Xây dựng bộ chương trình tính chuyển đổi các thành phần của trường từ bằng ngôn ngữ lập trình Matlab

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
---------------------

Nguyễn Thị Thúy Hiền

XÂY DỰNG BỘ CHƯƠNG TRÌNH TÍNH CHUYỂN
ĐỔI CÁC THÀNH PHẦN CỦA TRƯỜNG TỪ BẰNG
NGÔN NGỮ LẬP TRÌNH MATLAB

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Hà Nội – 2015


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
---------------------

Nguyễn Thị Thúy Hiền

XÂY DỰNG BỘ CHƯƠNG TRÌNH TÍNH CHUYỂN
ĐỔI CÁC THÀNH PHẦN CỦA TRƯỜNG TỪ BẰNG
NGÔN NGỮ LẬP TRÌNH MATLAB

Chuyên ngành: Vật lý địa cầu.
Mã số: 60440111
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS. Đỗ Đức Thanh

Hà Nội - 2015


LỜI CẢM ƠN
Để hoàn thành quyển luận văn này, trước tiên, với lòng kính trọng và
biết ơn sâu sắc, tôi xin gửi lời cảm ơn tới PGS.TS. Đỗ Đức Thanh - người
thầy trực tiếp hướng dẫn khoa học và tận tình chỉ bảo tôi trong suốt quá trình
thực hiện đề tài.
Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới các thầy cô trong Bộ môn Vật lý
Địa cầu – Trường Đại học Khoa học tự nhiên – Đại học Quốc gia Hà Nội đã
trang bị kiến thức và có những đóng góp hết sức quý báu cho tôi để hoàn
thành luận văn này. Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn đến tất cả các thầy cô trong
Bộ môn Vật lý – Khoa Cơ điện và Công trình – Trường Đại học Lâm Nghiệp
đã tạo điều kiện tốt nhất để tôi có thể hoàn thành tốt nhiệm vụ của mình.
Cuối cùng cho phép tôi bày tỏ lòng biết ơn vô hạn tới gia đình và bạn bè,
những người đã luôn quan tâm, động viên và là chỗ dựa tinh thần vững chắc
của tôi trong những thời khắc khó khăn nhất.
Do điều kiện thời gian và trình độ có hạn nên bản luận văn của tôi
không tránh khỏi thiếu sót, rất mong nhận được sự góp ý của thầy cô và các
bạn.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội,Ngày 07 tháng 12 năm 2015
Học viên

Nguyễn Thị Thúy Hiền


DANH MỤC BẢNG BIỂU

Bảng 3.1: Các thông số của vật thể có thiết diện ngang là hình trụ tròn bị từ hóa

đồng nhất………………………………………………………………………...…32
Bảng 3.2. Các thông số của vật thể có thiết diện ngang là đa giác bất kì bị từ hóa
đồng nhất…………………………………………………………………………...42
Bảng 3.3. Các thông số của quả cầu bị từ hóa đồng nhất…………………………..51


DANH MỤC HÌNH VẼ

Hình 1.1: Vecto biểu diễn dị thường trường tổng………………………………….04
Hình 1.2: Thế từ của một vật tiết diện bất kỳ………………………………………06
Hình 1.3: Từ hóa của một vật tiết diện bất kỳ……………………………………...10
Hình 1.4: Tính từ trường của một hình trụ tròn nằm ngang………………………..13
Hình 1.5: Vật thể 2 chiều tiết diện ngang bất kỳ được xấp xỉ bằng đa giác N cạnh..15
Hình 1.6: Tính từ trường cho cầu thể……………………………………………....18
Hình 1.7: Vị trí của vecto ………………………………………………………..19
Hình 1.8: Các đường cong
Hình 1.9: Các đường đẳng trị

trên hình cầu dọc theo phương kinh tuyến..........21
trên hình cầu với I=600 (trục thẳng đứng chạy

theo phương kinh tuyến từ)………………………………………………………...22
Hình 2.1: Sơ đồ tuyến đo trên vật thể hai chiều…………………………….……...28
Hình 3.1a,b,c : Biến đổi Hilbert từ thành phần

của hình trụ tròn nằm ngang dài

vô tận với góc nghiêng từ hóa I=900………………………………...……………..34
Hình 3.2a,b,c : Biến đổi Hilbert từ thành phần

của hình trụ tròn nằm ngang dài

vô tận với góc nghiêng từ hóa I=900……………………………………………….35
Hình 3.3a,b,c : Biến đổi Hilbert từ thành phần

của hình trụ tròn nằm ngang dài

vô tận với góc nghiêng từ hóa I=900………………………………………..……..36
Hình 3.4a,b,c : Biến đổi Hilbert từ thành phần

của hình trụ tròn nằm ngang dài

vô tận với góc nghiêng từ hóa I=600……………………………………..………..38


Hình 3.5a,b,c : Biến đổi Hilbert từ thành phần

của hình trụ tròn nằm ngang dài

vô tận với góc nghiêng từ hóa I=600……………………………………………….39
Hình 3.6a,b,c : Biến đổi Hilbert từ thành phần

của hình trụ tròn nằm ngang dài

vô tận với góc nghiêng từ hóa I=600………………….…………..………………..40
Hình 3.7a,b,c : Biến đổi Hilbert từ thành phần

của vật thể có tiết diện ngang là

đa giác bất kỳ với góc nghiêng từ hóa I=900……………………………………….43

Hình 3.8a,b,c : Biến đổi Hilbert từ thành phần

của vật thể có tiết diện ngang là

đa giác bất kỳ với góc nghiêng từ hóa I=900………………………..……………..44
Hình 3.9a,b,c : Biến đổi Hilbert từ thành phần

của vật thể có tiết diện ngang là

đa giác bất kỳ với góc nghiêng từ hóa I=900………………………..………….….45
Hình 3.10a,b,c : Biến đổi Hilbert từ thành phần

của vật thể có tiết diện ngang là

đa giác bất kỳ với góc nghiêng từ hóa I=600……………………………………….47
Hình 3.11a,b,c : Biến đổi Hilbert từ thành phần

của vật thể có tiết diện ngang là

đa giác bất kỳ với góc nghiêng từ hóa I=600……………………………………….48
Hình 3.12a,b,c : Biến đổi Hilbert từ thành phần

của vật thể có tiết diện ngang là

đa giác bất kỳ với góc nghiêng từ hóa I=600……………………………………….49
Hình 3.13a,b,c,d,e : Biến đổi Hilbert từ thành phần

của vật thể hình cầu với góc

nghiêng từ hóa I=900…………………………………………………………....52,53

Hình 3.14a,b,c,d,e : Biến đổi Hilbert từ thành phần

của vật thể hình cầu với góc

nghiêng từ hóa I=900………………………………………………………...53,54,55
Hình 3.15a,b,c,d,e : Biến đổi Hilbert từ thành phần

của vật thể hình cầu với góc

nghiêng từ hóa I=900……………………..………………………………….….55,56


Hình 3.16a,b,c,d,e : Biến đổi Hilbert từ thành phần

của vật thể hình cầu với góc

nghiêng từ hóa I=600…………………………………………………………....58,59
Hình 3.17a,b,c,d,e : Biến đổi Hilbert từ thành phần

của vật thể hình cầu với góc

nghiêng từ hóa I=600………………………………………………………...59,60,61
Hình 3.18a,b,c,d,e : Biến đổi Hilbert từ thành phần

của vật thể hình cầu với góc

nghiêng từ hóa I=600……………………..………………………………….….61,62


MỤC LỤC

MỞ ĐẦU ............................................................................................................................... 1
CHƯƠNG 1 XÁC ĐỊNH CÁC THÀNH PHẦN CỦA TRƯỜNG TỪ GÂY RA BỞI
CÁC VẬT THỂ BỊ TỪ HÓA. ............................................................................................. 3
1.1. Bài toán thuận xác định các thành phần của trường từ gây bởi vật thể bị từ hóa. .... 3
1.2. Dị thường từ toàn phần. ............................................................................................. 3
1.3. Các biểu thức tích phân tổng quát xác định thế từ và các thành phần của
trường từ. ............................................................................................................................ 6
1.4. Các phương pháp hai chiều ...................................................................................... 12
1.4.1. Phương pháp xác định các thành phần của trường từ gây ra bởi hình trụ tròn
nằm ngang có chiều dài vô hạn . .................................................................................. 13
1.4.2. Phương pháp xác định các thành phần của trường từ gây ra bởi vật thể hai
chiều có tiết diện ngang là đa giác bất kì. .................................................................... 14
1.5. Phương pháp ba chiều . ............................................................................................ 17
CHƯƠNG 2 SỬ DỤNG THUẬT TOÁN HILBERT ĐỂ BIẾN ĐỔI CÁC THÀNH
PHẦN CỦA TRƯỜNG TỪ ............................................................................................... 23
2.1 Định nghĩa biến đổi Hilbert . ................................................................................... 23
2.2 Sử dụng thuật toán Hilbert để tính chuyển các thành phần của trường từ . .................. 26
2.2.1 Mở đầu .............................................................................................................. 26
2.2.2 Tính chuyển các thành phần của trường từ nhờ thuật toán Hilbert ................. 27
CHƯƠNG 3 MÔ HÌNH HÓA VÀ KẾT QUẢ TÍNH TOÁN......................................... 32
3.1 Mô hình 1: Mô hình vật thể là hình trụ tròn nằm ngang. ......................................... 32
3.3.1 Thông số của mô hình ....................................................................................... 32
3.3.2 Kết quả tính toán ............................................................................................... 33
3.2 Mô hình 2: Mô hình vật thể có thiết diện ngang là đa giác bất kì............................ 43
3.2.1

Thông số của mô hình ...................................................................................... 43

3.2.2. Kết quả tính toán ................................................................................................ 44
3.3 Mô hình 3: Mô hình vật thể hình cầu. ...................................................................... 56

3.3.1 Thông số của mô hình ....................................................................................... 56
3.3.2 Kết quả tính toán ............................................................................................... 57
KẾT LUẬN ......................................................................................................................... 70
DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHÁO.......................................................................... 71


MỞ ĐẦU
Thăm dò từ được tiến hành từ rất sớm, nó là một trong những phương pháp nghiên
cứu cấu trúc bên trong trái đất, cấu tạo địa chất, tìm kiếm và thăm dò khoáng sản. Thăm
dò từ có giá trị rất lớn với nền kinh tế của nước ta, nó được áp dụng rộng rãi trong tất cả
các giai đoạn nghiên cứu tìm kiếm, thăm dò địa chất. Trong giai đoạn hiện nay, thăm dò
từ góp phần giải quyết các vấn đề về phân vùng, kiến tạo thạch học, phát hiện các vùng
có triển vọng khoáng sản để tiến hành các công tác thăm dò địa chất, địa vật lý chi tiết.
Phương pháp từ thường được áp dụng tổ hợp với các phương pháp địa Vật lý, địa
hoá, địa chất khác nhằm mục đích nâng cao hiệu quả của chúng. Nhờ có phương pháp từ
người ta có khả năng rất lớn để nghiên cứu những diện tích có triển vọng khoáng sản
trong những vùng bị phủ kín.
Trong phương pháp thăm dò từ, việc giải các bài toán nhằm xác định các thành
phần của trường từ của vật thể bị từ hóa giữ vai trò vô cùng quan trọng. Tuy nhiên, dị
thường từ không chỉ phụ thuộc vào các thông số của vật thể gây dị từ mà còn phụ thuộc
vào độ từ thiên và độ từ khuynh của trường cực từ trái đất. Bởi vậy, việc xác định tất cả
các thành phần của trường từ trên cùng một khu vực gặp nhiều khó khăn. Do đó, chúng ta
cần tìm ra một phương pháp để có thể chuyển đổi giữa các thành phần của trường từ.
Ngoài ra việc tính chuyển từ thành phần này sang thành phần khác của trường từ cũng
mang ý nghĩa đặc biệt quan trọng. Nó góp phần làm đơn giản hóa đáng kể việc xử lý các
số liệu đo từ cũng như để so sánh các số liệu từ và trọng lực trên cùng một khu vực
nghiên cứu.
Matlab (Matrix Laboratory) theo tên gọi của nó là một công cụ phần mềm của Math
Work, được phát triển mạnh mẽ nhằm phục vụ chủ yếu cho các mô tả nghiên cứu kĩ thuật
bằng toán học với những phần tử cơ bản nhất là ma trận. Mức phát triển của Matlab ngày

nay chứng tỏ nó là một phần mềm có giao diện cực mạnh cùng nhiều lợi thế trong kỹ
thuật lập trình để giải quyết các vấn đề đa dạng trong nghiên cứu khoa học kĩ thuật. Các
câu lệnh của Matlab được viết rất sát với các mô tả kỹ thuật khiến cho việc lập trình bằng
ngôn ngữ này thuận tiện và dễ sử dụng hơn nhiều so với các ngôn ngữ lập trình khác như
1


Pascal, Fotran..Ngoài ra, Matlab còn cho phép người dùng có thể biểu diễn đồ họa 1 cách
mềm dẻo, đơn giản và khá chính xác trong không gian hai chiều cũng như trong không
gian ba chiều.
Do đó, trong phạm vi luận văn này, chúng tôi đã tiến hành lập trình bằng ngôn ngữ
Matlab để thực hiện việc giải bài toán thuận nhằm xác định và tính chuyển các thành
phần của trường dị từ trong trường hợp các vật thể bị từ hóa là hình cầu và các vật thể có
tiết diện ngang là hình trụ hay tiết diện ngang xấp xỉ bởi một đa giác N cạnh bất kỳ.
Để làm rõ vấn đề này, luận văn được chia làm 3 chương:
- Chương 1. Xác định các thành phần của trường từ gây bởi các vật thể bị từ hóa.
- Chương 2. Sử dụng thuật toán Hilbert để biến đổi các thành phần của trường từ.
- Chương 3. Mô hình hóa và kết quả thử nghiệm.

2


CHƯƠNG 1
XÁC ĐỊNH CÁC THÀNH PHẦN CỦA TRƯỜNG TỪ GÂY RA BỞI CÁC VẬT
THỂ BỊ TỪ HÓA.
Bài toán thuận xác định các thành phần của trường từ gây bởi vật thể bị
từ hóa [5].
Việc xác định dị thường từ của đối tượng địa chất nào đó chính là nội dung của một
bài toán quen thuộc trong Địa vật lý, đó là bài toán thuận mà thực chất của nó là khi ta
biết vật thể gây dị thường từ có hình dạng và kích thước nhất định và từ hoá đồng nhất,

cho biết sự phân bố từ hoá J trên bề mặt vật thể đó, ta cần tìm biểu thức giải tích mô tả
trường từ.
Để giải bài toán thuận ta thừa nhận các điều kiện sau:
1.Vật thể gây trường bị từ hoá đồng nhất.
2.Vật thể giới hạn bởi các mặt phẳng hay các mặt cong bậc hai là các vật thể có
dạng hình học đơn giản.
3. Do quy luật chồng chất của thế, trường ta thừa nhận lực tác dụng của vật thể
lên điểm đo là tổng lực của các phần tử cơ bản thuộc vật thể đó.
Về nguyên tắc bài toán thuận là đơn nghiệm. Tương ứng với một vật thể ta có thể
tìm được một lời giải độc nhất mô tả trường từ của vật. Dĩ nhiên là trong thiên nhiên các
thực thể địa chất không bao giờ nghiệm đúng hoàn toàn với điều kiện đặt ra của bài toán.
Chúng thường có dạng kỳ dị, ranh giới biến đổi từ tính từ từ và từ hoá không hoàn toàn
đồng nhất. Tuy nhiên, kinh nghiệm cho thấy với một sai số giới hạn việc xấp xỉ các thực
thể địa chất với các vật thể hình học đã nói là có thể chấp nhận được và là cần thiết trong
khâu nghiên cứu phân tích các số liệu đo đạc.
Dị thường từ toàn phần [5].

3




Giả sử trong vùng nghiên cứu trường từ khu vực F , có nguồn gốc ở dưới sâu, bị
r
nhiễu loạn bởi trường dị thường F do các vật bị từ hoá nằm nông (vật gây dị thường từ)
gây ra. Trường tổng quan sát được tại điểm P bất kỳ trong vùng đó sẽ là vectơ tổng
r
r r
  F  F . Dị thường của trường tổng - hay còn gọi là dị thường từ toàn phần - được
xác định bởi :






    F  F  F  F

(1.1)

Chú ý rằng :

T  F





Nếu dị thường từ rất nhỏ so với trường khu vực, tức là F  F , thì khi đó dị
thường từ toàn phần là:

 

 
  F  F  F  F .F  2 F .F





1

2


F

 
 1 1
   1    F .F
 F .F 2  2 F .F 2 F .F  F  
2
F

 

  




ˆ 
  F .F ,

Vậy:
(1.2)


Ở đây, Fˆ là véctơ đơn vị theo hướng F ,  chính là hình chiếu của


F



vào F (hình

1.1).

Hình 1.1.Vectơ biểu diễn dị thường trường tổng.
Hình 1.1 biểu diễn các phương trình (1.1) và (1.2). Nếu trường khu vực lớn hơn
nhiều so với trường nhiễu thì  xấp xỉ bằng thành phần của trường dị thường theo
4


hướng trường khu vực. Thực tế cho thấy, các dị thường từ trong vỏ trái đất có biên độ cỡ




một vài nT tới vài ngàn nT, nhưng hiếm khi vượt quá 5000 nT, vì vậy, điều kiện F  F
thường được sử dụng trong các nghiên cứu độ từ hoá vỏ trái đất.

Khi vật thể gây dị thường bị từ hóa cả bởi cảm ứng và từ hóa dư, biên độ và hướng
r
của chúng rõ ràng là không trùng với nhau. Khi đó, độ từ hóa J tổng cộng trong vật thể
là tổng hợp của cả hai. Tuy nhiên, trong trường hợp của vật thể hai chiều, không phải tất
r
cả độ từ hóa tổng cộng tạo ra dị thường. Vectơ từ hóa J có thể được phân thành 3 thành
phần vuông góc với nhau: (a) thẳng đứng hướng xuống dưới J sin  , (b) song song với
đường phương của vật thể J cos  cos  và (c) vuông góc với đường phương trong mặt
phẳng nằm ngang J cos  sin  , trong đó  là góc nghiêng của vectơ từ hoá còn  là

phương vị từ của đường phương vật thể (góc tạo bởi đường phương vật thể với cực bắc
địa từ).
Trong ba thành phần này, thành phần song song với đường phương của vật thể
không có tác dụng tạo ra dị thường từ. Vectơ từ hóa hiệu dụng gây ra dị thường từ, vì
vậy, là tổng hợp của thành phần thẳng đứng hướng xuống dưới và thành phần vuông góc
với đường phương. Vectơ từ hóa hiệu dụng có cường độ J' và góc nghiêng ' nằm trong
mặt phẳng thẳng đứng vuông góc với đường phương (mặt phẳng quan sát) được cho bởi:

J '  J 2 sin 2   J 2 cos2  sin 2   J 1  cos2  cos2 
(1.3)
 tg 
.
 sin  

 '  arctg

(1.4)
Ba thành phần của dị thường từ: dị thường từ thẳng đứng

Z ,

dị thường từ nằm

ngang H và dị thường từ toàn phần T trên các vật thể hai chiều không hoàn toàn khác
nhau. Chúng chỉ dịch chuyển về pha và khác nhau về biên độ. Các kỹ thuật minh giải phát
triển để phân tích cho một thành phần riêng biệt, vì vậy, cũng có giá trị đối với hai thành
phần kia với điều kiện rằng độ từ hoá và góc nghiêng từ hoá phải được thay đổi khác nhau
5

cho các thành phần khác nhau. Radhakrishna Murthy (2001) [7] đã đưa vào một thông số
được gọi là hướng đo Dm để có thể viết một cách khái quát dị thường từ của các vật thể
đơn giản và phát triển phương pháp minh giải chung, có thể áp dụng cho tất cả ba thành
phần dị thường của vật thể. Hướng từ hóa thực tế được xác định như là góc nghiêng của
một đường nào đó trong mặt phẳng kinh tuyến từ mà dọc theo nó thành phần dị thường từ
được đo đạc. Thành phần dị thường từ toàn phần T dọc theo hướng Dm liên quan với
thành phần dị thường từ thẳng đứng Z và nằm ngang H bởi mối liên hệ:
T  Z sin Dm  H cos Dm

(1.5)
Nhờ thông số Dm, ta có thể đưa ra được phương trình khái quát để có thể tính được
các thành phần dị thường từ khác nhau của các vật thể hai chiều theo Dm. Dm sẽ nhận các
giá trị 0, /2 và  để tính các thành phần dị thường tương ứng là

H, Z và T từ

phương trình khái quát. Như vậy, các kỹ thuật minh giải được phát triển dựa trên phương
trình này có giá trị đối với ba thành phần của dị thường.
Trong thực tế hiện nay, việc dùng các từ kế prôton cho phép đo được cường độ
trường toàn phần của trường từ trái đất, nên ta xác định được một cách dễ dàng trường dị
thường .
Việc nghiên cứu và phân tích trường dị thường từ của trái đất có giá trị thực tế rất
lớn không những chỉ trong lĩnh vực đo vẽ bản đồ địa chất, tìm kiếm khoáng sản, mà còn
giúp ta làm sáng tỏ các đặc điểm kiến tạo của vùng nghiên cứu qua sự thể hiện của nó
trong trường từ cũng như trong mặt cắt địa từ của vỏ trái đất.
Các biểu thức tích phân tổng quát xác định thế từ và các thành phần của trường từ
[4].
P(x,y,z)

r

Q

dv
6

Hình 1.2. Thế từ của một vật tiết diện bất kỳ


Giả sử vật thể giới hạn bởi mặt S (Hình 1.2) có từ hoá J. Tính thế từ gây ra nên bởi
các vật thể đó tại điểm P nằm ngoài nó. Vì vật thể được cấu tạo từ những mômen từ có
kích thước nhỏ, chúng được xem là những yếu tố cơ bản - các lưỡng cực từ được tính là:
dU= d3.r

(1.6)

r

Trong đó d  là momen từ của lưỡng cực. Vì d  = JdV cho nên:
(J.r ).dV
r3

dU =

hay

1
r

dU = -(Jgrad ).dV

Thế từ tại điểm P gây nên bởi toàn bộ vật thể sẽ là tổng thế từ của tất cả những yếu
tố cơ bản và bằng :
1
r

U = -  (Jgrad ) dv
V

(1.7)

Tích phân (1.7) lấy cho toàn bộ thể tích giới hạn bởi mặt S, gradient lấy theo toạ độ
điểm P.
Nếu chuyển sang toạ độ điểm Q ta có :
1
r

U =  (Jgrad ) dv
V

Từ lý thuyết phân tích vecto ta có :
J
r

U =  div ( ) dv -  (
V

V

divJ

) dv
r

Biến đổi tích phân thứ nhất sang tích phân mặt bằng thuật toán Ostrogratxki-Gaus ta có
:
7


U=

JdS
r
S



divJ
dv
r
V



(1.8)

Nếu thừa nhận vật thể từ hoá đồng nhất (J = conts) từ (1.8) có thể viết :
1
r

U =  J  (grad P ) dv

V

Vì gradient lấy theo toạ độ điểm P còn tích phân lấy theo tọa độ điểm Q cho nên
1
r
V

trình tự thực hiện có thể ngược lại và ta có : U = -Jrad  dv
Biểu diễn

1

 r dv = V- đại lượng tỉ lệ với thế trọng lượng gây nên do vật thể đang xét

V

mật độ  = 1 . Ta có :
U = - ( JgradV )

(1.9)

Đó là phương trình Poisson. Nó cho phép tính thế từ của vật thể nếu biết thế trọng lực
của vật thể đó, khi thừa nhận vật thể từ hoá đồng nhất và có mật độ đồng nhất.
Nếu lưu ý rằng divV = 0 và J = conts thì (1.9) có thể đưa về dạng:
U=

Jn
dS
r
S



(1.10)

Như vậy ta có thể tính thế từ nếu biết thành phần pháp tuyến của véc tơ J theo bề
mặt S.
Để giải bài toán thuận ta có thể sử dụng hai biện pháp. Đối với một số vật thể dễ xác
định thế trọng lực (cầu thể, elipxoit ) ta tính thế từ theo công thức (1.9). Đối với các vật
thể khác (lăng trụ, hình hộp) thường người ta tính thế từ theo công thức (1.10). Biết thế từ
U ta có thể tính cường độ trường từ theo công thức:
H = -gradU

(1.11)

Ở đây U được xác định theo công thức (1.9) hoặc (1.10).
8


Trong trường hợp tính theo công thức (1.9) các biểu thức khai triển cho các thành
phần trường từ là :
Đối với các vật thể 3 chiều :
X=

1
[J x Vxx+ JyVxy+ JzVxz]
K 2

Y=

1
[J x Vyx+ JyVyy+ JzVyz]
K 2

Z=

1
[J x Vzx+ JyVzy+ JzVzz]
K 2

(1.12)

Trong đó:
X,Y,Z là các thành phần bắc, đông, thẳng đứng của cường độ trường từ
K : là hằng số hấp dẫn .
K= 6,67.10 8

2
dincm 2
8 Nm
=
6,67.10
g2
kg 2

 : mật độ.

Jx, Jy, Jz : là các thành phần từ hóa theo các trục
Vxx: Đạo hàm bậc hai của thế trọng lực theo các trục tương ứng.
Trong trường hợp vật thể có phương kéo dài, thế từ theo các trục y luôn là một hằng

số (trục y bố trí theo phương của vật thể) Ta có:
X=H=

1
1
[J x Vxx+ JzVxz] = 2 [-J x Vzx+ JzVzz]
2
K 
K 

Y=0
Z=

(1.13)

1
1
[JzVzx – JxVxx] = 2 [J x Vzx+ JzVzz]
2
K 
K 

Trong trường hợp đặc biệt khi J cắm thẳng đứng, các công thức (1.12) và (1.13) có
thể viết lại là :
9


Xt =

1

JxVxz
K 2

Yt =

1
JyVyz
K 2

Zt =

1
JzVzz
K 2

(1.14)

Đối với vật thể hai chiều thì :
Ht =

1
JxVxz
K 2

Zt =

1
JzVzz
K 2

Từ phương trình Poisson (1.9) ta có thể rút ra những kết luận quan trọng về mối
quan hệ giữa các thành phần cường độ trường từ trong các trường hợp từ hoá khác nhau
cho vật thể hai chiều.
Giả sử ta có vật thể tiết diện bất kỳ chịu từ hoá nghiêng dưới góc i. Khi đó chia J
thành hai thành phần và tính từ trường gây nên bởi các thành phần đó:
Jx = J cosi
Jz = J sini

x

J(x)
i

J
J(z)
z

Hình 1.3. Từ hóa của 1 vật có tiết diện bất kỳ
10


Đối với thành phần thẳng đứng Jz ta có :
U z = -J z

V
z

Zz = -

U z

 2V
 Jz
z
z 2

Hz = -

U z
 2V
 Jz
x
xz

(1.15)

Còn đối với các thành phần ngang Jx thì :
Ux = -J x

V
x

Zx = -

U x
 2V
 Jx
x
xz

Hx = -

U x
 2V
 Jx
x
x 2

(1.16)

Từ phương trình Laplace ta có :
 2V
 2V


x 2
z 2

Các thành phần thẳng đứng và nằm ngang của các trường hợp từ hoá nghiêng sẽ là
tổng các thành phần trường gây nên :
 2V
 2V
Zn = sini(J 2 ) +cosi(J
)
xz
z

Hn =- cosi(J

 2V
 2V

)
+sini(J
)
xz
z 2

Nếu lấy đạo hàm Zn v Hn theo i ta có :
Z n
 2V
 2V
= cosi(J 2 ) -sini(J
)
xz
i
z

11

(1.17)


H n
 2V
 2V
= sini(J 2 ) +cosi(J
)
xz
i
z

(1.18)

So sánh (1.17) và (1.18) ta thấy :
Hn =

Z n
H n
; Zn =
i
i

Zi = H(i -



) ; Hi = Z( i - )
2
2

(1.19)

Ta thấy rằng, các đường cong Z và H đổi dạng cho nhau khi góc nghiêng từ hoá
thay đổi.
Ta xét trường hợp, khi góc nghiêng từ hoá thay đổi i và (i +  ) .Từ (1.17) ta có:
 2V
 2V
Z(i+  ) = sin(i+  )(J 2 ) + cos(i+  )(J
)
xz
z

H(i+  ) = - cos  [sini(J

 2V
 2V
 2V
 2V
)
+
cosi(J
+
sin
[cosi(J
)
sini(J
)]

xz
xz
z 2
z 2

hay :
Z(i+  ) = cos  Z(i) - sin  H(i)
H(i+  ) = sin  Z(i) + cos  H(i)

(1.20)

Cường độ toàn phần của dị thường từ sẽ là :
Tn =

Z 2 n  H 2 n  (J

2V 2
2V 2
)

(
J
)
z 2
x x

(1.21)

Từ (1.21) ta thấy rằng môđun của véc tơ cường độ trường từ toàn phần hoàn toàn
không phụ thuộc vào góc nghiêng từ hoá.
Trên đây chúng ta đã nghiên cứu một số công thức cơ bản cho việc xem xét trường
từ của các vật thể. Bây giờ chúng ta chuyển sang bài toán cụ thể.
Các phương pháp hai chiều

12


Phương pháp xác định các thành phần của trường từ gây ra bởi hình trụ tròn nằm
ngang có chiều dài vô hạn [6].
Trường từ đối với một hình trụ tròn tương ứng với hai “đường cực” ngược dấu đặt
ở tâm của hình trụ và có khoảng cách rất nhỏ. Để tính trường từ ta chọn hệ toạ độ như
trên hình (1.4), trước tiên ta giả thiết từ hoá thẳng đứng.
Thế từ gây nên bởi một phần tử dy có mômen từ

của một đơn vị là :

;
0
P

x

R1


h

r

1

y

z

Hình 1.4. Tính trường từ của trụ tròn nằm ngang
Sau khi lấy tích phân ta có :
U=-

2
r1

cos 

Trong hệ toạ độ Đề các công thức trên có dạng :
U=-

2 (h  z )
(h  z ) 2  x 2

Từ đây các thành phần của cường độ có dạng:
U
Zt = z

z 0

h2  x2
 2 2
(h  x 2 ) 2
13


Ht =

U
x

z 0

 4

hx
(h  x 2 ) 2

2

Từ (1.20) ta có :
h2  x2
hx
sin i  4 2
Zn = 2  2
cosi
2 2
(h  x )
(h  x 2 ) 2

Hn = 2 

h2  x2
hx
cos i  4 2
sin i
2
2 2
(h  x )
(h  x 2 ) 2

(1.22)

Cũng như đối với các cầu thể, các đường cong có cực đại dương ở phần giữa và
phần âm ở hai phía. Tỷ số biên độ các phần đó và mức độ xê dịch hoành độ các cực trị
thay đổi phụ thuộc vào góc nghiêng từ hoá.
Phương pháp xác định các thành phần của trường từ gây ra bởi vật thể hai chiều có tiết
diện ngang là đa giác bất kì [4].

Như chúng ta biết, dạng của một dị thường của một trọng lực phụ thuộc chỉ vào
dạng và phân bố khối lượng gây dị thường, được mô tả bởi phân bố mật độ

 (x,y,z) trong khi với các dị thường từ thì vấn đề trở nên phức tạp hơn, nó phụ thuộc
không chỉ vào phân bố từ hoá M(x,y,z) mà còn phụ thuộc vào hướng từ hoá và vào
hướng của trường khu vực. Đối với dị thường trường tổng, dĩ nhiên, thành phần đo
được song song với trường từ khu vực.
Xét dị thường trường tổng T (x) đo được dọc theo một tuyến nằm phía trên và
vuông góc với phương kéo dài của một vật thể hai chiều có tiết diện ngang bất kỳ, được
xấp xỉ bởi đa giác N cạnh: trong đó trục y song song với hướng kéo dài của vật thể, còn
trục x hướng theo phương quan sát. Các thành phần x,z của vật thể từ hoá:


mx  cos I cos(Dm  ) ;


fx = cos If cos (Df -  );



m z  sin(Im)


fz = sinIf

Trong đó Im và Dm tương ứng là độ từ khuynh và độ từ thiên của véc tơ từ hoá, If và
Df là độ từ khuynh và độ từ thiên của trường khu vực,  là phương vị của trục x (tức là
14

phương vị của tuyến). Các độ từ khuynh của các véc tơ được gọi là độ từ khuynh hiệu
dụng được cho bởi :
Im'  arctg(

If '  arctg(

mz
tg Im
)  arctg(
)
mx
cos(D  )

fz
tgIf
)  arctg(
)
fx
cos(D  )

Hình 1.5. Vật thể hai chiều tiết diện ngang bất kì được xấp xỉ bằng đa giác N cạnh
Dị thường từ  0 do toàn bộ vật thể gây ra tại điểm P(0,0) được xác định bằng
công thức:
 0 = 2 J  1  (cos  cos Dm ) 2

N

 S C
k 1

 D

k

k

cos   Dm   S k sin 

 k 1   k   Ck sin   Dm   S k cos   Dm    ln( rk 1 )]
rk

(1.23)

Trong đó :
N là số cạnh của đa giác.
 là góc phương vị đường phương vật thể (độ).
 là góc nghiêng từ hoá của vật thể (độ).
J là độ từ hoá của vật thể (A/m) .
15

P(0


J  là độ từ hoá hiệu dung, được xác định như sau:

J   J 1  cos 2  cos 2    KF 1  cos 2  cos 2   ,

với K, F tương ứng là độ cảm từ dư của vật thể và cường độ của trường cảm ứng.
  là góc nghiêng hiệu dụng của véctơ từ hoá vật thể được xác định bởi:
  = arctan(

tan 
)
sin 

Dm là hướng đo với:

0


Dm =

cho thành nằm ngang.
cho dị thường từ toàn phần.

 / 2 cho thành phần thẳng đứng.

Thông số Dm được xác định bởi:
Dm = arctan(

sin 
).
tan Dm

Với i là góc từ hoá gây ra bởi vật thể.
còn S k , C k ,  k 1 ,  k , rk, rk+1
hình vẽ này ta có:

rk =

x 2k  z 2k , rk+1 =

Rk =

x 2k 1  z 2k 1

(x k 1  x k ) 2  (z k 1  z k ) 2

S k = sinik =

( z k 1  z k )
Rk

C k = cosik =

( x k 1  x k )
Rk



k 

là các đại lượng đã được chỉ ra trong hình 1.4. Theo

2

 arctan(

xk
)

zk

16

khi z k  0


 / 2.(


2

k+1 =

xk
)
/ xk /

 arctan(

 / 2.(

khi z k = 0

xk 1
) khi z k 1  0
zk 1

x k 1
)

/ x k 1 /

khi z k 1 = 0

x N 1  x1 và z N 1  z1

Như vậy, ta sẽ tính được dị thường từ của vật thể có tiết diện ngang là đa giác bất
kỳ. Như trên đã nói, bằng cách cho Dm nhận các giá trị khác nhau ta sẽ nhận được các
thành phần khác nhau của dị thường từ.
Phương pháp ba chiều [1].
Trong phương pháp này, chúng tôi xác định các thành phần của trường từ gây ra bởi
hình cầu trên mặt quan sát. Giả sử hình cầu có bán kính R độ sâu từ mặt đất tới tâm là h,
véc tơ từ hoá nghiêng một góc i. Ta tính trường từ của hình cầu theo trục x trong hệ toạ
độ xyz, tâm O tại hình chiếu của tâm quả cầu lên mặt đất, trục x trong mặt phẳng thẳng
đứng chứa véc tơ từ hoá.
Phân chia véc tơ từ hoá J thành hai thành phần nằm ngang Jx và thẳng đứng Jz. Mỗi
thành phần đó sẽ gây nên một cặp thành phần nằm ngang và thẳng đứng của cường độ
trường từ : Hx, Zx và Hz, Xz. Giá trị của các thành phần H và Z là :
H = Hx + H z

; Z = Zx +Zz

17