Số Fibonacci và một số ứng dụng trong các tam giác kinh điển : Luận văn ThS. Toán học: 60 46 01 13

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

PHẠM THỊ LIÊN

SỐ FIBONACCI
VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG
TRONG CÁC TAM GIÁC KINH ĐIỂN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP

Cán bộ hướng dẫn:
PGS. TS. Nguyễn Nhụy

HÀ NỘI - 2015


LỜI CẢM ƠN
Luận văn được hoàn thành với sự hướng dẫn của PGS. TS. Nguyễn
Nhụy, Trường Đại học Giáo dục - ĐHQGHN. Tôi xin được bày tỏ lòng
biết ơn sâu sắc đối với sự quan tâm, động viên và sự chỉ bảo hướng dẫn
nhiệt tình, chu đáo của thầy trong suốt thời gian tôi thực hiện Luận văn
này.
Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành của mình đến quý Thầy Cô
giáo trong khoa Toán – Cơ – Tin, phòng Đào tạo Sau đại học, Trường Đại
học Khoa Học Tự Nhiên – ĐHQGHN, đặc biệt là những Thầy Cô giáo đã
từng giảng dạy ở lớp PPTSC, khóa học 2013 – 2015. Cảm ơn Thầy Cô
đã truyền cho tôi kiến thức và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập
tại khoa. Đồng thời, tôi xin gửi lời cảm ơn tới tập thể lớp Cao học Toán

PPTSC, khóa học 2013 - 2015 đã động viên, giúp tôi có cơ hội thảo luận
và trình bày về một số vấn đề trong Luận văn của mình.
Tôi xin gửi lời cảm ơn tới Sở Giáo dục - Đào tạo Hà Nội, Ban Giám
hiệu, các đồng nghiệp Trường THPT Đông Đô - Quận Tây Hồ - Tp. Hà
Nội đã tạo điều kiện cho tôi về mọi mặt để tham gia học tập và hoàn thành
khóa học.
Cuối cùng, tôi xin gửi lời cảm ơn đến những người thân trong gia
đình, bạn bè đã luôn ủng hộ và nhiệt tình giúp đỡ tôi trong thời gian vừa
qua.
Tuy nhiên, do sự hiểu biết của bản thân và khuôn khổ của Luận văn
thạc sĩ, nên chắc rằng trong quá trình nghiên cứu không tránh khỏi những
thiếu sót. Tôi rất mong được sự chỉ dạy và đóng góp ý kiến của Thầy Cô
và độc giả quan tâm tới Luận văn này.
Hà Nội, ngày 08 tháng 10 năm 2015
Học viên

Phạm Thị Liên

1


Mục lục
0.1

Lý do chọn đề tài Luận văn . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

0.2

Mục đích của đề tài Luận văn . . . . . . . . . . . . . . . .

6

0.3

Bố cục của Luận văn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1 Số Fibonacci và mối liên hệ với tự nhiên, Toán học và các
ứng dụng
1.1

1.2

1.3

1.4

8

Sự ra đời của số Fibonacci cùng mối liên hệ với tự nhiên và
Toán học . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.1.1

Sự ra đời của số Fibonacci . . . . . . . . . . . . . .

8

1.1.2

Số Fibonacci với tự nhiên . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.1.3

Số Fibonacci với Toán học . . . . . . . . . . . . . . 18

Định nghĩa dãy Fibonacci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.2.1

Định nghĩa dãy Fibonacci . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.2.2

Định nghĩa dãy Lucas . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.2.3

Một số biến thể của dãy Fibonacci . . . . . . . . . . 24

Số Fibonacci với chỉ số âm . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.3.1

Số Fibonacci với chỉ số âm . . . . . . . . . . . . . . 25

1.3.2

Số Lucas với chỉ số âm . . . . . . . . . . . . . . . . 26

Dãy Fibonacci cùng Tỷ số vàng và ứng dụng . . . . . . . . 28
1.4.1

Định nghĩa Tỷ số vàng và mối quan hệ với cuộc sống 28

1.4.2

Tỷ số vàng trong tự nhiên

1.4.3

Tỷ số vàng trong kiến trúc . . . . . . . . . . . . . . 37

1.4.4

Tỷ số vàng trong thiết kế . . . . . . . . . . . . . . . 39

1.4.5

Tỷ số vàng trong nghệ thuật . . . . . . . . . . . . . 41

1.4.6

Dãy Fibonacci trong thị trường tài chính . . . . . . 43

2

. . . . . . . . . . . . . . 30


1.4.7

Các ứng dụng khác . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

2 Các tính chất của số Fibonacci. Công thức Binet cho số
Fibonacci
2.1

49

Các tính chất đơn giản của số Fibonacci . . . . . . . . . . . 49
2.1.1

Một số tính chất của số Fibonacci . . . . . . . . . . 49

2.1.2

Một số tính chất của số Lucas . . . . . . . . . . . . 62

2.2

Tính chia hết trong tập các số Fibonacci . . . . . . . . . . . 66

2.3

Công thức tổng quát của số Fibonacci . . . . . . . . . . . . 74

2.4

Một áp dụng của công thức Binet . . . . . . . . . . . . . . 78

2.5

Điều kiện cần và đủ để một số tự nhiên n là số Fibonacci . 81

2.6

Hai mối liên hệ đặc biệt của dãy Fibonacci và số 11 . . . . . 85
2.6.1

Mối liên hệ thứ nhất

. . . . . . . . . . . . . . . . . 85

2.6.2

Mối liên hệ thứ hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

3 Số Fibonacci và một số ứng dụng trong các tam giác kinh
điển
3.1

90
Số Fibonacci trong tam giác Pascal

. . . . . . . . . . . . . 90

3.1.1

Các kiến thức cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

3.1.2

Tam giác Pascal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

3.1.3

Một số tính chất rõ ràng của tam giác số Pascal . . 93

3.1.4

Mối liên hệ giữa tam giác Pascal với số Fibonacci . . 95

3.1.5

Các đường đi Fibonacci của một quân cờ trên một
bàn cờ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

3.2

3.3

Số Fibonacci trong tam giác tựa Pascal . . . . . . . . . . . 106
3.2.1

Mối liên hệ giữa tam giác tựa Pascal với số Lucas . . 106

3.2.2

Một công thức thay thế cho Ln . . . . . . . . . . . . 110

3.2.3

Mối liên hệ giữa tam giác tựa Pascal với số Fibonacci 111

3.2.4

Một công thức thay thế cho Fn . . . . . . . . . . . . 113

3.2.5

Tam giác Lucas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

3.2.6

Một định nghĩa đệ quy cho D(n, j) . . . . . . . . . . 115

Số Fibonacci trong tam giác tựa Pascal mở rộng . . . . . . 119
3


3.3.1

Mối liên hệ giữa tam giác tựa Pascal mở rộng với số
Fibonacci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

3.3.2

Mối liên hệ giữa tam giác tựa Pascal mở rộng với số
Lucas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

Kết luận

127

Tài liệu tham khảo

128

4


MỞ ĐẦU

0.1

Lý do chọn đề tài Luận văn
Dãy Fibonacci là một trong những vẻ đẹp của kho tàng Toán học.

Dãy Fibonacci xuất hiện và biến hóa vô tận trong tự nhiên, với rất nhiều
biến thể đẹp và ứng dụng quan trọng.
Trước Fibonacci, đã có nhiều học giả nghiên cứu về dãy Fibonacci.
Susantha Goonatilake viết rằng sự phát triển của dãy Fibonacci "một phần
là từ Pingala, sau đó được kết hợp với Virahanka, Gopala và Hemachandra". Sau Fibonacci, còn có rất nhiều nhà Khoa học nghiên cứu về dãy
Fibonacci như Cassini (1625 - 1712), Catalan (1814 - 1894), Lucas (1842 1891), Binet (1857 - 1911), D’Ocagne (1862 - 1938), .... Có rất nhiều tính
chất của dãy đã được mang tên các nhà khoa học này. Hiện nay, tài liệu
bằng tiếng Việt về dãy Fibonacci và một số ứng dụng trong các tam giác

kinh điển chưa có nhiều và còn tản mạn, do đó cần phải giới thiệu dãy
Fibonacci và một số ứng dụng trong tam giác kinh điển một cách đầy đủ
và thống nhất hơn.
Vì vậy, việc tìm hiểu sâu và giới thiệu dãy Fibonacci và một số ứng
dụng trong các tam giác kinh điển là rất cần thiết cho việc học tập, giảng
dạy Toán học và sự hiểu biết của con người. Bản Luận văn "Số Fibonacci
và một số ứng dụng trong các tam giác kinh điển" được tiến hành vào cuối
năm 2015 chủ yếu dựa trên các tài liệu tham khảo và một số phát hiện
riêng của tác giả.
Mặc dù trong Luận văn đề cập đến cả số Fibonacci và số Lucas,
nhưng số Fibonacci là chủ yếu. Chú ý rằng số Lucas được xây dựng sau
khi xuất hiện số Fibonacci, hơn thế nữa hai dãy số này được xây dựng trên
cùng một phương pháp và dãy Lucas được giới Toán học cho rằng thuộc
họ Fibonacci, nên Luận văn vì thế lấy tên chính là số Fibonacci.

5


0.2

Mục đích của đề tài Luận văn
Học tập và giới thiệu dãy Fibonacci cùng với các tính chất cơ bản.

Đặc biệt, giúp độc giả nắm được sự xuất hiện đa dạng của dãy Fibonacci
trong tự nhiên và những ứng dụng trong các tam giác kinh điển.
Chú ý rằng trong mọi lập luận, ta chỉ dùng đến kiến thức Toán Trung
học phổ thông.

0.3

Bố cục của Luận văn
Bản Luận văn "Số Fibonacci và một số ứng dụng trong các tam giác

kinh điển" gồm có: Mở đầu, ba chương nội dung, kết luận và tài liệu tham
khảo.
Chương 1. Số Fibonacci và mối liên hệ với tự nhiên, Toán học và
các ứng dụng
Chương này, giới thiệu sự ra đời của dãy Fibonacci và mối liên hệ
với tự nhiên, Toán học; định nghĩa dãy Fibonacci và dãy số Lucas; số
Fibonacci và số Lucas với chỉ số âm; dãy Fibonacci cùng Tỷ số vàng và
ứng dụng.
Chương 2. Một số tính chất của số Fibonacci. Công thức Binet
cho số Fibonacci
Chương này, trình bày một số tính chất của số Fibonacci và số Lucas;
công thức tổng quát của số Fibonacci, số Lucas và công thức Binet cho
số Fibonacci. Chứng minh các tính chất của số Fibonacci và số Lucas là
sự tìm tòi, suy nghĩ của tác giả. Ngoài ra, chúng tôi còn trình bày điều
kiện cần và đủ để số tự nhiên n là một số Fibonacci; một áp dụng của
công thức Binet cho thấy mối liên hệ giữa số Fibonacci và số Lucas. Đặc
biệt hơn nữa là trình bày hai mối liên hệ đặc biệt của số Fibonacci và số
11, trong đó có một mối liên hệ mà chúng tôi đã thấy người ta phát biểu
nhưng chưa được chứng minh tổng quát. Ở đây khi đưa tính chất đó ra,
chúng tôi đã chứng minh tổng quát đầy đủ.

6


Chương 3. Số Fibonacci và một số ứng dụng trong các tam
giác kinh điển
Một số ứng dụng của số Fibonacci trong các tam giác kinh điển như

tam giác Pascal, tam giác tựa Pascal và tam giác tựa Pascal mở rộng, được
đề cập đến trong chương này.

7


Chương 1
Số Fibonacci và mối liên hệ với tự
nhiên, Toán học và các ứng dụng
Trong Chương 1, chúng tôi chủ yếu giới thiệu sự ra đời của dãy
Fibonacci; mối liên hệ với tự nhiên, Toán học; định nghĩa dãy Fibonacci
và các ứng dụng của dãy Fibonacci cùng Tỷ số vàng. Tài liệu tham khảo
chính là [1, 2].
Các kí hiệu
Các số Fibonacci là Fn , n = 0, 1, 2, 3, 4, · · ·
Các số Lucas là Ln , n = 0, 1, 2, 3, 4, · · ·

1.1
1.1.1

Sự ra đời của số Fibonacci cùng mối liên hệ với
tự nhiên và Toán học
Sự ra đời của số Fibonacci
Fibonacci là tên viết tắt của một nhà toán

học ở châu Âu thời trung đại, ông sinh năm 1170
mất năm 1240, tên đầy đủ của ông là Leonardo of
Pisa, vì ông được sinh ra ở Pisa (Italy) và thuộc
dòng họ Bonacci. Fibonacci nổi tiếng trong thế giới
hiện đại vì có công lao truyền hệ đếm Hinđu - Ả

Rập ở châu Âu, và đặc biệt là dãy số hiện đại mang tên ông, dãy Fibonacci
trong cuốn sách Liber Abaci - Sách về Toán đố năm 1202.

8


Ở phương Tây, dãy Fibonacci đầu tiên xuất hiện trong cuốn sách
Liber Abaci (năm 1202) viết bởi Leonardo of Pisa - được biết đến với tên
Fibonacci, mặc dù dãy số này đã được mô tả trước đó trong Toán học Ấn
Độ. Fibonacci xem xét sự phát triển của một đàn thỏ được lý tưởng hóa,
giả định rằng: Để một cặp thỏ mới sinh, một đực, một cái trong một cánh
đồng, đến một tháng tuổi thỏ có thể giao phối và tới hai tháng tuổi, một
thỏ cái có thể sinh ra thêm một cặp thỏ khác, các con thỏ này không bao
giờ chết và việc giao phối một cặp luôn tạo ra một cặp mới (một đực, một
cái) mỗi tháng từ tháng thứ hai trở đi. Câu đố mà Fibonacci đặt ra là
"Trong mỗi năm có bao nhiêu cặp thỏ?"
(a) Vào cuối tháng đầu tiên, chúng giao phối, nhưng vẫn chỉ có 1 cặp.
(b) Vào cuối tháng thứ hai, thỏ cái tạo ra một cặp mới. Vì vậy bây giờ
có 1 + 1 = 2 (cặp) thỏ trong cánh đồng.
(c) Vào cuối tháng thứ ba, thỏ cái ban đầu lại tạo ra một cặp thỏ nữa,
biến số lượng thỏ trong cánh đồng lúc này là 2 + 1 = 3 (cặp).
(d) Và vào cuối tháng thứ tư, thỏ cái ban đầu đã sinh thêm một cặp
mới, thỏ cái sinh ra cách đây hai tháng cũng cho ra một cặp đầu tiên, tổng
số lúc này là 3 + 2 = 5 (cặp).

···
(e) Vào cuối tháng thứ n, số lượng các cặp thỏ bằng số lượng các cặp
mới (bằng số lượng các cặp trong tháng (n − 2)) cộng với số cặp trong
tháng (n − 1). Đây là số Fibonacci thứ n.
Và đó là tiền thân của dãy Fibonacci được xác định bằng cách liệt

kê các phần tử như sau
0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 610 987 · · ·
trong đó, mỗi phần tử nằm trong dãy số này luôn bằng tổng của 2 số
liền trước nó. Dãy Fibonacci được công bố năm 1202 và được "tiến hóa"
hầu như vô tận. Chính điều đó, đã thu hút được rất nhiều sự quan tâm
cũng như làm chúng ta say mê nghiên cứu, khám phá các tính chất của nó.

9


Hình 1.1: Sự phát triển của một đàn thỏ

1.1.2

Số Fibonacci với tự nhiên
Dãy Fibonacci xuất hiện ở khắp nơi trong tự nhiên, trong các kết

cấu về sinh học của các loài thực vật.
Nhiều loài cây, số lượng nhánh cây mọc tương ứng với dãy Fibonacci.
Chẳng hạn, một trong những loài cây phát triển rất giống với hình dưới
là loài cây Achillea ptarmica.

Hình 1.2: Loài cây Achillea ptarmica

Nhiều loài cây cũng có cách mọc lá tuân theo dãy Fibonacci. Chúng
ta quan sát kỹ sẽ thấy lá cây mọc ở trên thường xếp sao cho không che
10


khuất lá mọc dưới. Nếu từ một lá ngọn làm khởi đầu, xoay quanh thân

cây từ trên xuống dưới, lá sang lá, đếm số vòng xoay đồng thời đếm số
lá, cho đến khi gặp chiếc lá mọc đúng phía dưới lá khởi đầu, thì các số
Fibonacci xuất hiện. Nếu chúng ta đếm xoay theo hướng ngược lại, thì sẽ
được một con số vòng xoay khác (ứng với cùng chừng ấy lá). Con số vòng
xoay theo hai hướng, cùng với số lá cây mà chúng ta gặp khi xoay, tất cả
sẽ thành ba con số Fibonacci liên tiếp nhau.
Ví dụ 1. Trong ảnh cây dưới, lấy lá (x) làm khởi điểm, ta có 3 vòng quay
thuận chiều kim đồng hồ trước khi gặp lá (8) nằm đúng phía dưới lá (x),
hoặc là 5 vòng nếu quay theo ngược chiều kim đồng hồ. Vượt qua tổng cộng
8 lá. Các số 3, 5, 8 là ba số liên tiếp trong dãy Fibonacci.

Chiếc lá (3) và (5) là những chiếc lá phía dưới gần lá khởi điểm (x) nhất,
rồi xuống tiếp nữa là lá (8) rồi (13).
Có nhà nghiên cứu ước đoán rằng 90% các loài cây có sự xếp lá
tuân theo dãy Fibonacci, theo cách này hay cách khác.
Các số Fibonacci xuất hiện trong những bông hoa. Hầu hết các bông
hoa có số cánh hoa là một trong các số 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 hoặc
89, · · · , đó là các số Fibonacci. Hoa Loa kèn có 1 cánh, hoa Tai bướm có 2
cánh, hoa Địa lan có 3 cánh, hoa Mao lương vàng có 5 cánh, hoa Phi yến
thường có 8 cánh, hoa Vạn cúc thọ có 13 cánh, hoa Cúc tây có 21 cánh,
11


(a) Hoa một cánh

(b) Hoa hai cánh

(c) Hoa ba cánh

(a) Hoa năm cánh

(b) Hoa tám cánh

(c) Hoa mười ba cánh

hoa Cúc thường có 34 cánh, hoặc 55, hoặc 89 cánh, ....
Các số Fibonacci cũng xuất hiện trong các bông hoa Hướng dương.
Những nụ nhỏ sẽ kết thành hạt ở đầu bông hoa Hướng dương được xếp
thành hai tập các đường xoắn ốc.

Hình 1.3: Nhị hoa hướng dương

Một tập cuộn theo chiều kim đồng hồ, còn tập kia cuộn ngược theo chiều
kim đồng hồ. Số các đường xoắn ốc hướng thuận chiều kim đồng hồ thường
12


là 34 còn ngược chiều kim đồng hồ là 55. Đôi khi, các số này là 55 và 89,
và thậm chí là 89 và 144. Tất cả các số này đều là các số Fibonacci kế tiếp
nhau.
Điều tương tự cũng xảy ra ở nhị hoa nhiều loài hoa khác trong tự
nhiên. Số đường xoắn ốc của các hệ thống đường xoắn ốc khác nhau của
nhị hoa ở mỗi bông hoa thường xuyên là những con số thuộc dãy Fibonacci.

Quả thông có những đường xoắn ốc tuân theo dãy Fibonacci khá rõ.
Quả thông có hai tập các đường xoắn ốc ngược chiều nhau, một tập gồm
8 đường và tập kia gồm 13 đường, hoặc một tập gồm 5 đường và tập kia
gồm 8 đường. Và chúng là các số liên tiếp thuộc dãy Fibonacci.

Hình 1.4: Quả thông

Và cũng như vậy đối với quả dứa, số đường chéo tạo bởi các mắt
dứa theo các hướng chéo nhau cũng lần lượt là 8 và 13 hoặc 13 và 21, ...,
13


tùy kích thước.

Hình 1.5: Quả dứa

Những đường xoắn ốc tuân theo dãy Fibonacci cũng xuất hiện ở
cây xúp lơ. Nếu trông kỹ, ta có thể thấy một điểm giữa, ở đó những bông
hoa là nhỏ nhất. Nhìn kỹ thêm, ta lại thấy những bông hoa tí xíu này
được xếp trên những đường xoắn ốc xung quanh điểm trung tâm kể trên,
theo cả 2 hướng. Dễ dàng đếm được có 5 đường xoắn ngược kim đồng hồ
và 8 đường xoắn thuận chiều kim đồng hồ.

Hình 1.6: Xúp lơ

Xúp lơ kiểu Roman, bề ngoài và mùi vị vừa giống cải xanh vừa giống
xúp lơ. Mỗi phần tử nhỏ nổi lên và có hình dạng giống với tổng thể nhưng
14


kích thước bé hơn, khiến các vòng xoắn nổi lên rất rõ ràng. Có 13 vòng
xoắn ngược chiều kim đồng hồ và 21 vòng xoắn thuận chiều kim đồng hồ.

Hình 1.7: Xúp lơ kiểu Roman

Hơn nữa, trên bàn tay mỗi người chúng ta, bốn đốt xương của các

ngón tay cũng tuân theo dãy Fibonacci, đó là 2, 3, 5, 8.

Hình 1.8: Xương bàn tay

Vài loài hoa có 6 cánh hoa, và 6 không thuộc dãy Fibonacci. Trong
hình là hoa Huệ tây, hoa Thủy tiên và hoa Loa kèn đỏ. Nhưng nhìn kỹ thì
chúng thực chất có 2 lớp cánh hoa trong – ngoài, mỗi lớp gồm 3 cánh hoa,
15


và 3 là số Fibonacci.

Hình 1.9: Loài hoa 6 cánh

Ngoài ra, có một số loài thực vật không tuân theo quy luật của dãy
Fibonacci nhưng lại tuân theo quy luật của dãy Lucas.

Ví dụ 2. Một loài xương rồng có 4 vòng xoắn và 7 vòng xoắn.

Hình 1.10: Xương rồng có 4 và 7 vòng xoắn

Một loại xương rồng khác, hệ gồm 11 và 18 vòng xoắn. Bên cạnh
đó là xương rồng Echinocactus Grusonii Inermis có 29 múi.

16


Hình 1.11: Xương rồng có 11 và 18 vòng xoắn

Một loài hoa Vân anh, loài ớt ngọt đôi khi không có 3 múi mà lại

có 4 múi.

Hình 1.12: Hoa Vân anh và ớt ngọt

Như vậy các ngoại lệ không thuộc dãy Fibonacci thì lại thuộc một
dãy số tương tự, điển hình là dãy Lucas. Các con số 4, 7, 11, 18, 29 đều
thuộc dãy Lucas.
Sự phân chia tế bào cũng tuân theo quy luật của dãy Lucas.
(a) Ban đầu chỉ có 1 tế bào, ta gọi đó là tế bào mẹ gốc A00.
(b) Lần phân chia thứ 2: A00 sinh ra tế bào mẹ A01, sinh tế bào con
A10, và một tế bào con A-1 (không sinh sản). Giờ có 3 tế bào là A01, A10
và A-1.
(c) Lần phân chia thứ 3: A01 sinh ra A02, A10 sinh ra A11 và A20. A-1
17


vô sinh. Giờ có 4 tế bào là A02, A10, A11, A20.
(d) Lần phân chia thứ 4: Tế bào A02 không sinh sản mà trở thành A03.
Giờ có 7 tế bào là A03, A11, A20, A12, A20, A21, A30.
(e) Lần phân chia thứ 5: Tế bào A03 chết. Tế bào A12 không sinh sản
trở thành A13. Giờ có 11 tế bào là A12, A20, A21, A30, A13, A21, A30,
A22, A30, A31, A40.
(f) Lần phân chia thứ 6: Giờ có 18 tế bào là A13, A21, A30, A22, A30,
A31, A40, A22, A30, A31, A40, A23, A31, A40, A32, A40, A41, A50.
(g) Lần phân chia thứ 7: Tất cả có 29 tế bào.
Cứ tiếp tục quá trình trên, số tế bào trong mỗi lần phân chia lần lượt là
1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123, 199, 322, 521, 843, · · · . Đây chính là dãy
Lucas.

1.1.3

Số Fibonacci với Toán học

a) Số Fibonacci và hệ nhị phân
1. Số lượng chuỗi nhị phân với độ dài n mà không có các số 1 liên
tiếp là số Fibonacci Fn+2 .
Ví dụ 3. Trong số 16 chuỗi nhị phân với độ dài 4, chúng ta có F6 = 8
chuỗi không có các số 1 liên tiếp - chúng là 0000, 0100, 0010, 0001, 0101,
1000, 1010 và 1001.
2. Số lượng chuỗi nhị phân với độ dài n mà không có một số lẻ các
số 1 liên tiếp là số Fibonacci Fn+1 .
Ví dụ 4. Trong số 16 chuỗi nhị phân với độ dài 4, chúng ta có F5 = 5
chuỗi không có một số lẻ các số 1 liên tiếp - chúng là 0000, 0011, 0110,
1100 và 1111.
3. Số lượng chuỗi nhị phân với độ dài n mà không có một số chẵn
các số 0 hoặc các số 1 liên tiếp là 2Fn .
Ví dụ 5. Trong số 16 chuỗi nhị phân có độ dài 4, có 2F4 = 6 chuỗi không
có một số chẵn các số 0, hoặc các số 1 liên tiếp - chúng là 0001, 1000,
1110, 0111, 0101 và 1010.
18


b) Số Fibonacci và tam giác vuông
Gọi a và b là hai số Fibonacci kề nhau trong dãy. Xét 4 số Fibonacci
liên tiếp nhau là b − a, a, b, a + b.
Xét quan hệ ba độ dài sau 2ab, (b − a)(b + a) = b2 − a2 và a2 + b2 .
Ta có

(2ab)2 + (b2 − a2 )2 = 4a2 b2 + b4 − 2b2 a2 + a4
= b4 + 2b2 a2 + a4

= (b2 + a2 )2 .
Vậy tổng bình phương hai độ dài đầu bằng bình phương độ dài thứ ba.
Điều này cho phép chúng ta có thể xây dựng một tam giác vuông với độ
dài ba cạnh bằng 4 số Fibonacci liên tiếp Fn−1 , Fn , Fn+1 , Fn+2 . Trong đó,
hai cạnh bên của tam giác vuông là 2Fn Fn+1 và Fn−1 Fn+2 , cạnh huyền là
2
tổng bình phương của hai số Fn2 + Fn+1
.

Theo tính chất của số Fibonacci, ta có
2
F2n+1 = Fn2 + Fn+1
.

Chúng ta có tam giác vuông với độ dài hai cạnh góc vuông là 2Fn Fn+1 , Fn−1 Fn+2
và cạnh huyền là F2n+1 . Theo định lý Pythagore, ta có
2
F2n+1
= (2Fn Fn+1 )2 + (Fn−1 Fn+2 )2 .

c) Số Fibonacci và hình học
1. Hình chữ nhật Fibonacci
Hình chữ nhật Fibonacci là hình chữ nhật được sắp xếp từ các hình
vuông có độ dài cạnh là các số trong dãy Fibonacci, với các đặc điểm sau
19


i) Cạnh đứng có độ dài bằng tổng các số Fibonacci có số thứ tự lẻ
n−1

F2i+1 = F2n+1 .
i=1

ii) Cạnh ngang có độ dài bằng tổng các số Fibonacci có số thứ tự chẵn
cộng thêm 1

n

F2i+1 = F2n+1 .
i=1

iii) Diện tích của hình chữ nhật chính là tổng diện tích của các hình
vuông thành phần

n

Fi2 = Fn Fn+1 .
i=1

2. Xoắn ốc Fibonacci và hình chữ nhật vàng
Xoắn ốc Fibonacci được tạo ra bằng cách vẽ cung tròn kết nối các
góc đối diện của các hình vuông trong hình chữ nhật Fibonacci.
Hình chữ nhật vàng là hình chữ nhật có tỷ số chiều dài trên chiều
rộng bằng Tỷ số vàng ϕ.
Chúng ta có thể tạo ra hình chữ nhật vàng thông qua hình chữ nhật
Fibonacci. Đường xoắn ốc Fibonacci nằm bên trong hình chữ nhật vàng
còn được gọi là đường xoắn ốc vàng.

20

3. Tam giác Fibonacci
Trong một lưới tam giác đều, ta vẽ một tam giác đều có cạnh bằng
đơn vị ở đỉnh, dưới nó ta vẽ một hình thoi màu vàng và bên cạnh hình thoi
là một tam giác đỏ thứ hai. Dưới tam giác đỏ là một hình thoi màu vàng
khác và bên cạnh nó là một hình thang cân màu đỏ. Và ta quy định dưới
hình thang màu đỏ là hình thoi màu vàng và dưới hình thoi màu vàng là
hình thang màu đỏ. Theo thứ tự như vậy, ta được tam giác Fibonacci với
cạnh là số Fibonacci.

Khi đó, độ dài cạnh của hình thoi là số Fibonacci. Độ dài đáy trên, độ
dài hai cạnh bên và độ dài đáy dưới của hình thang cân là ba số Fibonacci
liên tiếp.

21


4. Lục giác Fibonacci

5. Ngôi sao Fibonacci

22


6. Số Fibonacci trong lưới hình vuông và đỉnh Matterhorn
trong dãy An-pơ ở Thụy Sĩ
Trong lưới hình vuông, ta sắp xếp tương tự như trong lưới tam giác
đều và thay tam giác đều cạnh đơn vị bởi tam giác vuông cân cạnh góc
vuông là đơn vị, hình thoi bởi hình vuông, hình thang cân bởi hình thang

vuông. Khi đó, độ dài cạnh hình vuông là các số Fibonacci. Hình thang
vuông có độ dài đáy nhỏ, độ dài cạnh bên góc vuông và độ dài đáy lớn lần
lượt là ba số Fibonacci liên tiếp.
Số Fibonacci trong lưới hình vuông liên tưởng tới đỉnh Matterhorn
trong dãy An-pơ ở Thụy Sĩ.

Ngoài ra, số Fibonacci còn có mối liên hệ chặt chẽ với tam giác
Pascal, tam giác Lucas, tam giác tựa Pascal, tam giác tựa Pascal mở rộng.
Các mối liên hệ này sẽ được trình bày rõ ràng ở Chương 3 của Luận văn.

1.2
1.2.1

Định nghĩa dãy Fibonacci
Định nghĩa dãy Fibonacci
Gọi {Fn }∞
n=1 là dãy vô hạn các số tự nhiên bắt đầu bằng hai phần

tử 0 và 1, các phần tử sau đó được thiết lập theo quy tắc mỗi phần tử
luôn bằng tổng hai phần tử ngay trước nó.

23


Công thức truy hồi của dãy Fibonacci là

khi n = 0;
0,
khi n = 1;
Fn := 1,


Fn−1 + Fn−2 , khi n > 1.
Theo định nghĩa, ta có dãy Fibonacci
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, · · ·

1.2.2

Định nghĩa dãy Lucas
Dãy Lucas là một dãy số được đặt tên nhằm vinh danh nhà toán

học Francois Esdouard Anatole Lucas (1842 - 1891), người đã nghiên cứu
dãy Fibonacci và dãy thuộc họ Fibonacci mà mỗi số trong dãy bằng tổng
của hai số liền trước nó.
Định nghĩa. Dãy {Ln }∞
n=1 các con số Lucas được định nghĩa bởi hệ thức
truy hồi sau

khi n = 0;
2,
khi n = 1;
Ln := 1,

Ln−1 + Ln−2 , khi n > 1.
Theo định nghĩa, ta có dãy số Lucas
2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123, 199, 322, 521, 843, 1364, · · ·

1.2.3

Một số biến thể của dãy Fibonacci

(a) Dãy Tribonacci
Dãy Tribonacci giống dãy Fibonacci, nhưng thay vì với hai số cho
trước, dãy Tribonacci bắt đầu với ba số cho trước và mỗi số kế tiếp là tổng
của ba số đứng trước đó trong dãy. Dưới đây là các số đầu tiên trong dãy
Tribonacci

0, 1, 1, 2, 4, 7, 13, 24, 44, 81, 149, 274, 504, 927, 1705, 3136, · · ·
(b) Dãy Tetranacci
Cách thành lập dãy số Tetranacci giống dãy Tribonacci, chỉ khác là
nó bắt đầu với bốn số cho trước và mỗi số kế tiếp là tổng của bốn số đứng
trước trong dãy. Dưới đây là các số đầu tiên trong dãy Tetranacci
0, 1, 1, 2, 4, 8, 15, 29, 56, 108, 208, 401, 773, 1490, 2872, 5536, · · ·
24