Phương pháp phân tích và quản lý danh mục đầu tư

Phương pháp phân tích và quản lý danh mục đầu tư
I. Phương pháp phân tích trung bình- phương sai
1. Mục tiêu tối ưu lý tưởng
Lợi ích nhà đầu tư khi nắm giữ danh mục P là U(P). Do U(P) tăng theo
lợi suất kỳ vọng
P
r
và giảm theo phương sai
2
P
σ
của danh mục P nên để tối đa
hóa lợi ích kỳ vọng nhà đầu tư chọn danh mục P :( w
1
, w
2
, …, w
i- ε
, …, w
k- ε
,
w
N
) sao cho đồng thời
P
r
đạt cực đại và
2
P
σ
là cực tiểu. Đây là mục tiêu lý tưởng

của nhà đầu tư. Để đạt được mục tiêu lý tưởng nhà đầu tư phải giải bài toán tối
ưu:
Max
P
r
và Min
2
P
σ
P
r
=
∑
=
N
i
i
i
rw
1
,
2
P
σ
= w
’
Vw,
∑
=
N

i
i
w
1
=1
Nghiệm của bài toán này là nghiệm lý tưởng.
2. Mục tiêu tối ưu Pareto
Trong nhiều trường hợp bài toán không có nghiệm lý tưởng khi đó ta xét
bài toán với dạng sau:
+ Cho trước phương sai
2
P
σ
,
xác định danh mục P để có lợi suất kỳ vọng
cao nhất
+ Hoặc cho trước lợi suất kỳ vọng
P
r
, xác định danh mục P để có phương
sai nhỏ nhất
Ta có hai bài toán cho nghiệm tối ưu Pareto
Bài toán A: Max
P
r
P
r
=
∑
=

N
i
i
i
rw
1
, w
’
Vw=
2
o
σ
,
∑
=
N
i
i
w
1
=1
Bài toán B: Min
2
P
σ

2
P
σ
= w

’
Vw,
∑
=
N
i
i
i
rw
1
=
o
r
,
∑
=
N
i
i
w
1
=1
Ta giải hai bài toán sẽ cho nghiệm và các trị tối ưu là như nhau, tức hai
bài toán tương đương theo nghĩa:
+ Nếu giải bài toán thứ nhất ta thu được nghiệm và trị tối ưu w
A
,
P
r
(

2
o
σ
).
Sau đó ta thay
o
r
=
P
r
(
2
o
σ
) vào bài toán B và giải. Ta cũng thu được nghiệm và
trị tối ưu như bài toán A
+ Và ngược lại ta cũng có điều tương tự
Như vậy nhà đầu tư với mục tiêu lựa chọn danh mục tối ưu Patero thì
danh mục tối đa hóa lợi ích kỳ vọng cũng là danh mục tối thiểu hóa độ rủi ro
với lợi suất kỳ vọng cho trước. Do vậy, ta chỉ cần xét một trong hai bài hoán là
đủ. Ta sẽ xét bài toán tối thiểu hóa rủi ro vì các nhà đầu tư là được coi là những
người e ngại rủi ro.
3. Phương pháp trung bình phương sai
3.1 Xét nhóm tài sản rủi ro
Xét bài toán:
2
1
w’Vw→ Min








=
=
∑
∑
=
=
N
i
i
P
N
i
i
i
w
rrw
1
1
1
Giải bài toán trên ta sẽ luôn có nghiệm duy nhất vì đó là bài toán quy
hoạch lối toàn phương và tập phương án là tập Compact
Đặt: [1] =















1
1
1

, A ≡ [1]V
-1
[1], B ≡
'
r
V
-1
[1], C ≡
rVr
1
'
−
, D = AC-B
2
Nghiệm bài toán: w(

P
r
)= g +
P
r
h
Trong đó g =
D
1
[C(V
-1
[1])-B(V
-1

r
)] , h =
D
1
[A(V
-1
r
)-B(V
-1
[1])]
Trị tối ưu: Lợi suất kỳ vọng :
P
r
=
)(
P

rP
r
,
Phương sai :
2
P
σ
(
P
r
) =
D
CrBrA
PP
+− 2
2
3.2. Xét nhóm tài sản có chứa tài sản phi rủi ro
Bài toán:
2
1
w’Vw→ Min
(w’,
r
)+[1-( w’,[1])] r
f
= r
p
Giải bài toán quy hoach lồi có tập phương án là tập compact ta thu được
nghiêm duy nhất:
w(

p
r
)=
H
rf)-r (
p
V
-1
(
r
-r
f
) ,
2
P
σ
=
H
1
(
2
)(
fP
rr −
Vậy, cho dù danh mục P có hay không có tài sản phi rủi ro thì bài toán tối
ưu luôn có nghiệm duy nhất.
4. Phân tích mô hình trung bình- phương sai
4.1. Danh mục biên duyên và tập danh mục biên duyên
Với nhóm tài sản rủi ro, ta có nghiệm: w(
P

r
)= g +
P
r
h
Lợi suất kỳ vọng:
P
r
=
)(
P
rP
r
Phương sai :
2
P
σ
(
P
r
) =
D
CrBrA
PP
+− 2
2
Với nhóm tài sản có chứa tài sản rủi ro, ta có nghiệm
W(
p
r

)=
H
rf)-r (
p
V
-1
(
r
-r
f
)
Lợi suất kỳ vọng :
P
r
=
)(
P
rP
r
Phương sai :
2
P
σ
=
H
1
(
2
)(
fP

rr −
Khi
P
r
∈
(-
+∞∞,
), tập danh mục P(
P
r
) là tập danh mục biên duyên
P
σ
Ta có công thức xác định tập danh mục P khi
P
r
∈
(-
+∞∞,
) như sau:
Với nhóm tài sản rủi ro: W(
P
r
) = P(0) +
P
r
[P(1)-P(0)]
Trong đó
P
r

= 0 là P(0) = g, danh mục có lợi suất kỳ vọng băng 0

P
r
= 1 là P(1) = g+h, danh muc biên duyên có lợi suất bằng 1
Khi lợi suât thay đổi ta giải bài toán tối ưu được nghiệm mới và thu được
phương sai nhỏ nhất tương ứng với mức lợi suất đó. Tập hợp (
P
r
,
P
σ
) minh họa
danh mục biên duyên trên đồ thị:

Tập danh mục biên duyên không chứa tài sản phi rủi ro
Với nhóm tài sản có chứa tài sản phi rủi ro:
P
σ
Khi
P
r
∈
(-
+∞∞,
)Tập danh mục biên duyên P(
P
r
): {w(
p

r
), w
O
=[1-
)(
Pi
rw
]}
Lợi suất của tập danh mục biên duyên:
P
r
= r
f
+ σ
p
H
nếu
P
r
≥ r
f

P
r
= r
f
- σ
p
H
nếu

P
r
≤ r
f
Tập danh mục biên duyên khi danh mục P chứa tài sản phi rủi ro là hai
đường thẳng có chung gốc tại mức lợi suất phi rủi ro. Minh họa sử dụng đồ thị
ta có tập danh mục biên duyên P như hình sau:
4.2. Danh mục MVP:
Ta có danh mục biên duyên là tập hợp các danh mục P(
P
r
)
Danh mục MVP là danh mục biên duyên có phương sai nhỏ nhất
Với nhóm tài sản rủi ro, danh mục MVP là danh mục có:
MVP
r
=
A
B
,
2
MVP
σ
=
A
1
Trên hình vẽ là điểm gần trục lợi suất nhất