Các phương pháp tạo lưới tự động và ứng dụng trong tính toán cơ học

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

Nguyễn Thị Thủy

CÁC PHƯƠNG PHÁP TẠO LƯỚI TỰ ĐỘNG VÀ
ỨNG DỤNG TRONG TÍNH TOÁN CƠ HỌC

LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC

Hà Nội – 2011


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

Nguyễn Thị Thủy

CÁC PHƯƠNG PHÁP TẠO LƯỚI TỰ ĐỘNG VÀ
ỨNG DỤNG TRONG TÍNH TOÁN CƠ HỌC

LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC
Chuyên ngành: Cơ học chất lỏng
Mã số: 60 44 22
Người hướng dẫn khoa học:
PGS.TS. Trần Văn Trản

Hà Nội – 2011


Mục lục

Lời cảm ơn

1

Lời mở đầu

4

1 Một số phương pháp chia lưới tự động không cấu trúc
1.1 Phương pháp chia lưới Delaunay Triangulation . . . . . . . . .
1.1.1 Giới thiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2 Cơ sở hình học . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.3 Thiết lập hệ tam giác ban đầu . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.4 Thuật toán Bowyer - Watson . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.5 Các phương pháp chèn điểm mới . . . . . . . . . . . .
1.1.6 Hạn chế hình dạng của hệ tam giác Delaunay . . . . .
1.1.7 Phép chia lưới Delaunay triangulation trong không gian
ba chiều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Phương pháp tịnh tiến biên (Advancing Front) . . . . . . . . .
1.2.1 Giới thiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.2 Điều khiển lưới . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.3 Thuật toán AFT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.4 Sự thích nghi và không gian tham số . . . . . . . . . . .
1.2.5 Cải thiện chất lượng lưới . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Phương pháp tạo lưới không cấu trúc sử dụng thuật toán chèn
điểm tự động và tái kết nối địa phương . . . . . . . . . . . . .
1.3.1 Giới thiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.2 Phương pháp chia lưới AFLR . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Các phương pháp chồng tạo lưới tứ giác và lục giác . . . . . .
1.4.1 Giới thiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.4.2 Các phương pháp chồng . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5 Một số phương pháp đang được phát triển . . . . . . . . . . .

.
.
.
.
.
.
.

6
6
6
7
10
10
13
18

.
.
.
.
.
.
.

20
21

21
22
25
35
36

.
.
.
.
.
.
.

37
37
38
45
45
46
52

2 Áp dụng trong một số bài toán cơ học
2.1 Bài toán 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Bài toán 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Bài toán 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

54
54
58

59

2


2.4 Bài toán 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
2.5 Bài toán 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

3


Lời mở đầu
Ngày nay phương pháp chia lưới tự động đã trở thành một công cụ khá
phổ biến trong việc sử dụng nghiệm số của phương trình vi phân từng phần
trên các miền có hình dạng bất kì. Trong những năm gần đây, phương pháp
chia lưới tự động đang được phát triển rộng rãi, đầu tiên trong cơ học kết cấu
và cơ học vật rắn, sau đó là trong tính toán động lực học chất lỏng. Phương
pháp chia lưới tự động đã cung cấp chìa khóa để giải quyết các vấn đề về hình
dạng biên từ phương pháp sai phân hữu hạn và được sử dụng trong việc xác
định các điểm nút trong phương pháp phần tử hữu hạn. Với mạng lưới như
vậy tất cả các thuật toán số, sai phân hữu hạn hay phần tử hữu hạn đều thực
hiện được trên miền tính toán có hình dạng và đường biên bất kì.
Các phương pháp chia lưới tự động bao gồm hai loại: phương pháp chia
lưới tự động có cấu trúc và phương pháp chia lưới tự động không cấu trúc.
Một ví dụ đơn giản nhất về lưới có cấu trúc là lưới Đề-Các. Các nút lưới
và ô lưới (hình chữ nhật) là giao của các đường lưới. Lưới này được tạo ra một
cách dễ dàng và nhanh chóng. Tuy nhiên nếu miền tính toán có biên trong và
biên ngoài là các đường cong thì để giải trên lưới Đề-Các yêu cầu phải xác
định sơ đồ số ở gần các biên. Điều này thường khá khó.

Hình 1: (a) Lưới Đề-Các, (b) body-fitted grid

Một loại khác của lưới có cấu trúc là body-fitted (trùng khít với miền tính
toán). Về cơ bản lưới này khá giống lưới Đề-Các nhưng các ô lưới tứ giác có
hình dạng phù hợp với biên. Các phương pháp tính toán đã được phát triển
cho lưới Đề-Các có thể được chỉnh sửa để áp dụng cho lưới body-fitted thông
4


qua các ánh xạ lưới mà không làm thay đổi bản chất của chương trình số. Khó
khăn trong việc thực hiện phương pháp này nằm trong việc tạo ra các nút lưới
nhất là khi có nhiều vật cản bên trong miền tính toán.
Không giống như lưới có cấu trúc, các nút lưới và các ô lưới của lưới
không cấu trúc không phải là giao của các đường thẳng song song. Một ưu
điểm của lưới không cấu trúc là các điểm nút có thể đặt trên biên của miền
tính toán vì vậy khi áp dụng các phương pháp số thì lưới không cấu trúc cho
độ chính xác cao hơn. Hơn thế nữa, lưới không cấu trúc cho phép các phần tử
có kích thước khác nhau vì vậy có thể biểu diễn chính xác biên của miền tính
toán mà không cần một số lượng quá lớn các nút lưới và ô lưới.
Khi miền tính toán có hình dạng phức tạp thì so với lưới có cấu trúc, lưới
không cấu trúc có thể giúp cải thiện độ chính xác của nghiệm tổng thể, lưới
không cấu trúc cũng đã được chứng minh là có khả năng thích nghi cao hơn
trong các bài toán biên chuyển dịch hoặc dòng nhất thời.
Về nguyên tắc, lưới không cấu trúc có thể bao gồm các ô có hình dạng
bất kỳ, được xây dựng bằng cách kết nối một điểm cho trước đến một số tùy
ý các điểm khác, nhưng nói chung là được hợp thành từ các tam giác và tứ
giác trong không gian hai chiều, các tứ diện và lục giác trong không gian ba
chiều. Ưu điểm của các lưới này là chúng có khả năng thích nghi bằng cách
cho phép chèn thêm các điểm mới vào, do đó chúng có thể làm việc với các

miền tính toán có hình dạng phức tạp.
Ở thời điểm hiện tại phương pháp chia lưới không cấu trúc đã được áp
dụng trong không gian ba chiều. Tuy nhiên phương pháp chia lưới không
cấu trúc dựa trên tam giác Delaunay thường xuyên được sử dụng nhất và đã
được chứng minh là có khả năng thích nghi cao, phù hợp với các miền tính
toán phức tạp. Các lưới này cho phép bổ sung thêm các nút lưới mới vào hệ
tam giác đã tồn tại chỉ ảnh hưởng đến cấu trúc lưới địa phương mà không
ảnh hưởng đến cấu trúc lưới tổng thể.
Trong luận văn này giới thiệu hai phương pháp chia lưới không cấu trúc
hay được sử dụng: phương pháp chia lưới Delaunay Triangulation và phương
pháp tịnh tiến biên (Advancing Front method). Ngoài ra hai phương pháp
đang được phát triển: Phương pháp tạo lưới không cấu trúc sử dụng thuật
toán chèn điểm tự động và tái kết nối địa phương và phương pháp chồng tạo
lưới tứ giác và lục giác cũng được trình bày trong luận văn.
* Nội dung luận văn gồm 2 chương:
Chương 1: Một số phương pháp chia lưới tự động không cấu trúc.
Chương 2: Áp dụng trong một số bài toán cơ học.

5


Chương 1

Một số phương pháp chia lưới tự động
không cấu trúc
1.1
1.1.1

Phương pháp chia lưới Delaunay Triangulation
Giới thiệu

Phương pháp Delaunay Triangulation là một trong các phương pháp chia
lưới không cấu trúc đã được phát triển từ rất sớm [8]. Phương pháp này dựa
trên tiêu chuẩn Delaunay (hay còn gọi là tiêu chuẩn vòng tròn ngoại tiếp
trống): Siêu cầu của mỗi đơn hình trong không gian n - chiều được xác định
bởi n + 1 điểm trong đó không có bất kỳ điểm nút nào khác của lưới. Ví dụ
trong không gian ba chiều, bốn đỉnh của một tứ diện xác định một mặt cầu
và mặt cầu này không chứa các điểm nút khác của lưới tứ diện. Trong không
gian hai chiều, hệ tam giác thu được dựa trên tiêu chuẩn Delaunay được gọi
là hệ tam giác Delaunay. Hệ tam giác này được áp dụng rất phổ biến trong
thực hành vì chúng có các đặc điểm tối ưu sau:
• Các tam giác Delaunay là các tam giác xấp xỉ đều;
• Góc lớn nhất của tam giác được cực tiểu hóa;
• Góc nhỏ nhất của tam giác được cực đại hóa.

Với các đặc điểm này hệ tam giác Delaunay sẽ không bị quá biến dạng
hoặc quá méo mó. Tiêu chuẩn Delaunay không đưa ra bất kỳ một sự chỉ dẫn
nào như là các điểm lưới nên được định nghĩa và liên kết với nhau như thế
nào? Một hạn chế nữa của tiêu chuẩn Delaunay đó là có khả năng không thể
áp dụng tiêu chuẩn này trên toàn bộ miền tính toán với các tam giác biên xác
định trước. Nhược điểm này đưa ra hai cách tiếp cận chia lưới tam giác có bảo
toàn liên kết biên và vẫn áp dụng tiêu chuẩn Delaunay. Trong cách tiếp cận
thứ nhất tiêu chuẩn Delaunay được bỏ qua tại các điểm gần biên và hệ quả

6


là biên của lưới trước vẫn còn nguyên vẹn. Để kết hợp với kỹ thuật này, các
điểm được thêm vào dưới dạng một sơ đồ để đảm bảo không xảy ra sự phá
hủy biên. Cách tiếp cận thứ hai, áp dụng tiêu chuẩn Delaunay trên toàn miền

tính toán, sau đó khôi phục lại biên ban đầu bằng cách bỏ đi các đơn hình
nằm bên ngoài miền tính toán [1].
Có rất nhiều thuật toán tạo lưới không cấu trúc dựa trên tiêu chuẩn Delaunay, chẳng hạn có một số thuật toán sử dụng phương pháp chia lưới có
cấu trúc tạo ra sự phân bố các điểm nút lưới trước sau đó các điểm nút lưới
này được kết nối để thu được các tam giác thỏa mãn các tiêu chuẩn hình học
nào đó (tương đương với tiêu chuẩn Delaunay). Tuy nhiên thuật toán chúng
ta hay sử dụng là thuật toán Bowyer - Watson. Thuật toán này có thể áp dụng
với không gian n - chiều bất kỳ. Thuật toán bắt đầu từ một hệ tam giác của
một vài điểm, sau đó tiếp tục tại mỗi bước ta thêm các điểm mới vào hệ tam
giác hiện tại và tái thiết lập hệ tam giác một cách địa phương. Quá trình này
cho phép chúng ta cải thiện được chất lượng lưới trong khuôn khổ của tiêu
chuẩn Delaunay. Điểm khác biệt của thuật toán này là vị trí các điểm và các
liên kết được tính toán một cách đồng thời.
1.1.2

Cơ sở hình học

• Định nghĩa ô lồi
Một ô lồi n - chiều S là một bao lồi của n + k điểm P1 , ......, Pn+k (k>1) mà
các điểm này không cùng nằm trong một mặt phẳng (n − 1) - chiều. Như vậy
S bao gồm các điểm x ∈ Rn thỏa mãn
n+k

x=

∑ αi Pi ,

i =1
n+k

∑ αi = 1,

1 ≥ αi ≥ 0.

i =1

Gọi tất cả các điểm Pl của tập Pi , i = 1, ....., n + k nằm trên biên của S là
các đỉnh của ô lồi S.
Một mặt m - chiều của ô lồi n - chiều S (n > m) được gọi là bao lồi của
m + 1 đỉnh Pl , và bao lồi này không chứa bất kỳ một đỉnh nào khác của S.
Ta nói ô S là lồi mạnh nếu nó không có hai mặt bất kỳ cùng nằm trong
mặt phẳng m - chiều với mọi m < n
Nếu P là một điểm nằm trong ô lồi mạnh S với các đỉnh P1 , ......, Pn+k thì
n+k

P=

∑

i =1

αi Pi ,

n+k

∑ αi = 1,

αi ≥ 0,

i =1

7

i = 1, ...., n + k,


Hình 1.1: Ô lồi (bên trái) và ô tứ diện lồi mạnh (bên phải)

• Đơn hình và các ô đơn hình
Một phần tử đơn giản nhất n - chiều được sử dụng để rời rạc hóa miền tính
toán được gọi là một ô n - chiều. Ô này là bao của n + 1 điểm x1 , ....., xn+1 mà
không cùng nằm trong bất kỳ mặt phẳng (n − 1) - chiều nào. Những ô như
thế được gọi là các đơn hình. Như vậy một đơn hình được tạo nên bởi các
điểm x ∈ Rn thỏa mãn
n +1

x=

∑ αi xi ,

i = 1, ...., n + 1,

i =1
n +1

∑ αi = 1,

αi ≥ 0,

i =1

Đơn hình này là một ô lồi mạnh có các đỉnh là x1 , ....., xn+1 . Chẳng hạn một
đơn hình ba chiều là một tứ diện có các đỉnh là x1 , x2 , x3 , x4 , một đơn hình hai
chiều là một tam giác, đơn hình một chiều là một đoạn thẳng. Mỗi mặt m chiều của đơn hình là một đơn hình m - chiều được định nghĩa qua m + 1 đỉnh.
Điểm x là một điểm trong của đơn hình nếu α > 0 với mọi i = 1, ...., n + 1.
Trong thực hành, để rời rạc hóa miền tính toán, ta hay sử dụng các ô lồi
có các mặt biên là các đơn hình. Những ô như vậy được gọi là các ô đơn hình.
Gọi Ni , i = 1, ..., n, là số mặt đơn hình i - chiều của S, và N0 là số đỉnh của
S. Ta có


n −1
i+1
 Ni = (−1) n−1 Nk ,
∑ (−1)i 
k+1
i =k
k = −1, ...., n − 2,
N−1 = 1,
 


l
l
 = l (l − 1) .... ( l − m + 1) , m ≥ 1,   = 1,

m!
0
m
8

• Tính nhất quán của lưới

Bằng một phép rời rạc phù hợp chúng ta thu được một tập hợp các điểm
V ∈ Rn và một tập các ô lồi mạnh T thỏa mãn các điều kiện sau:
1. Tập hợp các đỉnh của các ô của T trùng với V;
2. Nếu hai ô khác nhau S1 và S2 giao nhau, thì miền giao nhau đó là mặt
chung của cả hai ô.

Hình 1.2: Các ô giao nhau chấp nhận được (a) và không chấp nhận được (b, c, d)

Tập hợp các ô của một phép rời rạc phù hợp tạo thành một miền kết nối
đơn giản n - chiều.
Gọi Ni , i > 0 là số lượng các mặt biên i - chiều của miền rời rạc, N0 là số
đỉnh của biên, theo định lý Euler ta có:
n −1

∑ (−1)i Ni = 1 + (−1)n−1

i =0

biểu thức trên được sử dụng để xác định tính nhất quán của lưới.
• Lưới tổ ong Dirichlet

Xét một tập tùy ý gồm các điểm Pi , i = 1, 2, ......, N trong một miền xác
định n - chiều. Với mỗi điểm Pi chúng ta xác định một miền V ( Pi ) trong Rn
bao gồm các điểm có khoảng cách tới Pi nhỏ hơn tới các điểm Pj khác.
Vi = x ∈ Rn | d ( x, Pi ) ≤ d x, Pj , i = j, j = 1, ....., N ,
trong đó d( a, b) là khoảng cách giữa hai điểm a, b. Các miền Vi này được gọi là

các khối đa diện Voronoi. Do các khối đa diện là giao của các bán không gian
nên chúng là các đa diện lồi, nhưng không cần thiết là bị chặn. Mặt biên chung
của hai Voronoi của hai điểm V ( Pi ) và V ( Pj ) là một đa giác (n − 1) - chiều.
Cặp điểm Pi và Pj được gọi là cặp cấu hình nếu các khối đa diện Voronoi của
chúng có một mặt chung. Bằng cách kết nối các điểm kề nhau ta sẽ thu được
một lưới. Trong lưới này, tập hợp n + 1 điểm cùng kề với một điểm khác tạo
thành một đơn hình n - chiều. Tâm của bất kỳ một đơn hình nào cũng sẽ là
9


một đỉnh của sơ đồ Voronoi. Siêu cầu của mỗi đơn hình là rỗng, có nghĩa là
không có bất kỳ điểm nào ở bên trong siêu cầu vì nếu có một điểm nào đó ở
bên trong siêu cầu thì điểm này sẽ gần tâm hơn các điểm khác của siêu cầu.
Do đó tập hợp các đơn hình được xây dựng từ lưới tổ ong Dirichlet theo cách
này tạo thành một lưới tổ ong mới thỏa mãn tiêu chuẩn Delaunay. Biên của hệ
tam giác Delaunay được xây dựng theo sơ đồ Voronoi là các bao lồi của tập
hợp các điểm Pi .
Ta có thể coi phép đặt tam giác Delaunay và lưới tổ ong Dirichlet là các
đối ngẫu hình học của nhau trong ý nghĩa là với mỗi đơn hình Si sẽ tồn tại
một đỉnh Pi của lưới tổ ong và ngược lại, với mỗi miền Voronoi V ( Pj ) cũng
tồn tại một đỉnh Pj của hệ tam giác. Thêm vào đó, với mỗi cạnh của hệ tam
giác sẽ tồn tại tương ứng (n − 1) phân đoạn của lưới tổ ong.
1.1.3

Thiết lập hệ tam giác ban đầu

Vì các điểm lưới được đưa vào một cách tuần tự, nên lưới ban đầu rất thô,
số lượng các nút lưới ít và các phần tử lưới là các tam giác rất lớn. Ví dụ trong
không gian hai chiều chúng ta có thể tạo ra lưới ban đầu bằng cách chia một
hình vuông nằm trong miền tính toán (hoặc chứa miền tính toán) thành hai

tam giác. Sau đó các điểm bên trong và các điểm biên được thêm vào một cách
liên tiếp để xây dựng các tam giác liên tiếp cho đến khi miền xấp xỉ đạt được
các yêu cầu cần thiết. Một trong các yêu cầu đó là hệ tam giác ban đầu phải
bảo toàn biên, tức là tất cả các cạnh biên đều được chứa trong hệ tam giác
ban đầu. Một cách tự nhiên để thỏa mãn yêu cầu trên là ta quy định trước các
điểm nút trên biên bằng các phương tiện của thuật toán Bowyer - Watson. Tuy
nhiên không có gì đảm bảo rằng hệ tam giác Delaunay xây dựng từ tập hợp
các điểm biên sẽ có biên được bảo toàn. Để khắc phục vấn đề này ta lặp đi
lặp lại việc chèn một điểm lưới mới tại trung điểm của các cạnh biên bị thiếu
để thu được các tam giác biên. Một cách khác để duy trì tính nguyên vẹn của
biên là chúng ta loại bỏ tất cả các điểm có thể làm cho liên kết biên bị phá vỡ.
1.1.4

Thuật toán Bowyer - Watson

Có nhiều thuật toán cho việc phân chia tam giác Delaunay chủ yếu trong
trường hợp hai chiều. Tuy nhiên thuật toán được sử dụng phổ biến nhất trong
thực hành là thuật toán Bowyer - Watson [6]. Thuật toán này thêm các điểm
một cách tuần tự vào hệ tam giác Delaunay đã có, thường thì bắt đầu từ một
hệ tam giác rất đơn giản (chẳng hạn là một tam giác lớn) mà nó bao bọc tất cả
các điểm (giả sử có i điểm) sẽ được dùng để tạo hệ lưới tam giác Delaunay.
Gọi Ti là tập hợp các tam giác và Bi là tập hợp các đường tròn ngoại tiếp các
tam giác đó. Khi thêm một điểm mới xi+1 vào hệ tam giác Delaunay xảy ra

10


các trường hợp sau: xi+1 ∈ Ti ; xi+1 ∈
/ Ti và xi+1 ∈ Bi ; trường hợp cuối cùng là
x i +1 ∈

/ Bi . Sau đây ta sẽ xét lần lượt từng trường hợp một.
• Trường hợp 1: xi+1 ∈ Ti

Ta cần tìm tập S là tập hợp gồm các tam giác ∈ Ti , có đường tròn ngoại
tiếp chứa điểm xi+1 , hệ tam giác mới thu được bằng cách xóa các cạnh bên
trong của các tam giác hợp thành S và nối điểm xi+1 với tất cả các đỉnh của S .
Ví dụ ta có năm điểm x1 , x2 , x3 , x4 , x5 như hình vẽ.

Điểm mới chèn vào x6 nằm bên trong một tam giác và cũng nằm bên
trong hai đường tròn ngoại tiếp. Trong trường hợp này S là tứ diện x2 x3 x4 x5 .
Xóa cạnh trong x2 x4 của S đi và nối x6 với bốn đỉnh của S.

• Trường hợp 2: xi+1 ∈
/ Ti và xi+1 ∈ Bi

Ta cũng gọi S là tập hợp gồm các tam giác mà có đường tròn ngoại tiếp
chứa điểm xi+1 . Nhưng trong trường hợp này ta chỉ xóa đi các cạnh của S gần
nhất với điểm xi+1 (và nhìn thấy được từ xi+1 ). Hệ tam giác mới thu được
bằng cách nối điểm xi+1 với tất cả các đỉnh của các tam giác ∈ S và với bất kì
đỉnh nào của Ti mà nhìn thấy được từ xi+1
Trong hình vẽ bên dưới, điểm mới chèn vào x6 nằm bên trong đường tròn
ngoại tiếp tam giác x1 x2 x5 (tập S chỉ có một tam giác). Cạnh x1 x2 có thể nhìn
11


thấy được từ x6 , vì vậy cạnh này bị xóa đi và hệ tam giác mới thu được bằng
cách nối x6 với các đỉnh của x1 , x2 , x5 và x3 .
• Trường hợp 3: xi+1 ∈
/ Bi

Ta không cần bỏ đi bất cứ cạnh nào của Ti mà chỉ cần xác định các cạnh
ngoài của Ti có thể nhìn thấy được từ xi+1 . Hệ tam giác mới thu được bằng
cách nối điểm xi+1 với mỗi đỉnh của các cạnh ngoài này.

Trong hình vẽ trên điểm mới chèn vào x6 không nằm trong đường tròn
ngoại tiếp của bất kỳ tam giác nào. Các cạnh x1 x2 và x2 x3 có thể nhìn thấy
được từ x6 , vì vậy hệ tam giác mới thu được bằng cách nối x6 với các đỉnh x1 ,
x2 và x3 . Rõ ràng các đường tròn ngoại tiếp của các tam giác x1 x2 x6 và x2 x3 x6
không chứa ba điểm nút còn lại vì vậy tính chất đường tròn ngoại tiếp được
thỏa mãn.
Khi thêm một điểm mới vào hệ tam giác Delaunay, hệ tam giác mới sẽ
được đánh giá theo một vài tiêu chuẩn hình học và vật lý.
12


• Tiêu chuẩn hình học: Các tam giác phải trơn, nhẵn và có kích thước, hình
dạng tương tự nhau.
• Tiêu chuẩn vật lý: Mật độ điểm lưới trong miền tính toán phải ít hơn mật
độ điểm lưới là nghiệm của phương trình vi phân từng phần.
1.1.5

Các phương pháp chèn điểm mới

Hệ tam giác Delaunay ban đầu dựa trên việc lựa chọn các điểm biên và
áp dụng thuật toán Bowyer - Watson chèn các điểm một cách tuần tự vào bên
trong miền tính toán tại các điểm được lựa chọn và xây dựng lại hệ tam giác
bao gồm các điểm mới. Tiếp theo chúng ta sẽ trình bày hai cách tiếp cận để
chèn các điểm vào bên trong miền tính toán.
• Thêm điểm mới vào tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác.

Các điểm mới sẽ được thêm vào tại vị trí tâm của các đường tròn ngoại
tiếp tam giác. Một điểm mới được thêm vào không nên quá gần các điểm nút
đã tồn tại, vì vậy khi thêm điểm mới vào tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
thì ít nhất điểm này cũng cách đều ba đỉnh của tam giác đó. Vấn đề đặt ra là
ta sẽ chọn tam giác nào để thêm điểm mới vào. Trước khi áp dụng thuật toán
này ta cần sắp xếp các tam giác theo chất lượng của chúng, bắt đầu từ những
tam giác có chất lượng xấu nhất. Một tam giác có chất lượng xấu nếu nó là
tam giác gầy, mỏng hoặc có góc tù. Các tam giác này sẽ được nhận biết thông
qua một tiêu chuẩn đó là tỉ lệ khía cạnh.
Tỉ lệ khía cạnh A.R. của tam giác ABC được định nghĩa là R/2r trong đó
r, R lần lượt là bán kính đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp tam giác ABC. Diện
tích tam giác ABC được tính theo công thức:
S=
p=

p( p − a)( p − b)( p − c) = p.r =

a+b+c
2

⇒ A.R. =

abc
4R

abc
8( p − a)( p − b)( p − c)

Nếu tam giác là tam giác đều thì A.R. = 1. Rõ ràng là nếu ba đỉnh của
tam giác càng gần như nằm trên một đường thẳng thì p sẽ càng gần bằng giá

trị của a, b hoặc c và tỉ lệ khía cạnh càng lớn. Với ý nghĩa đó tỉ lệ khía cạnh đo
độ gầy của một tam giác. Như vậy ta có thể đưa ra danh sách các tam giác có
chất lượng xấu bằng cách
• Thêm vào danh sách các tam giác có diện tích lớn hơn 1.5 lần diện tích
của tam giác đều có cạnh là cạnh lớn nhất của tam giác đó. Bước này sẽ
loại bỏ tất cả các tam giác có diện tích lớn.
13


Hình 1.3: Đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp của tam giác ABC

• Thêm vào danh sách các tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp lớn
và tỉ lệ khía cạnh cao. Như vậy các tam giác nhỏ nhưng có tỉ lệ khía cạnh
cao ở gần biên sẽ được giữ lại.
Tiêu chuẩn để đánh giá tỉ lệ khía cạnh cao là dựa vào kinh nghiệm, thông
thường tỉ lệ khía cạnh tiêu chuẩn là 1.5. Đây là tỉ lệ khía cạnh của tam giác cân
có góc ở đỉnh nằm trong khoảng 24 − 104o .
Sử dụng ý tưởng trên thuật toán thêm điểm mới vào tâm đường tròn
ngoại tiếp tam giác được tiến hành theo các bước sau đây:
(i) Thiết lập hệ tam giác ban đầu sử dụng các điểm biên dữ liệu và thuật
toán Bowyer - Watson.
(ii) Xắp xếp các tam giác theo chất lượng của chúng, chọn ra danh sách
các tam giác có chất lượng xấu, bắt đầu từ tam giác có chất lượng xấu nhất.
(iii) Lấy tam giác đầu tiên trong danh sách và thêm một điểm mới vào vị
trí tâm đường tròn ngoại tiếp .
(iv) Chia lại sử dụng thuật toán Bowyer - Watson.
(v) Thêm các tam giác mới vào danh sách chất lượng xấu nếu chúng
không đủ tốt.
Tuy nhiên khi sử dụng thuật toán này chèn điểm mới vào tâm đường tròn
ngoại tiếp của tam giác được lựa chọn, có hai trường hợp sau đây cần phải

loại bỏ:
• Tâm của tam giác được lựa chọn không nằm bên trong miền tính toán.
• Tâm của tam giác được lựa chọn qua gần biên của miền tính toán.

Một hạn chế nữa của phương pháp trên là mật độ lưới của hệ tam giác
mới thu được trên toàn miền bị ảnh hưởng bởi mật độ lưới dọc biên của miền,
do đó kích thước của các tam giác ở xa biên có thể làm cho nghiệm bằng số
14


của các phương trình vi phân trong miền không được đẹp. Để khắc phục vấn
đề này ta đưa ra một hàm chỉ vị trí f ( x), hàm này cho ta giá trị của bán kính
đường tròn ngoại tiếp tại vị trí x trong miền. Ta có thể thu được biểu thức của
hàm f ( x) bằng cách nội suy các giá trị nút quy định trên lưới nền thích hợp.
Giả sử một tam giác có tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác lần
lượt là X, R, ta định nghĩa tham số α = R/ f ( X ). Ta sẽ thêm điểm mới vào
tam giác có giá trị α lớn nhất. Sau một số vòng lặp tất cả các tam giác trong hệ
thu được đều có giá trị α ≤ 1, điều này có nghĩa là tất cả các tam giác đã đạt
được kích thước như mục tiêu đề ra.
• Thêm điểm mới vào đoạn thẳng Voronoi.

Thay vì thêm điểm mới vào tâm đường tròn ngoại tiếp của các tam giác ta
sẽ thêm điểm mới dọc theo một cạnh của đa giác Voronoi. Khác với cách tiếp
cận trước, ở đây vị trí của điểm mới chèn vào sẽ được xác định trước và kích
thước của ô lưới yêu cầu đạt được sau một vài vòng lặp. Kỹ thuật này có thể
tạo ra một hoặc một vài tam giác mới có kích thước phù hợp và kết quả sau
khi chèn điểm mới vào, ta thu được các tam giác xấp xỉ đều trên toàn miền
tính toán.
Công thức của thuật toán:
Hệ tam giác Delaunay ban đầu được chia thành các tam giác ngoài và

tam giác trong. Các tam giác ngoài chứa ít nhất một cạnh biên còn các tam
giác trong thì không. Các tam giác trong được chia thành hai loại tam giác đã
được chấp nhận và chưa được chấp nhận . Các tam giác đã được chấp nhận
là các tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp < 1.5 f ( X ) (X là tâm đường
tròn ngoại tiếp tam giác đó). Các tam giác còn lại là chưa được chấp nhận .
Thuật toán bắt đầu bằng việc xét các tam giác chưa được chấp nhận, có
một cạnh chung với tam giác đã được chấp nhận và ta chọn tam giác có bán
kính đường tròn ngoại tiếp lớn nhất.
Trong hình vẽ trên ta có tam giác ABD là tam giác chưa được chấp nhận
với bán kính đường tròn ngoại tiếp là R ABD và tam giác ABC là tam giác đã
được chấp nhận. Cạnh chung AB được gọi là cạnh hoạt động. Đoạn thẳng
Voronoi của hai tam giác này là đoạn EF (E, F lần lượt là tâm đường tròn
ngoại tiếp tam giác ABD và ABC), EF⊥ AB, EF ∩ AB = {M}.
Bây giờ ta thêm điểm X vào vị trí nào đó trên đoạn EF sao cho tam giác
ABD sẽ được thay thế bằng tam giác được chấp nhận ABX.
Kí hiệu f M là giá trị của f ( X ) tại M. Đặt AM = p, MF = q.
+) Nếu X ≡ F thì bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABX là
2
( p + q2 )/2q. Vì bán kính nhỏ nhất của bất kí đường tròn nào qua hai điểm A
và B là p (đường tròn tâm M), do đó ta có:

( p2 + q2 )/2q ≥ p

+) Nếu f M ≤ p, chọn X sao cho bán kính đường tròn ngoại tiếp R ABX của
tam giác ABX bằng p. Điều này xảy ra khi MX = p và AXB = 90o
15


Hình 1.4: Các tam giác chấp nhận được và không chấp nhận được

+) Nếu f M > p chọn vị trí của X sao cho
R ABX = min( f M , ( p2 + q2 )/2q)
Điều này xảy ra khi X nằm giữa F và vị trí của X ở trường hợp trên khi đó
MX = R ABX +

( R ABX )2 − p2

(2.1.1)

Trong cả hai trường hợp ta đều có:
R ABX = min max (fM , p ) , p2 + q2 /2q

(2.1.2)

+) Nếu f M < p < 1.5 f M và q > p thì điểm X sẽ được chọn sao cho
AXB = 90o , khi đó tam giác AXB là tam giác được chấp nhận. Các cạnh
XA, XB sẽ là các cạnh hoạt động tiếp theo.
Giả sử tam giác DAX là tam giác chưa được chấp nhận, chúng ta sẽ tìm
vị trí điểm Y trên đường thẳng trực giao của AX sao cho tam giác AXY là tam
giác chấp nhận được. chúng ta có thể
√ đánh lại nhãn p là p0 và gọi N là trung
điểm của AX. Đặt AN = p1 = p0 / 2.
+) Nếu p1 > f N thì bước trước được lặp lại và Y sẽ được chọn sao cho
AYX = 90o .
+) Nếu p1 < f N , giả sử q > p0 và R AYX = f N . Theo phương trình (2.1.1)
và (2.1.2) ta có:
NY = d1 = f N +
16

( f N )2 − ( p 1 )2

(2.1.3)


d
f
⇒ tan θ = 1 = N +
p1
p1

fN
p1

2

−1

Chú ý rằng giá trị hàm √
f tại M và N về cơ bản là giống nhau ( và cùng
bằng f N ), vì vậy p1 < f N < 2p1
√
⇒ 1 < tan θ < 2 + 1

⇒ 45◦ < tan θ < 67.5◦

Hình 1.5: Chèn điểm vào đoạn thẳng Voronoi

Nếu AY được chọn là cạnh hoạt động tiếp theo, chúng ta có:

( AY )2 = (2p2 )2 = ( p1 )2 + (d1 )2

và sử dụng phương trình (2.1.3) ta thu được

( p2 ) 2 =

1
2

( f N )2 + f N

Do chúng ta giả thiết p1 < f N <

√

2p1

p
1
⇒√ < 2 <
p1
2

17

( f N ) 2 − ( p1 ) 2

1
1+ √
2

Nếu quá trình này được lặp lại với giả thiết f gần như bằng hằng số thì ta
có các bước tổng quát như sau:

( p n +1 ) 2 =

1
2

( f N )2 + f N

( f N )2 − ( p n )2

(2.1.4)

và
dn = f n +

( f N )2 − ( p n )2

(2.1.5)

Giá trị của pn hội tụ đến giá trị p. Theo (2.1.4) ta có


2
2

p
1
p

=
1+ 1−
fN
2
fN 
Nghiệm của phương trình trên là
√
p=

3
fN
2

tương tự giá trị của dn cũng hội tụ đến giá trị d, từ (2.1.5)

⇒d=

3
fN
2

Tam giác có giá trị của d và p như trên là tam giác đều có bán kính đường
tròn ngoại tiếp là f N , vì vậy sau một số vòng lặp ta sẽ thu được lưới mà các
phần tử của nó là các tam giác đều.
1.1.6

Hạn chế hình dạng của hệ tam giác Delaunay

Một cách để đảm bảo các tam giác biên vẫn còn nguyên vẹn trong quá trình
tái kết nối lại hệ tam giác khi chèn thêm điểm mới vào là sử dụng một phiên

bản hạn chế hình dạng của hệ tam giác Delaunay mà không ảnh hưởng đến
các liên kết gần biên.
Xét hệ tam giác T bất kì có thể chưa thỏa mãn tiêu chuẩn Delaunay. P là
một điểm mới được chèn vào. Kí hiệu Γ ( P) là tập hợp các tam giác có đường
tròn ngoại tiếp chứa điểm P. Γ( P) được gọi là hố Delaunay. Chú ý rằng P là
điểm duy nhất nằm trong Γ( P). Thật vậy, giả sử A là một đỉnh của ít nhất một
tam giác trong Γ( P). Nếu có một tam giác S ∈
/ Γ( P) nhận A là một đỉnh thì
A không phải là điểm trong của Γ( P). Vì vậy chúng ta cần chỉ ra rằng tồn tại
một tam giác như thế.
Gọi {Si } là tập hợp các tam giác nhận A là một đỉnh và Ci là đường tròn
ngoại tiếp tương ứng với tam giác Si . Si ∈ Γ( P) nếu điểm mới chèn vào nằm
bên trong Ci . Vì vậy, một đỉnh A là điểm trong của Γ( P) nếu các điểm P nằm
bên trong ∩Ci . Tuy nhiên nếu A là một điểm trong của Γ( P) thì miền bên
18


Hình 1.6: Minh họa thành phần chủ yếu

trong của ∩Ci là rỗng vì vậy A chỉ có thể là điểm nằm trên tất cả các đường
tròn của {Si }. Vì vậy có ít nhất một tam giác của {Si } không nằm bên trong
Γ( P) và A không phải là điểm trong của Γ( P).
Trong trường hợp tổng quát, hố Delaunay không còn là các kết nối đơn
giản nữa. Với mục đích tái kết nối các tam giác, chúng ta xét miền kết nối đơn
giản lớn nhất của hố Delaunay có chứa điểm P. Miền này được gọi là thành
phần chủ yếu của hố Delaunay và được kí hiệu là Γ P .
Rõ ràng là tất cả các cạnh biên của Γ P đều có thể nhìn thấy được từ P.
Thật vậy vì Γ P không rỗng nên có ít nhất một tam giác chứa điểm P thuộc Γ P .
Giả sử tam giác đó là tam giác ABC, cho tam giác BCD nằm bên trong Γ P , thì
điểm P phải nằm bên trong đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD. Khi đó các

điểm P, B, C, D là bốn đỉnh của một tứ diện lồi, tất cả các cạnh của tứ diện này
đều co thể nhìn thấy từ P. Tiếp tục quá trình này đối với tất cả các tam giác
của Γ P , rõ ràng là tất cả các cạnh của Γ P đều có thể nhìn thấy từ P (hình 1.6).
• Xây dựng hệ tam giác bị hạn chế

Chúng ta giả thiết các tam giác nhất định của hệ tam giác Delaunay là cố định,
¯ Các
đặc biệt là các tam giác liền kề biên. Kí hiệu tập hợp các tam giác đó là T.
tam giác của T¯ không tham gia trong việc xây dựng các hố Delaunay, tức là
nếu hố được tạo ra từ sự ra đời của một điểm mới có chứa một hoặc nhiều
tam giác cố định thì chúng ta hạn chế chỉ tái kết nối trong phần của hố không
chứa bất kỳ một tam giác cố định nào. Kí hiệu Υ( P) là phần này của hố thì
¯ Kí hiệu Υ P là miền kết nối đơn giản lớn nhất của Υ( P) có
Υ( P) = Γ( P) − T.
chứa P. Tương tự Υ P được gọi là thành phần chủ yếu của Υ( P), Υ P chỉ tồn tại
¯
nếu điểm P không nằm bên trong bất kỳ một tam giác nào của T.
Tương tự chúng ta cũng chứng minh được tất cả các cạnh biên của Υ P
đều nhìn thấy từ P và các đỉnh của Υ P đều được kết nối với P, do đó xây dựng
được hệ tam giác hạn chế mà các tam giác cố định của T¯ vẫn còn nguyên vẹn.
• Bảo toàn biên của hệ tam giác
19


Một yêu cầu quan trọng của quá trình tạo lưới là biên của miền tính toàn được
bảo toàn. Quá trình thiết lập hệ tam giác hạn chế giúp chúng ta giữ được một
tập hợp con các tam giác biên được xây dựng từ các cạnh tạo thành biên. Các
tam giác biên này có thể tạo ra bởi bất kỳ một quá trình phù hợp nào đó. Vì
vậy mà hệ tam giác thu được bảo toàn biên và các tam giác bên trong thỏa
mãn tiêu chuẩn Delaunay.

Một cách tiếp cận khác được Weatherill và Hassan phát triển đó là: áp
dụng tiêu chuẩn Delaunay để tạo ra lưới có biên phù hợp, bao gồm cả các
cạnh biên đã được khôi phục trong quá trình chia lưới Delaunay triangulation
và sau đó xóa tất cả các tam giác nằm bên ngoài miền tính toán.
1.1.7

Phép chia lưới Delaunay triangulation trong không gian ba chiều

Trong không gian ba chiều, lưới không cấu trúc của phép đặt tam giác
Delaunay thu được bằng cách liên kết các đỉnh của các khối đa diện Voronoi
mà có một mặt chung. Mỗi đỉnh của khối đa diện Voronoi là tâm của khối cầu
đi qua bốn đỉnh tạo thành tứ diện và không có bất kỳ một điểm nào khác nằm
bên trong khối cầu.
Thuật toán chúng ta hay sử dụng để chia lưới Delaunay trong không gian
ba chiều là thuật toán dựa trên quá trình tuần tự Bowyer - Watson: Mỗi điểm
của lưới được đưa vào một hệ tam giác Delaunay đã tồn tại, phá vỡ các liên
kết và tái kết nối để thu được một hệ tam giác Delaunay mới. Trong trường
hợp tổng quát, các bước của thuật toán tương tự như trong không gian hai
chiều.Thuật toán bắt đầu với một hệ tam giác Delaunay được tạo thành bởi
một siêu tứ diện hoặc một siêu lập phương, phân chia thành năm tứ diện
chứa tất cả các điểm khác.Các điểm còn lại phát sinh trong quá trình hình
thành lưới sẽ được đưa vào tại một thời điểm. Sau khi mỗi điểm được thêm
vào, thuật toán Bowyer - Watson được áp dụng để tạo ra các hố Delaunay, sau
đó tái kết nối để thu được hệ tam giác Delaunay mới.
Thuật toán trên có một nhược điểm là không bảo toàn được bề mặt biên
của miền tính toán. Để khắc phục hạn chế này ta phải đưa ra các hạn chế đối
với hệ tam giác Delaunay. Các hạn chế đối với hệ tam giác Delaunay trong
không gian ba chiều cũng tương tự như trong không gian hai chiều.
• Đối với cách tiếp cận thứ nhất: các tứ diện có các mặt hợp thành bề mặt
biên được giữ nguyên trong quá trình tái kết nối. Các tứ diện biên này

được thiết lập ngay từ hệ phép đặt tam giác Delaunay ban đầu. Các bước
tiếp theo là chèn điểm mới vào, xác định một hố hình sao có chứa điểm
đó và tái kết nối các cạnh của hố đó. Lưới thu được bảo toàn biên và các
tam giác nhỏ bên trong thỏa mãn tiêu chuẩn Delaunay.
• Đối với cách tiếp cận thứ hai: Thuật toán bắt đầu bằng việc xác định các
điểm nút trên biên, kết nối các điểm này để tạo ra bề mặt của hệ tam giác
20


biên. Sau đó xây dựng hệ tam giác Delaunay mới bằng cách chèn các
điểm bên trong và áp dụng thuật toán Bowyer - Watson. Sau bước này,
các tứ diện cắt bề mặt biên sẽ được biến đổi để khôi phục lại biên. Nếu
có một mặt biên không hiện diện ở phép đặt tam giác Delaunay mới, đó
là do các cạnh và các mặt của tứ diện của phép đặt tam giác Delaunay cắt
mặt biên này. Vì một mặt được tạo nên từ ba cạnh, nên để khôi phục lại
một mặt ta phải khôi phục lại ba cạnh trước. Quá trình khôi phục lại cạnh
biên bao gồm các bước sau: Đầu tiên, ta tìm các tứ diện giao với các cạnh
của mặt, sau đó, thiết lập tiêu chuẩn giao nhau của mỗi tứ diện với các
cạnh biên, cho phép thực hiện các phép biến đổi trực tiếp để khôi phục
lại cạnh biên. Các tứ diện được biến đổi một cách địa phương thành các
tứ diện mới có hiện diện các cạnh yêu cầu. Để khôi phục lại các mặt biên
ta cũng thực hiện quá trình tương tự.
1.2
1.2.1

Phương pháp tịnh tiến biên (Advancing Front)
Giới thiệu

Trong một số bài toán, việc sử dụng phương pháp Delaunay Triangulation
có thể thu được lưới không thỏa mãn. Chẳng hạn như bài toán xác định dòng

chảy nhớt. Bài toán này yêu cầu phải tạo ra các phần tử tam giác có bán kính tỉ
lệ cao ở vùng lớp biên. Vì vậy trong trường hợp này nếu chỉ sử dụng phương
pháp chia lưới Delaunay Triangulation ta sẽ thu được lưới không thỏa mãn.
Một vấn đề khác đối với phương pháp Delaunay Triangulation là các nút biên
sẽ là các đỉnh của hệ tam giác cuối cùng, vì vậy mà không có gì có thể đảm
bảo là các cạnh biên giữa các nút sẽ trùng với biên của miền tính toán, nói
cách khác là tính nguyên vẹn của biên không được bảo toàn và cần thiết phải
thực hiện thêm một số bước nữa.
Phương pháp tịnh tiến biên (AFT) được George đưa ra lần đầu tiên năm
1971, là phương pháp tạo lưới không cấu trúc bảo toàn tính nguyên vẹn của
biên và có thể tạo ra các tam giác có bán kính tỉ lệ cao ở các vùng lớp biên.
Khi sử dụng phương pháp này các đường biên ngoài và biên trong (nếu có)
được rời rạc thành các đoạn thẳng bằng cách chọn phân bố các nút trên biên
của miền tính toán [6]. Tập hợp các cạnh biên này hợp thành một ’front’ ban
đầu. front sẽ di chuyển vào bên trong miền tính toán khi các điểm nút mới và
các cạnh mới được tạo thành. Các phần tử tam giác được tạo thành bằng cách
xóa các cạnh cũ đi. Các đỉnh của một phần tử tam giác mới bao gồm hai nút
của một đoạn thẳng của một front và một nút khác hoặc là của front hoặc là
mới được tạo ra. Quá trình này tiếp tục cho đến khi không có cạnh nào còn lại
trong front, front không còn nữa và ta thu được các phần tử tam giác trong
miền tính toán. Chú ý là việc lựa chọn các điểm nút trên đường cong biên cần
phụ thuộc chặt chẽ vào yêu cầu kích thước của các ô lưới vì các cạnh của front
21


ban đầu sẽ là các cạnh của hệ tam giác cuối cùng.
1.2.2

Điều khiển lưới

Khi sử dụng bất kì một phương pháp chia lưới nào ta cũng đều phải quan
tâm đến kích thước và hình dạng của ô lưới. Đối với phương pháp tịnh tiến
biên (trong không gian 2 chiều) để thu được các ô lưới với các đặc điểm yêu
cầu ta thực hiện lần lượt hai bước sau:
• Định nghĩa các đặc điểm yêu cầu của ô lưới;
• Tạo ra một lưới nền ban đầu.

Để thu được lưới với các đặc điểm yêu cầu, ta cần chỉ rõ sự phân bố
không gian của các tham số lưới phù hợp trên lưới nền.
Kích thước, hình dạng và hướng của ô lưới tam giác được mô tả bởi một
tập hợp gồm 3 tham số độc lập:

Hình 1.7: Các tham số mô tả của phần tử tam giác

• Tham số kích thước δ ;
• Tham số kéo dãn s;

• Tham số định hướng Φ được liên hệ với 2 véctơ trực giao s và n

Để định nghĩa một ô lưới ta định nhập bốn tham số đầu vào(δ, s, nx , ny )
trong đó nx , ny lần lượt là hình chiếu vuông góc của n trên các trục ox, oy. Các
giá trị của bốn tham số này cần được chỉ rõ tại mỗi nút của lưới nền. Lưới nền
ban đầu thường do người sử dụng tạo ra và có thể khá không mịn đặc biệt là
đối với các miền tính toán phức tạp. Ví dụ một lưới nền có thể chỉ gồm một
22


phần tử hoặc hai phần tử tam giác, tuy nhiên lưới nền cần phải thỏa mãn yêu
cầu về sự biến đổi tuyến tính của các tham số trong miền tính toán. Lưới nền
không nhất thiết phải trùng khít với miền tính toán. Trong trường hợp không

có lưới nền được cung cấp thì một lưới nền mặc định sẽ được tạo ra dựa trên
các quy tắc thực nghiệm bao gồm hai phần tử tam giác yêu cầu đồng nhất
mật độ lưới. Giá trị tham số kích thước δ được lấy bằng 5% chiều dài đường
chéo của lưới nền và lưới đầu tiên được tạo ra sẽ là lưới nền cho lưới tiếp theo.
Để cải thiện phương pháp trong trường hợp biên của miền tính toán có
hình dạng phức tạp, với mục đích điều khiển lưới ta cần chỉ rõ các tham số
lưới trong một số khu vực biên thông qua sự phân bố của các nguồn, chẳng
hạn miền tính toán là một chiếc máy bay thì ta cần chỉ rõ các tham số lưới
ở đầu và đuôi của máy bay. Trong cách tiếp cận này sự phân bố kích thước
không gian của các ô lưới sẽ được xác định như là một hàm của khoảng cách
từ một điểm cho trước đến một điểm hoặc một đoạn thẳng của nguồn. Sự
phân bố là đẳng hướng nếu nó chỉ phụ thuộc vào khoảng cách x dù lấy theo
bất kỳ hướng nào tới nguồn. Hàm nguồn đẳng hướng tại điểm nguồn S được
xác định như sau:


 δ1
0 < x < xc
δ ( x) =
x − xc

ln 2
x ≥ xc
 δ1 exp
D − xc
trong đó δ1 , D, và xc là các tham số được đưa thêm vào để có thể điều khiển
sự biến đổi của kích thước tam giác δ tại S. Hình 1.8 là đồ thị sự phụ thuộc
của δ( x) vào các tham số δ1 , D, và xc .

Hình 1.8: Sự phụ thuộc của δ( x) vào các tham số δ1 , D, và xc .

• Thuật toán tìm kiếm

Để nội suy các tham số lưới từ lưới nền (trong không gian hai chiều), ta
cần định vị tam giác của lưới nền mà có một điểm cho trước nằm trong miền
23


xác định bằng cách tính toán diện tích tọa độ của điểm đó. Giả sử ta có một
tam giác có các đỉnh được đánh nhãn lần lượt là 1, 2, 3. Kí hiệu ∆123 là diện
tích của tam giác này, diện tích của tam giác sẽ dương nếu thứ tự 1, 2, 3 ngược
chiều kim đồng hồ, và âm nếu ngược lại.

Hình 1.9: Các điểm 1, 2, 3 theo thứ tự ngược chiều kim đồng hồ

Hình 1.10: Các điểm 1, 2, P theo thứ tự cùng chiều kim đồng hồ

sau:

Diện tích tọa độ của điểm P được xác định bởi các tỉ lệ của các diện tích

∆31P
∆12P
∆23P
,
l2 =
,
l3 =
,
∆123

∆123
∆123
trong đó các diện tích nhận giá trị dương hoặc âm theo quy ước ngược hoặc
cùng chiều kim đồng hồ. Vì vậy nếu điểm P nằm bên trong tam giác có diện
tích dương như hình (1.9) thì tất cả các diện tích đều dương. Tuy nhiên nếu vị
trí của điểm P như trong hình (1.10) thì l1 > 0, l2 > 0 nhưng l3 < 0. Như vậy
nếu điểm P nằm bên ngoài tam giác 123 thì có ít nhất một diện tích tọa độ âm.
Vì vậy, nếu cho trước một điểm P( x P , y P ), chúng ta sẽ lấy một tam giác
l1 =

24