot qua dò phàn
ùng du du trù cùa lo phàn ùng: lo phàn ùng bi nhiém dóc va khóng the tàng cóng suàt lo trong
khoàng 1 -1,5 ngày. Vi vày, càn co giai doan chuyén tiép de ha cóng suàt lo ve 0. Giai doan
chuyén tiép càn thòa man dièu kién: sau giai doan chuyén tiép, co thè tàng cóng suàt lo tu bàt
cu thòi diém nào, va càc dféu kién tdi uu: cuc tiéu thòi gian chuyén tiép, cuc tiéu nàng luòng
tòa ra...


Mó hình toàn hoc cho qua trình chuyén tiép theo màu lo diém co thè xem nhu truòng hop
riéng cùa (2). Càc nhà toàn hoc dà quan tàm giài quyét bài toàn này: D. Tabak, B.C. Kuo dà

su dung phuong phàp qui hoach dóng. R.P. Fedorenko su dung phuong phàp xàp xi lién tiép...
Lòi giài cùa càc phuong phàp này dèu co nhuòc diém là khó thuc hién bang càc giài phàp kl
thuàt. Càc nhà vat ly va ki thuàt co thè chàp nhàn lòi giài cùa A.P. Rudik (su dung nguyén li
tdi uu Pontriagin). Tuy nhién, nhu dà nói ò trén, nguyén li Pontriagin khóng cho ta thuàt toàn
"kin" giài bài toàn dièu khién tdi uu, do co mot sd dai luOng khóng duoc xàc dinh. Trong luan
àn này, chùng tói su dung y tuòng cùa Gabasov va Kirillova cho bài toàn nói trén.

Càc két qua khoa hoc mói cùa luàn àn là :
- Dièu kién càn tdi uu tai càc diém cuc tri Pontriagin kì di.
- Xày dung cài tua va chùng minh nguyén ly tdi uu tua cho bài toàn tdi uu he dóng lue phi
tuyén co càu truc dièu khién.
- Chi ra mdi quan he giùa viéc tòn tai cài tua va tinh dièu khién duoc dia phuong ddi vói
càc ràng buóc cùa he dóng lue phi tuyén co càu trùc dièu khién.
- Giài bài toàn cuc tiéu thòi gian chuyén tiép trong lo phàn ùng. Chùng minh bang vi du
sd y nghìa thuc tién cùa thuàt toàn tua.

Càc két qua trình bay trong luàn àn dà duoc bào cào tai Hói nghi khoa hoc ky thuàt "Su
dung nàng luOng nguyén tu trong càc linh vuc cùa nèn kinh té qudc dàn" (Ha nói. 28/2 - 1/3,
1983), Hói nghi nghiém thu de tài càp nhà nuòc (Ha nói, 12/1985), xemina khoa hoc cùa bó
món Càc phuong phàp dièu khién tdi uu. truòng Dai hoc tong hop Belorutxi (Minsk, 5/1989),
Hói nghi Toàn hoc toàn qudc làn thù 4 (Ha nói, 4 - 7/9,1990) va xemina khoa hoc chuyén ngành
Phuong trình vi phàn (Lién càc truòng dai hoc, Ha nói).

Càc két qua cùa luàn àn dà duOc cóng btì trong 3 bài bào, trong Tom tàt bào cào cùa 3
Hói nghi khoa hoc, 1 cóng trình khoa hoc càp nhà nuòc.


TÓNG QUAN TÀI LIÉU CO LIÉN QUAN

Ly thuyét dièu khién duoc phàt trién nhu mot linh vuc dóc làp cùa ly thuyét dièu khién càc

he dóng lue tu sau bào cào quan trong cùa R. Kalman [68].
Theo Kalman, he dóng lue
X = Ax + Bu,x(t*) = XQ

^

(3)

(A là ma tran n x n chièu, B là ma tran n x r chièu), duOc gpi là dièu khién duòc hoàn toàn, néu
vói moi trang thài x^ tòn tai thòi diém t* va dièu khién lién tue tùng doan u(t), t e [t*. t* ], sao
cho qui dao cùa he (3) thòa man x(t ) = 0. De cho he (3) dièu kiùén duoc hoàn toàn, dièu kién
càn va dù là rank { B, AB,...,A"-^ B } = n [36, 68].
Tinh dièu khién duoc cùa he tuyén tinh khóng dùng
i = A(t)x + B(t)u,x(t,)=x^

(4)

duoc nghién cùu trong [74, 76].
N.N. Krasovski dà chùng minh ràng he (4) dièu khién duOc hoàn toàn néu tòn tai t > t*
sao cho rank {Q^( t ), Qi( t ),.... Q^.j ( t )} = n , Q J i ) = B(t). Q^ (t) = A(t)Qj^.j (t) - Q;^..i(t),
k = 1,2,.„, n-L
Ddi vói he phi tuyén
i = f(x,u,t),x(t,) = x^.f(0,0,t) = 0

(5)

càc cóng trình dàu tién [70, 74. 75] dua ra khài niém dièu khién duoc nhò (tue là ehi ddi vói
càc trang thài ban dàu x^ nàm trong làn càn dù nhò cùa gdc tpa dò).
R. Gabasov, M.F. Kirillova va càc dòng su dà chùng minh duoc mdi quan he giùa su tòn
tai cài tua va tinh dièu khién duóc tuong ddi ddi vói càc ràng buóc cùa he dóng lue [56].

Khài niém cài tua duoc R. Gabasov va M.F. Kirillova dua ra làn dàu cho bài toàn qui
hoach tuyén tinh. Khài niém phuong àn (ddi phuong àn) tua duoc xem nhu mò róng tu nhién
cùa khài niém phuong àn (ddi phuong àn) co so cùa phuong phàp don hình [51 - 53]. Phuong
phàp don hình (cung nhu phuong phàp ddi ngàu cùa nò) khóng su dung nhùng thóng tin phu
ve càc phuong àn (hoàc ddi phuong àn), ma nguòi ta co thè biét truóc do y nghia vat ly, ky thuàt
cùa bài toàn thuc té. Phuong phàp tua cho phép tàn dung nhùng thóng tin co san, Dièu này
dàc biét hùu ich ddi vói nhùng bài toàn co lón, giàm duoc nhièu buòc tinh toàn.
Bài toàn tdi uu he dóng lue tuyén tinh ànóc nghién cùu trong [54]. Nguòi ta co thè xem
chùng nhu truòng hdp riéng cùa bài toàn qui ìoach va co thè su dung phuong phàp don hình


(hoàc càc dang ddi ngàu). Nhung viéc dò thuòng kém hiéu qua do de gap phài su xoay vòng
(suy bién) trong tinh toàn. Tàc già dà thù nghiém mot càch xù ly trong qua trình the hién thuat
toàn trén mày tinh [78]. Ky thuat dò là tdt ddi vói càc bài toàn qui hoach khóng co nguòn gdc
dièu khién tdi uu. Con néu là dang xàp xi cùa bài toàn dièu khién tdi uu thì dò chinh xàc co thè
bi giàm hoàc thòi gian tinh tàng lén rat nhièu. Phuong phàp tua cho phép giài quyét nhùng dàc
trung cùa bài toàn dièu khién tdi uu.
Càc he mó phòng trén luói duoc nghién cuu ò [55].
Phuong phàp giài bài toàn tdi uu càc he toàn phuong duoc trình bay ò [57].
Mot sd mò róng phi tuyén dà duOc nghién cùu ò [56].
Co so cho phuong phàp tua là nguyén ly tdi uu tua (hoàc e - tdi uu). Khi àp dung nguyén
ly Pontriagin [82], nguòi ta gap khó khan trong viéc xàc dinh mot sd dai luOng (nhu dièu kién
bién va càc buóc nhày cùa hàm hén hOp ...). Nguyén ly tdi uu tua cho phép xày dung duoc càc
dai luong này, nhò già thiét tòn tai cài tua. Y tuòng cùa phuong phàp tua ddi vói càc bài toàn
dièu khién tdi uu là : tich lùy dàn càc doan dièu khién tdi uu (thòa man nguyén ly tói uu tua
hoàc e • tói uu t. Càc doan dièu khién dà tdi uu ò buòc làp truóc duOc luu giù lai cho buóc lap
sau, trành càc thay ddi "hón loan" trong qua trình the hién thuat toàn trén mày tinh.
Mot phàt trién tu nhién cùa phuong phàp tua là su dung càc dièu kién tdi uu bac cao. Co
thè xem dièu kién Keìley [25, 69] nhu két qua dàu tién ve dièu kién càn tdi u j bac cao. Càc két
qua cùa R.E. Kopp va H.G. Moyer [73] là buòc phàt trién tiép theo cùa y tuòng H.J. Keìley,

su dung bién phàn dièu khién dang:
V,

óu(t) = J -V,
0,

t e [0. e + e)

te [e + e.e -\- le)
t^ [e,o + 2e)

H.J. Kelley cùng dua ra phuong phàp bién ddi [26] de nghién cùu càc bài toàn loai này.
R. Gabasov, F.M. Kirillova va V.A. Srochko dà tìm duoc càc dièu kién tdi uu bac cao nhò
ma tran xung [46, 47, 84] va bó bién phàn [58].
V.I. Gurman dà su dung phuong phàp V.F.Krotov de giài mot sd bài toàn thuc té [62-66].
D.H. Jacobson dà co nhùng két qua ve dièu kién tdi uu bac cao nhò su dung phuong phàp
qui hoach vi phàn dóng [36 - 42].
Co thè xem cài tua cuc tri [56] nhu y tuòng dàu tién ve su phàt trién phuong phàp tua theo
huóng su dung dièu kién tdi uu bac cao.


Trong thuc té, dièu khién tdi uu gòm càc doan cuc tri kì di va khóng kì di [49]. Vi vày,
nguòi ta cùng nghién cùu dièu kién ndi tdi uu càc doan dò. Càc két qua dàu tién là cùa
H.J.Kelley, R.E. Kopp, H.G. Moyer [27]. Tàc già cùa luan àn dà tìm duoc mot sd dièu kién ndi
tdi uu cho bài toàn minimax va cho he co tré [77, 79]. Nói chung, trong càc bài toàn co ràng
buóc pha : càc doan dièu khién làm cho ràng buóc pha co dang dang thùc là càc doan dièu
khién kì di. Vi vày, buóc hoàn thién nghiém cùa phuong phàp tua duoc xem nhu bài toàn ndi
tdi uu càc doan cuc tri kì di va khóng kì di.
Mó hình toàn hoc duoc nghién cùu chù yéu trong luan àn này là he dóng lue phi tuyén co
càu trùc dièu khién. Càc nhà toàn hoc dà quan tàm dén mò hình này tu giai doan phàt trién

dàu tién cùa ly thuyét dièu khién tdi uu [1-4,7,11-14,41j. Va ngày nay, nò vàn con là ddi tuong
cùa nhièu nhà nghién cùu [6, 8 -10, 28, 39].
Phàt trién phuong phàp tua cho he (2) vói càc ràng buòc dang:
g(x(t*)) = 0 , d ( x ( t ) ) < 0 , t e T = [t„t*],
chùng ta co thè giài duoc bài toàn tdi uu qua trình chuyén tiép xenon trong lo phàn ùng hat
nhàn.
Bài toàn này co nhièu y nghia thuc té, nén duce quan tàm giài quyét ò nhièu khia canh
khàc nhau, trong cà giai doan thiét ké va van hành [5, 22-24, 30-33, 37,40, 42-44, 81]. Mó hình
day dù cho bài toàn nhiém dóc xenon co the tìm thày trong [45, 60, 83]. Dà co nhùng co gang
trong viéc giài bài toàn dièu khién tdi uu theo phuong phàp qui hoach dóng Bellman [38]. theo
nguyén ly Pontriagin [61], phuong phàp tuyén tinh hòa lién tiép [86] va càc phuong phàp xàp
xi khàc, nhung nguòi ta vàn chua tìm ra duoc thuàt toàn co hiéu qua, tìm duoc dièu khién tdi
uu vói dò chinh xàc mong mudn va de thuc hién trong ky thuàt.

TOM TAT NÓI DUNG LUÀN ÀN

Luàn àn gòm Mò dàu, 4 chuong va Tài liéu tham khào
Xét he dóng lue duOc mó tà bòi he phuong trình vi phàn phi tuyén (2) (hoac (5)).
Véc to n chièu x = (xj ,..., Xj^ ) duoc goi là véc to trang thài. Càc thành phàn cùa nò dàc
trung cho càu trùc ben trong cùa he dóng lue tai thòi diém t va duoc goi là càc bién pha. Véc
to r chièu u = (uj,..., u^. ) duoc gpi là véc to dièu khién. Càc bién Uj,.... u^. là càc già tri cùa tàc
dóng co muc dich tu ben ngoài tai thòi diém t. Càc tàc dóng dò thuòng bi han che bòi phuong
tién va dièu kién thuc hién. Trong luàn àn chùng ta sé già thiét r = 1. Tuy nhién, de thày là
nhièu két qua co thè mò róng cho truòng hOp r > 1.


Duói tàc dóng cùa dièu khién u = (u(t), t > t* ), trang thài cùa he sé thay ddi theo qui luàt
hùu han x(t) = x(t, x^. u ), t > t*.
Ta co qui luàt dò bang càch thay u = u(t). t > t* , vào (2) (hoàc (5)) va giài bài toàn Cosi.
Bài toàn này giài duoc vói lóp rat róng càc hàm u(t), t > t*, va f|(.), f2(.) (hoàc f(.)). Càc già

thiét trong lu&n àn dàm bào cho bài toàn Cosi co nghiém duy nhàt. Khi dò co thè xét hàm muc
tiéu
J(u) = y>(x(t*)), t* > t^
Càc nghién cùu dinh tinh co quan he truc tiép dén li thuyét kién thiét bao gòm: tinh dièu
khién duoc va dièu kién tdi uu. Nhò tinh dièu khién duOc cùa he ddi vói càc ràng buóc (phàt
trién tu tinh dièu khién duoc theo huóng), ta co thè xày dung càc dièu khién chàp nhàn duOc
làm tdt hon hàm muc tiéu. Gabasov va Kirillova su dung cài tua de thiét làp dièu khién chàp
nhàn duoc. Cài tua co vai trò gàn nhu co so trong phuong phàp don hình.
Cùng nhu càc phuong phàp tdi uu duoc xày dung trén co so nguyén ly Pontriagin, phuong
phàp tua thuc chat là phuong phàp xàc dinh dièu khién thòa man nguyén ly tdi uu dang
H(x(t), v(t), u(t), t) = max H(x(t), v(t), v, t)
ve U
H(x,v',u,t)=v''f(x,u,t),v'=-iy'
ÓX

U là tàp hOp càc già tri cùa hàm dièu khién u(.).
«

Ddi vói he (2), nguyén ly tdi uu sé luòn duOc thòa man néu f^ix)

= 0.

Ta gpi dang thùc trén là dièu kién tdi uu dang dàng thùc.
Trong thuc té tinh toàn càc dièu kién tdi uu dang dang thùc co vai trò quan trpng trong
viéc duy tri càc doan dièu khién tdi uu. Vi vày, cài tua duoc xày dung con de duy tri càc dièu
kién tdi uu dang dàng thùc. Dièu kién tdi uu bac cao duoc su dung trong viéc xày dung he
phuong trình hoàn thién nghiém (giai doan két thùc cùa thuàt toàn tua).
Duói su huóng dàn truc tiép cùa giào su R. Gabasov, trong thòi gian thuc tàp tai truòng
Dai hoc Tdng hpp Belorutxi, tàc già dà thu duoc càc két qua trong viéc xày dung cài tua cho
he phi tuyén trén co so tinh dièu khién duoc dia phuong, chùng minh nguyén ly tdi uu bang

phuong phàp già sd phiém hàm, viéc xày dung bài toàn tua cho bài toàn phi tuyén, su dung [56]
nhu tài liéu tham khào chinh.
Chuong I trình bay mot sd két qua chù yéu cùa ly thuyét dièu khién duce [48], nguyén ly
tdi uu ed dién va càc dièu kién tdi uu bac cao [49, 77, 79].

8


Chuong li nghién cùu vàn de co so cùa ly thuyét kién thiét càc he dóng lue: cài tua. nguvén
ly tdi uu tua, e - tdi uu. Chùng ta sé trình bay két qua cho he co càu trùc dièu khién co ràng
buóc diém cudi, khóng co ràng buòc pha va mò róng cho he co ràng buóc pha.
Chuong III trình bay phuong phàp tua giài bài toàn phi tuyén, vó han chièu. Bài toàn ban
dàu duoc xàp xi bòi càc bài toàn tua. Thuat toàn cho tùng bài toàn tua va cho bài toàn ban dàu
duoc két thùc bòi buóc hoàn thién nghiém. Ò buóc này chùng ta su dung phuong phàp Niuton,
ma vói nhùng dièu kién thich hop, dà duOc chùng minh là hói tu vói dò hói tu nhanh nhàt trong
sd cac phuong phàp giài bài toàn phi tuyén.
Chuong IV giài bài toàn tdi uu qua trình chuyén tiép xenon trong lo phàn ùng hat nhàn.
Ta sé su dung màu lo diém cho bài toàn dùng lo tdi uu, co 2 vi du sd giài bài toàn cuc tiéu thòi
gian chuyén tiép.
Nói dung chù yéu cùa luan àn duoc trình bay trong càc cóng trình [30- 34, 77-80].

MQT SO K V H I É U Stì DVNG TRONG LUÀN AN

' (dàu nhày)

- phép chuyén vi

X = (xj,..., x^y
x'

' véc to cót co n thành phàn Xj ...., x^
- véc to dòng

n
Sx^yj

x'y =

- tich vó huóng cùa 2 véc tox = (x^,..., Xjj)'vày ^ (y^ , -,y^''

i = 1

- ma tran m x n chièu, phàn tu ò dòng thù i,
ÓK

còt j là dao hàm

^ ^ ^ néu f(x) = (fi(x),..., fm(x))' là véc to

hàm m chièu; néu f(x) là hàm vó huóng, thì

= grad f(x),
dX

r__
I ^^

1
^1

n
- véc to m chiéu, phàn tu ò dóng t hù i là 2

r
2

a f;
—

v^y

j = 1 k = li?x;duu
u = (ui, ...,U^),V = (VJ,...,VY).

o(.)

là vó cùng bé bac cao hOn 1.

u(t), t e T,

là hàm dièu khién xàc dinh trong T.

9


LOI CAM ON

Tàc già xin càm on giào su Rafail Gabasov dà giùp dò hoàn thành phàn dàu cùa bàn luàn
àn. Tàc già vó cùng càm on giào su huóng dàn chinh Vù Tuàn ve su chù y thuòng xuyén cùa
giào su de co thè hoàn thành toàn bó bàn luàn àn.

Tàc già xin chàn thành càm on Tién si Pham Thè Long, Tién si Nguyén Khoa Son, PTS
Nguyén Dinh Quyét dà co nhùng y kién dóng góp qui bau ve càch trình bay bàn luàn àn này.
Tàc già xin duoc càm on Tién si Huynh Mùi, Tién si Tran Vàn Nhung, PTS Dàng Dinh
Chàu, ban bè, dòng nghiép va nguòi thàn dà dóng vién, khich le de tàc già vùng tin vào cóng
viéc nghién cùu cùa mình.

10


CHUONG I - TÒI UU HE DÒNG LUC
Trong chuong này, chùng ta sé trình bay mot so vàn de cùa ly thuyét dièu khién duóc va
dièu kién tói uu, co lién quan truc tiép dén phuong phàp tua. Càc két qua, chi dàn day dù ve
phuong phàp nghién cùu, tài héu tham khào duoc giói thiéu trong [48, 49].
$LDìéu khién duoc.
1. Dféu khién dtf0c ve khóng. Xét he dòng lue duoc mó tà bòi he phuong trình vi phàn
i = f(x,u,t), x(t*) = x^

(1)

vói X = (xj, .., x^) - véc to trang thài, u = (Uj,..., Uj.) - véc to dièu khién, t - thòi gian va dièu
kién f(0, 0, t) = 0. u(.) duoc già thiét là hàm lién tue tùng doan, f(x. u, t) lién tue dòng thòi vói
càc dao hàm riéng cùa nò.
Bài toàn dat ra là tìm dièu khién u(t), t eT=[t*, t*], sao cho qui dao tuong ùng cùa he (1)
thòa man dièu kién x(t ) = 0.
Djnh nghia LI. Trang thài x^ cùa he (1) duOc gpi là TL - dféu khién duoc, néu tòn tai hàm
lién tue tùng doan u(t), ||u(t) ||< L. t eT, sao cho qui dao tuong ùng cùa he (1) thòa man dièu
kiénx(t*) = 0.
He dóng lue duoc gpi ìà TL - dièu khién duOc. néu tòn tai so a = a(T, L) sao cho mpi trang
thài X e{ X : x < a } là TL - dièu khién duOc.
Trang thài x^ duOc gpi là dièu khién dupc, néu tòn tai T, L de nò TL - dièu khién duoc.

Tuong tu, ta co dinh nghìa he dóng lue dièu khién duoc.
He duoc gpi là dièu khién duoc hoàn toàn, néu nò TL - dièu khién duoc vói mpi T, L
(L>0).
Nhàn xét LI. Dièu kién f(0, 0, t) = 0 là de dàm bào cho qui dao cùa he (1) dà dat diém
x(t*)=0, sé duoc giù lai tai diém dò vói u(t) = 0, t > t*. Néu co thè xày ra khà nàng x(t) ^^0, vói
t >t*, ta nói ràng trang thài x^ (hoàc he dóng lue) dièu khién duoc tuong dói.
Xét hàm Già su co thè phàn tich

(2)

Néu W(t) là ma tr$n hàm n x n chièu, thì

11


% r*(t)x(t)j = 'i'(t)x(t) + ^(t)i(t)
Vi yly, ta co
* *
t
t = t/ ^(t)x(t)dt-f / W(t)x(t)dt
«P(t)x(t)
t* t ,
t*

(3)

Già thiét XQ là TL - dièu khién dupc. Chpn W(t*) = -V, tu (2), (3) ta co

Kxo) =

t
t
/ ^(t)x(t)dt 4 ; W(t)i(t)dt + 0(XJ.
t*
t*

Ngupc lai, néu co dàng thùc này, thì ^(t*)x(t*) = 0. Thay x(t) bòi ve phài cùa (1) va
il/(t) = - ^p(t)A(t), ta dupc

y
t
/ W(t)B(t)u(t)dt + ^
t*

(4)

vOl
t

V^=

*

J ^(t)C(t)u(t)x(t)dt
t*

^2 =

A(t) =

B(t) =

t
/ ^(t)0( ||x ||2 + ||x II. Il u II + Il U ||2 )dt,
t*

af(0,0,t)
dX

af(0,0,t)
du

12


C(t) = ^^ft^'^-O'O
dXdU

De tìm dièu kién dièu khién dupc cho he (1), truóc hét ta xét he tuyén tinh
k = A(t)x + B(t)u

.„ .

(5)

vói càc ma tr^n hàm A(t), B(t) dù tron. Thay y)(x) = x vào (4), ta dupc
t

x^ =

*

; V(t)B(t)u(t)dt

(6)

W(.) là nghiém cùa phuong trình ^ = - ^A, W(t*) = - E, E là ma tran don vi cap n.
Lay tich phàn (6), ta dupc

^o

n-l , ,
^ (t-t,)k
2(-l)*=+iQi^.(t.)/
u(t)dt +
k=0
, k
*

(-l)"/W(t)Q„(t) J

u(T)drdt

Qo(t) = B(t), Q^+i(t) = A(t)Q^.(t) - Qk(t). k= 0,..., n-1

.

Do dò, ta co dinh ly sau [48] :
Djnh \S I.l. Già su A(t) e C""^ , B(t) e C"-^, he dóng lue (5) hoàn toàn dièu khién dupc,
néu rank { Qo(t*),..., Qn.i(t*) } = n.

Tuyén tinh hòa he (1) theo bién x vói x = 0 ;
X = A(t)x + b(u, t) + h(x, u, t), b(u,t) = f(0, u, t),

of(0,u,t)

af(0,0,t)

Già su bj(t),.., bj.(t) là co so cùa khóng gian con nhò nhàt chùa tàp hpp
Q(t) = conv { b(u, t) : ||u ||< L }. Ta co dinh ly sau [48] :
13


Dinh Fy 1.2. Néu
1) A(t) e C"-^ b*^' e C"-^ k = 1,.., r; t > t*
2

2) càc hàm ^(2:}^) ,

l^C^At)

cK

lién tue theo u

ax2

3) 0 e int Q(t), t > t*. L > 0
4) tbn tai t > t*, sao cho rank { QQ(t),..,Qj^_2(t) } = n,
QoO) = i bl(t), ••, br(0 }' Qk+l(0 = A(t)Q,,(t) - Qk(t), k = 0,.., n-2,
thì he (1) dièu khién dupc hoàn toàn.
2. Diéu khién dtfpc theo huóng.
Xét he dóng lue dupc mó tà bòi he phuong trình
i - f(x.u), x(t,) = 0. t € T = [t,. t*]. f(0,0) = 0

(7)

t* - co dinh
D|nh nghia 1.2. Góc tpa dò dupc gpi là TL - dièu khién dupc theo huóng p, || p || = 1,
néu tòn tai so a^ = ^^{1*, L, p) > 0, sao cho vói mói a. a < a^, tòn tai dièu khién chàp nhàn
dupc u(t), ||u(t) Il < L de co p'x(t*) = a.
.
He dóng lue dupc gpi là TL - dièu khién dupc (tai góc tpa dò), néu góc tpa do dièu khién
duoc theo moi huóng inf a^(t*, L, p) > 0.

iipii=i°
Góc tpa dò dupc gpi là dièu khién dupc theo huòng p, ||p ||= 1, néu nò TL - dièu khién
dupc theo huóng p vói t = t (p) < + oo,
L = Up)<+~(a„(t*,L,p)>0).
He dóng lue (7) dupc gpi là dièu khién dupc (tai góc tpa dò), néu góc tpa dò dièu khién
duòc theo moi huóng ( inf aQ(t*(p), L(p), p) > 0).

IIP I N
Góc tpa dò dupc gpi là dièu khién dupc hoàn toàn theo huòng p, néu nò TL - dièu khién
dupc theo huòng dò vói mpi t* > t*, L > 0 {^^{1% L, p) > 0, t* > 0, L > 0).

14

He dòng lue dupc gpi là dièu khién dupc hoàn toàn (tai góc tpa dò), néu góc tpa dò dièu
khién duòc hoàn toàn theo moi huòng ( inf aQ(t*, L, p) > 0 . t > 0, L > 0).
IIPIH

Tuong tu nhu ò muc 1, de co két qua cho he (7), ta xét he tuyén tinh :
X = Ax + bu

(8)

0 dàv ta chi xét he co mot dàu vào, tue là u - mot chièu.
t

J(u) = p'x(t*) =

*

/vWbu(t)dt

(9)

t,

Néu A(t) = v XOt» 4 0 , thì vói mpi a^ (khóng phu thuóc vào p, t*) tbn tai L, dièu khién
chàp nhàn dupc u(t) = ^LsignA(t) sao cho phiém hàm J(u) nhàn tàt cà càc già tri cùa doan
[-a^, a j vói tham só^ thay dói trong doan [-1, 1]. Ngupc lai, néu J(u) nhàn càc già tri trong
doan [-a^, a^], thì (9) dupc thòa man.
Dao hàm cùa hàm A(t) co dang
A(t) = -V'Xt)Ab,.., A(")(t) = (-l)"v'XOA'*b

Mat khàc. theo dinh ly Haminton - Kelley, mói ma tran vuóng A thòa man phuong trình
dac trung cùa nò

Tacò
A" + yiA"-i + ...+ y„.iA + 7^E = 0
Suy ra
A(")(t) - yiA("-l)(t) + ... + y„.i(-l)("-l)A(t) + (-l)V„A(t) = 0
vói dièu kién ban dàu
A(t*) = p^b, À(t*) = -p'Ab,.., A(n-l)(t*) = (-l)("-l) p'A("-l)b.
Tu dièu kién A(t) ^ 0 ta nhàn dupc két qua sau [48] :
Djnh 15^ 13. Góc tpa dò cùa he dóng lue (8) dièu khién dupc (hoàn toàn dièu khién dupc)
theo huòng p khi va chi khi co it nhàt mot trong càc so sau khàc 0
p'b, p'Ab,... p'A"-lb
15


He qua I.l. Dièu kién càn va dù de he (8) dièu khién dupc (dièu khién dupc hoàn toàn)
là rank { b, Ab,.., A^'^b } = n.
Bay giò ta xét he (7) trong truòng hpp xàp xi tuyén tinh cùa nò là (8),

A=

^J(M)
dX

b=
'

^J^
du

Chpn dièu khién u = u(t) dang u(t) = //v(t), | v | < L vói tham so M ^^ nhò. Khi dò,
nghiém x(t) cùa he (7) tuong ùng phu thuóc lién tue vào M va x(t) ~ /^. Ta co:
t

J(u)=

*

/./V''(t)bv(t)dt + o(/.)
t*

De dàng thày tinh dièu khién dupc cùa he (7) (tai góc tpa dò) tuong duong vói tinh dièu
khién dupc cùa xàp xi tuyén tinh cùa nò.
Dinh ly 1.4. Néu góc tpa dò cùa he (8) dièu khién dupc hoàn toàn theo huóng p, thì he (7)
dièu khién dupc hoàn toàn theo huóng p.
He qua L2. Néu he (8) dièu khién dupc hoàn toàn, thì he (7) cùng dièu khién dupc hoàn
toàn.

i2. Diéu kìf n tòi Uu.
1. Cóng thuc già so' phiém hàm. Xét bài toàn cuc tiéu phiém hàm
J(u) = Kx(t*))

(10)

vói dièu khién chàp nhàn dupc u(.) là hàm hén tue tùng doan, nhàn già tri trong tàp hpp U,
x(.) là nghiém tuong ùng cùa he (1). Cùng vói tinh tron cùa hàm f(.), ta sé già thiét tinh trOn
cùa hàm Dièu khién chàp nhàn dupc vP{.) làm cuc tiéu phiém hàm (10) dupc gpi là dièu khién tói
Uu, qui dao x^(.) tuong ùng dupc gpi là qui dao tói uu.

Néu dféu khién u(.) co già so Au(.) va ù(.) = u(.) + Au(.) là càc dièu khién chàp nhàn dupc,
qui dao tuong ùng vói u(.) là x(.) = x(.) + Ax(.), ta co thè tinh già so phiém hàm
A J(u) = J(u) - J(u) = Kx(t*)) - Kx(t*)). Dat

16


r:

: >;n: !

V,'(t*) = - Mx(t*))

(11)

dX

Z V. M///^

Ta co

^j^MÙ)

AJ(U)

Ax(t*) + o(||Axrt')|i)

dX

/V'Xt)AÌ(t)dt + 0( ||x(t ) | i )

-/vXt)Ax(t)dt
t*

Dàt H(x, V, u, t) = V''f(x,u,t) (dupc gpi là hàm Haminton) va chu y ràng già so Ax(t) thòa
man phuong trình
Ax(t) = f(x + Ax, u + Au, t) - f(x, u, t), Ax(t*) = 0
ta co

AJ(u)

/vXt)Ax(t)dt
t*

ax

t

; [H(x, v, u + Au, tj - H(x, v, u, t)]dt -; 0j( Il Ax(t) Il )dt +o( ||

Ax(t ) || )

t*

Ta xàc dinh hàm v(-) nhu là nghiém cùa he phuong trình vi phàn

V' = -

6H'(x(t),v,u(t),t)

(12)

^

vói dièu kién ban dàu (11). Dàt
A^(x, V, u, t) = H(x, V', V, t) - H(x, V, u, t),
ta co thè viét cóng thùc già so phiém hàm duói dang

AJ(U) = - / A - H ( x , v , u , t ) d t + )7
t*

(13)

/rU

?-?
17


vói

»/ ='7i +'?2 + '?.V
Vl=o( ||Ax(t*)|| )
t'

V2=-

t'

J0,( ||Ax(t)|| )dt,

,3 = -

t,

/ ^_^uHJjMM)^dt
ax

t*

Ta viét he (1) duói dang

X =^

^^'- ^' ^' ^^

va gpi v'(.) là qui dao Hén hpp cùa x(.).

Cóng thùc già so phiém hàm (13) dupc gpi là cóng thùc càp mot
Cóng thùc càp hai co dang
*

AJ = -

*

t

t

/ A-H(x,v,u, t)dt -

/ [ a^uHXx^V^u^t)
ex

^ A^f (x,u,t)^t)]Ax(t)dt - ?j

^ af(x,u,t)
ax

a^H(x,v;u,t)
ax-^

u

u

vói ^(t) là nghiém cùa phuong trình
^ ^.

af(x,u,t)
ÓK

^f

_

_

a^^(x(t*))

Tuong tu ta co thè viét cóng thùc già so phiém hàm càp ba.
Chon già so dièu khién dang :

Au(t)=r "^^'^'
VÓÌVGU,

te[M + 0

^ e [t*, t*), £ là so duong dù nhò.

Do tinh hén tue tich phàn va tinh hén tue theo già tri ban dàu cùa nghiém cùa he (1), Ax(t)
< ke , 0 < k < + 00 , t* < t < t*, ta co

18


AJ(u) = -e \ H ( S ) , ^ e+
2
' \
d
-2 T '[ -d t A,^(s)
'• " ' + AV/ ( VS .) * (S)
^ ^ A^(S)
V^ . +
e"
-

-

1 d "
[-

d

aAvH'(s)
— —
^ - A,i(s
aAvH'(s)

^ v H ( s ) + - ( A / ( S ) V (S) A,f(s) + _ ^ ^

3! 2 dt

)],^e+0

dt

i , i ( s ) ) + A , QJ1J2 A / j i A , f J 2 ] , = e + 0

ax

+ 0(^3)

(14)

vói Qjj2(x,V',u,t) =

3
1

I
— V3i.iJj"ifj(x,U,t) +
1=1 3!

2

2

1=1 k=l

' 3

- 1

VJlJ2)3

3

1
vii
liìi
TJI-XJJI
k!(3-k)!

ax. ax.
Jk J2

3

2

1= 1 k=l

d^'^ fj(x,u,l)

a"^'^ fj(x,u,t)
v7-JI-IJJJ
i i liii

k!(4-k)!

ax. ...ax.
Jk J3

a^'V(t*))
VJiJ2Ì3(^*)

=

axi. axi^axj-

2. Cuc tri Pontriagin. Néu u(.) là dièu khién tói uu, thì Aj(u) > 0 . Tu cóng thùc già so
phiém hàm (14) suy ra duOc nguyén ly tói uu Pontriagin [82].
Djnh nghìa 13. Dièu khién chàp nhàn duòc u(.) duOc goi là cuc tri Pontriagin néu u(.) va
càc qui dao x(.), V'(-) cùa he (1), (11), (12) tuong ùng thòa man dièu kién tói uu
H(x(t),v(t),u(t),t) = max H(x(t),v(t),v,t)
veU

Doan T* = [T*, T ], t* < T* < T < t , duoc goi là doan kì di cùa cuc tri Pontriagin, néu tòn
tai tàp hpp con a>(t) e U sao cho co dòng nhàt thùc

H(x(t),v(t),v,t) ^ H(x(t),v(t),u(t),t), vói moi u ea;(t), t e [r^, r*].
Cuc tri Pontriagin duce goi là cuc tri kì di, néu T^,, = T.

19


Khài niém này duoc L.L Rozonoer dua ra vào nàm 1959. Nhung lue dàu it duoc quan tàm,
vi nguòi ta cho ràng, it tòn tai càc cuc tri kì di. Thè nhung, ly thuyét tói uu càc he dòng lue phàt
trién nhanh, tham nhàp vào càc bài toàn thuc té co lién quan dén dóng lue hoc tén lùa, chuyén
dòng trong vù tru, dièu khién lo phàn ùng .... Càc bài toàn này duoc mó tà bòi mó hình toàn
hoc dang
i = fl(x) + f2(x)u,x(t,)=x,

(15)

J(u) = Kx(t'^)) -* min
Nguòi ta dà nhàn ra su co mat rat thuòng xuyén cùa càc doan cuc tri kì di.
3. Diéu kién Kelley. Xét bài toàn (15) vói hàm dièu khién vó huòng u(.), |u(t) | ^
1, t e T = [t*, t ]. Tu nay ve sau, chùng ta sé luòn già thiét càc hàm mó tà bài toàn tói uu là dù
tron, vi du ò day ta sé già thiét f^(.), f2(.). KO ^^^^ tue dòng thòi vói dao hàm dén bac hai cùa
chùng theo x.
Già su càc doan dièu khién kì di thòa man bàt dàng thùc |u(t) | < 1. Khi dò su dung bién
phàn Kelley, co the chùng minh duoc dinh ly sau [69] :
Djnh ly I.S. Dièu khién kì di tói uu thòa man dièu kién Kelley
_a_ d^ _aH ^ Q
audt^ au

'

vói H = V''(fi(x) + ^ 2 ^ ^ ) ' V'(-) l3 qui <^^o lièri hOp cùa he (15).

•

Dièu kién |u(t) | < 1 tai càc doan kì di là khà róng rài trong càc bài toàn thuc té. Vói dièu
kién dò, ta co thè su dung già so Au(t) = e(5u(t), t G T, va sé co
Ax(t) = £Óx(t) + Oj(£), AVCóng thùc già so phiém hàm sé co dang
*
t

AJ = - .

2

2

; ^'<5udt +Udx\ty
t*

au

z

^ '

*

'f((^(' )) dx(X*) +
ax^

*

+ / [
^

2
2
óx' i3ix - 2dip' ^-i^
dx^
dipdu

2
óu - òu' ^
aiP

óu]dt} + o(£^)
^
^ ^

Bién phàn thù hai cùa phiém hàm là

20


ó'j=

óx\x')^ ^^l^*)k(t*) + ; [ òx' ^
òx-2ò^' ^
óu-óu^ A ^ <3u ]dt
^ ^ cK^

^ ^
^
aj?^
a^au
^u^
^
U

Bién dói bién phàn này theo dièu khién kì di, ta co két qua tóng quàt hon dièu kién Kelley.
Djnh ly 1.6. Néu dièu khién tói uu kì di thòa man dièu kién

(-1)1^
^ ^

L
au

^
dt2k

^
au

-0.k=l

q-l,
M '

thì

(.i)q
^ ^

^ J?^ ^ ^ 0
au dt^q au

13. Diéu kién nói tòi Uu.
1, Khài niém ve dié'm nò'i. Diém ^ G T duOc gpi là diém nói kì di - khóng kì di cùa dièu
khién u(.) néu dièu khién co kì di ò làn càn trai va doan khóng kì di ò làn càn phài cùa e. Tuong
tu, ta co dinh nghia diém nói khóng kì di - kì di. kì di - kì di. Néu doan kì di suy bién thành mot
diém 6, vói oj (e) \ u{0) 9t 0 va ò làn càn hai ben cùa e, dièu khién khóng kì di, thì 0 duOc gp^" là
diém kì di.
Diém nói duOc gpi là tói uu, néu nò tao ra dupc dièu khién tói uu.
2. Diéu kién nó'i tó'i Uu kì dj - khóng kì dj. Già thiét càc dièu kién sau duOc thòa man :
a) trén doan kì di :
/ 2^q
^' ^

d_
du

d2q
"dt^q

dH
"au

<0

(16)

t =e

vói q là ehi so nhò nhàt de ve trai cùa (16) khàc 0.
b) trén doan khóng kì di :
u(t)= l , t G [ ^ , ^ + ó ) , ó > 0

21


e) tai diém nói :
u(e-O) = u(0),
u{e - 0) = ù(^),..., u(P-^)(e - 0) = u(P-^) (e)
u
(17)

Tu dièu kién b) suy ra ù(e) = u(e) = ... = u(P'^)(e) = 0
Két hpp vói e) ta co (trén doan kì di) ;
u(t) = u(e) + (i/p!)u(P)(e - 0)(t - ef + o((t - e)P), tDo dò

u^P\e - 0) < 0,

p - chàn

u(P)(e-0)>0,

p-lé

Tu a) suy ra : dièu khién u xuàt hién trong cóng thùc dao hàm

^a
dt^

au

••

^
'dt^ au

=a(x,v.) + ub(x.v.)
^ ^
^ ^

Lav dao hàm dànc thùc nàv p làn, ta duoc

S^P

'^

=A(x,v..u.u

u(P-l')^u(P)b(x,v.)

•iTJ

Dièu kién b) cho ta

4T- —
dt*^ au

„ > 0, t e (e, é' + ó)). Nghia là dao hàm
au

, k = 1, 2,... khàc 0 dàu tién co dàu duong.

Tu e) suy ra : qua trình lày dao hàm
lai ò buóc 2q + p.

hén tiép theo t de làm xuàt hién u(P) sé dùng

Ta chùng minh dupc dinh ly sau [49] :
Dinh ly 1.7. Cho e là diém nói kì di - khóng kì di cùa dfèu khién u(.) va co càc dièu kién
(16), (17). Khi dò, néu p chàn (le), thì dièu kién nói tói uu là q le (tuong ùng, chàn) va ngupc
lai.
Tuong tu, ta co thè xàc dinh dièu kién nói tói uu khóng kì di - kì di.
22


3. Diéu ki^n tòi Uu tal diém ki di. Xét bài toàn tóng quàt
X = f(x,u,t), x(t,) = XQ, t e T = [t*, t*], u e U,
J(u) = ^(x(t )) -* min
Dinh ly 1.8. Dièu kién càn tói uu tai diém kì di e là
d
aAvH'
[-A^^A/>.A,i^^A,/]

^^^^^SO

Chùng minh. Tu cóng thùc già so phiem hàm (14) ta co
2

AJ(U)=

-

2

[A^'(s)A^(s) + A/(s)ns)A^(s) ] , = e + o

+«(. 2)

Bang phuong phàp phàn chùng ta suy ra dièu phài chùng minh.
Djnh nghia 1.4. Diém kì di 6 vói tàp hpp a)(0)tuong ùng dupc gpi là diém kì dj bac hai cùa
dièu khién u(.), néu tòn tai tàp con oj-^iO) G oj{e), VJ'^{6)\U{6) ^ 0 sao cho
d
aAvH'
f - A H + A,f VPA f +—— A f 1

= 0. V G wAQ)

Djnh ly 1.9. Dièu kién càn tói uu tai diém kì di bac hai e là
1 d^
d
[2S2 ^H^dt (V^^vf+

aAvH'
1 ^ ^ ^ ^

A,QjjJ2A^JlAjj2 ]

^ 0

Chùng minh. Vói già thiét d là diém kì di bac hai cùa dièu khién tói Uu u(.), tu cóng thùc
(14) tacò A J ( U ) =

-

^^ id^
- [ 3! 2dt

d

aAvHYs)

A^(S)+_(A/(S)^(S)A^(S)+

dt

ax

A^(s))+A,QJiJ2A^JlA/J2U^+0
^^^^3)

Bang phuong phàp phàn chùng ta suy ra dièu phài chùng minh.
Tàc già dà thu dupc két qua tuong tu cho bài toàn minimax va bài toàn tàc dóng nhanh
[79].

23


CHUONG II. NGUYÉN LY TÓI UU TUA
Chuong này trình bay càc két qua co so cùa phuong phàp tua : cài tua va nguyén li tói uu
tua. Nguyén li tói uu tua thuan tién hon nguyén li tói uu co dién, vi càc dièu kién cho hàm lién
hpp dupc xàc dinh tuòng minh. Vói dièu kién tó] uu bac nhàt, ta thuòng chi su dung cài tua
don. Dò là tàp hpp hùu han càc thòi diém (bài toàn co ràng buóc diém cuóij va càc khoàng
thòi gian (bài toàn co ràng buóc pha), tai dò co thè thay dói dièu khién ma vàn duy tri càc ràng
buòc va diéu kién tói uu dang dàng thùc. Cài tua bàc cao hon thuòng dupc su dung vói càc dièu
kién tói Uu bac cao. Khi dò cài tua bao gòm thém bac cùa dao hàm càc hàm xàc dinh bài toàn
tói uu.
§1. He khóng co ràng buòc pha.
1. Bài toàn. Càn tói uu hòa phiém hàm
J(u) = Kx(t*))-min

.

-

(1)

vói he phi tuyén dang
i = fj(x) + f2(x)u, teT = [t.,t*]. x(t.) = x^

(2)

Djnh nghia ILI. Hàm lién tue tùng doan u = u(t), u* < u(t)< u*. t e T , dupc gpi là dièu
khién chàp nhàn dupc, néu nghiém cùa he (2) tuong ùng vói nò thòa man ràng buóc
g(x(t*)) = 0

(3)

Càc véc to hàm n chièu f](.), f2(.). m chièu g(.) va mot chièu y^.) hén tue dòng thòi vói dao
hàm dén bac hai cùa chùng.
Khóng mat tinh tóng quàt, co thè già thiét t* = 0, u+ = -1, u* = 1.
2. Nguyén ì^ tó'itìutua. Già su (u,x) là dièu khién va nghiém chàp nhan dupc cùa he (2)-(3).
Xét he hén hpp
^=-A'(t)v,teT

(4)

V.(t*) = G'y-c

(5)

^^^

^i(x(t))
A(t)=

_J:L1Z^
ax

+

rf'?(x(t))
^J^^J

u(t),tGT

ax

24